ACADMIA D SUDII CONOMIC BUCURŞI CADRA D MONDĂ INGINRI FINANCIARĂ SUPOR PNRU SMINARII Bucureşi 9
CUPRINS Seminar : Opţiuni şi sraegii pe bază de opţiuni... 3 Seminar : Noţiuni elemenare... 7 Seminar 3: Modelul Binomial... 3 Seminar 4: Procese Socasice... Seminar 5: Maringale şi Inegrala socasică... 8 Seminar 6: cuaţia Black-Meron-Scholes şi Modelul Black-Scholes... 34 Seminar 7: Indicaori de senziiviae, hedging saic şi volailiaea impliciă... 38 Seminar 8: Operaţiuni de hedging uilizând opţiuni PU-proecive... 45 Seminar 9: valuarea firmei uilizând modelul Black Scholes (Modelul Meron penru riscul de credi)... 49 Seminar : valuarea insrumenelor financiare derivae... 54 Seminar : Obligaţiuni zero-cupon cazul socasic. Preţul de piaţă al riscului... 6
Seminar : Opţiuni şi sraegii pe bază de opţiuni Seminar : Opţiuni şi sraegii pe bază de opţiuni Noaţii: S cursul acivului supor la momenul ; KX,, preţul de exerciare al opţiunii (CALL sau PU); C ( P ) prima unei opţiuni CALL (respeciv PU) de ip european; c ( p ) prima unei opţiuni CALL (respeciv PU) de ip american; Diferenţele înre o opţiune de ip european şi una de ip american. Valoarea opţiunii (preţul sau prima), valoarea inrinsecă şi valoarea imp: Valoarea opţiunii (înaine de expirare) în afara banilor (ou of he money) la bani (a he money) C, c în bani (in he money) Valoarea inrinsecă Valoarea (preţul sau prima) opţiunii variază pe piaţă pe baza cererii şi oferei şi poae fi calculaă, eoreic, pe baza unor modele analiice (ex. Black Scholes) sau numerice (ex. modelul Binomial). VICall, = max{( S ),} Valoarea inrinsecă ese: şi în funcţie de semnul expresiei VIPu, = max{( S ),} S p. CALL şi respeciv S p. PU se poae sabili dacă opţiunea ese în bani (dacă diferenţa ese poziivă), la bani (dacă diferenţa ese ) şi în afara banilor (dacă diferenţa ese negaivă). Obs. Valoarea opţiunii va fi înodeauna mai mare sau egală cu valoarea inrinsecă a opţiunii. Valoarea imp = Valoarea opţiunii Valoarea inrinsecă. Obs. Cu câ perioada de imp până la scadenţa opţiunii ese mai îndepăraă cu aâ valoarea imp ese mai mare. De asemenea, la un anumi momen de imp, valoarea imp diferă ca magniudine în funcţie de poziţionarea lui S faţă de. Valoarea imp a opţiunii ese la mauriae. Profiul şi payoff-ul unei opţiuni: Valoarea opţiunii la scadenţă se numeşe payoff iar câşigul invesiorul din invesiţia în opţiune poară numele de profi. S 3
Seminar : Opţiuni şi sraegii pe bază de opţiuni Profi opţiune = payoff prima iniţială = C C ( respeciv P P )... Pana= Profi. S no. Valoarea opţiunii Long CALL Valoarea opţiunii Shor CALL payoff profi C -prima CALL 45 PR = + C C S +C +prima CALL PR = + C C profi S Pana: (;) Pana: (;-) payoff Valoarea opţiunii Long PU Valoarea opţiunii Shor PU payoff profi +P P PR P = P -prima PU S PR = P profi Pana: (-;) Pana: (;) P payoff +prima PU S Sraegii pe bază de opţiuni: Profi Shor PU sineic Profi Long PU sineic Long S Shor S Long CALL Covered CALL Shor CALL S Reverse Covered CALL S 4
Seminar : Opţiuni şi sraegii pe bază de opţiuni Profi Long CALL sineic Profi Shor CALL sineic Long PU Long S Proecive PU Reverse Proecive PU S Shor PU Shor S S Aplicaţie:. Funcţia profiului ( G ) la scadenţă penru o combinaţie de mai mule opţiuni având aceeaşi scadenţă, în funcţie de preţul la scadenţă al acivului-supor S şi de paru preţuri de exerciare i, i =,4, ese daă în abelul urmăor: S 3 4 G Pana: 5-5 S Deerminaţi două combinaţii diferie de opţiuni CALL şi PU ce permi obţinerea profilului rezulaului da în abel. Reprezenaţi grafic profilul rezulaului şi deerminaţi puncele moare. Rezolvare: Uilizând CALL-uri: S 3 4 5 long C ( ) 5 5 5 5 7 shor C ( ) -7-7 -7 7 long C ( 3) 7 7 5 shor C ( 4) -5 OAL 5-5 5
Seminar : Opţiuni şi sraegii pe bază de opţiuni Uilizând PU-uri: S 3 4 5 long P ( ) -5 7 shor P ( ) 7 7 7 long P ( 3) -7-7 -7 5 shor P ( 4) 5 5 5 5 OAL 5-5 PROFI cosul sraegiei PM PM 3 PM 3 4 6
Seminar : Noţiuni elemenare Seminar : Noţiuni elemenare. Raa dobânzii cu capializare în imp coninuu.. Arbiraj. Lipsa oporuniăţilor de arbiraj. 3. Limie de variaţie a preţurilor opţiunilor. 4. eorema de pariae CALL PU. 5. Preţul Forward.. Raa dobânzii cu capializare în imp coninuu x. Un invesior depune o sumă S înr-un depozi bancar cu capializare, care plăeşe o dobândă la raa r, în procene pe an. Deerminaţi suma finală de care va dispune invesiorul după ani, dacă capializarea se face: a) anual; b) semesrial; c) rimesrial; d) lunar; e) zilnic; f) în imp coninuu. a) S = S ( + r). b) ( r ) S = S +. 4 c) ( r ) S = S +. 4 d) ( r ) S = S +. 36 e) ( r ) S = S +. 36 n r r r f) S = lim S ( + ) = S lim[( + ) ] = S e n n n n n r r r - reprezină raa dobânzii cu capializare în imp coninuu sau raa dobânzii neure la risc (sau raa fără risc fiind asociaă unor invesiţii fără risc cum ar fi depozie bancare sau obligaţiuni -cupon); S poae reprezena şi un număr fracţiona de ani); r e - reprezină suma finală din depozi, frucificaă la sfârşiul celor ani ( r e - reprezină facorul de frucificare în imp coninuu; r e r = - reprezină facorul de acualizare în imp coninuu. e 7
