ενικές ασκήσεις 6 ου Κεφαλαίου σελίδας 40. ίνεται τρίγωνο ορθογώνιο στο. πό τα άκρα, της υποτείνουσας φέρουµε κάθετες x και y στη και προς το ίδιο µέρος της. πό το µέσο Μ της φέρουµε κάθετη στην, που τέµνει τη y στο και κάθετη στην, που τέµνει τη x στο. Να αποδειχθεί ότι: i) τα σηµεία,, είναι συνευθειακά ii) τα τετράπλευρα Μ και Μ είναι εγγράψιµα σε κύκλο iii) ο περιγεγραµµένος κύκλος του τριγώνου Μ εφάπτεται στη. x K y i). Φέρουµε τα τµήµατα, Έστω Η η τοµή των Μ, και Θ η τοµή των Μ, ίναι Μ σαν κάθετες στην και επειδή Μ µέσο της Η Θ Η µέσο της. Άρα το είναι συµµετρικό του ως Μ προς άξονα Μ. Άρα Μ ˆ = Μ ˆ = 90 ο. Οµοίως Μ ˆ = Μ ˆ = 90 ο. Άρα ευθεία. ii). Μ εγγράψιµο διότι οι απέναντι γωνίες του ˆ, ˆ είναι ορθές. Οµοίως για το Μ. iii). 0 Το τετράπλευρο ΗΜΘ έχει =Η=Θ= ˆ ˆ ˆ 90 άρα και Μ= ˆ 90 0. Έτσι το τρίγωνο Μ είναι ορθογώνιο στο Μ, οπότε το κέντρο του περιγεγραµµένου του κύκλου είναι το µέσο Κ της υποτείνουσάς του. ρκεί, λοιπόν, να αποδείξουµε ότι ΚΜ, το οποίο ισχύει, αφού η ΚΜ είναι διάµεσος του τραπεζίου.
. Ένα τρίγωνο έχει σταθερή την πλευρά και η κορυφή µεταβάλλεται έτσι, ώστε η διαφορά των και να είναι σταθερή. ν Μ είναι η προβολή της κορυφής πάνω στη διχοτόµο της γωνίας ˆ, να βρεθεί ο γεωµετρικός τόπος του Μ. υθύ. Έστω Μ τυχαίο σηµείο του γ.τόπου. Τότε η διαφορά είναι σταθερή, έστω ρ. Προεκτείνουµε τη Μ µέχρι να τµήσει την E σε σηµείο. M Μ διχοτόµος και ύψος του τριγώνου, άρα και διάµεσος και το τρίγωνο ισοσκελές Λ µε =. ίναι = = = ρ Θεωρούµε το µέσο Λ της. ρ Λ, Μ µέσα πλευρών του τριγώνου ΛΜ = =. λέποµε, λοιπόν, ότι το Μ απέχει από το σταθερό σηµείο Λ σταθερή απόσταση ρ, άρα ανήκει στον κύκλο (Λ, ρ ). Κατασκευή του γ. τόπου. Λ Σχεδιάζουµε το σταθερό τµήµα, το µέσο του Λ και τον κύκλο (Λ, ρ ). ντίστροφο. Έστω Μ τυχαίο σηµείο του κύκλου (Λ, ρ ). Φέρουµε τη Μ και την προεκτείνουµε κατά Μ = Μ. E Φέρουµε τη µεσοκάθετο του τµήµατος, M που τέµνει την προέκταση του σε σηµείο και τη σε σηµείο. Λ Τέλος φέρουµε τις και ΛΜ. Θα αποδείξουµε ότι = ρ και ότι το Μ είναι προβολή του στη διχοτόµο της γωνίας ˆ. Μ µεσοκάθετος του = και διχοτόµος της ˆ. ρ Λ, Μ µέσα πλευρών του τρ. ΛΜ = = ρ = ρ = ρ =. ιερεύνηση. Τα σηµεία τοµής του κύκλου µε τη δεν είναι σηµεία του γ.τόπου, διότι δεν ορίζεται τρίγωνο.
