ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΙΙ ΜΕΤΑΦΟΡΑ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΜΑΖΑΣ Διδάσκων: Παπασιώπη Νυμφοδώρα Αναπληρώτρια Καθηγήτρια Ε.Μ.Π. Ενότητα 5 η : Διδιάστατη και τριδιάστατη αγωγή θερμότητας
Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άδεια χρήσης άλλου τύπου, αυτή πρέπει να αναφέρεται ρητώς.
5. Πολυδιάστατη αγωγή θερμότητας σε μόνιμη κατάσταση 5. Πολυδιάστατη αγωγή θερμότητας σε μόνιμη κατάσταση 5. Συντελεστής μορφής 5. Γραφικές λύσεις 5.3 Αριθμητικές λύσεις Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας
5. Πολυδιάστατη αγωγή θερμότητας σε μόνιμη κατάσταση (/) Γενική εξίσωση αγωγής q t Εξίσωση Poisson 0 q Εξίσωση Laplace 0 Εξίσωση Fourier t Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας 5-
5. Πολυδιάστατη αγωγή θερμότητας σε μόνιμη κατάσταση (/) Εξίσωση Laplace 0 Αναλυτικές λύσεις Αριθμητικές λύσεις Συντελεστής μορφής Γραφική λύση Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας 5-
5. Συντελεστής μορφής (/3) q S( ) S : συντελεστής μορφής με διαστάσεις μήκους (m) Επίπεδο τοίχωμα: S A x Α: επιφάνεια (m ), Δx: πάχος τοιχώματος (m) Κυλινδρικό τοίχωμα: S L ln(r / r ) r, r : εξωτερική και εσωτερική ακτίνα (m), L μήκος (m) Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας 5-3
5. Συντελεστής μορφής (/3) Πίνακας 5.. Συντελεστής μορφής σε πολυδιάστατα συστήματα αγωγής Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας 5-4
5. Συντελεστής μορφής (3/3) Πίνακας 5.. (Συνέχεια) Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας 5-5
Παράδειγμα 5. Υπολογισμός απωλειών από εντοιχισμένο αγωγό (/3) Σχήμα 5.. Σχηματική απεικόνιση εντοιχισμένου αγωγού. D = cm z = 0 cm λ= 0.8 W/(m o C) Δεδομένα: Σωλήνας κυκλοφορίας ζεστού νερού βρίσκεται στο δάπεδο σε βάθος 0 cm και έχει διάμετρο D=cm Το δάπεδο στην επιφάνεια έχει θερμοκρασία 0 o C και ο σωλήνας διατηρείται σε θερμοκρασία 80 o C. Ο συντελεστής θερμικής αγωγιμότητας του δαπέδου είναι λ=0.8 W/(m o C) Ζητούνται: Οι θερμικές απώλειες ανά μέτρο μήκους αγωγού Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας 5-6
Παράδειγμα 5. Υπολογισμός απωλειών από εντοιχισμένο αγωγό (/3) Λύση: Από τον Πίνακα βρίσκουμε την κατάλληλη εξίσωση για τον συντελεστή σχήματος S: Σχήμα 5.. Σχηματική απεικόνιση εντοιχισμένου αγωγού. D = cm z = 0 cm λ= 0.8 W/(m o C) S cosh L (z / D) z/ D 0cm/ cm 0 Πίνακας 5.. Υπερβολικές συναρτήσεις cosh x (e x x e ) cosh (0) cosh x 0 x ~ 3.0 (από τον Πίνακα) Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας 5-7
