Σελίδ πό 5 Η θεωρί στ Μθημτικά κτεύθυσης : Ορισμοί Ιδιότητες - Προτάσεις Θεωρήμτ Αποδείξεις Α Μιγδικοί ριθμοί Πότε δυο μιγδικοί είι ίσοι κι πότε ές μιγδικός είι ίσος με ; Δύο μιγδικοί ριθμοί ισχύει: βi κι γ δi είι ίσοι, κι μόο γ κι β δ Δηλδή βi γ δi γ κι β δ Επειδή i, έχουμε βi κι Πώς ορίζοτι οι πράξεις με μιγδικούς ριθμούς ; β Γι τη πρόσθεση δύο μιγδικώ ριθμώ βi κι γ δi έχουμε: βi γ δi γ β δ i Γι τη φίρεση του μιγδικού ριθμού γ δi πό το βi, επειδή ο τίθετος του μιγδικού γ δi είι ο μιγδικός γ δi, έχουμε: Δηλδή βi γ δi βi γ δi γ β δ i βi γ δi γ β δ i Γι το πολλπλσισμό δύο μιγδικώ βi κι δi γ έχουμε: Δηλδή είι : i i i i i ii i i iii ii i βi γ δi γ βδ δ βγ i Τέλος, γι εκφράσουμε το πηλίκο βi γ δi, όπου γ δi, στη μορφή κ λi, πολλπλσιάζουμε τους όρους του κλάσμτος με το συζυγή του προομστή κι έχουμε: 3// Μπάμπης Στεργίου -
Σελίδ πό 5 βi βi γ δi γ βδ βγ δ i γ βδ βγ δ i γ δi γ δi γ δi γ δ γ δ γ δ Δηλδή, βi γ δi γ βδ βγ δ i γ δ γ δ 3 Τι οομάζουμε συζυγή εός μιγδικού ριθμού z i κι τι ιδιότητες έχει ; Συζυγή του μιγδικού ριθμού zi λέμε το ριθμό z i Ο συζυγής του z συμβολίζετι επίσης κι με βi Είι δηλδή : βi βi Επειδή είι κι βi βi, οι ριθμοί βi, βi λέγοτι συζυγείς μιγδικοί 4 Ν γράψετε τις ιδιότητες τω συζυγώ ριθμώ κι ποδείξετε ότι z z z z Στο μιγδικό επίπεδο οι εικόες M, β κι M, β δύο συζυγώ μιγδικώ z βi κι z βi είι σημεί συμμετρικά ως προς το πργμτικό άξο 4 Mz Ο M z Γι δύο συζυγείς μιγδικούς ριθμούς z βi κι z βi μπορούμε εύκολ, με εκτέλεση τω πράξεω, διπιστώσουμε ότι: z z z z βi Α κι z βi z γ δi είι δυο μιγδικοί ριθμοί, τότε: z z z z z z z z 3 z z z z 4 z z z z 5 z z z z z z 6 z z z z z z 3// Μπάμπης Στεργίου -
Σελίδ 3 πό 5 Θεώρημ 5Ν ποδειχθεί ότι : z z z z Απόδειξη Η πόδειξη της ιδιότητς z z z z γίετι ως εξής : Α z βi κι z γ δi, τότε έχουμε : z z βi γ δi γ β δ i γ β δ i βi γ δi z z 6 Πώς υπολογίζουμε τις δυάμεις του i ; Γι υπολογίσουμε συγκεκριμέη δύμη του i, γράφουμε το εκθέτη στη μορφή 4ρ υ, όπου ρ είι το πηλίκο κι υ το υπόλοιπο της ευκλείδεις διίρεσης του με το 4, οπότε έχουμε: i i 4 ρυ i i 4 ρ υ 4 ρ i υ ρ υ i i i υ i - i γ β δ i βi γ δi z z, υ, υ, υ, υ 3 Θεώρημ 7 Ν λύσετε στο σύολο τω μιγδικώ ριθμώ τη εξίσωση,, R κι z z με Απόδειξη Έστω η εξίσωση z βz γ, με,, R κι Μετσχημτίζουμε τη εξίσωση, με τη μέθοδο συμπλήρωσης τετργώω, στη μορφή: όπου Δ β 4γ β Δ z, 4 είι η δικρίουσ της εξίσωσης Έτσι, έχουμε τις εξής περιπτώσεις: Α Α Α Δ, τότε η εξίσωση έχει δύο πργμτικές λύσεις: Δ Δ, τότε έχει μι διπλή πργμτική λύση:, τότε, επειδή β z i i 4 4 z, β, η εξίσωση γράφετι: Δ 3// Μπάμπης Στεργίου -
Σελίδ 4 πό 5 Άρ οι λύσεις της είι: z, β i Δ β i z Δ, οι οποίες είι συζυγείς μιγδικοί ριθμοί Ν ποδείξετε το πρκάτω κριτήριο : Γι έ μιγδικό ριθμό z ισχύει ότι: Ο z είι πργμτικός, κι μόο Ο z είι φτστικός, κι μόο z z z z Απόδειξη Δες το τετράδιό σου ή γίει ξά στη τάξη 8 Τι λέμε μέτρο εός μιγδικού ριθμού ; Έστω M, η εικό του μιγδικού z i στο μιγδικό επίπεδο Ορίζουμε ως μέτρο του z τη πόστση του M πό τη ρχή, δηλδή β z 5 M, z M Ο a 9 Ν γράψετε τις ιδιότητες του μέτρου μιγδικού ριθμού Ισχύει ότι : z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z Θεώρημ Ν ποδείξετε ότι : z z z Απόδειξη z 3// Μπάμπης Στεργίου -
Σελίδ 5 πό 5 Έχουμε: z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z κι επειδή η τελευτί ισότητ ισχύει, θ ισχύει κι η ισοδύμη ρχική Τι εκφράζει γεωμετρικά το μέτρο της διφοράς δύο μιγδικώ, δηλδή ο ριθμός z z β Τι πριστάει η εξίσωση zz, ; γ Τι πριστάει η εξίσωση zz zz ; Το μέτρο της διφοράς δύο μιγδικώ είι ίσο με τη πόστση τω εικόω τους Δηλδή: β Η εξίσωση πριστάει το κύκλο με κέτρο το σημείο γ Η εξίσωση M M z z zz, Kz κι κτί zz z z πριστάει τη μεσοκάθετο του τμήμτος με άκρ τ σημεί Az κι Bz 3// Μπάμπης Στεργίου -
Σελίδ πό 8 Η θεωρί στ Μθημτικά κτεύθυσης : Ορισμοί Ιδιότητες - Προτάσεις Θεωρήμτ Αποδείξεις Β Γεικό μέρος τω συρτήσεω Τι λέμε σύολο τιμώ μις συάρτησης με πεδίο ορισμού το σύολο A ; Σύολο τιμώ της λέμε το σύολο που έχει γι στοιχεί του τις τιμές της σε όλ τ δηλδή: A { γι κάποιο A} A Το σύολο τιμώ της στο συμβολίζετι με A A Είι Τι λέμε γρφική πράστση μις συάρτησης με πεδίο ορισμού το σύολο A ; Γρφική πράστση της λέμε το σύολο τω σημείω M, γι τ οποί ισχύει, δηλδή το σύολο τω σημείω M,, με A Σχόλι - Η γρφική πράστση της κι συμβολίζετι συήθως με C - Η εξίσωση, λοιπό, επληθεύετι μόο πό τ σημεί της C Επομέως, η είι η εξίσωση της γρφικής πράστσης της - Οτ δίετι η γρφική πράστση μις συάρτησης, τότε: C Το πεδίο ορισμού της είι το σύολο Α τω τετμημέω τω σημείω της C β Το σύολο τιμώ της είι το σύολο A τω τετγμέω τω σημείω της C γ Η τιμή της στο A είι η τετγμέη του σημείου τομής της ευθείς κι της C Σχ 8 = 8 C Α C C A, Α β γ 6// Μπάμπης Στεργίου - Μθημτικός
