Τοµέας Τοπογραφίας, Εργ. Ανώτερης Γεωδαισίας Εισαγωγή στο γήινο πεδίο βαρύτητας (Αρχές της Φυσικής Γεωδαισίας) ιδάσκοντες ηµήτρης εληκαράογλου Παρασκευάς Μήλας Γεράσιµος Μανουσάκης Σε προηγούµενο µάθηµα αναφέρθηκε ότι Σε αρκετά προβλήµατα στη Φυσική Γεωδαισία εξετάζονται µεγέθη που εξαρτώνται από προσανατολισµούς καικατευθύνσεις, π.χ. η διεύθυνση της κατακορύφου, η καµπυλότητα των δυναµικών και ισοδυναµικών γραµµών, η αλλαγή της κίνηση υπό την επίδραση βαρυτικών δυνάµεων κ.ά. Κίνηση χωρίς βαρύτητα Κίνηση µε βαρύτητα Τα εργαλεία της Φυσικής Γεωδαισίας Η κατανόηση και ο χειρισµός ποσοτικών ή µορφολογικών αλλαγών, εντός του πεδίου βαρύτητας, µπορούν να αντιµετωπιστούν συνδυάζοντας έννοιες και µεθόδους του ιαφορικού και Ολοκληρωτικού Λογισµού µε τις αντίστοιχες προσανατολιστικές συνθήκες και επιδράσεις θεωρητική και µεθοδολογική αντιµετώπιση µέσω µαθηµατικών εργαλείων του διανυσµατικού λογισµού 7ο εξάµηνο, Ακαδ. Έτος 016-17 Στο σηµερινό µάθηµα Βασικές έννοιες της Άλγεβρας ιανυσµάτων Τελεστές: σύµβολα που υποδηλώνουν πραγµατοποίηση πράξεων παραγώγισης ή µετασχηµατισµού βαθµωτών και διανυσµατικών µεγεθών Χρήση τους για το χαρακτηρισµό των ιδιοτήτων και της συµπεριφοράς ενός πεδίου Ώστε να δούµε σε επόµενο µάθηµα πως ακριβώς εφαρµόζονται στην περίπτωση του γήινου πεδίου βαρύτητας Βασικές έννοιες της Άλγεβρας ιανυσµάτων Για να ορίσουµε πράξεις στις οποίες υπεισέρχονται διανύσµατα, είναι χρήσιµο αυτά να παριστάνονται σε µια από τις παραπάνω ισοδύναµες µορφές, ως συνάρτηση των συνιστωσών τους κατά τις διευθύνσεις των συντεταγµένων αξόνων και των µοναδιαίων διανυσµάτων Βασικές έννοιες της Άλγεβρας ιανυσµάτων Καρτεσιανές Συντ/νες Κυλινδρικές Συντ/νες Σφαιρικές Συντ/νες Βασικές πράξεις της Άλγεβρας ιανυσµάτων Το γεωµετρικό τους άθροισµα, η γεωµετρική τους διαφορά, το εσωτερικό, το εξωτερικό, το αριθµητικό και το δυαδικό τους γινόµενο π.χ. a = i + 3 j k b = i j + 3k a + b = 3i + j + k i j k k a a b = i + 5 j 4k axb = 3 1 = 7i 7 j 7k λ b 1 3 a b = 6 3 = 7 a b = ii 4ij + 6ik + 3 ji 6 jj + 9 jk ki + kj 3kk Εσωτερικό γινόµενο διανυσµάτων A B =? θ =? Το εσωτερικό ή σκαλινό γινόµενο δύο διανυσµάτων A και B, συµβολιζόµενο ως A B, είναι ένα βαθµωτό µέγεθος ίσο προς το γινόµενο των µέτρων των δύο διανυσµάτων επί το συνηµίτονο της µεταξύ τους γωνίας Εσωτερικό γινόµενο διανυσµάτων A B =? θ =? Το εσωτερικό γινόµενο δύο διανυσµάτων είναι βαθµωτό (αριθµός) και αντιστοιχεί στην προβολή ενός διανύσµατος στο άλλο Εάνδύοµηµηδενικά διανύσµατα Aκαι B έχουν εσωτερικό γινόµενο µηδέν τα διανύσµατα είναι κάθετα µεταξύ τους, A B
