ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΚΑΤΑ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ Θεωρούμε το σύστημα με συνάρτηση μεταφοράς G(s διεγείρεται από το σήμα με μετασχηματισμό Laplace έξοδος του συστήματος θα είναι με δύο συζυγείς φανταστικούς πόλους jω και jω. Η και αναλυόμενη σε κλάσματα γράφεται όπου p, p,.. p n οι πόλοι της G(s. Για να είναι το σύστημα σταθερό πρέπει οι πόλοι p, p, p n να βρίσκονται στο αριστερό μιγαδικό ημιεπίπεδο δηλ. να είναι της μορφής p=-σ±jω. Άρα η χρονική απόκριση θα είναι της μορφής pt p t p t j ω t ω j t n n y(t = c e + c e +...c e + c'e + c"e με τους όρους ce pt σt ± jωt = ce e να είναι φθίνοντες χρονικά (λόγω του είναι ce σt και επομένως στη σταθερή κατάσταση η απόκριση του συστήματος θα jωt ω j t ω c' c" y ss(t = c'e + c"e και Y ss(s = R G(s = +. Οι συντελεστές c' και s +ω s jω s+ jω G(j ω c"υπολογίζονται ως γνωστόν από τις σχέσεις c' = lim (s j ωυ (s = R και s ω j j c" = lim (s + j ωυ (s = R s jω G( ω j. Έτσι έχουμε j jωt ω j t G(j ωe G( ω j e y ss(t = R και αν οι j G(jω, G(-jω γραφούν με πολική μορφή G(jω = G(jω e καταλήγουμε στη σχέση (t R G(jω sin[ ωt + φ( ω ] yss =. jφ( ω και G( jω = G(jω e jφ( ω Η σχέση αυτή μας δείχνει ότι για ημιτονική είσοδο έχουμε επίσης ημιτονική έξοδο με ίδια συχνότητα αλλά με άλλο μέτρο και φάση μετατοπισμένη κατά φ(ω που είναι το όρισμα της συνάρτησης G(jω. Η συνάρτηση G(jω ονομάζεται συνάρτηση μεταφοράς κατά συχνότητα. ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ NYQUIST Το διάγραμμα Nyquist παριστάνει τη συνάρτηση μεταφοράς G(jω στο μιγαδικό s-επίπεδο RealG(jω-Imag(Gjω με παράμετρο τη συχνότητα ω. K(+ jωτn (+ jωτn...(+ jωτni Για τη συνάρτηση μεταφοράς G (jω = ρ ' ' ' ενός ανοικτού (jω (+ jωτd (+ jωτd...(+ jωτdj συστήματος ισχύουν: π Για j+r>i και r έχουμε lim G(jω =, lim G(jω = r, lim G(jω =, και ω ω ω π lim G(jω = ( µ ρ ν. ω Αν δεν έχουμε ολοκληρωτικό παράγοντα δηλ. ρ= ισχύουν: lim G(jω = K, lim G(jω =. ω ω π o Αν επιπλέον µ<ν έχουμε lim G(jω = και lim G( j ω = ( µ ν, ενώ ω ω ΚΤΤ... Τµ o αν επιπλέον µ=ν έχουμε lim G( j ω = και lim ω ΤΤ ' ' '... G( j ω =. Τ ω ν σελ.
