ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΔΟΜΟΣΤΑΤΙΚΗΣ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΥΠΕΡΣΤΑΤΙΚΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΩΝ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΕΩΝ Κ. Β. ΣΠΗΛΙΟΠΟΥΛΟΣ Καθηγητής ΕΜΠ
Πορεία επίλυσης. Ευρίσκεται ο ελάχιστος βαθμός κινηματικής αοριστίας λαμβάνοντας υπόψη το αμετάβλητο του μήκους των ράβδων. Έτσι σημειώνονται τα άγνωστα κινηματικά μεγέθη (στροφές και μετατοπίσεις) που απαιτούνται στον υπολογισμό.. Εισάγονται τόσοι δεσμοί όσος και ο ελάχιστος βαθμός κινηματικής αοριστίας. Έτσι μηδενίζονται τα κινηματικά μεγέθη που σημειώθηκαν και δημιουργείται ο κινηματικά ορισμένος θεμελιώδης φορέας.. Στο θεμελιώδη φορέα εφαρμόζονται οι υπάρχουσες φορτίσεις ή/και θερμοκρασιακές μεταβολές, προένταση, δεδομένες υποχωρήσεις στηρίξεων. Χαράζονται οι ελαστικές γραμμές. Βάσει των ελαστικών γραμμών σημειώνονται και υπολογίζονται οι αναπτυσσόμενες ροπές στα άκρα του κάθε μέλους.. Στο θεμελιώδη φορέα επιβάλλονται ένα ένα τα άγνωστα κινηματικά μεγέθη. Χαράζονται οι αντίστοιχες ελαστικές γραμμές και βάσει αυτών σημειώνονται και υπολογίζονται οι αναπτυσσόμενες ροπές στα άκρα κάθε μέλους. 5. Αθροίζονται οι ροπές των σταδίων και, ακολουθώντας την κλασσική θετική σύμβαση για τις ροπές. Έτσι βρίσκονται εκφράσεις των ροπών στα άκρα των μελών. 6. Καταστρώνονται οι εξισώσεις ισορροπίας. Εάν τα άγνωστα κινηματικά μεγέθη είναι μόνο στροφές κόμβων, οι ισορροπίες των ροπών που βρέθηκαν στο στάδιο 5 γύρω από κάθε κόμβο δίνουν τις εξισώσεις ισορροπίας. Εάν στα άγνωστα κινηματικά μεγέθη περιλαμβάνονται και μετατοπίσεις, τότε χρειάζεται κατά τα στάδια και να υπολογισθούν και κατά το στάδιο 5 να αθροισθούν και δυνάμεις κατά τη διεύθυνση αυτών των μετατοπίσεων (τέμνουσες). Πρόσθετες εξισώσεις ισορροπίας, πέραν των εξισώσεων των ροπών στους κόμβους, καταστρώνονται, στις οποίες εμπλέκονται οι δυνάμεις αυτές. 7. Υπολογίζονται τα άγνωστα κινηματικά μεγέθη επιλύοντας το σύστημα των εξισώσεων του σταδίου 6. Στη συνέχεια υπολογίζονται οι τιμές των ροπών στα άκρα των μελών χρησιμοποιώντας τις εκφράσεις του σταδίου 5 και χαράζεται το διάγραμμα των ροπών. 8. Από τις ροπές στα άκρα των μελών και την εξωτερική φόρτιση, χαράζεται το διάγραμμα των τεμνουσών και εάν είναι δυνατόν και των αξονικών. Εάν υπάρχει ισορροπία με την εξωτερική φόρτιση τότε το πρόβλημα έχει επιλυθεί σωστά.