Seminar : Noţiuni elemenare. Arbiraj. Lipsa oporuniăţilor de arbiraj Arbiraj: posibiliaea obţinerii unui câşig sigur fără a se invesi capial iniţial şi fără a se asuma nici un risc. Arbirajul poae fi: a) spaţial se obţin profiuri sigure uilizându-se dezechilibrele de pe două sau mai mule pieţe în acelaşi momen de imp; b) emporal se obţin profiuri sigure uilizându-se dezechilibrele de pe pieţele unor insrumene financiare, în momene de imp diferie.. a) x. O acţiune Coca Cola ese coaă simulan pe piaţele bursiere NYS la preţul de $ pe o acţiune şi LS la preţul de 9 pe o acţiune, în condiţiile în care pe piaţa valuară cursul de schimb înre cele două monede ese =,45$. Propuneţi o sraegie de arbiraj şi explicaţi mecanismele prin care preţurile pe cele rei pieţe se vor coreca. NYS Long: -$ LS Shor: 8 Profi =.6$ 8 =.6$ Obs. Presupunând ca volumul ranzacţiilor prilejuie de aces dezechilibru ese insuficien penru a influenţa cursul de schimb de pe piaţa valuară, se poae obţine un câşig sigur de.6$ pe acţiune luând simulan poziţie shor la LS şi poziţie long la NYS pe un număr de acţiuni. Invesiorii raţionali vor vinde la LS generând presiuni de scădere a preţului pe aceasă piaţă şi vor cumpăra la NYS deerminând creşerea preţului pe aceasă piaţă. Oporuniaea de arbiraj va dispare în momenul în care raporul înre preţurile pe cele două pieţe bursiere va egala raporul de schimb înre cele două monede (eliminând evenuala exisenţă a cosurilor de ranzacţionare). b) x. Presupunem că raele de schimb spo şi forward penru cursul de schimb /$ sun: spo S =,68, forward pese 9 zile F(,9 zile ) =, 656 şi forward pese 8 zile F(,8 zile ) =, 68. Ce oporuniăţi are un arbirajor în urmăoarele siuaţii: i) pe piaţă mai exisă o opţiune europeană CALL cu mauriaea pese 8 zile, cu preţul de exerciare =,57$ / şi care cosă C =,$ ; ii) pe piaţă mai exisă o opţiune europeană PU mauriaea pese 9 zile, cu preţul de exerciare =, 64$ / şi care cosă C =,$. Presupunem că valoarea imp a banilor ese. 8
Seminar : Noţiuni elemenare i) Poziţia la iniţiere: long CALL + shor FORWARD pe conracele cu scadenţa 8 zile. Pese 8 zile (cursul spo va fi S ): F(,8 zile) C, S > Profi = max{( S ),} C + F(,8 zile) S = = F(,8 zile) S C, S,68,57, =,8$, S >,57 = >., 68, S, S,57 ii) Poziţia la iniţiere: long PU + long FORWARD pe conracele cu scadenţa 9 zile. Pese 9 zile (cursul spo va fi S ): S F(,8 zile) P, S > Profi = max{( S),} P + S F(,9 zile) = = F(,9 zile) P, S S,656, = S,656, S >,64 = >., 64, 656, =, 44$, S, 64 Obs. Valoarea imp a banilor a fos ignoraă în acese calcule. Dacă am fi lua în considerare exisenţa unei rae de dobândă pe perioadele pe care s-au făcu plasamenele, sraegiile ar fi rămas profiabile ţinând con că profiul depăşeşe.8$ şi respeciv.44$ la o invesiţie iniţială de.$, ceea ce ar corespunde unei dobânzi anualizae de pese % penru fiecare din cele două perioade considerae. Concluzie: Dacă asfel de siuaţii de ip arbiraj ar apare în realiae, ele ar fi eliminae relaiv repede prin acţiunea legii cererii şi oferei pe piaţă (ţinând con şi de fapul că acese profiuri po fi considerae grauie iar pe piaţa insrumenelor financiare exisă arbirajorii foare bine plăiţi care cauă şi exploaează asfel de oporuniăţi). De aceea în eoria financiară, evaluarea acivelor porneşe de la ipoeza conform căreia pe pieţele financiare nu exisă oporuniăţi de arbiraj (sau similar oporuniăţi de a obţine profi insananeu şi fără asumarea niciunui risc). Schemaic aceasă ipoeză poae fi redaă asfel: Dacă valoarea a două porofolii de acive financiare A şi B va fi cu ceriudine aceeaşi la un momen în viior, Π ( A) =Π ( B), aunci valoarea celor două porofolii rebuie să fie aceeaşi la orice momen de imp anerior, Π ( A) =Π ( B). Relaţia ese valabilă şi penru inegaliăţi înre valoarea celor două porofolii şi se demonsrează prin reducere la absurd (vezi curs). 9
Seminar : Noţiuni elemenare 3. Limie de variaţie a preţurilor opţiunilor Aplicaţii ale ipoezei absenţei oporuniăţilor de arbiraj (noaţie AOA): i) Valoarea unei opţiuni CALL de ip european ( C ) va fi înodeauna mai mică decâ valoarea acivului supor ( S ) şi mai mare decâ valoarea acivului supor mai puţin preţul r ( ) de exerciare acualiza: S C S e. Penru prima pare a relaţiei, S C, considerăm două porofolii asfel: A: long CALL B : long acivul supor La scadenţă despre payoff-ul celor două porofolii vom şi cu siguranţă: S, S > Π ( A) = S =Π( B) de unde, conform ipoezei AOA:, S Π ( A) Π ( B) C S,. r ( ) Penru cea de a doua pare a relaţiei, C S e, considerăm urmăoarele două porofolii: r ( ) A: long CALL + depozi în valoare de e B : long acivul supor La scadenţă despre payoff-ul celor două porofolii vom şi cu siguranţă: S, S > S, ( ) ( ) S ( ) r r > Π A = + e e = S =Π( B) de unde,, S, S r ( ) conform ipoezei AOA: ( A) ( B) C S e Π Π,. c.c..d. ii) Valoarea unei opţiuni PU de ip european ( P ) va fi înodeauna mai mică decâ preţul de exerciare acualiza şi mai mare decâ preţul de exerciare acualiza mai ( ) ( ) puţin valoarea acivului supor ( S ): r e P e r S. ( ) Penru prima pare a relaţiei, r e P, considerăm două porofolii asfel: A: long PU r ( ) B : depozi in valoare de e La scadenţă despre payoff-ul celor două porofolii vom şi cu siguranţă: S, S < r ( ) r ( ) Π ( A) = e e = =Π ( B) de unde, conform ipoezei, S ( ) AOA: ( ) ( ) r Π A Π B P e,.
Seminar : Noţiuni elemenare Penru cea de a doua pare a relaţiei, porofolii: A: long PU r ( ) P e S, considerăm urmăoarele două r ( ) B : depozi în valoare de e + shor acivul supor La scadenţă despre payoff-ul celor două porofolii vom şi cu siguranţă: S, S < r ( ) r ( ) Π ( A) = e e S = S =Π( B) de unde, conform, S ( ) ipoezei AOA: ( A) ( B) P e r Π Π S,. c.c..d. 4. eorema de pariae CALL PU Aplicaţie a ipoezei absenţei oporuniăţilor de arbiraj (noaţie AOA): Demonsraţi urmăoarea relaţie care are loc înre preţurile opţiunilor CALL şi PU de ip european, care au aceleaşi caracerisici (acelaşi aciv supor, acelaşi preţ de exerciare, aceeaşi scadenţă şi aceeaşi piaţă de ranzacţionare): r ( ) C e + = P + S,. Demonsraţie: Considerăm porofolii: r ( ) A: long CALL + depozi in valoare de e B : long PU + long acivul supor La scadenţă despre payoff-ul celor două porofolii vom şi cu siguranţă: Π ( A ) Π ( B) S + S + S = S > S + = S + S = S Conform ipoezei AOA: Π ( A) =Π( B),. c.c..d. r ( ) q ( Generalizare penru cazul cu dividend: C ) + e = P + S e, unde q reprezină raa coninuă a dividendului. x. Primele call, respeciv pu, având aceleaşi caracerisici sun: C = 7, 88 şi P =,98. Se şie că S = = 5, iar = 6 luni. Să se calculeze raa dobânzii r. Rezolvare: Din relaţia de pariae pu-call: ( ) P C + S r = ln = 8,5%.
