ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΕΥΦΥΗΣ ΕΛΕΓΧΟΣ Ενότητα #6: Συστήματα Ασαφούς Λογικής Ασαφοποιητές - Αποασαφοποιητές Αναστάσιος Ντούνης Τμήμα Μηχανικών Αυτοματισμού Τ.Ε.
Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. 2
Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3
Σκοποί ενότητας Δομή συστήματος ασαφούς λογικής Ασαφής βάση γνώσης Ιδιότητες κανόνων Μηχανές ασαφούς συμπεράσματος Ασαφοποιητές - Αποασαφοποιητές 4
Περιεχόμενα ενότητας Δομή συστήματος ασαφούς λογικής Ασαφής βάση γνώσης Ιδιότητες κανόνων Μηχανές ασαφούς συμπεράσματος Ασαφοποιητές - Αποασαφοποιητές Ασκήσεις 5
Δομή Συστήματος Ασαφούς Λογικής
ΔΟΜΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΑΣΑΦΟΥΣ ΛΟΓΙΚΗΣ (1) 7
ΔΟΜΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΑΣΑΦΟΥΣ ΛΟΓΙΚΗΣ (2) 8
Ασαφής βάση γνώσης
Ασαφής βάση γνώσης (1) Ο πυρήνα των ασαφών συστημάτων (ΠΕ-ΜΕ) είναι η βάση των ασαφών κανόνων. Επομένως ένια πολύ βασικό να επισημανθεί η δομή που πρέπει να έχει ένας ασαφής κανόνας ώστε η ανθρώπινη γνώση να μπορεί να παρουσιαστεί μέσα από αυτή τη μορφή του κανόνα. Ένας κανόνας πρέπει να έχει την παρακάτω δομή: RR ll : ΕΕάνν xx 1 εείνννννν ΑΑ 1 ll κκκκκκ κκκκκκ xx nn είναι ΑΑ nn ll Τότε y είναι ΒΒ ll (1) όπου ΑΑ ii ll και ΒΒ ll είναι ασαφή σύνολα στο UU ii και στο V αντίστοιχα, xx = (xx 1, xx 2,, xx nn ) TT και y είναι οι γλωσσικές μεταβλητές (είσοδος και έξοδος) του συστήματος ασαφούς λογικής και Μ ο αριθμός των κανόνων στη βάση γνώσης (ll = 1,2,, MM). 10
Ασαφής βάση γνώσης (2) Στη δομή αυτή περιλαμβάνονται και κανόνες που έχουν το συνδετικό τελεστή «ή» στο υποθετικό μέρος του κανόνα. Για παράδειγμα R: Εάν x 1 είναι A 1 και x 2 είναι A 2 ή x 3 είναι A 3 και x 4 είναι Α 4 Τότε y είναι Β ο κανόνας αυτός είναι ισοδύναμος με τους παρακάτω δυο κανόνες: Εάν x 1 είναι A 1 και x 2 είναι A 2 Τότε y είναι B Εάν x 3 είναι A 3 και x 4 είναι A 4 Τότε y είναι B 11
Ιδιότητες του συνόλου των ασαφών κανόνων
Ιδιότητες του συνόλου των ασαφών κανόνων (1) Πληρότητα: Η πληρότητα του συνόλου των κανόνων σημαίνει ότι για οποιαδήποτε είσοδο να ενεργοποιηθεί οπωσδήποτε ένας κανόνας. Συνέπεια: H ιδιότητα της συνέπειας του συνόλου των κανόνων σημαίνει ότι να μην υπάρχουν αντικρουόμενοι κανόνες, δηλαδή κανόνες που να έχουν το ίδιο υποθετικό μέρος και διαφορετικό συμπέρασμα. Η ιδιότητα αυτή δεν είναι κρίσιμη διότι η ασαφής μηχανή συμπεράσματος και ο αποασαφοποιητής θα συμβιβάσει την κατάσταση υπολογίζοντας το μέσο όρο των αντικρουόμενων κανόνων. 13
