-.................4...5.

-..6. ANAΛΥΣΗ ΣΕ ΤΡΙΧΟΕΙ ΕΣ ΙΞΩ ΟΜΕΤΡΟ Για Νευτωνικά ρευστά ο τύπος Hagen-Poiseuille (δηλ. η προηγούµενη εξίσωση για την πτώση πίεσης για n) 8 4 P µ L Q R π µπορεί να χρησιµοποιηεί για τον άµεσο προσδιορισµό του ιξώδους η από µετρήσεις της πτώσης πίεσης Ρ και της ογκοµετρικής παροχής Q που λαµβάνει χώρα µέσα από αγωγό µήκους L και ακτίνας R. Για µη Νευτωνικά ρευστά το ιξώδες ηγ ( ) αποτελεί συνάρτηση του ρυµού διάτµησης, και ο προσδιορισµός του χρειάζεται ειδική µεταχείρηση. Θα προσδιορίσουµε το ιξώδες από το βασικό του ορισµό: ( ) ηγ τ γ Μπορούµε να βρούµε εύκολα τη διατµητική τάση στο τοίχωµα από τ P L για R τ P L R Πρέπει να σηµειωεί ότι το πρόσηµο της διατµητικής τάσης στο τοίχωµα (αρνητικό ή ετικό) αποτελεί έµα σύµβασης, δηλ. αυτό που εωρούµε σαν ετικό µπορεί να είναι η τάση που εξασκείται από το ρευστό στο τοίχωµα ή από το τοίχωµα στο ρευστό. Θα χρησιµοποιήσουµε + ή - ανάλογα µε το τι είναι πιο βολικό για το πρόβληµα.

-4 Ο ρυµός διάτµησης απαιτεί ειδική µεταχείρηση. Και πάλι, για Νευτωνικά ρευστά (n) ο ρυµός διάτµησης µπορεί να ληφεί µε παραγώγιση του προφίλ της ταχύτητας γ dv P d µ L R και χρησιµοποιώντας τον τύπο Hagen-Poiseuille τελικά παίρνουµε (Nευτωνικό) γ Q 4 Για µη Νευτωνικά ρευστά α αναπτύξουµε µια γενική έκφραση για το ρυµό διάτµησης στο τοίχωµα αρχίζοντας από τον ορισµό της ογκοµετρικής παροχής µέσα από κυλινδρικό αγωγό: Ολοκλήρωση κατά µέρη δίνει R Q π Vd Q π V π R 0 0 R 0 dv d d Εφαρµόζοντας την οριακή συνήκη "µη ολίσησης" για R, V 0, έχουµε Q R π 0 dv d d Επειδή / R τ / τ, µπορούµε να απαλείψουµε το από την παραπάνω έκφραση για να πάρουµε τq τ 0 τ dv dτ d Παραγώγιση και των δύο µερών ως προς το τ και κάνοντας χρήση του κανόνα του Leibnit, καταλήγουµε σε

-5 dv dq τ + Q d dτ ή γ 4Q + 4 4 dlnq d ln τ Η εξίσωση αυτή αναφέρεται συνήως ως εξίσωση Rabinoitsch. ίνει το ρυµό διάτµησης σαν συνάρτηση των Q, R και τ. Ο όρος στην παρένεση µπορεί να εωρηεί σαν "διόρωση" της Νευτωνικής έκφρασης που απλά είναι 4Q/. Για να προσδιορίσουµε το γ πρέπει να παραστήσουµε γραφικά το Q σαν συνάρτηση του τ σε λογαριµικές συντεταγµένες για να υπολογίσουµε την παράγωγο dlnq/dlnτ για κάε σηµείο της καµπύλης. Για µη Νευτωνικά ρευστά που υπακούουν τον εκετικό νόµο τ m γ n µπορούµε να γράψουµε την εµπειρική έκφραση τ Q m 4 n στην οποία n είναι η κλίση του γραφήµατος logτ s log(4q/ ), δηλ. d log τ n 4Q d log Έτσι, η έκφραση για το ρυµό διάτµησης µπορεί να ξαναγραφεί σαν γ 4Q + 4 4n γ 4Q n + 4n

