00-003 Οικνόµυ Θεµιστκλής Ασκήσεις Συµπεριφράς εδάφυς σε δυναµική φόρτιση ΑΣΤΕ [] Άσκηση η : Για την εδαφική τµή τυ Σχήµατς, να πρσδιριστύν µε άση τις πρτεινόµενες στη διεθνή ιλιγραφία σχέσεις: Α η µεταλή τυ µέγιστυ µέτρυ διάτµησης G ax µε τ άθς. Β η µεταλή τυ καννικπιηµένυ µέτρυ διάτµησης G/G ax κι απόσεσης, D, µε τη διατµητική παραµόρφση για κάθε εδαφική στρώση και Γ η µεταλή τυ µέτρυ διάτµησης, G, µε τη διατµητική παραµόρφση στ µέσ της κάθε εδαφικής στρώσης.. Μεταλή τυ µέτρυ διάτµησης Gax µε τ άθς. Για τν υπλγισµό τυ G ax θα χρειαστεί να κάνυµε τα εής ήµατα για κάθε στρώση: Υπλγισµός τυ δείκτη πόρν τυ εδάφυς. Όπυ δεν δίνεται, λαµάνεται ίσς µε Vv γ e w G για υγρασία w% και G V γ Υπλγισµός τυ δείκτη πλαστιµότητας για τις αργιλικές στρώσεις. Ισύται µε PIWL WP. Υπλγισµός τν κατακρύφν τάσεν σ v,i σ v,i- z*γ Υπλγισµός της υδρστατικής πίεσης z z Υ.Ο 0 Υπλγισµός τν ενεργών κατακρύφν τάσεν σ v σ v Υπλγισµός τυ συντελεστή θήσεν σε ηρεµία k inφocr ½ για λόγυς πργραµµατισµύ, κάθε στρώση πυ δεν είναι υπερστερεπιηµένη, θερείται ότι έχει OCR Υπλγισµός τν ριζντίν ενεργών τάσεν σ h k σ v Υπλγισµός της µέσης ενεργύς τάσες ean effecive re, η πία δίνεται από τν σ v' σ h ' k σ v' τύπ σ ' 3 3 Υπλγισµός της συνάρτησης τυ δείκτη πόρν Fe, σύµφνα µε τη ιλιγραφία:,7 e Για χαλίκια, F e e Για αµµώδη εδάφη, F e 0,30 0,70 e Για καννικά στερεπιηµένες αργίλυς, Για υπερστερεπιηµένες αργίλυς, F e e w F e e,84,453 Υπλγισµός τυ µέγιστυ µέτρυ διάτµησης G ax µε τ άθς, σύµφνα µε τη ιλιγραφία: Για χαλίκια, 0, 850 G ax 00 F e σ ' Για αµµώδη εδάφη, 0,80 0, 80 πίεση 00kPa G ax 300 F e σ ' pa', µε p a την ατµσφαιρική Για καννικά στερεπιηµένες αργίλυς, 0, 60 ax G ax 664 F e σ ' Για υπερστερεπιηµένες αργίλυς, G 366 F e σ ' 0,748 OCR 0, 39 Με τα αντέρ υπόψιν, σχηµατίζυµε τν ακόλυθ πίνακα και διάγραµµα στ Excel: Σελ

00-003 Οικνόµυ Θεµιστκλής Ασκήσεις Συµπεριφράς εδάφυς σε δυναµική φόρτιση ΑΣΤΕ Σελ 3

00-003 Οικνόµυ Θεµιστκλής Ασκήσεις Συµπεριφράς εδάφυς σε δυναµική φόρτιση ΑΣΤΕ. Ερώτηµα. Από τη ιλιγραφία παίρνυµε τυς εής πίνακες πυ περιγράφυν τις σχέσεις µεταύ διατµητικής παραµόρφσης γ µε τ µέτρ διάτµησης G/Gax και την απόσεση D: Οι αντέρ πίνακες µας δίνυν τις πληρφρίες πυ χρειαζόµαστε για να ρύµε τη µεταλή τυ καννικπιηµένυ µέτρυ διάτµησης G/Gax κι απόσεσης, D, µε τη διατµητική παραµόρφση για κάθε εδαφική στρώση: Σελ 4