Παράδειγμα 5. Υπολογισμός απωλειών από εντοιχισμένο αγωγό (3/3) Λύση: Από τον Πίνακα βρίσκουμε την κατάλληλη εξίσωση για τον συντελεστή σχήματος S: Σχήμα 5.. Σχηματική απεικόνιση εντοιχισμένου αγωγού. D = cm z = 0 cm λ= 0.8 W/(m o C) S cosh L (z / D) z/ D 0cm/ cm 0 q q S( ) ( ) L cosh (z / D) q 0.8 (80 0) 00.5 (W / m) L 3 Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας 5-8
5. Γραφική λύση Διάγραμμα ροής θερμότητας (/4) Μπορεί να χρησιμοποιηθεί σε προβλήματα διδιάστατης αγωγής. Σχεδιάζονται : Ισοθερμοκρασιακές γραμμές Θερμικές ροϊκές γραμμές ακολουθούν εφαπτομενικά το διάνυσμα ροής θερμότητας είναι κάθετες στις ισοθερμοκρασιακές είναι «αδιαβατικές» Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας 5-9
5. Γραφική λύση Διάγραμμα ροής θερμότητας (/4) Παράδειγμα: Επίπεδο τοίχωμα ΘΕΡΜΟΡΡΟΙΚΕΣ ΙΣΟΘΕΡΜΙΚΕΣ Έστω: Συνολικό πάχος (κατά y): Συνολικό πλάτος (κατά x): Μήκος (κατά z): b w L Σχήμα 5.. Ισοθερμοκρασιακές και θερμορροϊκές γραμμές κατά την μονοδιάστατη αγωγή σε επίπεδο τοίχωμα. Χωρίζουμε την τομή xy σε τετράγωνα διαστάσεων (Δx)(Δy), οπότε έχουμε: w m x b n y Υποδιαιρέσεις κατά x (κανάλια ροής θερμότητας) Υποδιαιρέσεις κατά y (διαστήματα θερμοκρασίας) Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας 5-0
5. Γραφική λύση Διάγραμμα ροής θερμότητας (3/4) Παράδειγμα: Επίπεδο τοίχωμα b n y ΘΕΡΜΟΡΡΟΙΚΕΣ ΙΣΟΘΕΡΜΙΚΕΣ Έστω: Συνολικό πάχος (κατά y): Συνολικό πλάτος (κατά x): Μήκος (κατά z): b w L w m x Σχήμα 5.. Ισοθερμοκρασιακές και θερμορροϊκές γραμμές κατά την μονοδιάστατη αγωγή σε επίπεδο τοίχωμα. Από κάθε τετράγωνο περνάει (κατά y) θερμότητα: x L ny q Από όλο το τοίχωμα περνάει θερμότητα: q m( q) x y ml n ml n Όταν Δx=Δy: q m( q) Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας 5-
5. Γραφική λύση Διάγραμμα ροής θερμότητας (4/4) Τεχνικές χάραξης ισοθερμοκρασιακών και θερμορροϊκών γραμμών (α) Ισοθερμοκρασιακές γραμμές: περίπου παράλληλες με τα ισοθερμοκρασιακά όρια Θερμορροϊκές γραμμές: περίπου παράλληλες με τα αδιάθερμα όρια ή τα επίπεδα συμμετρίας (β) Προσπαθούμε να χαράξουμε καμπυλόγραμμα τετράγωνα: πλευρές που τέμνονται κατά ορθή γωνία και άθροισμα των δύο απέναντι πλευρών περίπου ίσο m=45=0 ΘΕΡΜΟΡΡΟΙΚΕΣ ΙΣΟΘΕΡΜΙΚΕΣ l l q L m( q) l L l l ( )/ l ( )/ m n l l n=3 Σχήμα 5.3. Ισοθερμοκρασιακές και θερμορροϊκές γραμμές κατά την μονοδιάστατη αγωγή σε κυλινδρικό τοίχωμα. Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας 5-