Ιδιότητες του συνόλου των ασαφών κανόνων (2) Συνέχεια: Το σύνολο των κανόνων είναι συνεχές εάν δεν υπάρχουν γειτονικοί κανόνες όπου τα ασαφή σύνολα του συμπερασματικού μέρους τους να μην τέμνονται. Με άλλα λόγια η συμπεριφορά του συστήματος να είναι ομαλή (smooth). 14
Γενική μορφή ασαφούς κανόνα
Γενική μορφή ασαφούς κανόνα Εάν <Αίτιο> Τότε <Επακόλουθο> Το αίτιο έχει την ίδια μορφή ενώ το επακόλουθο διαφοροποιείται και δημιουργούνται οι παρακάτω τύποι κανόνων: Ασαφής κανόνας τύπου Mamdani Ασαφής κανόνας τύπου Sugeno Ασαφής κανόνας τύπου Tsukamoto 16
Μηχανή ασαφούς συμπεράσματος
Μηχανή ασαφούς συμπεράσματος Η μηχανή ασαφούς συμπεράσματος συνδυάζει τους ασαφείς κανόνες που υπάρχουν στη βάση γνώσης ώστε να γίνει η απεικόνιση του ασαφούς συνόλου από το πολυδιάστατο χώρο U σε ένα ασαφές σύνολο στο μονοδιάστατο χώρο V. Εάν η ασαφής βάση γνώσης περιέχει έναν κανόνα τότε το GMP πραγματοποιεί την απεικόνιση από το U στο V. Σε πραγματικές εφαρμογές όμως η βάση γνώσης αποτελείται από αρκετούς κανόνες και επομένως το ερώτημα είναι πώς θα συσσωρεύσουμε (aggregation) σε ένα ασαφές σύνολο όλη τη γνώση που προέρχεται από τα σύνολο των κανόνων. Υπάρχουν δυο βασικοί τρόποι για να γίνει αυτό. 18
Συσσώρευση γνώσης σε ασαφές σύνολο από κανόνες Βασικοί τρόποι πραγματοποίησης
Α) Ο πρώτος τρόπος: «Συμπέρασμα βασισμένο στη σύνθεση» (1) Θεωρεί όλη τη βάση γνώση ως μια ασαφή σχέση. Γνωρίζουμε ότι κάθε κανόνας είναι μια ασαφής σχέση επομένως συνδυάζοντας τις ασαφείς σχέσεις των κανόνων προκύπτει η συνολική ασαφής σχέση που εκφράζει τη βάση γνώσης. Ο συνδυασμός όλων των ασαφών σχέσεων των κανόνων επιτυγχάνεται είτε με τον τελεστή max (και) (Mamdani συνδυασμός) ή με τον τελεστή min(ή) (Gödel συνδυασμός). Mamdani: μμ cc (xx, yy) = max μμ cc1 (xx, yy), μμ cc2 (xx, yy),, μμ ccmm (xx, yy) (2) Gödel: μμ cc (xx, yy) = min μμ cc1 (xx, yy), μμ cc2 (xx, yy),, μμ ccmm (xx, yy) (3) 20
Ο πρώτος τρόπος: «Συμπέρασμα βασισμένο στη σύνθεση» (2) μμ cc (xx, yy) είναι η συνάρτηση συμμετοχής του τελικού ασαφούς συνόλου, και μμ cc1 (xx, yy) είναι η συνάρτηση συμμετοχής της ασαφούς σχέσης ll = 1,2,, MM. Το CC 1 είναι μια ασαφής σχέση στο UxV, η οποία παριστάνει τον ασαφή κανόνα (1), δηλαδή έχει τη μορφή CC ll = AA ll 1 AA ll 2 ll AA nn BB ll. Η συνάρτηση συμμετοχής της ασαφούς σχέσης εκφράζεται ως συνεπαγωγή Mamdani μμ cc1 xx, yy = min (μμ AA1 ll AAll nn (xx), μμ BB ll yy ) ή με οποιαδήποτε άλλη ασαφή συνεπαγωγή (DR, L, G, Z,MM,MP). 21
