Elektroenergetska omrežja Skripta vaj

Elektroenergetska omrežja Skripta vaj dr. Marko Kolenc, dr. Grega Bizjak, dr. Boštjan Blažič Ljubljana, 05

Vsebina. vod v MATLAB... 4. Kako pognati program MATLAB... 4. M-datoteke... 5.. Kako odpreti in zagnati M-datoteko?... 5. Prireditev vrednosti... 6.. Skalarji in kompleksna števila... 6.. Vektorji in matrike... 6.4 Operatorji in osnovne matematične funkcije... 7.4. Aritmetični operatorji... 7.. Osnovne matematične funkcije... 7.. Trigonometrične funkcije... 7.. Logični operatorji... 8.5 Zaokroževanje... 9.6 Manipulacije z matrikami in vektorji... 9.6. Delo s členi vektorjev... 0..4 Delo s členi, vrsticami, stolpci in podmatrikami matrik... 0.6. Osnovne matematične operacije z vektorji in matrikami... 0.6. Vgrajene matrične operacije....7 D grafi....8 Pogojni stavki... 5.9 Odprtokodne alternative MATLAB-u... 7.0 Izračun sistema enačb z Gauss-Seidel-ovo metodo... 8 Matematične osnove... 0. Harmonične veličine... 0. Kompleksne veličine.... Kompleksor moči....4 Osnovni elementi v kompleksnem prostoru... 4.4. por... 4.4. Kondenzator... 5.4. Tuljava... 5.5 Trifazne veličine... 6

.6 Sistemi komponent... 7.6. Simetričen sistem... 8.6. Enofazni sistem... 9.6. Manjka tretja faza L... 9.6.4 Nasproti ležeča fazorja... 0.6.5 Dva polovična fazorja ležita nasproti fazorju L... VAJA - Sistemi komponent.... Navodila za vajo.... Grafična določitev simetričnih komponent napetosti.... Izračun matrike faznih tokov [ I f ]... 6.4 Določitev simetričnih komponent impedančne matrike [ Z s ]... 6.5 Določitev simetričnih komponent napetosti in toka [ I s ] in [ s ]... 8.6 Določitev diagonalnih komponent napetosti in toka [ I d ] in [ d ]... 8.7 Zaključek... 9 4 VAJA Električni parametri vodov... 40 4. Navodila za vajo... 40 4. Potrebne enačbe za izračun... 4 4.. impedanca, admitanca (na enoto dolžine)... 4 4.. Ohmska upornost (rezistanca)... 4 4.. Induktivnost (reaktanca)... 4 4..4 Induktivnost pozitivnega in negativnega sistema za trifazni vodnik... 45 4..5 NIČNA REAKTANCA brez zaščitne vrvi:... 45 4..6 SIMETRIČNE KOMPONENTE IMPEDANCE brez zaščitne vrvi... 46 4..7 SIMETRIČNE KOMPONENTE IMPEDANCE z zaščitno vrvjo... 47 4..8 Kapacitivnost... 47 4..9 Simetrične komponente kapacitivnosti... 48 4..0 Polnilna moč voda... 50 4.. Karakteristična impedanca voda... 50 4.. Naravna moč voda... 50 4.. Termična obremenljivost... 5 4. Izračuni... 54 4.. Direktna impedanca... 55 4.. Izračun kapacitivnosti... 57 4.. POLNILNA IN NARAVNA MOČ, KARAKTERISTIČNA IMPEDANCA:... 58

4..4 TERMIČNI TOK VODA IN MOČ... 59 5 VAJA Oblikovanje daljnovoda... 6 5. Navodila za vajo... 6 5. Osnovni podatki... 6 5. Parametri kombiniranih vodnikov... 6 5.4 Razpetina, poves in dolžina vodnika v razpetini... 66 5.5 Povesna verižnica... 67 5.5. Dolžina verižnice... 69 5.6 Kritična razpetina... 70 5.7 Kritična temperatura... 7 5.8 Klasična položajna enačba... 7 5.9 Določitev višine stebrov... 7 5.0 Mehanski parametri vodov - tabele... 75 5. Izračuni... 77 5.. Specifična teža vrvi ()... 77 5.. Modul elastičnosti (E)... 77 5.. Temperaturni razteznostni koeficient ()... 77 5..4 Koeficiente, E in lahko določimo tudi iz priložene tabele 4 oz. iz priročnikov... 77 5. Dodatno zimsko breme... 77 5. Dopustna natezna napetost () pri temperaturi = -5 C... 78 5.4 Kritična razpetina (s k )... 78 5.5 Kritična temperatura ( k )... 78 5.6 Montažna tabela... 78 5.6. Določitev višine stebrov... 8 5.6. Dodatek Primer izrisa verižnice v merilu... 84

. vod v MATLAB Programski paket MATLAB je izdelek podjetja MathWorks. MATLAB je moderno programsko orodje za numerično reševanje problemov. Razvijati so ga pričeli v univerzitetnem okolju in je šele kasneje postal širše dostopen komercialni produkt. Program je napisan tako, da omogoča enostavno izvajanje matričnih operacij, reševanje diferencialnih enačb z numerično integracijo, grafični prikaz rezultatov vključno z animacijami. Edina podatkovna struktura MATLAB-a je kompleksna matrika. Najenostavnejši način podajanja matrik je eksplicitni, to je način, ko priredimo imenu matrike seznam elementov, ki so ločeni s presledki ali vejicami. Od tod tudi ime MATLAB (matrični laboratorij). V tako imenovanih M-datotekah lahko zapišemo lasten program. Vsako tako napisano datoteko lahko obravnavamo kot novo funkcijo in jo uporabljamo na enak način kot že vgrajene funkcije. Z združevanjem M-datotek (funkcij) lahko vsakdo ustvari obsežno orodje za namensko uporabo.. Kako pognati program MATLAB MATLAB ima ob zagonu lahko različen izgled in ga sestavlja eno ali več oken. MATLAB namreč omogoča da ga priredimo po lastnih potrebah in nato se izbrana nastavitev ohrani tudi ob naslednjem zagonu. Ob zagonu se zato lahko odpre eno ali več oken. Najpogosteje so to okna Command Window, Launch Pad in Command History lahko pa tudi okna Current Directory,Workspace in Help. Osnovno nastavitev prikličemo s klikom v meniju Home/Layout/Default. Velikokrat se zgodi, da je ob prvem zagonu pisava izredno majhna. To spremenimo s klikom na Home/Preferences/Fonts, kjer si izberemo želeno pisavo. Oglejmo si malce bolj podrobno glavna okna: Slika : Programsko okolje MATLAB Command Window je glavno okno MATLAB-a v katerega lahko neposredno vpisujemo ukaze. Delo v njem je priporočljivo le za reševanje enostavnih problemov in za hitre izračune. Za ponoven izračun z drugačnimi vhodnimi podatki je namreč potrebno vse ukaze še enkrat napisati. Command History prikazuje staro vsebino okna Command Window. 4

Current Directory prikaže delovno mapo s seznamom vseh *.m datotek in *.mdl datotek (Simulink sheme), ki se nahajajo v njem. Workspace podaja sezam, tip in dimenzijo vseh spremenljivk, definiranih v delovnem prostoru. Slika : Glavno okno Command Window. M-datoteke So datoteke v katerih so lahko zapisani uporabniški programi in že izdelani programi (v okviru osnovnega MATLABA-a ali njegovih orodij). V M-datoteko torej lahko zapišemo svoj program. Iz M- datoteke lahko kličemo tudi druge M-datoteke... Kako odpreti in zagnati M-datoteko? Novo M-datoteko odpremo v meniju Editor/New/Script. Odpre se novo okno z MATLAB-ovim urejevalnikom besedil v katerega napišemo program. Za pisanje M-datotek lahko uporabimo tudi katerikoli drug urejevalnik besedil kot npr. beležnico. MATLAB-ov editor lahko odpremo tudi brez zagona MATLAB-a. Že obstoječo datoteko odpremo tako, da v MATLAB-ovem oknu v meniju izberemo File/Open in nato poiščemo iskano datoteko. M-datoteko shranimo s končnico.m. Če delamo z MATLAB-ovim urejevalnikom se ta končnica doda avtomatsko, če pa uporabljamo kakšen drug urejevalnik pa jo je potrebno dodati. Ime datoteke ne sme vsebovati šumnikov in presledkov. Program zapisan v M-datoteki poženemo tako, da pritisnemo ikono Editor/Run ali s klikom na F5. Program je potrebno predhodno shraniti in če tega nismo storili, nas MATLAB avtomatsko prosi, da ga shranimo. Prav tako poda zahtevo po spremembi delovne mape in praktično vedno pritisnemo»change Folder«. Če želimo pognati samo del programa, označimo želeno kodo in pritisnemo F9. Če smo v programu omogočili izpis rezultatov (to pomeni da se ustrezne vrstice ne zaključijo s podpičjem) vidimo rezultate v delovnem oknu. Na začetku vsakega programa po navadi zapišemo tri ukaze, to so clc pobriše vsebino glavnega okna. clear all izbriše vse predefinirane spremenljivke in close all zapre vsa grafična okna. 5