Ανηγμένη συχνότητα u ονομάζεται ο λόγος της μεταβλητής συχνότητας ω και μιας συχνότητας αναφοράς ω. Η σταθερά ενίσχυσης Κ αλλάζει απλά τη κλίμακα των αξόνων (την πολλαπλασιάζει επί Κ επειδή είναι ανεξάρτητη της συχνότητας. Αν διαθέτουμε το διάγραμμα Nyquist της G(s, μπορούμε εύκολα να σχεδιάσουμε το διάγραμμα της, όταν για κάθε συχνότητα πάρουμε για μέτρο της αντίστροφης το αντίστροφο του μέτρου G(s της G(s και σαν όρισμα το αντίθετο του ορίσματος της G(s. Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται το διάγραμμα Nyquist της συνάρτησης G(jω με τη βοήθεια του προγράμματος Matlab. Στο σχήμα φαίνονται τα περιθώρια ενίσχυσης K π ( Kπ = όπου ΟΑ το ευθύγραμμο τμήμα με άκρα το σημείο OA (, και το σημείο τομής της καμπύλης G(jω με τον οριζόντιο άξονα και φάσης φ π (η γωνία που σχηματίζεται από τον οριζόντιο άξονα και το ευθ. τμήμα με αρχή το (, και τέλος το σημείο τομής της γραφικής παράστασης με τον μοναδιαίο κύκλο και εξηγούνται στη συνέχεια των σημειώσεων στη σελ. 5. Κλειστό σύστημα με μοναδιαία ανατροφοδότηση Y(j ω G(j ω Έστω η συνάρτηση μεταφοράς κλειστού συστήματος F(j ω = = = M. Η τιμή του R(j ω + G(j ω Μ παριστάνει το μέτρο της συνάρτησης μεταφοράς F(jω του κλειστού συστήματος για μια ορισμένη συχνότητα. Ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του G(jω=x+jy επιπέδου για τα οποία το μέτρο Μ είναι σταθερό είναι μια περιφέρεια κύκλου (απολλώνιος κύκλος. Για Μ= ο γ.τ. είναι μια ευθεία κάθετη στον άξονα των χ στο σημείο,. Για Μ< οι κύκλοι βρίσκονται δεξιά της ευθείας αυτής και για Μ= ο κύκλος εκφυλίζεται στο σημείο (,. Για Μ> οι κύκλοι βρίσκονται αριστερά της παραπάνω ευθείας και για Μ, ο κύκλος εκφυλίζεται στο σημείο (-,. σελ.
Ο γ.τ. επίσης των σημείων για τα οποία η συνάρτηση μεταφοράς F(jω του κλειστού συστήματος έχει σταθερή φάση Φ=argF(jω είναι επίσης περιφέρεια κύκλου. Όλοι οι κύκλοι για τις διάφορες τιμές του Φ, διέρχονται από τα σημεία (-, και (,. Η γωνία Φ μετριέται κατά τη ανάστροφη φορά και επομένως είναι πάντοτε αρνητική. Για τα τόξα των περιφερειών σταθερού Φ που βρίσκονται κάτω από τον άξονα των πραγματικών αριθμών, η γωνία θεωρείται ότι παίρνει τιμές στο διάστημα (, -8, ενώ για τα τόξα που βρίσκονται πάνω από τον άξονα των πραγματικών αριθμών στο διάστημα (-8, -36. Έτσι μπορούμε να προσδιορίσουμε αμέσως τη φάση της συνάρτησης μεταφοράς του κλειστού συστήματος από τη τομή του διαγράμματος Nyquist του ανοικτού συστήματος (καμπύλη G(jω και της αντίστοιχης περιφέρειας σταθερής φάσης Φ. Στο παρακάτω σχήμα φαίνονται οι περιφέρειες σταθερού Μ. M M M x M M M M M x M M 4..5.7 3..4..5.8.6.8 3..5.7..5.8 3 7 6 5 4 3.8.6.4 3. Αντίστροφα διαγράμματα Nyquist Ο γ.τ. των σημείων του =x+jy επιπέδου για τα οποία η F(jω έχει σταθερό μέτρο Μ είναι G(j ω κύκλος με κέντρο το σημείο (-, και ακτίνα. Επίσης ο γ.