ΙΝΥΣΜΤ Εισγωγή Το διάνυσμ είνι έν χρκτηριστικό πράδειγμ έννοις που νπτύχθηκε μέσ πό τη στενή λληλεπίδρση Μθημτικών κι Φυσικής Ο κνόνς του πρλληλόγρμμου, σύμφων με τον οποίο το μέτρο κι η κτεύθυνση δύο δυνάμεων που σκούντι σε έν σώμ εκφράζοντι πό τη διγώνιο του πρλληλόγρμμου που σχημτίζουν, ήτν γνωστός με διάφορες μορφές στους ρχίους Έλληνες επιστήμονες Ο Ήρων ο λεξνδρεύς, γι πράδειγμ, στο έργο του Μηχνικά ποδεικνύει με χρήση νλογιών την κόλουθη γεωμετρική πρότση: ν έν σημείο Σ κινείτι με ομλή κίνηση κτά μήκος μις ευθείς, ενώ συγχρόνως η κινείτι πράλληλ προς τον ευτό της με το άκρο ν διγράφει μι ευθεί, τότε η πργμτική τροχιά του Σ (η συνιστμένη κίνηση ) θ είνι η διγώνιος του πρλληλόγρμμου Σ υτός ο κνόνς χρησιμοποιήθηκε πολλούς ιώνες γι το γεωμετρικό προσδιορισμό της συνιστμένης, χωρίς όμως ν θεωρείτι έν νέο είδος πρόσθεσης ευθυγράμμων τμημάτων, διφορετικό πό εκείνο που χρησιμοποιείτι στην Ευκλείδει εωμετρί ι ν γίνει υτό, χρειάστηκε πό τη μι μεριά η ποδοχή κι συστημτική χρήση των ρνητικών ριθμών στ Μθημτικά κι πό την άλλη η μελέτη φυσικών ποσοτήτων όπως η τχύτητ, η δύνμη, η ορμή κι η επιτάχυνση, που χρκτηρίζοντι τόσο πό το μέτρο όσο κι πό τη διεύθυνσή τους υτές οι εξελίξεις έφερν στο προσκήνιο τις έννοιες της προσντολισμένης κίνησης κι του προσντολισμένου ευθύγρμμου τμήμτος, τις πρώτες ιδέες των οποίων συνντάμε σε έργ επιστημόνων του 7ου ιών όπως οι J Wllis, I Newton κι GW Leibniz Η νάπτυξη ενός συστημτικού λογισμού με προσντολισμέν ευθύγρμμ τμήμτ άρχισε στ τέλη του 8ου ιών, γι ν δοθεί μι γεωμετρική ερμηνεί στους ρνητικούς ριθμούς, λλά κι γι ν ρεθεί ένς τρόπος νλυτικής έκφρσης του μήκους κι της διεύθυνσης των ευθύγρμμων τμημάτων Πρωτοπορικό υπήρξε προς υτή την κτεύθυνση το έργο των C Wessel (799) κι R Argnd (806) Ξεκινώντς πό την πλή περίπτωση των
0 προσντολισμένων τμημάτων που ρίσκοντι στην ίδι ευθεί, προχώρησν στον ορισμό των πράξεων με τυχί τμήμτ του επιπέδου Συγκεκριμέν, οι ορισμοί του Wessel ήτν οι εξής: Το άθροισμ διδοχικών προσντολισμένων τμημάτων είνι το τμήμ που ενώνει την ρχή του πρώτου με το τέλος του τελευτίου A B A=++ b Το γινόμενο δύο προσντολισμένων τμημάτων που σχημτίζουν γωνίες φ κι ω ντιστοίχως με έν μονδιίο τμήμ, είνι το τμήμ που έχει μήκος το γινόμενο των μηκών των δύο τμημάτων κι σχημτίζει γωνί φ ω με το μονδιίο τμήμ φ+ω ω φ b + Στις εργσίες των Wessel κι Argnd (κι ορισμένες άλλες που δημοσιεύτηκν εκείνη την εποχή) υπάρχουν οι σικές ιδέες που συγκροτούν σήμερ το ινυσμτικό Λογισμό του επιπέδου Η ουσιστική νάπτυξη του κλάδου ρχίζει όμως μερικές δεκετίες ργότερ, ότν επιχειρείτι η γενίκευση υτών των ιδεών στον τρισδιάσττο χώρο κι η θεμελίωση μις γενικής μθημτικής θεωρίς Κθοριστικό υπήρξε προς υτήν την κτεύθυνση του έργο του W Hmilton (843) κι του H Grssmnn (844) Ο W Hmilton χρησιμοποίησε τον όρο διάνυσμ (vector) Ο όρος vector προέρχετι κτά μί εκδοχή πό το λτινικό ρήμ vehere που σημίνει μετφέρω Ο H Grssmnn χρησιμοποίησε τους όρους εσωτερικό κι εξωτερικό γινόμενο Η πρπέρ εξέλιξη του ινυσμτικού Λογισμού επηρεάστηκε ποφσιστικά πό τις εξελίξεις στη Φυσική κτά το δεύτερο μισό του 9ου ιών Η χρήση της θεωρίς του Hmilton πό τον ιδρυτή της ηλεκτρομγνητικής θεωρίς JC Mwell (873) οδήγησε σε ορισμένες τροποποιήσεις, με άση τις οποίες οι φυσικοί JW Gibbs κι O Heviside δημιούργησν στις ρχές της δεκετίς του 880 τη σύγχρονη θεωρί του ινυσμτικού Λογισμού (στοιχεί της οποίς προυσιάζοντι σ υτό το κεφάλιο) Τέλος το 888, ο G Peno, με άση τη θεωρί του Grssmnn θεμελίωσε ξιωμτικά την έννοι του δινυσμτικού χώρου Η ΕΝΝΟΙ ΤΟΥ ΙΝΥΣΜΤΟΣ
Ορισμός του ινύσμτος Υπάρχουν μεγέθη, όπως είνι η μάζ, ο όγκος, η πυκνότητ, η θερμοκρσί κτλ, τ οποί προσδιορίζοντι πό το μέτρο τους κι πό την ντίστοιχη μονάδ μέτρησης Τ μεγέθη υτά λέγοντι μονόμετρ ή θμωτά Υπάρχουν όμως κι μεγέθη, όπως είνι η δύνμη, η τχύτητ, η επιτάχυνση, η μεττόπιση, η μγνητική επγωγή κτλ, που γι ν τ προσδιορίσουμε, εκτός πό το μέτρο τους κι τη μονάδ μέτρησης, χρειζόμστε τη διεύθυνση κι τη φορά τους Τέτοι μεγέθη λέγοντι δινυσμτικά μεγέθη ή πλώς δινύσμτ Στη εωμετρί το διάνυσμ ορίζετι ως έν προσντολισμένο ευθύγρμμο τμήμ, δηλδή ως έν ευθύγρμμο τμήμ του οποίου τ άκρ θεωρούντι διτετγμέν Το πρώτο άκρο λέγετι ρχή ή σημείο εφρμογής του δινύσμτος, ενώ το δεύτερο λέγετι πέρς του δινύσμτος Το διάνυσμ με ρχή το κι πέρς το συμολίζετι AB A (ρχή) B (πέρς) με AB κι πριστάνετι με έν έλος που ξεκινάει πό το κι κτλήγει στο ν η ρχή κι το πέρς ενός δινύσμτος συμπίπτουν, τότε το διάνυσμ λέγετι μηδενικό διάνυσμ Έτσι, γι πράδειγμ, το διάνυσμ AA είνι μηδενικό διάνυσμ ι το συμολισμό των δινυσμάτων χρησιμοποιούμε πολλές φορές τ μικρά γράμμτ του ελληνικού ή του λτινικού λφάητου επιγρμμισμέν με έλος γι πράδειγμ,,,, uv,, Η πόστση των άκρων ενός δινύσμτος AB, δηλδή το μήκος του ευθύγρμμου τμήμτος, λέγετι μέτρο ή μήκος του δινύσμτος AB κι συμολίζετι με AB ν το διάνυσμ AB έχει μέτρο, τότε λέγετι μονδιίο διάνυσμ Η ευθεί πάνω στην οποί ρίσκετι έν μη μηδενικό διάνυσμ AB λέγετι φορές του AB A B ε
