ΥΠΑΡΞΗ ΣΕ ΙΣΟΤΗΤΑ Ή ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ

ΥΠΑΡΞΗ ΣΕ ΙΣΟΤΗΤΑ Ή ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: Πρακτικές και καινοτομίες στην εκπαίδευση και στην έρευνα. Χρόνης Χ. Παναγιώτης pachronis@gmail.com Περίληψη Στόχος της εργασίας αυτής είναι να καταδείξει τη διδακτική αξιά των γενικεύσεων κατά τη μελέτη διαφόρων προβλημάτων και συγκεκριμένα στο ενδιαφέρον πεδίο της ανάλυσης. Η τελική απόδειξη είναι καρπός διαφόρων νοητικών λειτουργιών και πολλοί σύγχρονοι ερευνητές μελετούν αυτές, γνωστές ως ερευνητικές στρατηγικές επίλυσης προβλημάτων. Η ποικιλία και η δυσκολία των προκυπτόντων προβλημάτων είναι τεράστια και φυσικά δεν εξαντλείται σε ένα μόνο άρθρο. Abstract The aim of the current paper is to show the educational value of the generalization process in the study of several mathematical problems and especially in the field of functions. A problem s solution constitutes a complex field of creative work. The proof is the outcome of several intellectual actions, known as heuristics. The variety and the difficulty of the resultant problems is huge and an article isn t enough to run out the subject. ΥΠΑΡΞΗ ΣΕ ΙΣΟΤΗΤΑ: ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLΕ ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΑΠΟ ΥΠΑΡΞΗ ΑΚΡΟΤΑΤΟΥ (ΙΔΙΩΣ ΓΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΟΡΙΣΜΕΝΗ ΣΕ ΚΛΕΙΣΤΟ ΔΙΑΣΤΗΜΑ) ΥΠΑΡΞΗ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΕΙΣ ΑΤΟΠΟΝ ΑΠΑΓΩΓΗΣ 1

ΥΠΑΡΞΗ ΑΠΟ ΤΗΝ ΕΥΡΕΣΗ ΠΡΟΦΑΝΟΥΣ ΤΙΜΗΣ ΠΟΥ ΙΚΑΝΟΠΟΙΕΙ ΤΗΝ ΙΣΟΤΗΤΑ ΥΠΑΡΞΗ ΜΕΣΑ ΑΠΟ ΠΡΟΗΓΟΥΜΕΝΗ ΥΠΑΡΞΗ ΤΡΟΠΟΥΣ ΥΠΑΡΞΗ ΜΕΣΑ ΑΠΟ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO Σε τι χρησιμεύει το θεώρημα του Bolzano στην ύπαρξη; Η ΜΕ ΑΛΛΟΥΣ Απάντηση: Το θεώρημα του Bolzano αναφέρει ότι: Αν μία συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α, β] και ισχύει f(α) f(β) < 0, τότε η εξίσωση f(x) = 0 έχει τουλάχιστον μία ρίζα x 0 στο ανοικτό διάστημα (α, β), δηλαδή f(x 0 )= 0. Άρα το θεώρημα του Bolzano χρησιμεύει στο να δείχνουμε ότι μια εξίσωση f(x) = 0 (όπου f συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστημα Δ) έχει τουλάχιστον μία πραγματική ρίζα (σε ένα ανοικτό υποδιάστημα (α, β) του Δ). Ας σημειώσουμε στα παραπάνω ότι: 1 ο : Το θεώρημα του Bolzano έχει καθαρά υπαρξιακό χαρακτήρα και όχι υπολογιστικό (αφού μας δίνει τον τρόπο με τον οποίο δείχνουμε ότι «υπάρχει» ρίζα και όχι πώς την «υπολογίζουμε»). 2 ο : Αν η συνάρτηση f είναι και γνησίως μονότονη, τότε η ρίζα x 0 είναι και μοναδική (στο αντίστοιχο διάστημα). Φυσικά η μοναδικότητα της λύσης είναι συνδυασμός του "υπάρχει" και του "πολύ". Το πολύ εκτός της μονοτονίας μπορεί να αντιμετωπιστεί και με χρήση θεωρήματος Rolle ή με το βαθμό της πολυωνυμικής συνάρτησης. 