ΑΡΙΣΤΗ ΣΥΝΘΕΣΗ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΩΝ. 4.1 Εισαγωγή

Κεφάλαιο 4 ΑΡΙΣΤΗ ΣΥΝΘΕΣΗ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΩΝ 4. Ειαγωγή Στο προηγούμενο κεφάλαιο εξετάαμε πώς ένας επενδυτής που αποτρέφεται τον κίνδυνο απώλειας ειοδήματος επιλέγει επενδυτικά χέδια κάτω από υνθήκες αβεβαιότητας. Από τα κριτήρια που παρουιάαμε είδαμε ότι το κριτήριο του μέου-διακύμανης μπορεί να δώει υνεπείς απαντήεις με το κριτήριο της αναμενόμενης χρηιμότητας ε δύο περιπτώεις: (i) όταν οι ροές των επενδυτικών χεδίων ή των αποδόεων τους είναι κανονικά κατανεμημένες ή (ii) όταν η υνάρτηη χρηιμότητας είναι τετραγωνικής μορφής. Αν και οι υποθέεις αυτές μπορεί να θεωρηθούν ότι είναι περιοριτικές, καθώς την πράξη οι αποδόεις των επενδυτικών χεδίων μπορεί να μην ακολουθούν την κανονική κατανομή ή η υνάρτηη χρηιμότητας να μην είναι τετραγωνικής μορφής, ωτόο μας επιτρέπουν να θεμελιώουμε το κριτήριο μέου-διακύμανης με βάη την οικονομική θεωρία και να το χρηιμοποιούμε την αποτίμηη του κινδύνου διαφορετικών επενδυτικών χεδίων. Παραδείγματα αποδόεων επενδύεων που ακολουθούν την κανονική κατανομή ή βρίκονται πολύ κοντά ε αυτή, παρουιάζονται το βιβλίο των Campbell, Lo και MacKinlay (997). Αυτά περιλαμβάνουν μακροπρόθεμες αποδόεις μετοχών, ως παράδειγμα, για χρονικά διατήματα ενός έτους ή μιας πενταετίας. Βαιζόμενοι το κριτήριο του μέου-διακύμανης (ή μέου-τυπικής απόκλιης), το κεφάλαιο αυτό θα παρουιάουμε τεχνικές προδιοριμού της άριτης ύνθεης ενός χαρτοφυλακίου μετοχών. Η ανάλυή μας μπορεί εύκολα να επεκταθεί και ε χαρτοφυλάκια άλλων περιουιακών τοιχείων όπως είναι οι αποδόεις μακροπρόθεμων ομολόγων, τα διεθνή ομόλογα, τα ακίνητα, έργα τέχνης κ.ο.κ. Επίης, τα πλαίια μιας επιχείρηης μπορεί να ενδιαφέρεται για την άριτη ύνθεη αποθεματικών, ταμειακών διαθείμων, φυικού κεφαλαίου ή άλλων περιουιακών τοιχείων που επηρεάζουν το λειτουργικό της κίνδυνο. Πιο υγκεκριμένα, το παρόν κεφάλαιο θα απαντήουμε ε δύο βαικά ερωτήματα που αφορούν τις επενδύεις χαρτοφυλακίων μετοχών. Πρώτον, γιατί είναι προτιμότερο για κάποιον επενδυτή να κρατά ένα χαρτοφυλάκιο διαφορετικών μετοχών, αντί να επενδύει τον 5

