Επιπλέον Ασκήσεις Μαθηµατική Επαγωγή Για κάθε n 1: 2 = n(n + 1(2n + 1 6 Ορέστης Τελέλης telels@unpgr Για κάθε n 1: 3 = n2 (n + 1 2 4 Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Για κάθε n 10: 2 n > n 3 Να διατυπωθεί µια εικασία για το άθροισµα των πρώτων n περιττών αριθµών και να αποδειχθεί επαγωγικά Ανισότητα Bernoull: Για r 1: (1 + x r 1 + r x ( όπου x 0 Ο Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Επαγωγή 1 / 20 Ο Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Επαγωγή 2 / 20 Προβλήµατα ιαιρετότητας ιαιρετότητα Ν Ο για κάθε n 1, ο n 3 + 2n διαιρείται (ακριβώς, χωρίς υπόλοιπο µε το 3 Να δείξετε ότι: Για κάθε n 1, ο n 3 + 2n διαιρείται (ακριβώς, χωρίς υπόλοιπο µε το 3 Ο 7 n+2 + 8 2n+1 διαιρείται (ακριβώς µε το 57, για κάθε n N Επαγωγικό Βήµα: n = 1 ο 3 διαιρεί τον εαυτό του Εστω ότι για n = k 1, η πρόταση αληθεύει Για n = k + 1 έχουµε: Ο 4 n+1 + 5 2n 1 διαιρείται (ακριβώς µε το 21, για κάθε n Z + (k + 1 3 + 2(k + 1 = (k 3 + 3k 2 + 3k + 1 + 2(k + 1 = (k 3 + 2k + 3(k 2 + k + 1 όπου και οι δύο όροι διαιρούνται µε το 3 (άρα και το άθροισµα Ο Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Επαγωγή 3 / 20 Ο Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Επαγωγή 4 / 20
ιαιρετότητα Επαγωγική Απόδειξη των Νόµων του De Morgan Ν Ο ο 7 n+2 + 8 2n+1 διαιρείται (ακριβώς µε το 57, για κάθε n N Ν Ο για n 2 σύνολα A 1,, A n Ω ισχύει: n A = n Ā Για n = 0 είναι 7 2 + 8 1 = 57 Εστω αληθές για n = k 0 (αυθαίρετα επιλεγµένο Για n = 2 έχουµε: A 1 A 2 = Ā 1 Ā 2 Επαγωγικό Βήµα: Για n = k + 1 έχουµε: 7 n+2 + 8 2n+1 = 7 k+3 + 8 2k+3 = 7 7 k+2 + 8 2 8 2k+1 = 7 7 k+2 + 64 8 2k+1 = 7 (7 k+2 + 8 2k+1 + 57 8 2k+1 Και οι δύο όροι του αθροίσµατος διαιρούνται µε το 57, άρα και το άθροισµα k+1 Για n = k 2 έστω: k A = k (για οποιαδήποτε k υποσύνολα του Ω Επαγωγικό Βήµα: Τότε, για οποιαδήποτε n = k + 1 υποσύνολα του Ω: ( k ( k ( k A = A A k+1 = A Āk+1 = Ā Āk+1 = Ā n Ā Ο Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Επαγωγή 5 / 20 Ο Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Επαγωγή 6 / 20 Η Γενίκευση της Συµµετρικής ιαφοράς Ν Ο για οποιαδήποτε n 2 σύνολα A 1,, A n : ( n x A x ανήκει σε περιττό πλήθος συνόλων A Βάση Επαγωγής: Για n = 2 αληθεύει (εξ ορισµού της Εστω ότι αληθεύει για (αυθ n = k 2 Επαγωγικό Βήµα: Τότε, για n = k + 1, έχουµε: Ξεχωρίζουµε οποιοδήποτε από τα k + 1 σύνολα χβγ, το A k+1 Χρειαζόµαστε δύο εκδοχές επαγωγικού ϐήµατος: Μία για την κατεύθυνση «=» Μία για την κατεύθυνση «=» Σε κάθε περίπτωση ϑεωρούµε ένα (αυθαίρετα επιλεγµένο στοιχείο x Επαγωγικό Βήµα για «=» Εστω οποιοδήποτε στοιχείο x k+1 A Περίπτωση x A Αρα x ανήκει σε περιττό πλήθος από τα A 1,, A k Αν x A k+1, τότε ανήκει σε περιττό πλήθος και από τα A 1,, A k+1 [ ] ( n Αν όµως x A k+1, τότε: x Περίπτωση x A A Αρα x ανήκει σε άρτιο πλήθος από τα A 1,, A k A Αν x A k+1, τότε ανήκει σε άρτιο πλήθος και από τα A 1,, A k+1 [ ] ( n Αν όµως x A k+1, τότε: x A A Ο Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Επαγωγή 7 / 20 Ο Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Επαγωγή 8 / 20
