ACADEMIA DE UDII ECOOMICE IGIERIE FIACIARĂ - sinză - Prof. univ. r. Moisă Alăr by Moisă Alar. All righs rsrv. hor scions of x, no xcing wo paragraphs may b quo wihou prmission provi ha full cri, incluing h noic, is givn o h sourc. Copyrigh, Moisă Alar. oa rpuril asupra acsi lucrări aparţin auorului. cur fragmn x, car nu păşsc ouă paragraf po fi cia fără prmisiuna auorului ar cu mnţionara sursi. Bucurşi, ianuari
Prof. univ. r. Moisă Alăr - IGIERIE FIACIARĂ - sinză - Capiolul. Inroucr. ismul financiar joacă un rol funamnal în funcţionara conomii morn. Crcări rcn au vinţia rolul major c rvin sismului financiar în procsul crşrii conomic. P lângă facorii raiţionali, rspciv invsiţiil în capialul fizic şi în capialul uman, sismul financiar joacă un rol imporan în procsul crşrii conomic. În arhicura sismului financiar, piaţa capial joacă un rol cnral, a rprznân un avăra caalizaor pnru înraga acivia conomică. În uliml cnii piaţa capial s-a zvola coninuu prin apariţia noi prous financiar, noi mcanism şi noi sgmn. Acs procs coninuă şi în przn, l amplificânu-s oaă cu aâncira globalizării şi monializării piţlor capial. Un sgmn foar alr şi car s zvolă coninuu în carul piţi capial s cl al prouslor riva. Dşi rlaiv ânăr, volumul zilnic al ranzacţiilor p piaţa rivaiv însumază mul zci miliar UD. Un prous financiar riva (rivaiv s un insrumn financiar al cări valoar pin valoara alor aciv sau prous financiar, numi aciv supor. Principall prous riva uiliza în przn p piaţa financiară sun: conracl forwar conracl fuurs swap-uri opţiunil În ca c privş opţiunil, rbui mnţiona că în przn s uilizază o varia xrm mar asfl insrumn riva, mul inr l inrân în aşa numia cagori a opţiunilor xoic. Înrucâ un volum xrm mar opţiuni şi al rivaiv s ngociază p aşa numia piaţă OC (ovr h counr irc înr ivrs insiuţii financiar, bănci, fonuri muual sau companii, prin inroucra noi clauz în conracl opţiuni s obţin în prmannţă noi ipuri opţiuni xoic, car acă au rzula favorabil sun aopa luma financiară. Prima piaţă organizaă p car să s ngociz conrac opţiuni sanariza a apăru în anul 973 la Chicago, CBOE (Chicago Boar Opions /87
Prof. univ. r. Moisă Alăr - IGIERIE FIACIARĂ - sinză - Exchang. Ulrior opţiunil au fos ngocia şi la Amrican ock Exchang, la Pacific ock Exchang, Philalphia Exchang, YE, Lonra, Paris, Amsram, c. În ca c privş acivul supor al unui prous financiar riva, acsa poa fi: acţiuni obligaţiuni inici bursiri cursul schimb bunuri ivrs ipuri: prol, cral, aur sau al mal prţioas, c. Prousl riva sun uiliza în ri scopuri principal, şi anum: pnru opraţii acoprir împoriva ivrslor cagorii risc hging pnru spculaţii p piaţa financiară pnru opraţii arbiraj D aici rzulă şi cl ri cagorii mari opraori (rars p piaţa rivaiv: hgrs, spculaors, arbiragurs. Apariţia rivaivlor a moifica funamnal srucura aciviăţilor financiar, în spcial în ţăril zvola. În primul rân, prousl riva prmi o mai bună projar împoriva riscului a invsiorilor şi a alor cagorii oamni afacri. În al oila rân, prousl riva prmi ralizara unor opraţii lvir xrm ficin. Acsa au conus la amplificara aciviăţilor invsiţii, avân purnic implicaţii aâ asupra insiuţiilor financiar, câ şi al insiuţiilor nfinanciar. ooaă prţuril prouslor financiar riva car rflcă anicipăril agnţilor conomici privin voluţiil c vor ava loc în conomi prmi o mai bună prognoză macroconomică, o mai bună funamnar a ciziilor poliică monară p car l aopă băncil cnral ş.a. În sfârşi, ar nu şi în ulimul rân, apariţia rivaivlor a conus la un avân xraorinar al şiinţi financiar. Apariţia în anul 973 a clbrului mol Black- Mron-chols valuar a opţiunilor a schis pracic o nouă ră în omniul şiinţi finanţlor. 3/87
Prof. univ. r. Moisă Alăr - IGIERIE FIACIARĂ - sinză - Capiolul. oţiuni funamnal În acs paragraf vor fi inrous priml noţiuni funamnal privin prousl financiar riva, prcum şi unl mcanism car guvrnază piaţa capial. a. Arbiraj financiar Prin arbiraj financiar vom înţlg posibiliaa ralizării uni ranzacţii prin car s poa obţin un câşig fără ca opraorul să-şi asum un risc sau să invsască capial. Înrucâ p piaţa capial s rribui numai capialul şi riscul asuma, arbirajul financiar rprzină o sar anormală a piţi, rspciv o sar nonchilibru. Înrucâ asfl sări po xisa numai p prioa foar scur imp, l sun, în gnral, ignora oria financiară mornă. În foar mul raţionamn şi calcul lga valuara prousl financiar, inclusiv a rivaivlor, prsupun că piaţa nu prmi opraţii arbiraj financiar. Vom spun că fcuăm un raţionamn arbiraj financiar acă în carul raţionamnului liminăm posibiliaa ralizării opraţii arbiraj. Conform raţionamnului arbiraj financiar ouă insrumn financiar car prouc aclaşi fc rbui să aibă aclaşi prţ. Opraţiil arbiraj financiar nu rbui confuna cu opraţiil spculaiv în car opraorul îşi asumă un risc pnru car aşapă o rcompnsă. Dinr-o opraţi spculaivă opraorul poa ava fi un câşig, fi o pirr. b. hor slling (shoring Es o opraţi spculaivă prin car un invsior vin un aciv p car nu îl posă, l fiin cl mai mul ori împrumua brokrul său. Invsiorul urmază să cumpr în scur imp acivul şi să-l rsiui brokrului. Opraţiil 4/87
Prof. univ. r. Moisă Alăr - IGIERIE FIACIARĂ - sinză - shor slling sun rglmna prin sauul piţi. Pnru unl ipuri aciv rglmnăril nu prmi opraţii shor slling. În gnral, spculaorii fcuază opraţii shor slling cân anicipază o scăr a prţului acivului, orin să vână mai scump pnru ca ulrior să cumpr mai ifin pnru a sing împrumuul. Evin că acă anicipara nu a fos corcă invsiorul poa pir inr-o opraţi shor slling. c. Raa obânzii coninu Dacă s noază cu R raa obânzii car s rfră la un an, pnru fracţiuni an s folossc în mo obişnui ouă ipuri ra al obânzii: raa comrcială: n R ; r raa corcă: n, un cu r n s-a noa raa convrsi, soluţi a cuaţii: n n rn + n + R (. rspciv: r [( + R ] n n n (. -a prsupus că obâna s compusă iar cu n s-a noa numărul inrval în car a fos împărţi anul. Înr cl ouă ra al obânzii po xisa ifrnţ smnifiaciv car s amplifică oaă cu crşra lui n. D xmplu, acă R 5%, raa obânzii comrcială pnru un smsru s 7,5 %, iar pnru o lună a s,5%. În ralia, o raă a obânzii 7,5% p smsru corspun la o raă a obânzii 5,56% p an (,75,556 anuală 6,75% p an (.5 +, iar o raă a obânzii,5% p lună corspun la o raă (.675 +. Pnru cazul consira, raa corcă pnru un smsru s 7,38%, iar pnru o lună a s,7%. Pnru [ ] n, raa convrsi n ( + R n n r 4,476%, iar pnru n a s gală cu r 4,58%. r s gală cu 5/87