00-003 Οικνόµυ Θεµιστκλής Ασκήσεις Συµπεριφράς εδάφυς σε δυναµική φόρτιση ΑΣΤΕ Σελ 5

00-003 Οικνόµυ Θεµιστκλής Ασκήσεις Συµπεριφράς εδάφυς σε δυναµική φόρτιση ΑΣΤΕ.3 Ερώτηµα 3. Από τ πρηγύµεν ερώτηµα, και έχντας γνστά τα Gax από τ πρώτ ερώτηµα, έχυµε: Σελ 6

00-003 Οικνόµυ Θεµιστκλής Ασκήσεις Συµπεριφράς εδάφυς σε δυναµική φόρτιση ΑΣΤΕ [] Άσκηση η : Για τ µνάθµι ταλανττή τυ Σχήµατς, πίς υπάλλεται σε εαναγκασµένη αρµνική διέγερση: α να απδειχθεί ότι δυναµικός συντελεστής µεγέθυνσης, M d, πίς ρίζεται ς λόγς της µέγιστης δυναµικής µετακίνησης, ax, ς πρς τη στατική µετακίνηση, P /k, δίνεται από τη σχέση: Μ d /[ ρ ζρ ] ½ Όπυ ρ/ είναι λόγς της κυκλικής συχνότητας της διέγερσης πρς την κυκλική συχνότητα τυ συστήµατς. να σχεδιαστεί η τιµή τυ M dax ς πρς τ λόγ ρ/ για διάφρες τιµές της απόσεσης ζ0.0, ζ0., ζ0., ζ0.7, ζ.0, γ να απδειχθεί ότι η µέγιστη τιµή τυ δυναµικύ συντελεστή µεγέθυνσης δίνεται από τη σχέση: Μ dax /[ζ ζ ½ ], για ρ ζ ½ και ότι για µικρό ζ, M dax /ζ, για ρ δ Τ σχήµα 3 δείχνει την απόκριση τυ µνάθµιυ ταλανττή για µια συγκεκριµένη τιµή της απόσεσης, ζ. Στην περίπτση αυτή, απδεικνύεται ότι η απόσεση, ζ, δίνεται από τη σχέση: ζ α b / n όπυ n, η κυκλική συχνότητα της διέγερσης στη µέγιστη απόκριση κι ι α και b αντιστιχύν στυς δυναµικύς συντελεστές µεγεθών ίσυς µε M dax / ½. Στην παραπάν είσση ασίζεται η πειραµατική µέθδς πρσδιρισµύ της απόσεσης ενός συστήµατς, γνστής ς µέθδς «µισύ πλάτυς». ε Ο παρακάτ πίνακας δείχνει απτελέσµατα από δκιµή στήλης συντνισµύ σε εδαφικό δκίµι. Να υπλγισθεί η απόσεση τυ δκιµίυ µε τη µέθδ τυ «µισύ πλάτυς». υναµικός συντελεστής µεγέθυνσης Συχνότητα διέγερσης Hz,00 35,5,4 37,5,43 38,7,00 40,0,7 4,0,88 43,7,0 47,5 Σελ 7

