Πορίσματα της Κανονικής Μορφής Smh (συμπλήρωμα για την Ενότητα 4 Θα δείξουμε εδώ ότι από την κανονική μορφή Smh πινάκων πάνω από περιοχή κυρίων ιδεωδών R, έπονται τα εξής Το Θεώρημα Βάσεων Το Θεώρημα Ανάλυσης Ι Ένας τρόπος παράστασης ως άθροισμα κυκλικών προτύπων κάθε πεπερασμένα παραγόμενου R- προτύπου που δίνεται από γεννήτορες και σχέσεις Εξακολουθούν να ισχύουν εδώ οι παραδοχές του μαθήματος Επίσης, αν X είναι πίνακας, με συμβολίζουμε την στήλη του X,,,, και θα γράφουμε X ( X,, X Στα παρακάτω, όλες οι βάσεις που θεωρούμε είναι διατεταγμένες Ξεκινάμε με το τελευταίο από τα παραπάνω τρία θέματα Θα χρειαστούμε ένα επιχείρημα αλλαγής βάσης Λίγη γραμμική άλγεβρα πάνω από μεταθετικό δακτύλιο Υπενθυμίζουμε ότι ξέρουμε τα εξής για πίνακες και ορίζουσες πάνω από τυχαίο μεταθετικό δακτύλιο R Έστω A ( R Για κάθε A, B ( R ισχύει ( AB B A, όπου A ο ανάστροφος του A Τα αναπτύγματα Laplac της d A Ειδικά, d A d A, όπου A ο ανάστροφος του A Αν ο Β προκύπτει από τον Α με εναλλαγή της θέσης δύο γραμμών (ή δύο στηλών, τότε d B d A d A είναι γραμμική σε κάθε γραμμή και στήλη του A Αν ο Α έχει δύο ίσες γραμμές ή δύο ίσες στήλες, τότε d A 0 Για κάθε A, B ( R ισχύει d( AB (d A(d B A αντιστρέψιμος αν και μόνο αν d A U( R Αν Α αντιστρέψιμος, τότε A αντιστρέψιμος και ( A ( A f g Αν είναι ομομορφισμοί ελεύθερων R-προτύπων και,, αντίστοιχες βάσεις, τότε ( g f :, ( g :, ( f :, o Ειδικά, αν f ισομορφισμός, τότε ( f :, ( f :, o Ειδικά, αν και f, τότε ( :, ( :, Παρατήρηση Έστω R μεταθετικός δακτύλιος και X ( R αντιστρέψιμος Τότε οι στήλες του X είναι γραμμικά ανεξάρτητες και οι γραμμές του Χ είναι γραμμικά ανεξάρτητες Απόδειξη Έστω r X 0, όπου r R Έστω r 0 Τότε από τη μια μεριά έχουμε d( r X, X,, X r d( X,, X r d X 0, αφού d X U ( R Από την άλλη μεριά έχουμε d( r X, X,, X d( r X,, X r d( X, X,, X X
αφού η ορίζουσα είναι γραμμική σε κάθε στήλη Όμως κάθε πίνακας ( X, X,, X,,,, έχει δύο ίσες στήλες οπότε d( X, X,, X 0 Άρα d( r X, X,, X 0, άτοπο Η απόδειξη για τυχαίο j με rj 0 ανάγεται στην προηγούμενη με εναλλαγή στηλών Η απόδειξη για τις γραμμές έπεται από αυτό που δείξαμε για τον ανάστροφο του Χ στη θέση του X Λήμμα Έστω R μεταθετικός δακτύλιος, ελεύθερο R -πρότυπο, {,, } βάση του και X ( R αντιστρέψιμος Θέτουμε y,,,, j j j όπου ( X ( y j Τότε το {,, } είναι βάση του και έχουμε ( :, X Απόδειξη Οι σχέσεις yj j,,,, μπορούν να γραφούν στη μορφή j ( X, όπου στον πολλαπλασιασμό πινάκων στο δεξί μέλος θεωρούμε τον εξωτερικό πολλαπλασιασμό των στοιχείων του ( X με στοιχεία του προτύπου Άρα X που σημαίνει ότι κάθε είναι γραμμικός συνδυασμός των,, Επειδή τα,, παράγουν το, τα,, επίσης παράγουν το Έστω r,, r R με r 0 Τότε 0 r yj j r yj j r yj 0 j j βάση Άρα ry 0, όπου Y η στήλη του για κάθε j, αφού X Επειδή ο σύμφωνα με την Παρατήρηση ότι r 0 για κάθε Άρα το είναι βάση του Η σχέση ( :, X έπεται άμεσα από τη X X είναι αντιστρέψιμος, παίρνουμε Πορίσματα της κανονικής mορφής Smh Το ακόλουθο πόρισμα λέει πώς μπορούμε να παραστήσουμε ως άθροισμα κυκλικών προτύπων ένα πεπερασμένα παραγόμενου R-πρότυπο, όπου R ΠΚΙ, που δίνεται από γεννήτορες και σχέσεις Πόρισμα Έστω R ΠΚΙ, A ( R και, ελεύθερα R -πρότυπα με τάξεις, αντίστοιχα Έστω, διατεταγμένες βάσεις των, αντίστοιχα και f : ο ομομορφισμός R -προτύπων με ( f :, A Τότε Im f R ( d R ( d R, όπου d, d,, d είναι ακολουθία αναλλοιώτων παραγόντων του A
Απόδειξη Από την κανονική μορφή Smh υπάρχουν αντιστρέψιμοι X ( R, Y ( R με (,,, όπου d d, d d,, d d, m(, Θεωρούμε το διάγραμμα XAY D dag d d f π Im f g π Im g Έστω, βάσεις των, με ( :, X και ( :, Y σύμφωνα με το Λήμμα Ο ομομορφισμός g : του διαγράμματος ορίζεται από ( g :, D Τώρα επειδή έχουμε f ( g :, D XAY ( :, ( f :, ( :, ( f :, ( f :,, g Όμως Im g ( d ( d λόγω του ορισμού του g Άρα ( ( ( ( ( ( f g Im Im ( ( ( d ( d 0 0 ( d ( d σύμφωνα με την άσκηση c (στην cla Εφαρμόζοντας το ο θεώρημα ισομορφισμών προτύπων παίρνουμε ( R Επομένως ( d ( d Παράδειγμα Έστω N το υποπρότυπο του Θα παραστήσουμε το -πρότυπο R R Im f R R ( ( d d που παράγεται από τα στοιχεία a, b, c, d, όπου a (4,,4, b (0,,8, c (8,6,6, d (4, 4, N ως ευθύ άθροισμα κυκλικών - προτύπων Θεωρούμε τον πίνακα με στήλες τα a, b, c, d, δηλαδή τον Τότε N Im f, όπου f : 4 0 8 4 A 6 4 4 8 6 4 ορίζεται από ( :, f A, όπου, είναι οι συνήθεις βάσεις των 4, αντίστοιχα Με πράξεις βρίσκουμε ότι μια ακολουθία αναλλοιώτων παραγόντων του A είναι η ( d, d, d (, 4,0 Από το Πόρισμα έπεται ότι N 4 Πόρισμα (Θεώρημα Βάσεων Έστω R ΠΚΙ, ελεύθερο R-πρότυπο τάξης και N Τότε υπάρχει βάση { f,, f } του και στοιχεία d,, d R τέτοια ώστε τα μη μηδενικά στοιχεία από τα d,, f d f αποτελούν βάση του Ν και d d d d Απόδειξη Επειδή R ΠΚΙ, ελεύθερο R-πρότυπο και N, ξέρουμε ότι το Ν είναι ελεύθερο Το ζητούμενο έπεται από την απόδειξη του Πορίσματος θέτοντας (με το συμβολισμό της απόδειξης αυτής N και f :, f ( a a Μια ζητούμενη βάση του είναι η βάση της απόδειξης Επειδή N ( d ( d, τα,, είναι γραμμικά ανεξάρτητα, και R περιοχή,