Σελίδ πό 8 - Ότ δίετι η γρφική πράστση, μις συάρτησης μπορούμε, επίσης, σχεδιάσουμε κι τις γρφικές πρστάσεις τω συρτήσεω κι C Η γρφική πράστσης της συάρτησης είι συμμετρική, ως προς το άξο, της γρφικής πράστσης της, γιτί ποτελείτι πό τ σημεί M, που είι συμμετρικά τω M,, ως προς το άξο Σχ 9 Μ, 9 = Μ, = β Η γρφική πράστση της ποτελείτι πό τ τμήμτ της C που βρίσκοτι πάω πό το άξο κι πό τ συμμετρικά, ως προς το άξο, τω τμημάτω της C που βρίσκοτι κάτω πό το άξο υτό Σχ = = 3 Ν χράξετε τις γρφικές πρστάσεις τω βσικώ συρτήσεω 3 β β, γ, δ, ε, Οι γρφικές πρστάσεις φίοτι πρκάτω : Η πολυωυμική συάρτηση β a> a< a= βη πολυωυμική συάρτηση, > < 3 γ Η πολυωυμική συάρτηση, 6// Μπάμπης Στεργίου - Μθημτικός
Σελίδ 3 πό 8 3 > < δ Η ρητή συάρτηση, 4 > < ε Οι συρτήσεις, 5 4 Ν χράξετε τις γρφικές πρστάσεις τω πρκάτω συρτήσεω :,, β, γ lo, Οι γρφικές πρστάσεις φίοτι πρκάτω : Οι τριγωικές συρτήσεις : ημ, συ, εφ 6// Μπάμπης Στεργίου - Μθημτικός
Σελίδ 4 πό 8 6 π π =ημ π π =συ β π/ π/ 3π/ =εφ γ Υπεθυμίζουμε ότι, οι συρτήσεις ημ κι συ συάρτηση εφ είι περιοδική με περίοδο T π β Η εκθετική συάρτηση, είι περιοδικές με περίοδο T π, εώ η 7 Ιδιότητες Υπεθυμίζουμε ότι: > Α, τότε: << Α, τότε: β γ Η λογριθμική συάρτηση lo, 6// Μπάμπης Στεργίου - Μθημτικός
Σελίδ 5 πό 8 8 > << β Ιδιότητες Υπεθυμίζουμε ότι: 4 lo lo lo lo lo lo κι 5 lo lo lo 3 lo κι lo 6 k lo κlo 7 Α, τότε: lo lo ln ln 8 e, φού e 5 Πότε δύο συρτήσεις, λέγοτι ίσες ; Δύο συρτήσεις κι λέγοτι ίσες ότ: έχου το ίδιο πεδίο ορισμού Α κι γι κάθε A ισχύει, εώ, τότε lo lo 6 Πώς ορίζοτι οι πράξεις της πρόσθεσης, φίρεσης, γιομέου κι πηλίκου δύο συρτήσεω, ; Ορίζουμε ως άθροισμ, διφορά -, γιόμεο κι πηλίκο με τύπους δύο συρτήσεω, τις συρτήσεις,, 6// Μπάμπης Στεργίου - Μθημτικός
Σελίδ 6 πό 8 Το πεδίο ορισμού τω, κι είι η τομή A B τω πεδίω ορισμού Α κι Β τω συρτήσεω κι τιστοίχως, εώ το πεδίο ορισμού της προομστή, δηλδή το σύολο είι το A B, εξιρουμέω τω τιμώ του που μηδείζου το { A κι B, με } 7 Τι λέμε σύθεση της συάρτησης με τη συάρτηση ; Α, είι δύο συρτήσεις με πεδίο ορισμού Α, Β τιστοίχως, τότε οομάζουμε σύθεση της με τη, κι τη συμβολίζουμε με, τη συάρτηση με τύπο o Σχόλι Το πεδίο ορισμού της ποτελείτι πό όλ τ στοιχεί του πεδίου ορισμού της γι τ οποί το ήκει στο πεδίο ορισμού της Δηλδή είι το σύολο A { A } B Είι φερό ότι η o ορίζετι, A, δηλδή A B β Γεικά,, είι δύο συρτήσεις κι ορίζοτι οι o κι o, τότε υτές δ ε ε ί ι υ π ο χ ρ ε ω τ ι κ ά ίσες Α,, h είι τρεις συρτήσεις κι ορίζετι η hoo, τότε ορίζετι κι η ho o κι ισχύει ho o ho o Τη συάρτηση υτή τη λέμε σύθεση τω, κι h κι τη συμβολίζουμε με γεικεύετι κι γι περισσότερες πό τρεις συρτήσεις hoo Η σύθεση συρτήσεω 8 Πότε μι συάρτηση λέγετι γησίως ύξουσ κι πότε γησίως φθίουσ σε έ διάστημ Δ ; Η συάρτηση λέγετι γησίως ύξουσ σ έ δ ι ά σ τ η μ Δ του πεδίου ορισμού της, ότ γι οποιδήποτε Δ με ισχύει:, Η συάρτηση λέγετι γησίως φθίουσ σ έ δ ι ά σ τ η μ Δ του πεδίου ορισμού της, ότ γι οποιδήποτε, Δ με ισχύει: 6// Μπάμπης Στεργίου - Μθημτικός
Σελίδ 7 πό 8 9 Πότε μι συάρτηση με πεδίο ορισμού A λέμε ότι προυσιάζει στο o Aολικό μέγιστο κι πότε ολικό ελάχιστο ; Μι συάρτηση με πεδίο ορισμού Α θ λέμε ότι: Προυσιάζει στο A ολικό μέγιστο, το, ότ γι κάθε A Προυσιάζει στο A ολικό ελάχιστο, το, ότ γι κάθε A Πότε μι συάρτηση με πεδίο ορισμού A λέγετι ; Μι συάρτηση συεπγωγή: :A R λέγετι συάρτηση, ότ γι οποιδήποτε A ισχύει η Α, τότε Σχόλι Μι συάρτηση :AR είι συάρτηση, κι μόο γι οποιδήποτε, A ισχύει η συεπγωγή:, τότε Είι φερό πό το ορισμό της συάρτησης ότι ισχύει η ισοδυμί : β Από το ορισμό προκύπτει ότι μι συάρτηση είι, κι μόο : - Γι κάθε στοιχείο του συόλου τιμώ της η εξίσωση έχει κριβώς μι λύση ως προς - Δε υπάρχου σημεί της γρφικής της πράστσης με τη ίδι τετγμέη Αυτό σημίει ότι κάθε οριζότι ευθεί τέμει τη γρφική πράστση της το πολύ σε έ σημείο - Α μι συάρτηση είι γησίως μοότοη, τότε είι συάρτηση " " Το τίστροφο γεικά δε ισχύει Υπάρχου δηλδή συρτήσεις που είι λλά δε είι γησίως μοότοες, Πότε μι συάρτηση με πεδίο ορισμού A τιστρέφετι κι πώς ; Μι συάρτηση :ARτιστρέφετι, κι μόο είι Η τίστροφη συάρτηση της συμβολίζετι με ορίζετι πό τη σχέση : Σχόλι Ισχύει ότι : που 6// Μπάμπης Στεργίου - Μθημτικός