Επαγωγικό Βήµα για «=» Εστω οποιοδήποτε στοιχείο x που ανήκει σε περιττό πλήθος από τα A 1,, A k+1 Περίπτωση x A Αρα x ανήκει σε περιττό πλήθος από τα A 1,, A k Τότε x A k+1 (αλλιώς ϑα ανήκε σε άρτιο πλήθος από τα A 1,, A k+1 [ ] ( n Εποµένως, x Περίπτωση x A A A Αρα x ανήκει σε άρτιο πλήθος από τα A 1,, A k Τότε x A k+1 (αλλιώς ϑα ανήκε σε περιττό πλήθος από τα A 1,, A k+1 [ ] ( n Εποµένως, x A A Μη Λειτουργική Επαγωγική Υπόθεση Μερικές ϕορές ίσως χρειάζεται απόδειξη ισχυρότερης πρότασης Παράδειγµα: Να δειχθεί ότι για κάθε n 1: Βάση της επαγωγής: n = 1, δίνει 1 2 < 2 ( / 2 2 έστω ότι η ανισότητα ισχύει για αυθαίρετο n = k 1 Επαγωγικό Βήµα: για n = k + 1 έχουµε: k+1 2 = k Καλύτερα να δείξουµε την πιο ισχυρή σχέση: + k + 1 2 + k + 1??? 2 2 k+1 2 k+1 = 2 2 n + 2 2 n Ο Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Επαγωγή 9 / 20 Ο Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Επαγωγή 10 / 20 Ενα πιο απαιτητικό παράδειγµα Λύση 8 = 3 1 + 5 1 οκιµές και Παρατηρήσεις: Εστω ότι για n = k 8 (k αυθαίρετο υπάρχουν ϕυσικοί ρ k, λ k ώστε k = 3 ρ k + 5 λ k 8 = 3 +5 9 = 3 3 = 8 +2 3 5 10 = 2 5 = 9 3 3 +2 5 11 = 2 3 +5 = 10 +2 3 5 12 = 4 3 = 11 +2 3 5 13 = 3 +2 5 = 12 3 3 +2 5 14 = 3 3 +5 = 13 +2 3 5 Επαγωγικό Βήµα: Για n = k + 1, έχουµε: Αν λ k > 0, ϑέτουµε ρ n = ρ k + 2 και λ n = λ k 1 Τότε, πράγµατι: 3 ρ n + 5 λ n = (3 ρ k + 6 + (5 λ k 5 = k + 1 = n Αν λ k = 0, ϑα πρέπει k 9, εποµένως ρ k 3 Τότε, ϑέτουµε ρ n = ρ k 3 και λ n = λ k + 2 και, πράγµατι: 3 ρ n + 5 λ n = (3 ρ k 9 + (5 λ k + 10 = k + 1 = n Ο Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Επαγωγή 11 / 20 Ο Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Επαγωγή 12 / 20
Ισχυρή Επαγωγή Γιατί χρειάζεται η Ισχυρή Επαγωγή Θέλουµε να αποδείξουµε µια ιδιότητα P(n, που εξαρτάται από n Z + Αν µπορούµε να δείξουµε: Θεωρούµε σκάλα µε άπειρα σκαλιά Υπάρχουν οι εξής δυνατότητες: Οτι η P(1 είναι αληθής Μπορούµε να φτάσουµε στο 1ο σκαλί Υποθέτοντας P( αληθή για κάθε = 1,, k, για αυθαίρετα επιλεγµένο k 1 Επαγωγικό Βήµα: Συνεπάγεται P(k + 1 αληθής Τότε συµπεραίνουµε ότι η P(n είναι αληθής για κάθε n 1 Για αυθαίρετα επιλεγµένο k 1: Αν είµαστε στο k-στό σκαλί, τότε µπορούµε να φτάσουµε στο (k + 2-στό σκαλί Συµπεραίνουµε επαγωγικά ότι µπορούµε να επισκεφθούµε όλα τα σκαλιά; Ο Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Επαγωγή 13 / 20 Ο Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Επαγωγή 