Εσωτερικό γινόµενο διανυσµάτων A B = A B cosθ x x y = A B + A B + A B Με ιδιότητες: Αντιµεταθετική A B = B A Επιµεριστική A ( B+ C) = A B + A C y z z Εξωτερικό γινόµενο διανυσµάτων a xb = a b sinθ = nˆ sinθ a xb n nˆ a θ b Ορίζεται γεωµετρικά ως το διάνυσµα κάθετο στο επίπεδο που σχηµατίζουν τα δύο διανύσµατα A και B, µεφορά σύµφωνη µε τον κανόνα του δεξιόστροφου κοχλία, όταν το διάνυσµα A στρέφεται προς το B, σαρώνοντας τη µικρότερη γωνία θ Εξωτερικό γινόµενο διανυσµάτων a xb = a b sinθ = nˆ sinθ a xb n nˆ a θ b Με ιδιότητες: Αντιµεταθετική a xb = b xa a x( b + c) = a xb + a xc Επιµεριστική Εξωτερικό γινόµενο διανυσµάτων a xb = a b sinθ = nˆ sinθ a xb n nˆ a θ b Με ιδιότητες: Αντιµεταθετική a xb = b xa a x( b + c) = a xb + a xc Επιµεριστική Εξωτερικό γινόµενο διανυσµάτων καρτεσιανές κυλινδρικές σφαιρικές υαδικό γινόµενο διανυσµάτων 3 3 a = a e = ia + ja + ka, b = b e = ib + jb + kb i i 1 3 j j 1 3 i= 1 j= 1 Το δυαδικό γινόµενο ορίζεται ως τετραγωνικός πίνακας που προκύπτει από τον πολλαπλασιασµό του a ως διάνυσµα-στήλη µε το διάνυσµα b ως διάνυσµα-σειρά Τανυστές Τύποι τανυστών Α Γ B Τανυστής n τάξης στο χώρο των διαστάσεων: n συνιστώσες κατά την αλλαγή των αξόνων υπακούει σε ορισµένο µετασχηµατισµό τανυστές 0 ής τάξης, 0 =3 0 =1 βαθµωτά (µονόµετρα) µεγέθη τανυστές 1 ης τάξης, 1 =3 1 =3 διανυσµατικά µεγέθη τανυστές ης τάξης, =3 =9 π.χ.,., τάση, ανηγµένη παραµόρφωση S ij, i,j=1,,3 Συµµετρικός Αντισυµµετρικός (στροφέας) Ισότροπος (όπου οι άξονες θεωρούνται ισοδύναµοι)
[Τανυστές ης τάξης][ ][διάνυσµα]=διάνυσµα Το δέλτα του Konecke Το δέλτα του Konecke δυαδικό γινόµενο π.χ. οι ιδιότητες των ορθοκανονικών διανυσµάτων βάσης µπορούν να εκφραστούν χρησιµοποιώντας τον τελεστή δέλτα του Konecke Στο σύµβολο Konecke αντιστοιχεί ο µοναδιαίος πίνακας (τανυστής ης τάξης) ιαφορικός Λογισµός ιανυσµάτων & Τελεστές Ένας τελεστής στα µαθηµατικά, µπορεί να θεωρηθεί ως ένα σύµβολο ή γενίκευση της έννοιας της συνάρτησης και ορίζεται γενικά ως µια συνάρτηση που δρα πάνω στη "µορφή" κάποιας άλλης συνάρτησης ως σύνολο, µετασχηµατίζοντάς την κατά έναν καθορισµένο τρόπο και να δώσει µια άλλη συνάρτηση των ίδιων µεταβλητών. π.χ., η παράγωγος διανυσµατικής du du 1 du du = i + j + k 3 ποσότητας ως προς µονόµετρη ποσότητα dt dt dt dt ιαφορικός Λογισµός ιανυσµάτων & Τελεστές Τελεστές - Σύµβολα µπροστά από διανυσµατικές ή βαθµωτές συναρτήσεις που υποδηλώνουν πραγµατοποίηση πράξεων παραγώγισης ή µετασχηµατισµού Τελεστής ανάδελτα, Τελεστής βαθµίδα, gad Τελεστής απόκλιση, div Τελεστής περιστροφή, ot ή cul Τελεστής Laplace, Μπορεί να εφαρµόζεται τελεστής σε τελεστή Τελεστής Ανάδελτα, Εφαρµόζεται σε µονόµετρες και σε διανυσµατικές συναρτήσεις ενµπορείναθεωρηθείσανδιάνυσµα, γιατίγιααυτό δεν µπορεί να ορισθεί µέτρο και διεύθυνση. Μπορεί όµωςναθεωρηθείότιέχειδιανυσµατικόχαρακτήρα, (αφού η έκφραση του περιέχει τα µοναδιαία διανύσµατα i, j, k και υπακούει στους κανόνες της διανυσµατικής άλγεβρας), όπως επίσης και διαφορικό χαρακτήρα, (αφού περιέχει τις µερικές παραγώγους / x, / y, / z