Prof. univ. r. Moisă Alăr - IGIERIE FIACIARĂ - sinză - Cu câ n s mai mar, cu aâ raa convrsi s mai corcă. Acasa a conus la uilizara rai insanan, rspciv la raa obânzii coninu: r lim r n n lim n ( + R n n ln ( + R (.3 Aşaar, înr raa obânzii obişnui R şi raa obânzii coninu r, avm rlaţia: ( r ln + R (.4 În cazul xmplului als, raa obânzii R 5%, corspun uni ra a obânzii coninu 3,976%. Facorul frucificar vin: r + R (.5 iar facorul acualizar vin: r + R (.6 Pnru xmplificar, arăăm că formula car ă prţul uni obligaţiuni, în cazul în car s folosş raa obânzii coninu vin: Cu P C r + F r (.7 C s-a noa valoara cuponului in anul, cu F s-a noa valoara nominală, iar cu s-a noa scanţa (mauriaa obligaţiunii. Pnru o obligaţiun zro-cupon avân mauriaa, valoara nominală F şi prţul la momnul gal cu B (,, rnabiliaa la scanţă (yilul la mauria s aă formula: (, ln B (.8 y car s soluţia cuaţii: B y( (, (.9 D xmplu, acă, iar o obligaţiun zro-cupon avân mauriaa ps 3 ani ( 3 ar prţul B (,3, 8 y ln(,8 3 7,44%., aunci rnabiliaa la scanţă va fi: 6/87
Prof. univ. r. Moisă Alăr - IGIERIE FIACIARĂ - sinză -. Conrac forwar Cl mai simplu rivaiv s conracul forwar. Un conrac forwar s o înţlgr înr ouă părţi a vin, rspciv a cumpăra un anum aciv financiar sau un bun la o scanţă şi un prţ sabili prin conrac. Conracl forwar s ranzacţionază p piţl OC ( ovr-h-counr şi l s închi, în mo obişnui, înr ouă insiuţii financiar sau înr o insiuţi financiară şi o insiuţi non-financiară ( xmplu o compani. spun că para car s angajază să cumpr acivul sau bunul rspciv ar o poziţi long, iar ca car s angajază să vână ar o poziţi shor. La mir valoara (prima unui conrac forwar s zro, oarc niciuna inr părţi nu obţin prin conrac o siuaţi privilgiaă. Aşa cum s va va în coninuar, acasă siuaţi nu mai s valabilă în cazul opţiunilor, un opraorul car ar poziţia long ar rpul, ar nu şi obligaţia a cumpăra acivul, rspciv bunul car fac obicul conracului. Dinr-un raţionamn arbiraj rzulă că pnru un aciv car nu gnrază vni p prioaa la car s rfră conracul, prţul forwar (prţul livrar s: r F(, (. Cu s-a noa prţul spo al acivului sau bunului, cu s-a noa scanţa, iar cu F (, s-a noa prţul forwar. Pnru un aciv car p prioaa xisnţă a conracului gnrază un vni avân valoara acualizaă V, prţul forwar va fi: ( V r F(, (. D xmplu, acă conracul forwar s rfră la o acţiun car ă ivin, raa insanan a ivinului fiin q %, prţul forwar va fi: ( rq F(, (. Pnru a monsra formula (., vom obsrva că vniul gnra prin ivin în prioaa [, ] s: V (.3 q Valoara acuală s: V q q V (.4 7/87
Prof. univ. r. Moisă Alăr - IGIERIE FIACIARĂ - sinză - Înlocuin p V în formula (. s obţin formula (.. Exmplu. Consirăm un conrac forwar pnru o acţiun al cări prţ spo s 8 u.m., avân scanţa ps 6 luni (,5. În cazul în car acţiuna s xivin iar raa obânzii s r %, prţul forwar va fi:,,5 F ( ;,5 8 84, u.m. În cazul în car acţiuna ă ivin, raa insanan a ivinului fiin q %, prţul forwar va fi: (,-,,5 F ( ;,5 8 83,6 u.m. rbui mnţiona că valoara (prima unui conrac forwar s zro numai în momnul iniţial: f (.5 P prioaa viaţă a conracului, prima conracului poa fi ifriă zro. Înravăr, prţul forwar în momnul va fi: F (, iar prima conrac va fi: f Din (.7 rzulă: un: f f r( (.6 r( [ F(, F(, ] (.7 r r( r( ( r (.8 Evin că smnul lui f poa fi poziiv sau ngaiv, upă cum r > sau < r r. Dacă, prima f s gală cu zro. Exmplu. Un conrac forwar avân scanţa ps un an ar ca supor o acţiun al cări curs spo s 85 u.m. raa obânzii s r %. Acţiuna s xivin. După 6 luni cursul spo al acţiunii s 87 u.m. în acs caz valoara conracului forwar s:,,5 f,5 85 87 9,56 87 3,56 8/87
Prof. univ. r. Moisă Alăr - IGIERIE FIACIARĂ - sinză -. Conrac fuurs Conracl fuurs au aclaşi caracrisici ca şi conracl forwar, cu osbira că s ranzacţionază p piţ organiza şi sun sanariza. Pnru majoriaa conraclor fuurs, opraorii îşi închi poziţia înain scanţă. Închira poziţii s poa fac rlaiv simplu luân o poziţi conrară cu ca avuă (long sau shor înr-un conrac fuurs similar. Es imporan mnţiona că pnru numroas ipuri aciv sau prous, prţuril fuurs s publică zilnic prsa financiară. f. ipuri opţiuni Conracl forwar sau fuurs obligă ambl părţi conracan ca la scanţă să onorz conracul. Es vin că, în gnral, una inr părţi va fi zavanajaă. În cazul în car poziţia p un conrac fuurs va fi închisă înain scanţă, opraorul va fi obliga să ia poziţi p un al conrac fuurs sau p acivul supor. pr osbir conracl forwar sau fuurs, opţiunil obligă numai una inr părţi să onorz conracul (poziţia shor, lăsân libraa clilal părţi (poziţia long să ciă acă onorază sau nu conracul. Es vin că, pnru acs rp p car-l obţin, opraorul car ar poziţia long p un conrac opţiuni va plăi, la închira conracului, o primă opraorului car ar poziţia shor. În funcţi rpul a cumpăra sau a vin un anumi aciv, opţiunil s împar în ouă mari cagorii: Opţiuni CALL ( cumpărar Opţiuni PU ( vânzar Opţiuna CALL ă rpul a cumpăra la un rmn sabili, la un prţ sabili prin conrac (prţul xrciţiu, acivul car fac obicul conracului (acivul supor. Dacă noăm cu prţul acivului supor şi cu E prţul xrciţiu prvăzu în conrac, la scanţă valoara uni opţiuni CALL s gală cu: max( E, (.9 9/87
Prof. univ. r. Moisă Alăr - IGIERIE FIACIARĂ - sinză - Es vin că acă >E, aunci possorul opţiunii va cumpăra acivul xrciânu-şi opţiuna, avân asfl un câşig bru gal cu -E. În cazul în car prţul p piaţă a acivului s mai mic câ prţul xrciţiu prvăzu în conracul opţiun (<E aunci, vin că, opraorul va cumpăra acivul irc p piaţă, iar valoara opţiunii s gală cu zro. Funcţia (.9 s numş funcţia payoff şi a ă valoara profiului bru p car-l obţin possorul opţiunii. Pnru a obţin valoara profiului n, in payoff rbui scăzuă prima plăiă opraorul car a cumpăra opţiuna (poziţia long. Opţiuna PU ă rpul a vin la un rmn sabili şi la un prţ sabili prin conrac acivul supor. În cazul opţiunilor PU, funcţia payoff s: max( E, (. Opraorul mamaic max in funcţiil payoff (.9 şi (., în fap, cuanifică opţionaliaa p car o ar poziţia long a-şi xrcia sau nu conracul. Din puncul vr al moului xrciar al opţiunilor s ising ouă mari cagorii opţiuni: Opţiunil ip uropan car po fi xrcia numai la scanţă; Opţiunil ip amrican car po fi xrcia, oric, în oric momn până la xpirara conracului. rbui mnţiona fapul că aâ în Europa, câ şi p coninnul amrican s ranzacţionază ambl ipuri opţiuni mnţiona mai sus. Aşaar, ajcivl uropan, rspciv amrican nu au nimic în comun cu locul gografic în car s ranzacţionază opţiuna. Opţiunil ip brmuan sun opţiunil c po fi xrcia în anumi momn, prvăzu în conrac. Acs ipuri opţiuni rprzină un mix înr opţiunil ip uropan şi cl ip amrican. Înr bănci sau al insiuţii financiar sau înr insiuţii financiar şi companii po fi închia şi aşa numil opţiuni ip xoic. Opţiunil ip xoic sun opţiuni nsanar car au prvăzu prin conrac o sri clauz spcific. /87