πλούτο του μόνο ε μια μετοχή; Το δεύτερο ερώτημα αφορά την άριτη ύνθεη ενός χαρτοφυλακίου μετοχών. Δηλαδή, ε τι ποοτό της αξίας του θα πρέπει να κρατάμε κάποια μετοχή του και από τι θα εξαρτάται αυτό; Για να απαντήουμε τα ερωτήματα αυτά αρχικά θα θεωρήουμε ένα χαρτοφυλάκιο δύο μετοχών. Στη υνέχεια θα θεωρήουμε ότι το χαρτοφυλάκιο αυτό περιλαμβάνει επίης και ένα τρίτο περιουιακό τοιχείο το οποίο δεν ενέχει επενδυτικό κίνδυνο. Ένα τέτοιο τοιχείο είναι το έντοκο γραμμάτιο του δημοίου λήξης μιας περιόδου (π.χ. ενός μήνα ή έτους). Τα αποτελέματα που θα προκύψουν από την ανάλυή μας μπορούν εύκολα να επεκταθούν και για χαρτοφυλάκια με περιότερες από δύο μετοχές, δηλαδή για Ν. Στο παράρτημα του κεφαλαίου παρέχουμε αναλυτικά τις λύεις της άριτης ύνθεης ενός χαρτοφυλακίου που αποτελείται από Ν μετοχές, τηριζόμενοι ε γνωτά αποτελέματα της γραμμικής άλγεβρας. 4. Μέη τιμή και διακύμανη της απόδοης ενός χαρτοφυλακίου Θεωρήτε ένα χαρτοφυλάκιο που αποτελείται από δύο μετοχές, τις "" και "", των οποίων οι αποδόεις υμβολίζονται ως r i, i={,}, και έχουν αναμενόμενη (μέη) τιμή και διακύμανη που ορίζονται ως r E( r) i i και i Var( ri) = E[ ri E ( r i )] αντίτοιχα. Στην πράξη, η μέη τιμή και η διακύμανη της απόδοης μιας μετοχής μπορούν να εκτιμηθούν χρηιμοποιώντας ιτορικά τοιχεία, δηλαδή χρονολογικές παρατηρήεις της. Θα πρέπει να ημειωθεί το ημείο αυτό ότι, την ανάλυή μας ως απόδοη μιας μετοχής εννοούμε τον ρυθμό απόδοής της. Αν και αποτελούν αντίτοιχα τις τιμές μιας αντιπροωπευτικής μετοχής "i" την αρχή και το τέλος μιας περιόδου, τότε ο ρυθμός απόδοης της ορίζεται ως εξής: i,0 i,0 r i, i,0 i =. i, Για να ξεχωρίζουμε τη μέη τιμή r i και τη διακύμανη υμβολίζουμε με καπέλο, δηλαδή ως r και ^ i ˆi, αντίτοιχα. i από τις εκτιμήεις τους, τις τελευταίες θα τις Σημειώτε ότι η χρήη του ρυθμού απόδοης r i, αντί της απόδοης αποτελέματα της ανάλυης της άριτης ύνθεης χαρτοφυλακίων. 6 R i, i ( + ri) =, δεν αλλάζει τα i,0

Αν υποθέουμε ότι ένας αντιπροωπευτικός επενδυτής κατανέμει ένα ποοτό του πλούτου τη μετοχή "" και το υπόλοιπο τη μετοχή "", όπου και αποτελούν τα βάρη (ή μερίδια) του χαρτοφυλακίου, τότε η μέη τιμή και η διακύμανη της απόδοης του χαρτοφυλακίου, που υμβολίζεται ως r, μπορούν να υπολογιθούν ως ακολούθως: Μέη απόδοη του χαρτοφυλακίου r : r E( r ) = E[ r + r ] = E( r) + E( r ) = r+ ( ) r. Διακύμανη της απόδοης του χαρτοφυλακίου : Var( r ) = Var( r + r ) = Var( r ) + Var( r ) + Cov( r ; r ) = + + Cov( r; r ) = + + ρ = + ( ) + ( ) ρ, όπου Cov( r ; r ) αποτελεί τη υνδιακύμανη των αποδόεων των μετοχών "" και "" του χαρτοφυλακίου και ρ υμβολίζει το υντελετή υχέτιής τους. Ο τελευταίος ορίζεται ως ρ Cov( r ; r ) =. Οι χέεις της μέης τιμής και της διακύμανης της απόδοης του αντιπροωπευτικού χαρτοφυλακίου Ρ, που δίνονται παραπάνω, δείχνουν ότι, η μεν πρώτη παίρνει μια τιμή ανάμεα τις μέες τιμές των αποδόεων των μετοχών που το απαρτίζουν (δηλαδή, ιχύει