Ο πρώτος τρόπος: «Συμπέρασμα βασισμένο στη σύνθεση» (3) Η ασαφής πρόταση στο υποθετικό μέρος του κανόνα εκφράζεται ως μια ασαφής σχέση AA ll 1 AA ll ll 2 AA nn στο U με συνάρτηση συμμετοχής μμ AA1 ll AAll nn (xx) η οποία ορίζεται με τον τελεστή min. μμ AA1 ll AAll (xx) = mmmmmm μμ nn AA1 ll (xx 1 ),, μμ AAnn ll (xx nn ) ή με τον τελεστή του αλγεβρικού γινομένου μμ AA1 ll AA nn ll (xx) = μμ AA1 ll (xx 1 ),, μμ AAnn ll (xx nn ). 22
Ο πρώτος τρόπος: «Συμπέρασμα βασισμένο στη σύνθεση» (4) Έστω Α ένα ασαφές σύνολο στο U και το δεδομένο αυτό είναι η είσοδος στη μηχανή ασαφούς συλλογισμού. Τότε τη συνάρτηση συμμετοχής του ασαφούς συνόλου Β της εξόδου της μηχανής δένεται από τη σχέση μμ ΒΒ (yy) = sup xx UU {tt nnnnnnnn[ μμ AA (xx), μμ CC (xx, yy)]} (4) Η διαδικασία υπολογισμού του συνολικού συμπεράσματος είναι: 1ο βήμα: Για κάθε κανόνα υπολογίζουμε τη συνάρτηση συμμετοχής μμ AA1 ll AA nn ll (xx). 23
Ο πρώτος τρόπος: «Συμπέρασμα βασισμένο στη σύνθεση» (5) 2ο βήμα: Εφαρμόζουμε για κάθε κανόνα έναν από τους κανόνες συνεπαγωγής και καθορίζουμε τη συνάρτηση συμμετοχής 3ο βήμα: Καθορίζουμε τη συνάρτηση συμμετοχής μμ cc xx, yy του τελικού ασαφούς συνόλου 4ο βήμα: Για μια δεδομένη είσοδο Α η συνάρτηση συμμετοχής της εξόδου Β της εξόδου της μηχανής δίνεται από τη σχέση 4 24
B) Δεύτερος τρόπος (1) Ο δεύτερος τρόπος παράγει ένα συνολικό συμπέρασμα βασισμένο στα ατομικά συμπεράσματα των κανόνων. Κάθε κανόνας στην ασαφή βάση γνώσης καθορίζει ένα ασαφές σύνολο στο συμπέρασμά του. Όλα τα ασαφή σύνολα που παράγονται από το σύνολο των κανόνων συνδυάζονται με τον τελεστή max ή min και δημιουργούν το τελικό ασαφές σύνολο. Η διαδικασία υπολογισμού του συνολικού συμπεράσματος είναι: 1ο βήμα: Για κάθε κανόνα υπολογίζουμε τη συνάρτηση συμμετοχής 2ο βήμα: Εφαρμόζουμε για κάθε κανόνα έναν από τους κανόνες συνεπαγωγής και καθορίζουμε τη συνάρτηση συμμετοχής 25
Δεύτερος τρόπος (2) 3ο βήμα: Για μια δεδομένη είσοδο Α στο U υπολογίζουμε το ασαφές σύνολο Β στο V σε κάθε κανόνα σύμφωνα με τον κανόνα GMP μμ ΒΒ ll (yy) = sup{tt nnnnnnnn[μμ ΑΑ ( xx), μμ CCll (xx, yy)]} xx UU 4o βήμα: Η έξοδος της ασαφούς μηχανής είναι ο συνδυασμός των Μ ασαφών κανόνων είτε με τον τελεστή max ή με τον τελεστή min 26