Prof. univ. r. Moisă Alăr - IGIERIE FIACIARĂ - sinză - D xmplu, opţiunil ip asiaic, sun opţiuni xoic în car funcţia payoff pin prţul miu al acivului supor p o prioaă spcificaă în conrac. O ală cagori opţiuni xoic sun opţiunil ip binar sau igial pnru car funcţia payoff s o funcţi isconinuă ca funcţi prţul acivului supor. D xmplu, funcţia payoff poa lua numai valoara unu sau zro. oa cagoriil opţiuni (uropn, amrican, xoic, c sun ip CALL ( cumpărar sau ip PU ( vânzar. În funcţi voluţia prţului acivului supor, opţiunil po fi: a-h-mony, în cazul în car prţul acivului supor s gal cu prţul xrciţiu; in-h-mony, în cazul în car funcţia payoff s gală cu E, moul car s sric mai mar ca zro. O opţiun ip call s inh-mony acă funcţia payoff s E >, rspciv prţul acivului supor s mai mar câ prţul xrciţiu. O opţiun ip pu s in-h-mony acă E >, rspciv funcţia payoff s E > ; ou-h-mony, în cazul în car funcţia payoff s zro. O opţiun ip call s ou-h-mony acă < E, iar opţiuna ip pu s ou-h-mony acă > E. g. Duplicara (clonara Vom spun că un aciv sau un rivaiv a fos uplica (clona acă s-a ruşi consruira unui porofoliu car să s compor inic cu acivul sau rivaivul iniţial. D xmplu, s va va mai par că o acţiun poa fi clonaă prinr-un porofoliu forma inr-o obligaţiun (poziţi long şi un număr opţiuni (poziţi shor. /87
Prof. univ. r. Moisă Alăr - IGIERIE FIACIARĂ - sinză - h. Prima (valoara uni opţiuni Valoara uni opţiuni rprzină prima plăiă la smnara conracului sau prţul la car a s ranzacţionază p piaţă la un momn ulrior mirii. La scanţă valoara uni opţiuni s gală cu funcţia payoff. Dacă s noază cu C valoara uni opţiuni call şi cu P valoara uni opţiuni pu, ambl sun funcţii urmăoarl cinci variabil: prţul acivului supor; E prţul xrciţiu; volailiaa acivului supor; r raa obânzii p piaţa monară; - prioaa până la scanţă. Cu s-a noa scanţa, iar cu momnul curn (la mira opţiunii. Uniaa măsură a prioai s anul. Rzulă că s măsoară în fracţiuni an, anul financiar avân 5 zil. Dacă s noază gnric cu D valoara unui rivaiv (call sau pu, avm: ( E,, r D D,, (. În rapor cu şi funcţia D s crscăoar. Monoonia în rapor cu şi E pin ipul opţiun, rspciv acă s ip call sau pu. rbui mnţiona, însă că funcţia D s omognă graul unu în rapor cu şi E, rspciv acă şi E crsc λ ori şi valoara rivaivului va crş λ ori. Rzulă că avm rlaţia: D ( λ, λ E,, r, λ D(, E,, r, (. Înrucâ valoara unui rivaiv pin în mo snţial voluţia prţului al acivului supor, iar acsa s o variabilă sochasică, în coninuar vor fi przna unl noţiuni lmnar calcul sochasic. /87
Prof. univ. r. Moisă Alăr - IGIERIE FIACIARĂ - sinză - Capiolul 3. Elmn calcul sochasic. Lga normală. Lga log-normală Mul fnomn in naură, hnică şi conomi scriu o lg normală sau gausiană. Pnru cunoaşra uni lgi normal sun suficinţi oi paramri, rspciv mia, µ, şi varianţa. Dnsiaa rpariţi în cazul lgii normal s: ( x ( xµ f (3. π iar funcţia rpariţi s: F ( f ( x x ( xµ π x (3. Funcţia rpariţi, numiă şi probabiliaa cumulaă cuanifică probabiliaa ca variabila alaoar car scri lga normală să aibă o mărim mai mică câ, rspciv: ( Z F( P (3.3 Vom noa cu : Φ ( µ, (3.4 O variabilă alaoar car s normal isribuiă, avân mia µ şi varianţa. Disribuţia normală pnru car µ şi s numş isribuţia sanar. Pnru isribuţia normală sanar, nsiaa rpariţi s: f x ( x π (3.5 3/87
Prof. univ. r. Moisă Alăr - IGIERIE FIACIARĂ - sinză - Pnru isribuţia normală sanar funcţia rpariţi va fi noaă cu în loc F. Avm: x ( x π (3.6 Din punc vr gomric, inicaorul ( măsoară aria cuprinsă înr graficul funcţii f(x (clopoul lui Gauss, axa orizonală şi rapa cuaţi x (vzi fig.. Funcţia ( ar urmăoarl propriăţi:. (. ( 3. ( ( Înrucâ primiiva funcţii (3.5 nu poa fi xprimaa prin funcţii lmnar, pnru calculul ingrali (3.6 s uilizază formul aproximar. P baza unor asfl formul aproximar sun înocmi abl car au valoril lui ( pnru ivrs valori a lui. Din asfl abl s poa va, xmplu că (,4,895. Cu al cuvin probabiliaa ca o variabilă isribuiă upă lga normală sanar (mia gală cu zro şi varianţa gală cu unu s 89,5%. Probabiliaa ca o variabilă isribuiă upă lga normală sanar să ia valori în inrvalul [ α, β ] s: 4/87
P P Prof. univ. r. Moisă Alăr - IGIERIE FIACIARĂ - sinză - ( α x β P( x β P( x α ( α x β ( β ( α, rspciv: (3.7 În cazul paricular în car α β avm: ( α x α ( α ( α ( α [ ( α ] ( α P (3.8 În formula ( x ( P în mo obişnui s ă probabiliaa cumulaă ( şi nu valoara variabili. Din abll privin probabiliaa cumulaă la isribuţia normală sanar rzulă urmăoarl valori imporan pnru paramrul, corspunzăoar probabiliăţilor gal cu 99%, 97,5%, 95% şi 9%. Probabiliaa (P Pragul ( x 99%,33 97,5%,96 95%,65 9%,9 Din ablul mai sus rzulă că cu o probabilia 99% variabila x isribuiă upă rpariţia normală sanar va ava o valoar mai mică câ,33, iar cu o probabilia 9% va ava o valoar mai mică câ,9. În cazul în car s orş valoara lui x asfl încâ să s afl cu o probabilia aă P în inrvalul [ β,β ], prin uilizara formuli (3.7 avm: P ( α x α ( α 5/87
Prof. univ. r. Moisă Alăr - IGIERIE FIACIARĂ - sinză - rzulă: Probabiliaa (P Pragul α ( α x α 99%,58 97,5%,4 95%,96 9%,65 P baza ablului mai sus pum scri că: P (,96 x,96 95% în cazul în car în locul isribuţii normal sanar Φ (, consirăm o isribuţi normală Φ ( µ, aunci in formula: P ( α x α ( α făcân subsiuţia : x Z µ rzulă: ( µ α Z µ + α ( α P (3.9 Cu Z s-a noa variabila alaoar a cări lg isribuţi s Φ ( µ,. D xmplu, pnru o variabilă normal isribuiă avân mia şi abara mi păraică 3%, cu o probabilia 95% a s va afla în inrvalul:,96,3 Z +,96,3, rspciv: 99,4 Z,588 Mai sus s-a ţinu sama că pnru o probabilia 95%, α, 96. O variabilă alaoar Z poziivă ar o isribuţi log-normală acă logarimul său s normal isribui, rspciv: ( log Z Φ µ, (3. 6/87