3 ο : Γραφικά το θεώρημα του Bolzano μας πληροφορεί ότι η γραφική παράσταση C f της συνάρτησης f τέμνει τον άξονα x'x τουλάχιστον σε ένα σημείο x 0. 4 ο : Αν μια συνάρτηση g είναι συνεχής στο [α, β] και ισχύει g(α) g(β) 0, τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα x 0 [α. β], ώστε g(x 0 ) = 0. 2

Αυτό διότι, αν g(α) g(β) <0, τότε από το θεώρημα του Bolzano το x 0 (α, β). Αν όμως g(α) g(β) = 0, δηλαδή g(α)=0 ή g(β)=0, τότε θεωρούμε σαν x 0 το α ή το β. Συμπερασματικά όταν έχουμε να δείξουμε "ύπαρξη" σε κλειστό διάστημα μάλλον θα χρειαζόμαστε την παραπάνω αντιμετώπιση διότι τα άκρα (ή το ένα άκρο) θα μπορεί να πάρει και την τιμή μηδέν. 5 ο : Αν θέλουμε να δείξουμε ότι η εξίσωση F(x) = G(x) έχει λύση σε ένα διάστημα Δ, θεωρούμε ισοδύναμα τη συνάρτηση f(x) = F(x)-G(x) (ή την F(x) f(x) = - 1 για... ευνόητους λόγους, «θυμήσου ότι δεν πάει με G(x) αφαίρεση πιθανόν να λειτουργεί με διαίρεση») και δείχνουμε ότι η f ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του θεωρήματος Bolzano σε ένα κλειστό διάστημα [α, β] Δ.. 6 ο : Αν μια συνάρτηση F είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α, β] και ισχύει F(α) F(β) > 0, τότε η εξίσωση F(x) = 0 μπορεί να έχει ή μπορεί να μην έχει ρίζα x 0 στο (α, β). 7 ο : Αν μια συνάρτηση F είναι συνεχής και γνησίως μονότονη σε ένα κλειστό διάστημα [α, β], τότε ισχύει η ισοδυναμία: F(α) F(β) < 0 υπάρχει ακριβώς ένα x 0 (α, β), ώστε F(x 0 ) = 0. Η απόδειξη είναι εύκολη και αφήνεται στον αναγνώστη. 8 ο : Αν ζητείται να δείξουμε ότι μια εξίσωση F(x) = 0 έχει δύο ή περισσότερες ρίζες σε ένα διάστημα Δ, αρκεί να βρούμε δύο ή περισσότερα διαστήματα [α, β], [γ, δ],... του Δ, στα οποία η συνάρτηση F να ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του θεωρήματος Bolzano σε καθένα από αυτά. 9 ο : Σε μερικές περιπτώσεις, για να δείξουμε ότι η εξίσωση F(x) = 0 έχει τουλάχιστον μία ρίζα σε ένα διάστημα Δ = (α, β), αρκεί να δείξουμε ότι: 1: Η F είναι συνεχής στο διάστημα (α, β) 2: Ισχύει lim F(x) lim F(x) L, με L < 0 ή L = π. χ. με x xβ lim F(x) και x lim F(x) m 0 τότε θα ισχύει: F(x) < 0 xβ κοντά στο α και F(x) > 0 κοντά στο β. 3

Οπότε θα υπάρχουν αντίστοιχα α 1 κοντά στο α και β 1 κοντά στο β, ώστε F(α 1 ) < 0 και F(β 1 ) > 0. Δηλαδή θα ισχύει F(α 1 ) F(β 1 ) < 0, οπότε και λόγο της συνέχειας της F, θα υπάρχει... τουλάχιστον ένα x 0(α 1, β 1 ) (α,β), ώστε F (x 0 ) = 0, από το θεώρημα του Bolzano. ΥΠΑΡΞΗ ΜΕΣΑ ΑΠΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE 1ο: Σε περιπτώσεις όπου ζητείται να δειχθεί ότι η εξίσωση f(x) = 0 έχει λύση, έστω σε ένα διάστημα (α, β) (και δεν εφαρμόζεται εύκολα το θ. Bolzano). Τότε βρίσκουμε μια συνάρτηση F. παραγωγίσιμη στο [α, β], με F '(x) = f(x) για κάθε x[α, β] (δηλαδή η F να είναι μια παράγουσα - αρχική της f ), οπότε αρκεί για την F να εφαρμόζεται το θ. Rolle στο [α, β]. Παρατήρηση: Για να βεβαιωθείς ότι επέλεξες την σωστή συνάρτηση έλεγξε την ισότητα των άκρων. Να δείξετε ότι το πολυώνυμο f(x) = 4αx 3 + 3βx 2-2αx - β, α, βr, έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο ανοικτό διάστημα (0,1). 2 ο : Αν ζητείται να δείξουμε ότι στη γραφική παράσταση C f μιας παραγωγίσιμης συνάρτησης f υπάρχει εφαπτομένη ευθεία που είναι παράλληλη στον άξονα x'x. (Γεωμετρική ερμηνεία Θ.Rolle.) Έστω η περιοδική και παραγωγίσιμη συνάρτηση f:rr με περίοδο Τ > 0 (δηλαδή ισχύει f(x+τ) = f(x) για κάθε xr). Να δείξετε ότι υπάρχει εφαπτομένη της C f που είναι παράλληλη στον άξονα x'x. Προσοχή: Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σ' ένα διάστημα Δ και δεν είναι "1-1" σε αυτό (δηλαδή υπάρχουν α, βδ, με α < β ώστε f(α) = f(β)), τότε η εξίσωση f '(x) = 0 έχει λύση στο Δ (Θ. Rolle για την f στο [α, β]). Συνέπεια αυτού είναι ότι αν f '(x) 0 για κάθε xδ, τότε η f είναι "1-1" στο Δ. 3 ο : Σε περιπτώσεις όπου ζητείται να δειχθεί ότι η εξίσωση f(x) = 0 έχει ακριβώς μια ρίζα στο διάστημα (α, β). Τότε δείχνουμε ότι: 1 Η εξίσωση f(x) = 0 έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο (α, β), χρησιμοποιώντας το Θ. Bolzano [(f συνεχής στο [α,β] και f(α) f(β) < 0) ή (f 4

συνεχής στο (α, β) και lim f (x) lim f (x) < 0] και εναλλακτικά το θεώρημα x xβ Rolle όπως περιγράψαμε παραπάνω. 2 Προσπαθούμε να δείξουμε ότι η αντίστοιχη εξίσωση έχει το πολύ μία λύση, δηλαδή ότι ισχύει f '(x) 0 για κάθε x(α, β), εξασφαλίζοντας τη μοναδικότητα της ρίζας στο 1. Αυτό διότι, αν η εξίσωση f(x) = 0 έχει στο (α, β) τουλάχιστον δυο ρίζες ρ ι < ρ 2, οπότε f(ρ 1 ) = f(ρ 2 ) = 0, τότε από το Θ. Rolle για την f στο [ρ 1, ρ 2 ] θα υπάρχει ξ(ρ 1, ρ 2 ) (α,β), ώστε f '(ξ) = 0. Άτοπο αφού θεωρούμε ότι f '(x) 0 για κάθε x (α,β). Εναλλακτικά το πολύ αποδεικνύεται με τη μονοτονία και με χρήση του βαθμού της πολυωνυμικής συνάρτησης. Να δείξετε ότι η εξίσωση xe x =1 έχει ακριβώς μια ρίζα στο (0,1). 4 ο : Στο να δείξουμε ότι η εξίσωση f(x) = 0 έχει ακριβώς ν πραγματικές ρίζες, όπου vn*. Τότε δείχνουμε ότι: 1 Η εξίσωση f(x) = 0 έχει τουλάχιστον ν πραγματικές ρίζες, χρησιμοποιώντας το Θ. Bolzano σε κατάλληλα διαστήματα (αν δεν ξέρουμε τις ρίζες). 2 Υποθέτουμε ότι η f(x) = 0 έχει τουλάχιστον ν+1 πραγματικές ρίζες, (για να καταλήξουμε σε άτοπο). Τότε η εξίσωση f '(x) = 0 έχει το πολύ ν - 1 πραγματικές ρίζες ή ότι η f "(x) = 0 έχει το πολύ ν - 2 πραγματικές ρίζες ή ότι η εξίσωση f (3) (x) = 0 έχει το πολύ ν-3 πραγματικές ρίζες κ.