Ερωτήσεις ανάπτυξης Β. Να βρεθούν τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων: 5 4 i) f() = ii) f()= iii) f()= iv) f()= ln( ) e v) f()= ln( -4) 4 4 vi) f() =, 5. Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων f με τύπο: i) f() = ii) f() = iii) f() = iv) f() = 5 4 9 v) f() = 6 5 vi) f() = 4 vii) f() = ln( -) viii) f() = ln i) f() = e,. Να βρεθούν τα όρια: i) 4 vi) ii) 4 vii) iii) viii) 0 iv) 4 6 i) 0 v) 0 ) 7 49 4. Να υπολογιστούν οι παράγωγοι των συναρτήσεων: i) f()= 4. ln ημ iv) f()= συν e ii) f()= e e v) f()= e ln iii) f()= ln ΓΙΑΝΝΗΣ ΧΑΝΙΩΤΗΣ
Μαθηματικά Γενικής Παιδείας vi) ln f()= ln 5. Να βρεθεί η παράγωγος των συναρτήσεων f με τύπο: i) f() = α +β +γ+δ ii) iii) f()=ημ+συν f()=-ln iv) f()= ln v) e f() = vi) f() = vii) f() = viii) f() = ln i) f() = ημ συν-4 ) f()= 4 6. Να βρεθεί η δεύτερη παράγωγος των συναρτήσεων f με τύπο: i) f() = e ii) f() = ln 7. Να βρείτε τα σημεία στα οποία η παράγωγος της συνάρτησης f()= -8+6 είναι ίση με το μηδέν. 8. Να βρείτε τα σημεία στα οποία οι εφαπτόμενες της καμπύλης f()= -5 +6+7 είναι παράλληλες προς τον άξονα. 9. Να βρείτε την εξίσωση εφαπτομένης της συνάρτησης f()=ln- που είναι παράλληλη προς την ευθεία y= -. 0. Να βρείτε την τιμή του α ώστε η εφαπτομένη της καμπύλης y= +α στο σημείο =0 να σχηματίζει γωνία 5 ο με τον άξονα.. Δίνεται η συνάρτηση f()=(-)e. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της καμπύλης f() στο σημείο = o όπου f ( o )=0.. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f με f() = ln στο σημείο με τεταγμένη.. Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτόμενων της γραφικής παράστασης f με ΓΙΑΝΝΗΣ ΧΑΝΙΩΤΗΣ 4
f() = - -+ που είναι παράλληλες στην ευθεία y=. 4. Έστω η συνάρτηση f με f() = 4-8 -0 +7- και C η γραφική της παράσταση. Να βρείτε τα σημεία της C στα οποία οι εφαπτόμενες της C είναι παράλληλες στον άξονα. 5. Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f με f() = -5- που σχηματίζει γωνία με τον άξονα. 4 6. Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτόμενων της γραφικής παράστασης C της συνάρτησης f με f() = που σχηματίζουν γωνία 45 ο με τον άξονα. Υπάρχουν εφαπτόμενες της C που σχηματίζουν γωνία 5 ο με τον ; 7. Να βρεθεί ο α R ώστε η εφαπτόμενη της γραφικής παράστασης της f με f() = (α- ) σε ένα κοινό της σημείο με τον άξονα να σχηματίζει γωνία π/4 με 9 τον άξονα αυτό. 8. Να βρείτε τα λ,μ R ώστε η ευθεία y= να είναι εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f με f() = +λμ στο σημείο Μ(,). 9. Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας καθώς και τα ακρότατα, αν υπάρχουν, των συναρτήσεων: i) f()= 5- ii) f()= -+5 iv) f()= -+4 v)f()= - -+, iii) f()=6-0. Να βρείτε το α αν η μέγιστη τιμή της συνάρτησης f()= +6+α είναι 9.. Αν το συνολικό κόστος για την παραγωγή, ( 00) προϊόντων είναι Κ= ()=4 - +6400 τότε να βρείτε πόσα προϊόντα πρέπει να παραχθούν ώστε να ελαχιστοποιηθεί το κόστος ενός προϊόντος. ΓΙΑΝΝΗΣ ΧΑΝΙΩΤΗΣ 5