14 / 20 Θεµελιώδες Θεώρηµα της Αριθµητικής Θεµελιώδες Θεώρηµα της Αριθµητικής Κάθε ακέραιος n 2 γράφεται σαν γινόµενο πρώτων αριθµών «Στοιχεία της Γεωµετρίας» του Ευκλείδη (Βιβλίο 7, σε τρεις προτάσεις: Για n = 2 είναι τετριµµένα αληθές Εστω αληθές για κάθε = 2,, n, όπου n = k (για αυθαίρετο k 2 λ (30 Εάν δύο ἀριθµοί πολλαπλασιάσαντες ἀλλήλους ποιῶσοι τινα, τὸν δὲ γενόµενον ἐξ αὐτῶν µετρῆ τις πρῶτος ἀριθµός, καὶ ἔνα τῶν ἐξ ἀρχῆς µετρήσει λα (31 Απας σύνθετος ἀριθµὸς ὑπὸ πρώτου τινὸς ἀριθµοῦ µετρεῖται Επαγωγικό Βήµα: Για n = k + 1 έχουµε: Αν ο n = k + 1 είναι πρώτος, τετριµµένα αληθές ιαφορετικά, n σύνθετος, άρα n = k + 1 = a b, µε 2 a b k Από επαγ υπόθεση, οι a, b µπορούν να γραφούν σαν γινόµενα πρώτων αριθµών, εποµένως, και ο n, µέσω αυτών λβ (32 Απας ἀριθµὸς ἤτοι πρῶτος ἔστιν ἤ ὑπὸ πρώτου τινὸς ἀριθµοῦ µετρεῖται όπου µετρεῖται «=» διαιρείται Τα «Στοιχεία» στο Internet Archve: http://archveorg/detals/jl_heberg EUCLIDS_ELEMENTS_OF_GEOMETRY Ο Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Επαγωγή 15 / 20 Ο Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Επαγωγή 16 / 20
Παράδειγµα Ισχυρής Επαγωγής (1/2 οκιµές: 8 = 3 +5 9 = 3 3 10 = 2 5 11 = 2 3 +5 12 = 4 3 13 = 3 +2 5 14 = 3 3 +5 Ο Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Επαγωγή 17 / 20 Παράδειγµα Ισχυρής Επαγωγής (2/2 8 = 3 1 + 5 1 9 = 3 3 10 = 2 5 Για αυθαίρετο n = k 10 έστω ότι: για κάθε ακέραιο m µε 8 m k υπάρχουν ϕυσικοί αριθµοί ρ m και λ m τέτοιοι ώστε: m = 3 ρ m + 5 λ m Επαγωγικό Βήµα: Για n = k + 1, ϑέτουµε: ρ n = ρ k 2 + 1, λ n = λ k 2 και: 3 ρ n + 5 λ n = 3(ρ k 2 + 1 + 5 λ k 2 = 3 ρ k 2 + 5 λ k 2 + 3 = k 2 + 3 = k + 1 = n Αφού k 10, έχουµε k 2 8, εποµένως, ϐεβαιωνόµαστε ότι για τον k 2 ϑα ισχύει η επαγωγική υπόθεση Ο Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Επαγωγή 18 / 20 Βρείτε το Λάθος! Επιπλέον Παραδείγµατα Απίστευτο! Ολοι οι φυσικοί αριθµοί είναι άρτιοι! Επαγωγική «Απόδειξη» Ο 0 είναι άρτιος αριθµός Εστω ότι όλοι οι αριθµοί m N µε 0 m k είναι άρτιοι, για αυθαίρετο k 0 Επαγωγικό Βήµα: Εξετάζουµε τον αριθµό k + 1: Γράφεται σαν άθροισµα οποιωνδήποτε δύο αριθµών: k k και + 1 k για = 0,, k 1 Ν Ο για κάθε ακέραιο n 12 υπάρχουν ϕυσικοί ρ n, λ n τέτοιοι ώστε: n = 4 ρ n + 5 λ n Ενα Παιχνίδι: Υπάρχουν δύο σωροί, 1 και 2, µε ίσο πλήθος σπίρτων, n Z + Υπάρχουν αντίστοιχα δύο παίκτες (οι 1 και 2 Τραβούν σπίρτα επαναληπτικά εναλλάξ από τον οµώνυµο σωρό έκαστος Ξεκινά ο 1 Κερδίζει όποιος τραβήξει το τελευταίο σπίρτο Ν Ο ο 2 µπορεί πάντα να κερδίζει (για κάθε n Z + Ολα αυτά είναι Ϲευγάρια άρτιων αριθµών (!!! από επαγωγική υπόθεση Ο Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Επαγωγή 19 / 20 Ο Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Επαγωγή 20 / 20