λπ. Αυτό το δείχνουμε «αλυσιδωτά» χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Rolle, για την f. την f ', την f " κ.λ.π. για να καταλήξουμε κάπου σε άτοπο... Ας σημειώσουμε ότι το 2 είναι αρκετό για να εξασφαλίσουμε ότι η εξίσωση f(x) = 0 έχει το πολύ ν πραγματικές ρίζες. Παραδείγματα: Να δείξετε ότι: α. η εξίσωση x 3-3x +1 = 0 έχει ακριβώς τρεις πραγματικές ρίζες. β. η εξίσωση 4 x = 3x + 1 έχει ακριβώς δυο πραγματικές ρίζες, τις οποίες και να βρείτε. 5 ο : Στις περιπτώσεις που για την ύπαρξη (τουλάχιστον ένα) θα χρησιμοποιήσουμε το Θ.RolIe την αρχική συνάρτηση, την οποία 5

αναζητάμε μπορούμε να την βρούμε από την δεδομένη ισότητα. Στην ισότητα παραστάσεων των πραγματικών α, β, όπου α β, «χωρίζουμε» όλα τα α στο ένα μέλος της ισότητας και όλα τα β στο άλλο (αν φυσικά γίνεται), καταλήγοντας και στα δύο μέλη στην ίδια μορφή...(που είναι η μορφή της ζητούμενης συνάρτησης) Έστω η συνάρτηση f, συνεχής στο [α, β], παραγωγίσιμη στο (α, β) ώστε να ισχύει: e α f(β) = e β f(α). Να δείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ (α, β) τέτοιο, ώστε: f '(ξ) = f(ξ). 6 ο : Θυμήσου εφόσον η f συνεχής σε ένα διάστημα Δ τότε έχει αρχική την F(x)= x f (t)dt με αa. α Έστω η συνεχής συνάρτηση f:[0, l] IR. Να δείξετε ότι η εξίσωση x 0 f (t)dt = (1-x) f(x) έχει λύση στο (0,1). ΥΠΑΡΞΗ ΜΕΣΑ ΑΠΟ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ Το σύνολο τιμών εκτός από την ύπαρξη δίνει και το πλήθος των ριζών της εξίσωσης f(x) = α με οποιαδήποτε "αr". Έστω το πολυώνυμο f(x) = x 4-6x 2-8 x + λ, λr.. α) Να μελετηθεί η συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. β) Να μελετηθεί η συνάρτηση f ως προς τα κοίλα και τα σημεία καμπής. γ) Αν λ < 24, να δείξετε ότι η εξίσωση f(x) = 0 έχει ακριβώς δύο διαφορετικές ρίζες. Να βρείτε τις τιμές του αr, ώστε η εξίσωση x 3-12 x+ α = 0 να έχει τρεις ρίζες πραγματικές και άνισες. ΥΠΑΡΞΗ ΜΕΣΑ ΑΠΟ ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ Πού χρησιμεύει το Θεώρημα Μέσης Τιμής στην ύπαρξη; 6

1 Ανάλογα όπως στο Θ. Rolle. (Αλλά σε πολύ ειδικές περιπτώσεις που οι περισσότερες καλύπτονται από το θεώρημα Rolle.) Σε περιπτώσεις όπου: (1.1) Ζητείται να βρεθεί ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα x 0 που ικανοποιεί κάποια σχέση η οποία προκύπτει από την εφαρμογή του Θεωρήματος Μέσης Τιμής σε ένα ορισμένο κλειστό διάστημα. (1.2) Ζητείται να δείξουμε ότι υπάρχει εφαπτομένη στη γραφική παράσταση μιας παραγωγίσιμης συνάρτησης που είναι παράλληλη σε μια ορισμένη ευθεία, ή διέρχεται από ένα ορισμένο σημείο. Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f :[α, β] R. με f(α) = α και f(β) = β. Να δείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο M(x 0,f(x 0 )) στη γραφική παράσταση της f, όπου η εφαπτομένη της είναι παράλληλη στην ευθεία y = x +1. 2 Στην απόδειξη σχέσεων, χωρίζοντας γνωστό διάστημα σε κατάλληλα υποδιαστήματα (ανάλογα σε πλάτος με τους θετικούς αριθμούς κ, λ,...), εφαρμόζοντας σε κάθε ένα από αυτά το Θεώρημα Μέσης Τιμής. (Πολύ γενική περίπτωση) Έστω η συνάρτηση f. συνεχής στο [α, β] και παραγωγίσιμη στο (α, β). Αν κ > 0 και λ > 0, να δείξετε ότι υπάρχουν ξ 1,ξ 2 (α,β), με ξ 1 <ξ 2, ώστε να ισχύει η f ( ) f ( ) σχέση: κ f '(ξ 1 )+λf '(ξ 2 ) = (κ+λ) β-α Παρατηρήσεις: 1η) Ισχύει η γενίκευση, αντί για δύο αριθμούς κ,λ > 0, για ν αριθμούς λ 1, λ 2, λ 3,..., λ ν > 0 2η) Αν ισχύει η σχέση f(α) = f(β), δηλαδή το Θ. Rolle για την f στο [α, β], τότε η αποδεικτέα σχέση γράφεται κ f '(ξ 1 )+λf '(ξ 2 ) = 0. 3 Στην απόδειξη σχέσεων ύπαρξης σε δύο διαδοχικά ερωτήματα του πρώτου με χρήση θεωρήματος Bolzano ή θεωρήματος ενδιαμέσων τιμών και του δευτέρου ερωτήματος με χρήση Θ.Μ.Τ, χωρίζοντας το αρχικό γνωστό διάστημα σε δύο κατάλληλα υποδιαστήματα [α, ξ], [ξ, β] όπου ξ το σημείο που προκύπτει από το πρώτο ερώτημα εφαρμόζοντας σε κάθε ένα από αυτά το Θεώρημα Μέσης Τιμής. 7

Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f: [0, 1] R, ώστε f(0) = 1 και f(1) = 0. Να δείξετε ότι: α. Υπάρχει τουλάχιστον ένα x 0(0,1), ώστε f(x 0 )= x 0 β. Υπάρχουν ξ 1, ξ 2 (0, 1), με ξ 1 < ξ 2 ώστε f '(ξ 1 ) f ' (ξ 2 ) = 1. 4 Σε διαδοχικές εφαρμογές του Θεωρήματος Μέσης Τιμής, για απόδειξη σχέσεων όπως π.χ. ότι υπάρχει ξ... ώστε f "(ξ)=0. ή f "(ξ) > 0 κ.τ.λ. (αλυσίδα Θ.Μ.Τ) Παραδείγματα: 1. Έστω η συνάρτηση f, η οποία είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο διάστημα [0,1], με f(0) = 0 και f '(1) = f(1). Να δείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα x 0 (0,1), ώστε f "(x 0 ) = 0. 2. Αν η συνάρτηση f είναι δυο φορές παραγωγίσιμη στο διάστημα [0,4], ώστε f(0) + f(4) = 2f(2), να δείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ(0, 4), ώστε f "(ξ) = 0. 5 Από τη ζητούμενη σχέση ψάχνουμε το χαρακτηριστικό λόγο μεταβολής για να εντοπίσουμε τη συνάρτηση και το διάστημα όπου θα εφαρμόσουμε το Θ.Μ.Τ Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f: [ 1, 2]R. Να δείξετε ότι υπάρχει f (2) 2f (1) τουλάχιστον ένα ξ(1,2), ώστε: ξ f '(ξ) f(ξ) = ξ 2 2 (Σκέψου γιατί εφαρμόζουμε Θ.Μ.Τ για τη συνάρτηση g(x) = f (x) x ) ΥΠΑΡΞΗ ΜΕΣΑ ΑΠΟ ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ Το θεώρημα των ενδιαμέσων τιμών είναι γενίκευση του θεωρήματος του Bolzano αφού αναφέρετε υπαρξιακά στην εξίσωση f(x) = η ενώ το άλλο στην εξίσωση f(x) = 0. Βοηθούμενη και από την ύπαρξη μεγίστου και ελαχίστου για συνεχή συνάρτηση σε κλειστό διάστημα αποδεικνύουμε ότι υπάρχει ξ που ικανοποιεί σχέσεις της μορφής f ( 1) f ( 2) f ( 3) f(ξ) Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα [0,1], να δείξετε ότι: α) Η f έχει μέγιστο Μ και ελάχιστο m στο [0, 1]. β) Αν ισχύει 0 < m < M, τότε: 8