r< r < r ), ενώ η δεύτερη μπορεί να είναι μικρότερη από τις διακυμάνεις των αποδόεων των δύο μετοχών (δηλαδή, < < ). Συνεπώς, η επένδυη ε ένα χαρτοφυλάκιο μετοχών αντί ε μια μόνο μετοχή μπορεί να μειώει τον επενδυτικό κίνδυνο ημαντικά, καθώς, όπως είδαμε το Κεφάλαιο 3, αυτός εξαρτάται από τη διακύμανη της απόδοης ή της ειοδηματικής ροής της επένδυης. Μια τέτοια επένδυη μπορεί να εξαφαλίει καλύτερη χέη ανταλλαγής μεταξύ της μέης τιμής και της διακύμανης της απόδοης της. Αυτό αποτελεί ημαντικό κίνητρο για τον επενδυτή να κρατά χαρτοφυλάκια μετοχών, αντί μεμονωμένων μετοχών. η 7

Η μείωη του επενδυτικού κινδύνου που υνεπάγεται η μικρότερη διακύμανη της απόδοης ενός χαρτοφυλακίου μετοχών εξαρτάται από το βαθμό της υνδιακύμανης (ή υχέτιης) μεταξύ των αποδόεων τους. Για το λόγο αυτό, η υνδιακύμανη μεταξύ των αποδόεων των μετοχών του χαρτοφυλακίου (ή καλύτερα ο υντελετής υχέτιης τους, που δεν εξαρτάται από μονάδες μέτρηης) αποτελεί ένα μέτρο της διαφοροποίηης του. Για την καλύτερη κατανόηη του επιχειρήματος αυτού, τον Πίνακα 4. παραθέτουμε ένα αριθμητικό παράδειγμα που υπολογίζει τη μέη τιμή και τη διακύμανη της απόδοης του χαρτοφυλακίου Ρ, που αποτελείται από τις δύο μετοχές "" και "", όταν αυτές έχουν τα ίδια βάρη, δηλαδή = = 0.50. ΠΙΝΑΚΑΣ 4.: Μέη τιμή και διακύμανη της απόδοης ενός χαρτοφυλακίου Ρ Πιθανότητα (π i ) 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 r % 9% 5% 7% -% r -3% 5% % 0% 6% r = 0.(0.) + 0.(0.09) + 0.(0.5) + 0.(0.07) + 0.( 0.0) = 0.0 (0%) r = 8% = 0.(0..0) + 0.(0.09 0.0) + 0.(5 0.0) + + = 0.(7 0.0) 0.( 0.0 0.0) 0.0076 (0.76% =8.78%) = 0.00708 (0.708% =8.444%) { r E r r E r } =Ε [ ( )][ ( )] = 0.(0. 0.0)( 0.03 0.08) + 0.(0.09 0.0)(0.5 0.08) + 0.(0.5 0.0)(0.0 0.08) + 0.(0.07 0.0)(0.0 0.08) + 0.( 0.0 0.0)(0.06 0.8) = 0.004 ( 0.4%) ρ 0.004 = = = 0.33 0.0076 0.00708 rp = r + r = 0.5(0.0) + 0.5(0.08) = 0.09 (9%) = + + = (0.5) (0.0076) + (0.5) (0.00708) + (0.5)(0.5)( 0.004) = 0.0047 (0.47%) = 0.0497 (4.97%) p 8

Όπως φαίνεται από τα τοιχεία του Πίνακα 4., η μέη απόδοη του χαρτοφυλακίου Ρ είναι r = 9% και βρίκεται ανάμεα τις μέες τιμές των αποδόεων των μετοχών του (δηλ. p r = 8% < r < r = 0% ), όπως αναμενόταν. Αυτό ημαίνει ότι επενδύοντας το p χαρτοφυλάκιο αυτό επιτυγχάνουμε μικρότερη μέη απόδοη από εκείνη τη μετοχή "", που έχει τη μεγαλύτερη απόδοη. Όμως, η διακύμανη της απόδοης του χαρτοφυλακίου, r p που βρέθηκε ως = 0.47%, είναι κατά πολύ μικρότερη εκείνων των μετοχών του (δηλ. = 0.47% < = 0.76% < = 0.76% ). Αυτή η ημαντικά μικρότερη τιμή της