τ. των σημείων για τα οποία η F(jω Μ έχει σταθερή φάση Φ, είναι ευθείες διερχόμενες από το ίδιο σημείο. Οι ημιευθείες σταθερού Φ που βρίσκονται κάτω από τον άξονα των πραγματικών αριθμών, χαρακτηρίζονται από γωνίες στη περιοχή (-36, -8, ενώ αυτές που βρίσκονται πάνω από τον πραγματικό άξονα από γωνίες στο διάστημα (-8,. Έτσι προσδιορίζουμε αμέσως τη φάση της συνάρτησης μεταφοράς κλειστού συστήματος από τη τομή του αντίστροφου διαγράμματος Nyquist του ανοικτού συστήματος (καμπύλη G - (jω και της αντίστοιχης περιφέρειας σταθερής φάσης Φ. σελ. 3
Καμπύλη απόκρισης κλειστού συστήματος Από τα σημεία τομής του διαγράμματος G(jω και των περιφερειών σταθερού Μ βρίσκουμε κάθε φορά ένα ζευγάρι τιμών για το Μ (περιφέρεια και το ω (παράμετρος της G(jω. Βρίσκοντας αρκετά ζευγάρια τιμών (Μ, ω κατασκευάζουμε τη καμπύλη απόκρισης του κλειστού συστήματος από τη καμπύλη του ανοικτού συστήματος. Παρόμοια κατασκευάζουμε και τη καμπύλη φάσης του κλειστού συστήματος από τη καμπύλη G(jω ή και των καμπύλων σταθερού Φ. Στη καμπύλη G(j ω απόκρισης διακρίνουμε ένα μέγιστο το M p που αντιστοιχεί στη συχνότητα ω p και αναφέρεται στη περιφέρεια που εφάπτεται της G(jω. Αν η G(jω περνάει από το σημείο (-, το Μ p ή αριστερότερα απ αυτό (π. χ. με αύξηση του Κ και το σύστημα καθίσταται ασταθές. Ένα άλλο χαρακτηριστικό της καμπύλης απόκρισης είναι το εύρος ζώνης Β, που είναι το εύρος συχνοτήτων από έως τη συχνότητα ω b που αντιστοιχεί στη τιμή του μέτρου M( ω = ή -3dB log 3. G( w. w w. i F( w G( w G( w 3.4.5.88.6 F( w arg( F( w.63.63.6.88.5 3.4. w Στα διαγράμματα φαίνονται η γραφική παράσταση του μέτρου και της φάσης της F(jω ενός κλειστού συστήματος με μοναδιαία ανατροφοδότηση και απ ευθείας συνάρτηση μεταφοράς G(s =, όπως επίσης και το διάγραμμα Nyquist και η βηματική απόκριση της. s(s + σελ. 4
.5 db db Nyquist Diagram - db Imaginary Axis.5 4 db 6 db db db - db - db -6 db -4 db System: sys Phase Margin (deg: -8 Delay Margin (sec: Inf At frequency (rad/sec: Closed Loop Stable? Yes -.5 - System: sys Phase Margin (deg: 6 Delay Margin (sec:. At frequency (rad/sec:.866 Closed -.5 Loop Stable? Yes - -.5.5 System: sys.5 Peak gain (db: 3.59 Real Axis Frequency (rad/sec:.6 System: sys Peak gain (db: 3.59 Bode Diagram At frequency (rad/sec:.6 Magnitude (db -5 - -5 Phase (deg - -5-45 -9-35 System: sys Phase Margin (deg: 6 Delay Margin (sec:. At frequency (rad/sec:.866 Closed Loop Stable? Yes -8 - Frequency (rad/sec σελ. 5
System: sys Time (sec: 4.83.4 Amplitude:.3 Step Response. Amplitude.8.6.4. 5 5 5 Time (sec Κλειστά συστήματα με μη μοναδιαία ανατροφοδότηση G(s G(sH(s Όπως είναι γνωστό τότε έχουμε F(s = = = F (s. + G(sH(s H(s + G(sH(s H(s Για τη κατασκευή της χαρακτηριστικής καμπύλης απόκρισης του συστήματος βρίσκουμε αρχικά τη συνάρτηση F (s σχεδιάζοντας την γραφική παράσταση της G(sH(s και κατόπιν βρίσκουμε τη τιμή του γινομένου Η - (sf (s=f(s για διάφορες τιμές της συχνότητας ω. Σχέση μεταξύ αρμονικής και χρονικής απόκρισης ενός συστήματος Η ποιότητα ενός