. Το κόστος για την παραγωγή, ( 00) προϊόντων είναι Κ()=0+ 00 Αν κάθε προϊόν πωλείται προς 000, τότε να βρείτε πόσα προϊόντα πρέπει να παραχθούν ώστε τα κέρδη να μεγιστοποιηθούν.. Πρόκειται να κατασκευαστεί περίφραξη σχήματος ορθογωνίου παραλληλογράμμου με πλευρές και y. Οι πλευρές κοστίζουν 6. το μέτρο ενώ οι πλευρές y κοστίζουν. το μέτρο. Αν η περίφραξη πρέπει να περικλείει 4000 m τότε ποιες πρέπει να είναι οι διαστάσεις της ώστε το κόστος κατασκευής της να είναι ελάχιστο; e e 4. Δίνεται η συνάρτηση f()= Να αποδείξετε ότι η μέγιστη τιμή της συνάρτησης f () είναι -.. 5. Πρόκειται να κατασκευάσουμε περίφραξη που να οριοθετεί τρία συνεχόμενα ίσα και ορθογώνια οικόπεδα, όπως στο σχήμα. Ποιες πρέπει να είναι οι διαστάσεις κάθε οικοπέδου ώστε με φράχτη συνολικού μήκους 500 m να περιφράξουμε τη μέγιστη έκταση; 6. Πρόκειται να περιφραχτεί ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο οικόπεδο σταθερού εμβαδού από τη μια πλευρά του οποίου περνάει ένας ευθύς ποταμός. Αν κατά μήκος του ποταμού δε χρειάζεται περίφραξη τότε να δείξετε ότι το μήκος του φράχτη που απαιτείται είναι ελάχιστο όταν η μια πλευρά του οικοπέδου είναι διπλάσια από την άλλη. 7. Αν f ()= (-) τότε η f έχει: Α: τοπικό μέγιστο στο =. B: τοπικό ελάχιστο στο =. Γ: τοπικό μέγιστο στο =0 και τοπικό ελάχιστο στο =. Δ: τοπικό ελάχιστο στο =0 και τοπικό μέγιστο στο =. Ε: κανένα από τα προηγούμενα. 8. Η συνάρτηση f()= 4-8 έχει: ΓΙΑΝΝΗΣ ΧΑΝΙΩΤΗΣ 5
Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Α: 4 ακρότατα Β: ακρότατα Γ: ακρότατα Δ: ακρότατο Ε: κανένα ακρότατο. 9. Έστω f() = (-α) +α(-), α. Να βρεθεί: α) Η ελάχιστη τιμή της f, την οποία συμβολίζουμε με g(α). β) Ο α ώστε η g(α) να γίνει μέγιστη. 0. Δίνεται η συνάρτηση f() = 4-4α +β -4+. Να βρεθούν οι τιμές των α,β, ώστε η f να έχει για = τοπικό ακρότατο ίσο με. Για τις τιμές των α,β που θα βρεθούν να προσδιορισθεί το είδος του ακρότατου καθώς και τα άλλα ακρότατα αν υπάρχουν.. Δίνεται η συνάρτηση f() = +. Να βρεθεί η τιμή του α,, ώστε η τιμή του για την οποία η f παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο να είναι διπλάσια από την τιμή του για την οποία η f παρουσιάζει τοπικό μέγιστο.. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f() = + (α-) + (α +α+) +4 δεν έχει ακρότατα.. Να βρείτε το πεδίο ορισμού καθεμιάς από τις παρακάτω συναρτήσεις: i ) f()= 5 ii) f()= 4 iii) f()= iv) f()=. v) f()= 9 4 4. Αν f()=, να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης αυτής και τις τιμές του για τις οποίες είναι f()=0 5. Δίνεται η συνάρτηση f()= 4.Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες οι τιμές της συνάρτησης αυτής είναι μικρότερες του. 6. Να σημειώσετε τη σωστή απάντηση: Η συνάρτηση f() έχει πεδίο ορισμού: Α. (, ] [, ) Β. (, ) (, ) Γ. (-,) Δ. [-,] ΓΙΑΝΝΗΣ ΧΑΝΙΩΤΗΣ 6