δηλαδή, δρα σε συναρτήσεις των x,y,z τις οποίες και παραγωγίζει). Τελεστής Ανάδελτα, Εφαρµόζεται σε µονόµετρες και σε διανυσµατικές συναρτήσεις Είναι διανυσµατικός διαφορικός τελεστής των µερικών παραγώγων µιας συνάρτησης ωςπροςτιςτρειςδιαστάσειςτουχώρου. Στη ξένη βιβλιογραφία αναφέρεται ως Anadelta, Del ή Nla, από την αρχαία ελληνική λέξη για την άρπα των Ασσυρίων Το αποτέλεσµα της εφαρµογής του είναι έναδιάνυσµα, ήπιοσωστάέχειιδιότητεςανάλογεςµε εκείνες των διανυσµάτων ff Βαθµωτή σ. F ιανυσµ. σ. Απόκλιση Div, divegence F Βαθµωτή σ. F F ιανυσµ σ. Κλίση, βαθµίδα Gad, gadient f ιάνυσµα Περιστροφή ή στροβιλισµός Cul ή Rot ιανυσµ. σ. Τελεστής Ανάδελτα, Εκφράζεται µε παρόµοιο τρόπο στα διαφορετικά συστήµατα συντεταγµένων καρτεσιανές κυλινδρικές σφαιρικές
Κλίση ή Βαθµίδα, gad Ορίζεται ως ο βαθµωτός πολλαπλασιασµός του τελεστή ανάδελτα µε µια βαθµωτή συνάρτηση f=f(x,y,z), η οποία έχει συνεχείς µερικές παραγώγους π.χ. εάν f=µονόµετρη ποσότητα gad f = f Ιδιότητες Κλίση ή Βαθµίδα, gad Ανσεκάθεσηµείοτουπεδίουορισµούτης συνάρτησης f() µπορούµε να αντιστοιχίσουµε ένα διάνυσµα gadf() δηµιουργείται ένα διανυσµατικό πεδίο που αποκαλείται πεδίο κλίσεων της f(). π.χ. εάν f=µονόµετρη ποσότητα gad f = f Με άλλα λόγια, ο τελεστής µετασχηµατίζει ένα βαθµωτό πεδίο (µια συνάρτηση) σε ένα διανυσµατικό πεδίο Κλίση ή Βαθµίδα, gad Συνδέεται (αλλά δεν πρέπει να συγχέεται) µε την κατευθύνουσα παράγωγο df/ds σε κάποιο σηµείο P 0 (x 0,y 0,z 0 ), σεβαθµωτό πεδίο f, κατά τη διεύθυνση του µοναδιαίου διανύσµατος u ή το διαφορικό Κλίση ή Βαθµίδα, gad Τοδεξιόµέλος f u αποτελείταιαπόδυοµέρη: Τοµοναδιαίοδιάνυσµα u, µας δίνει µια µόνο πληροφορία, τη διεύθυνση ως προς την οποία θέλουµε να υπολογίσουµε την κατευθύνουσα παράγωγο του f. Τοδεύτεροµέρος, τοδιάνυσµα f, έχεισχέση µε τα χαρακτηριστικά και τις ιδιότητες του βαθµωτού πεδίου f. Κλίση ή Βαθµίδα, gad Ηδιεύθυνσητηςβαθµίδας f σεκάποιοσηµείοείναιη διεύθυνση εκείνη που εάν την ακολουθήσουµε, τότε η παράγωγος df/ds, (δηλαδή ο συντελεστής µεταβολής του βαθµωτού πεδίου f), θα είναι η µεγαλύτερη που µπορεί να έχει το βαθµωτό πεδίο στο σηµείο αυτό. Κλίση ή Βαθµίδα, gad Η κλίση ή βαθµίδα ενός βαθµωτού πεδίου f, σε κάποιο σηµείο, είναι ένα διάνυσµα που δείχνει προς την κατεύθυνση του ποσοστού αύξησης του βαθµωτού πεδίου, και το µέγεθος του διανύσµατος gadf εκφράζει το µεγαλύτερο ρυθµό µεταβολής του πεδίου Το σύνολο των κλίσεων σε όλα τα σηµεία της περιοχής ορισµού του βαθµωτού πεδίου f είναι ένα διανυσµατικό πεδίο το αποκαλούµενο πεδίο κλίσεων Κλίση ή Βαθµίδα, gad Αφού ο τελεστής gad µετασχηµατίζει ένα βαθµωτό πεδίο (µια συνάρτηση) σε ένα διανυσµατικό πεδίο, τι σηµαίνει το αντίστροφο; Εάνέναδιανυσµατικόπεδίο F()είναιίσοµετη βαθµίδακάποιαςδιαφορίσιµηςσυνάρτησης V(), δηλ. F() = - V(), τοδιανυσµατικόπεδίο F() λέγεται ότι