158 STRUCTURA ATOMULUI Cupris: 1.1. Defiiţia atomului şi părţile compoete ale acestuia: electroul şi ucleul 1.. Modelul plaetar al atomului (modelul lui Rutherford) 1..1. Determiarea ughiului de deviere a uei particule α împrăştiate pe u ucleu 1... Teoria statistică a împrăştierii particulelor α 1... Secţiuea eficace petru difuzia particulelor 1... Verificarea experimetală a formulei lui Rutherford 1.1.5. Sarcia şi dimesiuile ucleului 1..6. Neajusurile modelului plaetar al atomului şi postulatele lui Bohr 1.. Modelul atomic Bohr 1..1. Postulatele lui Bohr 1.. Aplicaţii şi probleme 1.1. Defiiţia atomului şi părţile compoete ale acestuia: electroul şi ucleul Iiţial atomul, al cărui ume derivă di grecescul atomos (idivizibil), a fost defiit ca limita iferioară a particulelor î care poate fi divizată substaţa. La ora actuală îsă se ştie că atomul este u sistem complex costituit di particule subatomice cum ar fi electroii, protoii şi eutroii. Î coseciţă, umim atom sistemul fizic cel mai simplu, care este eutru di puct de vedere electric şi care este costituit di particule elemetare. Numim particulă elemetară sau fudametală acea particulă care poate fi cosiderată idivizibilă la u momet dat. Graţie costruirii uor acceleratoare de particule de mare putere pâă î prezet au putut fi puse î evideţă peste de particule elemetare, iar lista rămâe îcă deschisă. Î urma umeroaselor experieţe efectuate de-a lugul timpului s-a arătat că atomul este compus ditr-u ucleu pozitiv, format la râdul său di protoi şi eutroi, şi respectiv electroi. Electroul este particula fudametală cu cea mai mică sarciă observată vreodată, cosiderată uitatea aturală de sarciă şi otată cu e. El are o sarciă egativă măsurată a fi egală cu 1,6.1-19 C. Î urma măsurătorilor experimetale efectuate s-a stabilit că masa electroului este m e = 9,1.1-1 kg.
Curs FIZICĂ II SIM ş.l. dr. ig. Liliaa Preda 159 Protoul, particulă elemetară ce itră î compoeţa ucleului atomic, are o sarciă pozitivă egală cu uitatea aturală de sarciă, iar masa de 18 de ori mai mare decât cea a uui electro, adică m p = 1,67.1-7 kg. Petru u atom defiim umărul atomic, Z, care reprezită umărul de protoi di ucleu, care, îtr-o stare eperturbată, este egal cu umărul de electroi di atom. Neutroul este particula elemetară ce itră î compoeţa ucleului atomic eutră di puct de vedere electric şi avâd o masa aproximativ egală cu cea a protoului. Numărul de eutroi di ucleu, otat cu N, se umeşte umăr eutroic. Petru orice atom se defieşte umărul de masă, A, pri relaţia A = Z + N şi reprezită umărul total de protoi şi eutroi di ucleul atomic. El reprezită umărul îtreg cel mai apropiat de masa atomică reală a speciei respective. O specie ucleară este caracterizată de valori uice petru Z şi A. U elemet este defiit ca o specie de atomi avâd acelaşi umăr atomic, Z. Pâă î prezet se cuosc 1 elemete (9 găsite î atură şi 1 obţiute artificial). Uii atomi avâd umere atomice, Z, idetice şi umere de masă, A, diferite se umesc izotopi. Izotopii deşi au mase atomice diferite au proprietăţi fizice şi chimice asemăătoare. Exemplu: hidrogeul are trei izotopi:protium 1 1 H, deuteriu (D) 1 H şi tritiu (T) 1 H. Deşi există î atură elemete compuse di atomi de u sigur fel (mooizotopice) cum ar fi fluorul, sodiul, alumiiul, fosforul, majoritatea elemetelor sut îsă amestecuri de izotopi, ueori de mulţi izotopi cum ar fi staiul care prezită 1 izotopi. Asemeea elemete se umesc elemete mixte. U atom care î urma uui proces oarecare a pierdut uul sau mai mulţi electroi formează u io pozitiv. Aalog u atom care a câştigat uul sau mai mulţi electroi formează u io egativ. Procesul de pierdere sau câştigare de electroi se umeşte ioizare. 1.. Modelul plaetar al atomului (modelul lui Rutherford) Experieţele efectuate de-a lugul timpului au arătat că atomul, deşi eutru di puct de vedere electric, coţie atât sarcii electrice egative cât şi pozitive. Primele experieţe efectuate asupra uor descărcări î gaze la presiue mică au pus î evideţă existeţa aşa umitelor raze catodice. Studiul amăuţit al acestora a codus la următoarele cocluzii: a) apariţia razelor catodice este idepedetă de atura gazului supus descărcării şi de atura materialului di care sut alcătuiţi electrozii;