Παράδειγμα 5. Υπολογισμός απωλειών θερμότητας με γραφική παράσταση (/3) Δεδομένα: Θερμαινόμενος αγωγός μεγάλου μήκους και ακτίνας r=0.5m βρίσκεται μέσα σε μονωτικό υλικό τετράγωνης διατομής, διαστάσεων.0m.0m Στον αγωγό διοχετεύεται θερμός αέρας 0 o C Η εξωτερική επιφάνεια του μονωτικού υλικού διατηρείται σε θερμοκρασία 30 ο C Το μονωτικό υλικό έχει αγωγιμότητα λ=0.05 W/(m o C) Σχήμα 5.4. Σχηματική απεικόνιση του Παραδείγματος 5.. θ = 0 o C, θ =30 ο C λ= 0.05 W/(m o C) Ζητούνται: Οι θερμικές απώλειες ανά μέτρο μήκους με γραφική επίλυση Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας 5-3
Παράδειγμα 5. Υπολογισμός απωλειών θερμότητας με γραφική παράσταση (/3) Λύση: Κύρια βήματα γραφικής επίλυσης:. Εξακρίβωση των ισόθερμων ορίων: Εσωτερικό τοίχωμα του μονωτικού υλικού θ =0 o C Εξωτερικό τοίχωμα θ =30 o C. Προσδιορισμός των επιπέδων συμμετρίας για να επιλεγεί το τμήμα στο οποίο θα γίνει η γραφική παράσταση: Το όγδοο μεταξύ μιας διαμέσου και μιας διαγωνίου Σχήμα 5.5. Σχηματική απεικόνιση του Παραδείγματος 5.. 3. Ξεκινάμε από μία περιοχή στην οποία οι αδιαβατικές και ισόθερμες γραμμές να μπορούν να τοποθετηθούν περίπου ομοιόμορφα, π.χ. το εσωτερικό τοίχωμα κυκλικής διατομής. 4. Επιλέγουμε κατά τον σχεδιασμό είτε ακέραιο αριθμό καναλιών ροής, είτε ακέραιο αριθμό διαστημάτων θερμοκρασίας. Στο παράδειγμα επιλέξαμε m=4 κανάλια ροής θ = 0 o C, θ =30 ο C λ= 0.05 W/(m o C) Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας 5-4
Παράδειγμα 5. Υπολογισμός απωλειών θερμότητας με γραφική παράσταση (3/3) Κύρια βήματα γραφικής επίλυσης: 5. Προσπαθούμε στο διάγραμμα να κάνουμε καμπυλόγραμμα τετράγωνα ακολουθώντας τις αρχές που αναφέραμε, δηλ. ~κάθετες πλευρές και ~ίσο άθροισμα απέναντι πλευρών. 6. Προχωρούμε με συνεχείς διορθώσεις μέχρι να οριστικοποιήσουμε το διάγραμμα 7. Με βάση το τελικό διάγραμμα προσδιορίζουμε το μέσο αριθμό διαστημάτων θερμοκρασίας, n, ανά n~ 3.8 κανάλι ροής (εάν έχουμε ακέραιο αριθμό καναλιών m), ή το μέσο αριθμό καναλιών ροής, m ~ ~ n, ανά διάστημα θερμοκρασίας (εάν έχουμε ακέραιο αριθμό Δθ) Σχήμα 5.6. Σχηματική απεικόνιση του Παραδείγματος 5.. θ = 0 o C, θ =30 ο C λ= 0.05 W/(m o C) q L m( q) L l l m n q W 8 4 0.05 80 L o m C 3.8 o C q W 33.68 L m Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας 5-5
Παράδειγμα 5.3 Έλεγχος ακρίβειας υπολογισμών με γραφική παράσταση (/) Δεδομένα: Θεωρούμε τα δεδομένα του παραδείγματος 5.. Ζητούνται: Οι θερμικές απώλειες ανά μέτρο μήκους με τη μέθοδο του συντελεστή μορφής Σύγκριση με τα αποτελέσματα της γραφικής επίλυσης Σχήμα 5.7. Σχηματική απεικόνιση του Παραδείγματος 5.3. θ = 0 o C, θ =30 ο C λ= 0.05 W/(m o C) Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας 5-6