Seminar : Noţiuni elemenare 5. Preţul Forward F (, ) = S e ( r q) ( ) long: f (,, ) = [ F(, ) F(, )] e L r ( ) shor: f (,, ) = f (,, ) = [ F(, ) F(, )] e unde: S L r ( ) F (, ) reprezină preţul forward al conracului emis la momenul cu scadenţa la momenul ; S reprezină preţul la momenul al acivului supor; q ese raa coninuă a dividendelor plăie de acţiunea supor (în cazul acţiunilor fără dividend, q = ); f ( L,, ) reprezină valoarea la momenul a conracului forward poziţie long, emis la momenul cu scadenţa la momenul, unde ; (,, ) fs reprezină valoarea la momenul a conracului forward poziţie shor. Obs. Preţul forward ese idenic cu preţul fuures aâ imp câ raa dobânzii ese deerminisă. În cazul în care suporul conracului forward ese o valuă, q= rf, unde r f ese raa dobânzii penru valua supor în conrac. x. Se ia o poziţie long pe un conrac forward cu supor o acţiune ex-dividend (fără dividend) la momenul =. Cursul spo al acţiunii la momenul ese S = 4$ iar raa dobânzii în imp coninuu r = %. a) Deerminaţi preţul forward al conracului emis la momenul cu scadenţa la = an şi valoarea iniţială a acesui conrac. b) După 6 luni ( = 6luni ): S = 45$, r = %. Deerminaţi preţul forward al conracului emis la momenul cu scadenţa la = an şi valoarea conracului forward emis la. Rezolvare: a) F S e e r, (, ) = = 4 = 44, f (,, ) =. L $ r ( ),,5 F (, ) = S e = 45 e = 47,3$ b) r ( ) r f (,, ) = [ F(, ) F(, )] e = S S e =,95$. L
Seminar 3: Modelul Binomial Seminar 3: Modelul Binomial Ipoeze: Cursul acivului supor urmează o disribuţie binomială a.î. în fiecare momen de imp evoluţia sa poae fi descrisă asfel: p S u S -p S Δ d cu Δ u = = e (vezi curs) d unde u şi d reprezină facori de creşere respeciv scădere consanţi în imp, Δ inervalul de imp înre două momene succesive în care se face evaluarea, volailiaea cursului acivului supor iar p şi p reprezină probabiliaea de creşere, respeciv scădere a cursului acivului supor în fiecare momen de imp considera. valuarea se face înr-un mediu neuru la risc a.î. valoarea aşepaă la momenul a cursului acivului supor poae fi scrisă: [ / F ] = * r S S e Δ dar media unei variabile aleaoare care urmează o disribuţie binomială ese: S [ ] = p S u+ ( p) S d r e Δ d de unde: p =, denumiă probabiliae neură la risc (evaluarea s-a făcu înr-un u d mediu neuru la risc). În mod similar, folosind meoda evaluării neure la risc, valoarea unui CALL cu supor acivul S, la momenul poae fi scrisă: C = e * [ C / F ] = e [ p C + ( p) C ] (idenic p. PU) r Δ r Δ u d unde C u ese valoarea CALL la dacă cursul creşe (devenind S u) iar C d ese valoarea CALL la dacă cursul scade (devenind S d ). Formulele generale penru un model binomial cu n perioade, valabile doar penru evaluarea opţiunilor de ip european (vezi curs): n! C = e p ( p) max( S u d, ) n r ( ) i n i i n i i= i! ( n i)! n r ( ) n! i n i i n i i= i! ( n i)! P = e p ( p) max( S u d, ) 3
Seminar 3: Modelul Binomial Obs: Fie α nr. minim de paşi crescăori pe care cursul acţiunii supor rebuie să îi facă a.î. opţiunea CALL să expire în bani: ln( ) ln( ) n n α n α u α S d S d S u d > ( ) > α > α = + n d S u u d ln( ) ln( ) d d parea înreagă în mod similar p. PU, paramerul α reprezină nr. maxim de paşi crescăori pe care cursul acţiunii supor poae să îi facă a.î. opţiunea PU să expire în bani. Asfel în aplicaţii cele două formule generalizae se po scrie: n r ( ) n! i n i i n i C = e p ( p) ( S u d ) i= α i! ( n i)!. α r ( ) n! i n i i n i P = e p ( p) ( S u d ) i! ( n i)! Aplicaţii: i=. Fie o acţiune supor care are cursul spo la momenul curen S = 5 um.., = % şi penru care se emi opţiuni cu preţul de exerciare = 5 um.. Raa dobânzii fără risc ese r = %. a) Să se evalueze opţiuni CALL şi PU europene, americane cu şi fără dividend folosind modelul binomial pe 5 perioade şiind că duraa unei perioade ese de 3 luni. În cazurile în care acţiunea supor plăeşe dividende, presupunem că acesea sun plăie în perioada 4 şi reprezină % din valoarea cursului din acel momen. b) Verificaţi relaţia de pariae PU-CALL în cazul opţiunilor europene exdividend. c) xplicaţi de ce preţurile opţiunilor americane la emisiune sun mai mari decâ preţurile opţiunilor europene corespunzăoare. d) Demonsraţi că un CALL american cu supor o acţiune ex-dividend se exerciă înodeauna doar la scadenţă (fiind asfel echivalen cu un CALL european cu supor o acţiune ex-dividend). Rezolvare : a) Preţul de exerciare (Srike price): = 5 Facorul de acualizare (Discoun facor per sep): r e Δ =,9753 La adresa web: hp://www.roman.uorono.ca/~hull/sofware/ puei descarca programul DerivaGem for xcel cu ajuorul căruia se po verifica calculele din cadrul modelelor aplicae penru evaluarea insrumenelor financiare derivae. 4
Seminar 3: Modelul Binomial Facorul de frucificare (Growh facor per sep): r e Δ =, 53 3 Perioada de imp dinre noduri (ime sep): Δ = =,5 ani r e Δ d Probabiliaea neură la risc (Probabiliy of up move): p= =,64 u d Δ..5 Facorul de creşere (Up sep size): u = e = e =,5 Δ..5 Facorul de scădere (Down sep size): d = = e = e =,948. u valuarea opţiunii CALL de ip european ese idenică cu cea a opţiunii CALL de ip american în cazul în care acţiunea supor nu plăeşe dividende (vezi demonsraţia de la pc. d). Binomial uropean Call A each node: Upper value = Underlying Asse Price Lower value = Opion Price Values in red are a resul of early exercise. Srike price = 5 Discoun facor per sep =.9753 8.4366 ime sep, d =.5 years, 9.5 days 3.4366 Growh facor per sep, a =.53 74.593 Probabiliy of up move, p =.64 5.8574 Up sep size, u =.5 67.4994 67.4994 Down sep size, d =.948 9.9347 7.4994 6.74 6.74 4.9655.3464 55.585459 55.5855 55.5855.9686887 8.4638 5.58546 5 5 5 7.87995 5.639758 3.84334 45.4879 45.487 45.487 3.74538.8977 4.93654 4.93654.69 37.49 37.49 33.56 3.3653 Node ime:..5.5.75..5 5
Seminar 3: Modelul Binomial Pe ulima coloană payoff-ul opţiunii (marca în chenar cu roşu) se obţine calculând C (, S) = max( S,). De exemplu penru 5 creşeri consecuive ale cursului valoarea 5 opţiunii CALL la scadenţă va fi C 5 = S u = 8,436 5 = 3,436 um... u Penru chenarele din perioadele anerioare aplicăm expresia dedusă pe baza meodei evaluării neure la risc. De exemplu valoarea din primul chenar din perioada 4 (după 4 creşeri consecuive de curs) ese: C e p C p C e r Δ,,5 4 = [ 5 + ( ) 4 ] = [3, 436,63+ 7, 499,398] = 5,85 u u u d Coninuând raţionamenul obţinem valoarea opţiunii la momenul iniţial: C = 7,88 um.. Binomial uropean Pu A each node: Upper value = Underlying Asse Price Lower value = Opion Price Values in red are a resul of early exercise. Srike price = 5 Discoun facor per sep =.9753 8.4366 ime sep, d =.5 years, 9.5 days Growh facor per sep, a =.53 74.593 Probabiliy of up move, p =.64 Up sep size, u =.5 67.4994 67.4994 Down sep size, d =.948 6.74 6.74.7959 55.5855 55.5855 55.5855.956.7963 5 5 5.4797.693.84983 45.487 45.487 45.487 3.745 4.8678 4.7589 4.93654 4.93654 6.578 7.88958 37.49 37.49.556.9599 33.56 5.4949 3.3653 9.67347 Node ime:..5.5.75..5 6
Seminar 3: Modelul Binomial Penru opţiunea PU se raţionează similar dar pornind de la payoff-ul unei opţiuni PU: P (, S) = max( S,). De exemplu valoarea PU-ului după 4 scăderi consecuive de curs va fi: P = e [ p P + ( p) P ] = e [,959,63+ 9,6734,398] = 5, 494 Δ r,,5 4 4 5 d d u d Coninuând raţionamenul obţinem valoarea opţiunii PU la momenul iniţial: P =.48 um... Binomial American Pu A each node: Upper value = Underlying Asse Price Lower value = Opion Price Values in red are a resul of early exercise. Srike price = 5 Discoun facor per sep =.9753 8.4366 ime sep, d =.5 years, 9.5 days Growh facor per sep, a =.53 74.593 Probabiliy of up move, p =.64 Up sep size, u =.5 67.4994 67.4994 Down sep size, d =.948 6.74 6.74.7959 55.5855 55.5855 55.5855.4744.7963 5 5 5.58.7646.84983 45.487 45.487 45.487 4.8563 4.7583 4.7583 4.7583 4.93654 4.6869 4.93654 9.6346 9.6346 7.88958 37.49 7.88958 37.49.959.959.7458 33.56 6.484 5.4949 3.3653 9.6735 Node ime:..5.5.75..5 7
Seminar 3: Modelul Binomial Penru evaluarea unei opţiuni americane rebuie să ţinem con că de fiecare daă valoarea opţiunii (cea redaă în chenar sub cursul acivului supor) va fi maximul dinre valoarea care s-ar obţine prin exerciare (în figura de mai sus valoarea subliniaă) şi valoarea obţinuă prin acualizare (valoarea nesubliniaă, redaă sub curs). Valorile îngroşae, marcae cu roşu, sun valori de exerciare ale opţiunii, mai mari decâ cele obţinue prin acualizare. American CALL wih dividend 8
Seminar 3: Modelul Binomial American PU wih dividend Valoarea unui PU cu aciv supor plăior de dividend are o valoare mai mare decâ a unui PU ex-dividend înrucâ în primul caz cresc şansele de exerciare daoriă scăderii valorii acivului supor ca urmare a plăţii dividendului. b) eorema de pariae CALL-PU valabilă penru opţiuni europene: r..5 C + e = P + S 7,87995+ 5 e =, 4797 + 5 5, 48 = 5, 48. c) Opţiunile americane au mai mule şanse să se exercie. r ( ) d) c C S e S. val. CALL american val. CALLeuropean val. deexerciarecallamerican 9
Seminar 3: Modelul Binomial. Să se calculeze uilizând modelul binomial, valoarea unei opţiuni PU pe baza urmăoarelor dae: S = ; = ; = an; n= 4; = %; r = 8% (PU). Rezolvare: Δ = ; 4 Δ u= e =,9; d = =,98; u,8 4 r Δ e d e,98 p = = =,548 u d,9,98 ln n α > S d = 38, 6; rang = 39 e preferabil să calculăm prima CALL. u ln d C e [4,548 (,548) (,9,8 39 39 = 4 4 9 +,548 (,9 )] = 6,57.,98 ) + Iar prima opţiunii PU se deermină aplicând eorema de pariae PU-CALL: r P = C + e S = 84, 63.
