Α Μέρος ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 1. (3.6 μονάδες) (α). Δίνεται η εξίσωση: = 8. Αν το ελαττωθεί από την τιμή = κατά 1%, να εκτιμηθεί η αντίστοιχη ποσοστιαία μεταβολή στην τιμή του. (β). Να διαπιστωθεί ότι η συνάρτηση f() = είναι κοίλη, και να βρεθεί η μέγιστη τιμή της. (γ). Να σκιαγραφηθεί και να υπολογιστεί το εμβαδό της περιοχής μεταξύ του γραφήματος της 1 συνάρτησης f() = min{, } για 0, και του άξονα. (δ). Να βρεθεί η λύση της διαφορικής εξίσωσης = με αρχική τιμή: (0) =.. (3 μονάδες) (α). Οι εξισώσεις: {= v, + = } ορίζουν πλεγμένα τα {,} ώς συναρτήσεις των {v,}. Να βρεθεί η μερική παράγωγος του ως πρός v χρησιμοποιώντας τους τύπους πλεγμένης παραγώγισης. (β). Η συνάρτηση f(,) είναι αύξουσα και φθίνουσα. Να σκιαγραφηθεί μια ισοσταθμική και ένα διάνυσματα κλίσης. (γ). Να διαπιστωθεί ότι η συνάρτηση f(, ) = + είναι ομογενής φθίνουσας απόδοσης κλίμακας, και να επαληθευτεί η εξίσωση Euler. (δ). Θεωρούμε τη συνάρτηση f(, ) = + 4. Να βρεθεί το στάσιμο σημείο της και να διερευνηθεί αν είναι ακρότατο ως προς μεταβολές: (i) μόνο του, (ii) μόνο του, (iii) και του και του. Β Μέρος 3.(1. μονάδες) Χρησιμοποιώντας εργασία L, μια επιχείρηση έχει παραγωγή Q= ln(1+ L), με κόστος C= L. Η παραγωγή διατίθεται στην αγορά με τιμή μονάδος: p= 1. Η επιχείρηση λειτουργεί μεγιστοποιώντας το κέρδος, μόνο εφόσον είναι θετικό. Να βρεθούν τα παρακάτω: (α) Η συνθήκη υπό την οποία θα υπάρξει παραγωγή. (β) Το κέρδος π ως συνάρτηση του μοναδιαίου κόστους εργασίας:. Να διερευνηθούν οι ιδιότητες μονοτονίας και κυρτότητας αυτής της συνάρτησης και να γίνει το γράφημά της. 4.(1. μονάδες) Μιά επιχείρηση παράγει δύο προιόντα σε ποσότητες {,}, με κόστος C= +, και έσοδο R= v+, όπου {v> 0, > 0} είναι οι μοναδιαίες τιμές τους. Η επιχείρηση λειτουργεί με περιορισμό στο κόστος: C= 1, μεγιστοποιώντας το έσοδο. (α) Να γίνει το γράφημα της καμπύλης ισοκόστους: C= 1, καθώς και το γράφημα των ισοσταθμικών της συνάρτησης εσόδων R, στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων. (β) Να διαπιστωθεί ότι αν ικανοποιείται η συνθήκη v< τότε παράγονται αμφότερα τα προιόντα. Σαυτή την περίπτωση να υπολογιστεί το έσοδο ως συνάρτηση των μοναδιαίων τιμών (v,) και να διαπιστωθεί ότι είναι ομογενής σταθερής απόδοσης κλίμακας. Τι συμβαίνει αν δεν ικανοποιείται η συνθήκη; (γ) Να εκτιμηθεί η μεταβολή του εσόδου που υπολογίστηκε στο (β) αν το επιτρεπτό κόστος αυξηθεί από την τιμή C= 1, κατά ΔC= 0.1 (δ) Πώς θα αλλάξουν τα παραπάνω αν η επιχείρηση λειτουργεί με τον ίδιο περιορισμό στο κόστος: C= 1, αλλά μεγιστοποιώντας το κέρδος;
Α Μέρος ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1. Λύσεις 1. (4 μονάδες) (α). Δίνεται η εξίσωση: = 8. Αν το ελαττωθεί από την τιμή = κατα 1%, να εκτιμηθεί η αντίστοιχη ποσοστιαία μεταβολή στην τιμή του. Λύση. Υπολογίζουμε την ελαστικότητα: =, = 8 = 4, ' = = 4 ε= '/ = ( 4) / 4=. Επομένως %d= ε(%d) = ( 1) = %, δηλαδή το αυξάνει κατά %. (β). Να διαπιστωθεί ότι η συνάρτηση f() = είναι κοίλη, και να βρεθεί η μέγιστη τιμή της. Λύση. Είναι κοίλη ως άθροισμα της γνήσιας κοίλης: και της γραμμικής κοίλης:. Εξάλλου η δεύτερη παράγωγος είναι αρνητική: 1/ 3 / f '() = 1, f ''() = / < 0. 