. Prireditev vrednosti.. Skalarji in kompleksna števila Decimalna števila se vpisujejo s piko. V MATLAB odtipkajte naslednjo kodo in interpretirajte rezultate: a = 0 b = 0; c =.07 d = 5e-4 e = 5*0^5 f = + i* g = - j Slika : Programska koda Skalarji in kompleksna števila.. Vektorji in matrike Vrstični vektor vpišemo v oglatih oklepajih, člene vektorja med seboj ločimo z vejico ali presledkom x = [,,]. Stolpčni vektor vpišemo v oglatih oklepajih, njegove člene pa ločimo s podpičji x=[4;;;]. Vektor z enakomerno naraščajočimi/padajočimi členi generiramo na sledeči način x=:0.:. Matriko vpišemo tako, da vrstice ločimo s podpičjem, člene v vrstici pa z vejico ali presledkom A = [,,;4,5,6;7,8,9]. Tabela : Vektorji in matrike x=[x, x, x,..] y=[y; y; y; y4;..] x=x_začetni : korak : x_končni A = [A, A, A,.. ; A, A, A,.. ; A, A, A,..;..] Vpis vrstičnega vektorja. Vpis stolpčnega vektorja Avtomatsko generiranje vektorja Vpis matrike V MATLAB odtipkajte naslednjo kodo in interpretirajte rezultate: % Za komentiranje zapišemo znak»%«pred vsako vrstico a = [,,,4] b = [ 4] c = [; ; ; 4] d = :0 e = :0.5:0 A = [ ; 4 5 6; 7 8 9] % Transponirajmo vektor a: a_transponiran = a' % Izračunajmo inverzno matriko matrike A inv_a = A^- % Inverzno matriko A lahko izračunamo tudi z uporabo funkcije inv() inv_a = inv(a) % Izračun inverzne matrike na način /A je napačen! Slika 4: Programska koda vektorji in matrike 6

.4 Operatorji in osnovne matematične funkcije.4. Aritmetični operatorji Tabela : Aritmetični operatorji +, - seštevanje,odštevanje *, / množenje, deljenje ^ potenca sqrt(x) kvadratni koren \ levo deljenje.. Osnovne matematične funkcije Tabela : Osnovne matematične funkcije exp(x) log(x) log0(x) abs(x) Eksponentna funkcija e x Naravni logaritem Desetiški logaritem Absolutna vrednost.. Trigonometrične funkcije Argumenti (koti) se podajajo v radianih. Vrednost konstante π je vgrajena in jo lahko uporabljamo v izrazih: Tabela 4: Trigonometrične funkcije cos (x) sin(x) tan (x) acos(x) asin(x) atan(x) sinh(x) cosh(x) tanh(x) Kosinus kota Sinus kota Tangens kota Inverzni kosinus Inverzni sinus Inverzni tangens Hiperbilični sinus Hiperbolični kosinus Hiperbolični tangens 7

.. Logični operatorji Se uporabljajo predvsem kot argumenti v pogojnih stavkih: a =0; b =0; c = a + b d = a - b e = a * b f = a / b g = a \ b h = a ^ i=exp() j=exp() % Sedaj ne i ne j nista več kompleksni števili, saj smo jima priredili % določeno vrednost. Če želimo poenostaviti njune vrednosti, to % naredimo z ukazom clear: clear i j % Ne pozabite kako je potrebno vnašati kote kadar računamo s kotnimi % funkcijami - radiane ali stopinje. Ponovite kako se pretvori iz stopinj % v radiane in obratno! sin() sin(pi) sqrt() % kvadratni koren 7^(/) % kubični koren log(exp()) % naravni logaritem log0(0) % desetiški logaritem 7/0 % deljenje z ničlo Inf + Inf Tabela 5: Logični operatorji ~ negacija ~= ni enako = = ekvivalentno < manjše <= manjše ali enako > večje >= večje ali enako & logični in logični ali ~ komplement V MATLAB odtipkajte naslednjo kodo in interpretirajte rezultate: % Logični operatorji (vrnejo 0 ali ): == ~= > >= Slika 5: Programska koda operatorji in osnovne matematične funkcije 8

.5 Zaokroževanje Za zaokroževanje rezultatov uporabljamo ukaze fix, floor, ceil, round. Tabela 6: Zaokroževanje fix(x) round(x) floor(x) ceil (x) Z aokrožitev navzdol na celo število Zaokrožitev na najbližje celo število Zaokrožitev na najbližje celo število, proti minus neskončno Zaokrožitev na najbližje celo število, proti neskončnosti V MATLAB odtipkajte naslednjo kodo in interpretirajte rezultate floor(-4.8) floor(4.8) fix(-4.8) fix(4.8) ceil(4.8) ceil(4.) ceil(-4.8) Slika 6: Programska koda zaokroževanje.6 Manipulacije z matrikami in vektorji Nekaj osnovnih pravil za manipulacije z vektorji in matrikami: Z vejico ločimo člene v stolpcu, z dvopičjem preidemo v novo vrstico. Pri delu z matrikami, oziroma členi matrik, se prvo število v oklepaju nanaša na vrstico, drugo na stolpec. A(i,j) tako pomeni i to vrstico in j-ti člen v vrstici Če delamo s celim stolpcem ali vrstico, nadomestimo številko člena z dvopičjem. A(i,:) tako pomeni i-to vrstico in je torej vrstični vektor, A(:,j) pomeni vse člene v j-tem stolpcu in je stolpčni vektor. Če bomo priredili vrednost nekega člena matriki, ki še ni definirana, bodo imeli ostali členi matrike vrednost 0. Če npr. uporabimo ukaz C(,4) = 0 in matrike C še ni, bo generirana matrika C dimenzije x4, ki bo imela člen C(,4) = 0, vsi ostali členi pa bodo nič. Pri dodajanju členov matriki je potrebno paziti na dimenzijo. Tako lahko matriki dodamo le stolpec, ki ima toliko členov kot ima matrika vrstic ali vrstico, ki ima toliko členov kot ima matrika stolpcev. 9