Δεύτερος τρόπος (3) Από τα προηγούμενα κεφάλαια είδαμε ότι υπάρχει μια ποικιλία τεχνικών που μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε για τη δόμηση της μηχανής συμπεράσματος. Ειδικά έχουμε τελεστές t-norm και t-conorm στις ασαφείς προτάσεις, ασαφείς συνεπαγωγές στους κανόνες (DR, G, Z, MM, MP) και δύο διαφορετικούς τρόπους συνδυασμού των ασαφών κανόνων της βάσης γνώσης. Στα ασαφή συστήματα και στον ασαφή έλεγχο έχουν καθιερωθεί δύο μηχανές ασαφούς συλλογισμού: η μηχανή συμπεράσματος με γινόμενο και η μηχανή συμπεράσματος με ελάχιστο. 27
Δεύτερος τρόπος (4) Μηχανή Συμπεράσματος με Γινόμενο. Χρησιμοποιούνται τα ατομικά αποτελέσματα των κανόνων τα οποία συνδυάζονται με τον τελεστή max την ασαφή συνεπαγωγή Mamdani- Product το αλγεβρικό γινόμενο για τους t- norm τελεστές και το max για τους t- conorm μμ ΒΒ (yy) = mmmmmm MM ll=1 Μηχανή Συμπεράσματος με Ελάχιστο. Χρησιμοποιούνται τα ατομικά αποτελέσματα των κανόνων τα οποία συνδυάζονται με τον τελεστή max την ασαφή συνεπαγωγή Mamdani-Min, το αλγεβρικό γινόμενο για τους t-norm τελεστές και το max για τους t- conorm μμ ΒΒ (yy) = mmmmmm MM ll=1 sup xx UU sup xx UU nn min μμ AA (xx) μμ ll AAii (xx ii )μμ BB ll (yy) (5) ii=1 min μμ AA (xx), μμ AA1 ll (xx 1 ),, μμ AAnn ll (xx nn )μμ ΒΒ ll (yy) (6) 28
Δεύτερος τρόπος (5) Εάν το ασαφές σύνολο Α είναι μονοσύνολο, όπως θα αναλύσουμε στην επόμενη παράγραφο, τότε οι εκφράσεις τριών απλοποιημένων μηχανών ασαφούς συμπεράσματος είναι: 1. Μηχανή Συμπεράσματος με Γινόμενο μμ ΒΒ (yy) = mmmmmm MM ll=1 μμ ll AAii (xx 0 ii )μμ BB ll (yy) (7) 2. Μηχανή Συμπεράσματος με Ελάχιστο 3. Μηχανή Συμπεράσματος με Lukasiewicz nn ii=1 μμ ΒΒ (yy) = mmmmmm MM ll=1 min μμ AA1 ll (xx 0 1 ),, μμ AAnn ll (xx 0 nn )μμ ΒΒ ll (yy) (8) μμ ΒΒ (yy) = mmmmmm MM ll=1 1,1 min nn μμ ii=1 AA1 ll (xx 0 1 ) + μμ ΒΒ ll (yy) (9) 29
Δεύτερος τρόπος (5) 30
Mamdani Reasoning Max-Min Composition 31
Larsen Reasoning Max- product Composition 32
TSK Reasoning 33
Tsukamoto Reasoning 34
Ασαφοποιητές
Ασαφοποιητές (1) Ο ασαφοποιητής ορίζεται ως μια απεικόνιση ενός διανύσματος πραγματικών αριθμών xx = {xx 1, xx 2,, xx nn } UU σε ένα ασαφές σύνολο στο υπερσύνολο αναφοράς U. Τα βασικά κριτήρια σχεδιασμού ενός ασαφοποιητή είναι : α) ο ασαφοποιητής να θεωρεί την είσοδο ως ένα ασαφές μονοσύνολο με το μέγιστο βαθμό συμμετοχής, β) εάν η είσοδος υπόκεινται σε θόρυβο τότε είναι επιθυμητό ο ασαφοποιητής να περιορίζει το θόρυβο και γ) ο βασικός στόχος είναι η απλοποίηση των υπολογισμών που απαιτούνται στο ssssss XX UU στις σχέσεις 5 και 6. 36