i) m 3 f(0) f( 1 ) f(l) Μ3 2 ii) [0,1]. Η εξίσωση f 3 (x) = f(0) f( 1 ) f(l) έχει τουλάχιστον μία λύση στο 2 ΥΠΑΡΞΗ ΑΠΟ ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΥΠΑΡΞΗΣ ΑΚΡΟΤΑΤΟΥ (Θ. Fermat) Από την ύπαρξη ακρότατου (ιδίως για συνεχή συνάρτηση σε κλειστό διάστημα) μπορεί να προκύψει κατεξοχήν με εφαρμογή του θεωρήματος Fermat αφού αποκλειστούν τα ακραία σημεία του κλειστού διαστήματος ως ακρότατα, ότι υπάρχει σημείο που μηδενίζει την παράγωγο. Αν υπάρχει η f " στο [1,4] και ισχύει: f(2) < f(1) < f(4) < f(3) (1) να δείξετε ότι υπάρχει x 0 (1,4), ώστε f " (x 0 ) = 0. (Μπορείς να σκεφθείς δύο τρόπους λύσης;) ΥΠΑΡΞΗ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΕΙΣ ΑΤΟΠΟΝ ΑΠΑΓΩΓΗΣ Ακόμη και με άτοπο απαγωγή προκύπτει απόδειξη ύπαρξης. Έστω οι παραγωγίσιμες συναρτήσεις f,g:[α, β] R για τις οποίες ισχύουν f(α) = g 2 (α) και f(β) = g 2 (β) (1) και f ' (x) g(x) - 2 f(x)g'(x) = e x g(x), για κάθε x[α,β] (2). Να δείξετε ότι η εξίσωση g(x) = 0 έχει τουλάχιστον μία λύση στο [α, β]. Παρατήρησε: ότι η δεδομένη σχέση προέρχεται από παραγώγιση πηλίκου του οποίου παρανομαστής είναι η συνάρτηση που υποθέτεις ότι είναι διάφορη του μηδενός κατά την χρήση της ατόπου απαγωγής. Έστω η συνεχής συνάρτηση f: RR για την οποία ισχύει f(f(x)) = ln(2+e x ) για κάθε xr. α) Να δείξετε ότι η f είναι 1-1. x0 β) Να δείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα x 0 R, ώστε f (x ) ln(1 e ) γ) Αν η f είναι παραγωγίσιμη, να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει τουλάχιστον μία πραγματική λύση. 0 x e f (x) 1 e x 9

Παρατήρησε: Στο β) ερώτημα η ύπαρξη αποδεικνύεται με εις άτοπον απαγωγή. Στο γ) ερώτημα εκμεταλλευόμαστε το β). Προσοχή ότι το ζητούμενο είναι ο μηδενισμός της παραγώγου του β) ερωτήματος, άρα εφαρμόζεται το θεώρημα Rolle σε δύο τιμές ίσες που είναι το x 0 και το f(x 0 ) του β) ερωτήματος. ΥΠΑΡΞΗ ΜΕΣΑ ΑΠΟ ΠΡΟΗΓΟΥΜΕΝΗ ΥΠΑΡΞΗ Ή ΜΕ ΑΛΛΟΥΣ ΤΡΟΠΟΥΣ Σε διαδοχικές εφαρμογές ύπαρξης μπορεί η απόδειξη της επόμενης να βασίζεται στην απόδειξη της προηγούμενης ή σε μερικές περιπτώσεις να είναι και το ίδιο ακριβώς σημείο που ικανοποιεί και τις δύο σχέσεις. Έστω η συνεχής συνάρτηση f: [0, 1] R, για την οποία για κάθε x [0, 1] x ισχύουν οι σχέσεις: f(x) > 0 (1) και f(x) = f(1)+ ln f (t) dt (2) 0 α) Να αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα x 0 (0,1) τέτοιο, ώστε