ο Παράδειγμα Στον φορέα του σχήματος ζητούνται τα διαγράμματα Μ, Q, N. 00 knm 0 kn/m,5 I 50 kn I m 6m ΛΥΣΗ u Βαθμός Κινηματικής αοριστίας Θεμελιώδης φορέας 06 8 5 0 E,5I 6 50 5 5 6 6 *φ 5 50 5 8 6 6 Ελαστική γραμμή λόγω φόρτισης Ελαστική γραμμή λόγω
u 6 6 *u 6 6 6 6 Ελαστική γραμμής λόγω u (γ) Εντατικά μεγέθη M M M Q 6 6 5 u 5 0,5 0,75 u 6 6 5 u 5 0,75 u 5 0,75 6 6 6 5 u 5 0,75 0,875 u (δ) Ισορροπίες 00 M M Q M 00 () Q 0 () M Από αντικατάσταση 5 () 0,75 u 00 5 0,75 5 0,75 0,875 u 0 ()
5 (ε) Από επίλυση συστήματος: Από αντικατάσταση: M 70, u 7, 5 0,5 70 0,75 7, 7,50 knm M M (στ) Διαγράμματα 5 70 0,75 7, 7,50 knm 5 0,7570 8,50 knm 7,50 6,5 - -,75 8,50 [M] - [Q] - [N] 7,50 50 6,5 Παρατηρήσεις. Τα διαγράμματα τεμνουσών προκύπτουν πάντα από τα διαγράμματα ροπών από ισορροπίες. 7,50 7,50 50 7,50 0 0 0 6 8,5 = 8,5,75 6 0 7,50 Q 6,5 δεξιόστροφη 6,5,75 Q,75 αριστερόστροφη
6. Ποιοτική Παρατήρηση Αν επιλυθεί το ίδιο πρόβλημα με ροπή αδρανείας στύλου ίση με διπλάσια της ροπής αδρανείας δοκού, προκύπτει το ακόλουθο διάγραμμα ροπών. 60 0 [M ] 60 Είναι προφανής η αύξηση των ροπών προς τη μεριά του ακαμπτότερου μέλους.
7 ο Παράδειγμα 5 EA m kn/m m 00 kn m 5 m (α) Στον φορέα του σχήματος ζητούνται τα Μ, Q, N. (β) Πόση είναι η στροφή του άκρου. Δεδομένα: I = 50.000 cm, A = 5cm, E =, 0 8 kn/m. ΛΥΣΗ φ V Βαθμός Κινηματικής αοριστίας Θεμελιώδης φορέας
8 Ελαστική γραμμή λόγω φόρτισης φ = 5 5 5 5 5 V = *φ *v 0,5 Ελαστική γραμμή λόγω Ελαστική γραμμή λόγω (γ) Εντατικά μεγέθη M, M, M M 0,5, M, Q 5 5 5 5
9 (δ) Ισορροπίες EA/ V M M M Q 00 M EA () Q v 00 () M M () 5 5,6 0,v () EA 00 00 () 0, 0, 7v () 5 5 (ε) Από επίλυση συστήματος: 5, 6 7,805, v Από αντικατάσταση στις σχέσεις (γ) προκύπτουν οι τιμές: M M,8 knm, M 7,8 knm, M 9,6 knm, M 5,6 knm 5, knm, F 9,95 knm (στ) Διαγράμματα 5, 9,6,8 5,6 [M] 7,8
0,86 9,95 0, 7,05 5,86 [Q] [N] 5,86 8,9. Χρησιμοποιώντας την Α.Δ.Ε., και θεωρώντας τον () ως απλό πρόβολο η στήριξη του οποίου πάνω στον (), που είναι στερεός φορέας, αποτυπώνεται ως έδαφος με δεδομένη στροφή φ, μπορούμε να υπολογίσουμε το φ. [ ~ M ] 5,6 M 5, M dx 5 9,879 0 rad Παρατηρήσεις. Ίδιο τρόπο αντιμετώπισης έχουν και περιπτώσεις με ελαστικές στηρίξεις, αφού η ελαστική EA ράβδος ταυτίζεται με την περίπτωση ελατηρίου σταθεράς k. I
. Ποιοτική παρατήρηση. Εάν EA το σημείο είναι ακίνητο. Στην περίπτωση αυτή η ελαστική γραμμή είναι επαλληλία των ελαστικών γραμμών λόγω φόρτισης και στροφής στον. Άρα για οποιαδήποτε τιμή κατανεμημένου φορτίου και μηκών των μελών, αναμένεται πάντα η ακόλουθη μορφή του διαγράμματος [Μ].