Ως φορέ ενός μηδενικού δινύσμτος AA μπορούμε ν θεωρούμε οποιδήποτε πό τις ευθείες που διέρχοντι πό το AA ν ο φορές ενός δινύσμτος AB είνι πράλληλος ή συμπίπτει με μι ευθεί ζ, τότε λέμε ότι το AB είνι πράλληλο προς τη ζ κι γράφουμε AB// ζ ύο μη μηδενικά δινύσμτ AB κι, που έχουν τον ίδιο φορέ ή πράλληλους φορείς, λέγοντι πράλληλ ή συγγρμμικά δινύσμτ Στην περίπτωση υτή λέμε ότι τ AB κι έχουν ίδι διεύθυνση κι γράφουμε AB // Τ συγγρμμικά δινύσμτ δικρίνοντι σε ομόρροπ κι ντίρροπ Συγκεκριμέν: ύο μη μηδενικά δινύσμτ AB κι λέγοντι ομόρροπ: ) ότν έχουν πράλληλους φορείς κι ρίσκοντι στο ίδιο ημιεπίπεδο ως προς την ευθεί που ενώνει τις ρχές τους ή ) ότν έχουν τον ίδιο φορέ κι μί πό τις ημιευθείες κι περιέχει την άλλη Στην περίπτωση υτή λέμε ότι τ AB κι έχουν την ίδι κτεύθυνση (ίδι διεύθυνση κι ίδι φορά) κι γράφουμε AB
3 ύο μη μηδενικά δινύσμτ AB κι λέγοντι ντίρροπ, ότν είνι συγγρμμικά κι δεν είνι ομόρροπ Στην περίπτωση υτή λέμε ότι τ δινύσμτ AB κι έχουν ντίθετη κτεύθυνση (ίδι διεύθυνση κι ντίθετη φορά) κι γράφουμε AB Ίσ ινύσμτ ύο μη μηδενικά δινύσμτ λέγοντι ίσ ότν έχουν την ίδι κτεύθυνση κι ίσ μέτρ ι ν B δηλώσουμε ότι δύο δινύσμτ AB κι είνι ίσ, γράφουμε AB Τ μηδενικά δινύσμτ θεωρούντι ίσ μετξύ τους κι συμολίζοντι με 0 Εύκολ ποδεικνύετι ότι: ν AB, τότε A, B κι B A ν Μ είνι το μέσον του, τότε κι ντιστρόφως AM MB Μ ντίθετ ινύσμτ ύο δινύσμτ λέγοντι ντίθετ, ότν έχουν ντίθετη κτεύθυνση κι ίσ μέτρ ι ν δηλώσουμε ότι δύο δινύσμτ AB κι είνι ντίθετ, γράφουμε
4 AB ή Είνι φνερό ότι B AB AB Ειδικότερ, έχουμε A ωνί δύο ινυσμάτων Έστω δύο μη μηδενικά δινύσμτ κι πίρνουμε τ δινύσμτ OA κι OB Με ρχή έν σημείο Ο Ο θ Ο Ο Την κυρτή γωνί AOB, που ορίζουν οι ημιευθείες Ο κι Ο, την ονομάζουμε γωνί των δινυσμάτων κι κι τη συμολίζουμε με (, ) ή (, ) ή κόμ, ν δεν προκλείτι σύγχυση, με έν μικρό γράμμ, γι πράδειγμ θ Εύκολ ποδεικνύετι ότι η γωνί των κι είνι νεξάρτητη πό την επιλογή του σημείου Ο Είνι φνερό επίσης ότι 0 θπ κι ειδικότερ: 0, ν, ν 0 0 0 θ 80 ή σε κτίνι
5 ν, τότε λέμε ότι τ δινύσμτ κι είνι ορθογώνι ή κάθετ κι γράφουμε ν έν πό τ δινύσμτ, είνι το μηδενικό διάνυσμ, τότε ως γωνί των κι μπορούμε ν θεωρήσουμε οποιδήποτε γωνί με 0 Έτσι, μπορούμε ν θεωρήσουμε ότι το μηδενικό διάνυσμ, 0, είνι ομόρροπο ή ντίρροπο ή κόμη κι κάθετο σε κάθε άλλο διάνυσμ Ο ΕΦΡΜΟΗ Έστω Μ το μέσο της πλευράς ενός τριγώνου Με ρχή το Μ γράφουμε τ δινύσμτ M κι ME BA Ν ποδειχτεί ότι το είνι το μέσο του Ε ΠΟΕΙΞΗ ρκεί ν δείξουμε ότι Πράγμτι, επειδή Ε, είνι () Όμως το Μ είνι μέσο του Άρ, Μ () Επομένως, λόγω των () κι (), έχουμε, οπότε: (3) Επειδή επιπλέον, έχουμε (4) Έτσι, πό τις σχέσεις (3) κι (4) έχουμε
6 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΙ ΦΙΡΕΣΗ ΙΝΥΣΜΤΩΝ Πρόσθεση ινυσμάτων Έστω δύο δινύσμτ κι Με ρχή έν σημείο Ο πίρνουμε διάνυσμ OA κι στη συνέχει με ρχή το πίρνουμε διάνυσμ AM Το διάνυσμ OM λέγετι άθροισμ ή συνιστμένη των δινυσμάτων κι κι συμολίζετι με Θ ποδείξουμε ότι το άθροισμ των δινυσμάτων κι είνι νεξάρτητο της επιλογής του σημείου Ο Πράγμτι, ν O είνι έν άλλο σημείο κι πάρουμε τ δινύσμτ O A κι A M, επειδή OA O A κι AM A M, έχουμε OO AA κι AA MM Επομένως, OO MM, M που συνεπάγετι ότι κι OM O Μ M Ο O Το άθροισμ δύο δινυσμάτων ρίσκετι κι με το λεγόμενο κνόν του πρλληλόγρμμου ηλδή, ν με ρχή έν σημείο Ο πάρουμε τ δινύσμτ OA κι OB, τότε το άθροισμ ορίζετι πό τη διγώνιο O του πρλληλόγρμμου που έχει προσκείμενες πλευρές τις O κι Μ Ο
7 Ιδιότητες Πρόσθεσης ινυσμάτων ι την πρόσθεση των δινυσμάτων ισχύουν οι γνωστές ιδιότητες της πρόσθεσης πργμτικών ριθμών ηλδή, ν,, είνι τρί δινύσμτ, τότε: () (ντιμετθετική ιδιότητ) () ( ) γ ( γ) (Προσετιριστική ιδιότητ) (3) 0 (4) ( ) 0 ΠΟΕΙΞΗ πό το προηγούμενο σχήμ έχουμε: OA AM OM κι Επομένως, OB BM OM πό το διπλνό σχήμ έχουμε: ( ) γ ( OA AB) B OB B O κι ( γ) OA( AB B ) OA A O Επομένως, ( ) ( ) Ο Οι ιδιότητες (3) κι (4) είνι προφνείς Η προσετιριστική ιδιότητ μς επιτρέπει ν συμολίζουμε κθέν πό τ ίσ θροίσμτ ( ) κι ( ) με, το οποίο θ λέμε άθροισμ των τριών δινυσμάτων, κι Το άθροισμ περισσότερων δινυσμάτων,, 3,,, 3 ορίζετι επγωγικά ως εξής: ( ) 3 3
8 ι πράδειγμ, ( ) 3 4 3 4 3 34 3 4 ηλδή, γι ν προσθέσουμε δινύσμτ,,,,, τ κθιστούμε διδοχικά, οπότε το άθροισμά τους θ είνι το διάνυσμ που έχει ως ρχή την ρχή του πρώτου κι ως πέρς το πέρς του τελευτίου Επειδή μάλιστ ισχύουν η ντιμετθετική κι η προσετιριστική ιδιότητ της πρόσθεσης, το άθροισμ δε μετάλλετι ν λλάξει η σειρά των προσθετέων ή ν μερικοί πό υτούς ντικτστθούν με το άθροισμά τους φίρεση ινυσμάτων Η διφορά του δινύσμτος πό το διάνυσμ άθροισμ των δινυσμάτων κι ηλδή ( ) ορίζετι ως Σύμφων με τ πρπάνω, ν έχουμε δύο δινύσμτ κι, τότε υπάρχει μονδικό διάνυσμ, τέτοιο, ώστε Πράγμτι, ( ) ( ) ( ) 0 ( )