00-003 Οικνόµυ Θεµιστκλής Ασκήσεις Συµπεριφράς εδάφυς σε δυναµική φόρτιση ΑΣΤΕ. Ερώτηµα α. Η είσση πυ περιγράφει την αρµνική εαναγκασµένη ταλάντση τυ είναι: c k P σχέση.α εδµένυ ότι η κίνηση τυ εδάφυς λαµάνεται αρµνική µε κυκλική συχνότητα, µπρεί να θερηθεί ότι τ όργαν καταγραφής της σεισµικής κίνησης υπάλλεται στην ετερική διέγερση: Ρ P in P : Πλάτς ταλάντσης. : Κυκλική συχνότητα ταλάντσης. Άρα, η πρκύπτυσα εαναγκασµένη ταλάντση θα περιγράφεται από την είσση:.α c k P in σχέση.α ή αλλιώς c k Pin σχέση. σχετική επιτάχυνση τυ ταλανττή ς πρς τη άση σχετική ταχύτητα τυ ταλανττή ς πρς τη άση σχετική µετακίνηση τυ ταλανττή ς πρς τη άση Σε κάθε όρ της αντέρ είσσης θα εφαρµόσυµε µετασχηµατισµό LAPLACE. Με τη ήθεια τυ µαθηµατικύ πακέτυ Maheaica 4., έχυµε τα κάτθι απτελέσµατα: In[]: LaplaceTranfr@ ''@D,, Dê. LaplaceTranfr@@D,, D F LaplaceTranfr@c '@D,, Dê. LaplaceTranfr@@D,, D F LaplaceTranfr@k @D,, Dê. LaplaceTranfr@@D,, D F LaplaceTranfr@P Sin@W D,,D O[] HF @0D @0DL O[] c HF @0DL O[3] Fk O[4] PW W ηλαδή, µε FL{}, η είσση. γίνεται: P F 0 '0 c F 0 F k και επειδή έχυµε συνριακές συνθήκες 0 00, τελικά έχυµε: F P c F F k σχέση.γ Σελ 8

00-003 Οικνόµυ Θεµιστκλής Ασκήσεις Συµπεριφράς εδάφυς σε δυναµική φόρτιση ΑΣΤΕ Σελ 9 d d P F P F k k P F c k c P F d P F σχέση.δ Η ετερική φόρτιση ενός µνάθµιυ ταλανττή, όταν υπάλλεται σε σεισµική διέγερση είναι: P & & Όµς, in & & & c in, πότε P P P in in Επµένς, η σχέση.δ γίνεται: d F Η παραπάν συνάρτηση, µε τη ήθεια τυ µετασχηµατισµύ Laplace και τη ήθεια τυ µαθηµατικύ πακέτυ Maheaica 4., µετασχηµατίζεται ς εής : e d d d d c in c in 4 3 Τ περιεχόµεν ανάµεσα στις αγκύλες απτελείται από δύ κµµάτια λ. σελ. 09, υναµική τν Κατασκευών. Τ πρώτ κµµάτι, µε τυς τριγνµετρικύς αριθµύς, αναφέρεται στην ετερική διέγερση έδαφς. Τ δεύτερ κµµάτι, µε τυς τριγνµετρικύς αριθµύς d αναφέρεται στην ελεύθερη ταλάντση τυ συστήµατς. Επειδή τ δεύτερ κµµάτι έχει τ εκθετικό e, τ φειλόµεν σε ελεύθερη ταλάντση µερίδι της κινήσες µειώνεται πρδευτικά και έπειτα από χρόν i πρακτικά µηδενίζεται, όπς φαίνεται και στ κάτθι σχήµα:

00-003 Οικνόµυ Θεµιστκλής Ασκήσεις Συµπεριφράς εδάφυς σε δυναµική φόρτιση ΑΣΤΕ Σελ 0 Στ διάστηµα 0 i η ταλάντση λέγεται µεταατική, ενώ από εκεί και πέρα παίρνει τη µόνιµη µρφή της όπς εκφράζεται από την παρακάτ είσση : 4 4 3 4 c in 4 4 c in [ ] 4 c in Ισχύει τριγνµετρικός µετασχηµατισµός: φ Γ Β Α x x x in c in µε: Β Α Γ και A B arcan φ, πότε: [ ] [ ] Β Α Γ Β arcan in 4 arcan arcan, 4, c in φ r A B A r