16 b) razele catodice sut de fapt u flux de particule îcărcate egativ, idetice cu cele ce apar î efectul fotoelectric sau î cel termoelectric cuoscute sub umele de fascicule de electroi. Deci electroul este u costituet uiversal al substaţelor chimice şi reprezită uitatea de sarciă electrică. Oricare ar fi atura lor chimică atomii trebuie să coţiă electroi. Petru a se păstra starea eutră di puct de vedere electric a atomilor, sarcia egativă a electroilor trebuie să fie compesată pri existeţa uor particule cu sarciă pozitivă. Dacă ipotezele iiţiale asupra structurii atomului presupueau că sarciile electrice pozitive şi egative se distribuie uiform î iteriorul atomului astfel îcât acesta să rămâă eutru di puct de vedere electric, experieţe de împrăştiere a particulelor α pe foiţe subţiri, metalice au codus la ecesitatea recosiderării structurii atomului. Petru a ţie seama de rezultatele experimetale obţiute s-a itrodus u ou model atomic, umit plaetar care presupue că atomul este format ditr-u ucleu cu sarciă pozitivă, î care este cocetrată practic toată masa atomului, şi u îveliş electroic. Primele experieţe de acest tip au fost efectuate de Rutherford î 1911. Î experieţele sale, Rutherford a utilizat u fascicul paralel de raze α proveite di dezitegrarea atomilor de rado. Fasciculul de particule α este îdreptat asupra uor foiţe metalice foarte subţiri (care absorb cât mai puţi di fascicul) şi, cu ajutorul uui detector, se măsoară umărul de particule α împrăştiate sub diferite ughiuri î urma trecerii pri foiţă. Î marea majoritate a cazurilor se costată că ughiul de împrăştiere este mic; apar îsă şi particule α împrăştiate sub ughiuri mari, ueori chiar la 18. Aceasta arată că există o puterică iteracţiue de respigere a particulelor α de către sarciile pozitive di iteriorul atomilor materialului di care este costituită foiţa. Pe baza acestor costatări experimetale, Rutherford a propus oul model atomic bazat pe ideea existeţei î atom a uui ucleu de sarcii pozitive şi a uui îveliş de sarcii egative. Porid de la acest model şi de la supoziţia că forţa de respigere exercitată de ucleu asupra particulei α este de tip coulombia, Rutherford îşi propue să dea o iterpretare matematică a ughiurilor de deviaţie mari obţiute experimetal î cazul împrăştierii particulelor α pe foiţe metalice subţiri. Problema astfel pusă are două părţi, ua reprezetată de determiarea ughiului de deviere a uei particule α idividuale la trecerea pri veciătatea uui ucleu, iar cea de a doua de rezolvarea problemei statistice a acţiuii tuturor atomilor foiţei asupra fluxului de particule α icidete.
Curs FIZICĂ II SIM ş.l. dr. ig. Liliaa Preda 161 1..1. Determiarea ughiului de deviere a uei particule α împrăştiate pe u ucleu Petru rezolvarea primei probleme să cosiderăm ciocirea uei particule α cu ucleul uui atom. Fie v viteza particulei α îaite de ciocirea cu ucleul, câd ea se află practic la o distaţă ifiit mare de puctul O î care se găseşte situat ucleul presupus î repaus (vezi figura.1). Dacă u ar exista o iteracţiue ître particulă şi ucleu aceasta ar avea o traiectorie rectiliie trecâd la o distaţa b de ucleu. Mărimea b se umeşte parametru de ciocire. Di cauza forţei de respigere ditre cele două particule îcărcate cu sarcii de acelaşi sem, traiectoria particulei α va fi modificată; la Figura.1: Traiectoria uei particule α aflate î iteracţiue cu u ucleu de sarciă Ze distaţă suficiet de mare de ucleu, câd practic forţa exercitată de acesta asupra particulei α este eglijabilă, mişcarea ei va fi di ou practic rectiliie, oua traiectorie făcâd ughiul θ cu traiectoria pe care ar fi avut-o particula î abseţa iteracţiuii. Spuem că particula a suferit o deviaţie cu u ughi θ ce trebuie determiat. Petru a găsi soluţia ecuaţiei de mişcare a particulei α cu sarcia electrică +e î câmpul uui ucleu cu sarcia +Ze Rutherford a porit de la următoarele ipoteze: a) masa ucleului poate fi cosiderată practic ifiită, ea fiid la majoritatea elemetelor mult mai mare ca masa m a particulei α. Di această cauză ucleul poate fi cosiderat imobil î timpul iteracţiuii sale cu particula α; b) forţa de iteracţiue ditre particulă şi ucleu se datorează sarciilor electrice şi este de tip coulombia. Î acest caz, eergia poteţială a iteracţiuii este: Ze U = (.1) r Cosiderâd coordoatele polare (r, ϕ), legile coservării eergiei şi a mometului cietic î cazul iteracţiuii particulei α cu ucleul se scriu: m Ze ( r& + r ϕ& ) + = E (.) r