Seminar 4: Procese Sohasice Seminar 4: Procese Socasice. Procesul Wiener fundamenal (mişcarea browniană sandard) : no. Δ z = Δ B= ε Δ, ε N(,), valorile variabilei Δ z în două inervale oarecare de imp Δ şi Δ fiind independene. media: ( Δ z) = varianţa: var( Δ z) =Δ de unde deviaţia sandard: devs( Δ z) = Δ.. Procesul Wiener generaliza (mişcarea browniană generalizaă): Δ x = μ Δ + Δ z cu μ şi (driful şi difuzia) consane. media: ( Δ x) = μ Δ varianţa: var( Δ x) = Δ de unde deviaţia sandard: devs( Δ z) = Δ. Obs. dacă Δ = an aunci ( Δ x) = μ reprezenând media anuală a variabilei Δ x iar devs( Δ z) = reprezenând deviaţia sandard anuală a variabilei Δ x. 3. Procesul Io (mişcarea browniană geomerică): Δ x = μ( x, ) Δ + ( x, ) Δ z cu μ( x, ) şi ( x, ) parameri neconsanţi. xemplu: Renabiliaea cursului unei acţiuni urmează un proces de ip Wiener S generaliza: Δ = μ Δ + Δ z şi în consecinţă cursul unei acţiuni urmează un proces de S ΔS ip Io: Δ S = μ S Δ + S Δ z. Consecinţă: N( μ Δ, Δ). S Obs. în imp coninuu noaţia Δ ese înlocuiă cu d. 4. Lema Io: Fie Dx (, ) o funcţie care depinde de variabila aleaoare x ce urmează un proces de ip Io şi de imp. Dx (, ) va fi o variabilă aleaoare care urmează o un proces de ip Io de forma: D D D D μ dd = ( + ( x, ) + ( x, ) ) d + ( x, ) dz. x x x 5. abla înmulţirii penru mişcarea browniană sandard: ( d) = d db = ( db ) = d, dacă B şi B mişcări browniene sandard independene; db db = ρ d, dacă B şi B mişcări browniene sandard corelae.
Seminar 4: Procese Sohasice Aplicaţii. Fie D preţul unui insrumen financiar deriva şi S cursul acivului supor. Să se scrie ecuaţia de dinamică penru preţul derivaivului D şiind că S urmează un proces de ip Io. ds = μ S d + S dz D D D D dd = ( + μ S + S ) d + S dz S S S r ( ). Fie dinamica preţului unei acţiuni: Δ S = μ S Δ + S Δ z. Fie F = S e preţul forward al acesei acţiuni. Care ese dinamica preţului forward? Reprezenaţi aceasă dinamică înr-un mediu neuru la risc. Aplicăm lema lui Io funcţiei F reprezenând preţul forward: F F F F μ df = ( + S + S ) d + S dz S S S r ( ) F S e r ( ) = = r S e = r F r ( ) F S e r ( ) = = e de unde: S S F = S r ( ) r ( ) df ( r F μ S e = + ) d + S e dz = ( μ r) F d + F dz Renabiliaea preţului forward urmează o mişcare Wiener generalizaă deoarece: df = ( μ r) d+ dz F Înr-un mediu neuru la risc oae acivele au aceaaşi renabiliae daă de raa fără risc: * * μ = r. De aici: df = F dz unde dz reprezină mişcarea browniană sandard sub probabiliaea neură la risc. Obs. se la fel de riscană o poziţie forward deschisă pe acivul supor ca şi o poziţie spo pe respecivul aciv supor (volailiaea renabiliăţii celor două poziţii ese aceeaşi, ). 3. Fie y randamenul la mauriae cu compunere coninuă (yield o mauriy) penru o obligaţiune -cupon ce plăeşe o uniae moneară la scadenţă. Presupunem că y urmează procesul sohasic: dy = a ( y y) d + c y dz, unde ay,, c sun consane poziive. Care ese procesul urma de preţul obligaţiunii?
Seminar 4: Procese Sohasice Noăm cu B preţul la momenul al acesei obligaţiuni. B = iar B = e y ( ) Aplicăm lema Io funcţiei B : B B B B db = ( + a ( y y) + c y ) d + c y dz y y y B y e y ( ) = = y B B y ( ) = ( ) e = ( ) B de unde: y B = ( ) B y db= y a ( y y) ( ) + c y ( ) B d c y ( ) B dz Obs. Procesul urma de renabiliaea y se numeşe mean-revering deoarece: dacă y < y aunci driful ay ( y) > şi deci rend-ul lui y ese unul crescăor, de revenire spre nivelul lui y iar dacă y > y aunci driful ay ( y) < şi deci rend-ul lui y ese unul descrescăor, de revenire spre nivelul lui y. Se poae demonsra că y reprezină media pe emen lung a renabiliăţii y (vezi aplicaţiile 6 şi 7 din seminarul 5). Abaerile variabilei y de o pare şi de ala a mediei pe ermen lung sun deerminae de apariţia unor şocuri descrise de componena sohasică a procesului urma de y. 4. Preţul valuei din ţara A exprima în funcţie de preţul valuei din ţara B (A= S B) urmează un proces de forma: ds = ( rb ra) S d + S dz unde ra, r B reprezină raele dobânzilor în cele două ţări. Care ese procesul urma de preţul valuei din ţara B exprima în funcţie de preţul valuei din ţara A? Aplicăm lema Io funcţiei: B = A : S S S S = ; = ; =. 3 S S S S d = ( + ( rb ra) S ( ) ) ( ) + S d S dz 3 + => S S S S d = ( ra rb + ) d dz S S S 3
Seminar 4: Procese Sohasice Obs. Apariţia varianţei variabilei S în driful procesului urma de variabila S poară denumirea de paradoxul Siegel. 5. Aplicaţi lema Io funcţiei ln S şi demonsraţi că aceasă variabilă urmează o disribuţie normală ( Δ S = μ S Δ + S Δ z). (ln S) (ln S) (ln S) = ; = ; =. S S S S Δ (ln S) = + μ S + S S z S S Δ + Δ S Δ (ln S) = μ Δ + Δz Aşadar variabila ln S urmează un proces Wiener generaliza, de unde: Δln S N[ μ Δ, Δ] Δ ln S = ln S ln S în inervalul (, ) ln S N[ln S + μ, ] deci cursul unei acţiuni se poae preupune că urmează o disribuţie lognormală. Obs. Ţinând con de proprieăţile disribuţiei normale, penru o cuanilă α R oarecare, cunoaşem relaţia: ln S [ln S + μ ] p = P( α α) = N( α) unde p reprezină o + probabiliae care depinde funcţional de cuanila α R aleasă iar N( α ) reprezină + + p funcţia de probabiliae normală în puncul α R. Aşadar α = N ( ). Cunoscând acese proprieăţi, puem deermina cu probabiliaea p inervalul în care se va afla cursul unei acţiuni (noa cu S ) la un anumi momen viior : ( μ ) α ( μ ) + α S e S S e + 4
Seminar 4: Procese Sohasice 6. Cursul unei acţiuni la momenul acual ese. Cursul acţiunii urmează un ds proces Io de forma:, d, dz S = +. a) Care ese renabiliaea medie anuală a cursului acesei acţiuni? Dar volailiaea corespunzăoare? b) Deerminaţi inervalul de variaţie a cursului pe un orizon de 3 luni cu o probabiliae de i) 9%; ii) 95%; iii) 99%. a) % respeciv %. + p b) p = 9% iar α = N ( ). Cu ajuorul abelului disribuţiei normale, disponibil în ANXĂ se deermină valoarea cuanilei α penru fiecare din cele rei cazuri: i) α =.65 şi S [86.5,.38]. ii) α =.96 şi S [83.868,4.]. iii) α =.58 şi S [78.83,3.486]. 7. Cursul unei acţiuni ese S, volailiaea şi renabiliaea μ. a) Să se deducă formula care cu probabiliaea s, dă inervalul închis în care se va afla cursul la momenul : [ p, q ]. b) S =, μ = 5%, = 45%, = 3 luni, s = 99%. c) Să se deducă urmăorii indicaori de senziiviae privind mărimea inervalului [ q p] [ q p] [ q p] [ q p] în care se va afla cursul: ; ; ;. μ s Formulele deduse la puncul c) vor fi aplicae pe exemplul de la puncul b). a) s ( + + s μ ) N [ ] ( μ ) + N [ ] p = S e S S e = q. b) p=56,78; q=8,689. c) şi d) 5
