Άσκηση Έστω f, g: κυρτές συναρτήσεις Αν η g είναι γνησίως αύξουσα τότε η gof : είναι κυρτή Λύση Θα δείξουμε ότι η h ( ) Θέτουμε h( ) gof ( ) g f ( ) είναι γνησίως αύξουσα h( ) g f ( ) f ( ) Έχουμε ότι η g( ), f ( ) είναι γνησίως αύξουσες και επιπλέον g( ) Έστω Αφού η f γνησίως αύξουσα παίρνουμε: f ( ) f ( ) () Διακρίνουμε περιπτώσεις: η περίπτωση: f( ) Επειδή f γνησίως αύξουσα θα έχουμε ότι f( ) για, Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο Άρα f ( ) f ( ) Αλλά g γνησίως αύξουσα Άρα g f g f ( ) ( ) (),
Επειδή τα f ( ), f ( ), g f ( ), g f ( ) είναι μη αρνητικά, πολλαπλασιάζοντας κατά μέλη τις (),() g f ( ) f ( ) g f ( ) f ( ) παίρνουμε: Δηλαδή: h( ) h( ) η περίπτωση: f( ) Επειδή f γνησίως αύξουσα θα έχουμε ότι f( ) για (, ) Άρα η f γνησίως φθίνουσα στο, Συμπεραίνουμε ότι f ( ) f ( ) Επειδή η g( ) είναι γνησίως αύξουσα παίρνουμε: g f ( ) g f ( ) Αλλά ισχύει ότι f '( ) f ( ) Πολλαπλασιάζοντας κατά μέλη τις δύο τελευταίες έχουμε: g f ( ) f ( ) g f ( ) f ( ) Δηλαδή: h( ) h( )
3 η περίπτωση: f ( ) f ( ) Επειδή g f g f ( ), ( ), παίρνουμε: g f ( ) f ( ) g f ( ) f ( ) Άρα, h( ) h( ) Αφού για έχουμε h( ) h( ) σε κάθε περίπτωση η h είναι γνησίως αύξουσα άρα η h κυρτή 3
Άσκηση Έστω f : (, ) θετική συνάρτηση Να δείξετε ότι αν η f κοίλη τότε f κυρτή Λύση Έχουμε ότι f( ) για (, ) και f ( ) γνησίως φθίνουσα στο (, ) Θέτουμε g ( ) f( ) με f( ) g( ) f ( ) Θα δείξουμε ότι η g ( ) είναι γνησίως αύξουσα στο (, ) Έστω Αφού η f είναι γνησίως φθίνουσα, παίρνουμε: f ( ) f ( ) Διακρίνουμε περιπτώσεις: η Περίπτωση: f( ) Επειδή η f είναι γνησίως φθίνουσα, θα έχουμε ότι f( ) στο (, ) Άρα η f γνησίως φθίνουσα στο [, ) Προκύπτει ότι: f ( ) f ( ) Επειδή f( ), παίρνουμε f ( ) f ( ) 4
Άρα, f ( ) f ( ) () Έχουμε f ( ) f ( ) και f( ) ( ) ( ), με ( ), ( ) () Άρα f f f f Πολλαπλασιάζοντας τις (),() κατά μέλη, παίρνουμε: f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) Δηλαδή g( ) g( ) η περίπτωση: f( ) Επειδή f γνησίως φθίνουσα θα έχουμε f ( ) Άρα η f είναι γνησίως αυξουσα στο, Προκύπτει ότι f ( ) f ( ) Όπως προηγουμένως έχουμε: f ( ) f ( ) Αλλά f ( ) f ( ) στο f ( ) f ( ) Πολλαπλασιάζοντας παίρνουμε: f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) Άρα, f ( ) f ( ) Δηλαδή g( ) g( ), 5