συστήματος κρίνεται συνήθως από τις επιδόσεις της χρονικής του απόκρισης σε είσοδο βαθμίδας. Τα σπουδαιότερα χαρακτηριστικά τότε είναι: ο χρόνος ανύψωσης Τ r και η υπερύψωση M m που αντιστοιχεί στο πρώτο μέγιστο της καμπύλης της χρονικής απόκρισης. Όσο μεγαλύτερο είναι το εύρος ζώνης Β, τόσο μικρότερος είναι ο χρόνος ανύψωσης και επομένως ταχύτερο το σύστημα. Όταν μάλιστα M m <., πειραματικά βρίσκουμε ότι T r B=.3-.45 (T r σε sec και Β σε c/sec, με αμελητέα υπερύψωση στη περιοχή.3-.35 και ποσοστό υπερύψωσης % κοντά στο.45. Αυξανόμενης της τιμής M p αυξάνει αντίστοιχα και η τιμή της υπερύψωσης M m, ενώ για Mp.3, τα δύο μεγέθη είναι περίπου ίσα. Η τιμή αυτή χρησιμοποιείται στη πράξη. Για συστήματα των οποίων το διάγραμμα της συνάρτησης μεταφοράς βρόχου G(jω τέμνει μόνο μια φορά τον άξονα των πραγματικών αριθμών στο σημείο Α και τον μοναδιαίο κύκλο κέντρου (, στο σημείο Β, ορίζουμε: o περιθώριο ενίσχυσης, τη ποσότητα Kπ = που δείχνει το επιπλέον ποσό G(j ωa ενίσχυσης που φέρνει τη καμπύλη G(jω στο κρίσιμο σημείο (-, και o περιθώριο φάσης, τη γωνία φ π = 8 +φ με φ= arg G(j ω B που δείχνει το επιπλέον μέγεθος της γωνίας φ που φέρνει τη καμπύλη G(jω στο κρίσιμο σημείο (-,, δηλαδή δημιουργεί συνολική φάση για τη συνάρτηση G(jω ίση με -8. σελ. 6
Τα δύο αυτά μεγέθη δείχνουν αφ ενός κατά πόσο το σύστημα είναι σταθερό και αφ ετέρου αν δίνει ικανοποιητική απόκριση. Για σταθερό σύστημα απαιτείται K π > και φ π >. Υπολογισμός της σταθεράς ενίσχυσης Κ για ορισμένη επιθυμητή τιμή Mp κλειστού συστήματος Σχεδιάζουμε αρχικά το διάγραμμα της G(jω. Χαράσσουμε την ευθεία ΟΔ με γωνία θ που παίρνουμε από τη σχέση θ= arcsin. M Σχεδιάζουμε περιφέρεια που να εφάπτεται αφ ενός της καμπύλης G(jω και αφ ετέρου της ευθείας ΟΔ με κέντρο πάνω στον άξονα των πραγματικών αριθμών. Βρίσκουμε τη προβολή Γ του σημείου επαφής Α της ευθείας με τη περιφέρεια, πάνω στον πραγματικό ημιάξονα. Υπολογίζουμε τη τιμή του K από τη σχέση K = (O Γ. Στο παρακάτω σχήμα φαίνονται οι καμπύλες μεταβολής του μέγιστου Mp και της ανηγμένης συχνότητας u p σε συνάρτηση με το συντελεστή απόσβεσης ζ για σύστημα δεύτερης τάξης. M( z. z. z u( z. z p.5.5.75 M( z u( z.5.5.75.5.5.7.4..8.35.4.49.57.64.7 z Το κριτήριο του Nyquist Ένα κλειστό σύστημα είναι σταθερό, όταν το διάγραμμα Nyquist, της συνάρτησης μεταφοράς βρόχου G(sH(s, διαγραφόμενο αριστερόστροφα, περικλείει το σημείο (-,j τόσες φορές, όσος είναι ο αριθμός των πόλων της συνάρτησης αυτής, που βρίσκονται στο δεξιό μιγαδικό ημιεπίπεδο. Ένα κλειστό σύστημα είναι σταθερό, όταν το διάγραμμα Nyquist, της συνάρτησης μεταφοράς βρόχου G(sH(s, διαγραφόμενο δεξιόστροφα, δεν περικλείει το κρίσιμο σημείο (-, j. σελ. 7
ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE Στα διαγράμματα Bode τη γραφική παράσταση της G(jω αποτελούν δύο καμπύλες: η μία αφορά το μέτρο G(j ω, και η άλλη τη φάση arg(g(jω αυτής. Στον άξονα των y το μέτρο μετριέται σε Decibel ή η φάση σε μοίρες και στον άξονα των x μετριέται ο λογάριθμος της συχνότητας ω. Για ευκολία χρησιμοποιείται ημιλογαριθμικός χάρτης. Για τον κάθε εμφανιζόμενο παράγοντα στη συνάρτηση μεταφοράς έχουμε: Παράγοντας ( jω ±. Το μέτρο σε db είναι ± Α= log jω =± logω=± x, που παριστάνει μια ευθεία με κλίση ± που περνάει από το σημείο ( x = ω=, Α=. Έτσι λέμε ότι η κλίση της είναι ± db / decade ή ± 6db / octave (επειδή για διπλάσια συχνότητα δηλ. μία οκτάβα έχουμε ± log =± 6db. Η φάση του παράγοντα όμως είναι σταθερή ± 9 και ανεξάρτητη της συχνότητας. Αν ο παράγοντας jω είναι υψωμένος σε δύναμη ± n, τότε η κλίση της ευθείας θα είναι ± ndb / dec και η φάση ± n9. Παράγοντας ( jω T+ ±. Το μέτρο σε db είναι A = ± log jωτ + και επομένως μπορούμε να διακρίνουμε τις περιπτώσεις: ω o ωτ >> Α = ± log ωτ = ± log = ± x ασύμπτωτη ευθεία που περνάει από το ωθ σημείο (x= ωτ =, A=. Στη συχνότητα ω= =ω θ (συχνότητα θλάσης ή T συχνότητα γωνίας το μέτρο Α είναι Α=± log j+ =± log ± 3db. Στη συχνότητα που είναι πάνω ή κάτω από τη ω θ κατά μία οκτάβα, το σφάλμα γίνεται ωθ 5 περίπου ίσο με db log j + = log db. ωθ 4 o ωτ << Α = ± log = ασύμπτωτη ευθεία που ταυτίζεται με τον άξονα των συχνοτήτων. Αν ο παράγοντας είναι υψωμένος σε δύναμη τότε το σφάλμα του μέτρου, η κλίση των ασύμπτωτων και η φάση πολλαπλασιάζονται επί τον εκθέτη της δύναμης. Στο παρακάτω σχήμα φαίνονται οι γραφικές παραστάσεις του μέτρου και της φάσης της συνάρτησης G(u = σε συνάρτηση με την ανηγμένη συχνότητα u (Mathcad 7 Pro. ju + σελ. 8
G( u j. u 4 8 6. log( G( u 4 8 3 36 4.. u.6.3.47.63 arg( G( u.79.94..6.4.57. ω jω + ζω jω + ±. Οι ασύμπτωτες ευθείες για το μέτρο της συνάρτησης είναι: η μία ημιευθεία συμπίπτει με τον άξονα των db (των συχνοτήτων και καλύπτει τη περιοχή ανηγμένων συχνοτήτων από ω θ = έως ω θ =. Η άλλη ημιευθεία ξεκινά από db, έχει κλίση ± 4db και καλύπτει τη περιοχή από ω θ = μέχρι φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Παράγοντας ( ( ωθ + όπως σελ. 9
G( u, z ( j. u ( z.( j u 4 8. log( G( u,.5. log( G( u,.. log( G( u,.5. log( G( u,.5. log( G( u,.7. log( G( u,. log( G( u, 3 4 6 8 34 4. u.3 arg( G( u,.5 arg( G( u,. arg( G( u,.5 arg( G( u,.5 arg( G( u,.7 arg( G( u, arg( G( u, 3.63.94.6.57.88..5.83 3.4. u Τέλος η χάραξη της ολικής καμπύλης του μέτρου και της φάσης γίνεται με επαλληλία των αντίστοιχων καμπύλων όπου οι κλίσεις προστίθενται. Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται το διάγραμμα 3.6(.5jω+ Bode της συνάρτησης μεταφοράς G(j ω =. Σο διάγραμμα διακρίνονται το (j ω (.5j ω+ (5j ω+ περιθώριο ενίσχυσης Gain Margin Κ π =-3.8db (η κατακόρυφη απόσταση της καμπύλης log G(j ω από το σημείο τομής της καμπύλης φ(ω με τον οριζόντιο άξονα των -8, και το περιθώριο φάσης Phase Margin φ π =-.7 (η κατακόρυφη απόσταση της καμπύλης φ(ω από το σημείο τομής της καμπύλης log G( j ω με τον οριζόντιο άξονα db, καθώς και το συμπέρασμα σελ.
