Διμεταβλητές κατανομές πιθανοτήτων Για να περιγράψουμε την σχέση ανάμεσα σε δύο τυχαίες μεταβλητές χρειαζόμαστε την κοινή κατανομή πιθανοτήτων τους. Η κοινή συνάρτηση πιθανότητ ικανοποιε ί τις συνθ ήκες : 1. 0 p(x, y) 1. ολα x ολα y p(x, y) 1 ας Η πιθανότητα η να παίρνει την τιμή x, και η να παίρνει την τιμή y p(x,y) (x, y) 1
Παράδειγμα Ο ρήστος και η βόνη είναι δύο μεσίτες. και δηλώνουν τον αριθμό σπιτιών που θα πουλήσουν την επόμενη βδομάδα, αντίστοιχα. Η κοινή συνάρτηση πιθανότητας είναι p(0,0) p(0,1) p(0,) 0 1 p(y) 0.1.4.06.60 1.1.06.03.30.07.0.01.10 p(x).40.50.10 1.00 (1), ηπεριθώρια συν. πιθανότητας Υ. (0) Η περιθώρια συν πιθανότητας του Χ
p(x,y) 0.4 x p(x) y p(y) 0.4 0.6 1.5 1.3.1.1 0.1 0.1 E().7 E().5 V().41 V().45 0.07 0.0 0.06 0 1 0.01 0.06 y0 0.03 y1 y 3
Χ,Υ διακριτές τ.μ. Κοινή συνάρτηση πιθανότητας ( Joint robability Function) : ( x, y) [ x, y] p, Περιθώρια συνάρτηση πιθανότητας της Χ (Marginal robability Function) : ( x) ( x, y). y, Δεσμευμένη κατανομή της Υ όταν Χx (Conditional robability Function) :, ( x, y) / ( y / x). x ( ) 4
Παράδειγμα : Χ : ικανοποίηση καταναλωτή από καταστήματα τροφίμων. Υ : χρονικό διάστημα παραμονής στην πόλη. Η τ.μ. Χ παίρνει τιμές από 1 ως 4, όπου 1χαμηλή και 4υψηλή ικανοποίηση του καταναλωτή από καταστήματα τροφίμων. Η τ.μ. Υ παίρνει τιμές από 1 ως, όπου 1παραμονή στην πόλη για χρονικό διάστημα λιγότερο ή ίσο από 6 έτη και παραμονή για περισσότερο από 6 έτη. Πιθανότητες για την ικανοποίηση του καταναλωτή και για την παραμονή στην πόλη : y x 1 3 4 σύνολα 1 0,04 0,14 0,3 0,07 0,48 0,07 0,17 0,3 0,05 0,5 σύνολα 0,11 0,31 0,46 0,1 1 5
( 1,1 ) 0,04. Οι περιθώριες πιθανότητες της τ.μ. Χ :,,,,,,,, ( 1, ) (,1) (,) ( 3,1 ) ( 3,) ( 4,1) 0,07. 0,14. 0,17. 0,3. 0,3. 0,07. ( 4,) 0,05. () 1 ( ) () 3 0,11. 0,31. 0,46. ( 4) 0,1. Οι περιθώριες πιθανότητες της τ.μ. Υ : () 1 0,48. ( ) 0,5. 6
Η δεσμευμένη πιθανότητα να πάρει το Χ την τιμή 4 όταν γνωρίζουμε ότι το Υ είναι : ( 4 / ) [ 4 / ] ( 4,) 0,05 0,5, / ( ) 0,10. Με όμοιο τρόπο υπολογίζουμε και τις υπόλοιπες δεσμευμένες πιθανότητεςτουχωςπροςυ. x y 1 3 4 1 0,08 0,9 0,48 0,15 0,13 0,33 0,44 0,1 7
Δύο τ.μ. Χ, Υ είναι ανεξάρτητες αν : ( x, y) ( x) ( )., y Αν οι τ.μ. Χ,Υ είναι ανεξάρτητες τότε : / / ( y / x) ( y) ( x / y) ( x). Παράδειγμα :,. ( 1,1 ) 0,04, ( 1) 0,11, ( 1) () 1 () 1 ( 0,11)( 0,48) 0,05 ( 1,1 ). Άρα οι τ.μ. Χ,Υ δεν είναι ανεξάρτητες., 0,48. 8
