APEIROSTIKOS LOGISMOS I

APEIROSTIKOS LOGISMOS I ΟΛΟΗΜΕΡΟ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ Λύσεις ασκήσεων φυλλαδίου 4. Άσκηση : Υπολογίστε, αν υπάρχουν, τα παρακάτω όρια. Αν χρειάζεται, υπολογίστε τα αντίστοιχα πλευρικά όρια. + 4 3 + +, 3 + 3 +, + 3 ) 5, + + + 0 α, 0 e, 7 4 3 + 3 5 8 tan3) 0, + 3) 5 + 3) 4 + + 3) 8 +, 0 0 [ ] [ ] [,, +, + ), + π log) log3)), sin π), sin 0, ], + 0 e e e e, [ 4 ] 3 +. Λύση:. Παρατηρούμε ότι το όριο τού αριθμητή είναι 3 ενώ το όριο τού παρονομαστή είναι 0. Επομένως εξετάζουμε το πρόσημο τού παρονομαστή. Αν είναι θετικός κοντά στο τότε το όριο τού κλάσματος είναι +. Αν είναι αρνητικός τότε το όριο τού κλάσματος είναι. Εχουμε 4 3 + + = 4 3 + + + = + ) + + ) = + ) + ) = ) + ) > 0, για κάθε. Άρα το ζητούμενο όριο είναι +.. Το όριο τού αριθμητή και τού παρονομαστή είναι μηδέν. Για να άρουμε την απροσδιοριστία παραγοντοποιούμε. 3 + 3 + = ) + ) = ) + ) ) ) ) ) = +, για ±. Εξετάζουμε τα πλευρικά όρια στην παραπάνω ποσότητα. Εχουμε + =, + + = +.

Αφού είναι διαφορετικά, το αρχικό όριο δεν υπάρχει. 3. Οπως στην περίπτωση ακολουθίας, βγάζουμε κοινό παράγοντα το μεγιστοβάθμιο όρο σε αριθμητή και παρονομαστή. + 3 + + 4. Οπως πριν. ) 5 = + 3 + + ) 5 = = +. 7 4 3 + 3 5 8 = 7 4 = 4 7 + 8 )5 ) ) 7 + 8 ) 5 0 + 0 ) + 0 + 0 0 0 + 0 = 0. 5. Οπως στην περίπτωση ακολουθίας, πολλαπλασιάζουμε και διαιρούμε την ποσότητα μέσα στην παρένθεση με τη συζυγή παράσταση. + ) = = + + ) + + = = + + + 0 +. 6. Παρατηρούμε ότι το όριο τού παρονομαστή είναι 0. Επίσης, για α > 0, αν >, τότε ο παρονομαστής είναι θετικός ενώ, αν <, είναι αρνητικός. Ετσι α =, + α = +. Αφού τα πλευρικά όρια είναι διαφορετικά, το όριο δεν υπάρχει. Τελείως ανάλογα, για α < 0 έχουμε Επομένως το όριο δεν υπάρχει. α = +, + α =. 7. Οπως πριν. Το όριο τού παρονομαστή είναι 0. Για θετικά είναι θετικός, για αρνητικά είναι αρνητικός. Άρα 0 e =, Συμπεραίνουμε ότι το όριο δεν υπάρχει. 0+ e = +.

8. Για αρκετά κοντά στο 0, για παράδειγμα, στο σύνολο /, 0) 0, /), έχουμε tan3) = sin3) ) cos3). Στο πρώτο κλάσμα κάνουμε την αλλαγή μεταβλητής y = 3. Τότε y 0 καθώς 0. Ετσι Επίσης 0 sin3) = 3 sin y y 3 = 3. ) cos3) = 0 ) cos 0 =. Άρα το ζητούμενο όριο είναι 3 ) = 3. 9. Κάνουμε την αλλαγή μεταβλητής y = π. Τότε y 0 καθώς π. Επίσης Αλλά και sin sinπ + y) = π) y = y sin y y. y 0 y sin y ) = ) ) = + y y 0+ y sin y ) = + ) ) =. y Αφού τα πλευρικά όρια είναι διαφορετικά, το όριο δεν υπάρχει. 0. Παρατηρούμε ότι για > 0 έχουμε sin. Αλλά 0 καθώς 0+. Άρα, από παρεμβολή, το ζητούμενο όριο είναι ίσο με μηδέν.. Κάνουμε την αλλαγή μεταβλητής y = + 3. Τότε y 3+ καθώς 0+. Ετσι + 3) 5 + 3) 4 + + 3) 8 + = y 5 y 4 + y 8 + 3 5 3 4 + 3 8 + = 43 6644, καθώς y 3+. Η λύση αυτή δίνεται σαν παράδειγμα αλλαγής μεταβλητής. Το όριο μπορεί φυσικά να υπολογιστεί απ ευθείας: + 3) 5 0+ + 3) 4 + + 3) 8 + = 0 + 3) 5 0 + 3) 4 + 0 + 3) 8 + = 43 6644.. Παρατηρούμε ότι log) log3)) = log + log log 3 + log ). 3