-6 Αυτό σηµαίνει ότι η σχέση µεταξύ φαινοµενικού m και πραγµατικού m είναι 4n m m n + ΣΤΑ ΙΑ για τον προσδιορισµό των m και n: n Προσδιορισµός του τ από δεδοµένα πτώσης πίεσης Προσδιορισµός του γ 4 Q app Γράφηµα logτ s log(4q/ ) για να βρεεί το n (κλίση) και m (απότµηση στο γ app ) mm {4n/(n+)} n

-7..7. ΠΡΑΚΤΙΚΕΣ ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΙΞΩ ΟΥΣ Το ιξώδες µπορεί να µετρηεί µε τις επόµενες µεόδους:..7.. Ιξωδόµετρο Συναξονικών Κυλίνδρων (προσεγγίζει το πρόβληµα οπισέλκουσας ροής µεταξύ παράλληλων πλακών) h Ρευστό Από τη ροπή F T0 A Εµβαδό εσωτερικού κυλίνδρου T 0 Ροπή γ V h ( pm ) F τ A µ τ γ 60 π h T 0 A Το όργανο αυτό δεν είναι κατάλληλο για πολυµερικά τήγµατα. Είναι δύσκολο να κααρίσει κανείς κολληµένο (ή στερεοποιηµένο) τήγµα από το δοχείο.

-8..7.. Ιξωδόµετρο µε Κώνο και Πλάκα (γνωστό επίσης σα ρεογωνιόµετρο Weissenbeg) Η παράλληλη γεωµετρία (οπισέλκουσας ροής) µπορεί να προσεγγιστεί σαν ροή στο στενό άνοιγµα µεταξύ πλάκας και κώνου για µικρές (πολύ µικρές) γωνίες (<5 ο ). Γωνία µερικών µοιρών Το ιξώδες δίνεται από η τ γ όπου T0 τ γ, Ω α T o ροπή, Ω ταχύτητα περιστροφής και α γωνία α η T0 Ω Το ρεόµετρο δουλεύει πολύ καλά για τήγµατα και για γ στην περιοχή 0-0 s -. Είναι πολύ δύσκολο να µετρήσει κανείς για µεγαλύτερα γ µε αυτή τη µέοδο, γιατί λαµβάνουν χώρα δευτερεύουσες ροές, και τελικά το δείγµα µπορεί να εκσφενδονιστεί προς τα έξω καώς αυξάνεται ο ρυµός διάτµησης.

-9..7.. Τριχοειδές Ιξωδόµετρο P P e αµελητέα (µεγάλα ρεζερβουάρ) P e R L P Όπως συζητήηκε στα προηγούµενα, τ P L R και γ appaent 4 Q Εφαρµόζοντας τη διόρωση Rabinoitsch, έχουµε

-0 γ 4Q + 4 4 dlnq d ln τ η τ γ ουλεύει καλά στην περιοχή: 0 0 0 s -...8. TYΠΙΚΑ Ε ΟΜΕΝΑ ΙΞΩ ΟΥΣ ΠΟΛΥΜΕΡΙΚΩΝ ΤΗΓΜΑΤΩΝ 0000 η (Pa.s) 000 00 κώνος και πλάκα τριχοειδές 0 0.0 0. 0 00 000 0000. γ (s - ) δύσκολες µετρήσεις Εποµένως είναι δυνατό έχοντας δύο ρεόµετρα (τον κώνο µε πλάκα και το τριχοειδές ιξωδόµετρο), να λάβουµε δεδοµένα για όλη την περιοχή που µας ενδιαφέρει. Tο Νευτωνικό πλατώ είναι χρήσιµο για ρεολογικό χαρακτηρισµό. Η πρακτική περιοχή επεξεργασίας των πολυµερών καλύπτει από 0 s - µέχρι 0 s - για εκβολή, αλλά φτάνει µέχρι 0 4 s - για χύτευση µε έγχυση.

