Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Ιδιοτιμές - Ιδιοδιανύσματα Επιμέεια: Ι. Λυχναρόπουος. Έστω ο πίνακας 3. Δείξτε ότι το διάνυσμα v (,3) είναι ένα ιδιοδιάνυσμα που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή 4 του. Για να είναι το v ένα ιδιοδιάνυσμα που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή 4 του θα πρέπει να ικανοποιεί τη σχέση: v v () Το αριστερό μέος της εξίσωσης δίνει: 8 v 3 3 ενώ το δεξί δίνει: 8 v 4 3 Επομένως η σχέση () ισχύει. 4/5 3/5. Να βρείτε τις ιδιοτιμές και τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα του πίνακα 3/5 4/5. Επίσης να προσδιοριστούν οι ιδιοχώροι και οι γεωμετρικές ποαπότητες των ιδιοτιμών. Σχηματίζουμε το χαρακτηριστικό πουώνυμο: 4/5 3/5 p( ) det( I) 3/5 4/5 Οι ρίζες του θα είναι οι ιδιοτιμές του πίνακα Α. Έτσι έχουμε p ( ) Για να βρούμε τα ιδιοδιανύσματα που αντιστοιχούν στην πρώτη ιδιοτιμή θα πρέπει να επιύσουμε το ομογενές σύστημα: 4/5 3/5 ( I) O ( I) O 3/5 4/5 Ο πίνακας συντεεστών του συστήματος δίνει με απαοιφή Gauss:
9/5 3/5 9/5 3/5 3/5 /5 Επομένως καταήγουμε στο ισοδύναμο σύστημα: 9 + 3 Έχουμε μία εεύθερη μεταβητή επομένως η γενική ύση του συστήματος δίνεται από τη σχέση: t 3 t3, t R t To t πρέπει να είναι διάφορο του μηδενός γιατί δεν ορίζεται μηδενικό ιδιοδιάνυσμα. Επομένως τα ιδιοδιανύσματα που αντιστοιχούν στην πρώτη ιδιοτιμή δίνονται από τη σχέση t3, t R Όπως είναι φανερό, ο ιδιοχώρος V ( ) παράγεται από το 3 δη. V ( ) span 3 To διάνυσμα αυτό αποτεεί βάση του V ( ) και η γεωμετρική ποαπότητα της είναι dim V ( ). Για να βρούμε τα ιδιοδιανύσματα που αντιστοιχούν στην δεύτερη ιδιοτιμή θα πρέπει να επιύσουμε το ομογενές σύστημα: 4/5+ 3/5 ( I) O ( ( ) I) O 3/5 4/5+ Ο πίνακας συντεεστών του συστήματος δίνει με απαοιφή Gauss: /5 3/5 /5 3/5 3/5 9/5 Επομένως καταήγουμε στο ισοδύναμο σύστημα: + 3 Έχουμε μία εεύθερη μεταβητή επομένως η γενική ύση του συστήματος δίνεται από τη σχέση: 3t 3 t, t R t Επομένως τα ιδιοδιανύσματα που αντιστοιχούν στην πρώτη ιδιοτιμή δίνονται από τη σχέση 3 t, t R Επομένως ο ιδιοχώρος V ( ) παράγεται από το 3 3 δη. V ( ) span