Κοινή αθροιστική συνάρτηση πιθανότητας (Joint cumulative probability function) : F F,, ( x, y ) ( x y ) 0 ( x, y ) ( x, y). 0 0 0 x x y y 0 0 0, Παράδειγμα : Έστω ότι στο αρχικό παράδειγμα μας ενδιαφέρει να γνωρίζουμε τηνπιθανότηταναισχύει: και Υ 1. F (,1) ( 1,1 ) + (,1) 0,04 + 0,14 0,18.,,, 0. 9
Άθροισμα δύο τυχαίων μεταβλητών Παράδειγμα συνέχεια Βρείτε την συνάρτηση πιθανότητας του συνολικού αριθμού σπιτιών που θα πουλήσουν οι Χρήστος και Υβόνη. Λύση + συνολικός αριθμός σπιτιών. + μπορεί να πάρει τις τιμές 0, 1,, 3, 4. Βρίσκουμε την συνάρτηση πιθανότητας του + ως εξής: 10
(+0) (0 and 0).1 (+1) (0 and 1)+ (1 and 0).1 +.4.63 (+) (0 and )+ (1 and 1)+ ( and 0).07 +.06 +.06.19.... x +y 0 1 3 4 p(x+y).1.63.19.05.01 Οι πιθανότητες (+)3 και (+) 4 υπολογίζονται με τον ίδιο τρόπο. 0 1 p(y) 0.1.4.06.60 1.1.06.03.30.07.0.01.10 p(x).40.50.10 1.00 11
Αναμενόμενη τιμή και διακύμανση του + Όταν η κατανομή του + είναι γνωστή μπορούμε να υπολογίσουμε E(+) και V(+). Εναλλακτικά μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τους E(a+b) ae() + be(); V(a+b) a V() + b V() αν και ανεξάρτητες. Όταν και δεν είναι ανεξάρτητες, πρέπει να συμπεριλάβουμε την συνδιακύμανση στον υπολογισμό της διακύμανσης V(a+b). 1
Η αναμενόμενη τιμή της g(,) : E [ g( )] g( x, y) ( x, y).,, x y Αν υποθέσουμε ότι δύο τ.μ. Χ, Υ δεν είναι ανεξάρτητες θα θέλαμε κάποιο μέτρο περιγραφής της σχέσης τους. Απλουστεύοντας, ψάχνουμε κάποιο μέτρο που να περιγράφει πιθανή γραμμική σχέση. ( μ ) ( μ ) Θα αναμέναμε να είναι θετικό αν υψηλές τιμές του Χ συνδέονται με υψηλές τιμές του Υ. 13
Συνδιακύμανση Cov(,) x E x y ( ) y E [( μ ) ( μ )] ( x μ ) ( y μ ) ( x,y ) x y μ, μ ( x,y ) μ μ., Οι αναμενόμενες τιμές συντελεστ ής συσχ έτισης ρ COV (, ) σ x σ y 14
Παράδειγμα - συνέχεια Βρείτε την συνδιακύμανση των πωλήσεων και, και υπολογίστε τον συντελεστή ρ. Λύση Υπολογισμός αναμενόμενων τιμών: μ x Σx i p(x i ) 0(.4)+1(.5)+(.1).7 μ y Σy i p(y i ) 0(.6)+1(.3)+(.1).5 Υπολογισμός συνδιακύμανσης: COV(,) Σ(x - μ x )(y - μ y )p(x,, y) (0-.7)(0-.5)(.1)+(0-.7)(1-.5)(.1)+ (0-.7)(-5)(.07) + +(-..7)(-.5)(.01) -.15 Υπάρχει αρνητική σχέση 15
Ο συντελεστής ρ δείχνει πόσο ισχυρή είναι η σχέση ανάμεσα στο και. Οι τυπικές αποκλίσεις των και V() Σ(x i -m x ) p(x i ) (0-.7) (.4)+(1-.7) (.5)+(-.7) (.1).41 σ x [V()] 1/.64 Παρόμοια υπολογίζουμε V().45 σ y [.45] 1/.67 ρ COV(,) σ x σ y.15 (.64)(.67).35 Σχετικά ασθενής αρνητική σχέση ανάμεσα στο και. 16
Η διακύμανση του αθροίσματος των τ.μ. και μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας V(a + b) a V() + b V() + abcov(,) a V() + b V() + abρσ x σy 17