Prof. univ. r. Moisă Alăr - IGIERIE FIACIARĂ - sinză - Pnru variabil alaoar avân o isribuţi log-normală, formula (3.9 vin: P ( µ α log Z µ + α ( α rspciv: P µ α µ + α ( Z ( α (3. D xmplu, acă logz Φ(,;,3, rspciv variabila logz s normal isribuiă cu µ, şi, 3, aunci cu o probabilia 95%, variabila s va afla în inrvalul: Z,,96,3,+,96,3 rspciv:,6784 Z,99 ln. Mai sus cu log s-a noa logarimul naural, car, în mo obişnui s noază cu. Procs Winr. Procs Io Vom consira o variabilă x ( car voluază în imp înr-un mo alaoriu. O asfl variabilă va fi numiă variabilă alaoar. Dacă variabila alaoar poa lua numai anumi valori prciza, a s numş variabilă alaoar iscră. Dacă variabila alaoar poa lua oric valoar in R, a s numş coninuă. Rzulă că pnru variabill alaoar iscr avm: ( A x iar pnru variabill alaoar coninu avm: x ( R Mai sus, mulţima A s prcizaă pnru ficar momn. În cazul în car pnru ficar momn cunoaşm şi lga isribuţi a variabili vom spun că avm un procs sochasic. Procsul sochasic s numş procs iscr acă variabila mporală poa lua valori numai înr-o anumiă mulţim punc, bin prcizaă. Dacă R sau lui R +, procsul sochasic s numş procs coninuu. 7/87
Prof. univ. r. Moisă Alăr - IGIERIE FIACIARĂ - sinză - Vom spun că procsul sochasic x ( s un procs Markov (ar propriaa lui Markov acă pnru a fac o pricţi privin voluţia sa viioar s suficin să cunoaşm numai sara sa acuală x ( şi nu înraga sa isori, rspciv p c raicori a ajuns sara acuală x (. Unul inr cl mai simpl ipuri procs sochasic sun procsl Winr. El poară numl mamaicianului amrican orbr Winr, unul inr ci mai clbri spcialişi în omniul orii pricţii in scolul al XX -la, fonaor al cibrnicii. Variabila x ( scri un procs Winr, acă variaţia sa x înr-un inrval mic imp s: x a + b ε (3. un: a, b consan cunoscu ε variabilă alaoar avân o isribuţi normală sanar. oân cu E opraorul mi, rzulă că: E ( ε şi E ( ε E( ε ε [ ] E( ε Mia, rspciv varianţa lui x E b ( x a E ( ε b x sun: (3.3 În cazul în car consirăm că inrvalul imp s gal cu uniaa ( an aunci avm: ( x a E x b (3.4 Din formula (3.4 rzulă cu claria smnificaţia paramrilor a şi b, şi anum: a s mia anuală a variabili x; 8/87
Prof. univ. r. Moisă Alăr - IGIERIE FIACIARĂ - sinză - b s abara mi sanar (volailiaa anuală a variabili x. Folosin noaţiil consacra, formula (3. s poa scri: x µ + ε (3.5 În cazul în car avm: µ şi (3.6 iar pnru acs caz spcial vom schimba lira x cu z, avm: z ε (3.7 Pnru z avm: E ( z z (3.8 Procsul Winr paricular a formula (3.7 s numş mişcar browniană, fiin pus în vinţă în scolul al XIX-la boanisul Brown. Mişcara browniană s caracrizază prin fapul că o pariculă car scri acs procs, s mişcă la înâmplar, avân mia zro şi varianţa gală cu. Înrucâ abara mi păraică măsoară graul incriuin (volailiaa rzulă că acasa crş oaă cu impul (cu. Folosin (3.7, formula (3.5 a procsului Winr s mai poa scri: x µ + z (3.9 rbui mnţiona că unori procsul (3.7 s mai numş procs Winr funamnal, iar procsul (3.9 procs Winr gnraliza. Dacă în formula (3., coficinţii a şi b sun funcţii şi x şi nu consan, avm un procs Io. Rzulă că un procs Io s un procs sochasic scris urmăoara formulă: x a sau (, x + b(, x ε ( x + b( x z x a,, (3. 9/87
Prof. univ. r. Moisă Alăr - IGIERIE FIACIARĂ - sinză - În carul cursului vor fi consira numai cazuri simpl în car funcţiil a şi b sun funcţii liniar. În cazul în car inrvalul imp s foar mic (, acsa va fi noa cu noaţia consacraă în calculul ifrnţial, rspciv cu. Rzulă că pnru cazul coninuu cuaţiil (3.9 şi (3. car scriu procsl Winr, rspciv Io, s scriu asfl: x µ + z (3. ( x + b( x z x a,, (3. Ecuaţiil (3. şi (3. sun cuaţii ifrnţial sochasic. 3. Prţul unui aciv ca procs sochasic Vom consira un aciv avân la momnul prţul (. Mărima ( poa rprzna prţul spo al uni acţiuni al unui bun fizic (aur, prol, c, cursul valuar, c. Vom consira un inrval imp, prcum şi crşra corspunzăoar a prţului ( (. Crşra rlaivă a prţului s poa scri: ( ( ( ( ( ( ( ( n L (3.3 Mai sus, inrvalul imp [,] a fos pariţiona asfl: K K n n Prin logarimar, rlaţia (3.3 vin: n i ln ln (3.4 i i /87
Prof. univ. r. Moisă Alăr - IGIERIE FIACIARĂ - sinză - Consirân variabill ln i i ca fiin variabil alaoar oarcar, inpnn şi cu varianţa finiă, conform EOREMEI LIMIĂ CERALĂ, in calculul probabiliăţilor s şi că pnru n foar mar, suma acsora in la o isribuţi normală. Rzulă că ln s normal isribui, rspciv ar o isribuţi lognormală. Mai sus a fos schiţaă jusificara ipozi conform căria cursul uni acţiuni, cursul valuar şi în gnral prţul unui aciv scri o lg log-normală. Acasă ipoză s funamnală în omniul finanţlor morn. Înrucâ rnabiliaa uni acţiuni x-ivin s poa scri: R rzulă că + R (3.5 Din formula mai sus, rzulă că ln ( R R ln + (3.6 Formula (3.6 valabilă pnru cazul în car rnabiliaa R nu ar valori xagra mari, araă că rnabiliaa unui aciv s normal isribuiă, ln fiin normal isribui. În aproximara (3.6 a fos uilizaă formula cunoscuă conform căria pnru valori mici al lui x avm: ln ( + x x Înrucâ rnabiliaa ar o isribuţi normală, s valabilă rlaţia: /87
Prof. univ. r. Moisă Alăr - IGIERIE FIACIARĂ - sinză - µ + z (3.7 Cu µ s-a noa rnabiliaa anuală, iar cu volailiaa anuală a prţului. Formula (3.7 s mai poa scri: µ + z (3.8 rspciv µ + z (3.9 Exmplu: Vom prsupun că s cunosc urmăoarl a: 5 ; µ 4%; 5% În acs caz formula (3.7 vin 7, +,5 ε (3.3 Am înlocui z ε. Prsupunân că 5 s cinci zil, rspciv, 98, obţinm: 5,39 +, 76ε (3.3 Formula (3.3 araă că variaţia prţului p o prioaă 5 zil ar o isribuţi normală, cu mia gală cu,39 şi abara mi sanar gală cu,76%. /87
Prof. univ. r. Moisă Alăr - IGIERIE FIACIARĂ - sinză - 4. Lma lui Io Lma lui Io joacă un rol funamnal în calculul sochasic. În cl c urmază a va fi prznaă fără monsraţi, insisânu-s, în spcial, asupra moului i uilizar. Lma lui Io gnralizază rgulil rivar in analiza mamaică clasică. şi că în cazul în car avm o funcţi rivabilă forma: ( x Y F, (3.3 În car nu apar nici un lmn sochasic, ifrnţiala sa s: F F Y + x (3.33 x În cazul în car variabila x, la rânul său, pin variabila şi o ală variabilă z: (, x( z Y F, (3.34 avm: F F x F x Y + + z (3.35 x x z În cazul în car în formula (3.34 apar şi lmn sochasic, formula (3.35 nu mai s valabilă. În calculul cu prous riva apar asfl siuaţii înrucâ valoara acsora pin prţul acivului supor car, la rânul său, voluază alaoriu. Lma lui Io prmi soluţionara unor asfl siuaţii. Vom consira siuaţia în car valoara rivaivului D s aă formula ( x( D D, (3.36 s: Un ( x s un procs sochasic ip Io. Ecuaţia inamică pnru x ( 3/87