Σελίδ 8 πό 8, A κι, A β Η τίστροφη της έχει πεδίο ορισμού το σύολο τιμώ A της, κι σύολο τιμώ το πεδίο ορισμού Α της γ Οι γρφικές πρστάσεις C κι C τω συρτήσεω κι είι συμμετρικές ως προς τη ευθεί που διχοτομεί τις γωίες κι 6// Μπάμπης Στεργίου - Μθημτικός
Σελίδ πό 5 Η θεωρί στ Μθημτικά κτεύθυσης : Ορισμοί Ιδιότητες - Προτάσεις Θεωρήμτ Αποδείξεις Γ Όρι συρτήσεω Ποι πρότση συδέει το όριο της στο κι τ πλευρικά όρι της στο ; Ισχύει ότι : Α μι συάρτηση είι ορισμέη σε έ σύολο της μορφής ισοδυμί: Πρτηρήσεις στο όριο o,, β, τότε ισχύει η o Ισχύει ότι : β h h β Τους ριθμούς κι τους λέμε πλευρικά όρι της στο κι συγκεκριμέ το ριστερό όριο της στο, εώ το δεξιό όριο της στο γ Γι ζητήσουμε το όριο της στο, πρέπει η ορίζετι όσο θέλουμε κοτά στο, δηλδή η είι ορισμέη σ έ σύολο της μορφής,, ή, ή, β β Το μπορεί ήκει στο πεδίο ορισμού της συάρτησης Σχ 39, 39β ή μη ήκει σ υτό Η τιμή της στο, ότ υπάρχει, μπορεί είι ίση με το όριό της στο Σχ 39 ή διφορετική πό υτό δ Ισχύει ότι κι c c Πότε λέμε ότι μι συάρτηση έχει κοτά στο μι ιδιότητ Ρ ; Μι συάρτηση λέμε ότι έχει κοτά στο μι ιδιότητ Ρ, ότ ισχύει μι πό τις πρκάτω τρεις συθήκες: Η είι ορισμέη σε έ σύολο της μορ φής,, β κι στο σύολο υτό έχει τη ιδιότητ Ρ o 7//
Σελίδ πό 5 β Η είι ορισμέη σε έ σύολο της μορφής,, έχει σ υτό τη ιδιότητ Ρ, λλά δε ορίζετι σε σύολο της μορφής, β γ Η είι ορισμέη σε έ σύολο της μορφής, β, έχει σ υτό τη ιδιότητ Ρ, λλά δε ορίζετι σε σύολο της μορφής, 3 Ν γράψετε τις ιδιότητες τω ορίω ορίου στο o Γι το όριο ισχύου οι πρκάτω ιδιότητες : Θεώρημ ο Α, τότε κοτά στο Α, τότε κοτά στο β Θεώρημ ο Α οι συρτήσεις, έχου όριο στο κι ισχύει κοτά στο, τότε γ Θεώρημ 3ο Α υπάρχου τ όρι τω συρτήσεω κι στο κ κ, γι κάθε στθερά, τότε: κ R 3 4, εφόσο 5 6 k k, εφόσο κοτά στο δ Θεώρημ 4ο Έστω τώρ το πολυώυμο P κι P P R Είι τότε : P Έστω η ρητή συάρτηση Q, όπου P, Q πολυώυμ του κι R με Q Θ είι τότε P P Q Q, όπου Q 7//
Σελίδ 3 πό 5 ε Θεώρημ 5ο Έστω οι συρτήσεις τότε,,h Α h κοτά στο κι h, Κριτήριο πρεμβολής στ Ισχύει ότι ημ, γι κάθε RΗ ισότητ ισχύει μόο ότ ημ ημ συ συ ημ συ 4 Πώς υπολογίζουμε το όριο της σύθετης συάρτησης στο o Α θέλουμε υπολογίσουμε το όριο της σύθετης συάρτησης στο σημείο,δηλδή το, τότε εργζόμστε ως εξής: Θέτουμε u Υπολογίζουμε υπάρχει το u κι 3 Υπολογίζουμε υπάρχει το u uu Α u κοτά στο, τότε το ζητούμεο όριο είι ίσο με, δηλδή ισχύει: u uu 5 Ν γράψετε τις ιδιότητες του άπειρου ορίου στο o Όπως στη περίπτωση τω πεπερσμέω ορίω έτσι κι γι τ άπειρ όρι συρτήσεω, που ορίζοτι σε έ σύολο της μορφής,,, ισχύου οι πρκάτω ισοδυμίες: β β γ Α, τότε κοτά στο, εώ, τότε κοτά στο 7//
Σελίδ 4 πό 5 δ Α, τότε, εώ, τότε ε Α ή, τότε στ Α κι κοτά στο, τότε, εώ κι κοτά στο, τότε ζα ή, τότε η Α, τότε k θ i κι γεικά, * N ii, N κι, N ι Γι το άθροισμ κι το γιόμεο ισχύου τ πρκάτω θεωρήμτ : ΘΕΩΡΗΜΑ ο όριο θροίσμτος Α στο το όριο της είι: R R - - κι το όριο της είι: - - - τότε το όριο της είι: - - ; ; ΘΕΩΡΗΜΑ ο όριο γιομέου Α στο R, το όριο της είι: κι το όριο της είι: τότε το όριο της είι: > < > < + + - - + + - - + - + - + - + - - + ; ; + - - + Σχόλιο Οι πρκάτω μορφές λέγοτι προσδιόριστες μορφές :,,,,, 7//
Σελίδ 5 πό 5 6 Ν γράψετε τις ιδιότητες γι το όριο στο άπειρο Γι το υπολογισμό του ορίου στο ή εός μεγάλου ριθμού συρτήσεω χρειζόμστε τ πρκάτω βσικά όρι: κι, N *, άρτιος κι -, περιττός, * β Γι τη πολυωυμική συάρτηση P, με ισχύει: P κι P γ Γι τη ρητή συάρτηση β κ κ β κ κ β β,, β ισχύει: κ κι βκ βκ δ Γι το όριο εκθετικής - λογριθμικής συάρτησης ισχύει ότι κ κ Α Σχ 6, τότε 6, =a lo, lo =lo a Α Σχ 6, τότε, =a 6 lo, lo =lo a Σχόλι Γι ζητήσουμε το όριο μις συάρτησης στο, πρέπει η είι ορισμέη σε διάστημ της μορφής, Γι ζητήσουμε το όριο μις συάρτησης στο πρέπει η είι ορισμέη σε διάστημ της μορφής, β Γι τ όρι στο, ισχύου οι γωστές ιδιότητες τω ορίω στο με τη προϋπόθεση ότι: οι συρτήσεις είι ορισμέες σε κτάλληλ σύολ κι δε κτλήγουμε σε προσδιόριστη μορφή 7//
Η θεωρί στ Μθημτικά κτεύθσσης : Οπιζμοί Ιδιόηηηερ - Πποηάζειρ Θεωπήμη Αποδείξειρ Σελίδ πό 5 Δ ΤΝΕΧΕΙΑ ΤΝΑΡΣΗΗ Ορισμοί Ορισμός Πότε μι συάρτηση λέγετι συεχής στο ; Έστω μι συάρτηση κι έ σημείο του πεδίου ορισμού της Θ λέμε ότι η είι συεχής στο, ότ χόλιο: Ισοδύμ, θ λέμε ότι η είι συεχής στο, ότ Πότε μι συάρτηση δε είι συεχής στο ; Mι συάρτηση δε είι συεχής σε έ σημείο του πεδίου ορισμού της ότ: Δε υπάρχει το όριό της στο ή β Υπάρχει το όριό της στο, λλά είι διφορετικό πό τη τιμή της, στο σημείο Ορισμός 3 Πότε μι συάρτηση λέγετι πλώς συεχής; Μί συάρτηση που είι συεχής σε όλ τ σημεί του πεδίου ορισμού της, θ λέγετι, πλά, συεχής συάρτηση Ορισμός 4 Ποιές συρτήσεις είι γωστό ότι είι συεχείς; Κάθε πολυωυμική συάρτηση Ρ είι συεχής, φού γι κάθε ισχύει P P P Κάθε ρητή συάρτηση είι συεχής, φού γι κάθε του πεδίου ορισμού της ισχύει Q P P Q Q Οι συρτήσεις ημ κι ζς είι συεχείς, φού γι κάθε ισχύει ημ ημ κι συ συ Τέλος, ποδεικύετι χωρίς όμως πιτείτι η πόδειξη πό τους μθητές ότι: Οι συρτήσεις κι lo, είι συεχείς