3 3. Να κατασκευάσετε τρίγωνο από τις γωνίες ˆ = ω, ˆ = φ και την περίµετρό του δ. νάλυση. Έστω το ζητούµενο τρίγωνο µε ˆ = ω, ˆ = φ και περίµετρο ω φ + + = δ. Προεκτείνουµε τη κατά = και =. Τότε = δ και ˆ = ˆ. λλά ω = ˆ + ˆ (εξωτερική) άρα ω = ˆ ˆ = ω. Οµοίως ˆ = ϕ Σύνθεση. Κατασκευάζουµε τρίγωνο µε = δ, ˆ = ω και ˆ = ϕ. ω φ Οι µεσοκάθετοι των, τέµνουν τη σε σηµεία,. Υποστηρίζουµε ότι το τρίγωνο είναι το ζητούµενο. πόδειξη. πειδή το ανήκει στη µεσοκάθετο του, θα έχουµε = άρα και ˆ = ˆ ω =. λλά ˆ = ˆ + ˆ, άρα ˆ = ω. Οµοίως ˆ = φ. ιερεύνηση. ια να είναι κατασκευάσιµο το τρίγωνο, πρέπει και αρκεί ω ϕ + < 80 ο ω + φ < 360 ο () ια να είναι κατασκευάσιµο το τρίγωνο, πρέπει και αρκεί ω + φ < 80 ο () Οι () και () συναληθεύουν όταν ω + φ < 80 ο.
4 4. ίνεται κύκλος (Ο, R) και σηµείο εκτός αυτού. πό το να φέρετε ευθεία, που τέµνει τον κύκλο στα,, ώστε το να είναι µέσο του. νάλυση. Ο Κ Έστω ότι κατασκευάστηκε η ζητούµενη ευθεία µε =. Θεωρούµε το µέσο Κ του Ο. Ο R Τότε Κ = =. Άρα το θα ανήκει στον κύκλο (Κ, R ) Σύνθεση. Ο Κ ράφουµε το δοσµένο κύκλο (Ο, R), το σηµείο, το µέσο Κ του τµήµατος Ο και κύκλο (Κ, R ), ο οποίος τέµνει τον (Ο, R) έστω σε σηµείο. ράφουµε το τµήµα και το προεκτείνουµε κατά =. Υποστηρίζουµε ότι η ευθεία είναι η ζητούµενη. πόδειξη. ρκεί να αποδείξουµε ότι το σηµείο ανήκει στον κύκλο (Ο, R). ράφουµε τα τµήµατα Κ, Ο. πειδή τα Κ, είναι µέσα πλευρών του τριγώνου Ο, θα είναι Κ = R = Ο Ο = R το ανήκει στον κύκλο (Ο, R). ιερεύνηση. Ο ια να έχει λύση το πρόβληµα θα πρέπει ο κύκλος (Κ, R ) να τέµνει τον (Ο, R).
5 5. ίνεται εγγράψιµο τετράπλευρο. Με χορδές τις πλευρές του γράφουµε µέσα σε αυτό τόξα, που τέµνονται ανά δύο στα σηµεία, Ζ, Η, Θ. Να αποδείξετε ότι το ΖΗΘ είναι εγγράψιµο. (Οι έξι κύκλοι του Miquel) = Θ Ζ Η Φέρουµε τις κοινές χορδές, Ζ, Η, Θ. Ê = 360 ο Ê Ê () Θ εγγεγραµµένο Ê = 80 ο ˆ. Ζ εγγεγραµµένο Ê = 80 ο ˆ () Ê = 360ο (80 ο ˆ ) (80 ο ˆ ) = 360 ο 80 ο + ˆ 80 ο + ˆ Ê = ˆ + Οµοίως Ĥ = ˆ + ˆ () ˆ (3) () + (3) Ê + Ĥ = ˆ + ˆ = 80 ο, από το εγγράψιµο. Άρα ΖΗΘ εγγράψιµο. 6. Θεωρούµε τρίγωνο και σηµεία,, Ζ των πλευρών του, και αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι οι περιγεγραµµένοι κύκλοι των τριγώνων Ζ, Ζ, διέρχονται από το ίδιο σηµείο. Ζ K ράφουµε τους κύκλους Ζ, Ζ που επανατέµνονται σε σηµείο Κ. Φέρουµε τις Κ, Κ, ΚΖ. ρκεί να αποδείξουµε ότι το τετράπλευρο Κ είναι εγγράψιµο, ή ότι ˆK + ˆ = 80 ο ΖΚ εγγεγραµµένο ˆK = 80 ο ˆ.. ΚΖ εγγεγραµµένο ˆK = 80 ο ˆ λλά ˆK = 360 ο ˆK ˆK = 360 ο (80 ο ˆ ) (80 ο ˆ ) = 360 ο 80 ο + ˆ 80 ο + ˆ = ˆ + ˆ = 80 ο ˆ ˆK + ˆ = 80 ο.