To διάνυσμα αυτό αποτεεί βάση του V ( ) και η γεωμετρική ποαπότητα της είναι dim V ( ). 5 5 3. Να βρείτε τις ιδιοτιμές και τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα του πίνακα 4. 4 8 6 Εάν δίνεται πως το γινόμενο δύο εξ αυτών είναι. Επίσης να προσδιοριστούν οι ιδιοχώροι και οι γεωμετρικές ποαπότητες των ιδιοτιμών. Σχηματίζουμε το χαρακτηριστικό πουώνυμο: 5 5 3 p( ) det( I3) 4 + 5 + 5 4 8 6 Από τη θεωρία γνωρίζουμε ότι το γινόμενο των ιδιοτιμών του πίνακα Α ισούται με τον σταθερό όρο του χαρακτηριστικού πουωνύμου δη. 3 5. Επειδή δίνεται πως το γινόμενο ιδιοτιμών είναι ίσο με, συνεπάγεται πως το 5 είναι μία ιδιοτιμή του πίνακα. Έτσι μία ρίζα του χαρακτηριστικού πουωνύμου είναι το 5. Με σχήμα Horner παίρνουμε: - 5-5 5-5 -5 - - δηαδή p ( ) ( 5)( + ) ( 5)( ) Επομένως: 5 p ( ),3 Η ιδιοτιμή 5 έχει αριθμητική ποαπότητα ίση με, ενώ η ιδιοτιμή έχει αριθμητική ποαπότητα ίση με. Για να βρούμε τα ιδιοδιανύσματα που αντιστοιχούν στην πρώτη ιδιοτιμή θα πρέπει να επιύσουμε το ομογενές σύστημα: 5 5 5 ( I3) O ( 5I3) O 4 5 4 8 65 3 Ο πίνακας συντεεστών του συστήματος δίνει με απαοιφή Gauss: 5 9 9 9 9 5 5 5 4 8 4 8 5
Επομένως καταήγουμε στο ισοδύναμο σύστημα: + 9 + 3 5 3 Τεικά προκύπτει πως τα ιδιοδιανύσματα που αντιστοιχούν στην ιδιοτιμή 5 θα έχουν τη μορφή: 5 4 t, t R 3 Επομένως ο ιδιοχώρος V ( ) παράγεται από το To διάνυσμα αυτό αποτεεί βάση του ( ) dim V ( ). 5 5 4 4 δη. V ( ) span V και η γεωμετρική ποαπότητα της είναι Για να βρούμε τα ιδιοδιανύσματα που αντιστοιχούν στην πρώτη ιδιοτιμή θα πρέπει να επιύσουμε το ομογενές σύστημα: 5 5 (,3I3 ) O ( I3 ) O 4 4 8 6 3 Ο πίνακας συντεεστών του συστήματος δίνει με απαοιφή Gauss: 5 5 5 5 5 5 4 4 8 4 4 8 Επομένως καταήγουμε στο ισοδύναμο σύστημα: 5 53 + + 3 Έχουμε δύο εεύθερες μεταβητές. Τεικά προκύπτει πως τα ιδιοδιανύσματα που αντιστοιχούν στην ιδιοτιμή,3 θα έχουν τη μορφή: st s, s Rt, R ή 3 t s t +, s Rt, R 3
Επομένως ο ιδιοχώρος V (,3) παράγεται από τα,3 είναι,3, δη. V (,3) span, Tα διανύσματα αυτά αποτεούν βάση του V (,3) και η γεωμετρική ποαπότητα της dim V ( ) (διαφορετική από την αριθμητική της ποαπότητα) 4. Επαηθεύστε το θεώρημα Cayley-Hamilton χρησιμοποιώντας τον πίνακα Θα πρέπει να δείξουμε ότι p( ) O Το χαρακτηριστικό πουώνυμο του Α είναι το 3 p( ) det( I) 3 7 Είναι p ( ) 3 I Όμως 3 3 5 3 7 7 7 Έτσι 5 3 3 p( ) 3 7 7 5 3 3 3 7 7 3 3 7 Επομένως το θεώρημα Cayley-Hamilton επαηθεύτηκε. 7 5. Δίνεται ο πίνακας 8 3. a) Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα του πίνακα. b) Με τη χρήση του θεωρήματος Cayley-Hamilton να βρεθεί ο αντίστροφος του 5 αν υπάρχει. c) Να υποογισθεί ο συναρτήσει του. d) Να υποογιστούν οι ιδιοτιμές 5 και τα αντίστοιχα ιδιοδιάνυσματα των πινάκων, a) Σχηματίζουμε το χαρακτηριστικό πουώνυμο: 7 p( ) det( I) 75 8 3 Οι ρίζες του θα είναι οι ιδιοτιμές του πίνακα Α. Έτσι έχουμε