9 ιάνυσμ Θέσεως Έστω Ο έν στθερό σημείο του χώρου Τότε γι κάθε σημείο Μ του χώρου ορίζετι το διάνυσμ, το οποίο λέγετι διάνυσμ θέσεως του Μ ή δινυσμτική κτίν του Μ Το σημείο Ο, που είνι η κοινή ρχή όλων των δινυσμτικών κτίνων των σημείων του χώρου, λέγετι σημείο νφοράς στο χώρο ν Ο είνι έν σημείο νφοράς, τότε γι οποιοδήποτε διάνυσμ AB OB OA κι επομένως O έχουμε ηλδή: AB OBOA Κάθε διάνυσμ στο χώρο είνι ίσο με τη δινυσμτική κτίν του πέρτος μείον τη δινυσμτική κτίν της ρχής Μέτρο θροίσμτος ινυσμάτων Στο διπλνό σχήμ λέπουμε το άθροισμ των δινυσμάτων κι πό την τριγωνική νισότητ γνωρίζουμε όμως ότι ( OA) ( AB) ( OB) ( OA) ( AB) κι επομένως Ο ΕΦΡΜΟΕΣ ι τέσσερ σημεί,,, ν ποδειχτεί ότι
0 ΠΟΕΙΞΗ ν Ο είνι έν σημείο νφοράς, τότε έχουμε: AB OBOAO O OBOO OAB A Ν ποδειχτεί ότι γ γ ΠΟΕΙΞΗ Έχουμε γ ( γ γ γ ΣΚΗΣΕΙΣ Οι δυνάμεις F, F,, F5 σκούντι στο σώμ Σ Ποι δύνμη χρειάζετι, ώστε ν μην φήσει το σώμ Σ ν μετκινηθεί πό τη θέση του; F 4 F 5 F F 3 Σ F ίνοντι τέσσερ σημεί κι κι έστω,, γ κι δ τ ντίστοιχ δινύσμτ θέσεως ως προς έν σημείο νφοράς Ο Τι μπορείτε ν πείτε γι το τετράπλευρο ν: (i) γ δ (ii) γ δ (iii) γ δ κι γ δ 3 Ν εκφράσετε το διάνυσμ σε κθέν πό τ πρκάτω σχήμτ ως συνάρτηση των άλλων δινυσμάτων που δίνοντι:
i) ii) iii) 4 ν γι δύο τρίγων κι Ε ισχύει τετράπλευρο Ε είνι πρλληλόγρμμο, ν δείξετε ότι το 5 ίνοντι τέσσερ σημεί,,, κι έστω Ο, το μέσο του τμήμτος Ν ποδείξετε ότι 6 ίνετι κνονικό εξάγωνο ν διάνυσμ ως συνάρτηση των κι κι B, ν εκφράσετε το 7 ι έν τυχίο εξάγωνο P P P3 P4 P5 P6 ν ποδείξετε ότι P3 P P4 P3 P5 P4 P6 P5 P P6 P 0 P 3 ΠΟΛΛΠΛΣΙΣΜΟΣ ΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΙΝΥΣΜ Ορισμός Πολλπλσισμού ριθμού με ιάνυσμ Έστω ένς πργμτικός ριθμός με κι έν μη μηδενικό διάνυσμ Ονομάζουμε γινόμενο του λ με το κι το συμολίζουμε με ή έν διάνυσμ το οποίο: είνι ομόρροπο του, ν κι ντίρροπο του, ν κι έχει μέτρο ν είνι ή 0, τότε ορίζουμε ως το μηδενικό διάνυσμ 0
Μ Μ M Ο O Ο Μ Ο
ι πράδειγμ, ν το διάνυσμ του διπλνού σχήμτος έχει μέτρο, τότε το διάνυσμ 3 είνι ομόρροπο με το κι έχει μέτρο 3 3, ενώ το διάνυσμ 3 είνι ντίρροπο με το, λλά έχει κι υτό μέτρο ίσο με 3 3 3 3 Το γινόμενο λ το συμολίζουμε κι με Ιδιότητες Πολλπλσισμού ριθμού με ιάνυσμ ι το γινόμενο πργμτικού ριθμού με διάνυσμ ισχύουν οι επόμενες ιδιότητες: () () ( ) (3) ( ) ( ) ΠΟΕΙΞΗ * () Υποθέτουμε ότι τ δινύσμτ κι λ>0 είνι μη μηδενικά κι ότι 0 Πίρνουμε έν σημείο Ο κι σχεδιάζουμε τ δινύσμτ OA, AB Τότε είνι OB Σχεδιάζουμε επιπλέον τ δινύσμτ OA λ κι OB λ( ) Επειδή ( ) ( ) Ο, ( ) ( ) ( ) τ τρίγων κι είνι όμοι κι επομένως η πλευρά είνι πράλληλη με την κι ισχύει ( ) ( )
3 υτό σημίνει ότι A B λ AB λ B Επομένως, επειδή OB OA A, έχουμε ( ) Η ιδιότητ ισχύει προφνώς κι ότν έν τουλάχιστον πό τ δινύσμτ κι είνι το μηδενικό ή ότν ο ριθμός είνι μηδέν λ<0 ( ) Ο Η πόδειξη των ιδιοτήτων () κι (3) φήνετι ως άσκηση Ως συνέπει του ορισμού του γινομένου ριθμού με διάνυσμ κι των πρπάνω ιδιοτήτων έχουμε: (i) λ0 λ0 ή 0 (ii) ( λ) λ( ) ( λ) (iii) λ( ) λ λ (iv) ( λ μ) λ μ (v) ν λ λ κι λ 0, τότε (vi) ν λ μ κι 0, τότε λ μ ρμμικός Συνδυσμός ινυσμάτων ς θεωρήσουμε δύο δινύσμτ κι πό τ δινύσμτ υτά πράγοντι, γι πράδειγμ, τ δινύσμτ γ 3 5, δ 3 κτλ Κθέν πό τ δινύσμτ υτά λέγετι γρμμικός συνδυσμός των κι ενικά, ονομάζετι γρμμικός συνδυσμός δύο δινυσμάτων κι κάθε διάνυσμ της μορφής v κ λ, όπου κ, λr νάλογ ορίζετι κι ο γρμμικός συνδυσμός τριών ή περισσότερων δινυσμάτων Έτσι, γι πράδειγμ, το διάνυσμ v 3 5γ είνι ένς γρμμικός συνδυσμός των, κι γ
4 Συνθήκη Πρλληλίς ινυσμάτων Όπως είδμε, ν δύο δινύσμτ κι, όπου 0, συνδέοντι με τη σχέση, τότε τ δινύσμτ υτά είνι πράλληλ Ισχύει όμως κι το ντίστροφο ηλδή, ν τ δινύσμτ κι είνι πράλληλ κι 0, τότε υπάρχει μονδικός ριθμός τέτοιος ώστε Πράγμτι, ν θέσουμε, τότε Συνεπώς: ν, τότε ν, τότε κ ν 0, τότε 0 Σε κάθε λοιπόν περίπτωση υπάρχει κι μάλιστ μονδικός (ιδιότητ iv), τέτοιος, ώστε Επομένως: ΘΕΩΡΗΜ ν, είνι δύο δινύσμτ, με 0, τότε //, R ι πράδειγμ, στο πρκάτω σχήμ ν κι Ε είνι τ μέσ των πλευρών κι του τριγώνου, έχουμε: BA A A A ( A AE) E B φού λοιπόν E B, συμπερίνουμε ότι // κι B E, που σημίνει ότι Ξνρίσκουμε δηλδή τη γνωστή μς πό την Ευκλείδει εωμετρί σχέση // Ε
5 ινυσμτική κτίν Μέσου Τμήμτος ς πάρουμε έν διάνυσμ AB κι έν σημείο νφοράς Ο ι τη δινυσμτική κτίν OM του μέσου Μ του τμήμτος έχουμε: OM OA AM κι OM OBBM Επομένως, OA AM OB BM OAOB OM Άρ Ο Μ OAOB OM ΕΦΡΜΟΕΣ Ν ποδειχτεί ότι έν σημείο G είνι το ρύκεντρο ενός τριγώνου, ν κι μόνο ν ισχύει GA G G 0 κι ότι γι οποιοδήποτε σημείο Ο ισχύει OG ( OA OB O ) 3 ΠΟΕΙΞΗ νωρίζουμε πό την Ευκλείδει εωμετρί ότι ν G είνι το κέντρο άρους του τριγώνου, τότε G G, όπου η διάμεσος του τριγώνου Επομένως, ισχύει AG G, οπότε έχουμε GAGBG GA G GA AG GG 0 ντιστρόφως, ν γι έν σημείο G ισχύει GA GBG 0, τότε θ έχουμε GA G 0, όπου το μέσον της, οπότε θ ισχύει AG G Έτσι, το σημείο G νήκει στη διάμεσο κι ισχύει G G Άρ, το G είνι το κέντρο άρους του τριγώνου πό τη σχέση GA GB G 0 έχουμε: OA OG OB OG O OG 0 Άρ OG ( OAOBO ) 3 G