6 7. Έστω ρόµβος και, Ζ σηµεία των, αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι οι ευθείες,, Ζ και Ζ σχηµατίζουν εγγράψιµο τετράπλευρο. Κ A Έστω ΚΛΜΝ το τετράπλευρο. ρκεί να αποδείξουµε ότι η εξωτερική του γωνία ˆ εξ Ν ισούται µε την απέναντι εσωτερική ˆΛ. Ν Λ Μ Ζ Ο ίναι Ν ˆ εξ = ˆ + ˆ + ˆ ˆΛ = ˆ + ˆ () (εξωτερική στο τρίγωνο Ν) () (εξωτερική στο τρίγωνο Λ) ˆ και Ο µεσοκάθετος του, άρα ˆ = ˆ = ˆ + ˆ (εξωτερική στο τρίγωνο ). () ˆΛ = ˆ + ˆ + ˆ (3) ΖΟ µεσοκάθετος του τρίγωνο Ζ ισοσκελές, άρα ˆ = ˆ. (3) ˆΛ = ˆ + ˆ + ˆ (4) πό τις (), (4) Ν ˆ εξ = ˆΛ.
7 8. ίνεται τρίγωνο και το ορθόκεντρό του Η. ν Μ, Μ, Μ είναι τα µέσα 3 των,, αντίστοιχα, Η, Η, Η 3 τα ύψη του και Ζ, Ζ, Ζ τα 3 µέσα των Η, Η, Η αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι: i) το τετράπλευρο Η Μ Μ Μ 3 είναι εγγράψιµο ii) το τετράπλευρο Ζ Η Μ Μ είναι εγγράψιµο iii) τα σηµεία Μ, i H, i σηµείων ή κύκλος του Euler ) Z, i =,, 3 είναι οµοκυκλικά ( Κύκλος των 9 i i). Μ, Μ µέσα πλευρών του τριγώνου 3 Μ Μ H 3 Z Η Μ Μ M 3 M Μ 3 τραπέζιο () Μ, Μ µέσα πλευρών του τριγώνου H 3 Η Z 3 Μ Μ = () Z Η Μ διάµεσος του ορθογωνίου H M 3 τριγώνου Η Η Μ = 3 (3) (), (), (3) Η Μ Μ Μ 3 ισοσκελές τραπέζιο, άρα εγγράψιµο σε κύκλο. ii). Μ, Ζ µέσα πλευρών του τριγώνου Η Μ ΖΗ Μ Μ, τελικά Μ Ζ Μ Μ. Έτσι το τετράπλευρο Ζ Η Μ Μ έχει δύο απέναντι γωνίες ορθές, άρα είναι εγγράψιµο σε κύκλο. iii). i) το Η ανήκει στον κύκλο (c) που ορίζουν τα µέσα Μ, Μ, Μ. 3 Οµοίως τα Η, Η ανήκουν στον (c). 3 ii) το Ζ ανήκει στον κύκλο (c). Οµοίως τα Ζ, Ζ 3 ανήκουν στον (c).