Ετσι, κάνουμε την αλλαγή μεταβλητής y = log. Τότε y καθώς 0+, και καθώς y. log + log log 3 + log ) = log + y log 3 + y) log = y y + 0 + ) 0 log 3 0 + ) y + = 0, 3. Κάνουμε την αλλαγή μεταβλητής y = e. Τότε e e e e = y y y y. Εξετάζουμε τα πλευρικά όρια καθώς 0+ και 0. Παρατηρούμε ότι αν 0+, τότε +, άρα y = e +. Επομένως y y y y = y y y 0 0 0 0 =. y Τώρα, αν 0, τότε, άρα y = e 0. Συνεπώς y y y y 0 0 0 0 =. Δείξαμε, έτσι, ότι 0+ e e e e = 0 Επομένως το όριο υπάρχει και είναι ίσο με. e e e e =. 4. Στο ερώτημα αυτό και στα επόμενα, θα χρησιμοποιήσουμε τη σχέση [a] a < [a] +, η οποία ισχύει για κάθε a. Για να υπολογίσουμε το 0 [ ], αν υπάρχει, εξετάζουμε τα πλευρικά όρια. Για > 0, χρησιμοποιούμε τη δεξιά από τις παραπάνω ανισότητες, δηλαδή < [ ] + άρα < [ ], και παρατηρούμε ότι ) 0+ = +. 4

Συνεπώς 0+ [ ] = +. Για < 0 χρησιμοποιούμε την άλλη ανισότητα, δηλαδή [ ], και σε αναλογία με την προηγούμενη περίπτωση παρατηρούμε ότι Ετσι 0 =. 0 [ ] =. Αφού τα πλευρικά όρια είναι διαφορετικά, το όριο δεν υπάρχει. Η γραφική παράσταση τής συνάρτησης φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Είναι χρήσιμη και στο επόμενο ερώτημα. 6 4 3 3 4 6 5. Για 0 έχουμε 0 [ ]. Αλλά 0 καθώς + και, επομένως, από παρεμβολή, το ζητούμενο όριο είναι ίσο με μηδέν. Εναλλακτικά, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το ακόλουθο επιχείρημα. Αν >, τότε το είναι ένας θετικός αριθμός μικρότερος από. Τώρα, το ακέραιο μέρος ενός αριθμού είναι ο μεγαλύτερος ακέραιος ο οποίος είναι μικρότερος ή ίσος από τον αριθμό. Ετσι στην προκειμένη περίπτωση, αφού 0 < <, έχουμε ότι [ ] = 0. Δείξαμε δηλαδή ότι στο διάστημα, + ) η συνάρτηση [ ] είναι ταυτοτικά ίση με μηδέν, άρα και το όριό της καθώς + είναι ίσο με μηδέν. Με την ορολογία που έχουμε εισαγάγει στο μάθημα: «Η [ ] είναι ίση με μηδέν κοντά στο +». 5