Seminar 4: Procese Sohasice [ q p] s+ s+ = q + N p N = [ q p] = ( q p) = 3,99; μ [ [ ]] [ [ ]] 9,6966; [ q p] s+ s+ = q μ + N p μ N = [ q p] = ( q+ p) = 75,84. s s + n( ) [ [ ] ] [ [ ] ] 8,; unde Nd ( ) nd ( ) = = e d π d. Inerpreare: La o modificare cu p.p. a volailiăţii sau a renabiliăţii medii anuale a cursului, inervalul de prognoză se modifică în acelaşi sens cu,96966 ( 9,6966,) şi respeciv,399 ( 3,99, ). La o modificare cu un an a orizonului de prognoză, inervalul se modifică în acelaşi sens cu 8, iar la o modificare cu p.p. a probabiliăţii s, inervalul de prognoză se modifică în acelaşi sens cu,7584 ( 75,84,). 6
ANXĂ ( ) x (,34) = (,),34 (,) (,3 ) =,45,34 (,45,4834 ) abel penru Nx când N N N N =,459 ( ) x N(,678 ) = N(,6 ) +,78 N(,63) N(,6) =,734 +,78 (,7357,734) abel penru Nx când =,735...3.4.5.6.7.8.9...3.4.5.6.7.8.9.5.496.49.488.484.48.476.47.468.464.5.54.58.5.56.599.539.579.539.5359..46.456.45.4483.4443.444.4364.435.486.447..5398.5438.5478.557.5557.5596.5636.5675.574.5753..47.468.49.49.45.43.3974.3936.3897.3859..5793.583.587.59.5948.5987.66.664.63.64.3.38.3783.3745.377.3669.363.3594.3557.35.3483.3.679.67.655.693.633.6368.646.6443.648.657.4.3446.349.337.3336.33.364.38.39.356.3.4.6554.659.668.6664.67.6736.677.688.6844.6879.5.385.35.35.98.946.9.877.843.8.776.5.695.695.6985.79.754.788.73.757.79.74.6.743.79.676.643.6.578.546.54.483.45.6.757.79.734.7357.7389.74.7454.7486.757.7549.7.4.389.358.37.96.66.36.6.77.48.7.758.76.764.7673.774.7734.7764.7794.783.785.8.9.9.6.33.5.977.949.9.894.867.8.788.79.7939.7967.7995.83.85.878.86.833.9.84.84.788.76.736.7.685.66.635.6.9.859.886.8.838.864.889.835.834.8365.8389.587.56.539.55.49.469.446.43.4.379.843.8438.846.8485.858.853.8554.8577.8599.86..357.335.34.9.7.5.3..9.7..8643.8665.8686.878.879.8749.877.879.88.883..5.3..93.75.56.38..3.985..8849.8869.8888.897.895.8944.896.898.8997.95.3.968.95.934.98.9.885.869.853.838.83.3.93.949.966.98.999.95.93.947.96.977.4.88.793.778.764.749.735.7.78.694.68.4.99.97.9.936.95.965.979.99.936.939.5.668.655.643.63.68.66.594.58.57.559.5.933.9345.9357.937.938.9394.946.948.949.944.6.548.537.56.56.55.495.485.475.465.455.6.945.9463.9474.9484.9495.955.955.955.9535.9545.7.446.436.47.48.49.4.39.384.375.367.7.9554.9564.9573.958.959.9599.968.966.965.9633.8.359.35.344.336.39.3.34.37.3.94.8.964.9649.9656.9664.967.9678.9686.9693.9699.976.9.87.8.74.68.6.56.5.44.39.33.9.973.979.976.973.9738.9744.975.9756.976.9767.8..7..7..97.9.88.83.977.9778.9783.9788.9793.9798.983.988.98.987..79.74.7.66.6.58.54.5.46.43..98.986.983.9834.9838.984.9846.985.9854.9857..39.36.3.9.5..9.6.3...986.9864.9868.987.9875.9878.988.9884.9887.989.3.7.4..99.96.94.9.89.87.84.3.9893.9896.9898.99.994.996.999.99.993.996.4.8.8.78.75.73.7.69.68.66.64.4.998.99.99.995.997.999.993.993.9934.9936.5.6.6.59.57.55.54.5.5.49.48.5.9938.994.994.9943.9945.9946.9948.9949.995.995.6.47.45.44.43.4.4.39.38.37.36.6.9953.9955.9956.9957.9959.996.996.996.9963.9964.7.35.34.33.3.3.3.9.8.7.6.7.9965.9966.9967.9968.9969.997.997.997.9973.9974.8.6.5.4.3.3.....9.8.9974.9975.9976.9977.9977.9978.9979.9979.998.998.9.9.8.8.7.6.6.5.5.4.4.9.998.998.998.9983.9984.9984.9985.9985.9986.9986 3.3.3.3....... 3.9987.9987.9987.9988.9988.9989.9989.9989.999.999 3...9.9.9.8.8.8.8.7.7 3..999.999.999.999.999.999.999.999.9993.9993 3..7.7.6.6.6.6.6.5.5.5 3..9993.9993.9994.9994.9994.9994.9994.9995.9995.9995 3.3.5.5.5.4.4.4.4.4.4.3 3.3.9995.9995.9995.9996.9996.9996.9996.9996.9996.9997 3.4.3.3.3.3.3.3.3.3.3. 3.4.9997.9997.9997.9997.9997.9997.9997.9997.9997.9998 3.5.......... 3.5.9998.9998.9998.9998.9998.9998.9998.9998.9998.9998 7
Seminar 5: Maringale şi Inegrala socasică Seminar 5: Maringale şi Inegrala socasică I. Maringale: Fie ( X, ) un process socasic, care ese maringal dacă: i) ( X, ) ese F măsurabilă ( X ese adapa filrării { F } ); ii) X ese inegrabilă ( X() s ds ); iii) X [ / F ] = X, (valoarea aşepaă a variabilei X, având disponibilă informaţia la momenul curen ese egală cu valoarea prezenă a acesei variabile). Lemă: Un proces socasic ( X, ) ese maringal ecuaţia de dinamică socasică penru aces proces are forma dx = b db (aces proces nu prezină drif). II. Inegrala socasică: Fie ( B, ) o mişcare Browniană sandard. I( θ) = θ( sdb ) s se numeşe inegrală socasică având urmăoarea condiţie de inegrare [ θ ( s)] ds<. Obs. θ poae fi o funcţie deerminisă sau un proces socasic. Proprieăţi: B i) [ I( θ)] = [ θ( s) dbs / F ] =. ii) var[ ( θ)] = [( θ( ) s ) ] = [ θ ( )] ( I s db s ds B iii) θ () sdbs ese F măsurabilă,. Corolar: Orice inegrală sohasică ese maringal: var[ I( θ)] θ ( ) B B B θ s F θ s F θ s F B θ() sdbs [ θ() sdbs / F ] θ() sdbs = dacă θ e o consană). [ ( s) db / ] = [ ( s) db / ] + [ ( s) db / ] = = + = Propoziţie: Dacă Y şi Z sun variabile sohasice iar Z ese F măsurabilă aunci: Z [ Y/ F] = Z Y [ / F ]. Dacă Y ese o variabila sohasica iar s aunci: Y [ [ / F] / F ] = Y [ / F ]. s s 8
Seminar 5: Maringale şi Inegrala socasică Aplicaţii:. B ese o maringală. Fie s un inerval de imp. Şim din proprieăţile procesului Wiener fundamenal că [ Δ B ] = [ B B / F ] = [ B / F ] = [ B / F ] = B. B s s s s s s s ese o maringală. B B = B B + B B B = B B + B B B = [ s / Fs] [( s) s s / Fs] [( s) s ( s)/ Fs] = B B + B B B = s [( s) / Fs] s [( s) / Fs] s Fs F s s [ B B / ] = s [ B / ] = B s 3. e B ese o maringală. Lemă: dacă g N(,) aunci (vezi ANXA) λ λ g e [ ] = e unde λ ese un parameru real B Bs B ( ) s [ / ] [ s / ] B B g s Fs Fs [ ] e = e e = e e = ( s) Bs Bs s = e e = e. deoarece B = s B B = s s ε N(, s). 4. Calculaţi B. 4 [ ] Aplicăm lema lui Io funcţiei: D x = x unde dx = db. 4 ( ) D = D = 4 = + 4 + + 4 x D = x x 3 3 3 x dd x x d x db 9