Μονότιμος ασαφοποιητής (Singleton fuzzifier) Ο μονότιμος ασαφοποιητής απεικονίζει την πραγματική μέτρηση xx 0 σε ένα ασαφές μονοσύνολο Α το οποίο έχει τιμή συμμετοχής 1 στο xx 0 και 0 στα άλλα σημεία του υπερσυνόλου αναφοράς U, δηλαδή: μμ ΑΑ (xx) = δδ(xx xx 0 1 εεάνν xx = xx0 ) = 0 δδδδδδδδδδδδδδδδδδδδά Όπου δ είναι η δέλτα συνάρτηση 37
Μη μονότιμος ασαφοποιητής (Non Singleton fuzzifier) Ο μη μονότιμος ασαφοποιητής μπορεί να είναι Γκαουσιανός ή τριγωνικός ασαφοποιητής. Ο Γκαουσιανός ασαφοποιητής έχει συνάρτηση συμμετοχής: μμ ΑΑ (xx) = ee (xx xx 0 αα )2 Θεωρούμε ότι μμ ΑΑΑ xx 0 = 1 και ότι όσο το x απομακρύνεται από το xx 0 το μμ ΑΑΑ xx μικραίνει. Η παράμετρος α είναι ένας θετικός αριθμός και καθορίζει τη μορφή της συνάρτησης συμμετοχής. 38
Τριγωνικός ασαφοποιητής Ο τριγωνικός ασαφοποιητής έχει συνάρτηση συμμετοχής μμ ΑΑ (xx) = 1 xx xx0 bb bb 0 δδδδδδδδδδδδδδδδδδδδά Θεωρούμε ότι μμ ΑΑΑ xx 0 = 1 και ότι όσο το x απομακρύνεται από το xx 0 το μμ ΑΑΑ xx 0 μικραίνει. Η παράμετρος b είναι ένας θετικός αριθμός και καθορίζει τη μορφή της τριγωνικής συνάρτησης συμμετοχής. Οι παραπάνω ασαφοποιητές ικανοποιούν τα κριτήρια σχεδιασμού. Στην πράξη χρησιμοποιείται συνήθως ο μονότιμος ασαφοποιητής 39
Αποασαφοποιητές
Αποασαφοποιητές (1) Ο αποασαφοποιητής ορίζεται ως μια απεικόνιση του ασαφούς συνόλου Β, το οποίο είναι η έξοδος της μηχανής ασαφούς συμπεράσματος, σε ένα σαφές σημείο yy VV. Αυτή η λειτουργία είναι όμοια με τη μέση τιμή μιας τυχαίας μεταβλητής. Τρία βασικά κριτήρια υπάρχουν για την κατάλληλη επιλογή της μεθόδου αποασαφοποίησης. Τα κριτήρια αυτά είναι: α) η υπολογιστική απλότητα που είναι ένας σημαντικός παράγοντας για ασαφείς ελεγκτές που δουλεύουν σε πραγματικό χρόνο, β) σε μια μικρή αλλαγή του συνόλου Β η μέθοδος αποασαφοποίησης δεν πρέπει να επιφέρει μεγάλη αλλαγή στην τιμή του y* και γ) η τελική τιμή y* να είναι περίπου στο κέντρο του συνόλου στήριξης του Β ή να έχει έναν υψηλό βαθμό συμμετοχής στο σύνολο Β. Οι κυριότερες μεθοδολογίες αποασαφοποίησης είναι οι εξής: 41
Μέθοδος κέντρου βάρους Center of Gravity ή Centroid, COG ή COA Στη μέθοδο αυτή η τιμή y* δίνεται από την σχέση yy = VV yyμμ ΒΒ (yy)dddd μμ VV ΒΒ (yy)dddd ή εάν το σύνολο Β είναι διακριτό από τη σχέση yy = yy iiμμ ΒΒ (yy ii ) ii μμ ΒΒ (yy ii ) ii Το μειονέκτημα αυτής της μεθόδου είναι το υπολογιστικό φορτίο που υπάρχει όταν το σύνολο Β είναι ακανόνιστο. Η δεύτερη μέθοδος αποασαφοποίησης έχει απλούστερο τύπο και υπολογιστική απλότητα σε σχέση με την COG. 42