Prof. univ. r. Moisă Alăr - IGIERIE FIACIARĂ - sinză - (, x + b( xz x a, (3.37 Un z s un procs Winr funamnal: z ε (3.38 Lma lui Io afirmă că: D D D + a + x D D b + b z x x (3.38 În cazul unui procs sochasic iscr: ( x + b( x z x a,, (3.39 cu z ε (3.4 Formula (3.38 vin: D D D + a + x D D b + b z x x (3.4 Formull (3.38 şi (3.4 araă fapul că acă x ( s un procs Io coninuu, rspciv iscr, aunci şi D (, x( s un procs Io acaşi naură cu x (. Ca c s moifică pnru procsul D (, x( s riful, rspciv coficinul lui (sau D car s amplifică cu. x în cazul iscr, prcum şi coficinul lui z (sau z 4/87
Prof. univ. r. Moisă Alăr - IGIERIE FIACIARĂ - sinză - 5. Aplicaţii al lmi lui Io a Ecuaţia inamică a unui rivaiv ip opţiun Vom prsupun că cuaţia inamică a prţului al acivului supor s forma: µ + z (3.4 un µ s mia, iar s volailiaa anuală a prţului. Vom noa cu D (, ( valoara unui rivaiv avân ca aciv supor p (. Conform lmi lui Io, avm: D D D D D + µ + + z (3.43 iar pnru cazul iscr avm: D D D + µ + D D + z (3.44 Exmplu: Prsupunm că mia anuală a rnabiliăţii acivului supor s µ, 5, iar volailiaa s %. În acs caz, formula (3.4 inamică a acivului supor vin:,5 +, z (3.4 iar cuaţia inamică a rivaivului vin: D D D D D +,5 +,5 + z, (3.43 5/87
Prof. univ. r. Moisă Alăr - IGIERIE FIACIARĂ - sinză - b Ecuaţia inamică a unui rivaiv ip conrac forwar Vom consira un conrac ip forwar avân ca aciv supor o acţiun xivin, inamica prţului acţiunii fiin aă cuaţia (3.4. prţul forwar la momnul s: F ( r (, (3.45 Cu s-a noa scanţa conracului. Pnru a pua aplica formula (3.43 vom calcula, în pralabil, rival parţial al lui F. Din formula (3.45 avm: F r r F r ( ( (3.46 F F Înlocuin formull (3.46 în (3.43 s obţin: F rspciv: r( r( r( ( r + µ + r( r( ( r + z µ z (3.47 Ţinân sama formula (3.45. formula (3.47 vin: ( r F + F z F µ (3.48 Comparân cuaţiil (3.4 şi (3.48, s obsrvă că l sun similar, cu osbira că, riful pnru prţul forwar s mai mic, rspciv s µ r. Ecuaţia (3.48 s mai poa scri: 6/87
sau F F Prof. univ. r. Moisă Alăr - IGIERIE FIACIARĂ - sinză - ( r + z µ (3.49 ( µ r + z ln F (3.5 Ecuaţia (3.5 pun în vinţă fapul că prţul forwar F scri în prioaa la la o lg log-normală, cu mia ( µ r şi volailiaa. c Evoluţia logarimului prţului acivului supor În acs xmplu vom consira că: D ln (3.5 iar s a cuaţia (3.4. Avm: D D (3.5 D Pnru acs caz, cuaţia (3.43 vin: (3.53 ( ln µ + z rspciv: ln (3.54 ( µ + z Ecuaţia (3.54 pun în vinţă fapul că ln ar o isribuţi normală. 7/87
Prof. univ. r. Moisă Alăr - IGIERIE FIACIARĂ - sinză - Consirân că la momnul, prţul acivului s, va ava urmăoara isribuţi normală: ln ( ( ln ( ln ( Φ µ ; (3.55 Aplicân formula (3.9 rzulă că ( ln P µ α µ + α ( α (3.57 În coninuar vom przna moul în car rminăm, cu o probabilia sabiliă noi, inrvalul în car s va afla prţul acivului la momnul. Vom sabili pragul probabilia gal cu 99%, ci ( α. 99 (3.58 Folosin abll privin probabiliaa cumulaă la isribuţia normală, rzulă că α, 58. Vom prsupun că µ,4; 4%;, iar 3 luni, rspciv,5. Înlocuin al sabili, rzulă:,4,4,5,58,4,5 ln,4,4,5 +,58,4,5 (3.59 Efcuân calcull, rzulă:,78 -,396 ln,78 +,396, rspciv:,88 ln.3374 un: 8/87
Prof. univ. r. Moisă Alăr - IGIERIE FIACIARĂ - sinză -,88.3374 Rzulă că, cu o probabilia 99% prţul acivului s va afla upă 3 luni în inrvalul,88.3374 rspciv: 75,44 4,3 Raminim că în momnul iniţial prţul a fos. 9/87
Prof. univ. r. Moisă Alăr - IGIERIE FIACIARĂ - sinză - Capiolul 4. Mol valuar a opţiunilor P baza lmnlor calcul sochasic przna în capiolul 3, vom rc la ucra mollor valuar a opţiunilor. Vor fi przna ouă ipuri mol valuar a opţiunilor: Molul Black chols; Molul binomial rbui mnţiona că cl ouă ipuri mol sun înrui, şi în aparnţă l pornsc la ipoz ifri. Molul Black chols a fos publica în anul 973, iar molul binomial în anul 979 căr Cox, Ross şi Rubinsin. Ambl ipuri mol s bazază p raţionamn arbiraj şi hging şi pornsc la prmisa că piaţa nu prmi opraţii arbiraj, în snsul mnţiona în capiolul. În pralabil, va fi usă cuaţia ifrnţială Black Mron chols, a cări soluţi s molul valuar Black chols. Vom prsupun că sun înplini urmăoarl ipoz privin piaţa şi opraţiunil ranzacţii: a Prţul acivului supor scri o lg log-normală, rspciv cuaţia sa inamică s: µ + z sau µ + z b Rglmnăril piţi prmi opraţiuni shor slling; c axl şi cosuril ranzacţii sun nul; P prioaa viaţă a opţiunii, acivul supor nu gnrază vni (ivin. Cu al cuvin, acă acivul supor s o acţiun, a s xmplu-ivin în prioaa consiraă; Piaţa nu prmi oporuniăţi arbiraj; f Raa obânzii şi volailiaa sun consan p prioaa consiraă rbui sublinia fapul că majoriaa ipozlor przna mai sus po fi rlaxa, obţinânu-s asfl mol valuar mul mai apropia ralia. 3/87
Prof. univ. r. Moisă Alăr - IGIERIE FIACIARĂ - sinză - În carul acsui curs, vor fi rlaxa numai o par inr ipoz, xmplu ca privin fapul că acţiuna s xmplu-ivin. Rlaxara ipozi f, rspciv rcra la mol valuar în coniţiil în car raa obânzii sau/şi volailiaa sun sochasic fac obicul unor cursuri mai avansa la nivl Mc şi PhD.. Ecuaţia inamică Black Mron chols consiră un aciv al cărui prţ ar urmăoara cuaţi inamică: µ + z (4. Vom noa cu D valoara unui rivaiv avân rp aciv supor p. Vom forma porofoliul avân urmăoara srucură: unia rivaiv, poziţi long h uniăţi in acivul supor, poziţi shor Rzulă că valoara porofoliului s: Π D h (4. Mărima paramrului h va fi rminaă ulrior p baza unor raţionamn financiar. Dinamica porofoliului p inrvalul imp va fi: Π D h Uilizân cuaţia (4. şi (3.44, rzulă: D D Π + µ + D D + z h ( µ + z Efcuân grupăril s obţin: 3/87
Prof. univ. r. Moisă Alăr - IGIERIE FIACIARĂ - sinză - D D Π + µ h + D D + h z (4.3 Vom alg paramrul h asfl încâ porofoliul Π să fi fără risc, rspciv mărima Π să nu fi supusă facorilor alaori. ingurul lmn sochasic în cuaţia (4.3 s variabilă alaoar avân isribuţia normală sanar. z ε, un ε s o D Aşaar vom alg p h gal cu, mărim prsupusă consană p un inrval imp mic. D h (4.4 În acasă siuaţi, cuaţia (4.3 vin: D Π + D (4.5 Înrucâ, conform ipozlor făcu, piaţa nu prmi oporuniăţi arbiraj, variaţia valorii porofoliului aă formula (4.5 va coinci cu variaţia uni sum gal pusă înr-un con bancar. Acasa oarc porofoliul: D Π D (4.6 s un porofoliu fără risc. Prsupunân că raa obânzii s r, pnru suma pusă înr-un con bancar p prioaa, avm: rspciv Π r Π (4.7 D Π r D (4.8 3/87