διακύμανης της απόδοης του χαρτοφυλακίου οφείλεται το γεγονός ότι η υνδιακύμανη μεταξύ των αποδόεων των δύο μετοχών του είναι αρνητική, που υνεπάγεται αρνητικό υντελετή υχέτιης, διακύμανης της απόδοης του χαρτοφυλακίου ρ = 0.4% προηγουμένως, μια αρνητική τιμή της υνδιακύμανης ρ. Όπως δείχνει ο τύπος της, που παρουιάαμε αναλυτικά (ή του υντελετή υχέτιης ) υμβάλλει ημαντικά τη μείωη της τιμής αυτής (ή της τυπικής απόκλιης ). Σημειώτε ότι η μείωη της τελευταίας είναι αναλογικά μεγαλύτερη ε χέη με εκείνη της μέης απόδοης της μετοχής "", όταν κάποιος επιλέξει να κρατά το χαρτοφυλάκιο Ρ αντί της μετοχής. Αυτό θα έχει ως υνέπεια η μέη απόδοη του χαρτοφυλακίου Ρ ανά μονάδα τυπικής απόκλιης (που αποτελεί το λόγο του Sharp) να είναι πολύ μεγαλύτερη ε χέη με εκείνες των δύο μετοχών "" και "", δηλαδή θα ιχύει η ακόλουθη ανιότητα: r.809 = > r.886 = > r 0.9507 =. 4.3 To πρόβλημα επιλογής του άριτου χαρτοφυλακίου Στο προηγούμενο τμήμα διαπιτώαμε ότι μπορούμε να μειώουμε ημαντικά τον κίνδυνο μιας επένδυης ε μετοχές και να βελτιώουμε το λόγο μέου-τυπικής απόκλιης της απόδοης ενός χαρτοφυλακίου r, αν επενδύουμε ε χαρτοφυλάκια μετοχών αντί ε μετοχές μεμονωμένα. Για την επαλήθευη της πρόταης αυτής θεωρήαμε ένα χαρτοφυλάκιο δύο μετοχών με ία βάρη. Το ερώτημα όμως που προκύπτει το ημείο αυτό είναι αν αυτή ιχύει και για άλλους δυνατούς υνδυαμούς χαρτοφυλακίων μετοχών που 9

μπορούν να κατακευατούν αλλάζοντας τα βάρη των μετοχών τους. Για να απαντήουμε το ερώτημα αυτό, τον Πίνακα 4. παρουιάζουμε τις μέες τιμές r p και τυπικές αποκλίεις χαρτοφυλακίων διαφορετικών υνδυαμών των μετοχών "" και "", μεταβάλλοντας τα βάρη τους και -. Στα δε διαγράμματα 4.Α και 4.Β που ακολουθούν παρουιάζουμε τις γραφικές παρατάεις των τιμών των r p και μετοχής "",, για όλα τα διαφορετικά χαρτοφυλάκια του πίνακα. ως προς το βάρος της ΠΙΝΑΚΑΣ 4.: Μέη τιμή και τυπική απόκλιη χαρτοφυλακίων [, (-)] r p % % [, (-)] r p % % [-0.,.] 7.60 0.80 [0.6, 0.4] 9.0 5.7 [-0.,.] 7.80 9.58 [0.7, 0.3] 9.40 5.76 [0.0,.0] 8.00 8.4 [0.8, 0.] 9.60 6.60 [0., 0.9] 8.0 7.3 [0.9, 0.] 9.80 7.60 [0., 0.8] 8.40 6.35 [.0, 0.0].00 8.7 [0.3, 0.7] 8.60 5.58 [., -0.] 0.0 9.0 [0.4, 0.6] 8.80 5.07 [., -0.] 0.40.4 [0.5, 0.5] 9.00 4.97 Σημειώτε ότι τον Πίνακα 4. παρουιάζουμε και κάποια χαρτοφυλάκια που έχουν αρνητικά βάρη, ή (-). Αυτά τα επιημαίνουμε με έντονα γράμματα τον πίνακα, ενώ τα διαγράμματα παρουιάζονται με διακεκομμένες γραμμές. Η δυνατότητα του επενδυτή να επιλέξει ένα χαρτοφυλάκιο με αρνητικό βάρος ε κάποια μετοχή (έτω, την "") είναι εφικτή και αντιπροωπεύει την περίπτωη εκείνη όπου η μετοχή αυτή θεωρείται ότι πωλείται την αγορά, ακόμα και αν ο επενδυτής δεν είναι κάτοχος της. Μια τέτοια υναλλαγή αναφέρεται τη βιβλιογραφία ως ακάλυπτη πώληη (short selling). Από το ειόδημα που προκύπτει από την ακάλυπτη πώληη της μετοχής "", ο επενδυτής μπορεί να αγοράει επιπλέον μερίδια της μετοχής "" ε χέη με αυτά που του επιτρέπει το αρχικό του ειόδημα. Ως παράδειγμα, αν έχουμε =-0.0, τότε η τιμή του βάρους (-)=.0 ημαίνει ότι η επένδυη τη μετοχή "" αποτελεί το 0% του ειοδήματος του επενδυτή. Για να πραγματοποιηθεί η υναλλαγή αυτή, θα πρέπει ο επενδυτής να καταβάλλει το 30

χρηματικό ποό για την αγορά της μετοχής "" εντός δύο ημερών. Αυτό μπορεί να γίνει πουλώντας τη μετοχή αυτή την αγορά μετά από δύο μέρες. Όπως φαίνεται από τα τοιχεία του Πίνακα 4., καθώς αυξάνεται το βάρος της μετοχής "",, το χαρτοφυλάκιο Ρ κατά 0%, η μεν μέη απόδοη αυτού r p αυξάνεται γραμμικά (βλέπε Διάγραμμα 4.(Α)), αλλά η τυπική απόκλιη του ακολουθεί μια μη γραμμική χέη. Όπως δείχνει το Διάγραμμα 4.(Β), η χέη αυτή μοιάζει με μια υνάρτηη υπερβολής. Η τιμή της τυπικής απόκλιης μειώνεται αρχικά με το βάρος με αύξοντα ρυθμό και τη υνέχεια αυξάνεται, επίης με αύξοντα ρυθμό. Η ελάχιτη τιμή της υνάρτηη αυτής αντιτοιχεί την περίπτωη όπου και οι δύο μετοχές του χαρτοφυλακίου έχουν το ίδιο βάρος (δηλ. = (-) = 0.50). Σημειώτε ότι αυτή αποτελεί την περίπτωη του χαρτοφυλακίου που θεωρήαμε το παράδειγμα του Πίνακα 4.. ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ 4.Α και 4.Β.00% r 0.00% 8.00% 6.00% 4.00%.00% 0.00% -0.4-0. 0 0. 0.4 0.6 0.8..4 ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ 4.Α: Σχέη μεταξύ r p και.00% 0.00% 8.00% 6.00% 4.00%.00% 0.00% -0.4-0. 0 0. 0.4 0.6 0.8..4 ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ 4.Β: Σχέη μεταξύ και 3

ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ 4.: Σχέη μεταξύ των r p και r 5.00% 0.00% r E E A 5.00% r H r Q r D 0.00% B G Q H D r F 5.00% F C 0.00% G F = Q Ε = Η = D 0.00% 5.00% 30.00% 45.00% 60.00% 75.00% -5.00% Το γεγονός ότι, το παράδειγμά μας, η χέη της τυπικής απόκλιης με το βάρος αποτελεί υνάρτηη υπερβολής, ενώ εκείνη μεταξύ της μέης απόδοης r p και του αποτελεί ευθεία γραμμή, υνεπάγεται ότι η χέη ανάμεα τη μέη απόδοη r p και την τυπική απόκλιη του χαρτοφυλακίου Ρ θα αποτελεί επίης μια υνάρτηη υπερβολής το χώρο ( r p ), για όλες τις τιμές του. Η χέη αυτή αποτελεί ένα γεωμετρικό τόπο ανάμεα την απόδοη r p και την τυπική απόκλιη, για όλους τους δυνατούς υνδυαμούς