Seminar 5: Maringale şi Inegrala socasică dd = 6 B d + 4 B db şi inegrând 3 3 = 6 s + 4 s s şi aplicând D B ds B db 3 operaorul medie rezulă: [ D] = 6 B s ds + 4 BsdBs = 6 sds + = 3. in. socasică 5. Calculaţi inegrala socasică: B db. s s Facând analogia cu inegrala Riemann, o funcţie de la care puem porni în mod naural analiza ese D () = B penru care aplicăm lema lui Io: D = D = = + + + B D = B B db B d B db s s s s B db = d + B db B = + B db B db =. 6. Procesul Ornsein-Uhlenbeck: dx = kx d + db, x = y; k, = cons. Deerminaţi, [ ], [ ] x x Var x şi valoarea mediei pe ermen lung a variabilei x. viden procesul urma de x nu ese un caz paricular al procesului Io deoarece driful ese neconsan iar difuzia ese consană. Analogia cu modul de rezolvare al ecuaţiilor diferenţiale deerminise de forma dx + Ax = f (care se reduc la ecuaţii diferenţiale de d A d( e x) A forma = e f după înmulţirea ambilor ermeni cu e A ) ne îndrepăţeşe la d k alegerea unei funcţii de forma Dx (, ) = e xpenru care plicăm lema lui Io: 3
Seminar 5: Maringale şi Inegrala socasică D k e k = x D k k k k e d k ( e x ) k e x k x e d e = = + + db x D = x k ks k k( s ) = s = + s. e x y e db x e y e db k k( s ) k ( x) = e y+ e dbs = e y daoriă proprieăţilor inegralei sohasice. k ( s ) k ( s ) Var ( x) = ( x ( x) ) e db s e db = = s = k ( s ) e = e ds= k k Media pe ermen lung: ( ). lim x lim e k = y =. 7. Paricularizare a procesului Ornsein-Uhlenbeck modelul Vasicek penru dinamica raei dobânzii: dr = k( θ r) d + db, cu r, k, θ, consane. Deerminaţi:, ( ), ( ) r r Var r şi valoarea mediei pe ermen lung a variabilei r. Obs. Variabila x= r θ urmează un proces de ip Ornsein-Uhlenbeck deoarece: dx = d( r θ ) = dr = kxd + db Aplicând lema lui Io funcţiei: D ( ) k = r θ e vom obţine (prin analogie cu rezulaele din problema 6): k k ( s ) = + θ = θ + ( θ) + s k k ( ) = ( + θ) = θ + = θ + ( θ) k e ( ) = ( + θ) = ( ) = r x e r e db r x x e r e Var r Var x Var x k 3
Seminar 5: Maringale şi Inegrala socasică k Media pe ermen lung: ( r ) ( r e ) lim = lim θ + ( θ) = θ. Comenarii legae de modelul Vasicek: Avanaj: raa dobânzii în aces model urmeză un proces de ip mean-revering (se consideră că aces ip de proces descrie cel mai fidel dinamica din realiae a raei dobânzii vezi aplicaţia 3 de la seminarul 4); Dezavanaj: raa dobânzii fiind o variabilă aleaoare Gaussiană, în cadrul acesui model, are o probabiliae poziivă de a lua valori negaive. 3
Seminar 5: Maringale şi Inegrala socasică Anexă Lema: Dacă X ese o variabilă aleaoare disribuiă normal de medie m şi deviaţie x sandard s aunci: ( ) s m e = e +. Demonsraţie: ( ) x x s e = e e dx s π ( ) ( x m) s x m+ s x = m+ s s x ( m s s ) + m+ x s ( e ) = e e dx s π ( x m) x ( m+ s ) dx Făcând schimbarea de variabilă: u = du = de unde: s s x ( ) s u s m+ m+ e = e e du e = c.c..d. π 33
Seminar 6: cuaţia Black-Meron-Scholes şi Modelul Black-Scholes Seminar 6: cuaţia Black-Meron-Scholes şi Modelul Black- Scholes cuaţia Black-Meron-Scholes. Dacă momenul, ce are ca supor acivul S, aunci dinamică (ecuaţia Black-Meron-Scholes) : D ese preţul unui insrumen financiar deriva la D D D S S + r S + S = r D D verifică urmăoarea ecuaţie de Modelul Black-Scholes. Dacă derivaivul D ese un CALL de ip european (respeciv o opţiune PU de ip european) cu supor acţiunea S neplăioare de dividend, aunci soluţia ecuaţiei Black-Meron-Scholes ese: C= S Nd ( ) e Nd ( ) şi respeciv r ( ) r ( ) P = e N d S N d unde d S ln + ( r+ ) ( ) = ( ) d = d ( ) ( ) ( ) : Generalizare. Dacă acivul supor a opţiunilor europene generează veni, formulele aferene ecuaţiei şi modelului Black-Scholes devin: D ( ) D + r q S D + S = r D S S q ( ) r ( ) C = S e N( d ) e N( d ) şi respeciv P = e N( d ) S e N( d ) unde : d r ( ) q ( ) S ln + ( r q+ ) ( ) = ( ) d = d ( ) În funcţie de ipul acivului supor, avem urmăoarele posibiliăţi: i) dacă acivul supor ese o acţiune plăioare de dividende, q ese raa coninuă a dividendului (în procene pe an); ii) dacă acivul supor ese un indice bursier, q reprezină raa coninuă medie a dividendelor generae de acţiunile care inră în componenţa indicelui; 34
Seminar 6: cuaţia Black-Meron-Scholes şi Modelul Black-Scholes iii) dacă acivul supor ese o valuă, q reprezină raa de dobândă la valua supor în no. conrac (raa de dobândă srăină q = r f ); iv) dacă acivul supor ese un conrac fuures, q= r iar ecuaţia şi modelul (denumi în aces caz modelul Black) devin: D D + F = r D şi respeciv F r ( ) C = e F N d N d r ( ) P = e N d F N d unde d [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] : F ln + ( ) = ( ) d = d ( ) r ( ) q ( Obs.. Pariaea PU-CALL: C ) + e = P + S e, valabilă penru opţiuni europene cu aceleaşi caracerisici poae fi demonsraă şi cu ajuorul formulelor Black-Scholes.. Pariaea PU-CALL în cazul în care acivul supor ese un conrac fuures se r ( ) r ( scrie: C + e = P + F e ),. Aplicaţii:. Un conrac forward cu supor o acţiune ex-dividend ese un insrumen financiar deriva a cărui valoare depinde de valoarea acivului supor. Verificaţi aceasă afirmaţie folosind ecuaţia Black-Meron-Scholes. Preţul unui conrac forward (poziţie long) emis la momenul = cu scadenţa la şi r care ese evalua la momenul ese: D = fl(,, ) = S S e. D r D D = r S e ; = ; = ; S S r r r S e + r S + S = r ( S S e ) = r D c.c..d.. Cursul curen al unei acţiuni ese S = um.., volailiaea sa ese = %, raa dobânzii fără risc pe piaţă ese r = %. Se emi opţiuni CALL şi PU de ip Vezi suporul de curs. 35