Prof. univ. r. Moisă Alăr - IGIERIE FIACIARĂ - sinză - Din galara xprsiilor (4.5 şi (4.8 rzulă: D D D + r + r D (4.9 Ecuaţia (4.9 rprzină cuaţia Black Mron chols inamică a unui rivaiv. Ecuaţia (4.9 s o cuaţi cu riva parţial orinul oi, liniară, ip parabolic. Pnru soluţionara fcivă a cuaţii ifrnţial Black Mron chols s ncsar să cunoaşm aşa numil coniţii final şi coniţii p froniră. rbui mnţiona că cuaţia (4.9 s similară cu aşa-numia cuaţi a ifuzii suiaă fizicini.. Molul Black chols valuar a uni opţiuni În acs paragraf vom prsupun că rivaivul D s o opţiun CALL (DC sau o opţiun PU (DP, ip uropan. Pnru cazul în car DC, la cuaţia (4.9 s aaşază coniţia finală: C (, max( E, (4. Prcum şi coniţiil p froniră: limc lim C (, (, (4. Coniţiil (4. car sun avu în vr numai in consirn sric hnic, au o inrprar financiară simplă. oluţia cuaţii ifrnţial (4.9 cu coniţiil (4. şi (4. s urmăoara: 33/87
C Prof. univ. r. Moisă Alăr - IGIERIE FIACIARĂ - sinză - ( (, ( E r ( un: (4. ln E + r + ( (4.3 rspciv: iar ( s probabiliaa cumulaă pnru isribuţia normală sanar, ( z π z Raminim că valoril pnru ( sun abla şi po fi uiliza ca aar. Formula (4. rprzină formula (molul Black chols pnru calculul valorii unui call uropan avân ca supor o acţiun xmplu-ivin. O formulă similară s poa uc şi pnru opţiunil ip pu. Formula Black chols valuar a uni opţiuni pu s urmăoara: P r( (, E ( ( (4.4 Raminim că probabiliăţil cumula ( saisfac urmăoara rlaţi: ( ( (4.5 În formull lui Black chols (4., rspciv (4.3, smnificaţia inicaorilor s urmăoara: cursul acivului supor; E prţul xrciţiu prvăzu în conrac; volailiaa anuală a acivului supor; r raa obânzii. 34/87
Prof. univ. r. Moisă Alăr - IGIERIE FIACIARĂ - sinză - Exmplu: Vom calcula valoara uni opţiuni call pnru car s cunosc urmăoarl a: 8; 7%; r % E 8; -,5 (6 luni Vom calcula paramrii şi : 8,7 ln +, 8 +,7,5,7 Rzulă:,35735 şi,5,5,6643 Conform abllor privin probabiliaa cumulaă la isribuţia normală sanar, avm: (, 63959 ; (, 5669 Cunoscân valoril pnru ( şi ( Black chols: C,,5 (, 8 ( ( rspciv: C 8 (, 8,63959 8,953, 5669 Valoara rzulaă pnru opţiuna call s: C (, 8, 886 s poa rc la aplicara formuli Rzulă că, pnru cazul consira, valoara opţiunii call rprzină cca % in valoara acivului supor. Vom calcula acum, pnru aclaşi xmplu valoara opţiunii PU. Conform calcullor mai sus avm: ( (,63959, 364 ( (,5669, 4339 Aplicân formull Black chols pnru opţiuni pu, avm: 35/87
P P Prof. univ. r. Moisă Alăr - IGIERIE FIACIARĂ - sinză -,,5 (, 8 ( 8 ( (, 8,953,43398, 364 Valoara rzulaă pnru opţiuna pu s: P (, 4, 875 ; Obsrvaţii: Pariaa PU CALL orma paria pu call s poa monsra simplu prinr-un raţionamn ip arbiraj. Ea rzulă, însă, uşor şi in formula Black chols. Înr-avăr, in formula Black chols pnru opţiuni pu avm: r( r( (, E ( ( E ( ( ( ( r( r( [ ( E ] + [ E ] P C Rzulă: P [ ] r( (, C(, + E sau [ ] r( ( P(, + E, (4.6 Formula (4.6 rprzină orma paria pu-call, a arăân rlaţia inr prţul uni opţiuni CALL şi o opţiun PU avân aclaşi aciv supor, acaşi scanţă şi aclaşi prţ xrciţiu. Din rlaţia (4.6 rzulă: ( r a Dacă E <, aunci: (, P(, C > (4.7 frucifica, pu. Cu al cuvin, acă prţul xrciţiu, E s mai mar câ prţul spo r (, aunci valoara opţiunii call s mai mar câ prţul opţiunii ( r b Dacă E >, aunci avm: (, P(, C < (4.8 36/87
Prof. univ. r. Moisă Alăr - IGIERIE FIACIARĂ - sinză - ( r c Dacă E, aunci avm: (, P(, C (4.9 Ţinân sama că în cazul c avm mai poa scri: E ( r, formula Black chols s C (, [ ( ( ] (4. iar pnru acs caz: ln E + r + ( ln r E ( + ( ( ( (4. iar (4. Rzulă că: ( ( ( iar formula (4. vin: C (, [ ( ] Cu al cuvin, în cazul în car: E avm: r ( (, P (, [ ( ] C (4.3 un 37/87
Prof. univ. r. Moisă Alăr - IGIERIE FIACIARĂ - sinză - Exmplu: Dacă în cazul xmplului prcn consirăm că:,,5 8; E 76,98; r,; 7%; -,5 aplicân formula (4.3, rzulă: C (, P(, 8[,569],5388 4, 356 3. Mol valuar a opţiunilor pnru cazul în car acivul supor gnrază vni Opţiuni p acţiuni cu ivin; opţiuni p inici bursiri; opţiuni p valuă Una inr ipozl făcu Black chols (973 privş fapul că acivul supor s xmplu-ivin. Cu al cuvin, p prioaa viaţă a opţiunii, acivul supor nu gnrază vni, rspciv nu ncsiă chluili suplimnar înrţinr în cazul opţiunilor p prous fizic (prol, cral, aur sau al mal prţioas, c. La acasă crinţă rsricivă s-a puu rnunţa rlaiv uşor, ţinân sama că oa raţionamnl privin valuara opţiunilor au la bază ipoza lipsă a oporuniăţilor arbiraj, rspciv nuraliaa la risc. Vom fac obsrvaţia imporană că cuaţia Black Mron chols (4.9 inamică a unui rivaiv nu conţin nici un lmn car să rflc aiuina faţă risc a invsiorului. Elmnl car inrvin în cuaţia (4.9, rspciv prţul spo al acivului,, volailiaa sa şi raa obânzii,r, nu pin aiuina invsiorului faţă risc. Mia rnabiliăţii acivului supor, rspciv ( R µ E nu inrvin în cuaţia Black Mron chols, ocmai aoriă fapului că acasă mi pin aiuina invsiorului în rapor cu riscul. În acs coniţii, s poa prsupun, fără a rsrâng gnraliaa rzulalor, că invsiorii sun nurali la risc. Pnru a va c s înâmplă în cazul în car acivul supor gnrază vni, vom ramini câva lmn privin prţul forwar. 38/87
Prof. univ. r. Moisă Alăr - IGIERIE FIACIARĂ - sinză - şi că prţul forwar pnru un conrac al cărui aciv supor nu gnrază vni p prioaa viaţă a conracului s a formula: F r( (, (4.4 Au fos uiliza urmăoarl noaţii: ( F, - prţul forwar; - prţul spo al acivului supor; r - uraa până la mauria a conracului; - raa obânzii în cazul în car acivul supor gnrază p prioaa viaţă a conracului vni, formula (4.4 vin: F r( ( ( V, (4.5 Cu V s-a noa vniul acualiza p car-l gnrază acivul supor. În cazul în car acivul supor s o acţiun, iar raa ivinului coninuă, analog cu raa obânzii coninu, s q, avm: V ( q (4.6 În acs caz, prţul forwar s a urmăoara formulă car rzulă in (4.5: F ( rq( (, (4.7 Înr-un univrs nural la risc, formula (3.9 inamică a unui aciv car nu gnrază vni poa fi rscrisă asfl: r + z (4.8 39/87
Prof. univ. r. Moisă Alăr - IGIERIE FIACIARĂ - sinză - În cazul în car acivul gnrază vni, raa rimului insananu (coninuu fiin q, formula (4.8 vin: ( r q + z (4.9 Ecuaţia (4.9 a lui Black Mron chols vin în acs caz: D + D D (4.3 ( r q + r D P baza unor calcul asmănăoar, molul valuar a uni opţiuni pnru cazul în car acivul supor gnrază un vni avân rimul insananu gal cu q s: Pnru opţiuni CALL C q( r( (, ( E ( (4.3 Pnru opţiuni PU P r( q( (, E ( ( (4.3 un: ln + r q ( E + ; (4.33 În formull (4.3 şi (4.3 variabila q va ava urmăoara smnificaţi: Pnru opţiuni avân ca supor acţiuni car gnrază ivin q rprzină raa anuală a ivinului coninuu; Pnru opţiuni p inici bursiri q rprzină raa mi anuală a ivinului coninuu; mia rai ivinului s calculază ţinân sama ivinl gnra acţiunil c sun inclus în inic prcum şi srucura iniclui; Pnru opţiuni p valuă q rf ţara parnră., un cu r f s-a noa raa obânzii in 4/87