.6. Delo s členi vektorjev Tabela 7: Delo s členi vektorjev xi=x(i) x(i)=xi x=[x, a, a, a,..] x=[x; a; a; a,..] Branje i-tega člena vektorja Prirejanje vrednosti i-temu členu vektorja Dodajanje členov a,a,... vrstičnem vektorju Dodajanje členov a,a,... stolpčnem vektorju..4 Delo s členi, vrsticami, stolpci in podmatrikami matrik Tabela 8: Delo s členi, vrsticami, stolpci in podmatrikami matrik. Aij=A(i,j) a=a(:,j) a=a(i,:) B=A(i:j,k:l) A(i,j)=Aij A(:,i)=[Ai; Ai; Ai;...] A(i,:)=[Ai, Ai, Ai,...] A(:,j)=[] A(i,:)=[] C=[A,x] C=[A;y] Branje člena matrike Branje j-tega stolpca matrike Branje i-te vrstice matrike Branje podmatrike Prirejanje nove vrednosti členu matrike Prirejanje nove vrednosti stolpcu matrike Prirejanje nove vrednosti vrstici matrike Brisanje stolpca iz matrike Brisanje vrstice iz matrike Dodajanje stolpca matriki Dodajanje vrstice matriki.6. Osnovne matematične operacije z vektorji in matrikami MATLAB omogoča dva tipa operacij med vektorji in matrikami. Prvi način je takšen kot ga poznamo z matematike, npr. množenje dveh matrik. Drug način pa je bolj splošen in omogoča tudi operacije po elementih, npr. množenje istoležnih členov dveh matrik. Ta možnost izhaja iz dejstva, da MATLAB temelji na uporabi polj (array), matrike pa so samo posebna oblika teh polj s posebej definiranimi (matričnimi in vektorskimi) operacijami. Oba tipa operacij sta opisana spodaj. Tabela 9: Osnovne matematične operacije z vektorji in matrikami A (+, -, *, /) a A*y A (+, -, *, /) B A (.*,. /) B a (+, -, *, /) b a (. *,. /) b A' Prištevanje /odštevanje/množenje/deljenje vseh členov matrike ali vektorja s skalarjem. Množenje matrike z vektorjem. Prištevanje /odštevanje/množenje/deljenje matrike z matriko. Množenje/deljenje matrike z matriko po členih. Prištevanje /odštevanje/množenje/deljenje vektorja z vektorjem. Množenje/deljenje vektorja z vektorjem po členih. Transponiranje vektorja ali matrike. 0

Prištevanje/odštevanje/množenje/deljenje matrike ali vektorja s skalarjem: Vsakemu členu matrike ali vektorja lahko prištejemo/odštejemo vrednost skalarja a oziroma jih z a delimo/množimo z ukazi A+a, A-a, A*a, A/a. Množenje matrike z vektorjem: Matriko A z vektorjem y pomnožimo z ukazom A*y. y mora biti stolpčni vektor dimenzije, ki je enaka številu stolpcev matrike A. Prištevanje/odštevanje/množenje/deljenje matrike z matriko: Prišteti in odšteti je možno le matrike enakih dimenzij. Operacija se izvrši člen s členom. Pomnožimo (matrično množenje) lahko le matriki, kjer ima prva enako število stolpcev kot druga vrstic. Delimo lahko le matriki, ki imata enako število stolpcev. Množenje/deljenje matrike z matriko po členih: Operacijo lahko izvajamo samo na matrikah enakih dimenzij. Operacijo po členih označimo s piko pred operatorjem, npr. operator za množenje po členih je (.*). Zmnožijo/delijo se istoležni členi v matrikah (torej ne gre za množenje matrik, kot ga poznamo iz matematike). Prištevanje /odštevanje/množenje/deljenje vektorja z vektorjem: Prišteti/odšteti/deliti je možno le vektorje enakih dimenzij. Pri tem se operacija izvede na istoležnih členih. Množenje/deljenje vektorja z vektorjem po členih: Operacijo po členih označimo s piko pred operatorjem, npr. operator za množenje po členih je (.*). Zmnožijo/delijo se istoležni členi v vektorjih (torej ne gre za množenje vektorjev, kot ga poznamo iz matematike). Transponiranje: Matriko oziroma vektor transponiramo z ukazom A', oziroma y'..6. Vgrajene matrične operacije Tabela 0: Vgrajene matematične operacije sum(x) max(x) inv(a) rank(a) det(a) eig(a) poly(a) norm(a) Vsota členov vektorja ali stolpca matrike Največji člen vektorja ali stolpca matrike Inverzna matrika Rang matrike Determinanta matrike Lastne vrednosti matrike Koeficienti karakterističnega polinoma Norma matrike ali vektorja

V MATLAB odtipkajte naslednjo kodo in interpretirajte rezultate: A = [ ; 4 5 6; 7 8 9] A' % Transponiranje matrike A + 0 A / 0 % Pozorno opazujte razliko med * in.* A * A A.* A [5 5 5] * A [5 5 5].* A % Branje členov A(:,) A(,:) A(end,) A(:,) % drugi in tretji člen tretjega stolpca % Matriki spreminjamo člene A(,) = 0 A(:,) = A = [A A] % matriki dodamo matriko in jih združimo v eno b(:5) = b = [b 6] % vektorju dodamo še en člen c = b' % c je transponiran vektor b c (:4) = c.* c c * c c * b % Ponovite operacije z matrikami: % - kdaj lahko množimo in kdaj ne % - inverzne matrike % - pri množenju matrik je pomembno zaporedje! length(b) % izpis dolžine vektorja size(a) % izpis dimenzij matrike Slika 7: Programska koda delo s členi vektorjev

.7 D grafi Za izris, opremljanje osnovnih D grafov in delo z njimi uporabljamo naslednje ukaze: Tabela : D grafi figure(i) Odpre grafično okno številka i. plot(x,y,x,y,x,y,..) V okno izriše x,y graf. title('naslov') xlabel('oznaka na X osi') ylabel('oznaka na Y osi') grid axis([xmin, Xmax, Ymin,Ymax]) hold on legend ('Prvi graf', 'Drugi graf','..) subplot(,,), plot(x,y) close all Graf opremi z naslovom. X os opremi z oznako. Y os opremi z oznako. V graf nariše mrežo. Določitev območja X in Y osi grafičnega okna.. Zadrži trenutno sliko v grafičnem oknu, tako da lahko kasneje dodamo še več potekov. V grafično okno z več poteki doda legendo. Grafično okno razdeli v 4 podokna (x), V prvo nariše graf (x,y) Zapre vsa grafična okna kaz figure: Z ukazom figure(i) se odpre i-to grafično okno. Ta ukaz je potrebno uporabiti zmeraj, ko želimo narisati graf v novo okno, to je pred ukazom plot. V primeru ko tega ukaza ne uporabimo se graf nariše v zadnje odprto grafično okno. Stara vsebina tega okna se (razen če smo uporabili ukaz hold on) izbriše. Če še ni odprto nobeno grafično okno in uporabimo ukaz plot, se avtomatsko odpre. kaz plot: XY graf izrišemo torej z ukazom plot(x,y). X in Y morata biti vektorja enake dolžine. V primeru če je eden vektor stolpčni drugi pa vrstica je potrebno enega izmed njiju transponirati. Namesto vektorjev x i n y lahko vpišemo v ukaz plot tudi kakšen izraz, npr. plot(t,cos(t)). Če želimo v grafično okno izrisati istočasno več grafov v ukazu plot navedemo x, y pare po vrsti, npr. plot(x,y,x,y,x,y). Vsak potek se izriše s svojo barvo.

Preizkusimo do sedaj prikazane ukaze na enostavnih primerih. Odtipkajte vsak odstavek v MATLAB in opazujte razliko na grafu: x=-0:0; % najprej definirajmo vektor od -0 do 0 s korakom figure() plot(sin(x)) xlabel('vodoravna os') ylabel('navpicna os') % Vidimo, da je korak prevelik. Zmanjšajmo korak in izrišimo še enkrat: x=-0:0.:0; figure() plot(sin(x)) xlabel('vodoravna os') ylabel('navpicna os') % Na sliki želimo, da gre x os od -0 do 0 in ne od do konca dolžine % vektorja x figure() plot(x,sin(x)) xlabel('vodoravna os') ylabel('navpicna os') % Izris dveh slik na enem grafu figure(4) hold on plot(x,sin(x),'red') plot(x,sin(x+pi/),'green') xlabel('vodoravna os') ylabel('navpicna os') % namesto črte lahko za vsako točko izrišemo različne simbole figure(5) hold on plot(x,sin(x),'*') plot(x,sin(x+pi/),'r+') xlabel('vodoravna os') ylabel('navpicna os') % omejimo x os od 0 do *pi in y od od - do in dodamo mrežo figure(6) hold on grid on plot(x,sin(x)) xlabel('vodoravna os') ylabel('navpicna os') axis([0 *pi - ]) Slika 8: Programska koda izris slik 4