16 mr ϕ& = L (.) î care E şi L sut costate. Trecâd de la derivata î raport cu timpul la cea î raport cu ughiul ϕ şi ţiâd cot de expresia lui ϕ& di ecuaţia (.), r& se scrie: dr dϕ L dr r& = = (.) dϕ dt mr dϕ Elimiâd pe r& şi ϕ& di ecuaţia (.) cu ajutorul ecuaţiilor (.) şi (.) obţiem: m L dr L Ze + E = m r dϕ m r r sau, după mici trasformări, 1 dr me mze 1 1 = (.5) r dϕ L L r r 1 Realizâd schimbarea de variabilă ρ = şi ţiâd cot că r dρ 1 dr = ecuaţia (.5) devie: dϕ r dϕ dρ me mze = ρ ρ (.6) dϕ L L Petru itegrarea ecuaţiei (.6) este comod să o mai derivăm o dată î raport cu ϕ: dρ d ρ mze dρ dρ = ρ. dϕ dϕ L dϕ dϕ Această ecuaţie se mai scrie sub forma: dρ d ρ mze + ρ + = dϕ dϕ πεl dρ Deoarece î geeral, petru ca această ecuaţie să fie valabilă dϕ trebuie ca termeul di parateză să fie ul. Astfel obţiem petru ρ următoarea ecuaţie difereţială liiară, eomogeă, de ordiul doi: d ρ mze + ρ = (.7) dϕ L Itegrala geerală a acestei ecuaţii este egală, după cum se ştie, cu itegrala geerală a ecuaţiei omogee plus o soluţie particulară a ecuaţiei eomogee. Se observă imediat că soluţia ecuaţiei omogee
Curs FIZICĂ II SIM ş.l. dr. ig. Liliaa Preda 16 d ρ + ρ = dϕ este ρ1 = A cosϕ + Bsiϕ î care A şi B sut costate arbitrare care se determiă di codiţiile iiţiale, iar soluţia particulară a ecuaţiei eomogee se alege a fi mze ρ = L Aşadar soluţia ecuaţiei (.7) este de forma mze ρ = ρ1 + ρ = Acosϕ + Bsiϕ (.8) L Petru determiarea costatelor A şi B vom folosi codiţiile iiţiale. Aşa cum se vede di figura.1, petru ϕ=π, r şi deci ρ=. Substituid î ecuaţia (.8) obţiem: mze A = (.9) L A doua codiţie se obţie porid de la relaţia evidetă ce caracterizează ordoata oricărui puct pe traiectorie, y = r siϕ di care obţiem 1 1 ρ = = y r siϕ siϕ Folosid relaţiile (.8) şi (.9) obţiem: 1 mze 1+ cosϕ = + B. y L siϕ Petru ϕ=π, ordoata y este egală cu parametrul de ciocire b, iar primul terme di membrul doi se aulează. Obţiem aşadar B = 1 iar b soluţia ecuaţiei (.7) ia forma defiitivă: 1 1 mze ρ = = siϕ ( 1+ cosϕ ) (.1) r b L Di figura.1 se observă că θ este valoarea ughiului ϕ câd r. Pri urmare puâd r, ρ, iar di ecuaţia (.1) obţiem petru θ următoarea expresie: θ L mv b ctg = = (.11) mze b Ze î care am ţiut cot de expresia mometului cietic L = mvb, v reprezetâd viteza particulei α. Cu aceasta am obţiut soluţia problemei
16 oastre: găsirea ughiului cu care este deviată particula α î câmpul coulombia al ucleului atomic. Observaţie: Di ecuaţia (.11) se observă că ughiul de deviere este cu atât mai mare cu cât sarcia ucleului este mai mare, cu cât viteza particulei α, v, este mai mică şi cu cât particula va trece mai aproape de ucleu (b mic). 1... Teoria statistică a împrăştierii particulelor α Dacă avem u fascicul mooeergetic de particule care trec pri veciătatea uui ucleu, ele vor fi deviate îtr-o măsură mai mare sau mai mică î fucţie de parametrul lor de ciocire, parametru imposibil de măsurat di puct de vedere experimetal. Di această cauză ar fi iutil să îcercăm verificarea experimetală a formulei (.11). Totuşi, putem pue această formulă la baza uei teorii statistice care e va da o expresie a secţiuii eficace de difuzie î fucţie de parametrii accesibili uei determiări experimetale. La baza uei astfel de teorii, Rutherford a pus următoarele ipoteze: a) atomul este alcătuit ditr-u ucleu pozitiv, cu dimesiuile mult mai mici decât raza atomului, şi di electroi ce se găsesc î jurul ucleului. Practic, toată masa atomului este cocetrată î ucleu. b) Ciocirea uei particule α cu u electro rămâe î eseţă fără efect asupra traiectoriei ei di cauza marii deosebiri de masă ditre cele două particule. c) Î foiţa împrăştietoare ucleele sut la distaţe d suficiet de mari ître ele astfel îcât valoarea parametrului de ciocire b petru care particula α trece practic edeviată este mai mică decât d: b <d. d) Foiţa împrăştietoare este destul de subţire petru ca umărul particulelor α care suferă două sau mai multe ciociri, deci două sau mai multe devieri succesive, să fie eglijabil. Fie o foiţă împrăştietoare de grosime δ şi de arie A şi să cosiderăm o porţiue foarte mică a foiţei pe care să o deseăm la o scară foarte mare (vezi figura.). U fascicul de particule α, mooeergetice, cad perpedicular pe foiţă. Fie N umărul de particule α ce sosesc î uitatea de timp pe toată aria A a foiţei. Pe Figura.: Împrăştierea uui fascicul de particule α pe ucleele uei foiţe de subţiri