Σελίδ πό 5 5 Θεώρημ Από το ορισμό της συέχεις στο κι τις ιδιότητες τω ορίω προκύπτει ότι: Α οι συρτήσεις κι είι συεχείς στο, τότε είι συεχείς στο κι οι συρτήσεις:, c, όπου c,,, κι με τη προϋπόθεση ότι ορίζοτι σε έ διάστημ που περιέχει το 6 Θεώρημ Α η συάρτηση είι συεχής στο κι η συάρτηση είι συεχής στο σύθεσή τους o είι συεχής στο, τότε η Ορισμός 7 Πότε μι συάρτηση λέμε ότι είι συεχής σε έ οικτό διάστημ, β ; Μι συάρτηση θ λέμε ότι είι συεχής σε έ οικτό διάστημ, β, ότ είι συεχής σε κάθε σημείο του, β Σχ 63 Ορισμός 8 Πότε μι συάρτηση λέμε ότι είι συεχής σε έ κλειστό διάστημ [, ; Μι συάρτηση θ λέμε ότι είι συεχής σε έ κλειστό διάστημ [,, ότ είι συεχής σε κάθε σημείο του, β κι επιπλέο κι β β Σχ 63β 63 a β [ ] a β β χόλιο: Μι συάρτηση μπορεί είι συεχής στο διάστημ [, κι μη είι συεχής υποχρεωτικά συεχής στο σημείο του πεδίου ορισμού της
Δ ΘΕΩΡΗΜΑΣΑ ΤΝΕΧΕΙΑ 9 Θεώρημ Bolzano Έστω μι συάρτηση, ορισμέη σε έ κλειστό διάστημ [, Α: η είι συεχής στο [, κι, επιπλέο, ισχύει β, τότε υπάρχει έ, τουλάχιστο,, τέτοιο, ώστε β Σελίδ 3 πό 5 Δηλδή, υπάρχει μι, τουλάχιστο, ρίζ της εξίσωσης στο οικτό διάστημ, β ή λλιώς, η γρφική πράστση της τέμει το άξο σε έ τουλάχιστο σημείο ΧΟΛΙΟ Από το θεώρημ του Bolzano προκύπτει ότι: Α μι συάρτηση είι συεχής σε έ διάστημ Δ κι δε μηδείζετι σ υτό, τότε υτή ή είι θετική γι κάθε Γ ή είι ρητική γι κάθε Γ, δηλδή διτηρεί πρόσημο στο διάστημ Δ Σχ 65 65 > a β a < β Μι συεχής συάρτηση διτηρεί πρόσημο σε κθέ πό το διστήμτ στ οποί οι διδοχικές ρίζες της χωρίζου το πεδίο ορισμού της β 66 + ρ + + ρ ρ 3 ρ 4 ρ 5 Πως μπορούμε προσδιορίσουμε το πρόσημου μις συεχούς συάρτησης ; Βρίσκουμε τις ρίζες της β Σε κθέ πό τ υποδιστήμτ που ορίζου οι διδοχικές ρίζες, επιλέγουμε έ ριθμό κι βρίσκουμε το πρόσημο της στο ριθμό υτό Το πρόσημο υτό είι κι το πρόσημο της στο τίστοιχο διάστημ
Θεώρημ εδιάμεσω τιμώ γείκευση του θεωρήμτος του Bolzano Έστω μι συάρτηση, η οποί είι ορισμέη σε έ κλειστό διάστημ [, Α: η είι συεχής στο [, κι β τότε, γι κάθε ριθμό η μετξύ τω κι β υπάρχει ές, τουλάχιστο, τέτοιος, ώστε ΑΠΟΔΕΙΞΗ η Σελίδ 4 πό 5 β Ας υποθέσουμε ότι β Τότε θ ισχύει η β Σχ 67 Α θεωρήσουμε τη συάρτηση η, [,, πρτηρούμε ότι: η είι συεχής στο [, κι β, φού η κι β β η Επομέως, σύμφω με το θεώρημ του Bolzano, υπάρχει, τέτοιο, ώστε, οπότε η β η β η a Α, 67 Bβ,β =η a β ΧΟΛΙΟ Α μι συάρτηση δε είι συεχής στο διάστημ [,, τότε, όπως φίετι κι στο διπλό σχήμ, δε πίρει υποχρεωτικά όλες τις εδιάμεσες τιμές β η a 68 =η a β Πρότση Η εικό Γ εός διστήμτος Δ μέσω μις συεχούς κι μη στθερής συάρτησης είι διάστημ 69 a β a β β [ a β γ Στη ειδική περίπτωση που το Δ είι έ κλειστό διάστημ [,, ισχύει το πρκάτω θεώρημ
3 Θεώρημ Μέγιστης κι ελάχιστης τιμής Α είι συεχής συάρτηση στο [,, τότε η πίρει στο [, μι μέγιστη τιμή Μ κι μι ελάχιστη τιμή m Σχ 69δ Μ Σελίδ 5 πό 5 m Μ m [ ] a β δ Δηλδή, υπάρχου [, ] τέτοι, ώστε, m κι M, ισχύει ΣΧΟΛΙΟ, β m M, γι κάθε [, Από το πρπάω θεώρημ κι το θεώρημ εδιάμεσω τιμώ προκύπτει ότι το σύολο τιμώ μις συεχούς συάρτησης με πεδίο ορισμού το [, είι το κλειστό διάστημ [ m, M], όπου m η ελάχιστη τιμή κι Μ η μέγιστη τιμή της Γι πράδειγμ, η συάρτηση ημ, [, π] έχει σύολο τιμώ το [, ], φού είι συεχής στο [, π ] με m κι M 3π/ π/ π π 7 4 Α μι συάρτηση είι γησίως ύξουσ κι συεχής σε έ οικτό διάστημ, β, τότε το σύολο τιμώ της στο διάστημ υτό είι το διάστημ Α, Β Σχ 7, όπου Α κι B β Α, όμως, η είι γησίως φθίουσ κι συεχής στο, β, τότε το σύολο τιμώ της στο διάστημ υτό είι το διάστημ B, A Σχ 7β 7 B Α A Β a β a β β
Σελίδ πό 6 Η θεωρί στ Μθημτικά κτεύθυσης : Ορισμοί Ιδιότητες - Προτάσεις Θεωρήμτ Αποδείξεις Γ Διφορικός λογισμός Κόες πργώγισης Πότε μι συάρτηση λέγετι πργωγίσιμη στο σημείο του πεδίου ορισμού της ; Μι συάρτηση λέμε ότι είι πργωγίσιμη σ έ σημείο υπάρχει το κι είι πργμτικός ριθμός του πεδίου ορισμού της, Το όριο υτό οομάζετι πράγωγος της στο κι συμβολίζετι με Δηλδή: Σχόλι Α, τώρ, στη ισότητ θέσουμε h h h h, τότε έχουμε β Α το είι εσωτερικό σημείο εός διστήμτος του πεδίου ορισμού της, τότε: Η είι πργωγίσιμη στο κι είι ίσ, κι μόο υπάρχου στο R τ όρι, Ν γράψετε τη εξίσωση της εφπτομέης της C στο σημείο της A, Η εξίσωση της ε φ π τ ο μ έ η ς ε της C στο σημείο της A, είι: Σχόλιο Μπάμπης Στεργίου Μθημτικός //