είναι συντηρητικό πεδίο και η βαθµωτή συνάρτηση V() λέγεται συνάρτηση δυναµικού ή δυναµικό του διανυσµατικού πεδίου. Αργότερα θα δούµε ότι το βαρυτικό πεδίο της Γης είναι ένα συντηρητικό διανυσµατικό πεδίο που προέρχεται πράγµατι από µια συνάρτηση δυναµικού V, το γήινο δυναµικό της βαρύτητας. Κλίση ή Βαθµίδα, gad H κλίση ή βαθµίδα ενός βαθµωτού πεδίου, εξαρτάται από την εκλογή των αξόνων του συστήµατος αναφοράς H βαθµωτή συνάρτηση f(x,y,z) είναι ανεξάρτητη από τον προσανατολισµό των αξόνων του συστήµατος αναφοράς Το διάνυσµα f, παραµένει αµετάβλητο εάν το σύστηµα αναφοράς περιστραφεί σε σχέση µε την αρχή του Κλίση ή Βαθµίδα, gad P(x,y,z)= P(x,y,z ) π.χ. η βαθµωτή συνάρτηση που εκφράζει τη θερµοκρασία Τ σε ένα σηµείο P(x,y,z)= P(x,y,z ) είναι ανεξάρτητη από το σύστηµα συντεταγµένων Τ= Τ
Κλίση ή Βαθµίδα Βαθµίδα, gad f P Το κάθετο διάνυσµα σε µια επιφάνεια f(x,y,z) = 0, σε ένα σηµείο Ρ(x,y,z) σε διάνυσµα θέσης =(x,y,z) Για µια στοιχειώδη µετακίνηση του Ρ στην επιφάνεια έχουµε το To d είναι κάθετο εφαπτόµενο διάνυσµα στην κλίση gadf γιατί d=(dx,dy,dz) ισχύει f x P dx + f y P dy + f z P dz = 0 Κλίση ή Βαθµίδα, gad Από τη σχέση του ολικού διαφορικού και του τελεστή gad συνάγεται εύκολα ότι δηλαδή, U d εκφράζει την αλλαγή στη µονόµετρη ποσότητα U όταν κινούµαστε κατά d ( d =ds) ο ρυθµός αλλαγής του U κατά απόσταση ds σε οποιαδήποτε διεύθυνση d είναι η προβολή του gadu στη διεύθυνση d Κλίση ή Βαθµίδα, gad π.χ., Η βαθµίδα µεταβολής του υψοµέτρου σε ένα σηµείο µιας πλαγιάς είναι διάνυσµα κάθετο στην ισοϋψή στο σηµείο αυτό και περιγράφει την τοπογραφική κλίση στο εν λόγω σηµείο Η ένταση του βαρυτικού πεδίου, g, είναι η βαθµίδα του δυναµικού του πεδίου βαρύτητας, U Για µια µικρή µετακίνηση στην ισοδυναµική επιφάνεια Επιφάνειες σταθερού U (ισοδυναµικές) ff Βαθµωτή σ. Κλίση, βαθµίδα Gad, gadient f ιάνυσµα ff Βαθµωτή σ. Κλίση, βαθµίδα Gad, gadient f ιάνυσµα ff Βαθµωτή σ. Κλίση, βαθµίδα Gad, gadient f ιάνυσµα καρτεσιανές σ. καρτεσιανές f παράδειγµα για βαθµωτή συνάρτηση στο επίπεδο? κυλινδρικές σφαιρικές σ. κυλινδρικές σφαιρικές Ανακεφαλαιώνοντας τα περί βαθµίδας Η κλίση ή βαθµίδα µιας βαθµωτής συνάρτησης U, είναι ένα διάνυσµα το οποίο, σε κάθε σηµείο: 1. είναι κάθετο στις επιφάνειες σταθερού U. Έχει τη διεύθυνση προς την οποία ο ρυθµός αύξησης του U είναι µέγιστος 3. Έχει µέτρο που είναι ίσο µε το µέγιστο ρυθµό µεταβολής του U στο συγκεκριµένο σηµείο 4. Έχει προβολή σε κάποια κατεύθυνση, της οποίας το µέτρο ισούται µε το µέγιστο ρυθµό µεταβολής του U στην κατεύθυνση αυτή 5. Είναι µηδέν σε ένα τοπικό µέγιστο η τοπικό ελάχιστο (επειδή δεν υπάρχει διεύθυνση που να δείχνει αύξηση της συνάρτησης U) Απόκλιση, div Ορίζεται ως το εσωτερικό γινόµενο του τελεστή ανάδελτα µεµιαδιανυσµατικήσυνάρτηση, π.χ. F(P,Q,R), η οποία έχει συνεχείς τις µερικές παραγώγους P/ x, Q/ y, R/ z Περιγράφει την ένταση της πηγής του διανυσµατικού πεδίου F Αποκαλούµε απόκλιση (divegence) της διανυσµατικής συνάρτησης F και τη συµβολίζουµε µε divf, τη βαθµωτή συνάρτηση Απόκλιση, div Με ιδιότητες Με ιδιότητες Εάν divf=0 σε κάθε σηµείο του διανυσµατικού πεδίου F, τότε το δ. πεδίο λέγεται σωληνοειδές