Παράδειγμα Διαφοροποίηση χαρτοφυλακίου Ένας επενδυτής αποφασίζει να επενδύσει ίσο ποσό χρημάτων σε δύο επενδύσεις. Mean returnstandard dev Investment 1 15% 5% Investment 7% 40% Βρείτε την αναμενόμενη απόδοση του χαρτοφυλακίου Αν ρ 1,.5, 0 βρείτε την τυπική απόκλιση του χαρτοφυλακίου. 18
Λύση Η απόδοση του χαρτοφυλακίου παριστάνεται σαν R p w 1 R 1 + w R.5R 1 +.5R Τα σχετικά βάρη είναι ανάλογα των ποσών που επενδύονται. Έτσι, E(R p ) w 1 E(R 1 ) + w E(R ).5(.15) +.5(.7).1 Η διακύμανση της απόδοσης είναι V(R p ) w 1 V(R 1 ) + w V(R 1 ) +w 1 w ρσ 1 σ 19
Αντικαθιστώντας τις τιμές του ρ: σ p Για ρ 1 : V(R p ).1056.350 Για ρ.5: V(R p ).0806.839 Για ρ 0: V(R p ).0556.358 σ p σ p Μεγαλύτερη διαφοροποίηση σημαίνει μικρότερη συσχέτιση. Καθώς το ρ ελαττώνεται, Η τυπική απόκλιση ελαττώνεται επίσης. 0
Χαρτοφυλάκια με κ μετοχές Η αναμενόμενη τιμή της απόδοσης είναι E(R p ) w 1 E(R 1 ) + w E(R )+...+ w k E(R k ) Η διακύμανση της απόδοσης είναι V(R p ) w 1 V(R 1 ) + w V(R 1 ) + + w k V(R k )+ w 1 w ρσ 1 σ +. + w k-1 w k ρσ k-1 σ k 1
Παράδειγμα : Πιθανότητες για την ικανοποίηση του καταναλωτή Χ και για την παραμονή στην πόλη Υ : y x 1 3 4 σύνολα 1 0,04 0,14 0,3 0,07 0,48 0,07 0,17 0,3 0,05 0,5 σύνολα 0,11 0,31 0,46 0,1 1 Να υπολογίσετε και να ερμηνεύσετε τη συνδιακύμανση.
Λύση : μ + μ ( x) ( 1) ( 0,11) + ( ) ( 0,31) ()( 3 0,46) + ()( 4 0,1),59. E( ) y ( y) ( 1) ( 0,48) + ( ) ( 0,5) E( ) 1 1 + 3 1 E( ) 3,89., ( x, y) ( 0,04) + 1 ( 0,07) + 1 ( 0,14) + ( 0,17) ( 0,3) + 3 ( 0,3) + 4 1 ( 0,07) + 4 ( 0,05) Cov(, ) x y y x x x y E( ) μ μ 3,89 + 1,5. + (,59) ( 1,5) 0,05. Το αρνητικό πρόσημο της συνδιακύμανσης δηλώνει μικρή τάση οι υψηλές τιμές ικανοποίησης του πελάτη να συνδέονται με μικρή παραμονή στην πόλη. 3
Συνδιακύμανση και στατιστική ανεξαρτησία : Αν Χ, Υ είναι ανεξάρτητες τότε cov(,)0. Το αντίθετο δεν είναι αλήθεια, διότι αφού η cov σχεδιάστηκε για να μετράει γραμμική συσχέτιση, είναι δυνατόν να μην ανιχνεύει άλλου είδους εξαρτήσεις. Παράδειγμα : ( 1), 1 4, ( 1,1) E( ) 0 1 E( ) E( ) 0 1 4,, ( 0) (0,0) 1, 1 COV (, ), 0., (1) (1,1) 1 4, 1 4.. 4
Παράδειγμα : Ένας επενδυτής έχει $1.000 να επενδύσει και δύο επενδυτικές δυνατότητες, κάθε μία από τις οποίες απαιτεί το λιγότερο $500.Το κέρδος ανά $100 από την πρώτη επενδυτική επιλογή αντιστοιχεί στην τ.μ. Χ και έχει την ακόλουθη συνάρτηση πιθανότητας (probability function) : x -5 0 () 0,4 0,6 Το κέρδος ανά $100 από τη δεύτερη επενδυτική επιλογή αντιστοιχεί στην τ.μ. Υ και έχει την ακόλουθη συνάρτηση πιθανότητας (probability function) : y 0 5 () 0,6 0,4 Οι τ.μ. Χ και Υ είναι ανεξάρτητες. 5