% dodajmo legendo figure(7) hold on grid on plot(x,sin(x),'yellow') plot(x,sin(x+pi/)) xlabel('vodoravna os') ylabel('navpicna os') legend('sin(x)','sin(x+pi/)',4) axis([0 *pi -.5.5]) title('to je naslov') % Še en zahtevnejši graf: figure(0) hold on grid on spodnja_meja(:length(x))=-; zgornja_meja(:length(x))=; plot(x,sin(x),'green') plot(x,sin(x+pi/)) plot(x,spodnja_meja,'r','linewidth',) plot(x,zgornja_meja,'r','linewidth',) ylabel('\itnapetost \rm / ') xlabel('\itčas \rm / 4ur') % "\it" pomeni posevno, "\rm" pa pokoncno legend('sin(x)','sin(x+pi/)',4) title('naslov grafa') axis([0 *pi -.5.5]) Slika 9: Programska koda izris slik ().8 Pogojni stavki Tabela : Pogojni stavki if for zanka while zanka switch break Pogojni stavek Zanka z določenim številom ponovitev Zanka z logičnim pogojem Pogojni skoki Skok iz zanke ali pogojnega stavka 5

kaz if: kazi napisani v okviru pogojnega stavka se izvedejo če je izpolnjen podan logični pogoj. Splošna oblika if stavka je naslednja: if pogoj stavki; elseif pogoj stavki; else stavki; end Slika 0: Programska koda if stavek V primeru če je izpolnjen pogoj se torej izvedejo stavki. Sicer se preveri pogoj in če je izpolnjen ta, se izvedejo stavki. Če nista izpolnjena ne pogoj ne pogoj se izvedejo stavki. Seveda lahko v if stavku nastopa še več elseif pogojev, pa tudi else stavek ni nujen. If stavke je možno tudi gnezditi. Pri pisanju pogojev uporabljamo logične operatorje <, >=, >=, ~=, = =. kaz for: Z ukazom for generiramo zanko, ki se bo izvedla tolikokrat, kot smo določili. Splošna oblika for zanke je naslednja: for stevec = zacetni:korak:koncni, end stavki; Slika : Programska koda for zanka Število ponovitev je torej določeno z začetno in končno vrednostjo števca ter korakom s katerim se števec povečuje. 6

V MATLAB odtipkajte naslednjo kodo in interpretirajte rezultate: b = 0; for i = : 0 b = b + ; end b b = 0; for i = : 0 b = b + ; if b == 5 break end end b c = [0 5 0 55]; for i =:length(c) d(i)= 0*c(i); end d % vse člene v vektorju d, ki so večji ali enaki 00, damo na nič: for i = : length(d) if d(i) >= 00 d(i) = 0; end end d Slika : Programska koda pogojni stavki.9 Odprtokodne alternative MATLAB-u Octave je odprtokodni računalniški program za numerične matematične izračune. Večinoma je združljiv s programom MATLAB. Je brezplačna alternativa MATAB-u. Omogoča tudi podporo Matpower-ju. V praksi lahko torej izdelamo povsem enake optimizacijske programe in simulacije kot v MATLAB-u. Delo pa je oteženo, ker Octave nima grafičnega vmesnika 7

.0 Izračun sistema enačb z Gauss-Seidel-ovo metodo Izračunajte x, x in x pri podanem sistemu enačb: x 0,x 0, x 7,58 0,x 7x 0,x 9, 0,x 0, x 0x 7, 4 Določimo začetne vrednosti, ki naj bodo: x, x x,. Iz prve enačbe izpostavimo x, iz druge x in iz tretje x : x (0,x 0,x 7,58) / x ( 0,x 0,x 9,) / 7 x ( 0,x 0,x 7,4) /0 Ker imamo začetne približke za x, x in x, jih vstavimo v enačbo in izračunamo nove vrednosti: Dobili smo nove vrednosti za x, x in x : x (0, 0, 7,58) /,77 x x ( 0, 0,9,) / 7,79 ( 0, 0, 7,4) /0 7,0 x,77, x x,79, 7,0. Sedaj ponovimo postopek in spet izračunamo nove vrednosti. Spremenljivke konvergirajo proti končni rešitvi. Po določenem številu iteracij so razlike med starimi in na novo izračunanimi vrednostmi zelo majhne in lahko zato zaključimo postopek. 8

Programska koda za rešitev sistema enačb: clc;close all;clear all i=; % zaporedno stevilo iteracije (zacnemo z ) x(i)=; % zacetna vrednost za x x(i)=; % zacetna vrednost za x x(i)=; % zacetna vrednost za x error_x(i)=99999; % zacetna vrednost razlike med x(n+) in x(n) % dokler je razlika med x(n+) in x(n) vecja od 0,0: while error_x(i) >= 0.0 x(i+)=(7.85+0.*x(i)+0.*x(i))/; x(i+)=(-9.-0.*x(i)+0.*x(i))/7; x(i+)=(7.4-0.*x(i)+0.*x(i))/0; error_x(i+)=abs((x(i+)-x(i))/x(i))*00; error_x(i+)=abs((x(i+)-x(i))/x(i))*00; error_x(i+)=abs((x(i+)-x(i))/x(i))*00; end i=i+ figure plot(error_x(:end)) grid on xlabel('stevilo iteracij') ylabel('razlika med x(n+) in x(n) [%]') figure hold on plot(x,'r') plot(x,'g') plot(x) legend('x','x','x') grid on xlabel('stevilo iteracij') ylabel('vrednosti spremenljivk') Slika : Programska koda rešitev sistema enačb Programsko kodo lahko pohitrimo s tem, da pri izračunu vedno uporabimo najnovejše vrednosti. Ko izračunamo x(i+), lahko to vrednost uporabimo že v naslednji enačbi za izračun x(i+) in ne čakamo, da vrednost x(i+) uporabimo šele v naslednji iteraciji. Prav tako lahko uporabimo x(i+) in ga vstavimo v tretjo enačbo za izračun x(i+). V tem smislu priredite zgornjo programsko kodo. 9

Matematične osnove. Harmonične veličine Napetost in tok sta harmonični funkciji, ki jih zapišemo v obliki: u( t) cos( t ) i( t) I cos( t ) in I sta temenski vrednosti, kar lahko zapišemo kot: I max I max ef I ef u i Veljajo še naslednje enačbe: t ft I p( t) u( t) i( t) Na sliki 4 je predstavljena harmonična funkcija napetosti u(t). u(t) u u( t) uˆ cos( t ) u û 0 π/ ωt Slika 4: Časovni potek harmonske funkcije napetosti pri čemer je ut () trenutna vrednost napetosti, û je amplituda (temenska vrednost) harmonične napetosti, f / T je krožna frekvenca, kjer je f frekvenca in T perioda harmonične funkcije ter 0

u je fazni zamik glede na t 0. Skopirajte naslednjo programsko kodo v MATAB, spreminjajte parametre in opazujte razliko v animaciji. V for zanki spreminjajte amplitudo toka ali kot. clc; clear all; close all =; % amplituda napetosti fiu=0; % faza napetosti I=; % amplituda toka fii=-90; % faza toka f=50; % frekvenca t=0:0.000:(/f*); w=*pi*f; os_nic(:length(t))=0; for fii=-90:5:90 % I=0:0.: % spreminjamo fazo toka ali amplitudo figure(); grid on end u=sqrt()*.*cos(w*t+fiu*pi/80); i=sqrt()*i.*cos(w*t+fii*pi/80); s=u.*i; % postumaj enote... [hax,hline,hline] = plotyy([t' t'],[u' i'],t,s) set(hax(),'ylim',[-6 6]) set(hax(),'ylim',[-6 6]) ylabel(hax(),'\its \rm / VA') ylabel(hax(),'\itu \rm / V') set(hline(),'linewidth',) legend('napetost','tok','moc') hold on plot(t,os_nic,'black') xlabel('\itt \rm / ms') title('casovni potek napetosti, toka in moci') hold off Slika 5: Programska koda časovni potek toka, napetosti in moči. Kompleksne veličine Harmonične veličine zapisujemo v kompleksni obliki. Iz časovnega prostora preslikamo veličine v kompeksni prostor, kjer uporabimo zapis s fazorji. Pri tem se uporablja Eulerjev obrazec: e j cos j sin e j cos jsin

j Vsakemu kompleksnemu številu e pripada v kompleksni ravnini, katere osi so (Re, Im), točka na krožnici polmera. Daljica, ki povezuje središče krožnice in točko na krožnici, in pozitivna realna os, oklepata kot. Im e jα α sin α cos α Re e -jα Slika 6: Prikaz kompleksnega števila v kompleksni ravnini Za izmenično veličino tako velja: ju jt u( t) Re[ ue ˆ e ] Projekcija na realno os daje u(t) e j cos j sin *. Kompleksor moči Trenutna moč je definirana kot: p( t) u( t) i( t) cos( t u ) I cos( t i ) porabimo matematični priročnik, kjer je zapisan naslednji obrazec: in dobimo: cos cos [cos( ) cos( )] p( t) I [cos( u i ) cos(t u i )] Moč niha in je enkrat pozitivna in enkrat negativna, kar prikazuje naslednja slika:

S / VA u / V Casovni potek napetosti, toka in moci 4 napetost tok moc 0 0 - - -4 Povprečno vrednost izračunamo kot: Slika 7: Časovni potek toka, napetosti in moči p( t) ui ˆˆcos( ) ˆˆ u i ui cos I cos Povprečno moč imenujemo delovna moč. Faktor cos imenujemo faktor delavnosti. Delovno moč zapišemo z efektivnimi vrednostmi kot: Če zapišemo: 0 0.0 0.0 0.0 0.04 0.05 0.06 t / ms P I cos. cos( t ) cos( t ( )) in uporabimo matematični priročnik, kjer je zapisano: lahko zapišemo moč kot dva prispevka: u i u u i cos( ) cos( )cos( ) sin( )sin( ) p( t) uˆ iˆ cos ( cos( t )) ui sin sin t Za povprečne moči velja: ˆ ˆ u i u u i u p( t) p( t)

p () t P p ( t) 0 Maksimalni vrednosti moči p () t rečemo jalova moč. Velja: Za navidezno moč velja: Q I sin. S P jq I S P Q.4 Osnovni elementi v kompleksnem prostoru.4. por Za upor velja: Tok in napetost sta harmonični veličini: u( t) Ri( t ). i I cos( t ) u cos( t ) Enačbo za tok vstavimo v enačbo za napetost na poru: in zapišemo: Ker velja, da sta si fazi enaki: Velja enačba, zapisana z efektivnimi vrednostmi: u RI cos( t ) cos( t ) u IR cos( t ). u u RI. V kompleksnem prostoru lahko zapišemo tokove in napetosti na sledeč način: i * i u i i i i I cos( t ) j i I Ie, u u cos( t ) j u e. in zapišemo enačbo za upor v kompleksnem prostoru: 4

.4. Kondenzator Za kondenzator velja naslednja enačba: Odvajamo napetost in dobimo: Tok prehiteva napetost za 90, velja: ju ji e RIe RI RI. du i C. dt u cos t u i C sint u C cost u i u zapišemo: in dobimo: I cos t i Ccos t i I C. Podobno kot pri uporu tudi tukaj toku in napetosti določimo kazalca in zapišemo: i j( ) j u i I Ie Ce Pri čemer smo za I vstavili prejšnjo enačbo. poštevamo še korelacijo: in zapišemo: j u j ju e e e je j u ju I jce jc I jc X C.4. Tuljava Za tuljavo velja enačba: di u L. dt Odvajamo tok in dobimo 5

u LI sint i LI cost i Napetost prehiteva tok za 90, velja: u i. Zapišemo: in dobimo: u cos t u LI cos t u LI Podobno kot pri uporu in kondenzatorju tudi tukaj toku in napetosti določimo kazalca in zapišemo: u j( ) j i u j u e LIe LIe Pri čemer smo za vstavili prejšnjo enačbo. j jlie i jli jl I. Sedaj narišite kazalčne diagrame za upor, napetost in tok!.5 Trifazne veličine Trenutno moč v trifaznem sistemu zapišemo kot prispevek vsake faze posebej: Napetosti so: X L p ( t) u ( t) i ( t) u ( t) i ( t) u ( t) i ( t ). f L L L L L L u ( t) cos( t ) L u ( t) cos( t 0 ) L u ( t) cos( t 0 ) L Enako velja tudi za tokove. Za simetričen sistem velja, da so si amplitude in koti od vseh faz, enaki. Trenutna moč v simetričnem trifaznem sistemu je: Kompleksor navidezne moči pa je: kjer je mf medfazna vrednost napetosti! p ( ) cos( ) f t I u i. * * S f I mf I, 6 u u u

.6 Sistemi komponent V primeru nesimetričnih razmer lahko uporabimo pretvorbo v odgovarjajoče veličine novega sistema komponent, kjer je izračun enostavnejši in preglednejši. Z drugimi besedami nesimetričen sistem lahko s pretvorbo v simetrične komponente rešimo z uporabo simetričnih metod. Rezultate lahko s povratnimi pretvorbami spet prenesemo v originalni sistem, ki ga imenujemo tudi naravni sistem. Simetrične komponente izračunamo tako, da napetosti naravnega sistema pomnožimo s transformacijsko matriko [S]: [ s ] = [S][ f ] 0L L L a a a a L L L Pri tem smo definirali konstanto a, ki predstavlja zasuk v pozitivni matematični smeri za 0 : 0 j j0 0 0 a e e cos(0 ) jsin(0 ) j. 0L je prva faza ničnega sistema, L je prva faza pozitivnega (direktnega) sistema in L prva faza negativnega (inverznega) sistema. Poljuben nesimetričen trifazni sistem torej lahko zapišemo kot vsoto treh simetričnih sistemov: pozitivnega, negativnega in ničnega. Primer prikazuje naslednja slika: L L L L 0 0 0L= 0L= 0L L L L L L a) b) c) Slika 8: Grafični prikaz pretvorbe nesimetričnega sistema v simetrične komponente a) pozitivni, b) negativni ter c) nični sistem Velja tudi povratna transformacija iz sistema simetričnih komponent v sistem naravnih komponent: [ f ] = [T][ s ] in [I f ] = [T][I s ], pri čemer je [T] povratna transformacijska matrika: [T] = [S]. 7

Imaginarna os Imaginarna os Imaginarna os Imaginarna os u / V Iz internetne strani predmeta EEO prenesite programsko kodo za izris simetričnih komponent. Spreminjajte amplitude in kote naravnega sistema in opazujte spremembe pri izračunu simetričnih komponent. Primer izrisa: 400 00 0 Naravni sistem 400 00 0 Casovni potek napetosti prva faza - L druga faza - L tretja faza - L -00-00 -400 400-00 0 00 Realna os Nicni sistem -400 0 0.0 0.0 0.0 0.04 0.05 0.06 t / ms Direktni sistem Inverzni sistem 400 400 00 00 00 0 0 0-00 -00-00 -400-00 0 00 Realna os -400-00 0 00 Realna os -400-00 0 00 Realna os Slika 9: Programska koda izris simetričnih komponent V nadaljevanju so prikazani izračuni posebnih primerov nesimetrije..6. Simetričen sistem L L L a L a L L Zapišemo matrično enačbo in izračunamo: 0 L L L a a a L L a a al Pri čemer velja: 0L L a L a L L a a 0 0 0 j( 0 ) j(0 ) a a e e j j 0 8

Pri čemer velja: Pri čemer velja: a a a a L L L L L L 0 0 (60 ) (60 ) j j a a e e 4 4 L L a L a L L a a 0 4 a a a a a a 4 a a a a j j 0 Vidimo, da sta pri pretvorbi naravnega sistema, ki je simetričen, v simetrične komponente, nični in negativni sistem enaka nič. Pozitivni sistem pa je enak naravnemu sistemu..6. Enofazni sistem L L L L 0 0 Zapišemo matrično enačbo in izračunamo: 0L L L a a 0 L a a 0 0L L L L L L.6. Manjka tretja faza L Zapišemo matrično enačbo in izračunamo: L L a L L L 0 9

Pri čemer velja: Pri čemer velja: 0 L L L a a a L L a a 0 0 a a a 0L L L L L a a 0 a a 0 L L a L L a L 4 a 0 a a L L L L L a 4 a, a a 0 a a Množenje vektorja a z - povzroči preslikavo skozi koordinatno izhodišče, kar prikazuje slika 0. a Im 0 60 0 60 Re -a Slika 0: Vektor a in -a.6.4 Nasproti ležeča fazorja Zapišemo matrično enačbo in izračunamo: L L L L L 0 0L L L a a L L a a 0 0L L L 0 0 0