Απόκλιση, div Εάνστοδιάνυσµα a εφαρµόζεται ο τελεστής div προκύπτει µια µονόµετρη ποσότητα diva (divegence) Με άλλα λόγια, η απόκλιση ενός διανυσµατικού πεδίου είναι ένα βαθµωτό πεδίο που µε τη βοήθεια του τελεστή ανάδελτα εκφράζεται ως Απόκλιση, div αν (= x i + y j + z k), ποια είναι η απόκλιση τουδ. πεδίου ; Ησυνιστώσακατά x του div(/ 3 ): a 1 =x (x +y +z ) -3/ a 1 / x = = -3 (1-3x - ) Παροµοίωςγιατιςσυνιστώσες a, a 3 div(/ 3 ) = 0 Άρα αυτό το πεδίο είναι σωληνοειδές Ποια είναι η σηµασία του τελεστή div Σχετίζεταιµετηροήενόςπεδίουσεκλειστή επιφάνεια (S), που περιβάλει ένα δεδοµένο σηµείο Ρ(x,y,z) στο χώρο Ποια είναι η σηµασία του τελεστή div Θεωρώντας το εξωτερικό µοναδιαίο διάνυσµα n, και ds, το στοιχειώδες εµβαδόν της επιφάνειας, τότε ορίζουµετοδιάνυσµα n ds καιγιαέναδεδοµένο διανυσµατικό µέγεθος v(x i ) ορίζουµετηνποσότητα Q S,ωςτηροήτουπεδίου v(x i ) ηαποκλίση divv (βαθµωτόµέγεθος) Vείναιοόγκοςπουπερικλείεταιαπότηνεπιφάνεια S Σηµασία του τελεστή div Αν θεωρήσουµε έναν ιδεατό χώρο µέσα στον οποίο πραγµατοποιείται ροή ρευστού. Έστω ότι η F(x,y,z) είναι µια διανυσµατική συνάρτηση που περιγράφει την ταχύτητα του ρευστού στη θέση (x,y,z) του χώρου αυτού. H απόκλιση της F(x,y,z), divf, είναι η µεταβολή της στο χώρο. έστω ένας στοιχειώδης όγκος dv. Ποια είναι η συνολική εκροή του ρευστού? Στην αριστερή πλευρά του στοιχειώδους όγκου Σηµασία του τελεστή div Παροµοίως στην απέναντι (δεξιά) πλευρά η εκροή είναι Άρα η εκροή του ρευστού από τις δύο αυτές πλευρές είναι Συνολική εκροή του ρευστού από τον όγκο dv Σηµασία του τελεστή div Τρισδιάστατο διανυσµατικό πεδίο - ροή του υγρού - µε θετική απόκλιση (= επέκταση ροής, διαστολή ρευστού) Η απόκλιση ενός διανυσµατικού πεδίου µέτρα απλά πόσο επεκτείνεται η ροή σε ένα δεδοµένο σηµείο. εν δείχνει σε ποια κατεύθυνση συµβαίνει αυτό (µονόµετρο µέγεθος) Σηµασία του τελεστή τελεστή div Το γεγονός ότι το υγρό ρέει έξω από τη σφαίρα υποδηλώνει ότι η απόκλιση του διανυσµατικού πεδίου είναι θετική (δηλαδή, η ροή έχει θετική απόκλιση παντού µέσα στη σφαίρα) ακόµη και αν µετακινήσουµε τη σφαίρα µακριά από την πηγή του πεδίου