5 p ( ) 5 Για να βρούμε τα ιδιοδιανύσματα που αντιστοιχούν στην πρώτη ιδιοτιμή θα πρέπει να επιύσουμε το ομογενές σύστημα: 7 + 5 ( I) O ( ( 5) I) O 8 3+ 5 Ο πίνακας συντεεστών του συστήματος δίνει με απαοιφή Gauss: 8 8 Επομένως καταήγουμε στο ισοδύναμο σύστημα: Επομένως τα ιδιοδιανύσματα που αντιστοιχούν στην ιδιοτιμή 5 θα έχουν τη μορφή: t, t R Για να βρούμε τα ιδιοδιανύσματα που αντιστοιχούν στην δεύτερη ιδιοτιμή θα πρέπει να επιύσουμε το ομογενές σύστημα: 7 5 ( I) O ( 5I) O 8 35 Ο πίνακας συντεεστών του συστήματος δίνει με απαοιφή Gauss: 8 8 8 Επομένως καταήγουμε στο ισοδύναμο σύστημα: 8+ Επομένως τα ιδιοδιανύσματα που αντιστοιχούν στην ιδιοτιμή 5 θα έχουν τη μορφή: 3 t, t R b) Επειδή δεν υπάρχει μηδενική ιδιοτιμή, ο πίνακας Α αντιστρέφεται. Το θεώρημα Cayley-Hamilton δίνει p ( ) O 75I O Ποαπασιάζοντας με από αριστερά έχουμε: 75 I O I 75 O 75 I + ( I ) 75 7 3 75 8 3 75 8 7 c)
5 Για τον υποογισμό του εκτεούμε τη διαίρεση: 5 : p ( ) Η διαίρεση θα δώσει ένα πηίκο έστω π ( ) και ένα υπόοιπο, το οποίο θα είναι πουώνυμο βαθμού μικρότερου του διαιρέτη p( ). Στη συγκεκριμένη περίπτωση το υπόοιπο θα είναι πρώτου βαθμού, της μορφής: a + b Έτσι θα έχουμε: 5 p ( ) ( ) π + a+ b () Στη σχέση () αντικαθιστούμε με τη σειρά τις ιδιοτιμές, και από το σύστημα που προκύπτει προσδιορίζουμε τις άγνωστες σταθερές ab:, p ( π ) ( ) + a+ b 5 5 ( 5) p( 5) π ( 5) + ( 5)a+ b 5 5a+ b 5 () p ( ) π ( ) + a+ b 5 π (5) + 5a+ b 5 5 p(5) 5a 5 5 + b (3) Από () και (3) παίρνουμε τεικά 5 5 a ( 5 + 5 ) 5 5 b ( 3 5 + 5 ) 4 H () γίνεται π 4 ( ) ( ) 5 p ( ) ( ) 5 5 5 5 3 5 5 5 5 + + + + Θέτοντας όπου τον πίνακα Α και ποαπασιάζοντας τον σταθερό όρο με I έχουμε: 5 ( ) 5 5 5 5 p π ( ) + ( 5 + 5 ) + ( 3 5 + 5 ) I 4 5 5 5 5 5 ( 5 + 5 ) + ( 3 5 + 5 ) I 4 d) Ο πίνακας 5 θα έχει ιδιοτιμές τις 5 5 ( 5) 35 και 5 5 5 759375 Αντίστοιχα για τον πίνακα οι ιδιοτιμές θα είναι οι, ( 5) 5 5 5 Σε όες τις περιπτώσεις τα ιδιοδιανύσματα που αντιστοιχούν στις ιδιοτιμές είναι τα ίδια με εκείνα που αντιστοιχούν στις, δη. t, t R για την πρώτη