Παράδειγμα 5.3 Έλεγχος ακρίβειας υπολογισμών με γραφική παράσταση (/) Λύση: Από τον Πίνακα βρίσκουμε την κατάλληλη εξίσωση για τον συντελεστή σχήματος S: Σχήμα 5.7. Σχηματική απεικόνιση του Παραδείγματος 5.3. θ = 0 o C, θ =30 ο C λ= 0.05 W/(m o C) S L.08b ln( ) D q S( ) (3.4) L 8.5L (m) ln(.08 /) q L q W 8.5 0.05 (80 L o m C ( ) ln(.08b/ D) o C) q L q L W 3.60 m W 33.68 m 3.% Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας 5-7
5.3 Αριθμητικές λύσεις (/7) Για πολύπλοκα προβλήματα αγωγής, π.χ.: μη συμμετρική κατανομή θερμοκρασίας μεταβαλλόμενες ιδιότητες οριακές συνθήκες μεταβλητές με το χρόνο, κ.ο.κ. πρέπει να καταφύγουμε σε αριθμητικές μεθόδους. Μέθοδος πεπερασμένων στοιχείων Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας 5-8
5.3 Αριθμητικές λύσεις (/7) Μέθοδος πεπερασμένων στοιχείων Σχήμα 5.8. Χωρισμός του συστήματος μέσω του οποίου γίνεται αγωγή θερμότητας σε κόμβους και όγκους ελέγχου. Στο διάγραμμα, παρίσταται το διδιάστατο πρόβλημα. η παράγωγος η παράγωγος x i i x i E( x x x x x x Θεωρούμε ότι το υπό μελέτη σύστημα είναι χωρισμένο σε στοιχεία όγκου Δx, Δy, Δz. Σε κάθε στοιχείο που βρίσκεται στη θέση i, j, k, το μερικό διαφορικό μπορεί να προσδιοριστεί κατά προσέγγιση από τις τιμές της θερμοκρασίας στον κόμβο αυτό και στους γειτονικούς του: ) i x Ε(Δx ): σφάλμα της προσέγγισης i E( x i i i i E i i i x x x x ) E( x ) Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας 5-9
5.3 Αριθμητικές λύσεις (3/7) i, j+, k Μέθοδος πεπερασμένων στοιχείων i, j, k Εξίσωση Laplace 0 Σχήμα 5.8. Χωρισμός του συστήματος μέσω του οποίου γίνεται αγωγή θερμότητας σε κόμβους και όγκους ελέγχου. Στο διάγραμμα, παρίσταται το διδιάστατο πρόβλημα. Εάν : x y z και 0 i,j,k i,j,k i,j,k i,j,k 6 i,j,k x y z x i,j,k i,j,k y z i,j,k i,j,k i,j,k i,j,k i,j,k Για απλούστευση: κόμβος i, j, k κόμβος 0 και γειτονικοί κόμβοι,, 3, 4, 5, 6 0 i,j,k i,j,k 6 6 m i,j,k i,j,k m Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας 5-0
5.3 Αριθμητικές λύσεις (4/7) Μέθοδος πεπερασμένων στοιχείων Διδιάστατο πρόβλημα Γνωστές θερμοκρασίες στα όρια Κόμβος : θ =/4(400+θ 4 +θ +500) Κόμβος : θ =/4(θ +θ 3 +00+500) Κόμβος 3: θ 3 =/4(θ 4 +300+00+θ ) Κόμβος 4: θ 4 =/4(400+300+θ 3 +θ ) Σχήμα 5.9. Διδιάστατο πρόβλημα Γνωστές θερμοκρασίες στα όρια. Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας 5-