00-003 Οικνόµυ Θεµιστκλής Ασκήσεις Συµπεριφράς εδάφυς σε δυναµική φόρτιση ΑΣΤΕ Έτσι, τελικά η είναι: [ 4 ] in arcan 4 in arcan 4 Τ πλάτς της είναι: σχέση.ε 4 4. Ερώτηµα. Με τη ήθεια τυ Excel, δηµιυργύµε τ παρακάτ γράφηµα: Παρατηρύµε ότι για µικρές τιµές τυ ρ, η απόκριση τυ συστήµατς είναι συναρτήσει της δυσκαµψίας τυ και δυναµικός συντελεστής φόρτισης τείνει στη µνάδα. Τ σύστηµα, δηλαδή, φρτίζεται στατικά. Για τιµές τυ ρ στην περιχή της µνάδας, στ σύστηµα εµφανίζεται τ φαινόµεν τυ συντνισµύ και τ Md παίρνει τις µέγιστες ανάλγα µε την απόσεση τιµές τυ. Επίσης, για αυανόµενη απόσεση, παρατηρύµε µετακίνηση τυ διαγράµµατς πρς τα αριστερά. Για µεγάλες τιµές τυ ρ, η απόσεση κάνει αισθητή την παρυσία της, µε απτέλεσµα δυναµικός συντελεστής µεγέθυνσης να τείνει στ 0 µεγάλη αδράνεια τυ συστήµατς. Σελ

00-003 Οικνόµυ Θεµιστκλής Ασκήσεις Συµπεριφράς εδάφυς σε δυναµική φόρτιση ΑΣΤΕ.3 Ερώτηµα γ. Η συνάρτηση M d ρ ρ ζρ µεγιστπιείται όταν µηδενίζεται παρνµαστής της, και πι συγκεκριµένα, η συνάρτηση f ρ ρ ζρ. Επειδή η fρ 0, έχει πιθανότητα να µηδενιστεί ακρότατ σε σηµεί µηδενισµύ της παραγώγυ της. f ' ρ 0 ρ ρ ' ζρ ζρ ' 0 4 ρ ρ 8 ζ ρ 0 { 4 ρ 3 4 ρ 8 ζ ρ 0 4 ρ ρ ζ 0 ρ ζ } ή ρ 0 Για την πρώτη τιµή τυ ρ, η αρχική συνάρτηση γίνεται: Md ζ 4ζ ζ 4 ζ 4ζ 8 ζ 4 4 ζ ζ 4 Αν τ ζ είναι µικρό, τότε τ ζ τείνει στ 0, άρα τ -ζ τείνει στ, πότε M d,ax ζ ζ ζ.4 Ερώτηµα δ. Η εκφώνηση αυτύ τυ ερτήµατς θα χρησιµπιηθεί στην απάντηση τυ επόµενυ....5 Ερώτηµα ε. Τπθετύµε σε γράφηµα τα δεδµένα της εκφώνησης: Τ ακρότατ σηµεί τυ γραφήµατς είναι τ Ωn, Μd,ax 4.00,.7. Σελ

00-003 Οικνόµυ Θεµιστκλής Ασκήσεις Συµπεριφράς εδάφυς σε δυναµική φόρτιση ΑΣΤΕ Md,ax,7 Αν M d ', 534, τότε αυτή η τιµή δυναµικύ συντελεστή αντιστιχεί σε δύ τιµές, τις α 45,3 Hz και b 39,0 Hz. Απδεικνύεται µέθδς τυ «µισύ πλάτυς» ότι η απόσεση είναι ίση µε: α ζ n b 45,3 39,0 0,54 4 ζ5,4% Σελ 3