Μέθοδος των υψών ή σταθμισμένος μέσος όρος (Height method ή weighted average method) (1) Το ασαφές σύνολο B είναι η ένωση ή η τομή των Μ ασαφών συνόλων που είναι οι έξοδοι των ενεργοποιημένων κανόνων. Μια καλή προσέγγιση της προηγούμενης μεθόδου και υπολογιστική απλότητα είναι ο σταθμισμένος μέσος όρος των κέντρων βαρύτητας yy ll των Μ ασαφών συνόλων. Οι συντελεστές βαρύτητας είναι τα ύψη των αντίστοιχων ασαφών συνόλων ww ll = μμ ΒΒ ll(yy ll ) 43
Μέθοδος των υψών ή σταθμισμένος μέσος όρος (Height method ή weighted average method) (2) Χωρίς να μας ενδιαφέρει εάν χρησιμοποιούμε «και» (min) ή αλγεβρικό γινόμενο ως ασαφή συνεπαγωγή το κέντρο βαρύτητας yy ll των ασαφών συνόλων BB ll για συμμετρικά σχήματα συναρτήσεων συμμετοχής είναι: η τιμή που αντιστοιχεί στην κορυφή του ισοσκελούς ή ισόπλευρου τριγώνου, η κεντρική τιμή της Γκαουσιανής συνάρτησης και το μέσον του συνόλου στήριξης ενός συμμετρικού τραπεζίου. Στη μέθοδο αυτή η τιμή yy h δίνεται από την σχέση: yy h = MM ii=1 MM ii=1 ww ll yy ll ww ll Η μέθοδος των υψών χρησιμοποιείται ευρύτατα σε ασαφή συστήματα και στον ασαφή έλεγχο. 44
Μέθοδος Αποασαφοποίησης μεγίστου (Maximum defuzzifier) (1) Η μέθοδος αυτή επιλέγει το y * για την οποία το μμ ΒΒ (yy) έχει την μεγαλύτερη τιμή του. Αυτή η τεχνική είναι υπολογιστικά πολύ απλή, αλλά τις περισσότερες φορές δε δίνει ικανοποιητικά αποτελέσματα. Ειδικά, όταν υπάρχουν πολλαπλά μέγιστα, η επιλογή της γίνεται τυχαία μεταξύ των μεγίστων. Υπάρχουν τρεις παραλλαγές της μεθόδου που επιλύουν αυτό το πρόβλημα. Αποασαφοποίηση του μικρότερου από τα μέγιστα (Smallest of Maxima ή SOM defuzzifier): Στην τεχνική αυτή, από όλα τα μέγιστα, επιλέγεται το μικρότερο και η έξοδος του συστήματος yy SSSSSS είναι: yy SSSSSS Όπου m ο αριθμός όλων των μεγίστων. = min (yy 1, yy 2,, yy mm ) 45
Μέθοδος Αποασαφοποίησης μεγίστου (Maximum defuzzifier) (1) Αποασαφοποίηση του μεγαλύτερου από τα μέγιστα (Largest of Maxima ή LOM defuzzifier), όπου η έξοδος του συστήματος yy LLLLLL = max (yy 1, yy 2,, yy mm ) yy LLLLLL είναι: 46
