8 7y = 4 y + y ( 8 7y) = ( 4 y + y) ( y) + 4 y y 4 y = 4 y y 8 7y = 4 y + ( 4 y) = ( 4 y y) ( 4 y) = 4( 4 y)( y) ( 4 y) 4( 4 y)( y) = 0 ( 4 y) [ 4 y 4( y) ] = 4 ( 4 y)( y + 4) = 0 y = ή y = 4) 0 4 H y = δεν ικανοποιεί τον περιορισμό y 0. Δεκτή είναι μόνο η y = 4 εξίσωση () 6. Να λυθούν οι ανισώσεις: i. < 5 ii. > iii., διότι επαληθεύει και την αρχική 7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει εξίσωση ισοδύναμη (δηλαδή με τις ίδιες ακριβώς λύσεις) με την αρχική. Οπότε δεν θα κάναμε επαλήθευση των ριζών στην αρχική. i. Για να ορίζεται η ανίσωση πρέπει: ( 0 και 5 0) ( και 5) 5 Τότε η δοθείσα γράφεται: 5 ( ) < ( 5 ) < 5 < 8 < 4 < 4 ii. Η ανίσωση ορίζεται για κάθε με 0, δηλαδή. Με αυτόν τον περιορισμό έχουμε: Αν < 0, δηλαδή <, τότε η δοθείσα αληθεύει, στο < Αν 0, δηλαδή, τότε η δοθείσα γράφεται: ( ) > ( ) > 6 + 9 7 + 0 < 0 < < 5 < 5 Τονίζουμε ότι κατά τη λύση ανισώσεων απαιτούνται συχνά συναληθεύσεις και αυτό το γεγονός δεν πρέπει να μας ξεφεύγει σε καμία περίπτωση. Τελικά η δοθείσα ανίσωση αληθεύει για < 5. iii. Η ανίσωση ορίζεται μόνο όταν 0, δηλαδή. Τότε όμως είναι < 0, ενώ 0, οπότε. Άρα η δοθείσα ανίσωση αληθεύει για κάθε.
7. Να λυθεί η ανίσωση > Θέτουμε καταρχήν τον περιορισμό 0 και διακρίνουμε τις περιπτώσεις: i. Αν < 0 < τότε η ανίσωση > () αληθεύει στο [ 0, ), διότι το β' μέλος είναι αρνητικός αριθμός, ενώ το πρώτο είναι θετικός ή μηδέν. Άρα στο 0, η ανίσωση αληθεύει. ii. Αν 0, τότε: [ ) ( ) ( ) > > 4 + > 4 5 + 4 < 0 (, 4) Έχουμε όμως τον περιορισμό, οπότε στην περίπτωση αυτή η ανίσωση αληθεύει στο [, 4). Άρα, τελικά, η ανίσωση αληθεύει για κάθε [ 0, ) [, 4), δηλαδή στο [ 0,. 4) 6 η Μορφή Ασκήσεων: Εξισώσεις που μετατρέπονται σε πολυωνυμικές θέτοντας κατάλληλο άγνωστο Αντιμετώπιση: Για να λύσουμε μια άρρητη ανίσωση ακολουθούμε τα εξής βήματα:. Παίρνουμε τους περιορισμούς ώστε κάθε υπόριζο να είναι 0.. Απομονώνουμε στο ένα μέλος αν αυτό διευκολύνει το ένα ριζικό.. Αν και τα δύο μέλη είναι θετικά υψώνουμε και τα δύο μέλη στο τετράγωνο.. Να λυθούν οι εξισώσεις: 6 + 7 + 8= 0 i. ( ) ( ) ii. ( ) ( ) iii. ( + ) ( ) + = iv. + 0 5 49= 0 8 0 + = 6 + + 4. Αν κάποιο μέλος δεν έχει σταθερό πρόσημο τότε παίρνουμε δύο περιπτώσεις: να είναι μεγαλύτερο ή ίσο του μηδενός να είναι αρνητικό.