Σελίδ πό 6 Τη κλίση της εφπτομέης ε στο A, θ τη λέμε κι κλίση της C στο Α ή κλίση της στο Θεώρημ 3 Α μι συάρτηση είι πργωγίσιμη σ έ σημείο, τότε είι κι συεχής στο σημείο υτό Απόδειξη Γι έχουμε οπότε θ είι :, [ ], φού η είι πργωγίσιμη στο Επομέως,, δηλδή η είι συεχής στο Σχόλιο Το τίστροφο του πρπάω θεωρήμτος δε ισχύει Ισχύει όμως ότι : Α μι συάρτηση δε είι συεχής σ έ σημείο, τότε, σύμφω με το προηγούμεο θεώρημ, δε μπορεί είι πργωγίσιμη στο Ορισμός 4 Πότε μι συάρτηση λέγετι : Πργωγίσιμη στο σύολο Α β Πργωγίσιμη στο οικτό διάστημ, β γ Πργωγίσιμη στο κλειστό διάστημ [, Έστω μι συάρτηση με πεδίο ορισμού έ σύολο Α Θ λέμε ότι: H είι πργωγίσιμη στο Α ή, πλά, πργωγίσιμη, ότ είι πργωγίσιμη σε κάθε σημείο A β Η είι πργωγίσιμη σε έ οικτό διάστημ, β του πεδίου ορισμού της, ότ είι πργωγίσιμη σε κάθε σημείο, β γ Η είι πργωγίσιμη σε έ κλειστό διάστημ [, του πεδίου ορισμού της, ότ είι πργωγίσιμη στο, β κι επιπλέο ισχύει Μπάμπης Στεργίου Μθημτικός //
Σελίδ 3 πό 6 R κι R 5 Ν ποδείξετε ότι : Α, τότε β Α c, τότε γ Α, με N {,}, τότε δ Α, τότε, Απόδειξη Γι ισχύει: c c Επομέως,, δηλδή c β Γι ισχύει ότι : Επομέως,, δηλδή γ Α είι έ σημείο του, τότε γι ισχύει:, Επομέως :, δηλδή δ Α είι έ σημείο του, τότε γι, ισχύει:, οπότε : Μπάμπης Στεργίου Μθημτικός //
Σελίδ 4 πό 6 δηλδή Σχόλι Τύποι, Έστω συάρτηση ημ Η συάρτηση είι πργωγίσιμη στο R κι ισχύει συ, δηλδή ημ συ Έστω η συάρτηση συ Η συάρτηση είι πργωγίσιμη στο R κι ισχύει ημ, δηλδή συ ημ Έστω η συάρτηση e Αποδεικύετι ότι η είι πργωγίσιμη στο R κι ισχύει e, δηλδή e e ln Έστω η συάρτηση Αποδεικύετι ότι η είι πργωγίσιμη στο, κι ισχύει, δηλδή ln 6 Θεώρημ Α οι συρτήσεις, είι πργωγίσιμες στο, τότε η συάρτηση στο κι ισχύει: είι πργωγίσιμη Απόδειξη Γι, ισχύει: Μπάμπης Στεργίου Μθημτικός //
Σελίδ 5 πό 6 Επειδή οι συρτήσεις είι πργωγίσιμες στο, έχουμε:,, δηλδή Σχόλι Τύποι Α Α οι συρτήσεις είι πργωγίσιμες στο, τότε κι η συάρτηση είι πργωγίσιμη στο κι ισχύει:, Ισχύει επομέως ότι : - Α οι συρτήσεις είι πργωγίσιμες σ έ διάστημ Δ, τότε γι κάθε ισχύει:, Δ - Α είι πργωγίσιμη συάρτηση σ έ διάστημ Δ κι c R, επειδή, σύμφω με το θεώρημ έχουμε: c c c Β Α οι συρτήσεις είι πργωγίσιμες στο κι,, τότε κι η συάρτηση είι πργωγίσιμη στο κι ισχύει: ] [ Ισχύει επομέως ότι : Α οι συρτήσεις είι πργωγίσιμες σ έ διάστημ Δ κι γι κάθε ισχύει, τότε γι κάθε, Δ Δ έχουμε: ] [ Γ Έστω η συάρτηση, * N Η συάρτηση είι πργωγίσιμη στο R* κι ισχύει, δηλδή Απόδειξη Πράγμτι, γι κάθε έχουμε: N * Μπάμπης Στεργίου Μθημτικός //
Σελίδ 6 πό 6 Δ Έστω η συάρτηση εφ R { συ } κι ισχύει συ Η συάρτηση είι πργωγίσιμη στο εφ, δηλδή συ Απόδειξη Πράγμτι, γι κάθε R { συ } έχουμε: ημ ημ συ ημσυ συσυ ημημ εφ συ συ συ συ ημ συ Έστω η συάρτηση κι ισχύει συ ημ σφ Η συάρτηση είι πργωγίσιμη στο R { ημ }, δηλδή σφ ημ 7 Θεώρημ Α η συάρτηση είι πργωγίσιμη στο κι η είι πργωγίσιμη στο, τότε η συάρτηση είι πργωγίσιμη στο κι ισχύει Σχόλι Γεικά, μι συάρτηση είι πργωγίσιμη σε έ διάστημ Δ κι η είι πργωγίσιμη στο Δ, τότε η συάρτηση είι πργωγίσιμη στο Δ κι ισχύει Δηλδή, u, τότε Με το συμβολισμό του Leibniz, u u u κι u u, έχουμε το τύπο d d που είι γωστός ως κός της λυσίδς d du du d Μπάμπης Στεργίου Μθημτικός //
Σελίδ 7 πό 6 8Θεώρημ Ν ποδείξετε ότι : Η συάρτηση β Η συάρτηση, R Q είι πργωγίσιμη στο, γ Η συάρτηση ln Απόδειξη Πράγμτι,, κι ισχύει, είι πργωγίσιμη στο R κι ισχύει ln, R* είι πργωγίσιμη στο R* κι ισχύει e ln u, τότε έχουμε e Επομέως, ln κι θέσουμε u ln u u ln e e ue ln u β Πράγμτι, e κι θέσουμε u ln, τότε έχουμε e Επομέως, γ Πράγμτι, τότε u u ln e e u e ln ln ln ln, εώ ln ln κι u, έχουμε lnu Επομέως,, τότε ln, οπότε, θέσουμε κι άρ Σχόλιο ln lnu u u Τις πρπάω ποδείξεις μπορούμε τις πλοποιήσουμε Αυτό γίει στη τάξη πό το κθηγητή Γ Διφορικός λογισμός Βσικά θεωρήμτ-συέπειες ΘΜΤ - Μοοτοί 9 Τι λέμε ρυθμό μετβολής του μεγέθους ως προς το μέγεθος γι, είι πργωγίσιμη συάρτηση ; Μπάμπης Στεργίου Μθημτικός //
Σελίδ 8 πό 6 Α δύο μετβλητά μεγέθη, συδέοτι με τη σχέση, ότ είι μι συάρτηση πργωγίσιμη στο, τότε οομάζουμε ρυθμό μετβολής του ως προς το στο σημείο τη πράγωγο Ν διτυπώσετε τι θεώρημ του Rolle κι δώσετε τη γεωμετρική ερμηεί Το θεώρημ του Rolle διτυπώετι ως εξής : Α μι συάρτηση είι: συεχής στο κλειστό διάστημ [, πργωγίσιμη στο οικτό διάστημ, β κι β τότε υπάρχει έ, τουλάχιστο, τέτοιο, ώστε ξ, β ξ Γεωμετρικά, υτό σημίει ότι υπάρχει έ, τουλάχιστο, ξ, β τέτοιο, ώστε η εφπτομέη της C στο M ξ, ξ είι πράλληλη στο άξο τω 8 Μξ,ξ Ββ,β Α, ξ ξ β Ν διτυπώσετε το θεώρημ της μέσης τιμής του διφορικού λογισμού κι δώσετε τη γεωμετρική του ερμηεί Το θεώρημ της μέσης τιμής διτυπώετι ως εξής : Α μι συάρτηση είι: συεχής στο κλειστό διάστημ [, κι πργωγίσιμη στο οικτό διάστημ, β τότε υπάρχει έ, τουλάχιστο, ξ, β τέτοιο, ώστε: ξ β β Γεωμετρικά, υτό σημίει ότι υπάρχει έ, τουλάχιστο, ξ, β τέτοιο, ώστε η εφπτομέη της γρφικής πράστσης της στο σημείο M ξ, ξ είι πράλληλη της ευθείς ΑΒ Mξ,ξ Aa,a Ββ,β Ο a ξ ξ β Μπάμπης Στεργίου Μθημτικός //