-..9. ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗ ΚΑΜΠΥΛΗΣ ΣΕ Ε ΟΜΕΝΑ ΙΞΩ ΟΥΣ Τα δεδοµένα ιξώδους µπορούν να προσαρµοστούν µε το µοντέλο εκετικού νόµου, η m γ n Το µοντέλο αυτό δεν µπορεί να αντιπροσωπεύσει το Νευτωνικό πλατώ αφού για γ 0, η σύµφωνα µε την παραπάνω εξίσωση για n <. Tο µοντέλο Caeau ( ( ) ) η η + λγ 0 έχει τρεις παραµέτρους και µπορεί να παραστήσει πολύ καλά και το Νευτωνικό πλατώ και την περιοχή του εκετικού νόµου. Είναι όµως πιο δύσκολο για προσαρµογή δεδοµένων, και δεν υπάρχει καµµιά απολύτως αναλυτική λύση για κανένα πρόβληµα. Tο µοντέλο Caeau είναι εξαιρετικό για αριµητικές λύσεις µε χρήση Η/Υ. Η ερµοκρασιακή εξάρτηση στο µοντέλο Caeau δίνεται από εκετική έκφραση (όπως ακριβώς στον εκετικό νόµο): η0 ηef exp n ( b T) Άλλο µοντέλο ιξώδους που παριστάνει πολύ καλά το Νευτωνικό πλατώ, την περιοχή εκετικού νόµου και τη ερµοκρασιακή εξάρτηση είναι το µοντέλο λογαριµικού πολυωνύµου 6 παραµέτρων: ( ) logη a + a log γ + a log γ + a T + a T + a log( γt) 0 4 5

- Η καλή προσαρµογή δεδοµένων ιξώδους είναι εξαιρετικά σηµαντική στις προσοµοιώσεις επεξεργασίας. Το σχήµα και η συµπεριφορά της καµπύλης ιξώδους καορίζεται από διάφορους παράγοντες, όπως η µοριακή δοµή και η κατανοµή µοριακού βάρους. Πολυµερή ευρείας κατανοµής µοριακών βαρών παρουσιάζουν περισσότερη διατµητική λέπτυνση από πολυµερή στενής κατανοµής, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήµα. η Στενή MWD Ευρεία MWD γ Πολυµερή ευρείας κατανοµής είναι πιο εύκολα για επεξεργασία σε χαµηλότερες πιέσεις (κατάλληλα για εκβολή), ενώ πολυµερή στενής κατανοµής απαιτούν µεγαλύτερες πιέσεις (κατάλληλα για χύτευση µε έγχυση)...0. ΓΕΝΙΚΕΥΣΗ ΣΕ ΤΡΕΙΣ ΙΑΣΤΑΣΕΙΣ Ο εκετικός νόµος και οι νόµοι Caeau και λογαριµικού πολυωνύµου κάνουν χρήση του ρυµού διάτµησης γ, που σε απλή ροή διάτµησης δίνεται από

- γ dv dyx Σε πλήρως τρισδιάστατες ροές, ο ρυµός διάτµησης αντικαίσταται από την τετραγωνική ρίζα της επωνοµαζόµενης δεύτερης αναλλοίωτης του τανυστή του ρυµού παραµόρφωσης γ gen II Η συνάρτηση αυτή δίνεται για διαφορετικά συστήµατα συντεταγµένων στον παρακάτω πίνακα. Μπορεί εύκολα να αποδειχτεί ότι για απλή ροή διάτµησης, αφού V y V 0, η παραπάνω έκφραση απλοποιείται στη συνήη έκφραση του ρυµού διάτµησης για ροή µεταξύ δύο παράλληλων πλακών. Για άλλες ροές η έκφραση αυτή επιτρέπει να λάβουµε υπόψη την επίδραση φαινοµένων διάτµησης σε όλες τις κατευύνσεις. Όλα τα µοντέλα που γενικεύουν κατ' αυτόν τον τρόπο την επίδραση του διατµητικού ιξώδους συνήως αναφέρονται σαν Γενικευµένα Νευτωνικά Ρευστά.