Αποασαφοποίηση με μέσο όρο των μεγίστων (Mean of Maxima ή ΜΟΜ defuzzifier) Η μέθοδος αυτή, αντιμετωπίζει το πρόβλημα των πολλαπλών μεγίστων που συναντάμε στην αποασαφοποίηση μεγίστου, δίνοντας στην έξοδο την μέση τιμή όλων των yy ll Η έξοδος του συστήματος yy MMMMMM εκφράζεται από την παρακάτω σχέση: yy MMMMMM = 1 yy ll mm Στην περίπτωση που υπάρχει μόνο ένα μέγιστο, οι τρεις αυτές παραλλαγές ταυτίζονται με την αποασαφοποίηση μεγίστου. Οι αποασαφοποιητές μεγίστου δεν ικανοποιούν το δεύτερο κριτήριο κατά το οποίο μικρή αλλαγή στο σύνολο B επιφέρει μεγάλη αλλαγή στο yy mm ii=1 47
Γραφική απεικόνιση Μεθόδων αποασαφοποίησης 48
Υπολογιστικοί τύποι αποασαφοποίησης ZZ CCCCCC = ZZ μμ ΑΑ(zz)zzzzzz μμ ΑΑ (zz)dddd ZZ ZZ MMMMMM = ZZ zzzzzz dddd ZZ wwheeeeee ZZ = {zz; μμ AA (zz) = μμ } μμ ΑΑ (zz)dddd = μμ ΑΑ (zz)dddd αα ZZ BBBBBB ββ ZZ BBBBBB 49
Ασκήσεις 50
Ασκήσεις (1) 1. Ας υποθέσουμε ότι ένα σύστημα με δύο κανόνες έδωσε ως αποτέλεσμα το ασαφές σύνολο όπως φαίνεται στο σχήμα, όπου yy 1 = 0, yy 2 = 1, ww 1 = 0.9 και ww 2 = 0.7. Να υπολογισθεί η αποασαφοποιημένη τιμή y * με την μέθοδο του κέντρου βάρους, τη μέθοδο των υψών και με τη μέθοδο του μέσου όρου των μεγίστων. (Απάντηση: yy = 0.4258, yy h = 0.4258 κκκκκκ yy MMMMMM = 0) 51
Ασκήσεις (2) 2. Να επαναληφθεί η άσκηση 1 με δεδομένα ww 1 = 0.6 κκκκκκ ww 2 = 0.7 (Απάντηση: yy = 0.3324, yy h = 0.3571 κκκκκκ yy MMMMMM = 0) 52
Ασκήσεις (3) 3. Έστω ένα σύστημα με τρεις κανόνες. Οι έξοδοι των κανόνων έδωσαν τα παρακάτω ασαφή σύνολα. 53
Ασκήσεις (4) a) Να βρεθεί το τελικό ασαφές σύνολο Β των εξόδων χρησιμοποιώντας τον τελεστή max b) Να υπολογισθεί η απασαφοποιημένη τιμή y * με την μέθοδο του κέντρου βάρους, τη μέθοδο των υψών και με τη μέθοδο του μέσου όρου των μεγίστων. (Απάντηση: yy = 4.9, yy h = 5.41 κκκκκκ yy MMMMMM = 6.5) 54
Ασκήσεις (5) 4. Θεωρούμε ένα σύστημα ασαφούς λογικής με δύο εισόδους και μια έξοδο. Οι κανόνες που διέπουν το σύστημα είναι: Εάν xx 1 είναι ΑΑ 1 και xx 2 είναι ΑΑ 2 Τότε y είναι ΑΑ 1 Εάν xx 1 είναι ΑΑ 2 και xx 2 είναι ΑΑ 1 Τότε y είναι ΑΑ 2 Όπου οι συναρτήσεις συμμετοχής των ΑΑ 1 και ΑΑ 2 είναι: 1 xx εεάνν 1 xx 1 μμ ΑΑ1 (xx) = 0 δδδδδδδδδδδδδδδδδδδδά μμ ΑΑ2 (xx) = 1 xx 1 εεάνν 0 xx 2 0 δδδδδδδδδδδδδδδδδδδδά και 55
Ασκήσεις (6) Υποθέτουμε ότι η είσοδος στο σύστημα είναι (xx 1 0, xx 2 0 ) = (0.3, 0.6) a) και χρησιμοποιούμε μονότιμο ασαφοποιητή. Να βρεθεί η έξοδος του συστήματος στις παρακάτω περιπτώσεις: b) χρησιμοποιούμε μηχανή συμπεράσματος με γινόμενο και για αποασαφοποιητή τη μέθοδο των υψών. (Απάντηση: yy h =0.2222) c) χρησιμοποιούμε μηχανή συμπεράσματος με γινόμενο και για αποασαφοποιητή τη μέθοδο του κέντρου βάρους. (Απάντηση: yy = 0.1871) 56
Τέλος Ενότητας