Σελίδ 9 πό 6 Θεώρημ Έστω μι συάρτηση ορισμέη σε έ διάστημ Δ Α η είι συεχής στο Δ κι γι κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σημείο του Δ, τότε η είι στθερή σε όλο το διάστημ Δ Αρκεί ποδείξουμε ότι γι οποιδήποτε, Δ ισχύει Πράγμτι Α, τότε προφώς Α, τότε στο διάστημ [, ] η ικοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήμτος μέσης τιμής Επομέως, υπάρχει ξ, τέτοιο, ώστε ξ Επειδή το ξ είι εσωτερικό σημείο του Δ, ισχύει ξ,οπότε, λόγω της, είι Α, τότε ομοίως ποδεικύετι ότι Σε όλες, λοιπό, τις περιπτώσεις είι 3 θεώρημ Έστω δυο συρτήσεις οι,, είι συεχείς στο Δ κι ορισμέες σε έ διάστημ Δ Α γι κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σημείο του Δ, τότε υπάρχει στθερά c τέτοι, ώστε γι κάθε Δ ισχύει: c Η συάρτηση είι συεχής στο Δ κι γι κάθε εσωτερικό σημείο Δ ισχύει Επομέως, σύμφω με το πρπάω θεώρημ, η συάρτηση είι στθερή στο Δ Άρ, υπάρχει στθερά C τέτοι, ώστε γι κάθε Δ ισχύει c, οπότε c =+c = Σχόλιο Τ πρπάω θεωρήμτ 3 κι 4 ισχύου σε διάστημ κι όχι σε έωση διστημάτω 4Πρότσηχωρίς πόδειξη Μπάμπης Στεργίου Μθημτικός //
Σελίδ πό 6 Α γι μι συάρτηση ισχύει ότι γι κάθε R, τότε ce γι κάθε RΑτί του R μπορούμε έχουμε τυχίο διάστημ Δ 5 θεώρημ Έστω μι συάρτηση, η οποί είι σ υ ε χ ή ς σε έ διάστημ Δ Α το Δ Α όλο το Δ σε κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σημείο του Δ, τότε η είι γησίως ύξουσ σε όλο σε κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σημείο του Δ, τότε η είι γησίως φθίουσ σε Αποδεικύουμε το θεώρημ στη περίπτωση που είι Έστω, Δ με Θ δείξουμε ότι Πράγμτι, στο διάστημ [, ] η ικοποιεί τις προϋποθέσεις του ΘΜΤ Επομέως, υπάρχει ξ, τέτοιο, ώστε ξ, οπότε έχουμε Επειδή ξ ξ κι, έχουμε, οπότε Στη περίπτωση που είι εργζόμστε λόγως Σχόλιο Το τίστροφο του πρπάω θεωρήμτος δε ισχύει Δηλδή, η είι γησίως ύξουσ τιστοίχως γησίως φθίουσ στο Δ, η πράγωγός της δε είι υποχρεωτικά θετική τιστοίχως ρητική στο εσωτερικό του Δ Γ 3 Διφορικός λογισμός κρόττ- σημεί κμπής σύμπτωτες- κόες de L Hospital 6 Πότε μι συάρτηση με πεδίο ορισμού Α προυσιάζει στο A τοπικό μέγιστο κι πότε τοπικό ελάχιστο ; Μι συάρτηση, με πεδίο ορισμού Α, θ λέμε ότι προυσιάζει στο A τοπικό μέγιστο, ότ υπάρχει δ, τέτοιο ώστε : γι κάθε A δ, δ Το λέγετι θέση ή σημείο τοπικού μεγίστου, εώ το τοπικό μέγιστο της Μπάμπης Στεργίου Μθημτικός //
Σελίδ πό 6 β Μί συάρτηση, με πεδίο ορισμού Α, θ λέμε ότι προυσιάζει στο A τοπικό ελάχιστο, ότ υπάρχει δ, τέτοιο ώστε :, γι κάθε A δ, δ Το λέγετι θέση ή σημείο τοπικού ελχίστου, εώ το τοπικό ελάχιστο της Σχόλιο Α μι συάρτηση προυσιάζει μέγιστο, τότε υτό θ είι το μεγλύτερο πό τ τοπικά μέγιστ, εώ προυσιάζει, ελάχιστο, τότε υτό θ είι το μικρότερο πό τ τοπικά ελάχιστ Το μεγλύτερο όμως πό τ τοπικά μέγιστ μίς συάρτησης δε είι πάτοτε μέγιστο υτής Επίσης το μικρότερο πό τ τοπικά ελάχιστ μίς συάρτησης δε είι πάτοτε ελάχιστο της συάρτησης Θεώρημ Fermat 7 Έστω μι συάρτηση ορισμέη σ έ διάστημ Δ κι έ εσωτερικό σημείο του Δ Α η προυσιάζει τοπικό κρόττο στο κι είι πργωγίσιμη στο σημείο υτό, ποδείξετε ότι : Απόδειξη Ας υποθέσουμε ότι η προυσιάζει στο τοπικό μέγιστο Επειδή το είι εσωτερικό σημείο του Δ κι η προυσιάζει σ υτό τοπικό μέγιστο, υπάρχει δ τέτοιο, ώστε δ, δ Δ κι, γι κάθε δ, δ Επειδή, επιπλέο, η είι πργωγίσιμη στο Επομέως,, ισχύει δ,, τότε, λόγω της, θ είι, οπότε θ έχουμε, δ, τότε, λόγω της, θ είι, οπότε θ έχουμε Έτσι, πό τις κι 3 έχουμε Η πόδειξη γι τοπικό ελάχιστο είι άλογη 3 33 δ +δ 8 Ποι λέγοτι κρίσιμ σημεί μις συάρτησης σε έ διάστημ Δ ; β Ποιες είι οι πιθές θέσεις κροτάτω μις συάρτησης σε έ διάστημ Δ ; Μπάμπης Στεργίου Μθημτικός //