6 Ν ποδειχτεί ότι τ ευθύγρμμ τμήμτ που ορίζουν τ μέσ των πένντι πλευρών ενός τετρπλεύρου κι τ μέσ των διγωνίων του διέρχοντι πό το ίδιο σημείο κι διχοτομούντι πό το σημείο υτό ΠΟΕΙΞΗ Έστω,,, τ δινύσμτ θέσεως των κορυφών,,,, ντιστοίχως, ενός τετράπλευρου ως προς έν σημείο νφοράς Ο Τ δινύσμτ θέσεως των μέσων Η της κι Θ της είνι ) ( γ κι ) ( δ ντιστοίχως κι το διάνυσμ θέσεως του μέσου G του ΗΘ είνι το ) ( 4 ) ( ) ( δ γ δ γ Ομοίως ρίσκουμε ότι το διάνυσμ θέσεως των μέσων των τμημάτων ΕΖ κι ΙΚ είνι το ) ( 4 δ γ Άρ τ τμήμτ ΗΘ, ΕΖ κι ΙΚ διέρχοντι πό το ίδιο σημείο κι διχοτομούντι πό υτό ΣΚΗΣΕΙΣ ΟΜΣ ν είνι έν διάνυσμ, τι μπορείτε ν πείτε γι το μέτρο κι την κτεύθυνση του δινύσμτος 0 ; Ν ρείτε το διάνυσμ σε κθεμιά πό τις περιπτώσεις: (i) ) ( 3 ) ( (ii) 3 ) 4( ) ( 3 3 ν στο διπλνό σχήμ είνι ) ( ) (, ν ποδείξετε ότι ) ( 3 γ Κ Ι G Θ Ε Η Ζ Μ A
7 4 Στο διπλνό σχήμ έχουμε:,, κι (i) Ν εκφράσετε συνρτήσει των κι τ δινύσμτ,,, κι (ii) πό τις εκφράσεις των κι ποιο συμπέρσμ προκύπτει γι τ σημεί, κι ; A Ε 5 Στο πρκάτω σχήμ ν ποδείξετε ότι τ σημεί, κι είνι συνευθεικά 3 3 Ε 6 ν 3 A 3, ν ποδείξετε ότι τ σημεί, κι είνι συνευθεικά 7 ν, κι είνι διάμεσοι τριγώνου, ν ποδείξετε ότι 0 8 ν,, είνι τ μέσ των πλευρών,,, ντιστοίχως, τριγώνου, ν ποδείξετε ότι γι οποιοδήποτε σημείο Ο ισχύει: 9 ν κι είνι τ μέσ των διγωνίων κι, ντιστοίχως, ενός τετρπλεύρου, ν ποδείξετε ότι A 4 0 ίνετι το μη μηδενικό διάνυσμ λ κι μ Ν ποδείξετε ότι λ μ κι σημείο τέτοιο ώστε ν ισχύει ίνετι τρίγωνο ν A κ AB λ A κι λ κ ν ποδείξετε ότι //
8 ΟΜΣ Έστω κι δύο μη συγγρμμικά δινύσμτ (i) ν 0, ν δείξετε ότι 0 (ii) ν, ν δείξετε ότι κι (iii) Ν ρείτε γι ποιες τιμές του R τ δινύσμτ u ( ) κι v ( 3) είνι συγγρμμικά Θεωρούμε έν πρλληλόγρμμο κι τ σημεί κι, ώστε AE κ A κι AZ λ AB με κλ 0 ν, ν ποδείξετε ότι τ σημεί κ λ, κι είνι συνευθεικά 3 Ν ποδείξετε ότι ν ισχύουν δύο πό τις σχέσεις KA KB zk 0, A B z 0, z 0, τότε θ ισχύει κι η τρίτη (το σημείο K είνι διφορετικό πό το ) 4 ν, κι r είνι οι δινυσμτικές κτίνες των σημείων, κι κ ντιστοίχως κι, ν ποδείξετε ότι ν το είνι εσωτερικό του, λ λ κ λ κ τότε r, ενώ ν το είνι εξωτερικό του, τότε r λκ λκ Ο Ο r r Μ Μ 5 ίνετι τρίγωνο κι έν σημείο ρίσκουμε τ συμμετρικά, κι του ως προς τ μέσ, κι των πλευρών, κι ντιστοίχως ν G κι G τ ρύκεντρ των τριγώνων κι, ν ποδείξετε ότι τ σημεί, G κι G είνι συνευθεικά 6 ίνετι τετράπλευρο κι έστω κι τ μέσ των διγωνίων του κι ντιστοίχως Ν ποδείξετε ότι ν υτό είνι πρλληλόγρμμο A B 4 MN, τότε το τετράπλευρο
9 7 ν G κι G είνι τ ρύκεντρ δύο τριγώνων κι, ν ποδείξετε ότι A A BB 3G G 8 ίνοντι τ σημεί, κι Ν ποδείξετε ότι γι οποιοδήποτε σημείο το διάνυσμ MA 5MB M 3 είνι στθερό 5 9 Τ σημεί,, κι ενός επιπέδου έχουν δινύσμτ θέσεως,, 5 κι 3 ντιστοίχως, όπου τ δινύσμτ κι είνι μη συγγρμμικά Ν ρείτε το διάνυσμ θέσεως r του σημείου τομής των ευθειών κι Ο r 3 Ε 4 ΣΥΝΤΕΤΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΟ Άξονς Πάνω σε μι ευθεί επιλέγουμε δύο σημεί Ο κι Ι, έτσι ώστε το διάνυσμ OI ν έχει μέτρο κι ν ρίσκετι στην ημιευθεί O Λέμε τότε ότι έχουμε ένν άξον με ρχή το Ο κι μονδιίο διάνυσμ το OI i κι τον συμολίζουμε με Η ημιευθεί O λέγετι θετικός ημιάξονς O, ενώ η O λέγετι ρνητικός ημιάξονς O Ο Ι Μ() ν, τώρ, πάνω στον άξον πάρουμε έν σημείο Μ, επειδή OM // i, θ υπάρχει κριώς ένς πργμτικός ριθμός τέτοιος ώστε OM ι Τον
30
30 ριθμό τον ονομάζουμε τετμημένη του Μ λλά κι ντιστρόφως, πό την ισότητ OM ι προκύπτει ότι σε κάθε πργμτικό ριθμό ντιστοιχεί μονδικό σημείο Μ του άξον με τετμημένη Το σημείο υτό συμολίζετι με () Κρτεσινό Επίπεδο Πάνω σε έν επίπεδο σχεδιάζουμε δύο κάθετους άξονες κι με κοινή ρχή Ο κι μονδιί δινύσμτ τ i κι j Λέμε τότε ότι έχουμε έν ορθοκνονικό σύστημ συντετγμένων στο επίπεδο ή πλούστερ έν σύστημ συντετγμένων στο επίπεδο ή κόμ έν κρτεσινό επίπεδο κι το συμολίζουμε με O Το σύστημ O λέγετι ορθοκνονικό, γιτί είνι ορθογώνιο κι κνονικό Ορθογώνιο είνι, γιτί οι άξονες κι είνι κάθετοι, κι κνονικό, γιτί τ δινύσμτ i κι j είνι ισομήκη Πάνω στο κρτεσινό επίπεδο O πίρνουμε έν σημείο Μ πό το Μ φέρνουμε την πράλληλη στον, που τέμνει τον στο M, κι την πράλληλη στον, που τέμνει τον στο M ν είνι η τετμημένη του M ως προς τον άξον κι η τετμημένη του M ως προς τον άξον, τότε ο λέγετι τετμημένη του Μ κι ο τετγμένη του Μ Η τετμημένη κι η τετγμένη λέγοντι συντετγμένες του Μ Έτσι σε κάθε σημείο Μ του επιπέδου ντιστοιχεί έν ζεύγος συντετγμένων λλά κι ντιστρόφως σε κάθε ζεύγος (, ) πργμτικών ριθμών ντιστοιχεί μονδικό σημείο του επιπέδου, το οποίο ρίσκετι ως εξής: Πάνω στον άξον πίρνουμε το σημείο M ( ) κι στον το σημείο M ( ) πό τ M κι M φέρνουμε πράλληλες στους άξονες κι ντιστοίχως, που τέμνοντι στο Μ Το σημείο Μ είνι το ζητούμενο Έν σημείο Μ με τετμημένη κι τετγμένη συμολίζετι κι με M(, ) ή πλά με (, ) Μ j Ο i Μ(,) Μ Συντετγμένες ινύσμτος