μ σ Ο επενδυτής έχει τις παρακάτω 3 πιθανές στρατηγικές : α)$1.000 στην πρώτη επένδυση β)$1.000 στη δεύτερη επένδυση γ)$500 σε κάθε μία επένδυση. Βρείτε τον μέσο και την διακύμανση του κέρδους για κάθε μία στρατηγική. Λύση : E E ( ) x ( x) ( 5) ( 0,4) + ( 0) ( 0,6) $10. [( ) ] μ ( x μ ) ( x) ( 5 10) ( 0,4) + ( 0 10) ( 0,6) 150. Το μέσο κέρδος και η διακύμανση από τη στρατηγική α είναι : ( 10 ) 10 E( ) $100. ( 10 ) 100 Var( ) 15.000. E Var 6
μ σ E E ( ) y ( y) ( 0) ( 0,6) + ( 5) ( 0,4) $10. [( ) ] μ ( y μ ) ( y) ( 0 10) ( 0,6) + ( 5 10) ( 0,4) 150. Το μέσο κέρδος και η διακύμανση από τη στρατηγική β είναι : E(10 ) 10 E( ) $100. Var(10 ) 100 Var( ) 15.000. Το κέρδος της στρατηγικής γ είναι 5Χ+5Υ και έχει μέσο : ( ) + 5 E( ) $100. E( 5 + 5 ) E(5 ) + E(5 ) 5 E Δηλαδή και οι 3 στρατηγικές έχουν το ίδιο μέσο κέρδος. Αφού οι τ.μ. Χ και Υ είναι ανεξάρτητες και έχουν συνδιακύμανση ίση με 0, η διακύμανση της στρατηγικής γ είναι : Var(5 + 5 ) Var(5 ) + Var(5 ) 5 σ + 5 σ 7.500. Ο επενδυτής πρέπει να προτιμήσει την στρατηγική γ, αφού το μέσο κέρδος της είναι ίδιο με αυτό των στρατηγικών α και β, αλλά έχει μικρότερη διακύμανση, δηλαδή χαμηλότερο κίνδυνο. 7
Αρχείο xr07-77.mtw Οι εταιρίες McDonald s και Coca-Cola είναι δύο από τις καλύτερα διαχειριζόμενες εταιρίες που οι μετοχές τους εμπορεύονται στο New ork Stock Exchange. Οι 48 μηνιαίες αποδόσεις τουςγιαταχρόνια1993 1996 δίνονται στο αρχείο xr07-77.mtw (C3 και C4). 1. Υπολογίστε τον μέσο και την διακύμανση των αποδόσεων του δείγματος και συγκρίνετε τις δύο μετοχές.. Υπολογίστε την δειγματική συνδιακύμανση των αποδόσεων των μετοχών. 3. Ας υποθέσουμε ότι επενδύετε 0% του αρχικού σας κεφαλαίου στην Motorola και 80% στην Coca-Cola. Υπολογίστε την μέση τιμή και την διακύμανση της απόδοσης του χαρτοφυλακίου σας. 8
Εκτιμείστε μέσους και τυπικές αποκλίσεις (ρίσκο) : Stat, Basic Statistics, Display Descriptive Statistics Variables: C3 C4 Υπολογίστε τις αποδόσεις του χαρτοφυλακίου σας: Calc, Calculator Store results in variable C5 expression.*c3+.8*c4 Εκτιμείστε μέσο και τυπική απόκλιση του χαρτοφυλακίου Stat, Basic Statistics, Display Descriptive Statistics Variables: C5 Βρείτε εναλλακτικά την μέση απόδοση και τυπική απόκλιση του χαρτοφυλακίου σας χρησιμοποιώντας τους τύπους για Ε(R_p) και Var(R_p). Για να βρείτε την δειγματική συνδιακύμανση : Stat, Basic Statistics, Covariance (των C3 C4) 9