f '(x 0 ) = 0. β) Να αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα x 1 (0, 1) τέτοιο, ώστε f(x 1 ) = 1. γ) Αν f(1) = 1, να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι σταθερή. Μερικές παρατηρήσεις που πρέπει να θυμάσαι είναι: Παρατήρηση: Αν το προηγούμενο ερώτημα αναφέρετε στην ισχύ ενός θεωρήματος ύπαρξης και στο επόμενο ερώτημα σου ζητούν να δείξεις ότι τουλάχιστον ένα σημείο πληροί μια σχέση πρέπει να "υποψιαστείς" ότι η απάντηση είναι η συνέχεια του προηγουμένου ερωτήματος κάνοντας ίσως κάποιους μετασχηματισμούς στην προκύπτουσα σχέση. Παρατήρηση: Αν βρούμε μια προφανή λύση έχουμε εξασφαλίσει ότι υπάρχει τουλάχιστον μία λύση. Έστω οι συναρτήσεις f,g:rr, ώστε να ισχύει: f(g(x)) = e x +x+g(x), για κάθε xr. α) Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης h(x) = e x + x, xr. β) Να δείξετε ότι η συνάρτηση g είναι 1-1 γ) Να δείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα x 0 R, ώστε f(x 0 ) = x 0. δ) Αν οι συναρτήσεις f,g είναι παραγωγίσιμες στο R, να δείξετε ότι g'(x) 0,για κάθε xr. Έστω η συνάρτηση f: R R για την οποία ισχύει f(f(x)) = -x, με xr. 10

Να δείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον μια λύση της εξίσωσης f(x) = 0. (Υπολογισμός της λύσης) Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f:rr, με f(1) < f(2), ώστε να ισχύει 2f(3) = f(1)+f(2). Να δείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα x 0 (1,3), ώστε f '(x 0 ) = 0. (Θεώρημα ενδιαμέσων τιμών - Θεώρημα Rolle) Έστω μία συνάρτηση f:rr η οποία είναι παραγωγίσιμη και ισχύουν: f '(x) 0, για κάθε xr και f (x 1 ) f (x 2 2 e e ) [f (x ) f (x )] [f (x ) f (x ) 2], (x 1 < x 2 ) 1 2 1 2 Να δείξετε ότι: f (x 0 ) α) Υπάρχει x 0 (x 1, x 2 ), ώστε e f (x 0) 1. β) Η εξίσωση f(x) = 0 έχει μοναδική ρίζα. Παρατήρηση: Η ισότητα που δίνεται δείχνει πως θα αντιμετωπίσεις την ύπαρξη στο α) ερώτημα. Στο β) ερώτημα θα κάνεις χρήση του α). ΥΠΑΡΞΗ ΣΕ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ Η ύπαρξη σε ανισότητα αποδεικνύεται κυρίως με δύο τρόπους: 1) Με τη βοήθεια του Θ.Μ.Τ. 2) Από την ύπαρξη ακρότατου (ιδίως για συνεχή συνάρτηση σε κλειστό διάστημα). Αν η συνάρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο R, με: f(0) < 0, f(1) > 0 και f(2) < 0. Να δείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ (0,2), ώστε f "(ξ) < 0. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα [1,2], να δείξετε ότι f (x 1) υπάρχει x 1 [1, 2] ώστε f(x) x για κάθε x [l, 2]. x1 Έστω η συνεχής συνάρτηση f:[α. β] R. Να δείξετε ότι: α) Υπάρχει τουλάχιστον ένα x 0 [α, β], ώστε να ισχύει: f(x) - f(x 0 ) x x 0 για κάθε x [α, β]. β) Υπάρχει μιγαδικός z= f(x) + ix, x [α, β] με μέτρο μέγιστο. 11