3 η περίπτωση: f ( ) f ( ) f( ) Τότε: g( ) f ( ) f( ) g ( ) f ( ) Άρα g( ) g( ) Σε κάθε περίπτωση από τη σχέση προκύπτει ότι: g( ) g( ) Άρα η gγνησίως αύξουσα και η g κυρτή f 6
Άσκηση 3 Έστω f : κυρτή συνάρτηση Δείξτε ότι για και h ισχύει ότι: f ( h) f ( ) f ( h) f ( ) Λύση Έστω h( ) f ( h) f ( ) Η δοσμένη σχέση γράφεται: h( ) h( ) h( ) f ( h) f ( ) Αφού η f είναι κυρτή, τότε η f γνησίως αύξουσα h h αφού h> Άρα, f ( h) f ( ) Συμπεραίνουμε ότι h( ) Άρα h γνησίως αύξουσα, οπότε h( ) h( ) 7
Άσκηση 4 Έστω f : (, ) κυρτή συνάρτηση Δείξτε ότι ένα από τα δύο συμβαίνει: ή είναι γνησίως μονότονη ή υπάρχει (, ) με f γνησίως αύξουσα στο (, ) και f γνησίως φθίνουσα στο (, ) Λύση Αν f( ) για (, ), τότε η f είναι γνησίως αύξουσα Αν f( ) για (, ), τότε η f είναι γνησίως φθίνουσα Αν δεν ισχύει κανένα από τα δύο, τότε θα υπάρχουν, (, ) με f ( ), f ( ) η Περίπτωση: f( ) Τότε επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα, θα έχουμε: f( ), για (, ) f( ), για (, ) Θέτουμε και έχουμε: f γνησίως φθίνουσα στο (, ) f γνησίως αύξουσα στο (, ) 8
η Περίπτωση: f( ) Είναι όμοια με την πρώτη με 3 η Περίπτωση: f ( ), f ( ) Θεωρούμε την :, f που είναι συνεχής Η f παίρνει ελάχιστη τιμή σε ένα σημείο του Επειδή f( ) έχουμε ότι: f ( ) f ( ) lim, f ( ) f ( ) Άρα, για χ κοντά στο Για θα πρέπει f ( ) f ( ) κοντά στο Δηλαδή f ( ) f ( ) που δείχνει ότι στο δεν μπορεί να πάρει ελάχιστη τιμή Εντελώς όμοια, επειδή f( ) δεν μπορεί η f να πάρει ελάχιστη τιμή στο Άρα η ελάχιστη τιμή της :, (, ) Άρα f ( ) f παίρνετε σε ένα Αφού η f είναι γνησίως αύξουσα, θα έχουμε: 9
f ( ) f ( ), για f ( ) f ( ), για Συμπεραίνουμε ότι η f είναι: Γνησίως αύξουσα στο (, ) Γνησίως φθίνουσα στο (, )
Άσκηση 5 Έστω f : (, ) κυρτή Δείξτε ότι αν, (, ) με και (,), τότε: f ( ( ) ) f ( ) ( ) f ( ) Λύση Η άσκηση μας λέει αυτό που ήδη ξέρουμε, ότι αν η f είναι κυρτή τοτε η γραφικης της παρασταση μεταξυ δυο σημειων βρισκεται κάτω από την χορδή που ορίζεται από αυτά Θέτουμε z ( ) Έχουμε ότι z ( ) ( ) και z ( ) ( ) Δηλαδή z Η προς απόδειξη γράφεται : f ( z) f ( ) ( ) f ( ) ή f ( z) ( ) f ( z) f ( ) ( ) f ( ) Θα πρέπει να χρησιμοποιήσουμε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα
Την f θα πρέπει να την πάρουμε από ΘΜΤ Για αυτό, την τελευταία την γράφουμε: f z f f f z ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () Πρέπει λοιπόν να αποδείξουμε την () Η f είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο, και τα,, z εσωτερικά του σημεία Άρα εφαρμόζεται το ΘΜΤ στα,,, Έχουμε ότι υπάρχει: και z z f ( z) f ( ) z, με f ( ) () z f ( ) f ( z) z, με f ( ) (3) z Αντικαθιστώντας τις (),(3) στην () γίνεται: λ(z ) f ( ) ( )( z) f ( ) 4 Αλλά z ( ), οπότε: z ( ) ( ) ( )( ) z ( ) ( ) Η (4) γίνεται: ( )( ) f ( ) ( ) ( ) f ( )
Αλλά ( )( ) και f( ) f( ) αφού f γνησίως αύξουσα και z Άρα η (4) ισχύει, οπότε ισχύει και η ισοδύναμη της () Επομένως η αρχική σχέση ισχύει 3
Άσκηση 6 Έστω f : (, ) κυρτή Αν (, ) τότε έχουμε f ( ) f ( ) f ( )( ) με το ίσο να ισχύει μόνο όταν Λύση Επειδή υπάρχει το θα διακρίνουμε δύο περιπτώσεις: i) Θα δείξουμε ότι: f ( ) f ( ) f ( )( ) f ( ) f ( ) ή ισοδύναμα f( ) Επειδή η f υπάρχει η f είναι συνεχής Εφαρμόζεται το ΘΜΤ στο, Υπάρχει, με f ( ) f ( ) f ( ) Αλλά η f είναι κυρτή, οπότε η f γνησίως αύξουσα Αφού, παίρνουμε f ( ) f ( ) και αποδείχθει 4
ii) Θα δείξουμε ότι : f ( ) f ( ) f ( )( ) Επειδή, γράφεται: f ( ) f ( ) ή f( ) f ( ) f ( ) f( ) Εφαρμόζοντας ΘΜΤ στο και λαμβάνοντας υπ όψιν ότι η f είναι γνησίως αύξουσα ισχύει Άρα για έχουμε: f ( ) f ( ) f ( )( ) Για, έχουμε ισότητα Τελικά, f ( ) f ( ) f ( )( ) για, για,, με το = 5
Άσκηση 7 Έστω f : κυρτή συνάρτηση Δείξτε ότι για, ισχύει: h f ( ) f ( t) dt Λύση h h Θα δείξουμε ότι για t ισχύει: f ( ) f ( t) f ( t) () Αυτό μπορεί να δειχθεί με την βοηθεια της άσκησης 5, για: t, t, Θετωντας τα παραπανω στην ανισοτητα της ασκησης 5 έχουμε ότι: f ( t) ( t) f ( t) f ( t) ή f ( ) f ( t) f ( t) που είναι η () Ολοκληρώνουμε την () στο,h 6
Θα έχουμε: h h h f ( ) dt f ( t) dt f ( t) dt () Αλλά h f ( ) dt hf ( ) (3) Επίσης στο h f ( t) dt κάνουμε αλλαγή μεταβλητής t s και έχουμε: t s t h s h dt ds Άρα, h h f ( t) dt f ( s)( ds) f ( s) ds h Θέτοντας s h t στο τελευταίο ολοκλήρωμα παίρνουμε: f ( t) dt f ( t) dt (4) h Αντικαθιστώντας τις (3),(4) στην () έχουμε: h h hf ( ) f ( t) dt f ( t) dt f ( t) dt h h Άρα, h f ( ) f ( t) dt h h 7
Άσκηση 8 f συνεχής, κυρτή και f( ) f( ) Δείξτε i) Έστω :, ότι f ( ) f ( ) για (, ) ii) Δείξτε ότι για, ισχύει Λύση i) ος τρόπος: Με άτοπο Έστω ότι υπάρχει (, ), με f ( ) f ( ) Στο, εφαρμόζουμε ΘΜΤ f ( ) f ( ) Έχουμε ότι: f ( ) Στο εφαρμόζουμε ΘΜΤ,, με f( ) f( ) Έχουμε ότι: f ( ), με Αλλά επειδή f ( ) f ( ), τότε προκύπτει ότι f ( ) Επίσης f ( ) f ( ), γιατί f( ) f( ), άρα f ( ) Έχουμε ότι και f( ) f( ) 8