Curs FIZICĂ II SIM ş.l. dr. ig. Liliaa Preda 165 uitatea de arie vor cădea î uitatea de timp N/A particule. Să cosiderăm u ucleu arbitrar, C 1, di foiţă (vezi figura.). Toate particulele α care vor trece la distaţe cuprise ître b şi b+db de ucleul C 1 vor fi împrăştiate sub diferite ughiuri cuprise ître θ şi θ+dθ ude θ este ughiul de împrăştiere corespuzător lui b iar θ+dθ cel corespuzător lui b+db. Dar particulele α cu parametrii de ciocire cuprişi ître b şi b+db sut tocmai acelea care cad pe o regiue ielară cu cetrul î C 1, avâd raza mică egală cu b şi lăţimea db. Cum aria acestei regiui este πbdb şi umărul de particule α ce cad î uitatea de timp pe uitatea de arie a foiţei este N/A, umărul particulelor α ce sosesc î uitatea de timp î veciătatea ucleului C 1 şi au parametrii de ciocire cuprişi ître b şi b+db va fi egal cu: N ( dn ) 1 = π bdb A (.1) Dacă otăm cu umărul de uclee di uitatea de volum a foiţei, umărul total de uclee va fi Aδ şi umărul total de particule α care sosesc î uitatea de timp pe foiţă şi au parametrii de ciocire cuprişi ître b şi b+db va fi: dn = Aδ ( dn ) 1 = π Nδbdb (.1) Cum fiecărei valori a parametrului b îi corespude u aumit ughi de deviere θ, dn reprezită şi umărul de particule care, î urma împrăştierii pe ucleele di foiţă, sut deviate cu ughiuri cuprise ître θ şi θ+dθ. Ze θ Rescriid relaţia (.11) sub forma b = ctg şi difereţiid obţiem: mv Ze dθ db = (.1) mv θ si Semul mius di ecuaţia (.1) idică umai faptul că θ se micşorează cu creşterea parametrului de ciocire, b. Îlocuid b şi db di (.11) şi (.1) î ecuaţia (.1) obţiem petru valoarea absolută a lui dn expresia: θ cos Z e dn = πnδ dθ (.15) ( ) m θ v si După împrăştiere, cele dn particule α vor avea direcţiile de mişcare cuprise ître două couri axiale, cu vârful comu şi cu ughiurile de deschidere egale respectiv cu θ şi (θ+dθ) (vezi figura.). Dacă î calea particulelor împrăştiate se pue u ecra cu sulfură de zic perpedicular pe axa courilor, cele dn particule vor produce scâteieri distribuite î suprafaţa ielară decupată pe ecra de cele două couri coaxiale.
166 Să calculăm acum umărul de particule α împrăştiate î uitatea de ughi solid î jurul uei aumite direcţii ce face ughiul θ cu axa courilor. Avem: θ θ dω = π siθ dθ = π si cos dθ (.16) Îlocuid pe d θ di (.16) î (.15) obţiem: Figura.: Împrăştierea particulelor α ughiul θ şi creşte repede o dată cu micşorarea lui θ. dn = Nδ dω Z ( ) e m v 1 θ si (.17) Aceasta reprezită formula lui Rutherford. După cum se poate observa, umărul particulelor α difuzate î uitatea de ughi solid depide foarte mult de 1... Secţiuea eficace petru difuzia particulelor Fie umărul de particule imobile di uitatea de volum care produc difuzia. Să îlocuim fiecare particulă difuzată pritr-o ţită, u disc de rază r şi arie σ, aleasă astfel îcât fiecare particulă mobilă care trece pri iteriorul acestui disc să sufere o deviaţie (ciocire). Se remarcă că dimesiuea lui σ este [cm -1 ]. Aria σ se umeşte secţiue eficace petru difuzie, iar r este raza secţiuii eficace. Produsul σ se umeşte secţiue macroscopică şi reprezită suma secţiuilor eficace î uitatea de volum. Semificaţia statistică a secţiuii eficace poate fi explicată î felul următor: să presupuem că desitatea N a fluxului de particule difuzate este egală cu 1, adică pritr-u cm trece o particulă îtr-o secudă. Numărul al cetrelor difuzate î uitatea de volum îl presupuem de asemeea egal cu 1. Atuci, probabilitatea de a suferi o difuzie poate fi exprimată ca raportul ditre aria secţiuii eficace σ şi aria fluxului adică 1 cm. Astfel σ este probabilitatea ca o particulă icidetă să fie difuzată î procesul de trecere pritr-u strat cu o grosime de 1 cm, coţiâd o sigură particulă difuzată, iar σ probabilitatea de a suferi difuzia dacă desitatea particulelor difuzate di strat este. Î urma trecerii pritr-u strat de o grosime oarecare δ fasciculul paralel, icidet, cu desitatea de particule N suferă o ateuare datorată