6. Τελείως ανάλογα με το προηγούμενο ερώτημα. Αν <, τότε < < 0, άρα [ ] =. Συνεπώς το ζητούμενο όριο είναι ίσο με. 7. Εχουμε [ ] 4 3 + > 4 3 +. Αλλά Άρα 4 3 + = 4 + + + ) 0 + 0 = +. [ 4 ] 3 + = +. Άσκηση : Υπολογίστε τα παρακάτω όρια.. + f), αν + f) για κάθε >.. 0 f), αν f) > για κάθε στο, 0) 0, ). 3. 0 [ ], + [ ], [ ]. Λύση:. Εχουμε + = ) + ) 0) = +. + Άρα + f) = +. Στο ίδιο συμπέρασμα θα καταλήγαμε αν η ανισότητα ίσχυε για κάθε > c,, όπου c οποιοσδήποτε δεδομένος αριθμός.. Εξετάζουμε τα πλευρικά όρια. Αν 0 < <, η ανισότητα f) > συνεπάγεται ότι 0 < f) < αφού το κλάσμα είναι θετικό και ο αριθμητής θετικός, πρέπει και ο παρονομαστής να είναι θετικός, έτσι αν πολλαπλασιάσουμε και τα δυο μέλη τής ανισότητας με f), η φορά διατηρείται). Άρα από παρεμβολή, έχουμε ότι f) = 0. 0+ f) Αν < < 0, τότε από την >, παίρνουμε ότι < f) < 0 τώρα ο παρονομαστής είναι αρνητικός, επομένως πολλαπλασιάζοντας με f) η φορά τής ανισότητας αντιστρέφεται). Άρα, πάλι από παρεμβολή, f) = 0. 0 Αφού τα πλευρικά όρια είναι ίσα με μηδέν, συμπεραίνουμε ότι το όριο υπάρχει και είναι ίσο με μηδέν. 3. i) Εξετάζουμε τα πλευρικά όρια. Θα χρησιμοποιήσουμε την ανισότητα [ ] <, 0. 6

Αν > 0, τότε πολλαπλασιάζουμε την ανισότητα με και παίρνουμε [ ] <, άρα από παρεμβολή [ ] =. 0+ Αν < 0, τότε πολλαπλασιάζοντας με παίρνουμε [ ] <. Πάλι από παρεμβολή έχουμε [ ] =. 0 Αφού τα πλευρικά όρια είναι ίσα με, συμπεραίνουμε ότι το όριο είναι ίσο με. ii) Οπως είδαμε στην προηγούμενη άσκηση, αν >, τότε [ ] = 0, άρα στο διάστημα, + ), έχουμε [ ] = 0. Αυτό φυσικά σημαίνει ότι + [ ] = 0. iii) Οπως πριν. Στο διάστημα, ) έχουμε [ ] =, άρα [ ] = = +. Άσκηση 3: Χρησιμοποιώντας κατάλληλες ακολουθίες, αποδείξτε ότι δεν υπάρχουν τα παρακάτω όρια. []), + + )[], 0+ sin. Λύση:. Θέτουμε n = n και y n = n +. Τότε n = y n = +. Αλλά n [ n ] = n [n] = n n = 0 0, και y n [y n ] = n + [ n + ] = n + n =. Ετσι η συνάρτηση [] στέλνει δυο ακολουθίες που αποκλίνουν στο + σε δυο ακολουθίες οι οποίες συγκλίνουν σε διαφορετικά όρια. Επομένως το + []) δεν υπάρχει. Για να δείτε γιατί [ n + ] = n, παρατηρήστε ότι ο αριθμός n + πέφτει ανάμεσα στους διαδοχικούς φυσικούς n και n +, άρα το ακέραιο μέρος του είναι n. Δείτε και τη γραφική παράσταση: 7

.5.0 0.5 3 4 5 0.5.0.5. Επιλέγουμε n = n και y n = n +. Τότε n = y n = +. Αλλά ) n = ) n =, ) y n = ) n+ =. Ιδού η γραφική παράσταση:.5.0 0.5 0.5 3 4 5.0.5 3. Για τις θετικές ακολουθίες n = πn + π, y n = πn + 3π έχουμε ότι n = y n = 0. Ομως sin = πn + π ) sin πn + π ) = πn + π n n + και sin = πn + 3π ) sin πn + 3π ) = πn + 3π ). y n y n Παρατηρήστε τη γραφική παράσταση. Καθώς το πλησιάζει το 0 η συνάρτηση ταλαντώνεται με ολοένα μεγαλύτερη συχνότητα και πλάτος. Η n αντιστοιχίζεται στις θετικές κορυφές, ενώ η y n στις αρνητικές. 8,

30 0 0 0. 0. 0.3 0.4 0.5 0 0 30 9