Το τελευταίο είναι άτοπο, αφού η f κυρτή, η f ειναι γνησίως αύξουσα, οπότε θα έπρεπε: f( ) f( ) Άρα για (, ) ισχύει ότι f ( ) f ( ) ος τρόπος: Με βάση την άσκηση 5 Έστω (, ) Θα προσδιορίσουμε (,), ώστε: ( ) Πράγματι η τελευταία γράφεται: ( ) Άρα, Αλλά, οπότε Προκύπτει ότι το, Λόγω της άσκησης 5 έχουμε ότι: f ( ) f ( ) f ( ) ( ) f ( ) f ( ), αφού f( ) f( ) 9
ii) Θεωρούμε την f :,, με f ( ) Η f είναι συνεχής και παραγωγίσιμη όσες φορές θέλουμε: Έχουμε f()= καιf( π/)= f ( ) f ( ) ( ) Για ισχύει f( ) Άρα η f είναι κυρτή Λόγω του i) f( ), για, Δηλαδή, για, Παρατήρηση Το i) της άσκησης είναι καλό εργαλείο για να αποδεικνύουμε ανισότητες
Άσκηση 9 Έστω f :, κυρτή, δύο φορές παραγωγίσιμη με συνεχή δεύτερη παράγωγο Για ισχύει ότι f( ) και f () Ορίζουμε F :, με F() και για F( ) f ( t) dt Δείξτε ότι η F είναι κυρτή Λύση Επειδή η f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη και η F είναι στο (, ) Η F είναι συνεχής στο, γιατί : f () t dt lim f ( t) dt lim lim f ( ) f () ( Εφαρμόσαμε De Hospital ) Η F θα είναι κυρτή αν δείξουμε ότι F( ) για χ> Έχουμε για ότι: F( ) f ( t) dt
Παραγωγίζοντας παίρνουμε: F( ) F( ) f ( ) () Παραγωγίζουμε την () και έχουμε: F ( ) F( ) F( ) f ( ) Άρα για έχουμε: F( ) f ( ) F( ) () Από την () παίρνουμε ότι: F( ) f ( ) F( ) Αντικαθιστώντας στην (), έχουμε ότι: f( ) F ( ) f ( ) F( ) (3) Κάνοντας παραγοντική ολοκλήρωση, έχουμε: f ( t) dt ( t) f ( t) dt tf ( t) tf ( t) dt f ( ) tf ( t) dt Δηλαδή, F( ) f ( ) tf ( t) dt (4), για Κάνουμε ξανά παραγοντική στο tf () t dt (Πρέπει να εμφανίσουμε την f () t που ξέρουμε ότι είναι θετική)
Έχουμε: ' t t t tf ( t) dt f ( t) dt f ( t) f ( t) dt f ( ) t f ( t ) dt Αντικαθιστώντας την τελευταία στην (4) παίρνουμε: ( ) ( ) ( ) ( ) F f f t f t dt Άρα, ( ) ( ) ( ) ( ) F f f t f t dt Τελικά: ( ) f ( ) ( ) ( ) F f t f t dt Αντικαθιστώντας την τελευταία στην (3), παίρνουμε: F( ) t f ( t) dt Αφού η f είναι κυρτή και δύο φορές παραγωγίσιμη, έχουμε: f( t), για t Άρα, t f ( t) dt, για 3
Προκύπτει ότι για, ισχύει: ( ) ( ) 3 F t f t dt Παρατήρηση:, άρα η F κυρτή )Λύσαμε την άσκηση, εκφράζοντας την F ( ) ως ολοκλήρωμα της f ( ), χρησιμοποιώντας παραγοντική ολοκλήρωση )Η Υποθεση ότι f()> για χ> δεν χρειασθηκε πουθενα 4