i. Θέτουμε ( ) 6 + = y, οπότε είναι ( ) = y γίνεται: y 7y 8 = 0 με ρίζες τις y = 8 και =. Για y = 8 έχουμε: y ( + ) = 8 ( + ) = + = = Για y = έχουμε: ( + ) = ( + ) = ( ) + = = + και η εξίσωση ii. Θέτουμε + = y, οπότε είναι 5 = + 7 = y 7, και η εξίσωση γίνεται: ( y 7) 49 = 0 y 0y + = 0 y 0 με ρίζες τις y = και y = 7. Για y = έχουμε: ± 5 + = = 0 = Για y = 7 έχουμε: ± + = 7 5 = 0 = Αντιμετώπιση: Αν σε μία εξίσωση ο άγνωστος εμφανίζεται με μία μόνο μορφή του f ( ), τότε εξυπηρετεί η χρησιμοποίηση του βοηθητικού αγνώστου y = f ( ). iii. Η εξίσωση γράφεται: ( + ) 8 + + = 0 + 8 + Θέτουμε + = y και συνεχίζουμε όπως στο (ii). [ ] ( ) ( ) ( ) + = 0 iv. Η εξίσωση ορίζεται μόνο όταν. Θέτουμε = y και η εξίσωση γίνεται: + y y + = 6 y + y 6 = ( ) 0 Δοκιμάζοντας τους διαιρέτες του 6 προκύπτει ότι ο είναι ρίζα του P( y) = y + y 6. Κάνοντας τη διαίρεση P( y) : ( y ) προκύπτει πηλίκο y + 4y +, οπότε P y = y y + 4y + ( ) ( )( )
Έτσι μοναδική ρίζα του y + 4y + έχει Δ < 0). P( y) είναι ο (αφού το τριώνυμο Είναι λοιπόν = = + = = +. Να λυθούν οι εξισώσεις: i. συν ημ 4συν = 0 ii. 4 4 + 4 = i. Είναι ημ = συν, οπότε η εξίσωση γίνεται: ( συν ) 4συν = 0 συν + συν 4συν = 0 συν Θέτουμε συν = y και παίρνουμε την εξίσωση y + y με ρίζες 4y = 0 y = (διπλή) και y =. Για y = έχουμε συν = = κπ + π, κ Ζ. Για y = έχουμε συν =, που είναι αδύνατη (αφού συν, ενώ > ). ii. Η εξίσωση ορίζεται μόνο όταν 4 0 4. Θέτουμε 4 4 = y, οπότε θα είναι ( ) 4 4 = y, δηλαδή 4 = y, και η δοθείσα γίνεται: y + y = y + y = 0 ( y = 4 ή y = ) Παρατήρηση: Τις περισσότερες φορές σε μια τριγωνομετρική εξίσωση πρέπει να χρησιμοποιήσω γνωστούς τριγωνομετρικούς τύπους πριν θέσω μια ποσότητα ίση με έναν άγνωστο. Για y = 4 έχουμε 4 = 4, που είναι αδύνατη. Για y = έχουμε 4 4 = 4 = 4 = 4 = 77, δεκτή. 4
7 η Μορφή Ασκήσεων: Γενικές - Θεωρητικές 4. Να λυθεί η εξίσωση 6 5 + 6 5 + 6 = 0. Η εξίσωση έχει τους όρους που ισαπέχουν από τα άκρα ίσους, οπότε η εξίσωση είναι αντίστροφη τετάρτου βαθμού. Η τιμή = 0 δεν είναι ρίζα της εξίσωσης. Διαιρούμε όλους τους όρους με και η εξίσωση γίνεται ισοδύναμη με την: 5 6 6 5 + 6 + = 0 6 5 6 = 0 + + + () Θέτουμε + = y, οπότε: + = y + + = y + = y Άρα η () γίνεται: 6( y ) 5y + 6 = 0 6y 5y + 50 = 0 () Είναι: Δ = 5 4 6 50 = 5 00 = 5 5 ± 5 0 y, = y = ή y 5 = Διακρίνουμε λοιπόν τις περιπτώσεις: 0 0 y = + = 0 + = 0 = ή y = 5 + = 5 5 + = 0 = Επομένως οι ρίζες της εξίσωσης είναι οι: =, =. = ή = =, =, Αντιμετώπιση: Η αντίστροφη εξίσωση 4 ου βαθμού έχει μία από τις μορφές: 4 α +β +γ +β +α= 0 () ή 4 α +β +γ β +α= 0 () Επειδή α 0, η τιμή = 0 δεν είναι ρίζα. Διαιρούμε όλους τους όρους με, ομαδοποιούμε και οι εξισώσεις αυτές παίρνουν τη μορφή: α (4) α (5) + +β + +γ= 0 + +β +γ= 0 Θέτουμε στην (4) + = y και = y στην (5), οπότε αντίστοιχα παίρνουμε: 5
. Να λυθεί για τις διάφορες τιμές του λ R η εξίσωση + 9 =λ () λ Πρέπει να είναι λ 0. Τότε η () γράφεται: + 9 = λ + 9 = λ 6λ + 9 6λ = λ () ( ) Αν λ = 0, τότε η () γίνεται 0 =, που είναι αδύνατη. Αν λ 0, τότε η () γίνεται λ =. 6 λ + = y και + = y + Θέτουμε τις τιμές αυτές στις εξισώσεις (4) και (5) και έτσι προκύπτουν εξισώσεις β βαθμού που λύνονται εύκολα. Η λύση αυτή είναι δεκτή μόνο όταν λ λ λ λ λ λ 0 6λ λ λ 0 λ 0 λ λ + λ 0 λ λ ( λ + ) 0 λ > 0 λ 0 0 Τελικά η (), αν λ 0, είναι αδύνατη. (αφού λ + > 0 ) λ > 0, έχει τη (μοναδική) λύση P( ) ( ) λ =, ενώ, αν 6 λ. Ένα πολυώνυμο, με P 0 = 5, έχει ακέραιους συντελεστές. Να αποδειχθεί ότι η γραφική παράσταση της πολυωνυμικής συνάρτησης P( ) τέμνει την ευθεία ( ε ) :y= το πολύ σε τέσσερα σημεία με ακέραιες συντεταγμένες. Ποια είναι τα σημεία αυτά; Το πλήθος των κοινών σημείων της γραφικής παράστασης C της συνάρτησης P( ) με την ευθεία y = ισούται με το πλήθος των ριζών της πολυωνυμικής εξίσωσης P( ) = P( ) = 0 (). Αντιμετώπιση: Όταν θέλουμε να λύσουμε μια εξίσωση που περιέχει παράμετρο:. Παίρνουμε τους τυχόν περιορισμούς.. Παίρνουμε περιπτώσεις για την παράμετρο 6
( ) ( ) Θέτουμε g = P. Έστω A ( α, Ρ( α) ) ένα κοινό σημείο της ευθείας (ε) με τη γραφική παράσταση της P( ), όπου α Ζ. Τότε είναι: g ( α) = 0 P( α) α = 0 P( α) = α g( ) = ( α) π( ) όπου π ( ) είναι το πηλίκο της διαίρεσης g ( ) : α. Το π ( ) έχει επίσης ακέραιους συντελεστές. Έτσι: g( 0) = ( 0 α) π( 0) Ρ( 0) 0 = απ( 0) 5 = απ( 0) διότι Ρ( 0 ) = 5. Η τελευταία σχέση δηλώνει ότι ο α διαιρεί τον 5. Άρα α = ή α = ή α = 5 ή α = 5. Παρατήρηση: Αν ένα πολυώνυμο P( ) έχει ακέραιους συντελεστές και ο ρ είναι επίσης ακέραιος, τότε το πηλίκο π( ) της διαίρεσης P( ) :( ρ) έχει επίσης ακέραιους συντελεστές. Επομένως το α μπορεί να πάρει το πολύ τέσσερις ακέραιες τιμές και έτσι το ζητούμενο πλήθος σημείων είναι το πολύ τέσσερα. Τα πιθανά αυτά σημεία είναι προφανώς τα Α(, ), Β(-, -), Γ(5, 5) και Δ(-5, -5). Τονίζουμε ότι επειδή τα σημεία βρίσκονται πάνω στην ευθεία y =, οι συντεταγμένες είναι ίσες. 4. Δίνεται το πολυώνυμο: ( α)( β) ( β)( γ) γ α P( ) = + + ( γ α)( γ β) ( α β)( α γ) β γ β α όπου α, β και γ είναι διαφορετικοί μεταξύ τους. α) Να βρεθούν τα, και P γ. P( α ) P( β ) ( ) β) Τι συμπεραίνουμε για το πολυώνυμο P( ) ; α) Εύκολα προκύπτει ότι: P ( α ) = P( β) = P( γ) = ( )( ) ( )( ) β) Όλοι οι παρανομαστές είναι σταθεροί αριθμοί, ενώ οι αριθμητές είναι πολυώνυμα ου βαθμού. Επομένως το P( ) παίρνει τη μορφή: P( ) = λ + μ + ν και είναι το πολύ δευτέρου βαθμού. Σε κάθε πολυώνυμο P ( ), ο σταθερός όρος του ισούται με P( 0) και το άθροισμα των συντελεστών του ισούται με P(). Η παρατήρηση αυτή είναι χρήσιμη για τη λύση ορισμένων έξυπνων ασκήσεων. 7
Επειδή όμως P ( ) = P( β) = P( γ) = α και οι α, β, γ είναι διαφορετικοί μεταξύ τους, θα είναι τελικά: P ( ) = για κάθε R Έτσι, το P είναι το σταθερό πολυώνυμο P ( ) = ( ) 5. Δίνεται το πολυώνυμο f( ) με ακέραιους συντελεστές. Αν για τους διαφορετικούς μεταξύ τους αριθμούς α, β, γ και δ ισχύει ότι: f α = f β = f γ = f δ =5 ( ) ( ) ( ) ( ) Ζ ( ) να αποδειχθεί ότι δεν υπάρχει λ τέτοιος, ώστε f λ = 8. Θεωρούμε το πολυώνυμο g( ) = f ( ) 5. Το ( ) ακέραιους συντελεστές και ισχύει: g ( α ) = f ( α) 5 = 5 5 = 0. Όμοια προκύπτει: g ( β ) = g( γ) = g( δ) = 0. Από τις παραπάνω σχέσεις συμπεραίνουμε ότι το ( ) g έχει επίσης g έχει παράγοντες τους: α, β, γ και δ, οπότε: g( ) = ( α)( β)( γ)( δ) Q( ) όπου το Q( ) έχει επίσης ακέραιους συντελεστές. Έστω ότι υπάρχει λ Ζ τέτοιο, ώστε f ( λ ) = 8. Τότε: g ( λ) = f ( λ) 5 ( λ α)( λ β)( λ γ)( λ δ) Q( λ) = 8 5 λ α λ β λ γ λ δ Q λ = () ( )( )( )( ) ( ) Αν ένα πολυώνυμο P( ) έχει βαθμό ν, τότε: το πολυώνυμο Q ( ) = P( P( ) ) έχει βαθμό v το πολυώνυμο έχει βαθμό κν [ P ( ) ] κ Η σχέση () δηλώνει ότι ο αριθμός γράφεται ως γινόμενο τουλάχιστον τεσσάρων διαφορετικών μεταξύ τους, ακεραίων (των λ α, λ β, λ γ και λ δ). Αυτό όμως είναι άτοπο, αφού το γράφεται το πολύ ως = ( )( ), δηλαδή ως γινόμενο το πολύ τριών διαφορετικών μεταξύ των ακεραίων. Άρα δεν υπάρχει λ Ζ έτσι, ώστε να ισχύει f ( λ ) = 8. 8