1 Το στάσιμό της, αν υπάρχει, θα είναι μέγιστο: f '() = 1= 0 = 1. Επομένως f = f( ) = 1 1 = 1 είναι η μέγιστη τιμή της συνάρτησης. (γ). Να σκιαγραφηθεί και να υπολογιστεί το εμβαδό της περιοχής μεταξύ του γραφήματος της 1 συνάρτησης f() = min{, } για 0, και του άξονα. αν 0 1 Λύση. f() = 1 αν 1 + 1 + 1 f()d = d + d =+ 0 0 1 διότι το δεύτερο ολοκλήρωμα δεν συγκλίνει (δ). Να βρεθεί η λύση της διαφορικής εξίσωσης = με αρχική τιμή: (0) = Λύση. Είναι γραμμική αυτόνομη με συντελεστή α= 1, και σταθερή τιμή = 0 =, ίση με την αρχική. Επομένως η λύση θα είναι η σταθερή:.. (4 μονάδες) (α). Οι εξισώσεις: {= v, + = } ορίζουν πλεγμένα τα {,} ως συναρτήσεις των {v,}. Να βρεθεί η μερική παράγωγος του ως προς v χρησιμοποιώντας τους τύπους πλεγμένης παραγώγισης. f(,,v,) = v Λύση. g(,,v,) = + (f,g) f = f = = =, (,) g = 1 g = (f,g) fv = 1 f = = = (v,) g = 0 g = (f,g) (f,g) Επομένως = / = = : είναι η ζητούμενη μερική παράγωγος v (v, ) (, ) + σε πλεγμένη μορφή. (β). Μια συνάρτηση f(,) είναι αύξουσα και φθίνουσα. Να σκιαγραφηθεί μια ισοσταθμική και ένα διάνυσμα κλίσης. Λύση. Εχουμε f > 0 και f < 0. Επομένως: f = c Η ισοσταθμική έχει θετική κλίση: d ( + )f d ( )f v = > Το διάνυσμα κλισης gradf = (f,f ) δείχνει προς τα κάτω δεξιά 0 gradf
(γ). Να διαπιστωθεί ότι η συνάρτηση f(,) = + είναι ομογενής φθίνουσας απόδοσης κλίμακας, και να επαληθευτεί η εξίσωση Euler. 1/ Λύση. f(t, t) = t+ t = t + = t f(, ) Είναι ομογενής βαθμού: κ= 1/ < 1. Επαληθεύεται και η εξίσωση Euler: 1 + 1 f + f = + = = + = κf : + + + (δ). Θεωρούμε τη συνάρτηση f(, ) = + 4. Να βρεθεί το στάσιμο σημείο της και να διερευνηθεί αν είναι ακρότατο ως προς μεταβολές: (i) μόνο του, (ii) μόνο του, (iii) και του και του : Λύση. Στάσιμο: {f = 4= 0, f = 4= 0} { = 0, = 0}, με (ι) f = > 0 ελάχιστο ως προς μεταβολές μόνο του, (ιι) f = > 0 ελάχιστο ως προς μεταβολές μόνο του, (ιιι) f = 4 και Δ= ff f = ( 4) = 1< 0 σαγματικό και επομένως όχι ακρότατο ως προς μεταβολές και του και του Β Μέρος 3.(1 μονάδες) Χρησιμοποιώντας εργασία L, μια επιχείρηση παράγει ένα προιόν σε ποσότητα: Q= ln(1+ L), με κόστος: C= L. Το προιόν διατίθεται στην αγορά με τιμή μονάδος: p= 1. Η επιχείρηση λειτουργεί μεγιστοποιώντας το κέρδος, μόνο εφόσον είναι θετικό. Να βρεθούν τα παρακάτω: (α) Η συνθήκη υπό την οποία θα υπάρξει παραγωγή. (β) Το κέρδος π ως συνάρτηση του μοναδιαίου κόστους εργασίας. Να διερευνηθούν οι ιδιότητες μονοτονίας και κυρτότητας αυτής της συνάρτησης και να γίνει το γράφημά της. Λύση. (α) Το κέρδος: Π= pq C= ln(1+ L) L, είναι κοίλη συνάρτηση του L. Επομένως έχει μέγιστο στο στάσιμο: C : = Π' = = 0 L = 1, αν αυτό 1+ L pq είναι θετικό, αλλοιώς στο άκρο: L = 0 Παραγωγή θα υπάρξει μόνο αν ικανοποιείται L η συνθήκη: L = 1> 0 < Αντίθετα αν, τότε η λύση είναι ακραία: L = 0, και δεν έχουμε παραγωγή. (β) Αν, τότε το κέρδος είναι: π= 0. Αν <, τότε το κέρδος είναι: π ln(1 L = + ) L = ln( ) ( ) = ln ln + με π '() = + 1< 0, και π ''() = > 0 Στο = συμπιπτουν οι τιμές και οι παράγωγοι. Συμπεραίνουμε ότι η συνάρτηση κέρδους είναι φθίνουσα κυρτή, γνήσια μέχρι το = και μετά σταθερή στο 0.