Prof. univ. r. Moisă Alăr - IGIERIE FIACIARĂ - sinză - Exmpl:. Vom calcula valoara uni opţiuni call şi a uni opţiuni pu avân ca supor o acţiun pnru car raa ivinului coninuu s q,5%. cunosc urmăoarl a: 45 ; E 47; r,9; 7%; - 4 luni Aplicân formull (4.3 (4.33 s obţin urmăoarl rzula: C,338 ; P 3, 36. Vom fac obsrvaţia că, în cazul în car acţiun nu ar gnra ivin, rspciv q, aunci prţuril opţiunilor call, rspciv pu, ar fi: C,597 ; P 3, 36.. Vom calcula valoara uni opţiuni call avân ca supor inicl bursir &P 5. Vom prsupun că: ; E 98 ; % ; r. 5 ; 6 luni. Vom prsupun că raa mi a ivinului coninuu pnru cl 5 firm car inră în componnţa iniclui &P 5 s q,%. Aplicân formull (4.3 şi (4.33 rzulă: C 73,347 3. Vom consira un conrac call cumpărar valuă. Conracul s închia în UA pnru a cumpăra lir srlin. Cursul spo s,4565, iar prţul xrciţiu s E, 435. canţa conracului s ps ri luni (, 5. Volailiaa cursului schimb UD/GBP s, 5. Raa obânzii în UA s r 5%, iar în Anglia s r 6,8%. Aplicân formull (4.3 şi f (4.33 în car q r 6,8%, vom obţin urmăoara valoar pnru opţiuna call: C,547 f 4/87
Prof. univ. r. Moisă Alăr - IGIERIE FIACIARĂ - sinză - 4. Molul lui Black valuar a uni opţiuni p un conrac fuurs În ulimii ani opţiunil p conrac fuurs au lua o xinr osbiă, l fiin ranzacţiona p mul piţ. În anul 976 F. Black a publica un mol valuar a opţiunilor p conrac fuurs. Pnru a uc molul lui Black, vom porni la cuaţia inamică a prţului fuurs: F F µ + z (4.34 un z s un procs Winr funamnal, rspciv: z ε (4.35 Cu ε s-a noa, ca şi până acum, o variabilă alaoar normal isribuiă, avân mia zro şi varianţa gală cu unu. Vom consira un rivaiv avân ca supor conracul fuurs. Valoara acsui rivaiv s: ( F D D, (4.36 Aplicân lma lui Io, s obţin: D D D D D + µ F + F + F z F F F (4.37 În cazul iscr, cuaţiil (4.34, (4.35 şi (4.37 vin: F F µ + z (4.34 4/87
Prof. univ. r. Moisă Alăr - IGIERIE FIACIARĂ - sinză - z ε (4.35 D D D + µ F + F D F F D + F z F (4.37 La fl ca şi în cazul ucrii cuaţii inamică Black Mron chols (paragraful al acsui capiol, vom forma un porofoliu avân urmăoara srucură: unia rivaiv, poziţi long; h uniăţi conrac fuurs. şi ja in paragraful că pnru a limina facorul sochasic, raporul hging rbui als asfl: D h (4.38 F Înrucâ valoara unui conrac fuurs în momnul iniţial s zro, valoara porofoliului forma, Π s: D Π D h F D D F Variaţia valorii porofoliului p inrvalul imp va fi: D Π D F (4.39 F Folosin cuaţiil (4.34 şi (4.37, cuaţia (4.39 vin: D Π + D F F (4.4 Ţinân sama că porofoliul forma s fără risc, variaţia Π s gală şi cu: Π r Π r D (4.4 un r s raa obânzii. 43/87
Prof. univ. r. Moisă Alăr - IGIERIE FIACIARĂ - sinză - Din rlaţiil (4.4 şi (4.4 rzulă: D D + F r D (4.4 F Ecuaţia cu riva parţial (4.4 s analogă cu cuaţia (4.9 a lui Black Mron chols. D asmna, s analogă cu cuaţia (4.3 acă q r. oluţiil cuaţii c riva parţial (4.4 pnru cazul în car rspciv D P sun: D C, C P r( r( [ F ( E ( ] [ E ( F ( ] (4.43 (4.44 un: F ln + E ( ; (4.45 Formull (4.43 (4.45 rprzină molul lui Black pnru valuara uni opţiuni p un conrac fuurs. Vom obsrva că formull (4.43 (4.45 sun asmănăoar cu formull (4.3 (4.33 acă înlocuim p q r şi F. 44/87
Prof. univ. r. Moisă Alăr - IGIERIE FIACIARĂ - sinză - Capiolul 5. Uilizara opţiunilor în managmnul riscului financiar. Inicaorii snziivia ai uni opţiuni Un număr foar mar insiuţii financiar, în spcial băncil, uilizază opţiunil în managmnul riscului. Pnru înţlgra moului în car opţiunil po fi uiliza în managmnul riscului s ncsară cunoaşra smnificaţii inicaorilor snziivia a valorii uni opţiuni. şi că, in punc vr mamaic, snziiviaa uni funcţii s cuanificaă valoara rivai funcţii rspciv. Înrucâ valoara unui rivaiv (opţiun pin cinci paramri, rspciv şas paramri în cazul în car acivul supor gnrază vni p prioaa viaţă a opţiuni, rzulă că vom ava un număr corspunzăor inicaori snziivia. Conform raiţii acsa sun noa cu lir grcşi. Vom consira opţiuna: D D(, E,, r, q, (5. Principalii inicaori snziivia a uni opţiuni sun: D DELA: ; (5. D ABLA: ; E (5.3 D GAMMA: Γ ; (5.4 D VEGA: ϑ ; (5.5 D HEA: Θ ; (5.6 ( D RHO: ρ ; (5.7 r 45/87
Prof. univ. r. Moisă Alăr - IGIERIE FIACIARĂ - sinză - 46/87 MIU: q D µ ; (5.8 Cu D s-a noa gnric o opţiun call, (DC, rspciv o opţiun pu (DP Ficar inr ci şap inicaori s snziivia cuanifică variaţia valorii opţiunii corspunzăoar uni variaţii mici a inicaorului rspciv. Dinr ci şap inicaori, probabil cl mai imporan s inicaorul DELA car cuanifică variaţia valorii uni opţiuni corspunzăoar uni variaţii mici a acivului supor. Din moul ucr a cuaţii Black Mron chols s şi că inicaorul D rprzină raporul hging car a făcu ca porofoliul Π uiliza în monsraţi să nu pină facori alaori. orma, car va fi prznaă în coninuar, va prmi ucra rapiă a şas in ci şap inicaori snziivia. Pnru acasa, va fi noa gnric cu lira u oricar in cl şas variabil car pin funcţia (5.. orma va fi formulaă pnru opţiuni ip call. Pnru opţiuni ip pu s poa obţin similar o formulă analogă. orma Fi,,,,, ( q r E C C valoara uni opţiuni call ip uropan. Es valabilă urmăoara formulă: ( ( ( ( ( ( u u E u u C q r q + ( ( ( (5.9 Dmonsraţi: Conform formuli valuar a uni opţiuni call, avm: ( ( ( ( E C r q (5. un:
Prof. univ. r. Moisă Alăr - IGIERIE FIACIARĂ - sinză - 47/87 ( q r E F + + ; ln (5. Drivân în rapor cu u cuaţia (5. s obţin: ( ( ( ( ( ( u E u E u u r r q q + ( ( ( ( (5. Înrucâ probabiliaa cumulaă ( s aă formula: ( z z π (5.3 rzulă că: ( π (5.4 Formula (5.4 rzulă in rlaţia: ( ( ( F F z z π (5.5 un cu ( F s-a noa o primiivă a funcţii z. Rlaţia (5.5 rprzină formula Libniz-won, cunoscuă in şcoala mi. Prin rivara rlaţii (5.5 rzulă formula (5.4. Înrucâ, in formula (5.4 rzulă:
Prof. univ. r. Moisă Alăr - IGIERIE FIACIARĂ - sinză - 48/87 ( ( ( ( ( ( ( q r E q r E + + + + + + ln ln π π π π Rzulă: ( ( ( ( ( r q E r E q + ln π π (5.5 Înrucâ in formula (5.4 rzulă că. ( π (5.6 rzulă că (5.5 s mai poa scri asfl: ( ( ( ( E r q (5.7 Uilizân formula (5.7 în (5., rzulă: ( ( ( ( ( ( ( ( u E E u u E u u C r q r q r q + ( ( ( ( sau ( ( ( ( ( + u u u E u u C q r q ( ( ( (5.8 Ţinân sama că
Prof. univ. r. Moisă Alăr - IGIERIE FIACIARĂ - sinză - 49/87 rzulă: ( u u u sau ( u u u (5.9 Uilizân rlaţia (5.9 în (5.8 rzulă formula (5.9 p car n-am propus să o monsrăm. Cu acasa orma s monsraă. Aplicaţii al ormi. u Vom prsupun că paramrul u. În formula (5.9 vom ava: ( ( ( q q ( ( E r ( Ţinân sama cl ri rlaţii mai sus in formula (5.9 rzulă: ( ( C q (5.