5.3 Αριθμητικές λύσεις (5/7) Μέθοδος πεπερασμένων στοιχείων Εξωτερικά κομβικά σημεία h Σχήμα 5.0. Ισοζύγιο ενέργειας στο κομβικό σημείο n. Οριακός κόμβος που υφίσταται συναγωγή Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας 5-
5.3 Αριθμητικές λύσεις (6/7) Μέθοδος πεπερασμένων στοιχείων Εξωτερικά κομβικά σημεία h Σχήμα 5.0. Ισοζύγιο ενέργειας στο κομβικό σημείο n. Οριακός κόμβος που υφίσταται συναγωγή y n n y L L x L 3 n hl( x x y x ) n L: πάχος του σώματος κατά την κατεύθυνση z hx hx ( ) 0 3 n Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας 5-3
5.3 Αριθμητικές λύσεις (7/7) hδx λ hδx λ θ θ θ θ 0 n hδx λ hδx λ θ θ θ θ 0 n Εξωτερικά κομβικά σημεία θ θ 4 h Δx 3 λ h Δx 3θ λ θ θ θ n 0 θ θ 4 h Δx 3 λ h Δx 3θ λ θ θ θ n 0 θ θ θ θ 0 3 n θ θ θ θ 0 3 n θ θ θ3 θ4 a( a ) ( b ) ( a ) b( b ) Σχήμα 5.. Εξισώσεις σε εξωτερικά κομβικά σημεία. θ θ θ3 θ4 a ( a ) ( b ) ( a ) b( b ) θ a b n 0 θ a b n 0 Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας 5-4
5.3 Αριθμητικές λύσεις (8/7) Μέθοδος πεπερασμένων στοιχείων Καταλήγουμε σε: 4 3 0 h Σύστημα γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων Σχήμα 5.. (α) Διδιάστατο πρόβλημα (β) Εξωτερικό κομβικό σημείο. Άμεσες μέθοδοι: Επίλυση με συστηματικό τρόπο με μία σειρά σαφώς καθορισμένων σταδίων. Επαναληπτικές μέθοδοι: Αρχική πρόβλεψη για τη λύση και επανάληψη μέχρι να υπάρξει σύγκλιση της λύσης Επίλυση Μέθοδος απαλοιφής Gauss Αντιστροφή πινάκων Μέθοδος Gauss-Seidel Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας 5-5
5.3 Αριθμητικές λύσεις (9/7) Επίλυση συστημάτων γραμμικών εξισώσεων Α. Μέθοδος απαλοιφής Gauss x + x +3 x 3 =0 x 3 x + x 3 = -3 (a) (b) x + x + x 3 = (c) Απαλείφουμε το x από τις (b) και (c) προσθέτοντας - φορά την (a) στην (b) και - φορές την (a) στην (c). x + x + 3 x 3 =0 (a ) 5 x - x 3 = -3 (b ) 3 x 5 x 3 =-9 (c ) Απαλείφουμε το x από την (c ) προσθέτοντας (-3/5) φορές την (b ) στην (c ). x + x + 3 x 3 =0 (a ) 5 x - x 3 = -3 (b ) x 3 = 4 (c ) Βρίσκουμε τα x και x με προς τα πίσω αντικατάσταση. x = x = 3 x 3 = 4 Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας 5-6