Curs FIZICĂ II SIM ş.l. dr. ig. Liliaa Preda 167 faptului că fiecare particulă difuzată părăseşte fasciculul paralel şi u va fi îregistrată la detector. Dacă împărţim îtregul strat î straturi ifiit de subţiri de grosimi dx, umărul particulelor difuzate di fiecare cm este dat de dx, iar suma secţiuilor lor eficace este σdx. Cu aceste otaţii, legea ateuării fasciculului de particule icidete se scrie: -dn=nσdx (.18) de ude itegrâd obţiem N=N e -σx î care N este umărul de particule icidete pe stratul gros. Dacă ţiem cot de defiiţia dată mai sus petru secţiuea eficace de ciocire putem exprima secţiuea eficace de ciocire, dσ, a ucleului petru difuzia particulelor α sub u ughi cupris ître θ şi θ+dθ se scrie: dσ=πbdb (.19) Ţiâd cot de (.19), formula lui Rutherford petru difuzia particulelor α, (.17), exprimată î secţiui eficace de ciocire se scrie: Ze dω dσ = (.) mv θ si 1... Verificarea experimetală a formulei lui Rutherford Formula lui Rutherford dată de relaţia (.17) se poate verifica experimetal î mod direct. Îtr-adevăr lucrâd cu u fascicul de particule α dn mooeergetice (v=cost.) putem imediat verifica depedeţa de θ a lui dω petru u aumit material difuzat (Z=cost.). Aşadar dacă meţiem toate celelalte codiţii eschimbate şi variem umai ughiul θ obţiem 1 dn θ si = cost. (.1) N dω Pe de altă parte, folosid particule α icidete de diverse eergii cietice, se dn poate verifica uşor depedeţa lui de eergia cietică a particulelor dω icidete care, coform relaţiei (.17) trebuie să fie de forma: 1 dn Wci cost. N dω = (.) Verificarea experimetală a relaţiilor (.1) şi (.) efectuată de către Rutherford a fost îcuuată de succes cofirmâd astfel valabilitatea ipotezelor care au stat la baza lor. Pri urmare, s-a adus astfel dovada faptului că atomul u poate fi imagiat ca o sferă compactă, ci mai degrabă ca u sistem plaetar î
168 miiatură, î care electroii se mişcă î jurul ucleului, de dimesiui extrem de reduse, purtâd o sarciă pozitivă şi î care este cocetrată îtreaga masa a atomului. 1.1.5. Sarcia şi dimesiuile ucleului O dată verificată ipoteza existeţei ucleului atomic se pue problema detemiării sarciii şi dimesiuii acestuia. Determiarea sarciii electrice a ucleului: formula de împrăştiere a lui Rutherford poate servi la determiarea lui Z şi implicit a sarciii electrice a ucleului. Petru aceasta Chadwick a costruit î 19 u dispozitiv care dn permitea măsurarea simultaă a lui N şi petru o valoare fixată a lui θ. dω Ulterior, di ecuaţia (.17) se determiă Z. Experieţele efectuate au arătat că, î limita erorilor experimetale, valorile obţiute petru Z pri experieţe efectuate asupra uor medii împrăştietoare diverse sut foarte apropiate de umărul de ordie al elemetului respectiv î tabelul îtocmit de Medeleev reprezetâd î acelaşi timp şi umărul sarciilor pozitive elemetare ale ucleului. De aici şi di codiţia ca atomul să fie eutru di puct de vedere electric, rezultă că umărul electroilor care se rotesc î jurul ucleului trebuie să fie Z. Calculâd masa ucleului cu formula mucleu = matom Zmelectro şi ţiâd cot că Zm electro << matom rezultă că mucleu m atom. Deci toată masa atomului este practic cocetrată î ucleu cofirmâd astfel ipoteza lui Rutherford coform căreia, î primă aproximaţie, masa ucleului poate fi cosiderată practic ifiită faţă de masa particulei α î cazul mediilor folosite de el petru difuzie. Spre exemplu, petru aur avem m 197 aur = 5. m α Dimesiuile ucleului: Presupuâd că ucleul are o formă sferică, se poate obţie ordiul de mărime al diametrului său calculâdu-se distaţa miimă de ucleu la care poate trece particula α. Petru aceasta să cosiderăm traiectoria uei particule α î câmpul ucleului aşa cum a fost ea prezetată î figura.1. Distaţa r mi la care trece particula α faţă de ucleu este tocmai distaţa ditre vârful hiperbolei şi ucleu, adică este determiată de bisectoarea ughiului format de cele două asimptote ale hiperbolei. Pri urmare ughiul ϕ m format de r mi cu direcţia de mişcare a particulei va fi egal cu: π θ ϕ m = + (.) Itroducâd valoarea lui ϕ m î (.1) şi îlocuid pe b cu expresia rezultată di (.11) obţiem petru r mi expresia:
Curs FIZICĂ II SIM ş.l. dr. ig. Liliaa Preda 169 Ze 1 r mi = 1 + (.) W θ ci si Di (.) rezultă că particula α se va apropia cu atât mai mult de ucleu cu cât θ va fi mai mare. Valoarea miimă r pe care o poate lua r mi se obţie petru θ=π şi are expresia: Ze r = (.5) W ci Experieţele de difuzie efectuate de Rutherford şi Chadwick la argit au dat petru r valoarea r.1-1 cm. Cu alte cuvite, suma razelor ucleelor de Ag şi He este sub.1-1 cm. La elemetele mai uşoare, Z fiid mai mic, r va fi şi el mai mic. Totuşi experieţele efectuate pe alumiiu şi mageziu au arătat că petru eergii ale particulelor petru care r se apropie de 1-1 cm apar abateri importate de la legea de împrăştiere a lui Rutherford. Aceasta îseamă că la distaţe atât de mici ître particula α şi ucleu u acţioează umai forţa coulombiaă, ci şi forţe de altă atură cuoscute sub umele de forţe ucleare. Putem deci cosidera că razele ucleelor sut de ordiul a 1-1 cm. Pe de altă parte, di experieţele di teoria cietică a gazelor rezultă petru razele atomilor valori de ordiul a 1-8 cm, iar teoria electromagetică clasică furizează petru raza electroului valoarea,8.1-1 cm. De aici se despride cocluzia că ucleul u ocupă decât o ifimă parte di atom, raportul volumelor ucleului şi atomului fiid: 1 1 1 = 1 8 1 Cam aceeaşi fracţiue di volumul atomului este ocupată de electroi. Ajugem astfel la cocluzia că atomul u trebuie coceput ca o particulă compactă, ci dimpotrivă ca avâd o structură găuoasă deoarece ucleul şi electroii u ocupă decât a 1-1 parte di volumul atomului restul fiid liber. 