Σηµασία του τελεστή τελεστή div Εάν µετακινήσουµε τη σφαίρα µακριά απότηνπηγήτου πεδίου, τα βέλη συνεχίσουν να µεγαλώνουν µακριά από την πηγή τοπεδίο ρέειπιογρήγορα, όταν εξέρχεται από τησφαίρααπόότι όταν εισέρχεται σε αυτή τα βέλη διαχέονται προς τα έξω η εκροή από τη σφαίρα είναι πάντα µεγαλύτερη από την εισροή στη σφαίρα. Σηµασία του τελεστή τελεστή div Ηεκροήαπότη σφαίρα είναι πιο αργήαπόότιη εισροήσεαυτή, καθώς τα βέλη γίνονται όλο και µικρότερα. Απότηνάλλη πλευρά, επειδή η ροή διαχέεται προς ταέξω, τουγρό ρέειέξωαπότη σφαίρα σε περισσότερο από τοήµισυτης επιφάνειας της Σηµασία του τελεστή div Ποια είναι η απόκλιση του πεδίου? Αν η σφαίρα είναι στην πηγή, σαφώς η ροή είναι εκτός της σφαίρας η απόκλιση δεν ορίζεται στην πηγή πρέπει να αγνοήσουµε αυτό το σηµείο η καθαρή εισροή στη σφαίρα είναι ακριβώς ίση µε την καθαρή εκροή από τη σφαίρα µακριά από την πηγή, το ρευστό ούτε επεκτείνεται ούτε συµπιέζεται και η απόκλιση είναι µηδενική Σηµασία του τελεστή div Αντίθετα, αν η κίνηση του ρευστού είναι προς τα µέσα (π.χ. υπάρχει συνεχής τροφοδοσία από έξω προς τα µέσα και κατανάλωση ρευστού στο εσωτερικό του ιδεατού χώρου) τότε η τιµή του divf είναι αρνητική Αν ένα ρευστό κινείται προς τα έξω (π.χ. υπάρχουν πηγές µέσα στον ιδεατό χώρο) η τιµή του divf είναι θετική και περιγράφει ποσοτικά αυτήν την διόγκωση (κίνηση προς τα έξω, εκροή από τον ιδεατό χώρο). απόκλιση F : διανυσµατική σ. F : βαθµωτή σ. div, Κυλινδρικές Καρτεσιανές Σφαιρικές Ανακεφαλαιώνοντας τα περί απόκλισης Η απόκλιση µιας διανυσµατικής συνάρτησης F, είναι ένα βαθµωτό µέγεθος που: 1.Εκφράζειτορυθµόαλλαγήςτηςροήςτουπεδίουπου επεκτείνεται.ανστοκέντροενόςόγκουυπάρχειµιαπηγήροήςκαιη απόκλιση είναι θετική τότε και η ροή είναι θετική 3. Μπορεί να γίνει αντιληπτή σαν την επέκταση π.χ., της ταχύτητας F ενόςρευστούπουρέειαπόένασηµείο 4. Έχει προβολή σε κάποια κατεύθυνση, της οποίας το µέτροισούταιµετοµέγιστορυθµόµεταβολήςτου U στην κατεύθυνση αυτή Περιστροφή /Στροβιλισµός, ot ή cul Στο διανυσµατικό λογισµό, η περιστροφή ή στροβιλισµός, το cul ή ot, είναι ένα διάνυσµα που περιγράφει την απειροελάχιστη περιστροφή ενός 3- διαστάσεων διανυσµατικού πεδίου. Σε κάθε σηµείο στο χώρο, η περιστροφή ή στροβιλισµός αυτού του πεδίου αντιπροσωπεύεται από ένα διάνυσµα, του οποίουταχαρακτηριστικά (µήκοςκαικατεύθυνση) χαρακτηρίζουν την περιστροφή σε εκείνο το σηµείο. Οόρος cul" προτάθηκεγιαπρώτηφοράαπότον James Clek Maxwellτο 1871, ενώοόρος ot (από το otational ή otation) χρησιµοποιείται κυρίως στις περισσότερες ευρωπαϊκές χώρες. Περιστροφή /Στροβιλισµός, ot ή cul Αν το διάνυσµα F περιγράφει την ταχύτητα κίνησης ενός ρευστού σε ένα ιδεατό χώρο, η διανυσµατική συνάρτηση culf περιγράφει το στροβιλισµό του ρευστού µέσα στο χώρο αυτό Αν culf = x F = 0 αστρόβιλο πεδίο Περιστροφή /Στροβιλισµός, ot ή cul Η περιστροφή ενός δ. πεδίου εκφράζει την ιδέα της στροβιλικής ροής. π.χ., ένα ρευστό µπορεί να κυκλοφορεί γύρω από έναν κεντρικό άξονα Στο γράφηµα, παρατηρήστε τις τελείες που φαίνονται να επιπλέουν κατά µήκος του άξονα περιστροφής. Αυτά τα σηµεία είναι αναπαραστάσεις διανυσµάτων µηδενικού µήκους, δηλ. η ταχύτητα εκεί είναι µηδέν.