5.3 Αριθμητικές λύσεις (0/7) Μέθοδος πεπερασμένων στοιχείων θ 0.5 θ 0.5 θ 4 = 5 () 0.5 θ + θ 0.5 θ 3 = 75 () 0.5 θ + θ 3 0.5 θ 4 = 5 (3) 0.5 θ 0.5 θ 3 + θ 4 = 75 (4) Σχήμα 5.3. Διδιάστατο πρόβλημα. Γνωστές θερμοκρασίες στα όρια. Διδιάστατο πρόβλημα Σύστημα εξισώσεων: Κόμβος : θ =/4(400+θ 4 +θ +500) Κόμβος : θ =/4(θ +θ 3 +00+500) Κόμβος 3: θ 3 =/4(θ 4 +300+00+θ ) Κόμβος 4: θ 4 =/4(400+300+θ 3 +θ ) Α. Μέθοδος απαλοιφής Gauss Απαλείφουμε το θ από τις εξισώσεις () και (4) θ 0.5 θ 0.5 θ 4 = 5 ( ) 0.9375θ 0.5θ 3-0.065θ 4 = 3,5 ( ) 0.5 θ + θ 3 0.5 θ 4 = 5 (3 ) -0.065θ 0.5θ 3 + 0.9375θ 4 = 3,5 (4 ) Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας 5-7
5.3 Αριθμητικές λύσεις (/7) Μέθοδος πεπερασμένων στοιχείων Α. Μέθοδος απαλοιφής Gauss Αντιστρέφουμε τη θέση των ( ) και (3 ) και απαλείφουμε το θ θ 0.5 θ 0.5 θ 4 = 5 () 0.5 θ + θ 0.5 θ 3 = 75 () Σχήμα 5.3. Διδιάστατο πρόβλημα. Γνωστές θερμοκρασίες στα όρια. Διδιάστατο πρόβλημα Σύστημα εξισώσεων: Κόμβος : θ =/4(400+θ 4 +θ +500) Κόμβος : θ =/4(θ +θ 3 +00+500) Κόμβος 3: θ 3 =/4(θ 4 +300+00+θ ) Κόμβος 4: θ 4 =/4(400+300+θ 3 +θ ) 0.5 θ + θ 3 0.5 θ 4 = 5 (3) 0.5 θ 0.5 θ 3 + θ 4 = 75 (4) Απαλείφουμε το θ 3 από την (4 ) θ 0.5 θ 0.5 θ 4 = 5 ( ) 0.9375θ 0.5θ 3-0.065θ 4 = 3,5 ( ) 0.5 θ + θ 3 0.5 θ 4 = 5 (3 ) -0.065θ 0.5θ 3 + 0.9375θ 4 = 3,5 (4 ) Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας 5-8
5.3 Αριθμητικές λύσεις (/7) Μέθοδος πεπερασμένων στοιχείων Α. Μέθοδος απαλοιφής Gauss Σχήμα 5.3. Διδιάστατο πρόβλημα. Γνωστές θερμοκρασίες στα όρια. Διδιάστατο πρόβλημα Σύστημα εξισώσεων: Κόμβος : θ =/4(400+θ 4 +θ +500) Κόμβος : θ =/4(θ +θ 3 +00+500) Κόμβος 3: θ 3 =/4(θ 4 +300+00+θ ) Κόμβος 4: θ 4 =/4(400+300+θ 3 +θ ) θ 0.5 θ 0.5 θ 4 = 5 ( ) 0.5 θ + θ 3 0.5 θ 4 = 5 ( ) 3.50 θ 3.0 θ 4 = 700 (3 ) (6/7) θ 4 = 300 (4 ) Βρίσκουμε τις τιμές των θερμοκρασιών με προς τα πίσω αντικατάσταση. θ = 400 o C θ = 350 o C θ 3 = 300 o C θ 4 = 350 o C Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας 5-9
5.3 Αριθμητικές λύσεις (3/7) Επίλυση συστημάτων γραμμικών εξισώσεων Β. Μέθοδος αντιστροφής πινάκων a x + a x +a 3 x 3 = b a x + a x +a 3 x 3 = b a 3 x + a 3 x +a 33 x 3 = b 3 a a a 3 a a a 3 a a a 3 3 33 x x x 3 b b b A X B 3 AX B X A B Ο υπολογισμός του αντίστροφου Πίνακα είναι επίπονη διαδικασία, αλλά μπορούν να αξιοποιηθούν διαθέσιμα λογισμικά Η/Υ, ακόμη και το πολύ εύχρηστο MS EXCEL A - : αντίστροφος του Α A A I 0 0 0 0 0 0 Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας 5-30