1..6. Neajusurile modelului plaetar al atomului şi postulatele lui Bohr Aşa cum am văzut deja, atomul este costituit ditr-u ucleu greu, îcărcat pozitiv şi electroii care îl îcojoară. Di puctul de vedere al mecaicii clasice, acest sistem u poate fi î echilibru dacât dacă electroii se rotesc î jurul ucleului pe orbite bie determiate. Vom arăta că, di puctul
17 de vedere al electrodiamicii clasice, atomul ar fi totuşi estabil, deoarece, pri mişcarea accelerată, electroii ar trebuie să radieze eergie sub formă de ude electromagetice şi, pri urmare, să cadă pe ucleu. Să e imagiăm cazul simplu al uui electro care se mişcă uiform î jurul ucleului, pe o orbită circulară. Această rotaţie va fi o mişcare accelerată şi de aceea ea trebuie să fie îsoţită de emisia uor ude electromagetice. Petru a calcula itesitatea acestor radiaţii, să descompuem mişcarea circulară uiformă î două oscilaţii armoice după axele x şi y: x = a cos ωt, y = asiωt (.6) Astfel, î locul electroului care se roteşte uiform pe orbita circulară, putem cosidera radiaţia a doi dipoli care execută oscilaţii cu aceeaşi frecveţă ω şi de aceeaşi amplitudie a, dar pe direcţii perpediculare. Di teoria oscilatorului armoic se cuoaşte că umai valoarea medie a eergiei totale a oscilatorului are iteres practic, iar expresia acesteia este dată de relaţia: _ && p I = c î care c reprezită viteza lumiii î vid, iar p mometul dipolului. Presupuâd că sarcia pozitivă a dipolului se află î repaus î origiea coordoatelor, iar sarcia egativă oscilează î lugul axei x, mometul dipolar are expresia p=ex. Î acest caz emisia medie de eergie îtr-o perioadă se exprimă sub forma: _ e I = & x (.7) c Potrivit acestei relaţii, radiaţiile celor doi dipoli ce aproximează mişcarea electroului î jurul ucleului se pot scrie: e a ω e a ω I x = cos ωt I y = si ωt (.8) c c Î aceste codiţii radiaţia totală a orbitei circulare va fi: e a ω I = I x + I y = (.9) c Se observă că emisia totală a orbitei circulare u depide de timp. Să cosiderăm acum cazul mai geeral al electroului ce se mişcă î jurul ucleului şi care este legat de acesta pri forţa coulombiaă. Î acest caz, compoetele mişcării după axele de coordoate x şi y u mai reprezită oscilaţii armoice simple. Totuşi aceste mişcări pot fi îtotdeaua dezvoltate î serie Fourier, adică cosiderate ca rezultat al suprapuerii uor oscilaţii armoice simple. Dacă alegem ca axe de coordoate axele pricipale ale elipsei, avem:
Curs FIZICĂ II SIM ş.l. dr. ig. Liliaa Preda 171 x = a1 cosωt + a cos ω t + a cosω t (.a) y = b1 siωt + b si ω t + b si ω t (.b) Porid de la defiiţia eergiei totale a oscilatorului di ecuaţia (.7) şi ţiâd cot de ecuaţiile (.a şi b) obţiem: x& = a1ω siωt aω si ω t aω si ω t & x = a1ω siωt aω si ω t 9aω si ω t && x = ω [ a1 cos ωt + 16a cos ωt + 81a cos ωt + a1a cosωt cosωt + 9a1a cosωt cosωt + 6aa cosωt cosωt ] Ţiâd cot de relaţiile de trasformare trigoometrice: 1 cos cos + α α = cosα cos β = cos( α + β ) + cos( α β ) şi dâd factor comu fucţiile trigoometrice de aceeaşi frecveţă obţiem: && x ω = + [ a1 + 16a + 81a + ( a1a + 6aa ) cosωt + ( a1 + 9a1a ) ( 16a + 9a a ) cosωt + 6a a cos5ωt + 81a cos6ωt] 1 cosωt + a a Î cotiuare _ T π ω ω / 1 & x = && x dt = π && x dt (.1) T şi îlocuid pe & x& di ecuaţia de mai sus obţiem spre rezolvare itegrale de π / ω tipul: cosk ωtdt = petru oricare ar fi k îtreg. Î coseciţă, di ecuaţia (.1) obţiem: [ a + 16a 81a ] & x = ω 1 + iar itesitatea medie a oscilaţiilor pe direcţia x este dată de relaţia: e a1 e a e a I ω ( ω ) ( ω ) x = + + (.a) c c c Aalog se obţie petru itesitatea medie a oscilaţiilor pe direcţia y relaţia e b1 e b e b I ω ( ω ) ( ω ) y = + + (.b) c c c 1 cosωt +