00-003 Οικνόµυ Θεµιστκλής Ασκήσεις Συµπεριφράς εδάφυς σε δυναµική φόρτιση ΑΣΤΕ [3] Άσκηση 3 η : Τ σχήµα 4 δείχνει τη µεταλή της εκτρπικής τάσης και ανικής παραµόρφσης από κυκλική τριανική δκιµή µε ελεγχόµενη τάση. α Να υπλγισθεί τ τέµνν µέτρ διάτµησης G και λόγς απόσεσης D τυ δκιµίυ. Θερώντας ότι η συµπεριφρά τυ εδάφυς περιγράφεται από τα κριτήρια Main, να εκτιµηθεί τ µέγιστ µέτρ διάτµησης τυ εδάφυς. 3. Υπλγισµός τυ G και τυ D τυ δκιµίυ. Παρατηρύµε ότι αν στ γράφηµα θερήσυµε c --> ec, τότε αν επιπλέν θερήσυµε τις τάσεις και παραµρφώσεις ηµιτνειδείς συναρτήσεις, αυτές θα περιγράφνται από τις εισώσεις: Aνική παραµόρφση: ε,a 0,308in0,8666 Εκτρπική τάση: q 75,00in0,86660,4550 Σηµειώνυµε ότι: Τ µήκς κύµατς της ανικής παραµόρφσης ε,a µετρήθηκε από 0 σε 0 ίσ µε 7,5 c. Τ µήκς κύµατς της εκτρπικής τάσης µετρήθηκε από κρυφή σε κρυφή ίσ µε 7,5 c. 3 Τα 00 kpa της εκτρπικής τάσης είναι ίσα µε,6 c στ διάγραµµα, πότε τα,95 c πυ µετρήσαµε ς πλάτς της εκτρπικής τάσης είναι στην υσία,9500/,6 75,00 kpa. 4 Τ 0,5% της ανικής παραµόρφσης είναι ίσα µε,6 c στ διάγραµµα, πότε τα 0,68 c πυ µετρήσαµε ς πλάτς της ανικής παραµόρφσης είναι στην υσία 0,680,5/,6 0,308%. 5 Ο συντελεστής τυ για την ανική παραµόρφση ε,a είναι π/7,5 0,8666. 6 Ο συντελεστής τυ για την εκτρπική τάση q είναι π/7,5 0,8666. Σε αυτό τ νύµερ πρσθέτυµε τ έναν αριθµό τέτιν ώστε σε µετρηµένη απόσταση x3, να µηδενίζεται: inaxb y in0,86663,b 0 nπ 0,86663, b b nπ 0,86663, και για n b π 0,86663, b 0,4550. Σελ 4

00-003 Οικνόµυ Θεµιστκλής Ασκήσεις Συµπεριφράς εδάφυς σε δυναµική φόρτιση ΑΣΤΕ ηµιυργώντας ζεύγη τιµών εκτρπικής τάσης µε ανική παραµόρφση, παίρνυµε τ κάτθι διάγραµµα: Τ ισδύναµ µέτρ ελαστικότητας, υπλγίζεται ς η κλίση τυ άνα πυ διέρχεται από τα ακραία σηµεία της αντέρ καµπύλης: δq 73,0676 7,6840 00 E eq 57, 066 MPa δε 0,74 0,80 000 Ε G, Α eq v 0,5 57,066 9,0MPa Με την ήθεια τυ ACAD εισαγγή τν σηµείν και υπλγισµός τν αντίστιχν εµαδών, έχυµε τα εής: D 4π Α lp A T 694,65 3,56% 4π 9,4499 Σελ 5

00-003 Οικνόµυ Θεµιστκλής Ασκήσεις Συµπεριφράς εδάφυς σε δυναµική φόρτιση ΑΣΤΕ 3. Μέγιστ µέτρ διάτµησης, άσει Main. Τα κριτήρια τυ Main αναφέρυν ότι ι κλίσεις τν κλάδν φόρτισης, απφόρτισης και επαναφόρτισης είναι ίσες. Στη συγκεκριµένη περίπτση αγνύµε τν κλάδ φόρτισης και εφαρµόζυµε τα κριτήρια µόν για την απφόρτιση και την επαναφόρτιση. Επµένς έχυµε: Kλάδς απφόρτισης. Ε 73,0676 / 0,74 0,0600 00/000 08,409 MPa πότε G E/*v08,409/ 3 36,36 MPa Κλάδς επαναφόρτισης. Ε 73,0676 / 0,74 0,0600 00/000 38,990 MPa πότε G E/*v 38,990/ 3,997 MPa Τελικά ς µέγιστ µέτρ διάτµησης εκτιµύµε µία τιµή ανάµεσα στις δύ παραπάν: G ax 4,567 MPa. Σελ 6