Περιστροφή/Στροβιλισµός Η περιστροφή της σφαίρας µέτρα το στροβιλισµό του πεδίου στο κέντρο της σφαίρας. Η κυκλική ροή είναι η µακροσκοπική κυκλοφορία του πεδίου. Υπάρχει και η µικροσκοπική κυκλοφορία Σφαίρα, µε σταθερό το κέντρο της σε κάποιο σηµείο του πεδίου, αλλά ελεύθερη να περιστρέφεται σε οποιαδήποτε διεύθυνση περί το κέντρο της Περιστροφή/Στροβιλισµός Το πράσινο βέλος κατά µήκος του άξονα της σφαίρας είναι η περιστροφή (cul) του διανυσµατικού πεδίου. Το µήκος του βέλους αντιστοιχεί στην ταχύτητα περιστροφής και η κατεύθυνση του βέλους καθορίζεται από τον κανόνα του δεξιού αντίχειρα. Περιστροφή /Στροβιλισµός Σε αυτό το παράδειγµα, η σφαίρα (σε µια άλλη θέση) περιστρέφεται στην ίδια φορά µε την µακροσκοπική κυκλοφορία της ροής του ρευστού, και µε την ίδια ταχύτητα Το cul δείχνει προς την κατεύθυνση του πράσινου βέλους Περιστροφή /Στροβιλισµός Στροβιλισµός Εφόσονηπεριστροφή ενός διανυσµατικού πεδίουείναιδιάνυσµα, θα έχει αντίστοιχες συνιστώσες ως προς τους άξονες του συστήµατος αναφοράς π.χ. η περιστροφή της δεσµευµένης σφαίρας αντιστοιχεί στη συνιστώσαυ 3 kστη κατεύθυνσητουάξονα z Ηταχύτητα περιστροφής της σφαίρας αντιστοιχεί στο υ 3 καιτο πρόσηµοτουυ 3 υποδηλώνει τη φορά περιστροφής περί τον άξονα F F ιανυσµ σ. Περιστροφή ή στροβιλισµός Cul ή Rot ιανυσµ. σ. σε καρτεσιανές Στην ορίζουσα, οι τελεστές παραγώγισης / x, / y, / z, πρέπει να προηγούνται των συνιστωσών συναρτήσεων f, g, h F F ιανυσµ σ. Περιστροφή ή στροβιλισµός Cul ή Rot ιανυσµ. σ. σε κυλινδρικές Υπενθύµιση: στη Γεωδαισία αντί των µεταβλητών (,θ,z) χρησιµοποιούµε συνήθως (,λ,z) ή (ρ,λ,z) F F ιανυσµ σ. Περιστροφή ή στροβιλισµός Cul ή Rot ιανυσµ. σ. σε σφαιρικές Υπενθύµιση: στη Γεωδαισία αντί των µεταβλητών (,,θ,φ) χρησιµοποιούµε συνήθως (,,θ,λ) Έστω ένα διανυσµατικό πεδίο η κυκλοφορία του πεδίου κατά µήκος κλειστής καµπύλης C Ανακεφαλαιώνοντας τα περί στροβιλισµού ή περιστροφής πεδίου Ηπεριστροφήµιαςδιανυσµατικήςσυνάρτησης F, είναι ένα διάνυσµα το οποίο, σε κάθε σηµείο: 1. Εκφράζει την ιδέα της περιστροφής ενός ρευστού (δηλαδή όταν έχουµε ροή γύρω από ένα σηµείο). Ορίζεται ως όριο της κυκλοφορίας δια την επιφάνεια, όταν η επιφάνεια τείνει στο µηδέν όρος κυκλοφορία (ciculation) συχνά αποδίδεται στην ολοκλήρωση της εφαπτοµενικής συνιστώσας µιας διανυσµατικής συνάρτησης κατά µήκος µιας κλειστής διαδροµής Η διεύθυνση της απόκλισης είναι κάθετη στην επιφάνεια 3. Από την ύπαρξή του µπορούµε να συµπεράνουµε επίσης αν ένα διανυσµατικό πεδίο είναι συντηρητικό ή όχι