3 Έστω O έν σύστημ συντετγμένων στο επίπεδο κι έν διάνυσμ του επιπέδου Με ρχή το Ο σχεδιάζουμε το διάνυσμ OA ν A κι A είνι οι προολές του στους άξονες κι ντιστοίχως, έχουμε: OA OA OA () ν, είνι οι συντετγμένες του A, τότε ισχύει OA ι κι OA j Επομένως η ισότητ () γράφετι i j ποδείξμε δηλδή ότι το είνι γρμμικός συνδυσμός των i κι i j Στην πρπάνω κτσκευή οι ριθμοί κι είνι μονδικοί Θ ποδείξουμε τώρ ότι κι η έκφρση του ως γρμμικού συνδυσμού των i κι j είνι μονδική Πράγμτι, έστω ότι ισχύει κι i j j Ο A A Τότε θ έχουμε i j i j ( ) i ( ) j ν υποθέσουμε ότι, δηλδή ότι 0, τότε θ ισχύει i j Η σχέση υτή, όμως, δηλώνει ότι i // j, που είνι άτοπο, φού τ i κι j δεν είνι συγγρμμικά Επομένως, που συνεπάγετι ότι κι Ώστε: Κάθε διάνυσμ του επιπέδου γράφετι κτά μονδικό τρόπο στη μορφή i j Τ δινύσμτ i κι j λέγοντι συνιστώσες του δινύσμτος κτά τη διεύθυνση των i κι j ντιστοίχως, ενώ οι ριθμοί, λέγοντι συντετγμένες του στο σύστημ O Πιο συγκεκριμέν, ο λέγετι
3 τετμημένη του κι ο λέγετι τετγμένη του πό τον τρόπο που ορίστηκν οι συντετγμένες ενός δινύσμτος προκύπτει ότι: ύο δινύσμτ είνι ίσ ν κι μόνο ν οι ντίστοιχες συντετγμένες τους είνι ίσες Κθέν πό τ ίσ δινύσμτ με τετμημένη κι τετγμένη, θ το συμολίζουμε με το διτετγμένο ζεύγος (, ) Συντετγμένες ρμμικού Συνδυσμού ινυσμάτων ν γνωρίζουμε τις συντετγμένες δύο δινυσμάτων κι του κρτεσινού επιπέδου, τότε μπορούμε ν ρούμε τις συντετγμένες του θροίσμτος, του γινομένου λ, λ R κι γενικά κάθε γρμμικού συνδυσμού των κι Πράγμτι, ν, ) κι, ), τότε έχουμε: ( ( ( i j) ( i j) ( ) i( ) j i j) ( ) i ( ) j Επομένως ή ισοδύνμ ( (, ) κι (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) ενικότερ, γι το γρμμικό συνδυσμό έχουμε: (, ) (, ) (, ) ι πράδειγμ, ν (, ) κι (, ), τότε (, ) (,) (,), (, ) (, ), (, ) (,) (, ) (, ) (0, 3), κι (, ) (,) (, ) (, ) (, 4)
33 Συντετγμένες Μέσου Τμήμτος ς θεωρήσουμε δύο σημεί (, ) κι (, ) του κρτεσινού επιπέδου κι ς υποθέσουμε ότι (, ) είνι οι συντετγμένες του μέσου Μ του Επειδή OM ( OAOB ), κι OM (, ), OA, ), OB, ), έχουμε ( ( (, ) [(, ) (, )] Επομένως ισχύει, B(, ) Μ(,) A(, ) Ο κι Συντετγμένες ινύσμτος με νωστά Άκρ ς θεωρήσουμε δύο σημεί (, ) κι (, ) του κρτεσινού επιπέδου κι ς υποθέσουμε ότι (, ) είνι οι A(, ) B(, ) συντετγμένες του δινύσμτος AB Επειδή, AB OB OA, AB (, ), OB (, ), κι OA (, ), έχουμε: Ο Επομένως:, ) (, ) (, ) (, ) ( Οι συντετγμένες (, ) του δινύσμτος με άκρ τ σημεί A, ) κι, ) δίνοντι πό τις σχέσεις ( κι (
34 ηλδή τετμημένη του AB τετμημένη του τετμημένη του τετγμένη του AB τετγμένη του τετγμένη του ι πράδειγμ, το διάνυσμ AB με ρχή το (, ) κι πέρς το (3,7) έχει συντετγμένες 3 κι 7 5, δηλδή είνι ίσο με το (,5) Μέτρο ινύσμτος Έστω (, ) έν διάνυσμ του κρτεσινού επιπέδου κι το σημείο με δινυσμτική κτίν OA A(,) ν κι είνι οι προολές του στους άξονες κι ντιστοίχως, επειδή το σημείο έχει τετμημένη κι τετγμένη, θ ισχύει ( ) κι ( ) Έτσι θ έχουμε: Ο A ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Επομένως: ν (, ), τότε () ι πράδειγμ, ν (5,), τότε 5 3 ς θεωρήσουμε τώρ δύο σημεί (, ) κι (, ) του κρτεσινού επιπέδου Επειδή η πόστση ( ) των σημείων κι είνι ίση με το μέτρο του δινύσμτος AB (, ), σύμφων με τον τύπο () θ ισχύει: ) ( ) ( ) ( () Ο A(, ) B(, )
35 Επομένως: Η πόστση των σημείων (, ) κι, ) είνι ίση με ( ) ( ) ( ) ( ι πράδειγμ, η πόστση των σημείων (, 7) κι ( 5, 3) είνι ίση με ( ) (5 ) ( 3 7) 3 4 5 ΕΦΡΜΟΕΣ ν (,) κι (,4) είνι οι δύο κορυφές του πρλληλόγρμμου κι (, 3) το κέντρο του, ν ρεθούν οι συντετγμένες των κορυφών κι ΛΥΣΗ ν (, ) κι (, ) είνι οι δύο άλλες κορυφές του πρλληλόγρμμου, επειδή το Κ είνι το μέσον των κι, έχουμε: Επομένως, ( ) 3 6 7 κι κι 4 3 3 0 A(-,) B(,4) K(, -3) Άρ, οι συντετγμένες των κορυφών κι είνι ( 6, 7) κι (, 3 0) ντιστοίχως Ν ρεθούν οι συντετγμένες του κέντρου άρους G του τριγώνου, ν είνι γνωστές οι συντετγμένες των κορυφών του ΛΥΣΗ ν (, ), (, ), ( 3, 3 ) είνι οι συντετγμένες των κορυφών,, ντιστοίχως κι (, ) A(, ) G(,) ( 3, 3 )
36 (, ) είνι οι συντετγμένες του κέντρου άρους του, επειδή G G G 0 (Εφρμ 3), θ έχουμε:, ) (, ) ( 3, ) (0,0) 3, 3) (0,0) ( 3 ( 3 3 3 3 0 3 3 κι 0 Άρ 3 3, 3 3 Συνθήκη Πρλληλίς ινυσμάτων Έστω (, ) κι (, ) δύο δινύσμτ του κρτεσινού επιπέδου ν τ δινύσμτ είνι πράλληλ κι υποθέσουμε ότι 0, τότε θ υπάρχει R, τέτοιος, ώστε Επομένως, θ έχουμε (, ) (, ) λ ή ισοδύνμ: κι, οπότε θ ισχύει 0 ή ισοδύνμ 0 ν 0, τότε θ ισχύει 0 0 0 είξμε δηλδή ότι ν τ δινύσμτ κι είνι πράλληλ, τότε 0 ντιστρόφως, ν 0, τότε τ δινύσμτ κι θ είνι πράλληλ Πράγμτι, επειδή 0, έχουμε Επομένως, ν 0, τότε, οπότε, ν θέσουμε, θ έχουμε κι
37 Άρ, κι συνεπώς //