ότι το σύστημα δεν είναι ευσταθές. Για το πρόσημο των Κ π και φ π πρέπει να προσέξουμε ότι ο μειωτέος στις παραπάνω αφαιρέσεις είναι η καμπύλη των φάσεων. Συναρτήσεις ελάχιστης φάσης Είναι οι συναρτήσεις που δεν έχουν πόλους ή ρίζες στο δεξιό μιγαδικό ημιεπίπεδο και προκειμένου για ευσταθή συστήματα αυτές που δεν έχουν ρίζες στο δεξιό μιγαδικό ημιεπίπεδο. Η φάση κάθε συνάρτησης μεταφοράς μη-ελάχιστης φάσης είναι μεγαλύτερη από την φάση της s a αντίστοιχης ελάχιστης φάσης. Συνάρτηση ολικής διέλευσης ονομάζεται η συνάρτηση G (s = s + a που έχει μέτρο ίσο με τη μονάδα (ανεξάρτητο της συχνότητας και φάση ω φ( ω = G (j ω =π arctan. Μία συνάρτηση μη-ελάχιστης φάσης είναι το γινόμενο μιας a συνάρτησης ελάχιστης φάσης και μιας συνάρτησης ολικής διέλευσης με την οποία έχει το ίδιο μέτρο, αλλά όχι την ίδια φάση. Έτσι συμπεραίνουμε ότι υπάρχουν άπειροι το πλήθος συναρτήσεις μηελάχιστης φάσης που έχουν την ίδια καμπύλη μέτρου και διαφορετικές καμπύλες φάσης. Θεώρημα των κλίσεων του Bode Η φάση μιας συνάρτησης μεταφοράς ελάχιστης φάσης σε μια ορισμένη συχνότητα μπορεί να προσδιοριστεί από τις κλίσεις της κατά Bode καμπύλης του μέτρου της συνάρτησης που ορίζεται σε ολόκληρη τη περιοχή συχνοτήτων. Μεγαλύτερη σπουδαιότητα για τη τιμή της φάσης έχει η κλίση στη περιοχή της καθορισμένης συχνότητας. Συγκεκριμένα η φάση φ c σε ακτίνια μιας συνάρτησης μεταφοράς σε ορισμένη συχνότητα ω c είναι + da u φ c = ln coth du π, όπου u = ln du ω, A = ln M( ω και da = k η κλίση της καμπύλης ωc du σελ.
του μέτρου Α σε Neper ανά u (αν λ η κλίση της καμπύλης σε db ανά log ω ισχύει η σχέση ωc λ k =. Αν το Α μετριέται σε db δηλ. Α= log M( ω και η φάση σε μοίρες η παραπάνω σχέση + da u γράφεται φ c = 4.84 log coth du du. + da k u Αν η κλίση k = είναι σταθερή για όλες τις συχνότητες, φ c = ln coth du du π και με u + u π kπ ανάπτυγμα του ln coth σε σειρά έχουμε ln coth du = και επομένως φ c =. Έτσι π.χ. για k= δηλαδή κλίση db/dec η φάση είναι σταθερή και ίση με 9. Παρακάτω περιγράφεται μια προσεγγιστική μέθοδος εύρεσης της φάσης μιας συνάρτησης μεταφοράς. Η μέθοδος περιορίζεται σε διαγράμματα συναρτήσεων που δεν περιέχουν παράγοντες της μορφής ( ( ωο jω + ζω jω +. Αν περιέχουν η μέθοδος μπορεί να εφαρμοστεί για συχνότητες ω c αρκετά μακριά από τη συχνότητα θλάσης ω και η προσέγγιση είναι καλύτερη για μεγάλες τιμές του jωτ + η συχνότητα ω c θα πρέπει να βρίσκεται συντελεστή απόσβεσης ζ. Για όρους της μορφής ( τουλάχιστον μια οκτάβα πάνω ή κάτω από τη συχνότητα θλάσης επειδή οι όροι jωτ+ έχουν φάση ω arctan ω 3 5 c c c c ω ω ω ω arctan = +... για ω c <<ω θ και ωθ ωθ 3 ωθ 5 ωθ 3 5 θ θ θ ωc π ω ω ω arctan = + +... για ω