7. Δίνονται οι συναρτήσεις f() και g() i) Να υπολογίσετε το f(4),g(4) και f(4) g(4) ii) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης Ρ=f. g και το Ρ(4) ιιι) Να ορίσετε το Q= f g 8. Nα υπολογίσετε τα όρια: i) 4 ( ) 5 6 ii) iii) iv) v) 0 9. Nα υπολογίσετε τα όρια: i) 4 y y y u 4u 4u ii) iii) y y 6 (u )(u ) y u 40. Nα αποδείξετε ότι : i) ii) iii) 0 0 iv) 4. Δίνεται η συνάρτηση f()=.nα βρείτε: 4 i) το σημείο της γραφικής παράστασης της f στο οποίο η εφαπτομένη της σχηματίζει με τον άξονα γωνία 45 0. ii) την εξίσωση της εφαπτομένης στο σημείο αυτό. 4. Δίνονται οι συναρτήσεις f()= και g()= i) Να βρείτε τα σημεία ( 0, y 0 ) των γραφικών τους παραστάσεων για τα οποία ισχύει f( 0 )=g( 0 ). ii) Στα σημεία αυτά να γράψετε τις εξισώσεις των εφαπτομένων στις γραφικές τους παραστάσεις. 4. Δίνεται η συνάρτηση f()=(+) i) Να βρείτε τις f () και f () ii) Να βρείτε τις f (0) και f (-) iii) Για ποιες τιμές του είναι f ()>0; ΓΙΑΝΝΗΣ ΧΑΝΙΩΤΗΣ 7
Μαθηματικά Γενικής Παιδείας 44. Δίνεται η συνάρτηση f()=.nα βρείτε τις : i) f () και f () ii) f (-) και f (0) 45. Να βρείτε τις συντεταγμένες των σημείων των γραφικών παραστάσεων των παρακάτω συναρτήσεων στα οποία οι εφαπτόμενες είναι παράλληλες στον άξονα. i) f()=5-60+7 ii) f()= +4-6-50 iii) f()= 4 +8-8 +7 46. Nα βρείτε τις παραγώγους των παρακάτω συναρτήσεων: i) f()=(-)( +4) ii) f()=ημ. συν iii) f()=e ln iv) f()=. v) f()=( -)( ++) vi) f()=ημ(-συν)+συν(-ημ) vii) f()=(+)(-)+e συν+ημ. ln 47. Nα βρείτε την f όταν: i) f()= ii) f () iii) f () iv) f()= z v) f()= vi) f()= 4 7 6 vii) f () viii) ln f () i) f()= ) f () ( ) e 48. Δίνεται η συνάρτηση f()=(-) i) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της. ii) Η παράγωγος της f είναι η f ()= α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f. β) Να αποδείξετε ότι f ()= iii) Για ποιες τιμές του είναι f ()<0; 49. Να βρείτε την f όταν: i) f()=(+4) 7 ii) f()=(-) iii) f()= iv) v) f()= vi) f () vii) f () 50. Να βρείτε την f όταν: ΓΙΑΝΝΗΣ ΧΑΝΙΩΤΗΣ 8
i) f()=ln ii) f () ln iii) f()=ln(+) iv) f () ln( ) v) f () ln vi) f()=ln 5. Έστω η συνάρτηση f()= 6 i) Το πεδίο ορισμού της ii).nα βρείτε: το συντελεστή διεύθυνσης της εφαπτομένης της καμπύλης της f στο σημείο της με την τετμημένη 4. iii) το σημείο στο οποίο η παραπάνω εφαπτομένη τέμνει τον άξονα y y iv) τις συντεταγμένες του σημείου της καμπύλης της f στο οποίο η εφαπτομένη της είναι παράλληλη στην ευθεία με εξίσωση y=+ 5. Ένα ορθογώνιο έχει τη μία του κορυφή πάνω στη γραφική παράσταση της συνάρτησης f()=6-, η άλλη κορυφή του είναι η αρχή των αξόνων, ενώ η τρίτη και η τέταρτη κορυφή του βρίσκονται πάνω στους θετικούς ημιάξονες Οy και Ο αντίστοιχα i) Nα εκφράσετε το εμβαδόν του ορθογωνίου ως συνάρτηση του ii) Nα βρείτε το πεδίο ορισμού της παραπάνω συνάρτησης. iii) Να βρείτε το σημείο της γραφικής παράστασης της f για το οποίο ο ρυθμός μεταβολής του εμβαδού ως προς το είναι -. iv) Να γράψετε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο αυτό. 5. Να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία η συνάρτηση f()=(-) στο διάστημα [0,]. 54. Να βρείτε τα ακρότατα της συνάρτησης f()=+ με >0. 55. Δίνεται η ευθεία με εξίσωση y=+ i) Να γράψετε τις συντεταγμένες ενός τυχαίου σημείου Μ της ευθείας ως συνάρτηση του. ii) Να βρείτε το σημείο της ευθείας το οποίο βρίσκεται πλησιέστερα στην αρχή των αξόνων. 56. Δίνεται η συνάρτηση f()= -9 +4.Να βρείτε : i) για ποιες τιμές του η συνάρτηση f παρουσιάζει μέγιστο και ελάχιστο. ΓΙΑΝΝΗΣ ΧΑΝΙΩΤΗΣ 9