ο Παράδειγμα 5 m θ 50 kn m ΕΙ σταθ 5 m 5 m Στον φορέα του σχήματος ζητούνται τα διαγράμματα Μ, Q. ΛΥΣΗ δ 5 5 φ u u Λόγω ύπαρξης μέλους (): u u Θεμελιώδης φορέας Λόγω ύπαρξης μέλους (5): fu 5 Άρα βαθμός κινηματικής αοριστίας : έστω & u
0,0 ΕΙ φ = 5,85 5 0,007 0,7 9 sinθ=0,7 u = 0,75 ΕΙ ΕΙ 0,5 ΕΙ *φ 0,875ΕΙ 6 6 6 6 0,069 ΕΙ 6 *u Ελαστική γραμμή λόγω = Ελαστική γραμμή λόγω u Σημείωση: Επειδή η φόρτιση είναι επικόμβια, δεν αναπτύσσεται ελαστική γραμμή λόγω φόρτισης. (γ) (δ) Εντατικά μεγέθη M 5,85 9 5 0,7u M 5 0,557 0,08u 6 M u M 0,75u, 6 M M 0, 6 5 M 0,5 6 u M 0,5 0,75u 6 M u M 0,875u 6 Ισορροπίες, M 5 M θ Q 5 θ 50 M Q Q M M5 M () Fx 0 Q5 sin Q Q 50 ()
Από αντικατάσταση: 0,75u 0,557 0,08u 0,6 () 0,56u () Επίσης { 0,0 0,007u } 0,7 0,75 0,875u 0,069u 50 () 0,66 0, 7u 50 () (ε) Από επίλυση συστήματος: u 7, 07, 79, (στ) Διαγράμματα 5, 59, [Μ] 80,5 50,8 6, 5, [Q] 5,7
5 ο Παράδειγμα 0 kn/m 5 5 m 6 ΕΙ σταθ 8m 7 5 m 7 m 7 m 5 m (α) Στον φορέα του σχήματος ζητούνται τα Μ, Q. (β) Πόση είναι η βύθιση του σημείου. Δεδομένα: I = 500.000 cm, E =, 0 8 kn/m. ΛΥΣΗ Ο φορέα είναι συμμετρικός ως προς κατακόρυφο άξονα συμμετρίας που διέρχεται από το. Επειδή και η φόρτιση είναι συμμετρική ως προς τον ίδιο άξονα, οι μετατοπίσεις και στροφές καθώς και τα εντατικά μεγέθη είναι συμμετρικά ως προς τον ίδιο άξονα. Για το λόγο αυτό και λόγω του αμετάβλητου του μήκους των (6) και (5), δεν υπάρχει οριζόντια μετατόπιση των ζυγωμάτων (5) και (6). Επίσης δεν υπάρχουν και κατακόρυφες μετατοπίσεις των κόμβων και 6, λόγω των μελών () και (56) αντιστοίχως. Έτσι οι κόμβοι και 5 δεν έχουν επίσης ούτε κατακόρυφη μετατόπιση λόγω των μελών () και (56). Έτσι ο βαθμός κινηματικής αοριστίας είναι δύο: οι στροφές και αφού φ = - φ 6 και φ = - φ 5 λόγω συμμετρίας. φ φ φ φ Βαθμός κινηματικής αοριστίας Θεμελιώδης φορέας
6 0 960 0 960 7, 07 7,07 φ = 8 8 *φ φ = Ελαστική γραμμή λόγω φόρτισης Ελαστική γραμμή φορές και μέλους (6) λόγω συμμετρικών φ =. φ = 7, 07 7,07 *φ φ = Ελαστική γραμμή φορές και μέλους (5) λόγω συμμετρικών φ =. (Στα σχήματα σημειώνονται αριθμητικά οι ελαστικές γραμμές και ροπές που ενδιαφέρουν για το σχηματισμό των εξισώσεων ισορροπίας.)
7 (γ) Εντατικά μεγέθη M M 0, 5 8 M M 0,50 8 M M 0,9 6 6 M M 0,5657 0, 88 7, 07 7, 07 M M 0, 88 0,5657 7, 07 7, 07 M 960 M 960 0, 08 5 5 (δ) Ισορροπίες M M 6 M 5 M M M M M6 () M M5 () 0,50 0,5657 0, 88 0,9, 086 0, 88, 77 () 0, 88 0,5657 960 0,08 0, 88 0,690 960 () (ε) Από επίλυση του συστήματος: 85, 5 67,7,
8 Από αντικατάσταση στις σχέσεις (γ) προκύπτει: M M 9,5kNm, M 7,78kNm, M 9,7068kNm, M6 8,79kNm, M5 55,0756kNm 8,79kNm (στ) Διαγράμματα 0 67, 8,8 57, 8,8 7,8 7,8 9,7 9,7 55, 0 5, - - 5, - 96, 96, [Μ] 6, 6, [Q] Χρησιμοποιώντας την Α.Δ.Ε. και θεωρώντας το () ως απλό πρόβολο, η στήριξη του οποίου πάνω στον υπόλοιπο στερεό φορέα αποτυπώνεται από τη δεδομένη στροφή φ μπορεί να υπολογισθεί η μετατόπιση στον. ~ M 67,7 M v M dx 57, 8,8 6 767, v v, 6cm