Prof. univ. r. Moisă Alăr - IGIERIE FIACIARĂ - sinză - Formula (5. ă valoara inicaorului snziivia car araă cu câ uniăţi s moifică valoara opţiunii call acă cursul spo al acivului supor s moifică cu o unia. În cazul în car acţiuna supor s xmplu-ivin, rspciv q, formula (5. vin: C ( (5.. u E că: În cazul în car variabila u s prţul xrciţiu E, in formula (5.9 rzulă C E r ( ( (5. oarc r( ( E r( E oa cllal riva car inrvin în formula (5.9 fiin zro. Inicaorul ABLA a formula (5. araă cu câ uniăţi s moifică valoara opţiunii call în cazul în car prţul xrciţiu s moifică cu o unia. 3. u În cazul în car variabila u s volailiaa, in formula (5.9 rzulă: C ϑ q( π (5.3 oarc 5/87
Prof. univ. r. Moisă Alăr - IGIERIE FIACIARĂ - sinză - 5/87 ( π, iar ( Cllal riva c inrvin în formula (5.9 sun zro. Formula (5.3 cuanifică snziiviaa valorii opţiunii call în rapor cu volailiaa. 4. u În cazul în car u, fiin scanţa, iar impul curn, rzulă: ( ( ( ( ( ( ( E r q C q r q + + Θ (5.4 Formula (5.4 măsoară snziiviaa opţiunii call în rapor cu prioaa imp (- până la scanţă. În cazul în car valoara lui s fixaă, iar impul curn s variabil, vom calcula un al oila inicaor snziivia: ( ( ( Θ Θ C C C Rzulă că ( ( ( ( ( ( E r q C q r q Θ (5.5 5. r u În cazul în car variabila u s raa obânzii, in formula (5.9 rzulă: ( ( ( E r C r ρ (5.3
Prof. univ. r. Moisă Alăr - IGIERIE FIACIARĂ - sinză - 5/87 Formula (5.3 cuanifică snziiviaa valorii opţiunii call în rapor cu raa obânzii. 6. q u În cazul în car variabila u s valoara q, rspciv raa ivinului coninuu in formula (5.9 rzulă: ( ( ( q C q µ (5.3 Formula (5.3 cuanifică variaţia valorii uni opţiuni call în rapor cu raa coninuă a ivinului gnra căr acţiuna supor. Pnru calculul inicaorului gamma vom uiliza formula (5.: ( ( C q Γ (5.3 Ţinân sama că: ( q r E F + + ln (5.33 iar ( π in (5.3 rzulă ( C q Γ π (5.34
Prof. univ. r. Moisă Alăr - IGIERIE FIACIARĂ - sinză - Inicaorul GAMMA s uiliza în cazul în car s orş suiul variaţii valorii uni opţiuni corspunzân uni variaţii a prţului acivului supor, variaţi car nu poa fi consiraă a fi foar mică. În acs caz, conform formuli zvolar în sri aylor, avm: C ( C( rspciv: C ( ( C( ( + C ( C( ( + Γ ( (5.35 În formula (5.35 s-a consira că aproximaţia ifrnţi ( C( rmni până la graul oi s saisfăcăoar. C cu. Inicaorii snziivia pnru opţiuni pu Pnru opţiunil ip pu, inicaorii snziivia vor fi uşi in pariaa pu-call. Vom consira formula valuar a uni opţiuni uropn ip pu, rspciv: P r( q( (, E ( ( (5.36 Ţinân sama fapul că ( ( (5.37 in rlaţia (5.36 rzulă: P r( q( (, E ( ( ( ( rspciv: 53/87
Prof. univ. r. Moisă Alăr - IGIERIE FIACIARĂ - sinză - 54/87 ( ( ( [ ] E E P r q r q ( ( ( (, (5.38 Ţinân sama formull valuar a uni opţiuni ip call, rlaţia (5.38 s mai poa scri asfl: ( ( [ ] E C P r q ( (,, (5.39 Rlaţia (5.39 rprzină rlaţia paria pu-call pnru opţiuni ip uropan avân ca supor un aciv car gnrază vni p prioaa viaţă a opţiunii. Raminim că în cazul în car acivul supor s o acţiun, q rprzină raa coninuă a ivinului. În cazul în car avm o opţiun p valuă, f r q, f r fiin raa obânzii în ţara parnră. În acs caz, rlaţia (5.39 s mai poa scri: ( ( [ ] E C P r r f ( (,, (5.4 orma, p car o prznăm în coninuar, cuanifică rlaţia inr inicaorii uni opţiuni pu şi ci ai uni opţiuni call. orma Fi ( P, valoara uni opţiuni pu şi ( C, valoara uni opţiuni call avân aclaşi aciv supor şi aciaşi scanţă. Ar loc rlaţia: ( ( ( u E u C u P r q ( (,, (5.4 un u rprzină o variabilă oarcar car pin aâ valoara opţiunii pu, câ şi valoara opţiunii call. Dmonsraţi: Dmonsraţia rzulă imia prin rivara rlaţii (5.39 paria pu-call.
Prof. univ. r. Moisă Alăr - IGIERIE FIACIARĂ - sinză - Aplicaţii Pnru xmplificar, vom uc inicaorii DELA şi ABLA pnru o opţiun ip pu, rlifân în aclaşi imp rlaţiil c xisă înr inicaorii uni opţiuni ip pu şi ci ai uni opţiuni ip call. Paricularizân în rlaţia (5.4 p u, s obţin: (, C(, q( P rspciv: P C q( (5.4 Cu P, rspciv C s-a noa inicaorul DELA pnru o opţiun pu, rspciv call. Rlaţia (5.4 pun în vinţă rlaţia c xisă înr inicaorii DELA pnru cl ouă ipuri opţiuni. şi ja că, conform cuaţia (5.: C C q ( ( Din rlaţia (5.4 s obţin: ( q( ( q P sau P rspciv q ( [ ( ] P q ( ( (5.43 55/87
Prof. univ. r. Moisă Alăr - IGIERIE FIACIARĂ - sinză - Rlaţia (5.43 pun în vinţă fapul că inicaorul DELA pnru o opţiun pu s înoauna ngaiv. Paricularizân în rlaţia (5.4 p u E, obţinm: ( C(, ( P E, r E + rspciv: P C r( + (5.44 Ţinân sama că: C r( ( in rlaţia (5.44 rzulă: P r( ( (5.45 Din rlaţia (5.45 s obsrvă că inicaorul ABLA pnru o opţiun pu s poziiv, ca c corspun inuiţii financiar, ţinân sama smnificaţia acsui inicaor. 3 Din formula (5.4 s obsrvă uşor că inicaorii VEGA sun gali pnru cl ouă ipuri opţiuni. Înr-avăr, paricularizân u, in rlaţia (5.4 rzulă: rspciv (, C( P, (5.46 56/87
Prof. univ. r. Moisă Alăr - IGIERIE FIACIARĂ - sinză - ϑ P ϑ C (5.47 4 Din rlaţia (5.4 s obsrvă că: P C (5.48 rspciv Γ P Γ C (5.49 Aşaar, inicaorii gamma pnru opţiunil ip pu şi opţiunil ip call sun gali. 5 Pnru cazul în car u, rspciv u r, in rlaţia funamnală (5.4 rzulă: P(, ( C(, ( + q q( r( r E rspciv Θ P Θ C + q( r( [ q r E] (5.5 Dacă u r, in rlaţia (5.4 s obţin: P r (, C(, r ( r( E (5.5 rspciv: r( ρ ρ ( E (5.5 P C 57/87
Prof. univ. r. Moisă Alăr - IGIERIE FIACIARĂ - sinză - Din rlaţia (5.5 s obsrvă că acă opţiunil s apropi scanţă, rspciv ( vină gali, rspciv:, aunci inicaorii RHO pnru cl ouă ipuri opţiuni in să lim ρ lim ρ C P Exmplu: va consira o opţiun call şi o opţiun pu avân ca supor o acţiun car gnrază ivin. un cunoscu urmăoarl a: ; E 3; r,; 35%; 9 luni; q 3% Aplicân formull cunoscu şi fcuân calcull rzulă: Prima call: C 5, 669 Prima pu: P, 3893 Inicaorii snziivia: C,588;, 3949 C,447 ;, 4859 P P Γ C,4;, 4 ϑ C 39,3547 ; 39, 3547 ρ 4,75; ρ 44, 833 C Θ C,5879 ; 4, 666 Γ P ϑ P P Θ P µ C 5,45 ; µ P 35, 54 Inicaorul snziivia în rapor cu impul a fos calcula upă formula C P (5.5 rspciv rival: ;. 58/87