Μαθηματικά Γενικής Παιδείας ii) τις συντεταγμένες των σημείων στα οποία η συνάρτηση f παρουσιάζει το μέγιστο και το ελάχιστο. 57. Δίνεται η συνάρτηση f()= -4 με πεδίο ορισμού στο διάστημα [0,5] i) Nα κάνετε ένα πρόχειρο διάγραμμα της συνάρτησης f ii) Να βρείτε τα ακρότατα της συνάρτησης f και να τα χαρακτηρίσετε. 58. Έστω η συνάρτηση f()= ln i) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f ii) Nα αποδείξετε ότι η f έχει μέγιστη τιμή για = e iii) Nα αποδείξετε ότι είναι ln για κάθε του πεδίου ορισμού της συνάρτησης e f. 59. Δίνονται οι συναρτήσεις f()= -9+ και g()= 4-8 -70 Για κάθε μια από αυτές να βρείτε: i) την πρώτη παράγωγό της ii) τα διαστήματα στα οποία η πρώτη παράγωγος αλλάζει πρόσημο iii) τα διαστήματα μονοτονίας της iv) τα σημεία στα οποία παρουσιάζει ακρότατα. 60. Δίνεται η συνάρτηση f()=(-)(-).να βρείτε τα σημεία της γραφικής παράστασης της f στα οποία η f παρουσιάζει μέγιστο και ελάχιστο. 5 0 6. Να βρείτε για ποιες τιμές του η συνάρτηση f()= 4 παρουσιάζει ακρότατα. 6. Δίνεται η συνάρτηση f()=αe βe, όπου α,β θετικοί πραγματικοί αριθμοί. Να αποδείξετε ότι η ελάχιστη τιμή της f είναι. 6. Δίνεται η συνάρτηση f()=e -.Να αποδείξετε ότι: i) η f παίρνει την ελάχιστη τιμή της για =0 ii) για κάθε R ισχύει e ΓΙΑΝΝΗΣ ΧΑΝΙΩΤΗΣ 0
64. Δίνεται η ευθεία με εξίσωση y=--.να βρείτε το σημείο της ευθείας αυτής το οποίο απέχει από το σημείο Α(9,4) τη μικρότερη δυνατή απόσταση. 65. Το βάρος της ζάχαρης σε κιλά που πουλάει ένα νέο σούπερ μάρκετ συναρτήσει των ημερών λειτουργίας του t είναι f(t)=60 Να βρείτε πόσα κιλά ζάχαρη πούλησε: α) Τις 9 πρώτες μέρες. β) Την 4 η και την 5 η ημέρα μαζί. γ) Την η ημέρα. t t. 66. Έστω η συνάρτηση f()=. α) Να βρείτε το σύνολο ορισμού της f. β) Να βρείτε το όριο L= f (). 67. Nα βρείτε τα παρακάτω όρια: 6 L = L 4 L = L4 68. Έστω η συνάρτηση f()=συν+συν. α) Να δείξετε ότι 4f()+f ()=συν, για κάθε R. β) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης ε της γραφικής παράστασης της f στο σημείο της (0,f(0)). γ) Να βρείτε τους αριθμούς λ R, για τους οποίους ισχύει λ f (0)+(λ +)f(0)+λf (0)+λ=0 (). 69. Έστω η συνάρτηση f()= -4 ++. Να βρείτε: α) Την εξίσωση της εφαπτομένης ε της γραφικής παράστασης της f στο σημείο της (0,f(0)). β) Τις εξισώσεις των εφαπτομένων της γραφικής παράστασης της f, οι οποίες είναι κάθετες στη ε. ΓΙΑΝΝΗΣ ΧΑΝΙΩΤΗΣ
Μαθηματικά Γενικής Παιδείας 70. Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας και τα ακρότατα της συνάρτησης f()=. 7. Mία συνάρτηση f είναι ορισμένη και παραγωγίσιμη στο R και για κάθε R, ισχύει f ()=. α) f(-004)<f(-8) Σ Λ β) f(00)<f(00) Σ Λ γ) f() f(), για κάθε R Σ Λ Τις παραπάνω προτάσεις να τις χαρακτηρίσετε ως σωστές Σ ή λανθασμένες Λ δικαιολογώντας την απάντησή σας. 7. Έστω η συνάρτηση f()= -ln-. α) Να βρείτε το σύνολο ορισμού της f. β) Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας και τα ακρότατα της f. γ) Να δείξετε ότι, για κάθε >0,ισχύει ln. 7. To κόστος παραγωγής ραδιοφώνων είναι Κ()= 05 75 ευρώ και η τιμή 4 πώλησης κάθε ραδιοφώνου είναι Τ()=50- ημερήσια παραγωγή ώστε να έχουμε το μέγιστο (συνολικό) κέρδος. ευρώ. Να βρείτε ποια πρέπει να είναι η ΓΙΑΝΝΗΣ ΧΑΝΙΩΤΗΣ