Σελίδ πό 6 Κρίσιμ σημεί της στο διάστημ Δ λέγοτι τ ε σ ω τ ε ρ ι κ ά σημεί του Δ, στ οποί η δε πργωγίζετι ή η πράγωγός της είι ίση με το μηδέ β Οι π ι θ έ ς θ έ σ ε ι ς τ ω τ ο π ι κ ώ κ ρ ο τ ά τ ω μις συάρτησης σ έ διάστημ Δ είι: Τ εσωτερικά σημεί του Δ στ οποί η πράγωγος της μηδείζετι Τ εσωτερικά σημεί του Δ στ οποί η δε πργωγίζετι 3 Τ άκρ του Δ ήκου στο πεδίο ορισμού της 9 Πώς βρίσκουμε τ ολικά κρόττ σε μι συεχή συάρτηση σε έ κλειστό διάστημ ; Γι τη εύρεση του μέγιστου κι ελάχιστου της συάρτησης σε έ κλειστό διάστημ εργζόμστε ως εξής: Βρίσκουμε τ κρίσιμ σημεί της Υπολογίζουμε τις τιμές της στ σημεί υτά κι στ άκρ τω διστημάτω 3 Από υτές τις τιμές η μεγλύτερη είι το μέγιστο κι η μικρότερη το ελάχιστο της Θεώρημ Έστω μι συάρτηση πργωγίσιμη σ έ διάστημ του, στο οποίο όμως η είι συεχής, β, με εξίρεση ίσως έ σημείο i Α στο, κι στο, β, τότε το είι τοπικό μέγιστο της ii A η διτηρεί πρόσημο στο,, β, τότε το δε είι τοπικό κρόττο κι η είι γησίως μοότοη στο, β Απόδειξη i Επειδή γι κάθε, κι η είι συεχής στο, η είι γησίως ύξουσ στο, ] Έτσι έχουμε, γι κάθε, ] Επειδή γι κάθε, β κι η είι συεχής στο, η είι γησίως φθίουσ στο [, β Έτσι έχουμε:, γι κάθε [, β Μπάμπης Στεργίου Μθημτικός //
Σελίδ 3 πό 6 > < > < 35a a β a β Επομέως, λόγω τω κι, ισχύει:, γι κάθε, β, που σημίει ότι το είι μέγιστο της στο, β κι άρ τοπικό μέγιστο υτής ii Έστω ότι, γι κάθε,, β > > 35γ > > a β a β Επειδή η είι συεχής στο θ είι γησίως ύξουσ σε κάθε έ πό τ διστήμτ, ] κι [, β Επομέως, γι ισχύει Άρ το δε είι τοπικό κρόττο της Θ δείξουμε, τώρ, ότι η είι γησίως ύξουσ στο, β Πράγμτι, έστω,, β με Α, ], επειδή η είι γησίως ύξουσ στο, ], θ ισχύει, Α [,, επειδή η είι γησίως ύξουσ στο [, β, θ ισχύει, β Τέλος,, τότε όπως είδμε Επομέως, σε όλες τις περιπτώσεις ισχύει, οπότε η είι γησίως ύξουσ στο, β Ομοίως, γι κάθε,, β Πότε μι συάρτηση λέγετι κυρτή κι πότε κοίλη σε έ διάστημ Δ ; Η συάρτηση λέγετι κυρτή ή ότι στρέφει τ κοίλ άω σ έ διάστημ Δ ότ είι συεχής στο Δ κι η είι γησίως ύξουσ στο ε σ ω τ ε ρ ι κ ό του Δ Η συάρτηση λέγετι κοίλη ή ότι στρέφει τ κοίλ προς τ κάτω στο Δ, είι συεχής στο Δ κι η είι γησίως φθίουσ στο ε σ ω τ ε ρ ι κ ό του Δ Μπάμπης Στεργίου Μθημτικός //
Σελίδ 4 πό 6 Ν διτυπώσετε το θεώρημ που φορά τ κοίλ κι το πρόσημο της δεύτερης πργώγου της Ισχύει το πρκάτω θεώρημ : Εστω μι συάρτηση σ υ ε χ ή ς σ έ διάστημ Δ κι δυο φορές πργωγίσιμη στο ε σ ω τ ε ρ ι κ ό του Δ Α γι κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σημείο του Δ, τότε η είι κυρτή στο Δ Α γι κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σημείο του Δ, τότε η είι κοίλη στο Δ 3 Πότε το σημείο A, λέγετι σημείο κμπής μις συάρτησης ; Το σημείο A, οομάζετι σημείο κμπής της γρφικής πράστσης της, ότ : η είι κυρτή στο, κι κοίλη στο, β, ή τιστρόφως, κι η C έχει εφπτομέη στο σημείο A, Σχόλιο Ότ το A, είι σημείο κμπής της C, τότε λέμε ότι η προυσιάζει στο κμπή κι το λέγετι θέση σημείου κμπής 4 Ποιο θεώρημ φορά τ σημεί κμπής μις δυο φορές πργωγίσιμης συάρτησης ; Γι τ σημεί κμπής ισχύει το επόμεο θεώρημ : Α το A, είι σημείο κμπής της γρφικής πράστσης της κι η είι δυο φορές πργωγίσιμη, τότε Ερώτηση : Ποιες είι οι πιθές θέσεις σημείω κμπής μις συάρτησης σε έ διάστημ ; Οι π ι θ έ ς θ έ σ ε ι ς σ η μ ε ί ω κ μ π ή ς μις συάρτησης σ έ διάστημ Δ είι: i Τ εσωτερικά σημεί του Δ στ οποί η μηδείζετι ii Τ εσωτερικά σημεί του Δ στ οποί δε υπάρχει η Μέθοδος Κριτήριο : Έστω μι συάρτηση oρισμέη σ έ διάστημ κι, β, β Α Μπάμπης Στεργίου Μθημτικός //
Σελίδ 5 πό 6 η λλάζει πρόσημο εκτέρωθε του κι ορίζετι εφπτομέη της C στο A,, τότε το A, είι σημείο κμπής της C 5 Πότε λέμε ότι η ευθεί είι κτκόρυφη σύμπτωτη της C ; Η ευθεί λέγετι κτκόρυφη σύμπτωτη της γρφικής πράστσης της, έ τουλάχιστο πό τ όρι, είι ή 6 Πότε λέμε ότι η ευθεί λέγετι οριζότι σύμπτωτη της γρφικής πράστσης της στο τιστοίχως στο Η ευθεί λέγετι οριζότι σύμπτωτη της γρφικής πράστσης της στο τιστοίχως στο, ότ τιστοίχως 7 Πότε η ευθεί λ β λέγετι σύμπτωτη της γρφικής πράστσης της στο, τιστοίχως στο ; Η ευθεί λ β λέγετι σύμπτωτη της γρφικής πράστσης της στο, τιστοίχως στο, [ λ, τιστοίχως [ λ 8 Με ποιες σχέσειςτύπους βρίσκουμε τις σύμπτωτες της μορφής λ β ; Ισχύει το πρκάτω θεώρημ : Η ευθεί λ β είι σύμπτωτη της γρφικής πράστσης της στο, τιστοίχως στο, κι μόο τιστοίχως : Χρήσιμ σχόλι Αποδεικύετι ότι: R κι R κι [ ] R, [ ] R Οι πολυωυμικές συρτήσεις βθμού μεγλύτερου ή ίσου του δε έχου σύμπτωτες Οι ρητές συρτήσεις P Q, με βθμό του ριθμητή P μεγλύτερο τουλάχιστο κτά δύο του βθμού του προομστή, δε έχου πλάγιες σύμπτωτες Μπάμπης Στεργίου Μθημτικός //
Σελίδ 6 πό 6 Σύμφω με τους πρπάω ορισμούς, σύμπτωτες της γρφικής πράστσης μις συάρτησης ζητούμε: Στ άκρ τω διστημάτω του πεδίου ορισμού της στ οποί η δε ορίζετι Στ σημεί του πεδίου ορισμού της, στ οποί η δε είι συεχής Στο,, εφόσο η συάρτηση είι ορισμέη σε διάστημ της μορφής τιστοίχως,,, 9 Ν διτυπώσετε τους κόες de L Hospital oς Κός Α,, R {, } κι υπάρχει το άπειρο, τότε: πεπερσμέο ή oς Κός Α,, ή άπειρο, τότε: R {, } κι υπάρχει το πεπερσμέο Σχόλιο : Οι πρπάω τύποι πιτού προσοχή κτά τη εφρμογή τους Ν συζητηθού στη τάξη οι λεπτομέρειες β Οι άλλες προσδιόριστες μορφές συζητηθού στη τάξη με το κθηγητή σς Μπάμπης Στεργίου Μθημτικός //