5.3 Αριθμητικές λύσεις (4/7) Β. Μέθοδος αντιστροφής πινάκων Ο υπολογισμός του αντίστροφου Πίνακα είναι επίπονη διαδικασία, αλλά μπορούν να αξιοποιηθούν διαθέσιμα λογισμικά Η/Υ, ακόμη και το πολύ εύχρηστο MS EXCEL Σχήμα 5.3. Διδιάστατο πρόβλημα. Γνωστές θερμοκρασίες στα όρια. 0.5 0 0.5 0.5 0.5 0 0 0.5 0.5 0.5θ 0 θ 0.5θ θ 3 4 5 75 5 75 Πίνακας συντελεστών Πίνακας σταθερ -0,5 0-0,5 5-0,5-0,5 0 75 0-0,5-0,5 5-0,5 0-0,5 75 Αντίστροφος πίνακας συντελεστών =MINVERSE(A3:D6) A X B Insert Function Minverse Εισάγουμε τη συνάρτηση στο πρώτο κελί της περιοχής του αντίστροφου πίνακα Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας 5-3
5.3 Αριθμητικές λύσεις (5/7) Β. Μέθοδος αντιστροφής πινάκων Πίνακας συντελεστών Πίνακας σταθερών -0,5 0-0,5 5-0,5-0,5 0 75 0-0,5-0,5 5-0,5 0-0,5 75 X=A - B Σχήμα 5.3. Διδιάστατο πρόβλημα. Γνωστές θερμοκρασίες στα όρια. Επιλέγουμε την περιοχή και πατάμε F Ctrl+Shift+Enter Για να υπολογίσουμε όλες τις τιμές του αντίστροφου Πίνακα Αντίστροφος πίνακας συντελεστών Θερμοκρασίες,7 0,33 0,7 0,33 =MMULT(A9:D;F3:F6) 0,33,7 0,33 0,7 0,7 0,33,7 0,33 0,33 0,7 0,33,7 Αντίστροφος πίνακας συντελεστών Θερμοκρασίες,7 0,33 0,7 0,33 400 θ 0,33,7 0,33 0,7 350 θ 0,7 0,33,7 0,33 300 θ3 0,33 0,7 0,33,7 350 θ4 Insert Function Mmult F Ctrl+Shift+Enter Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας 5-3
5.3 Αριθμητικές λύσεις (6/7) Μέθοδος πεπερασμένων στοιχείων Γ. Επαναληπτική μέθοδος Gauss-Seidel Σχήμα 5.3. Διδιάστατο πρόβλημα. Γνωστές θερμοκρασίες στα όρια. Διδιάστατο πρόβλημα Σύστημα εξισώσεων: Κόμβος : θ =/4(400+θ 4 +θ +500) Κόμβος : θ =/4(θ +θ 3 +00+500) Κόμβος 3: θ 3 =/4(θ 4 +300+00+θ ) Κόμβος 4: θ 4 =/4(400+300+θ 3 +θ ) Επιλύουμε κάθε εξίσωση του συστήματος ως προς έναν από τους αγνώστους. θ = 5 + 0.5 θ + 0.5 θ 4 () θ = 75 + 0.5 θ + 0.5 θ 3 () θ 3 = 5 + 0.5 θ +0.5 θ 4 (3) θ 4 = 75 + 0.5 θ +0.5 θ 3 (4) Υποθέτουμε ένα αρχικό σύνολο τιμών για τις θερμοκρασίες, τις εισάγουμε στο δεξί μέρος των εξισώσεων και υπολογίζουμε νέες τιμές. Επαναλαμβάνουμε τους υπολογισμούς με τις νέες τιμές Όταν σε δύο διαδοχικές επαναλήψεις οι τιμές δεν διαφέρουν πάνω από το όριο ακρίβειας που επιθυμούμε, π.χ. 0.5%, σταματούμε τη διαδικασία. Κριτήριο σύγκλισης Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας 5-33
5.3 Αριθμητικές λύσεις (7/7) Μέθοδος πεπερασμένων στοιχείων Γ. Επαναληπτική μέθοδος Gauss-Seidel Σχήμα 5.3. Διδιάστατο πρόβλημα. Γνωστές θερμοκρασίες στα όρια. Διδιάστατο πρόβλημα Σύστημα εξισώσεων: Αρχικές τιμές Επαναλήψεις η η 3 η 4 η θ 450 400.00 396.68 399.35 399.86 θ 350 337.50 348.39 349.68 349.88 θ 3 50 96.87 99.40 99.67 99.9 θ 4 350 349. 349.0 349.76 349.94 θ = 5 + 0.5 θ + 0.5 θ 4 () θ = 75 + 0.5 θ + 0.5 θ 3 () θ 3 = 5 + 0.5 θ +0.5 θ 4 (3) θ 4 = 75 + 0.5 θ +0.5 θ 3 (4) i,j (%) ( i,j i,j i,j i,j 00 δ i,j : σχετική ποσοστιαία διαφορά μεταξύ των επαναλήψεων j- και j για τη θερμοκρασία i ) δ i,j (%)= 0.05-0.3 % Φαινόμενα Μεταφοράς ΙΙ. Μεταφορά Θερμότητας και Μάζας 5-34