37 ν 0, τότε 0, οπότε ν 0, τ δινύσμτ κι θ είνι πράλληλ προς τον άξον των τετγμένων, άρ κι μετξύ τους πράλληλ, ενώ, ν 0, τότε το θ είνι το μηδενικό διάνυσμ κι άρ, πράλληλο προς το ποδείξμε λοιπόν ότι Την ορίζουσ // 0 (), που έχει ως η τη γρμμή τις συντετγμένες του δινύσμτος κι ως η γρμμή τις συντετγμένες του δινύσμτος, τη λέμε ορίζουσ των δινυσμάτων κι (με τη σειρά που δίνοντι) κι θ τη συμολίζουμε με det(, ) Έτσι, η πρπάνω ισοδυνμί διτυπώνετι ως εξής: // det(, ) 0 ι πράδειγμ: (, 3 3 ) είνι πράλληλ, φού Τ δινύσμτ ( 3, ) κι 3 det(, ) 330, ενώ 3 3 Τ δινύσμτ ( 3, ) κι (, ) δεν είνι πράλληλ, φού 3 det(, ) 4370 Συντελεστής ιεύθυνσης ινύσμτος Έστω (, ) έν μη μηδενικό διάνυσμ κι A το σημείο του επιπέδου γι το οποίο ισχύει OA Τη γωνί φ, που διγράφει ο ημιάξονς O ν στρφεί γύρω πό το Ο κτά τη θετική φορά μέχρι ν συμπέσει με την ημιευθεί Ο, την ονομάζουμε γωνί που σχημτίζει το διάνυσμ με τον άξον Είνι φνερό ότι A(,) Ο φ 0 φπ
38 ι τη γωνί φ, όπως είνι γνωστό πό την Τριγωνομετρί, ν το δεν είνι πράλληλο προς τον άξον, ισχύει εφ φ Το πηλίκο της τετγμένης προς την τετμημένη του δινύσμτος (, ), με 0, το λέμε συντελεστή διεύθυνσης του κι τον συμολίζουμε με ή πλώς με λ Επομένως: λ εφφ Είνι φνερό ότι ν 0, δηλδή ν //, τότε ο συντελεστής διεύθυνσης του δινύσμτος είνι ο 0 ν 0, δηλδή ν //, τότε δεν ορίζετι συντελεστής διεύθυνσης του δινύσμτος ς θεωρήσουμε τώρ δύο δινύσμτ (, ) κι (, ) συντελεστές διεύθυνσης κι ντιστοίχως Τότε έχουμε τις ισοδυνμίες: // 0 λ λ Επομένως, η συνθήκη πρλληλίς γι δύο δινύσμτ συντελεστές διεύθυνσης λ κι λ διτυπώνετι ως εξής: // λ λ κι με με ΕΦΡΜΟΗ Ν ρεθούν οι τιμές του μ R γι τις οποίες τ σημεί (,0), ( μ,3) κι ( 5μ,9) είνι συνευθεικά ΛΥΣΗ Τ σημεί,, είνι συνευθεικά, ν κι μόνο ν τ δινύσμτ AB ( μ, 3) κι A ( 5μ, 9) είνι πράλληλ, δηλδή, ν κι μόνο ν, A ) 0 det( AB
39 Έχουμε λοιπόν μ det( AB, A ) 0 5μ 3 0 9 9μ 95μ30 3μ 5μ0 μ ή μ 3 ΣΚΗΣΕΙΣ ΟΜΣ Ποι είνι η θέση στο κρτεσινό επίπεδο των σημείων M (, ) γι τ οποί ισχύει: (i) (ii) (iii) (iv) Ν ρείτε τις ποστάσεις των πρκάτω σημείων πό τους άξονες κι : (,), (3,4), ( 5, 6), (, ), M (, ) 3 ίνετι το διάνυσμ ( λ 4, λ 3λ), λr ι ποι τιμή του είνι: (i) 0 ; (ii) 0 κι // ; 4 ίνοντι τ δινύσμτ ( λ 3λ, λ 3λ) κι ( λ 5λ6, 3λ 7λ) Ν ρείτε το λ R, ώστε ν είνι 5 Ν ρείτε τον πργμτικό ριθμό, ώστε τ δινύσμτ (,) κι ( 4, ) είνι ομόρροπ ν 6 ν u (3,4), ποιο διάνυσμ είνι συγγρμμικό με το u κι έχει διπλάσιο μέτρο πό το u ;
40 7 Στο διπλνό σύστημ συντετγμένων είνι i κι j Ν εκφράσετε ως συνάρτηση την i κι j : ) Τ δινύσμτ θέσεως των σημείων,,,, κι ) Τ δινύσμτ,,,, j Ζ Ε Θ Η Κ, κι Ο i 8 ίνοντι τ σημεί (,6) κι ( 9, ) Ν ρείτε (i) Το σημείο του άξον που ισπέχει πό τ κι (ii) Το σημείο του άξον που ισπέχει πό τ κι ΟΜΣ 3 5 7 5 3 κι, είνι τ μέσ των πλευρών,,, κι, ντιστοίχως, του πεντγώνου, ν ρεθούν οι συντετγμένες των κορυφών του πεντγώνου ν τ σημεί,, 3,, 4,, 3, Σε έν σύστημ συντετγμένων οι τετμημένες δύο σημείων κι είνι οι ρίζες της εξίσωσης ( λ 4λ3) 7 0 Ν ρείτε την τιμή του λ R, ώστε το μέσον του τμήμτος ν έχει τετμημένη ίση με 4 3 ίνοντι τ σημεί ( κ, λ ), ( κ, λ ), 3 ( κ3, λ3 ) κι 4( κ4, λ4 ) Ν εξετάσετε πότε τ σημεί υτά είνι τ μέσ των διδοχικών πλευρών τετρπλεύρου 4 ι οποιουσδήποτε πργμτικούς ριθμούς,,,,, ν ποδείξετε ότι: ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 5 ίνοντι δύο μη συγγρμμικά δινύσμτ κι ενός επιπέδου Ν ποδείξετε ότι οποιοδήποτε διάνυσμ r του επιπέδου υτού μπορεί ν εκφρστεί ως γρμμικός συνδυσμός των κι κτά μονδικό τρόπο
4 5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΙΝΟΜΕΝΟ ΙΝΥΣΜΤΩΝ νωρίζουμε ότι το έργο που πράγετι πό μι δύνμη F ότν μεττοπίζει το σημείο εφρμογής της πό το Ο στο είνι ίσο με το γινόμενο F ( ) συνφ Το γινόμενο υτό συμολίζετι με FOA κι λέγετι εσωτερικό γινόμενο της δύνμης F με το διάνυσμ OA ενικότερ, έχουμε τον κόλουθο ορισμό: F φ Ο A ΟΡΙΣΜΟΣ Ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο δύο μη μηδενικών δινυσμάτων κι κι το συμολίζουμε με τον πργμτικό ριθμό συνφ, όπου φ η γωνί των δινυσμάτων κι ν 0 ή 0, τότε ορίζουμε 0 ι πράδειγμ, το εσωτερικό γινόμενο δύο δινυσμάτων κι με 3, π 8 κι φ είνι 3 π 38συν 38 3 Άμεσες συνέπειες του πρπάνω ορισμού είνι οι εξής: (ντιμετθετική ιδιότητ) ν τότε 0 κι ντιστρόφως ν τότε κι ντιστρόφως ν τότε κι ντιστρόφως Το εσωτερικό γινόμενο Έχουμε: συν0 Επομένως κι λέγετι τετράγωνο του
4 Ειδικότερ, γι τ μονδιί δινύσμτ i κι j του κρτεσινού επίπεδου ισχύουν: i j ji 0 κι i j νλυτική Έκφρση Εσωτερικού ινομένου Θ δούμε τώρ πώς μπορούμε ν εκφράσουμε το εσωτερικό γινόμενο δύο δινυσμάτων (, ) κι (, ) συνρτήσει των συντετγμένων τους Με ρχή το Ο πίρνουμε τ δινύσμτ OA κι OB πό το νόμο των συνημιτόνων στο τρίγωνο Ο έχουμε την ισότητ (, ) θ Ο (, ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) συν, η οποί ισχύει κι στην περίπτωση που τ σημεί Ο,, είνι συνευθεικά Όμως είνι ( ) ( ) ( ), ( ) Επομένως, έχουμε διδοχικά: ( ) ( ) κι ( ) ( )( ) συν ( )( ) συν κι επειδή ( )( ) συν, έχουμε τελικά: ηλδή: Το εσωτερικό γινόμενο δύο δινυσμάτων είνι ίσο με το άθροισμ των γινομένων των ομώνυμων συντετγμένων τους ι πράδειγμ, το εσωτερικό γινόμενο των ( 34, ) κι (, ) είνι: ( 3) 4( ) 0 Με τη οήθει της νλυτικής έκφρσης του εσωτερικού γινομένου θ ποδείξουμε ότι ισχύουν οι επόμενες ιδιότητες:
43 λ ( λ ) λ( ), λr ( γ ) γ (Επιμεριστική Ιδιότητ) λ λ όπου λ λ κι λ λ, (, // ) Πράγμτι, ν (, ), (, ) κι ( 3, 3 ), τότε έχουμε: ( ) (, )(, ) ( ) ( ) ( ) ( ) κι ( ) (, )(, ) ( ) ( ) ( ) ( ) Άρ, ( ) ( ) ( ) ( ) (, )(, ) ( ) ( ) 3 3 3 3 ( 3) ( 3) ( ) ( 3 3 ) 0 0 λ λ Συνημίτονο ωνίς δύο ινυσμάτων ν (, ) κι (, ) είνι δύο μη μηδενικά δινύσμτ του επιπέδου που σχημτίζουν γωνί θ, τότε κι επομένως, συνθ Είνι όμως, κι Επομένως, συνθ ι πράδειγμ, ν θ είνι η γωνί των δινυσμάτων (,) κι (,) 3, τότε: συνθ 3 3 5 5 0, οπότε 4
44 ΕΦΡΜΟΕΣ ν ), ( κι ), (, ν ποδειχτεί ότι: (i) (ii) ) ( Πότε ισχύουν οι ισότητες; ΠΟΕΙΞΗ (i) ν είνι η γωνί των δινυσμάτων κι, τότε έχουμε: συν συν θ θ Η ισότητ ισχύει μόνο, ν συνθ, δηλδή, μόνο ν // (ii) Επίσης, έχουμε ) ( ) ( Η ισότητ ισχύει, όπως κι προηγουμένως, μόνο ότν // Έστω δύο δινύσμτ κι που έχουν μέτρ 3, κι σχημτίζουν γωνί 6 π φ Ν ρεθεί η γωνί των δινυσμάτων κι ΛΥΣΗ ν θ είνι η γωνί των κι, τότε συν θ ρκεί, επομένως, ν υπολογίσουμε το κι τ μέτρ των, Έχουμε λοιπόν 3 ) )( ( ) ( φ συν 7 3 3 3 ) ( φ συν 3 3 3 Άρ, 7 7 7 συν θ, οπότε 0 4 θ
45 3 Ν ποδειχτεί ότι συν( ) συνσυν ημημ, όπου 0 π ΠΟΕΙΞΗ ν στον τριγωνομετρικό κύκλο τ δινύσμτ OA κι OB σχημτίζουν με τον άξον ντιστοίχως, τότε θ είνι OB ( συν,ημ) γωνίες κι OA ( συν,ημ) κι Ο - Επομένως, θ έχουμε: OAOB OA OB συν( ) συν( ) συν( ) κι OA OB( συν,ημ)(συν,ημ) συνσυν ημημ Άρ, συν( ) συνσυν ημημ Προολή ινύσμτος σε ιάνυσμ Έστω, v δύο δινύσμτ του επιπέδου με 0 Με ρχή έν σημείο Ο πίρνουμε τ δινύσμτ OA κι OM ν πό το Μ φέρνουμε κάθετο στη διεύθυνση του OA κι έστω M το ίχνος της M κθέτου Το διάνυσμ OM λέγετι προολή του ν στο κι συμολίζετι με προ ν ηλδή, OM προ ν ποδεικνύετι ότι η προολή του ν πάνω στο είνι νεξάρτητη πό την επιλογή του σημείου Ο ι το εσωτερικό γινόμενο των κι ν έχουμε: v ( OM προ ν M M ) OM M M OM Ο v θ M A Επομένως: ν προ ν
46 ΕΦΡΜΟΕΣ Ν ρεθεί η προολή του δινύσμτος v πάνω στο διάνυσμ, ν, v 3 κι η γωνί των δινυσμάτων κι v π είνι ίση με φ 6 ΛΥΣΗ Έστω v προν Τότε θ ισχύει v λ Επειδή v προ v, έχουμε: v v v λ v λ vσυνφ λ Άρ, v 3 3 3 λ λ 3 ίνοντι τ δινύμτ (3,) κι ν (,) Ν νλυθεί το ν σε δύο κάθετες συνιστώσες, πό τις οποίες η μί ν είνι πράλληλη στο ΛΥΣΗ Έστω ε η ευθεί η κάθετη στη διεύθυνση του πό το πέρς Μ του ν φέρνουμε τις κάθετες κι στη διεύθυνση του κι στην ε ντιστοίχως κι έστω ν κι ν Έχουμε v v ν ν ν () M Το διάνυσμ ν είνι η προολή του ν στο Ο κι επειδή ν //, υπάρχει λ R, τέτοιο ώστε προ ν λ (3λ, λ) Όμως ν ν προ κι επομένως έχουμε διδοχικά: ε M v M ( 3,) (,) (3,) (3λ, λ) 3 33λ λ 5 0λ λ
47 Συνεπώς, 3 ν (3,), κι v ΣΚΗΣΕΙΣ v v 3 3 (,),, ν (,3) κι (,5), τότε (i) Ν ρείτε τ εσωτερικά γινόμεν ΟΜΣ, ( ) ( 3 ) κι ( ) (3 ) (ii) Ν ρείτε τη σχέση που συνδέει τους κ, λr, ώστε το εσωτερικό γινόμενο των δινυσμάτων u ( κ, λ) κι ν είνι ίσο με μηδέν Ποι η σχέση όλων των δινυσμάτων u στην περίπτωση υτή; ν u (,), v (4,) κι w (6,0), ν υπολογίσετε τις πρστάσεις: u ( 7v w), u( v w), ( u v) w κι ( u v)w 3 ν (,0 ) κι (, ), ν ρείτε τον λ R, ώστε: (i) Τ δινύσμτ κι λ ν είνι κάθετ (ii) Τ δινύσμτ κι λ ν είνι κάθετ 4 Ν ρείτε τ δινύσμτ που είνι κάθετ στο u ( 3, ) κι έχουν μέτρο ίσο με 5 ν, π 3 κι (, ), ν υπολογίσετε τον κ R, ώστε τ δινύσμτ 3 u 3 κι v κ ν είνι κάθετ 6 ν (κ,) κι (4,3), ν ρείτε τον κ R ώστε ν ισχύει: (i) π 0 (ii) (, ) (iii) // 4 π 7 ν κι (, ), ν υπολογίσετε τη γωνί των δινυσμάτων 3 u 4 κι v 8 ν τ δινύσμτ κι είνι μη μηδενικά, ν ποδείξετε ότι: ( ) συν 9 Ν ποδείξετε ότι τ δινύσμτ u κι v είνι κάθετ
48 0 Ν ποδείξετε ότι γι δύο μη μηδενικά δινύσμτ κι, το διάνυσμ v ( ) είνι κάθετο στο ίνοντι τ σημεί ( 3, ), (6, 4), (,5 ) κι (,) Ν υπολογίσετε (i) Το εσωτερικό γινόμενο (ii) Τι συμπερίνετε γι τ δινύσμτ κι ; ίνοντι τ δινύσμτ (, 4) κι (8,5) Ν νλύσετε το σε δύο κάθετες συνιστώσες, πό τις οποίες η μί ν είνι πράλληλη προς το 3 Ν υπολογίσετε τ μήκη των διγωνίων ενός πρλληλογράμμου που κτσκευάζετι με τ δινύσμτ 5 κι 3, ν, 3 κι 0 (, ) 45 4 ι τ δινύσμτ του διπλνού σχήμτος ν υπολογίσετε την πράστση 5 Ν εξετάσετε πότε ισχύει: (i) (ii) ΟΜΣ Τ δινύσμτ κι είνι μη μηδενικά κι μη συγγρμμικά Ν ποδείξετε ότι γι όλους τους πργμτικούς ριθμούς λ κι μ ισχύει: λ λμ( ) μ 0 Πότε ισχύει το ""; Ν ποδείξετε ότι: (i) u v u v u v (iii) u v u v u v 4 4 3 ίνοντι τ μη μηδενικά κι μη συγγρμμικά δινύσμτ κι Ν ποδείξετε ότι:
49 (i) Ο φορές του δινύσμτος κι (ii) Ο φορές του δινύσμτος των δινυσμάτων κι u διχοτομεί τη γωνί των δινυσμάτων v διχοτομεί την πρπληρωμτική γωνί 4 ν,, γ 3 κι γ 0, ν υπολογίσετε το άθροισμ γ γ 5 ν τ δινύσμτ ( κ, λ) κι ( μ, ν ) μονάδ, ν δείξετε ότι ( κν λμ) είνι κάθετ κι έχουν μέτρ ίσ με τη γ δ 6 Ν ποδείξετε ότι γ δ 7 Σε ημικύκλιο με διάμετρο κι κέντρου πίρνουμε σημείο (i) Ν εκφράσετε τ δινύσμτ συνάρτηση των κι κι MB ως (ii) Ν ρείτε το γινόμενο Τι Ο συμπερίνετε γι τη γωνί των δινυσμάτων κι ; Ποι πρότση της Ευκλείδεις εωμετρίς έχει ποδειχτεί; Μ 8 Σε τρίγωνο τ δύο ύψη του κι τέμνοντι στο Έστω, κι γ Ζ Η (i) Ν εκφράσετε τ δινύσμτ, A κι B ως συνάρτηση των, κι γ (ii) Ν ποδείξετε ότι γ γ κι γ (iii) πό το προηγούμενο ερώτημ προκύπτει ότι γ Ε Με τη οήθει της ισότητς υτής ν δείξετε ότι Ευκλείδεις εωμετρίς έχει ποδειχτεί; AH B Ποι πρότση της
50 9 ίνετι τρίγωνο κι εξωτερικώς υτού κτσκευάζουμε τ τετράγων κι Ν εκφράσετε τ δινύσμτ κι ως συνάρτηση των,,, κι ν υπολογίσετε το εσωτερικό γινόμενο Τι συμπερίνετε γι τ τμήμτ κι ; Ε Ζ B A Θ Η 0 ίνετι πρλληλόγρμμο κι κύκλος κέντρου που διέρχετι πό την κορυφή κι τέμνει τις ευθείες, κι στ, κι ντιστοίχως Ν ποδείξετε ότι B B O A ίνετι κύκλος ( O, R) κι σημείο του επιπέδου του ν μετλητή ευθεί που διέρχετι πό το τέμνει τον κύκλο στ κι, ν ποδείξετε ότι το γινόμενο είνι στθερό (Το γινόμενο υτό λέγετι δύνμη του σημείου ως προς τον κύκλο ) ΕΝΙΚΕΣ ΣΚΗΣΕΙΣ ν υπάρχουν πργμτικοί ριθμοί,, με 0, τέτοιοι, ώστε ν ποδείξετε ότι τ σημεί κ λ μ 0 κι κ λ μ 0,, κι είνι συνευθεικά κι ντιστρόφως ν γι το σημείο του επιπέδου ενός τριγώνου ισχύουν οι σχέσεις λ μ κι λ μ, ν ποδείξετε ότι το είνι το μέσον της πλευράς 3 Έστω κι δύο στθερά σημεί του επιπέδου με 3 Ποι γρμμή 7 γράφουν τ σημεί του επιπέδου γι τ οποί είνι ( ) ;
5 4 ίνοντι δύο μη μηδενικά δινύσμτ κι ν υπάρχει R, τέτοιος, ώστε, ν ποδείξετε ότι το εμδόν του πρλληλόγρμμου με κι είνι μικρότερο ή ίσο του 5 Έστω το περίκεντρο τριγώνου (δηλδή το σημείο γι το οποίο ισχύει ), κι έστω,, κι τ δινύσμτ θέσεως των κορυφών, κι ντιστοίχως με σημείο νφοράς το (i) Ν δείξετε ότι το σημείο με διάνυσμ θέσεως γ είνι το ορθόκεντρο του τριγώνου (ii) Ν ρείτε το διάνυσμ θέσεως του ρύκεντρου του τριγώνου με σημείο νφοράς το (iii) Ν ποδείξετε ότι το περίκεντρο, το ρύκεντρο G κι το ορθόκεντρο ενός τριγώνου είνι συνευθεικά σημεί κι ότι G διιρεί το τμήμ σε λόγο 6 Τ δινύσμτ,, κι του επιπέδου ικνοποιούν τη σχέση ( ) (i) Ν ποδείξετε ότι ( )( ) (ii) ν, ν εκφράσετε το διάνυσμ ως συνάρτηση των, κι 7 Τετρπλεύρου οι πλευρές κι τέμνοντι στο Ε κι οι πλευρές κι τέμνοντι στο Ζ ν, κ B κι, λ, τότε (i) Ν εκφράσετε ως συνάρτηση των A Κ,, κι τις δινυσμτικές κτίνες Λ ως προς το των σημείων, κι Ε, που είνι μέσ των, κι ντιστοίχως (ii) Ν δείξετε ότι τ σημεί, κι M είνι συνευθεικά Ζ 8 ίνετι τρίγωνο κι τ σημεί, κι των πλευρών του, κι ντιστοίχως, ώστε ν ισχύει τρίγων κι έχουν το ίδιο ρύκεντρο μ ν Ν ποδείξετε ότι τ
5 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΤΝΟΗΣΗΣ ίνετι ότι το τετράπλευρο είνι ρόμος Κθεμί πό τις πρκάτω ισότητες είνι σωστή ή λάθος ν είνι σωστή, κυκλώστε το γράμμ Σ, ν είνι λάθος κυκλώστε το Λ (i) Σ Λ (ii) Σ Λ (iii) Σ Λ (iv) Σ Λ (v) Σ Λ (vi) Σ Λ ν κι είνι τέσσερ σημεί, ν συμπληρώσετε τις ισότητες: (i) (ii) (iii) (iv) (v) (vi) A B (vii) (viii) (i) AB 3 ν O είνι το σημείο τομής των διγωνίων του πρλληλόγρμμου, ν συμπληρώσετε τις ισότητες: (i) (ii) (iv) (v) (iii) 4 ι τ δινύσμτ του διπλνού σχήμτος ν άλετε σε κύκλο τη σωστή πάντηση Μ i) AM MB AN NB ii) AM MB AN NB iii) AM MB AN NB Ν
53 5 Σε έν σύστημ συντετγμένων στο επίπεδο δίνετι το σημείο ( 3, ) Ν συμπληρώσετε τις ισότητες: (i) Συμμετρικό του ως προς τον : (,) (ii) Συμμετρικό του ως προς τον : (,) (iii) Συμμετρικό του ως προς την ρχή O: 3(,) (iv) Συμμετρικό του ως προς τη διχοτόμο της O : 4 (,) 6 ίνοντι τ σημεί ( 3,), (6,5), ( 4, ), (3, 3) κι ( 3,5) Ν συνδέσετε με μι γρμμή κάθε διάνυσμ της πρώτης στήλης με τις συντετγμένες του στη δεύτερη στήλη ιάνυσμ Συντετγμένες δινύσμτος ( 0, 4) ( 3,4) ( 7,3) ( 6,4) ( 9,0) 7 ίνοντι τ σημεί ( 3,), ( 4,5), ( 3, ), (3, 4) Ν συνδέσετε με μι γρμμή κάθε τμήμ της πρώτης στήλης με τις συντετγμένες του μέσου του στη δεύτερη στήλη Τμήμ Συντετγμένες μέσου ( 0,0) 7, 7 3, ( 0, 3) 8 Ν άλετε σε κύκλο τον ριθμό που ντιστοιχεί στη σωστή πάντηση (i) ίνετι το διάνυσμ ( 3, ) κι τ σημεί ( 4, ), (,7), (0,3) κι (,5) Ποιο πό τ δινύσμτ είνι ίσο με το : 3 4 5
54 (ii) ίνετι το διάνυσμ ( 3, ) Ποιο πό τ δινύσμτ είνι πράλληλο με το : (8,4) γ ( 4, ) 3 δ (6,3) 9 ίνοντι τετράγωνο με κέντρο κι πλευρά Ν ρείτε ως συνάρτηση του τ εσωτερικά γινόμεν: (i) (iv) (ii) (v) (iii) (vi) 0 Τ δινύσμτ u κι v έχουν μέτρ κι 3 ντιστοίχως Ν ρείτε το γινόμενο u v, ν η γωνί των δινυσμάτων υτών είνι: i) 0 0 0 0 0 ii) 30 iii) 60 iv) 90 v) 0 0 vi) 0 50 vii) 0 80 Ν άλετε σε κύκλο τη σωστή πάντηση: ν u v uw κι 0 u, τότε v w v // w u v w u v w Ν συνδέσετε με μι γρμμή κάθε ζεύγος δινυσμάτων της πρώτης στήλης με το είδος της γωνίς τους που νφέροντι στη δεύτερη στήλη ινύσμτ u ( 7,5), v (,) u ( 3,4), v (, ) 3 u ( 3,5), v (6,0) 4 u ( 0, ), v ( 5,4) 5 u (,3), v (3,) 6 u ( κ, λ), v ( λ, κ) ωνί ορθή οξεί μλεί 3 ι τ δινύσμτ του πρκάτω σχήμτος ν άλετε σε κύκλο τη σωστή πάντηση: (i) ABA ABA (ii) ABA ABA (iii) ABA ABA O B