Σελίδ πό 6 Η θεωρί στ Μθημτικά κτεύθυσης : Ορισμοί Ιδιότητες - Προτάσεις Θεωρήμτ Αποδείξεις ΣΤ Ολοκληρωτικός λογισμός Τι οομάζουμε ρχική μις συάρτησης σε έ διάστημ Δ ; Αρχική συάρτηση ή πράγουσ της στο Δ οομάζουμε κάθε συάρτηση F που είι πργωγίσιμη στο Δ κι ισχύει F', γι κάθε Θεώρημ Έστω μι συάρτηση ορισμέη σε έ διάστημ Δ Α F είι μι πράγουσ της στο Δ, ποδείξετε ότι : Όλες οι συρτήσεις της μορφής είι πράγουσες της στο Δ G F c, c R, Κάθε άλλη πράγουσ G της στο Δ πίρει τη μορφή G F c, c R Κάθε συάρτηση της μορφής G F c, όπου c R, είι μι πράγουσ της στο Δ, φού G' F c' F ', γι κάθε Έστω G είι μι άλλη πράγουσ της στο Δ Τότε, γι κάθε ισχύου οι σχέσεις F κι G, οπότε : G' Άρ υπάρχει στθερά c τέτοι, ώστε F', γι κάθε G F c, γι κάθε Μπάμπης Στεργίου Μθημτικός 7/3/
Σελίδ πό 6 3* Ν δώσετε το ορισμό του ορισμέου ολοκληρώμτος μις συεχούς συάρτησης σε έ κλειστό διάστημ [, ] Έστω μι συάρτηση σ υ ε χ ή ς στο [, Με τ σημεί β χωρίζουμε το διάστημ [, σε ισομήκη β υποδιστήμτ μήκους Δ Στη συέχει επιλέγουμε υθίρετ έ ξ κ [ κ, κ ], γι κάθε κ {,,, }, κι σχημτίζουμε το άθροισμ a= ξ ξ = S το οποίο συμβολίζετι, σύτομ, ως εξής: S ξ k v- ξ v v =β Τ ο όριο του θροίσμτος S, δηλδή το ξ κ Δ κ υπάρχει στο R κι είι εξάρτητο πό τη επιλογή τω εδιάμεσω σημείω Το πρπάω όριο οομάζετι ορισμέο ολοκλήρωμ της συεχούς συάρτησης πό το στο β, συμβολίζετι με d κι διβάζετι ολοκλήρωμ της πό το στο β Δηλδή, d d 4 Ν γράψετε τις ιδιότητες του ολοκληρώμτος Ισχύει ότι : d d d Α γι κάθε [, ], τότε d β Έστω, σ υ ε χ ε ί ς συρτήσεις στο [, κι d d λ, μ R Τότε ισχύου Μπάμπης Στεργίου Μθημτικός 7/3/
Σελίδ 3 πό 6 κι γεικά [ ]d d d [ ]d d d γ Α η είι σ υ ε χ ή ς σε διάστημ Δ κι, β, γ Δ, τότε ισχύει d d d δ Έστω μι σ υ ε χ ή ς συάρτηση σε έ διάστημ [, Α γι κάθε [, κι η συάρτηση δε είι πτού μηδέ στο διάστημ υτό, τότε d 5 Ν γράψετε τη πράγωγο της συάρτησης συεχής συάρτηση στο διάστημ, όπου είι F d, Ισχύει ότι : Σχόλι F' tdt, γι κάθε a Γεικότερ έχουμε το εξής θεώρημ : Α είι μι συεχής συάρτηση σε έ διάστημ Δ κι είι έ σημείο του Δ, τότε η συάρτηση είι μι πράγουσ της στο Δ Δηλδή ισχύει: F tdt, Δ, tdt, γι κάθε a β Από το πρπάω θεώρημ κι το θεώρημ πργώγισης σύθετης συάρτησης προκύπτει ότι: tdt ' ', a με τη προϋπόθεση ότι τ χρησιμοποιούμε σύμβολ έχου όημ Μπάμπης Στεργίου Μθημτικός 7/3/
Σελίδ 4 πό 6 Θεώρημ 5 Έστω μι συεχής συάρτηση σ έ διάστημ [, Α G είι μι πράγουσ της στο [,, ποδείξετε ότι : Απόδειξη Σύμφω με γωστό θεώρημ, η συάρτηση tdtg G F tdt είι μι πράγουσ της στο [, Επειδή κι η G είι μι πράγουσ της στο [,, θ υπάρχει G F c c τέτοιο, ώστε Από τη, γι Επομέως,, έχουμε G F c tdt c c, οπότε c G G F G, οπότε, γι β, έχουμε κι άρ G F G tdt G tdtg G 6 Ν γράψετε τους τύπους της πργοτικής ολοκλήρωσης κι της τικτάστσης γι το ορισμέο ολοκλήρωμ Ισχύει ότι : d [] d, όπου, είι συεχείς συρτήσεις στο [, β Ισχύει ότι : u, d udu u όπου, είι συεχείς συρτήσεις, u, du d κι u, u β Μπάμπης Στεργίου Μθημτικός 7/3/
Σελίδ 5 πό 6 7 Ν γράψετε το τύπο που δίει το εμβδό του χωρίου Ω που ορίζετι πό τη γρφική πράστση της, τις ευθείες, β κι το άξο,ότ γι κάθε [, κι η συάρτηση είι συεχής, β Ν ποδείξετε ότι γι τις συρτήσεις είι γι κάθε [,, τότε το εμβδό του χωρίου Ω που περικλείετι πό τις γρφικές πρστάσεις τω, κι τις ευθείες, β δίετι πό το τύπο : E d Α μι συάρτηση είι συεχής σε έ διάστημ [, κι γι κάθε [,, τότε το εμβδό του χωρίου Ω που ορίζετι πό τη γρφική πράστση της, τις ευθείες, β κι το άξο είι E d β Επειδή οι συρτήσεις, είι συεχείς στο [,, θ υπάρχει ριθμός c τέτοιος, ώστε c c, γι κάθε [, Είι φερό ότι το χωρίο Ω Σχ έχει το ίδιο εμβδό με το χωρίο Ω =+c Ω R = Ω =+c β β = β Επομέως, σύμφω με το τύπο, έχουμε: Άρ [ c c]d d E d Μπάμπης Στεργίου Μθημτικός 7/3/
Σελίδ 6 πό 6 Σχόλι Ότ η διφορά δε διτηρεί στθερό πρόσημο στο [,, τότε το εμβδό του χωρίου Ω που περικλείετι πό τις γρφικές πρστάσεις τω, κι τις ευθείες κι β είι ίσο με E d β Το εμβδό του χωρίου Ω που περικλείετι πό το άξο, τη γρφική πράστση μις συάρτησης, με γι κάθε [, κι τις ευθείες κι β είι ίσο με : β E Ω d Απόδειξη Ω β Πράγμτι, επειδή ο άξος συάρτησης, έχουμε είι η γρφική πράστση της E d [ ]d d Επομέως, γι μι συάρτηση ισχύει γι κάθε [,, τότε = E d Μπάμπης Στεργίου Μθημτικός 7/3/