17 Aduâd itesităţile oscilaţiilor obţiute pe cele două direcţii (presupuâd că oscilaţiile pe direcţii perpediculare u iterferă), observăm că ea corespude uui asamblu de oscilatori cu frecveţele ω, ω, ω, etc. Î cocluzie remarcăm că, di puctul de vedere al electrodiamicii clasice, electroul care se mişcă pe o orbită Kepler emite u îtreg spectru de frecveţe, format di frecveţa fudametală şi di armoicile corespuzătoare. Emisia de radiaţie a electroului ce se mişcă î jurul ucleului ar coduce cu timpul la pierderea itegrală a eergiei electroului coducâd î fial la căderea acestuia pe ucleu. Î aceste codiţii, frecveţa de rotaţie ar trebui să varieze eîcetat coducâd la u spectru cotiuu de emisie al atomului. Experimetal s-a costatat că spectrul de emisie al uui atom este îtotdeaua discret, format di liii spectrale caracteristice ete. Aceasta dovedeşte că mişcarea electroului î jurul ucleului este remarcabil de stabilă fiid astfel î cotradicţie cu prezicerile electrodiamicii clasice. 1.. Modelul atomic Bohr 1..1. Postulatele lui Bohr Tocmai aceste rezultate experimetale l-au codus pe Niels Bohr î 191 la itroducerea a două oi postulate care stau la baza teoriei cuatice a structurii atomului: Postulatul 1: Atomii şi sistemele atomice se pot găsi timp îdelugat umai î stări bie determiate, umite stări staţioare, î care u emit şi u absorb eergie deşi î aceste stări au loc mişcări ale particulelor îcărcate (electroii). Î aceste stări staţioare sistemele atomice posedă eergii care formează u şir discret: E 1,E,..., E. Aceste stări sut caracterizate pri stabilitatea lor, orice variaţii de eergie provocate de emisii sau absorbţii de eergie realizâdu-se umai cu o trecere ditr-o stare î alta. Postulatul : La trecerea ditr-o stare staţioară î alta, atomii emit sau absorb umai radiaţii de frecveţă bie determiată. Radiaţia emisă sau absorbită la trecerea di starea E m î starea E este moocromatică, iar frecveţa ν a acestei radiaţii se determiă di codiţia: hν = E m E. Ambele postulate cotrazic et codiţiile electrodiamicii clasice, deoarece, coform primului postulat, atomii u emit radiaţii deşi electroii care itră î structura atomului execută o mişcare accelerată pe orbite îchise, iar, coform celui de-al doilea postulat, frecveţele emise la trecerea atomului ditr-o stare staţioară î alta u au imic î comu cu frecveţele mişcărilor periodice ale electroilor.
Curs FIZICĂ II SIM ş.l. dr. ig. Liliaa Preda 17 1... Teoria lui Bohr asupra structurii atomilor La baza modelului lui Bohr asupra structurii atomului stau următoarele ipoteze: 1. Orbitele staţioare pe care se mişcă electroii î atom sut date de codiţia ca mărimea mometului cietic petru acestea să fie u umăr îtreg de h. Matematic scriem: mv r = h (.) î care v şi r reprezită viteza şi respectiv raza orbitei pe care se mişcă electroul î atom.. Electroul trece ditr-o stare staţioară î alta pri emisia sau absorbţia uui foto a cărui frecveţă este dată de relaţia: Em E = hν m (.) î care E m şi E sut eergiile stărilor staţioare ître care are loc traziţia electroului.. Iteracţia ditre electro şi ucleu este de tip electrostatic şi deci putem scrie: mv Ze = (.5) r r Porid de la aceste ipoteze să studiem, î cadrul modelului lui Bohr, sistemul compus ditr-u ucleu cu sarciă +Ze şi u electro ce se mişcă pe o orbită circulară î jurul acestuia. Elimiâd v ître ecuaţiile (.) şi (.5) obţiem petru raza orbitei a -a a electroului următoarea expresie: h r = = r 1 (.6) Ze m î care r 1 este raza primei orbite Bohr şi are o valoare dată de relaţia: h 1 1 r1 = =,5 Ă 9 19 1 Ze m 9 1 1,6 1 9,1 1 Di ecuaţia (.6) cuoscâd raza orbitei electroului se poate calcula şi viteza acestuia pe orbita di expresia h h v1 v = = = (.7) mr mr1 î care v 1 este viteza electroului pe prima orbită Bohr şi este dată de h 6,6 1 7 v = = = 1,5 1 m / s 1 1 1 mr1 9,1 1,5 1 Ştiid că eergia totală a electroului este dată de suma eergiilor cietice şi poteţiale, petru electroul ce se mişcă pe orbita a -a se scrie:
17 mv Ze 1 Ze Ze Ze E = = = r r r 8πε r Îlocuid expresia razei orbitei a -a di ecuaţia (.6) obţiem petru eergia totală a electroului expresia: ( Ze ) m E1 E = = (.8) ( ) h ude E 1 este eergia primei orbite Bohr care, petru hidroge avâd Z=1, are valoarea: 19 1 9 Z e m 1,6 1 9,1 1 9 1 9 81 1,6 1 E1 = = = 1 J 1, 6eV h 1 ( ) 1... Serii spectrale. Termei spectrali Itroducâd î ecuaţia (.) expresiile eergiilor orbitelor m şi, coform ecuaţiei (.8) putem scrie: E1 E1 = hν m m Rearajâd această expresie şi defiid umărul de udă ca fiid ~ 1 ν = obţiem formula lui λ Balmer geeralizată: Figura.: Seriile spectrale ale atomului de hidroge ~ E1 1 1 1 ν = = R 1 hc m m (.9) î care R=1,9.1 5 cm -1 reprezită costata lui Rydberg. Itroducâd otaţiile petru termeii spectrali R R T ( m) = si T ( ) = m observăm că umărul de udă al oricărei liii spectrale di spectrul hidrogeului poate fi reprezetat sub forma de difereţă a doi termei spectrali petru valori diferite ale lui m şi :