c >>ω θ. ω ω 3 ω 5 ω θ c c c c θ ω =. Η μέθοδος λειτουργεί Τ θ η οποία μπορεί να αναπτυχθεί σε δυναμοσειρά ως εξής: Αν πάρουμε μόνο το πρώτο όρο από κάθε ανάπτυγμα (οι άλλοι είναι πολύ μικροί και θεωρούνται αμελητέοι και ο παράγοντας jωτ+ είναι υψωμένος στην δύναμη k (ο αριθμός k συμπίπτει με τη da κλίση της καμπύλης k =, θα έχουμε τελικά: du ωc ωc arctan = k για ω c <<ω θ και ωθ ωθ ωc π ωθ arctan = k για ω c >>ω θ. ωθ ωc ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ NICHOLS Στα διαγράμματα αυτά η γραφική παράσταση δίνεται από μια καμπύλη με παράμετρο τη συχνότητα ω και συγκεκριμένα στον άξονα των y παριστάνεται το μέτρο της συνάρτησης του ανοικτού συστήματος G(j ω σε db, ενώ στον άξονα των x, η φάση της φω ( = G(j ω. Αν F(jω η συνάρτηση μεταφοράς του κλειστού συστήματος με μοναδιαία ανατροφοδότηση και με απ ευθείας συνάρτηση μεταφοράς την G(j ω G(jω, δηλαδή F(j ω =. Θέτοντας Μω ( = F(j ω και + G(j ω σελ.
jφ ( G(j ω = G(j ω e = G(j ω cosφ+ jsinφ παίρνουμε G(j ω Μω ( = και υψώνοντας + G( j ω cos φ+ sin φ ( M M στο τετράγωνο καταλήγουμε στη σχέση G + G cos φ+ =, που για σταθερό μέτρο Μ M M του κλειστού συστήματος είναι συνάρτηση του μέτρου G και της φάσης φ της απ ευθείας συνάρτησης μεταφοράς και η γραφική της παράσταση φαίνεται στο παρακάτω σχήμα (καμπύλες σταθερού Μ του κλειστού συστήματος. Εξ άλλου θέτοντας Φ= F(j ω, φ= G(j ω και G sin φ θ= ( + G( j ω θ= ( + G( j ω ( cos φ+ sin φ tan θ= έχουμε + G cos φ tan φ tanθ sin φ tan Φ= tan ( φ θ =, απ όπου με πράξεις καταλήγουμε στη σχέση G + cos φ =, + tan φ tan θ tan Φ της οποίας επίσης η γραφική παράσταση φαίνεται στο ίδιο σχήμα (καμπύλες σταθερού Φ του κλειστού συστήματος. Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται το διάγραμμα Nichols της συνάρτησης μεταφοράς 3.6(.5jω+ G(j ω =. Σο διάγραμμα διακρίνονται το περιθώριο ενίσχυσης Gain Margin (j ω (.5j ω+ (5j ω+ Κ π =-3.8db (η κατακόρυφη απόσταση της καμπύλης G(jω από το σημείο (-8, db και το περιθώριο φάσης Phase Margin φ π =-.7 (η οριζόντια απόσταση της καμπύλης G(jω από το σημείο (-8, db καθώς και το συμπέρασμα ότι το σύστημα δεν είναι ευσταθές. σελ. 3
Καμπύλες απόκρισης του κλειστού συστήματος Όπως και στα διαγράμματα Nyquist οι τιμές των Μ και Φ καθορίζονται από τη τομή των καμπύλων αυτών με την καμπύλη απόκρισης G(jω του ανοικτού συστήματος. Το σημείο επαφής της καμπύλης G(jω με κάποια από τις καμπύλες σταθερού Μ καθορίζει και εδώ το μέγιστο μέτρο M p και την αντίστοιχη συχνότητα ω p. Υπολογισμός της σταθεράς ενίσχυσης Κ για ορισμένη επιθυμητή τιμή Mp κλειστού συστήματος Για G(jω=KG (jω έχουμε: log G(j ω = log K + log G (j ω Α= log K + A. Έτσι σχεδιάζουμε τη