L L al 0 L a L j L j L j L j L j L j j j j L j j La Na podoben način kot pri izračunu L, izračunamo še L : 0 L L a L L a j L j La.6.5 Dva polovična fazorja ležita nasproti fazorju L Zapišemo matrično enačbo in izračunamo: L L L L L L L 0L L a a L L a a L 0 L L 0 L L L L a L a L L a a L j j L L L L a L a L L a a L

VAJA - Sistemi komponent. Navodila za vajo Imamo trifaznega porabnika s podano impedančno matriko: L L L I L I L I L [Z f ] Slika : Trifazni porabnik Z p Z m Z m Z f Z m Z p Z m Ω Z m Z m Z p Z p =(0+j0) Ω Z m =(5+ j0) Ω Na priključnih sponkah izmerimo naslednji vektor faznih napetosti: 77 0 60-0 [ f ]= V 95 5 Grafično določite simetrične komponente napetosti, nato pa izračunajte še: matriko faznih tokov [ I f ] simetrične komponente impedančne matrike [ Z s ] simetrične komponente napetosti in toka [ I s ], [ s ] diagonalne komponente napetosti in toka [ I d ], [ d ].. Grafična določitev simetričnih komponent napetosti Za določitev simetričnih komponenta moramo najprej definirati transformacijsko matriko [S], ki služi za preslikavo iz naravnega v sistema v sistem simetričnih komponent in vektor a, ki predstavlja zasuk za 0 v pozitivni matematični smeri.

a a a a S 0 j e a j 40 j e a j Simetrične komponente izračunamo tako, da napetosti naravnega sistema pomnožimo s transformacijsko matriko [S]: [ s ] = [S][ f ] 0 L L L L L L a a a a 0 L L L L L L L L L L L L a a a a Najprej narišemo naravni sistem: L L L 5 0 5 Slika : Vektorji napetosti v naravnem sistemu

Nato narišemo nični sistem. porabimo enačbo: 0L L L L. Najprej narišemo vektor napetosti L in mu prištejemo vektorja L in L. Vsoto teh treh vektorjev nato pomnožimo še z. S tem dobimo vektor ničnega simetričnega sistema 0L. Dopišemo še preostala dva vektorja napetosti 0L in 0L, ki sta v fazi s prvim vektorjem 0L. S tem smo dobili celotno sliko ničnega simetričnega sistema. L L L L 0L 0L 60 0L L L 55 Slika : Grafična določitev ničnega sistema Za izris pozitivnega sistema uporabimo enačbo: L L a L a L. Podobno kot pri prejšnjem primeru, seštevamo vektorje L, L in L, ki pa jih po potrebi pred seštevanjem pomnožimo z a ali a in s tem zasukamo za 0 ali 40. Da dobimo končno obliko pozitivnega simetričnega sistema, moramo vektorju L dodati še preostala vektorja napetosti, ki sta zamaknjena za 0. S tem dobimo simetričen sistem, ki ima smer vrtenja v enaki smeri kot naravni sistem. 4

L 0 0 0 L L a L a L L a L a L L Za izris pozitivnega sistema uporabimo enačbo: Slika 4: Grafična določitev pozitivnega sistema L L a L a L. Negativni sistem narišemo na enak način kot pozitivnega. Vektorji napetosti so simetrični, kar pomeni medsebojni zamik za 0, pri čemer pa je smer vrtenja obrnjena! 65 a L a L L L L L a L a L L 0 Slika 5: Grafična določitev negativnega sistema 5

Opozoriti je potrebno, da zaradi boljše razvidnosti, slike, in 4 niso povsem v merilu glede na začetno sliko.. Izračun matrike faznih tokov [ If ] Za izračun matrike faznih tokov [ I f ] potrebujemo matriko faznih napetosti [ f ] in impedančno matriko [ Z f ], ki ju imamo podana: 0 + j0 5 + j0 5 + j0 77 0 [Z f ] = [ 5 + j0 0 + j0 5 + j0 ] Ω [ f ] = [ 60 0 ] V 5 + j0 5 + j0 0 + j0 95 5 porabimo enačbo: [ f ] = [Z f ][I f ], ki jo je potrebno preoblikovati. Pri množenju matrik moramo upoštevati matematična pravila, pri čemer je pomemben vrstni red matrik v enačbi! porabiti moramo inverzno matriko impedančne matrike [ Z f ]: [I f ] = [Z f ] [ f ] 77 cos 0 j sin0 77 f 60 cos( 0) j sin( 0) 0 j5,7 V 95 cos5 jsin5 4,67 67,6 9,87 j,7 4,7 66,0 I f Zf f 4,4 j,8 4,46 76,76 A 5,9 j0,66 5,64 5,66.4 Določitev simetričnih komponent impedančne matrike [ Zs ] Za izpeljavo enačbe za izračun simetričnih komponent impedančne matrike [ Z s ] moramo najprej zapisati nekaj splošnih enačb. Velja enačba: [ f ] = [Z f ][I f ], 6

pri čemer jo lahko zapišemo tudi v sistemu simetričnih komponent z izrazom: [ s ] = [Z s ][I s ]. Velja tudi povratna transformacija iz sistema simetričnih komponent v sistem naravnih komponent: [ f ] = [T][ s ] in [I f ] = [T][I s ], pri čemer je [T] povratna transformacijska matrika: [T] = [ a a ] oziroma [T] = [S] a a Pozorni moramo biti na zapis matrike [T], ki je brez, ki nastopa pri matriki [S]. Nato lahko izračunamo: [ f ] = [Z f ][I f ], [T][ s ] = [Z f ][T][I s ]. Izraz pomnožimo s [T] in dobimo: [ s ] = [T] [Z f ][T][I s ]. Če namesto izraza [T] [Z f ][T] zapišemo [Z s ], dobimo izraz [ s ] = [Z s ][I s ]. Namesto [T] zapišemo še [S]. S tem dobimo enačbo za izračun simetričnih komponent impedančne matrike [ Z s ]: [Z s ] = [S][Z f ][T]. Izraz [Z s ] ima standardno obliko, ki je: Z p + Z m 0 0 [Z s ] = [ 0 Z p Z m 0 ]. 0 0 Z p Z m Izvendiagonalni členi so vedno nič, drugi in tretji člen v diagonali pa sta enaka. 7

Vstavimo podatke in izračunamo [ Z s ]: [Z s ] = Z p Z m Z m [ a a ] [ Z m Z p Z m ] [ a a ] a a Z m Z m Z p a a 0 + j70 0 0 [Z s ] = [ 0 5 + j0 0 ] Ω 0 0 5 + j0 Rešitev preverimo s tem, da pogledamo ali so izvendiagonalni res nič. Prav tako sta drugi in tretji člen v diagonalni vrstici enaka..5 Določitev simetričnih komponent napetosti in toka [ Is ] in [ s ] Simetrične komponente napetosti in toka dobimo tako, da fazne napetosti in tokove pomnožimo s transformacijsko matriko [S]. 7,44 j4,06 5,9 6, s S f 76,96 j8,57 77,09,77 V 7,4 j5,49 9, 4,4 0, j0,05 0,,94 I s S I f 0,9 j,5 4,78 65, A 0,74 j0,7 0,8 5,5.6 Določitev diagonalnih komponent napetosti in toka [ Id ] in [ d ] Diagonalne komponente napetosti in toka dobimo tako, da fazne napetosti in tokove pomnožimo s transformacijsko matriko [K]. Matrika [K] je: K 0 7,44 j4,06 5,9 6, d K f 69,56 j4,06 69,9,99 V,08 j84,6 84,8 90,6 8