χαρτοφυλακίων. Aυτό μπορεί να αποδειχθεί και μαθηματικά, αντικαθιτώντας το βάρος τις χέεις των ημεία Α, Β και C. r p και. Στο Διάγραμμα 4., απεικονίζεται γραφικά από τα Από το Διάγραμμα 4., που απεικονίζει τη χέη μεταξύ της μέης απόδοης r p και της τυπικής απόκλιης, εύκολα μπορεί να διαπιτωθεί ότι όλα τα δυνατά χαρτοφυλάκια που βρίκονται το πάνω μέρος της υνάρτηης υπερβολής ΑΒ, έχουν την ιδιότητα για κάποια δεδομένη μέη r p να δίνουν τη μικρότερη δυνατή τυπική απόκλιη, και αντίτροφα. Δηλαδή, για κάποια τιμή της τυπικής απόκλιης να παρέχουν τη μέγιτη δυνατή μέη απόδοη r p. Λόγω της ιδιότητας αυτής, το τμήμα αυτό της υνάρτηης υπερβολής ΑΒC 3

μεταξύ των r p και, αναφέρεται τη βιβλιογραφία ως το αποτελεματικό ύνορο των χαρτοφυλακίων (eicient portolio rontier, EF) και υμβολίζεται ως EF. Τα χαρτοφυλάκια που βρίκονται πάνω ε αυτό έχουν το μεγαλύτερο δυνατό λόγο μέης τιμήςτυπικής απόκλιης, r, μεταξύ όλων των εφικτών χαρτοφυλακίων που περιλαμβάνονται πάνω και εντός του γραφήματος της υνάρτηης υπερβολής ΑΒC. Επομένως, αυτά θα πρέπει να αποτελούν τις καλύτερες δυνατές επιλογές χαρτοφυλακίων για τον επενδυτή. Αντίθετα, αυτό δεν ιχύει για τα χαρτοφυλάκια που βρίκονται το κάτω τμήμα του γραφήματος της υπερβολής ΑΒC, δηλαδή το ΑC. Αν και για κάποια τιμή της μέης απόδοης r p, τα χαρτοφυλάκια που βρίκονται το τμήμα αυτό έχουν τη μικρότερη δυνατή τυπική απόκλιη, το αντίτροφο δεν ιχύει. Ως παράδειγμα, θεωρήτε το χαρτοφυλάκιο F, που βρίκεται το ημείο F του τμήματος ΑC. Το χαρτοφυλάκιο αυτό έχει μικρότερη απόδοη από εκείνο που βρίκεται το αντίτοιχο ημείο του πάνω μέρους του υνόρου, δηλαδή το Q, παρόλο που και τα δύο αυτά χαρτοφυλάκια έχουν την ίδια τυπική απόκλιη. Είναι προφανές ότι ένας ορθολογικός επενδυτής από τα χαρτοφυλάκια αυτά θα διαλέξει αυτό που βρίκεται το ημείο Q. Επομένως, το F και όλα τα άλλα χαρτοφυλάκια που βρίκονται το τμήμα ΑC, δε θα πρέπει να αποτελούν χαρτοφυλάκια του αποτελεματικού υνόρου. Έχοντας ορίει το αποτελεματικό ύνορο των χαρτοφυλακίων, είναι εύκολο τώρα να χαρακτηρίουμε διάφορα χαρτοφυλάκια το χώρο της μέης απόδοης r p και της τυπικής απόκλιης, ( rp ), που έχουν είτε θεωρητικό ή πρακτικό ενδιαφέρον. Κάθε χαρτοφυλάκιο που βρίκεται κάτω του τμήματος ΑΒ του υνόρου και το εωτερικό του γραφήματος της υνάρτηης υπερβολής ΑΒC (π.