-4 Πίνακας -: Η συνάρτηση II σε καρτεσιανές, κυλινδρικές, και σφαιρικές συντεταγµένες. Καρτεσιανές: II x y x y y x x y y x y x + + + + + + + + Κυλινδρικές: II + + + + + + + + + Σφαιρικές: II + + + + + + + + + + + φ φ φ φ φ φ sin cot sin sin sin sin

-5... ΕΙΚΤΗΣ ΤΗΓΜΑΤΟΣ ( ΕΙΚΤΗΣ ΡΟΗΣ ΤΗΓΜΑΤΟΣ) Μια πολύ απλή µορφή τριχοειδούς ιξωδόµετρου αποτελεί ο δεικτοµέτρης τήγµατος (melt indexe), που λειτουργεί µε προκαορισµένο βάρος που ωεί το πολυµερικό τήγµα µέσα από µήτρα εκβολής προκαορισµένων διαστάσεων (σύµφωνα µε τα πρότυπα ΑSTM, Ameican Standads fo Testing Mateials). Βάρος L Μήτρα D Σύµφωνα µε τα πρότυπα ASTM, οι διαστάσεις της µήτρας είναι: D.095 mm, L 8 mm. είκτης ροής τήγµατος (melt flo index) MFI γραµµάρια πολυµερούς εκβαλλόµενα σε 0 λεπτά. Για πολυαιυλένια (PE), το πρότυπο βάρος είναι.6 kg και η ερµοκρασία 90 ο C. Η συνήης κλίµακα για το MFI είναι µεταξύ 5. Χαµηλοί δείκτες MFI σηµαίνουν υψηλό ιξώδες και µοριακό βάρος, ενώ υψηλοί δείκτες MFI

-6 αντιπροσωπεύουν χαµηλό ιξώδες και µοριακό βάρος. Το ΜFI ισοδυναµεί µε αντίστροφο ιξώδες σε σχετικά χαµηλούς ρυµούς διάτµησης. Ας υπολογίσουµε το γ για MFI και για τήγµα πολυαιυλενίου (PE) πυκνότητας 766 kg/m. Q m m 600 000 7. 0 9 ρ 766 s 9 4Q 4 7. 0 γ appaent. π 0 00095 4. s και για MFI5, γ appaent 5 4. s Tο MFI µας δίνει µια ιδέα για το µοριακό βάρος και το ιξώδες των πολυµερών, αλλά δεν αποτελεί βασική ιδιότητα. Είναι χρήσιµο στην διαφοροποίηση πολυµερών διαφόρων τύπων. Όµως, στην επεξεργασία πολυµερών το MFI µπορεί καµµιά φορά να οδηγήσει σε λάος εκτιµήσεις. Είναι δυνατό, π.χ., να υπάρχουν οικογένειες πολυµερών µε το ίδιο MFI αλλά διαφορετικά ιξώδη. Παρ' όλα αυτά, τα πολυµερή πωλούνται ακόµα σύµφωνα µε το MFI τους. Ίδιο MFI η γ

-7 Μερικές φορές γίνεται χρήση του επωνοµαζόµενου δείκτη ροής τήγµατος υψηλού φορτίου (High-Load Melt Flo Index, HLMFI), όταν χρησιµοποιείται φορτίο.6 kg αντί για το πρότυπο φορτίο των.6 kg. Εποµένως αυτό ισοδυναµεί µε ένα δεύτερο σηµείο στην καµπύλη ιξώδους (σε υψηλότερους ρυµούς διάτµησης). Μερικές φορές για το PP, ο δείκτης ροής αναφέρεται σαν παροχή τήγµατος (Melt Flo Rate). Το τεστ είναι το ίδιο όπως και στο ΡΕ, αλλά η πρότυπη ερµοκρασία για το PP είναι 0 ο C.... ΤΙΜΗ-K ΓΙΑ ΤΟ PVC Συχνά τα πολυµερή του PVC ταξινοµούνται σύµφωνα µε την τιµή Κ, που αποτελεί µέτρο του µοριακού τους βάρους. Ορίζεται από µετρήσεις του εγγενούς ιξώδους σε διάλυµα κυκλοεξανόνης. Οι τιµές K βρίσκονται συνήως στην κλίµακα µεταξύ 5 και 80. Χαµηλές τιµές K σηµαίνουν χαµηλό µοριακό βάρος (που αντιπροσωπεύει πολυµερές εύκολα επεξεργάσιµο αλλά κατώτερης ποιότητας), ενώ υψηλές τιµές K σηµαίνουν υψηλό µοριακό βάρος (δύσκολο για επεξεργασία αλλά πολύ καλής ποιότητας).