0, j0,05 0,,94 I d K I f 9,66 j, 4,4 66,4 A,87 j, 5,44 54,05.7 Zaključek V primeru nesimetričnih razmer lahko uporabimo pretvorbo v odgovarjajoče veličine novega sistema komponent, kjer je izračun enostavnejši in preglednejši. Z drugimi besedami nesimetričen sistem lahko s pretvorbo v simetrične komponente rešimo z uporabo simetričnih metod. Rezultate lahko s povratnimi pretvorbami spet prenesemo v originalni sistem, ki ga imenujemo tudi naravni sistem. poraba simetričnih komponent je nepogrešljiva pri izračunu kratkih stikov, kjer lahko pride v sistemu do večjih nesimetrij. Za analizo prehodnih pojavov in predstavitev električnih strojev so bile razvite še druge pretvorbe, kot so npr. diagonalne ali dvoosne komponente. V primeru, da je naravni sistem simetričen in ga preslikamo v simetrične komponente, se izkaže, da je pozitivni sistem enak naravnemu, nični in negativni sistem pa sta enaka nič. V primeru, da povečujemo nesimetrijo, se povečujeta nični in negativni sistem, pozitivni sistem pa se manjša. Glede na to, da je nesimetrija pri podanem primeru majhna (sistem je skoraj simetričen) lahko že pred izračunom pričakujemo, da bo pozitivni sistem velik, nični in negativni pa majhna. Grafično določene simetrične komponente potrjujejo to dejstvo. 9

4 VAJA Električni parametri vodov 4. Navodila za vajo Za daljnovod napetosti 750 kv v Južni Afriki z vodniki 6 x Al/Fe 490/65 mm Al/Fe0/70 mm določite naslednje parametre: direktno upornost R (), nično upornost R 0 (), direktno reaktanco X (), nično reaktanco X 0 (), direktno kapacitivnost C (F), nično kapacitivnost C 0 (F), polnilno moč Q P (Mvar), naravno moč P n (MW), karakteristično impedanco Z C () in termično moč S th (MVA) za trajno in kratkotrajno obremenitev. in zaščitno vrvjo Daljnovod je dolg 400 km. ZV ZV a a z z a a h h hz h Geometrijski podatki: Slika 6: Prečni prerez daljnovoda a =8 m h =5 m a Z =5 m a =0 m h =5 m h Z =40 m a =8 m h =5 m f=0.0 m (poves) 40

4. Potrebne enačbe za izračun 4.. impedanca, admitanca (na enoto dolžine) Model voda s koncentriranimi parametri je mogoče predstaviti z nadomestnim T ali π vezjem. Navadno se uporablja π vezje, ki ga prikazuje slika 7. I Z Y Y Slika 7: Nazivni π model voda s koncentriranimi parametri Parametri π člena daljnovoda so upornost R, reaktanca X, susceptanca B in prevodnost G. Po navadi jih podajamo na enoto dolžine (Ω/m), kar označimo s črtico ali pa z malo pisano črko. Serijska impedanca in prečna admitanca sta definirani kot: Z ' R ' jx ' Y ' G ' jb ' 4.. Ohmska upornost (rezistanca) Omsko upornost za vodnik izračunamo s pomočjo enačbe: ' R A (Ω/m) kjer je A električni aktivni prerez vodnika (mm ) ter ρ specifična omska upornost (Ω mm /m), ki je odvisna od vrste materiala. Pri vrvi Al/Je upoštevamo le prerez Al. Aluminij ima prevodnost veliko večjo od železa, zato predpostavimo, da ves električen tok teče samo po aluminiju. Ta predpostavka sicer ne drži popolnoma, saj del električnega toka teče tudi po jeklu, vendar s to poenostavitvijo ne naredimo velike napake. Tabela : Specifična ohmska upornost materialov material ρ nω m Cu 6,8 Al 8, Je 0 AlMg 5,5 AlMgSi 6,0 4

4... Simetrične komponente upornosti Pri izračunih nas zanimajo direktna upornost, inverzna upornost in nična upornost. Direktna upornost je definirana kot: Al R ' R ' A Al in nična upornost kot: R 0' R' R zem'. Ker trifazni daljnovodi nimajo nevtralnega vodnika, nastopajo nične komponente tokov le pri zemeljskih stikih. Zanimivo je, da pri nizkih frekvencah ohmska upornost zemlje ni odvisna od specifične prevodnosti tal, temveč le od obratovalne frekvence. Zapišemo lahko: R ' f 0 Ω/km f 50 Hz : R ' 0,05 Ω/km zem zem in dobimo: R 0' R' 0,5 Ω/km. 4.. Induktivnost (reaktanca) Induktivnost znotraj vodnika: L n 4 ' 0 H/km Induktivnost zunaj vodnika (do vodnika na razdalji d): 4 d Lz ' 0 ln H/km r v pri čemer moramo upoštevati, da je dejanski radij vodnika r v enak:, A rv kjer je A celotni presek (A Al + A Fe ). Skupna induktivnost je nato: 4 d L' Ln' Lz' 0 ln H/km 4 rv ln e 4 0,5 4 d 4 d L' 0 ln 0 ln H/km 4 rv re 4

V izrazu za izračun induktivnosti nastopa člen r e, ki ga imenujemo ekvivalentni polmer in ga izračunamo z množenjem dejanskega radija faznega vodnika z ekvivalentnim faktorjem. Z ekvivalentnim polmerom smo v koeficient lastne indukcije vključili še notranjo induktivnost vodnika. Daljnovodne vrvi so sestavljene iz večjega števila žic, kar vpliva na r e. Velja enačba: r n d... d, e nn kjer je n število žic in d razdalja med vodniki. Podatke za r e razberemo iz tabel (glej tabelo 4). Zaradi boljših mehanskih lastnosti notranji del vodnika vsebuje jeklene vrvi (glej sliko 8), ki pa so slabši prevodnik kot aluminij. Vrvi so v spirali in vsak sloj ima drugačno smer, da se sklopi boljše držijo skupaj. Pletene vodnike se uporablja zaradi boljše prožnosti in lažje izdelave. Slaba lastnost pletenih vrvi pa je, da se upornost vodnika poveča, ker so zunanji vodniki daljši zaradi spiralaste oblike. Dva sloja vrvi iz aluminija (spiralno v različnih smereh) Notranjost vodnika iz jeklenih vrvi Za polni vodnik velja: Slika 8: Pleteni vodnik 4 d L' 0 ln H/km r e 0.5 pri čemer je r r e 0,779 r (aproksimacija s cevjo s tanko steno). e v v Za pleteno vrv velja: 4 d L' 0 ln H/km r e = f e r v (faktor f e odčitamo oz tabele). r e Tabela 4: Ekvivalentni polmer daljnovodnih vrvi glede na njihove geometrijske polmere vrvi: Al/Fe AlMg/Fe vrvi Al, Je, Cu in AlMg prerezi (mm ) št. plasti f e 50/0, 75/80, 95/55, 0/70 0,55 0,700 70/, 60/57 0,809 70/40, 40/55, 50/80, 490/0 0,86 490/65 0,80 0 50 0,76 70 0 0,758 50 85 0,768 40 500 0,77 masivni vodnik 0,779 4

Če je posamezna faza sestavljena iz snopa večjega števila vrvi (glej sliko 9), moramo polmer vodnika nadomestiti z ekvivalentnim polmerom snopa. a r d r v n = 8 Slika 9: Snopasti vodniki Za snopasti vodnik iz dveh ali več vrvi velja: 4 d L' 0 ln H/km r es n n n n es v ii e d i r r a n r r. kjer je r e ekvivalentni radij enega faznega vodnika, a razdalja med vodniki (v večini primerov je to standardna razdalja 40 cm) in r d radij, po katerem so razporejeni vodniki a rd. sin n Za različno število vodnikov v snopu lahko zapišemo enačbe: vrvi v snopu: r r a es vrvi v snopu: r r a es 4 vrvi v snopu: r r a es e e 4 e Z uporabo snopastih vodnikov se zmanjša jakost električnega polja na površini vodnika, kar ima za posledico zmanjšanje korone. Poveča se tudi ekvivalentni radij in s tem zmanjša induktivnost. Če želimo povečati ekvivalentni radij, lahko to storimo tudi z uporabo različnih vodnikov. ACSR vodnikom (Aluminium conductor with steel reinforcment) se med jeklenim jedrom aluminijastem plaščem npr. doda različne materiale iz vlaknin, s čimer povečamo ekvivalentni radij. 44