9 5 ο Παράδειγμα 50 kn 50 kn 0 o C I,,5h 5 I,,5h 6 0 o C 0 o C 0 o C I, h I, h I, h 0 o C m 0,5cm 0,5cm m 5m 5m m Για την δεικνυόμενη φόρτιση, διαφορά θερμοκρασίας και υποχωρήσεις στηρίξεων, να υπολογισθούν τα διαγράμματα Μ, Q. Δίδονται: Θερμοκρασία κατασκευής : Τ ο =5 ο C, a t = 0-5, h = 0cm, = 05.000 knm. ΛΥΣΗ Ο φορέα είναι συμμετρικός με συμμετρική φόρτιση ως προς κατακόρυφο άξονα συμμετρίας που διέρχεται από το 5. Άρα δεν υπάρχει οριζόντια μετατόπιση στο (56) και λόγω της ύπαρξης του μέλους (5) δεν υπάρχει ούτε κατακόρυφη μετατόπιση στο 5. Θα αναλυθεί λοιπόν ο μισός φορέας. φ 5 u Βαθμός κινηματικής αοριστίας Θεμελιώδης φορέας Επειδή η φόρτιση είναι επικόμβια δεν αναπτύσσεται ελαστική γραμμή λόγω φόρτισης. Θερμοκρασιακή μεταβολή Η ανάλυση της θερμοκρασίας σε αξονικού τύπου και καμπτικού τύπου φαίνεται παρακάτω:
0 0 o C 5 o C -5 o C = 0 o C 5 o C Επειδή η θερμοκρασία κατασκευής είναι Το = 5 ο 5 o C C, είναι προφανές ότι η θερμοκρασιακή μεταβολή είναι μόνο καμπτικού τύπου ΔΤ=5-(-5)=0. Οι ελαστικές γραμμές λόγω διαφοράς θερμοκρασίας φαίνονται στο σχήμα. Δεν αναπτύσσεται ελαστική γραμμή στο αμφίπακτο υπάρχουν όμως εντατικά μεγέθη που δημιουργούνται λόγω του μηδενισμού των στροφών που αναπτύσσονται λόγω θερμοκρασιακής διαφοράς στο αντίστοιχο ισοστατικό μέλος. t E I,5h t E I,5h 6E I 5 0,005 t h 0,005 0,005 6E I 5 E I 5 0,005 0,005 Ελαστική γραμμή λόγω θερμοκρασίας,7 φ = E I 5 6E I 5 E I Ελαστική γραμμή λόγω μετατόπισης στηρίξεως 5 / *φ 6E I,7 5 6E I cos sin 5 5 *u 6E I u = Ελαστική γραμμή λόγω φ = Ελαστική γραμμή λόγω u =
Ανάλυση τελευταίας ελαστικής γραμμής V sin φ φ Πρέπει sin V cos V tan cos cos,7,7 sin (γ) Εντατικά μεγέθη T M cos sin u M 6, 5 0, 6708 0,677u h, 7,7 t T 8 6 M 0, 005 u M, 6 0, u, 5h 5 5 5 t 5 5 T 6 M 0, 005 u M 6 0,8 0, u, 5h 5 5 5 t 5 5 Q 0, 005 u Q 00,8 0, 8 0, 096u 5 5 5 5 5 (δ) Ισορροπία 50 M 5 M 5 0 M Q 5 M M () Mo 0 () 5
6, 5 0,6708 0,677u,6 0, u, 708 0,07u 78, 5 () 50 Q5 M5 0 00 0,6 0,96 0,9u,6 0, u 0,56 0, u,6 () (ε) Από επίλυση του συστήματος των εξισώσεων () & () προκύπτει: 85, 8 7,985 u u 0, 6cm, 0, 0rad Από αντικατάσταση: M 6,kNm, M5 (στ) Διαγράμματα 68, 6,kNm, M5 68,kNm 6, 6, 8,6 8,6 [M],9 [Q],9 Από ισορροπίες των κομβων και προκύπτει το διάγραμμα των αξονικών.,9 8,6 8,6 φ V,9/ sin V,5 N,5cos N 7,86 6,
[Ν] 7,86 6, 7,86 Ελαστική γραμμή
6 ο Παράδειγμα e 0, m f 0,55m e 0,m m V 8m ) Να χαραχθούν τα διαγράμματα Μ, Q του πλαισίου του σχήματος, συναρτήσει της δύναμης προεντάσεως V της δοκού. ) Αν το πλαίσιο πρόκειται να αναλάβει στο ζύγωμα οριζόντια φόρτιση 0kN και κατακόρυφη φόρτιση 0 kn/m, να βρεθεί η δύναμη προεντάσεως V έτσι ώστε να μηδενίζεται μία από τις μέγιστες αναπτυσσόμενες ροπές και ταυτόχρονα οι υπόλοιπες να έχουν όσο το δυνατό μικρότερο μέγεθος. u φ φ ΛΥΣΗ Βαθμός κινηματικής αοριστίας Θεμελιώδης φορέας Η προένταση της δοκού του πλαισίου είναι μια φόρτιση που δημιουργεί στην αντίστοιχη ισοστατική αμφιέρειστη δοκό δύο συγκεντρωμένες δυνάμεις στα άκρα της, και ένα ομοιόμορφο ql 8Vf αντιφορτίο q α που προκαλεί στο μέσο ροπή ίση με Vf. Άρα Vf q. Το 8 l φορτίο αυτό είναι ομοιόμορφο αφού το καλώδιο είναι παραβολικό.