Curs FIZICĂ II SIM ş.l. dr. ig. Liliaa Preda 175 ~ ( m) T ( ) ν = T Totalitatea liiilor spectrale care au u terme spectral costat formeză o serie spectrală. Î figura. se prezită reprezetările grafice ale seriilor spectrale ale hidrogeului: Lyma (m=1, >1), Balmer (m=, >), Pasche (m=, >), Brackett (m=, >), Pfud (m=5, >5). Petru m=, > şi Z=1 obţiem seria Balmer a atomului de hidroge (vezi figura.): ~ 1 1 ν = R =,,5,... Această formulă coicide practic cu formula empirică dată de Balmer î 1885 petru a descrie matematic succesiuea liiilor spectrale obţiute experimetal î cazul hidrogeului. 1.. Aplicaţii şi probleme Problema 1..1: Să se găsească lugimea de udă a radiaţiei emise de atomul de hidroge la trecerea electroului de pe ivelul excitat = pe ivelul fudametal =1. ªtiid că timpul de viaţă mediu al stării excitate este τ=1-8 s să se calculeze umărul de rotaţii efectuate de electro î jurul ucleului pâă la reîtoarcerea pe ivelul fudametal. Rezolvare: La trecerea uui electro de pe ivelul excitat cu = pe ivelul fudametal putem scrie: hc hc E E1 = λ = λ E E1 em 1 Dar E = şi deci expresia lui λ devie: 8h ε hc hcε 7 λ = = m em me 1 1 11, 1 8h ε Petru a calcula umărul de rotaţii efectuate de electro pe orbită pâă la îtoarcerea pe ivelul fudametal este ecesară determiarea caracteristicilor orbitei cu =.
176 e v v = di care rezultă v ε h = e 1 ε = h r = a ude a este raza primei orbite Bohr. Raza celei dea doua orbite Bohr este r = a. Lugimea traiectoriei parcurse de electro î timpul τ este v 1τ L = v τ =. Numărul de rotaţii efectuate de electro pe orbită este dat de raportul ditre lugimea traiectoriei parcurse şi lugimea orbitei a doua. L v1τ Astfel k = = 87, rotaţii. π r 16π a Problema 1..: a) Petru atomul de hidroge să se determie primul poteţial de ioizare; b) Să se calculeze ce viteză miimă ar trebui să aibe u electro petru ca, î urma iteracţiei lui cu u atom de hidroge, să se emită toate liiile tuturor seriilor di spectrul hidrogeului. Rezolvare: a) Poteţialul de ioizare U i al uui atom se găseşte di formula: eu i =W i ude W i este lucrul mecaic ecesar trasportului uui electro de pe o orbită ormală la ifiit. Petru atomul de hidroge: 1 1 W i = hν = hcr k Câd k=1 şi = acest lucru este: Wi = hcr iar poteţialul de ioizare este: Wi hcr Ui = = = 1, 6V. e e b) Toate liiile tuturor seriilor atomului de hidroge apar câd atomul de hidroge este ioizat. Petru aceasta trebuie să avem îdepliită codiţia: W mi =W i =1,6 ev. Scriid legea de coservare a eergiei î forma: mv i eu i = obţiem v mi = 6 eu i =, 1 m / s m Problema 1..: Să se calculeze raza orbitei a -a a atomului de hidroge dacă se ştie că traziţia electroului de pe orbita pe orbita p (p=)
Curs FIZICĂ II SIM ş.l. dr. ig. Liliaa Preda 177 este îsoţită de emisia uei cuate de radiaţie cu lugimea de udă λ=87 Ǻ. Rezolvare: Lugimea de udă a traziţiei electroului de pe orbita pe orbita p este dată de expresia: 1 1 1 λ = k k Z e m ude R = = (1) hc p hc 8h ε c ε h Raza orbitei este r em a = = () π Elimiâd ître ecuaţiile (1) şi () obţiem h Rλ p r = =8, Ǻ π me Rλ p ( ) Problema 1..: Radiaţiile electromagetice moocromatice emise î vizibil şi UV apropiat de atomul de hidroge costituie seria Balmer. Lugimile de udă ale acestor radiaţii verifică relaţia: λ = λ ude λ =65.1-1 m. a) Să se idice valoarea cea mai mică posibilă a lui şi să se deducă lugimea de udă a radiaţiei electromagetice respective; b) Care sut umerele de udă şi lugimile de udă ale radiaţiilor vizibile di acest spectru dacă el este limitat î partea ultravioletului de λ v =ă; c) Să se calculeze lugimea de udă limită petru tizâd la ifiit şi să se deducă eergia fotoului corespuzător. Rezolvare: a) Di codiţia λ> obţiem -> şi deci >. Lugimea de udă corespuzătoare la miim se obţie petru = şi este 9 λ = λ = 6561 1 1 m. 5 b) Di codiţia λ λ obţiem λ λ v şi deci λ v = 6 λ λ v
178 Deci 6 şi lugimile de udă asociate sut: = 9 λ = λ = 6561 1 m 5 = 16 λ = λ = 86 1 m 1 =5 5 λ = λ = 1 m 1 =6 6 λ = λ = 11 1 m 1 c) Petru obţiem λ = λ λ 1 hc Eergia fotoului corespuzător este E = =, ev. λ.