4..4 Induktivnost pozitivnega in negativnega sistema za trifazni vodnik Za izračun direktne induktivnosti veljata enačbi: 4 d L ' 0 ln H/km vod simetričen (enake razdalje med vodniki) r e 4 dsr L ' 0 ln H/km vod ni simetričen. r e Poleg upoštevanja ekvivalentnih polmerov vodnikov in snopastih vodnikov, moramo pri trifaznih vodnikih upoštevati še razdalje med faznimi vodniki. V primeru, da vod ni simetričen, moramo za izračun induktivnosti izračunati srednjo geometrijsko razdaljo, ki je: d sr d ab d bc d ac Razdalje d, d ab, d bc in d ac so prikazane na sliki 0. c d d d ac a d b dab dbc a b c Slika 0: Simetrični in nesimetrični trifazni sistem Za izračun direktne reaktance trifaznega vodnika moramo moramo induktivnost 4 dsr X ' L' f 0 ln Ω/km r dsr X ' 0,445 log Ω/km. r 4..5 NIČNA REAKTANCA brez zaščitne vrvi: e e L ' pomnožiti z : Najprej izračunamo nično reaktanco kot, da zaščitne vrvi ni. Šele nato jo z izrazi v nadaljevanju korigiramo z upoštevanjem zaščitne vrvi. dc X0 ' 0,445 log r d e sr kjer je r d e sr ekvivalentni radij celotnega f voda in d c carsonova razdalja, ki nam pove kako globoko v odvisnosti od specifične upornosti tal segajo magnetne silnice v zemljo. pornost zemlje odčitamo iz tabele. d 9, d 658 c z c z f 45

Pri čemer je ρ z upornost zemlje. pornost zemlje je odvisna od terena. Približni podatki so podani v tabeli 5. Če ni drugače navedeno, upoštevamo povprečno vlažno zemljo. Tabela 5: pornost zemlje v odvisnosti od terena teren ρ z [Ωm] d c [m] voda 0.0 9.5 95 močvirje 0-00 00-950 povprečno vlažna zemlja 00 90 suha tla 000 000 škrilavec 0 7 0.*0 6 peščenjak 0 9 *0 6 4..6 SIMETRIČNE KOMPONENTE IMPEDANCE brez zaščitne vrvi Sedaj imamo vse potrebne podatke za izračun direktne in nične impedance brez zaščitne vrvi: dsr Z ' R ' j 0,445 log d d d d r Z ' R ' R ' j 0,445 log 0 zem e sr ab bc ac d d c sr r e Ker vemo, da je izraz za matriko simetričnih impedanc enak: Zl Zm 0 0 ZS 0 Zl Zm 0 0 0 Zl Z m sledi: Z Z Z 0 l l m Z Z Z Z m kjer so Z 0 nične impedanca, Z direktna impedanca, Z inverzna impedanca, in Z l lastna impedanca Z m medsebojna impedanca. Iz teh dveh izrazov lahko določimo še lastno in medsebojno impedanco, ki ju potrebujemo pri izračunu simetričnih impedanc z zaščitno vrvjo: d Zl ' R ' Rzem ' j 0,445 log r d Zm ' Rzem ' j 0,445 log d c sr c e 46

4..7 SIMETRIČNE KOMPONENTE IMPEDANCE z zaščitno vrvjo Zaščitna vrv je ozemljena, zato se v njej pojavljajo nični tokovi. Zaščitna vrv zato vpliva le na nično impedanco, obratovalna impedanca ostane nespremenjena. Zapišemo korekcijo nične impedance zaradi zaščitne vrvi: Zzm ' Zzm ' 0z ' l ' m ' 0' Zz' Zz' Z Z Z Z d Zz ' Rzv ' Rzem ' j 0,445 log r Z ' R ' j 0,445 log zm zem c ez d c d d d azv bzv czv Kjer je dazv dbzv d czv srednja geometrijska razdalja med vodniki in zaščitno vrvjo. Razdalje d azv, d bzv in d czv so razdalje med vodniki in zaščitno vrvjo, Z z ' lastna impedanca zaščitne vrvi in Z zm ' medsebojna impedanca zaščitne vrvi na enoto dolžine. 4..8 Kapacitivnost Podobno kot pri upornostih in reaktancah, želimo določiti simetrične komponente kapacitivnosti C ', C ' in 0 C '. Kapacitivnost je snovno-geometrijska lastnost prostora. Povsod kjer lahko določimo napetost med dvema prevodnima površinama in kjer obstaja električna povezava, imamo kondenzator. Vodniki proti zemlji in med seboj tvorijo kondenzator na katerem se nabere elektrina (glej sliko ). Pri sistemu vodnik-zemlja tvori zemlja isto polje kakor zrcalna slika vodnika. L ' C V ' C V ' C Z L ' C V ' C Z ' C Z L Slika : Delne kapacitivnosti pri enosistemskem vodu brez zaščitne vrvi Izraz za kapacitivnost voda je naslednji: C ' F/km dsr 6 dsr ln 0 8 ln r r ec ec 47

pri čemer za enojne vodnike velja, da je r r (drugače kot pri računanju induktivnosti!). V primeru snopastih vodnikov velja enačba: ec n n ec v d v r n r r Pogosto se uporablja kapacitivna prevodnost: 6 7,58 0 b' C' S/km d log sr r ec 4..9 Simetrične komponente kapacitivnosti Pri izračunu simetričnih komponent kapacitivnosti moramo upoštevati tudi razdalje do navideznih vodnikov, kar prikazuje slika. b i d (h h ) ij i j c d cb d ac d ab a d ij j (h h ) i j h i H cc Hac H ab Haa H ii H ij H jj H bb c a j b Slika : Geometrija voda Najprej izračunamo: d sr srednjo geometrijsko razdaljo med vodniki, H l srednjo lastno razdaljo vodnikov do zrcalne slike, H m srednjo medsebojno razdaljo vodnikov do zrcalne slike. i 48

d d d d sr ab bc ac H H H H l aa bb cc H H H H m ab bc ac H aa h a Za višino vodnika vzamemo višino obesišča zmanjšano za / povesa: h hoz f. Višine do zrcalnih slik določimo enostavno z uporabo Pitagorovega izreka: H ( h h ) d ( h h ) ij j i ij j i Srednja lastna razdalja vodnikov do zrcalne slike je tako: H 4h h d ij j i ij Sedaj imamo vse potrebne podatke za izračun direktne kapacitivnosti in nične kapacitivnosti brez zaščitnega vodnika: 6 0 C' C' F/km d sr Hl 4,4 log rec Hm Vidimo, da se prispevek zemlje nahaja v dveh veličinah, to sta H l in H m. Višji kot je daljnovod manjše so razlike med tema dvema členoma (glej sliko ) in s tem je manjši vpliv zemlje. V primeru, da sta izraza enaka, ju lahko okrajšamo in dobimo osnovno enačbo za kapacitivnost voda. Nična kapacitivnost brez zaščitnega vodnika: 6 0 C0 ' F/km H mhl 4,4 log rec dsr Z upoštevanjem zaščitnega vodnika moramo enačbo za nično kapacitivnost nekoliko korigirati. poštevamo podatke iz tabele 6 in dobimo: 6 0 C0 ' F/km Hzm log HmHl dzm 4,4 log rec d H sr z log rezc 49

Tabela 6: Geometrijski parametri z upoštevanjem zaščitne vrvi veličina zaščitna vrv zaščitni vrvi H zm d zm H z H d az Hbz H 6 cz az dbz d 6 cz H d H H H H H az bz cz az bz cz d H zz H z H z r ezc r z rez dz z d d d d az bz cz az bz cz Izraz r ezc, ki se nahaja v tabeli, predstavlja ekvivalentni radij snopa zaščitnih vodnikov za izračun kapacitivnosti. Izraz H z H z predstavlja povprečno višino dveh zaščitnih vrvi. 4..0 Polnilna moč voda Polnilna moč voda je moč, ki se akumulira v kapacitivnostih: Q C' b' n MVar/km 4.. Karakteristična impedanca voda Ko je vod priključen na nazivno napetosti in je na bremenski strani priključena karakteristična impedanca, teče v vod naravna moč. V takem primeru ne prejema in ne oddaja reaktivne moči, napetost vzdolž voda je konstantna (glej sliko ). Z C I f x b če upoštevamo L in C, dobimo: d Z 60 ln sr C r 4.. Naravna moč voda ec L C P n f Z Z C n C 50