Τελεστής Λαπλασιανή, Εφαρµογή σε µονόµετρο µέγεθος / σε βαθµωτή συνάρτηση U U U Φ= U= + + x x x Εφαρµογή σε διάνυσµα / σε διανυσµατική συνάρτηση u= i u + j u + k u 1 1 Φυσική σηµασία: η εφαρµογή της σε µια ποσότητα δείχνει τηµεταβολήτηςτιµήςτηςποσότηταςαπόένασηµείοσε ένα γειτονικό του U = U-U0, όπου 3 3 U 0 = τιµήποσότηταςστοσηµείο 0 U =»» στη γειτονιά τουσηµείου 0 Συνοπτικά η σηµασία του Λαπλασιανού τελεστή Ονοµάζεται µερικές φορές η απόκλιση της βάθµωσης ή div gad ενός βαθµωτού πεδίου: 1. Εκφράζει την ιδέα χρήσης του τελεστή ανάδελτα ( nla ή del ) σεέναφυσικόδιαφορικότελεστή, έτσιώστεναµπορεί να δηµιουργεί ένα βαθµωτό πεδίο από ένα άλλο βαθµωτό πεδίο εάν εφαρµόσουµε τη τελεστή της βάθµωσης ή βαθµίδας" ( gad ) σε ένα βαθµωτό πεδίο µας δίδει ένα διανυσµατικό πεδίο, και στη συνέχεια εάν εφαρµόσουµε τον τελεστή της απόκλισης ( div ) τα αποτέλεσµα θα είναι να πάρουµε ένα βαθµωτό πεδίο ίνεται το διάνυσµα θέσης: = x + y + z Να βρεθεί η κλίση (gad) του ίνεται η ακόλουθη διανυσµατική συνάρτηση F: Να βρεθεί (a) η απόκλιση (div) της, και (b) η τιµή του p ώστε να είναι F = 0 ίνεται η διανυσµατική συνάρτηση F = / p : Να βρεθεί (a) η απόκλιση (div) της, και (b) η τιµή του p ώστε να είναι div F = 0 ίνεταιηβαθµωτήσυνάρτηση: U = x 1 + x - 3x 3 Ναβρεθούνηβαθµίδα (gad) καιηλαπλασιανήτης ( )στοσηµείο (0, 1, -1) U U U gad U = U = i + j + k = x1 x = i(x ) + j(4x ) + k( 6x ) = 4 j + 6k 1 3 Υπενθύµιση Υπενθύµιση U U U U 4 6 0 = + + = + = x1 x Σε κάθε σηµείο p=3 divf=0 ίνεται η διανυσµατική συνάρτηση: Να βρεθούν η βαθµίδα (gad) και η απόκλιση της (div) της ίνεται η διανυσµατική συνάρτηση u(x 1,x1x x 3,-x1xx3 Να βρεθούν η απόκλιση (div), η περιστροφή (ot ή cul) και η λαπλασιανή της ( ) στο σηµείο (1, -, -1) u u u 1 3 div u = + + = 1+ x1x3 x1 x = 5 x1 x u3 u u1 u 3 u u 1 ω = ot u = culu = u = i + j + k = x x1 x1 x = i( x x x x x ) + j(x x x ) + k(x x ) = 8 j + 4k 1 3 1 1 3 3 ) ίνεται η διανυσµατική συνάρτηση u(x 1,x1x x 3,-x1xx3 Να βρεθούν η απόκλιση (div), η περιστροφή (ot ή cul) και η λαπλασιανή της ( ) στο σηµείο (1, -, -1) u = i u + j u + k u = 1 3 u1 u1 u 1 u u u u3 u3 u 3 = i + + j k + + + + + + = x1 x x1 x x1 x = 0 + 0 + k( x x x x ) = x (x + x )k = 10k 3 1 3 3 1 )
ίνεται η διανυσµατική συνάρτηση u = i xy + j xyz + k yz Να βρεθούν η απόκλιση (div), η περιστροφή (ot ή cul) και η λαπλασιανή ( ) της στο σηµείο (1, 1, -1) ίνεται η διανυσµατική συνάρτηση u = i xy + j xyz + k yz Να βρεθούν η απόκλιση (div), η περιστροφή (ot ή cul) και η λαπλασιανή της ( ) στο σηµείο (1, 1, -1) ίνεται η διανυσµατική συνάρτηση u = i(x -1)- jx 1 Να δειχθεί ότι το πεδίο της είναι αστρόβιλο i j k ot u = u = = x x x 1 3 u u u 1 3 u u u u u u x x1 x1 x 3 1 3 1 i + j + k = i (0) + j(0) + k(0) = 0 ίνεται η µονόµετρη συνάρτηση Φ = x 1 x + x 3 x 3 - x 1 x x 3 Να βρεθούν η βαθµίδα (gad), και η λαπλασιανή της ( ) στο σηµείο (1,, 0) Φ Φ Φ gadφ = Φ = ι + j + k = x1 x 3 = (x1x xx 3) ι + (x1 + 3xx3 x1x 3) j + (x x1x )k = = 4ι + j + 6k Φ Φ Φ Φ = + + = + 3 = x1 x x 6x x 4 Τελεστής Απόκλιση, div Ναυπολογιστούν:?? Τελεστής Απόκλιση, div y 0 Τελεστής Απόκλιση, div Μια σύντοµη ανασκόπηση των διαφόρων τύπων καµπυλόγραµµων συντεταγµένων και των µεταξύ τους µετατροπών Επιπτώσεις της διανυσµατικής µορφής του πεδίου βαρύτητας