Seminar 6: cuaţia Black-Meron-Scholes şi Modelul Black-Scholes european, cu scadenţa pese 6 luni şi care au un preţ de exerciare = um.. Deerminaţi valuarea curenă a opţiunilor CALL şi PU emise. C= S Nd ( ) e Nd ( ) d S r ( ), ln + ( r+ ) ( ) ln + (, + ),5 = = =, 443 ( ),,5 d = d ( ) =, 443,,5 =, 88. Nd ( ) = N(,443) = N(,4) +,43 [ N(,43) N(,4)] = =, 668 +, 43 (, 6664, 668) =, 6643. Nd ( ) = N(, 88) = N(, 8) +, 8 [ N(, 9) N(, 8)] =, 63., 6643,,5, 63 8, 778.. C = e = um Valoarea opţiunii PU cu aceleaşi caracerisici ca şi opţiunea CALL o deerminăm uilizând eorema de pariae PU-CALL: r ( ),,5 P = C + e S = 8, 778 + e = 3, 47 um.. 3. Deerminaţi valoarea unei opţiuni de ip european care dă drepul la cumpărarea pese 9 luni a unui dolar canadian la preţul de,75 USD. Cursul spo ese CAD =,75USD iar volailiaea cursului de schimb CAD/USD ese 4% pe an. Raele de dobândă în procene pe an în Canada şi SUA sun 9% şi respeciv 7%. Suporul opţiunii ese CAD şi de aceea r = r = 9%. d S,4 ln + ( r rf + ) ( ) + (, + ),75 = = =, 457. ( ),4,75 d = d ( ) =,453. Nd ( ) = N(, 457) = N(, 4),57 [ N(, 4) N(, 4)] =,3388. Nd ( ) = N(, 453) = N(, 45), 3 [ N(, 45) N(, 46)] =,36. rf ( ) r ( ) C = S e N( d ) e N( d ) =,9,75,7,75,75 e,3388,75 e,36,54 USD. f CAD = = Preţul opţiunii PU corespunzăoare o puem deermina uilizând eorema de pariae PU-CALL: r ( ) e rf ( ) P = C + e S e =, 6 USD. 4. Un aciv are un curs de piaţă S = um.. Penru aces aciv se emi conrace fuures cu scadenţa pese = 9 luni. Raa dobânzii pe piaţă ese r = %. Penru conracele fuures se emi opţiuni CALL şi PU cu scadenţa o pese 9 luni, preţul 36
Seminar 6: cuaţia Black-Meron-Scholes şi Modelul Black-Scholes de exerciare fiind egal cu preţul la ermen penru ambele ipuri de opţiuni. Volailiaea preţului fuures ese = %. Deerminaţi prima opţiunilor emise. r F S e = = (opţiunile sun emide la bani sau a he money). C = e F Nd ( ) e Nd ( ) = S [ Nd ( ) Nd ( )] r r F ln + d = = d = d = = d. De unde: Nd ( ) = N( d)., C = S [ Nd ( ) Nd ( )] = S [ Nd ( ) ] = [ N(,75) ] = 6,9. r r Din eorema de pariae: P F e + = C + e P = C. 5. Un invesior dispune de o sumă de bani A cu care poae cumpăra exac acţiuni ale firmei M&N. În cazul în care suma ese depusă la bancă cu dobândă coninuă, după 9 luni ea devine B. Cu suma A invesiorul poae cumpăra exac opţiuni CALL cu scadenţa pese 9 luni, având preţul de exerciare =, B şi având ca supor aceasă acţiune. Să se calculeze volailiaea a acţiunii (volailiaea impliciă). r ( ) r ( ) r ( ) A= S; B= A e ; A= C; =, B=. A e = S e. r ( ) r ( ) r ( ) A= C = [ S N( d) e N( d)] = A N( d) A e e N( d) Nd ( ) Nd ( ) =, S S ln + ( r+ ) ( ) ln + ( r+ ) ( ) d S e = = = ( ) ( ) d = d Nd ( ) Nd ( ) =, Nd ( ) N( d) =, Nd ( ) =, N( ( )) =,55 ( ) = N (,55) N(, x) = N(,) +, x [ N(,3) N(,)] =,55 N (,55) =,56 = 9%. r ( ) ( ) 37
Seminar 7: Indicaori de senziiviae, hedging saic şi volailiaea impliciă Seminar 7: Indicaori de senziiviae, hedging saic şi volailiaea impliciă Indicaorii de senziiviae cuanifică variaţia primei opţiunii la o modificare cu o uniae a facorilor care influenţează valoarea opţiunii respecive: DS (,,, r, q, ). D Dela: S D Nabla: Gamma: D S D Rho: r D Vega: D Miu: q hea: D = CALL D = PU q ( ) Δ P = e N d < q ( ) Δ = ( ) > ( ) C e N d ( ) ( ) = < r C e N d d q ( ) e Γ C = e > S π ( ) ( ) = > r P e N d d q ( ) e Γ P = e > S π r ( ) = ( ) ( ) > ( ) ( ) ρ C N d e d q ( ) e υc = e S > π q ( ) μ C = S e ( ) N( d ) < θ C C C = = = θ C ( ) ( ) ρ P = N d e < r d q ( ) e υp = e S > π q ( ) μ P = S e ( ) N( d ) > θ P P P = = = θp ( ) Dacă dezvolăm în serie aylor funcţia DS ( ) în jurul unei valori curene S obţinem aproximarea modificării valorii derivaivului (CALL sau PU) la o modificare mică a valorii cursului acivului supor: CS ( ) CS ( ) ΔC ( S S) p. modificări mici ale cursului S S < um.. CS ( ) CS ( ) ΔC ( S S) + ΓC ( S S) p. modificări relaiv mai mari ale cursului S S > um.. 38
Seminar 7: Indicaori de senziiviae, hedging saic şi volailiaea impliciă Aplicaţii:. O acţiune are în prezen un curs de piaţă S = 8, volailiaea esimaă ese de = 3% iar raa dobânzii fără risc pe piaţă ese r = 9,5%. Se emi opţiuni CALL şi PU având ca supor aceasă acţiune, preţul de exerciare = 9 şi scadenţa pese 9 luni. Deerminaţi: a. Prima opţiunilor pu şi call la momenul curen. b. Penru cele două opţiuni să se deermine indicaorii de senziiviae: Δ (Dela); Γ (Gamma); (Nabla); şi υ (Vega). c. Deerminaţi noua valoare a opţiunii call dacă valoarea acţiunii supor devine S = 8. d. Deerminaţi noua valoare a opţiunii pu în siuaţia în care valoarea acţiunii supor devine S = 77. e. Şiind că un invesior are un porofoliu forma din N =.5 opţiuni call, poziţie long şi N = 3. opţiuni pu, poziţie shor, să se calculeze suma invesiă, precum şi indicaorii ai porofoliului. Δ (Dela); Γ (Gamma); (Nabla); şi υ (Vega) f. Cu câ se modifică valoarea acesui porofoliu dacă cursul acţiunii supor scade cu o uniae? g. Să se precizeze numărul de acţiuni care rebuie cumpărae sau vândue, asfel încâ porofoliul să devină Δ neural. h. Ce poziţii rebuie să ia aces invesior pe cele două opţiuni exisene pe piaţă şi pe acivul supor a.î. porofoliul său să devină Δ Γ neural. Rezolvare: a. Formulele de evaluare Black-Scholes (cazul fără dividend): ( ) ( ) ( ) C = S N d e N d şi r ( ) ( ) ( ) r P e N d S N d =, unde 39
Seminar 7: Indicaori de senziiviae, hedging saic şi volailiaea impliciă d S ln + ( r + ) = ( ) d = d. şi Dacă se cunoaşe valoarea uneia dinre prime, call sau pu, valoarea celeilale se poae deermina folosind relaţia de pariae pu-call: Obţinem: d =,6 ;,766 C =,388 şi P = 8,73. ( ) r P S C e + = +. d = ; N( d ) = ; N( d ) N( d ),5795 b. Indicaorii de senziiviae penru opţiunea call: d e Δ C = N( d ); Γ C = ; S π ( ) ( ) = ; r C e N d = =, 4695 ; υ C = S e π Obţinem: Δ C =,5795; Γ C =, 78; C =, 437 şi υ C = 6,956. Indicaorii de senziiviae penru opţiunea pu: d ( ) ( ) Δ P =ΔC = N d = N d ; ; d e Γ P =Γ C = ; S π ( ) r ( ) ( ) r P C e e N d = + = ; υp = υc = S e π Obţinem: Δ P =, 45; Γ P =, 78 ; P =, 494 ; υ P = 6,956 şi ρ P = 7,399. d ; 4