καμπύλη G (jω (για K= και τη μετακινούμε κατακόρυφα μέχρι να έρθει σε επαφή με την καμπύλη επιθυμητού Μ p δηλαδή να πάρουμε τη καμπύλη G(jω. Αν y η κατακόρυφη μετατόπιση θα είναι y log K K e y = =. Γραφική μέθοδος υπολογισμού του μέτρου και της φάσης μιας συνάρτησης μεταφοράς Ο χάρτης υπολογισμού του μέτρου και της φάσης της συνάρτησης μεταφοράς έχει στην πάνω ημιπεριφέρεια τις τιμές του πλάτους σε db παραγόντων ολοκλήρωσης και διαφόρισης (άνω κλίμακα και την ανηγμένη συχνότητα ωτ (κάτω κλίμακα. Στη κάτω ημιπεριφέρεια έχει τις τιμές της φάσης (άνω κλίμακα και τις τιμές του μέτρου σε db των πρωτοβάθμιων παραγόντων (κάτω κλίμακα. Αν η συνάρτηση αποτελείται μόνο από πρωτοβάθμιους παράγοντες δηλαδή είναι της μορφής Κ ( + jωτ N( + j ωτ N...( + jωτnm G(j ω =, πολλαπλασιάζουμε αριθμητή και r ( j ω ( + j ωτ D( + j ωτ D...( + j ωτ Dn r παρονομαστή με T και τον δεύτερο όρο κάθε παράγοντα με Τ. Έτσι καταλήγουμε στη σελ. 4
m r ΤNµ Κ T + j( ωτ µ= Τ σχέση G(j ω =. Εκλέγουμε το συντελεστή κλίμακας Τ n και r ΤDν ( jω T + j( ωτ ν= Τ Τ τοποθετούμε τις ανηγμένες σταθερές χρόνου στην οριζόντια διάμετρο του χάρτη (σημεία Τ Μ i. Η εκλογή του Τ γίνεται έτσι ώστε οι ανηγμένες σταθερές χρόνου να πέσουν κοντά στο μέσο της διαμέτρου. Για κάποια ανηγμένη συχνότητα ωτ χαράσσουμε την χορδή που διέρχεται από το αντίστοιχο Μ i και στο απέναντι άκρο διαβάζουμε τη τιμή του μέτρου και της φάσης της συνάρτησης από το χάρτη. Αν κάποιος παράγοντας είναι υψωμένος σε δύναμη, οι τιμές ανάγνωσης πολλαπλασιάζονται με τον εκθέτη της δύναμης. Αν υπάρχουν ολοκληρώσεις της μορφής με r, τότε τα αντίστοιχα μέτρα διαβάζονται στην άνω κλίμακα της ( r jωτ r πάνω ημιπεριφέρειας. Τέλος ο παράγοντας KT έχει φάση μηδέν και μέτρο log K + r log T. Ο υπολογισμός τώρα του μέτρου και της φάσης της G(jω γίνεται με πρόσθεση (με το κατάλληλο πρόσημο των μέτρων σε db και των φάσεων των παραγόντων της. Αν η συνάρτηση περιέχει και δευτεροβάθμιους παράγοντες τους μετατρέπουμε σε γινόμενο δύο πρωτοβάθμιων ως εξής: Έστω ο παράγοντας ( ( ω jω + ζω jω + με ρίζες jω = ζω ± jω ζ = σ ± jω n με ζ<. Έτσι ο παράγοντας μετατρέπεται διαδοχικά σε γινόμενο πρωτοβάθμιων παραγόντων ω σ+ j( ω ωn σ+ j( ω+ω n =ω σ + j( ω ω n + j( ω+ωn σ σ και επειδή ω σ =ζ παίρνουμε τελικά ζ + j( ωτ ω nt + j( ωτ + ωnt. Τέλος στ στ διαλέγουμε το σημείο Μ που αντιστοιχεί στη τιμή της ανηγμένης σταθεράς χρόνου στ κοντά στο μέσο της οριζόντιας διαμέτρου του χάρτη και στη συνέχεια για την δεδομένη ανηγμένη συχνότητα ωτ -ω n T εργαζόμαστε όπως παραπάνω. Αν κάποιος παράγοντας είναι μικρότερος του μηδενός (ωτ -ω n T < η αντίστοιχη φάση του πρέπει να θεωρηθεί με αρνητικό πρόσημο. σελ. 5