3 t, t R για την δεύτερη 8 8 6. Να εέγξετε αν οι πίνακες 6 3 και B 4 των χαρακτηριστικών πουωνύμων τους. είναι όμοιοι, κάνοντας χρήση Αν οι πίνακες,b είναι όμοιοι τότε θα πρέπει να έχουν τα ίδια χαρακτηριστικά πουώνυμα ενώ το αντίστροφο δεν ισχύει αναγκαστικά. Έχουμε οιπόν 8 8 p ( ) 5+ 4 6 3 και p B ( ) 5+ 4 Επειδή, όπως φαίνεται p ( ) p ( ) δεν μπορούμε να βγάουμε συμπέρασμα. B Θα δοκιμάσουμε να απαντήσουμε στο ερώτημα βάσει του ορισμού ομοιότητας δη. θα πρέπει να βρούμε έναν αντιστρέψιμο πίνακα P τέτοιον ώστε P BP P BP a b Έστω P c d Πρέπει να πρoσδιορίσουμε τους αγνώστους abcd,,, ώστε να ισχύει a b 8 8 a b c d 6 3 4 c d 8a 6b 8a+ 3b a b 8c 6d 8c 3d 4c 4d + 8a 6b a 9a+ 6b 8a 3b b + 8a+ b 8c 6d 4c c+ 6d 8c+ 3d 4d 8c+ 9d Η γενική ύση του συστήματος είναι η s a 3 b s, st, R c t d t Έτσι θα είναι
s s 3 P, st, R t t Επιέγουμε π.χ. s και t και παίρνουμε 3 P Εέγχουμε αν ο P που πήραμε είναι αντιστρέψιμος (αν όχι επιέγουμε κάποια άα s,t). Είναι det P Άρα ο P είναι αντιστρέψιμος και ισχύει P BP (μπορούμε να το 6 επαηθεύσουμε) Επομένως οι Α,Β είναι όμοιοι. 7. Δίνεται ο πίνακας του. 3. Αν αυτός διαγωνοποιείται, να βρεθεί μία διαγωνοποίησή Αρχικά βρίσκουμε τις ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα του πίνακα Α. p ( ) + 7 + Επειδή έχουμε διακριτές ιδιοτιμές, ο πίνακας Α διαγωνοποιείται. Ιδιοδιανύσματα της ( ) + 3 ( ) + t, t R + t π.χ. για t παίρνουμε το γραμμικά ανεξάρτητο ιδιοδιάνυσμα + Ιδιοδιανύσματα της ( + ) 3 ( ) + t, t R t
π.χ. για t παίρνουμε το γραμμικά ανεξάρτητο ιδιοδιάνυσμα Δημιουργούμε τον πίνακα P με στήες τα ιδιοδιανύσματα: P + και τον διαγώνιο πίνακα D με τις ιδιοτιμές ως διαγώνια στοιχεία: D + Τότε θα είναι PDP + + + 4 5 8. Δίνεται ο πίνακας 3. Αν αυτός διαγωνοποιείται, να βρεθεί μία διαγωνοποίησή του. Επειδή ο πίνακας είναι τριγωνικός, οι ιδιοτιμές του ταυτίζονται με τα διαγώνια στοιχεία του. Έτσι είναι:,, 3 Για να βρούμε τα ιδιοδιανύσματα που αντιστοιχούν στην, ύνουμε το σύστημα: ( ) 4 5 4 5 ( ) 3 3 3 ( ) 3 3 t, t R 3 Όπως φαίνεται V () span δη dim V () διάφορο από την αγεβρική ποαπότητα της ιδιοτιμής. Επομένως ο πίνακας Α δεν διαγωνοποιείται. (Δεν χρειάζεται να υποογίσουμε τα ιδιοδιανύσματα της 3 )
9. a) Να βρεθεί ένας πίνακας M ( R) 3, ο οποίος έχει ιδιοτιμές τις /, 3, 3 και αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα τα v 3,,, v (,,3), v (,3, ) b) Να βρεθεί μία διαγωνοποίηση των πινάκων ( ) και πίνακα c) Πως μπορεί να υποογισθεί η τιμή του 5 3 B 8 4 + I 6 d) Να βρεθεί μία διαγωνοποίηση του a) Επειδή οι ιδιοτιμές του πίνακα είναι διακριτές, αυτό συνεπάγεται πως τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματά τους είναι γραμμικά ανεξάρτητα και ότι ο πίνακας διαγωνοποιείται δη μπορεί να γραφεί ως PDP Ο πίνακας D είναι διαγώνιος, με διαγώνια στοιχεία τις ιδιοτιμές του πίνακα δη: / D 3 Ο πίνακας P περιέχει τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα (με την ίδια σειρά) ως στήες του: 3 P 3 3 Υποογίζουμε τον αντίστροφο του P εφαρμόζοντας απαοιφή Gauss-Jordan στον επαυξημένο πίνακα: ( P I 3 ) Έτσι θα έχουμε: 3 /3 /3 ( P I3) 3 r r 3 3 3 3 /3 /3 /3 /3 r r r 7/3 /3 r3 r3r 7/3 /3 3 3 7/3 /3 /3 /3 r r 7/6 /6 / 3 7/3 /3 /3 /3 r3 r3 3r 7/6 /6 / 35/6 /6 3/ /3 /3 6 r3 r 3 7/6 /6 / 35 / 35 9 / 35 6 / 35
/3 /3 7 r3 r r 3 /5 /5 /5 6 / 35 9 / 35 6 / 35 / 35 6 / 35 4 / 35 r3 r r 3 /5 /5 /5 3 / 35 9 / 35 6 / 35 Τεικά παίρνουμε: 6 4 P 7 7 7 35 9 6 Επομένως: 3 / 6 4 PDP 3 3 7 7 7 35 3 9 6 5 8 7 6 3 4 3 b) Θα είναι PDP PD P 3 (/) 3 3 3 3 3 ( ) 3 Επίσης επειδή οι ιδιοτιμές του Α είναι διάφορες του μηδενός, ο Α αντιστρέφεται, επομένως θα ισχύει PDP PD P 3 (/) 3 3 3 3 3 ( ) 3 6 c) Για τον υποογισμό του έχουμε όγω της διαγωνοποίησης: 6 6 PDP PD P 6 3 (/) 3 3 3 3... 6 3 ( ) 3 6 6 d) Θα είναι
B + I 5 3 8 4 B 8PD P 4PD P PDP PIP 5 3 + B P D P D P + DP IP 5 3 (8 4 ) B P(8D 4D + DI) P Όμως είναι 5 3 8D 4D + D I 5 3 5 3 (/) (/) / 5 3 8 3 4 3 3 + 5 3 ( ) ( ) 9 6... 3 89 Έτσι η διαγωνοποίηση του Β γράφεται ως 9 3 6 3 B 3 3 3 3 89 3 7 4. Έστω ο πίνακας. Να βρεθεί η ορίζουσα του πίνακα 4 3 B 4 + 3 I χωρίς αυτός να υποογιστεί. H ορίζουσα του πίνακα Β θα ισούται με το γινόμενο των ιδιοτιμών του. Οι ιδιοτιμές του πίνακα B εξαρτώνται από τις ιδιοτιμές του πίνακα Α. 4 3 Έστω το πουώνυμο: p ( ) 4 + 3 ν είναι μία ιδιοτιμή του πίνακα Α τότε η p( ) θα είναι μία ιδιοτιμή του πίνακα B. Έτσι υποογίζουμε αρχικά τις ιδιοτιμές του πίνακα Α. Σχηματίζουμε το χαρακτηριστικό πουώνυμο: 7 4 p( ) det( I) + 7+ 6 Οι ρίζες του θα είναι οι ιδιοτιμές του πίνακα Α. Έτσι έχουμε 8 p ( ) 9 Αντίστοιχα οι ιδιοτιμές του πίνακα Β θα είναι η 4 3 p( 8) 4( 8) ( 8) + 3( 8) 435
και η 4 3 p( 9) 4( 9) ( 9) + 3( 9) 7673 Έτσι τεικά B 435 7673 943576 3. Έστω ο πίνακας a. Να προσδιοριστεί η παράμετρος α R, έτσι ώστε το διάνυσμα v (3, ) να είναι ένα ιδιοδιάνυσμα του Α. Για να είναι το διάνυσμα v (3, ) ένα ιδιοδιάνυσμα του Α θα πρέπει να ικανοποιεί τη σχέση: v v για κάποιο 3 3 7 Είναι: v a 3a Άρα πρέπει 7 3 7 3 7 3 3 a 3 a 3+ a 7 Επιύουμε το σύστημα και παίρνουμε: και a 3 3