Seminar 7: Indicaori de senziiviae, hedging saic şi volailiaea impliciă CS ( = 8) = C+Δ ( S S) =, 388 +,5795 =,883 c. C d. Modificarea cursului supor ese mai consisenă decâ în cazul preceden, aşadar: PS ( 77) P ( S S) ( S S) = + = = = +ΔP + ΓP = 8,73, 45 ( 3), 78 ( 3) 9, 4689 e. Valoarea porofoliului ese: Π= N C N P= 5.54,36. Indicaorii de senziiviae penru porofoliu sun: f. Π Δ Π = N ΔC N Δ P =.794,363; Γ Π = N ΓC N Γ P = 5, 4868 ; Π = N C N P =.673,8935 ; υ = N υ C N Π υ = P 4.665, 4 ; Π Π =Δ ( S S ) =.794,363 ( ) =.794,363. g. În aces caz invesiorul realizează o operaţiune de hedging saic prin care se proejează împoriva variaţiilor mici ale cursului acivului supor. rebuie vândue Δ Π =.794,363 acţiuni. Noul porofoliu va fi forma din: * Π = 5 C 3 P 794,363 S având indicaorul Δ * =. h. În aces caz invesiorul realizează o operaţiune de hedging saic prin care se proejează împoriva unor variaţii mai mari ale cursului acivului supor. Preupunem că invesiorul inroduce în porofoliul său x uniăţi din acivul supor şi y uniăţi noi de opţiuni CALL (puem alege opţiunea PU ca derivaiv p. aceasă operaţiune de hedging). Invesiorul va avea de rezolva urmăorul sisem de ecuaţii: Π Δ Π + x + y Δ C =.794,363+ x+,5795 y = Γ Π + x + y Γ C = 5,4868 +,78 y = S unde am ţinu con că Δ penru acivul supor ese Δ S = = S iar S Γ S = = S. Poziţie shor pe x =.835,7 acţiuni şi poziţie long pe y = 73,436 opţiuni call. 4
Seminar 7: Indicaori de senziiviae, hedging saic şi volailiaea impliciă. Penru acţiunile firmei M&N se cunosc: S = 87, = 8%, q= iar raa dobânzii pe piaţă ese r = %. Penru o opţiune de ip CALL cu supor acţiunea M&N şi scadenţa pese 9 luni se cunosc urmăorii indicaori de senziiviae: Δ=,599, Γ=, 6846, θ = 9, 4486. Deerminaţi prima opţiunii CALL. Rezolvare: Din ecuaţia Black-Meron-Scholes: C C + r S + S C = r C S S ( θ + r S Δ+ S Γ ) = C r C = ( 9, 4486 +, 87,599 +, 8 87, 6846) = 6, 4733, 3. Calculaţi volailiaea impliciă penru preţul fuures şiind că preţul pe piaţă al unei opţiuni PU cu supor conracul fuures ese u.m. Preţul curen al conracului fuures ese F = 55 um.. iar preţul de exerciare al opţiunii ese = 55 um.. Scadenţa opţiunii ese pese 5 luni iar raa dobânzii pe piaţă ese 6%. Obs. Volailiaea impliciă reprezină acea valoare a volailiăţii care egalizează preţul opţiunii obţinu din model cu preţul opţiunii observabil pe piaţă. Rezolvare: Pracic volailiaea impliciă va fi soluţia urmăoarei ecuaţii: P( ) = Ppiaţă care, în general, poae avea o soluţie analiică sau nu. În aces caz puem rezolva aceasă ecuaţie analiic. r ( ) r ( ) r ( ) P= e N( d) F e N( d) = F e [ N( d) N( d)] S ln + ( r + ) ( ) d = = d = d r ( ) P= F e [ N( d ) ] de unde 5 N( ( )) =,595 = N (,595) =, 4 x=... =, 489 = 5,5%. 4
Seminar 7: Indicaori de senziiviae, hedging saic şi volailiaea impliciă 4. Deerminaţi volailiaea impliciă penru o acţiune al cărei curs prezen ese S = 5, şiind că preţul unei opţiuni CALL cu supor aceasă acţiune, cu preţ de exerciare = 5 şi scadenţa pese 6 luni ese 9,54. r = %. Rezolvare: În aceasă siuaţie, ecuaţia C( ) = 9,54 nu va avea o soluţie analiică (vom avea în aceeaşi relaţie ambele probabiliăţi Nd ( ) şi Nd ( ) fără să le puem reduce) şi de aceea o vom rezolva numeric, aplicând algorimul Newon Raphson: Algorimul Newon Raphson: no. f( ) = C( ) C piaţă = Alegem aleaor o valoare de prefera undeva înre % şi 3%. Calculăm: f ( ) = ' f ( ) f ( ) = ' f ( )... f ( n ) n = n ' f ( n ) SOP dacă n n pp.. * Volailiaea impliciă: n. f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) *... n 43
Seminar 7: Indicaori de senziiviae, hedging saic şi volailiaea impliciă f( ) = C( ) 9,54 = = % f( ) = 4,389; f ( ) = 8,9; =,8 ' =,8% f( ) = 3, 69; f ( ) = 5,89; =,835 ' < = ( ) ( ) *.,83%. ( ) f( ) = S N d e N d 9,54 = r d ' C Nd ( ) ( ) = = υc = ( ) ( ) = = d π f S n d unde n d e * Volailiaea impliciă ese,83%.. 44
Seminar 8: Operaţiuni de hedging uilizând opţiuni PU-proecive Seminar 8: Operaţiuni de hedging uilizând opţiuni PUproecive PROCIV PU = LONG PU + LONG SUPOR payoff _ PP = S + P = S + max( S,) = max(, S ) payoff PP S S Aplicaţii:. Un invesior dispune de o sumă W = mil. u.m. pe care doreşe să o invesească penru o perioadă = ani înr-un porofoliu diversifica conţinând obligaţiuni zero cupon în sumă de B u.m. şi porofolii proecive pu în valoare de W B a.î. la scadenţă valoarea porofoliului său să fie cel puţin egală cu valoarea A =,5 mil. u.m. Raa dobânzii fără risc pe piaţă ese r = % iar acţiunile din porofoliile proecive pu au un curs S = u.m. şi o volailiae = 5%. a) Deerminaţi cosul de cumpărare al unui porofoliu proecive pu ( PP ) şi numărul de porofolii cumpărae. b) Valoarea la scadenţă a invesiţiei, dacă valoarea acţiunilor la scadenţă ese de u.m. Rezolvare: W B W B W = B+ x PP x= =. a) PP S + P 45
Seminar 8: Operaţiuni de hedging uilizând opţiuni PU-proecive PP = S + P A W Invesiorul doreşe să obţină un randamen minim Rmin = =,5%, de aceea W vom fixa preţul de exerciare al opţiunilor PU la = S ( + Rmin) = 5 um.. P = e N( d ) S e N( d ) = 56,4 r ( ) q ( ) S ln + ( r+ ) ( ) d = =,39; N( d) =,3483 ( ) d = d ( ) =,778; N( d ) =, 494 PP = S + P = 56,4 u. m. La scadenţă: W B W B W = B e + PP B e + = A B= 4.68.7,54 um.. r r PP PP x = 5.5, 66. r r r b) W = B e + x PP = B e + x max(, S ) = B e + x S =.7558 > A Dacă la cursul supor S aunci W = A, în caz conrar W > A.. Un invesior doreşe să invesească A = milion u.m. în acţiuni având urmăoarele caracerisici: S = 76, μ = 6%, = 8% pe o perioadă de = 9 luni. Penru fiecare acţiune cumpără o opţiune PU cu preţul de exerciţiu, formând un V nivelul minim, cer, al acesei invesiţii număr de porofolii proecive pu. Fie ( ) după 9 luni. Raa dobânzii ese r = %. Să se deducă o condiţie de maxim penru V şi să se precizeze dacă puncul de maxim e ains. ( ) Rezolvare: A A A = PP = V( ) S P S P max V( ) + + V( ) A A P = =..: P + S ( P + S) co P r r = e N( d) = e N( d) S N( d) + S P + S S ( N( d )) = S N( d ) = N( d ) = d S ln 46