4 τα μη μηδενικά από τα d,, d είναι βάση του N (άσκηση Πόρισμα (Θεώρημα Ανάλυσης Ι Έστω R ΠΚΙ και πεπερασμένα παραγόμενο R -πρότυπο Τότε υπάρχουν κυκλικά υποπρότυπα,, τέτοια ώστε και d d d d όπου ( d A Απόδειξη Επειδή το είναι πεπερασμένα παραγόμενο, υπάρχει επιμορφισμός προτύπων f :, όπου το είναι ελεύθερο Επειδή R ΠΚΙ, το kr f είναι ελεύθερο πρότυπο Έχουμε από το ο θεώρημα ισομορφισμών προτύπων Έστω, βάσεις των, αντίστοιχα και έστω A ( :, όπου : η απεικόνιση a a Έχουμε Im, οπότε από τo Πόρισμα, R ( d R ( d R όπου d, d,, d είναι ακολουθία αναλλοιώτων παραγόντων του A (Εδώ m(,, όπου rak, rak Το ζητούμενο έπεται από το ότι A( R ( d ( d και την άσκηση 9 (στην cla Παράδειγμα Θεωρούμε το ίδιο παράδειγμα με πριν Είδαμε ότι N 4 Συνεπώς υπάρχουν κυκλικά υποπρότυπα N με N και 4,, Θα βρούμε, για μια επιλογή τέτοιας τριάδας,,, ένα γεννήτορα κάθε συναρτήσει της συνήθους βάσης {,, } του Για το σκοπό αυτό, πρώτα θα υπολογίσουμε ένα αντιστρέψιμο πίνακα X ( με XAY dag(, 4, 0 Καταγράφουμε μια ακολουθία στοιχειωδών πράξεων γραμμών και στηλών που μετατρέπουν τον A σε κανονική μορφή Smh Στη συνέχεια, εφαρμόζουμε στον πίνακα I τις προηγούμενες πράξεις γραμμών (μόνο γραμμών με την ίδια σειρά Ο πίνακας που προκύπτει είναι μια επιλογή του X (Η απόδειξη του ισχυρισμού αυτού έπεται άμεσα από το Λήμμα 45 Έχουμε διαδοχικά 4 0 8 4 Γ Γ 6 4 Σ Σ 0 0 0 Γ Γ Σ Σ Γ Γ Γ Σ4 Σ Γ Γ 6 4 0 4 4 4 0 4 4 4 4 8 6 0 4 4 4 0 4 4 4 0 0 0 0 0 0 Σ Σ Σ4 Σ 0 4 4 4 0 4 0 0 D 0 0 0 0 0 0 0 0 Από τις παραπάνω στοιχειώδεις πράξεις, εφαρμόζουμε τις πράξεις γραμμών στον I, 0 0 Γ Γ 0 0 0 0 Γ Γ Γ Γ Γ Γ Γ 0 0 0 0 X 0 0 0 4 Έχοντας τον X, υπολογίζουμε
5 Θέτουμε σύμφωνα με το Λήμμα, X 0 0 0,, Σύμφωνα με την απόδειξη του Πορίσματος, το στοιχείο N ισόμορφο με το ( d, όπου ( d, d, d (, 4,0 Σημείωση: Παρατηρούμε ότι 4 4 και το 4 4 είναι στήλη του A που επαληθεύει ότι πράγματι, N N παράγει κυκλικό υποπρότυπο του 0 Επίσης 4 4 4 και το 4 4 0 0 4 4 8 είναι γραμμικός συνδυασμός των στηλών του A που επαληθεύει ότι πράγματι, 4 N 0