4.(1 μονάδες) Μία επιχείρηση παράγει δύο προιόντα σε ποσότητες {,}, με κόστος C= +, και έσοδο R= v+, όπου {v> 0, > 0} είναι οι μοναδιαίες τιμές τους. Η επιχείρηση λειτουργεί με περιορισμό στο συνολικό κόστος: C= 1, μεγιστοποιώντας το έσοδο. (α) Να γίνει το γράφημα της καμπύλης C= 1, και το γράφημα των ισοσταθμικών της συνάρτησης εσόδου R, στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων. (β) Να διατυπωθεί συνθήκη ώστε να παράγονται αμφότερα τα προιόντα. Σαυτή την περίπτωση να υπολογιστεί το έσοδο ως συνάρτηση των μοναδιαίων τιμών (u,v) και να διαπιστωθεί ότι είναι συνάρτηση ομογενής πρώτου βαθμού. (γ) Να εκτιμηθεί πόσο θα μεταβληθεί το έσοδο που υπολογίστηκε στο (β) αν το επιτρεπτό κόστος αυξηθεί κατα 0.1 (δ) Πώς θα αλλάξουν τα παραπάνω αν η επιχείρηση λειτουργεί με τον ίδιο περιορισμό στο κόστος, αλλά μεγιστοποιώντας το κέρδος; Λύση: v= (α)η καμπύλη ισοκόστους είναι παραβολή C= + = 1 = 1 Η συνάρτηση εσόδου έχει ισοσταθμικές: R= v+ = r, v< παράλληλες ευθείες με κλίση γνήσια αρνητική: v /, (β)οι εξισώσεις Lagrange μας δίνουν: R = λc v= λ = v / R = λc = λ λ C= 1 + = 1 = 1 = v / 4 Το πρώτο προιόν παράγεται πάντοτε διότι = v / > 0. Το δεύτερο παράγεται μόνο αν έχουμε = 1 v / 4 > 0 v / < Αν δεν ισχύει η παραπάνω συνθήκη τότε η λύση είναι ακραία: = 0, = 1. Συμπεραίνουμε ότι θα παράγονται αμφότερα τα προιόντα αν: v / <. Σαυτή την περίπτωση το έσοδο είναι 3 v v 3 v 3 v R = + v = + v(1 ) = v v( ) 4 =. Συνάρτηση ομογενής πρώτου βαθμού. (γ) Ο πολλαπλασιαστής μετράει την παράγωγο του εσόδου ως προς το κόστος: R '(C) = λ. Επομένως αν το επιτρεπτό κόστος αυξηθεί κατά dc= 0.1, τότε το έσοδο θα μεταβληθεί κατά dr = λ dc= /10. (δ) Το κέρδος, το έσοδο, και το κόστος συνδέονται με τη σχέση: Π= R C. Εφόσον το κόστος C είναι σταθερό, μεγιστοποίηση του εσόδου με σταθερό κόστος και μεγιστοποίηση του κέρδους με σταθερό κόστος είναι το ίδιο πρόβλημα, και επομένως θα βρούμε τις ίδιες απαντήσεις.