Κατάλογος Σχημάτων (/) Σχήμα 5.. Σχηματική απεικόνιση εντοιχισμένου αγωγού., Κουμούτσος Ν., Λυγερού Β., Σημειώσεις «Μεταφορά θερμότητας», Εκδόσεις ΕΜΠ, 98. Σχήμα 5.. Ισοθερμοκρασιακές και θερμορροϊκές γραμμές κατά την μονοδιάστατη αγωγή σε επίπεδο τοίχωμα., Κουμούτσος Ν., Λυγερού Β., Σημειώσεις «Μεταφορά θερμότητας», Εκδόσεις ΕΜΠ, 98. Σχήμα 5.3. Ισοθερμοκρασιακές και θερμορροϊκές γραμμές κατά την μονοδιάστατη αγωγή σε κυλινδρικό τοίχωμα., Κουμούτσος Ν., Λυγερού Β., Σημειώσεις «Μεταφορά θερμότητας», Εκδόσεις ΕΜΠ, 98. Σχήμα 5.4. Σχηματική απεικόνιση του Παραδείγματος 5.., Κουμούτσος Ν., Λυγερού Β., Σημειώσεις «Μεταφορά θερμότητας», Εκδόσεις ΕΜΠ, 98. Σχήμα 5.5. Σχηματική απεικόνιση του Παραδείγματος 5.., Κουμούτσος Ν., Λυγερού Β., Σημειώσεις «Μεταφορά θερμότητας», Εκδόσεις ΕΜΠ, 98. Σχήμα 5.6. Σχηματική απεικόνιση του Παραδείγματος 5.., Κουμούτσος Ν., Λυγερού Β., Σημειώσεις «Μεταφορά θερμότητας», Εκδόσεις ΕΜΠ, 98. Σχήμα 5.7. Σχηματική απεικόνιση του Παραδείγματος 5.3., Κουμούτσος Ν., Λυγερού Β., Σημειώσεις «Μεταφορά θερμότητας», Εκδόσεις ΕΜΠ, 98. Σχήμα 5.8. Χωρισμός του συστήματος μέσω του οποίου γίνεται αγωγή θερμότητας σε κόμβους και όγκους ελέγχου. Στο διάγραμμα, παρίσταται το διδιάστατο πρόβλημα., Κουμούτσος Ν., Λυγερού Β., Σημειώσεις «Μεταφορά θερμότητας», Εκδόσεις ΕΜΠ, 98. Σχήμα 5.9. Διδιάστατο πρόβλημα. Γνωστές θερμοκρασίες στα όρια., Κουμούτσος Ν., Λυγερού Β., Σημειώσεις «Μεταφορά θερμότητας», Εκδόσεις ΕΜΠ, 98. Σχήμα 5.0. Ισοζύγιο ενέργειας στο κομβικό σημείο n., Cengel Y.A.: Μεταφορά Θερμότητας Μια Πρακτική Προσέγγιση, Εκδόσεις Τζιόλα, 005.
Κατάλογος Σχημάτων (/) Σχήμα 5.. Εξισώσεις σε εξωτερικά κομβικά σημεία., Κουμούτσος Ν., Λυγερού Β., Σημειώσεις «Μεταφορά θερμότητας», Εκδόσεις ΕΜΠ, 98. Σχήμα 5.. (α) Διδιάστατο πρόβλημα (β) Εξωτερικό κομβικό σημείο., Κουμούτσος Ν., Λυγερού Β., Σημειώσεις «Μεταφορά θερμότητας», Εκδόσεις ΕΜΠ, 98. Σχήμα 5.3. Διδιάστατο πρόβλημα. Γνωστές θερμοκρασίες στα όρια., Κουμούτσος Ν., Λυγερού Β., Σημειώσεις «Μεταφορά θερμότητας», Εκδόσεις ΕΜΠ, 98.
Κατάλογος Πινάκων Πίνακας 5.. Συντελεστής μορφής σε πολυδιάστατα συστήματα αγωγής, Κουμούτσος Ν., Λυγερού Β., Σημειώσεις «Μεταφορά θερμότητας», Εκδόσεις ΕΜΠ, 98.
Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Ε.Μ.Π.» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.