5 α V α V q α Το όλο σύστημα αυτό δυνάμεων και φορτίων ισοδυναμεί με τις ακόλουθες δυνάμεις και φορτία πάνω στον ουδέτερο άξονα, λόγω της μικρής γωνίας α: Ve Vf l q α Vf l Ve V l Έτσι λοιπόν στην αμφίπακτη δοκό του θεμελιώδους φορέα φορέα, όπως φαίνονται στην ελαστική q l γραμμή λόγω προέντασης, αναπτύσσονται οι θεμελιώδεις ροπές Ve και : V0, 0,55 0,7V φ = 8 q α 6 8 *φ Ελαστική γραμμή λόγω προέντασης Ελαστική γραμμή λόγω φ = u = u = 8 8 φ = 6 6 6 6 6 6 6 * u 6 6 *φ Ελαστική γραμμή λόγω u = Ελαστική γραμμή λόγω φ =
6 (γ) Εντατικά μεγέθη M u 6 M 0,7V 8 8 M 0,7V 8 8 M M Q Q 6 u 6 6 u 6 u 6 6 6 u 6 6 (δ) Ισορροπία M M M M Q Q M M () M M () Q Q 0 (),5 0,5 0,875u 0,7V () 0, 5,50 0,75u 0,7V () 0,875 0,75 0, u 0 () (ε) Από επίλυση του συστήματος ()-(): 0,8V 0,6V 0,9V,, u
7 Από αντικατάσταση στις εκφράσεις των ροπών προκύπτει: M M 0,5V, M M 0,09V M 0,0V (στ) Διαγράμματα 0,6V 0,5V 0,09V 0,5V 0,V [M πρ ] 0,0V Το διάγραμμα τεμνουσών στο ζύγωμα είναι επαλληλία των τεμνουσών που αναπτύσσεται λόγω των ακραίων ροπών και της φόρτισης λόγω προέντασης. 0,5V 0,09V 0,V 0,V 0,006V 0,006V = = 0,78V 0,006V 0,006V q 0,75V 0,75V - 0,7V [Q πρ ] 0,088V 0,088V ) Για να υπολογίσουμε το διάγραμμα ροπών για την ομοιόμορφη φόρτιση και τη συγκεντρωμένη δύναμη, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα:
8 0 kn 0kN/m Αρκεί να αντικατασταθεί το πρώτο από τα τέσσερα διαγράμματα της σελίδας 5 με το 0kN/m 08 60 Τα δεύτερα μέλη των εξισώσεων (), () και () γίνονται 60, -60 και 0 αντίστοιχα. Μετά την επίλυση προκύπτει το κατώτερο διάγραμμα ροπών: 5, 0,5 7, [M φορ ],6 Από επαλληλία των M M προκύπτει:
9 M 5, 0, 5V M 5, 0, 5V M m 7, 0, 6V M 0,5 0, V M 0,5 0, 09V M,6 0,0V Αποδεικνύεται, μετά από δοκιμές, μηδενίζοντας διαδοχικά τις μέγιστες ροπές που αναπτύσσονται m είτε στο μέσο είτε στις άκρες της δοκού ότι μηδενίζοντας τη ροπή M, προκύπτει η μικρότερη στο μέγεθος κατανομής ροπών. Και άρα: M m 0 V 5kV 6,7 69,5 6, 55, [M τελ ],
0 Ποιοτική χάραξη διαγραμμάτων με τη χρήση της μεθόδου μετατοπίσεων