χ., το D), δε θα πρέπει να θεωρείται ως αποτελεματικό. Όπως φαίνεται από το Διάγραμμα 4., ένα τέτοιο χαρτοφυλάκιο έχει πολύ μεγαλύτερη τυπική απόκλιη ε χέη με το αποτελεματικό χαρτοφυλάκιο που βρίκεται το ημείο G, παρόλο που και τα δύο αυτά χαρτοφυλάκια έχουν την ίδια μέη απόδοη (δηλ. r D = r G ). Επίης, παρατηρήτε ότι η μέη απόδοη του χαρτοφυλακίου του ημείου D είναι μικρότερη εκείνης του χαρτοφυλακίου του Η, παρόλο που έχουν την ίδια τυπική απόκλιη (δηλ. D = H ). Σε αντίθεη με τα χαρτοφυλάκια που βρίκονται το εωτερικό του γραφήματος της υνάρτηης υπερβολής ΑΒC, εκείνα που βρίκονται το εξωτερικό της και πάνω από αυτή, όπως, ως παράδειγμα, αυτό που αντιτοιχεί το ημείου Ε, δεν είναι εφικτά. Για μια δεδομένη τιμή της τυπικής απόκλιης, αυτά έχουν μέη απόδοη 33

μεγαλύτερη εκείνης που προβλέπεται από το αποτελεματικό ύνορο όλων των εφικτών υνδυαμών χαρτοφυλακίων. Προδιοριμός των άριτων βαρών ενός χαρτοφυλακίου Τα άριτα βάρη του αντιπροωπευτικού χαρτοφυλακίου Ρ, που αποτελείται από τις μετοχές τις "" και "", μπορούν να προδιοριθούν μαθηματικά λύνοντας το ακόλουθο πρόβλημα ελαχιτοποίηης της διακύμανης της απόδοης του αυτής, r p, που θα υμβολίζουμε το εξής ως μ: 3 για κάποια δεδομένη μέη τιμή ελαχ = + + (), Το πρόβλημα αυτό λύνεται κάτω από τους ακόλουθους δύο περιοριμούς: r = r + r = μ (i) (ii) + = Ο πρώτος περιοριμός (i) θέτει τη μέη απόδοη του χαρτοφυλακίου για την οποία θα υπολογίουμε τα άριτα βάρη, ενώ ο δεύτερος (ii) αποτελεί τον ειοδηματικό περιοριμό του επενδυτή. Ο περιοριμός (ii) ημαίνει ότι όλο το χρηματικό ειόδημα του επενδυτή δαπανάται την αγορά των δύο μετοχών. Σημειώτε ότι αυτός επιτρέπει ακάλυπτη πώληη κάποιας μετοχής του χαρτοφυλακίου, καθώς δε υνοδεύεται από θετικούς περιοριμούς για τα βάρη του χαρτοφυλακίου. Αν θέλουμε να αποκλείουμε την περίπτωη αυτή, τότε θα πρέπει να θέουμε τους ακόλουθους περιοριμούς τα βάρη του χαρτοφυλακίου: 0 και 0. Στην περίπτωη αυτή, η λύη του προβλήματος επιλογής του άριτου χαρτοφυλακίου, που δίνεται από τη χέη (), δε θα είναι αναλυτική. Για να βρεθεί αυτή, απαιτείται εφαρμογή μεθόδων μαθηματικού προγραμματιμού με ανιοτικούς περιοριμούς, όπως είναι η μέθοδος simplex. 4 3 Βλέπε Ingersoll (986), Elton και Gruber (995), Haugen (997), Danthine J. και Donaldson (00). 4 Μια εφαρμογή της μεθόδου αυτής χρηιμοποιώντας το πακέτο Excel δίνεται ε παράρτημα του κεφαλαίου. 34

Για να λύουμε το πρόβλημα επιλογής του άριτου χαρτοφυλακίου, που δίνεται από τη χέη (), θα χρηιμοποιήουμε τη μέθοδο Lagrange. Αντί της υνάρτηης διακύμανης της απόδοης του χαρτοφυλακίου, θα ελαχιτοποιήουμε την ακόλουθη: 5 ελαχ L= [ + + ] + λ [ μ r r ] + λ [ ], (), όπου και λ αποτελούν τους πολλαπλαιατές Lagrange που αντιτοιχούν τους δύο λ περιοριμούς του προβλήματος. Οι πολλαπλαιατές αυτοί έχουν οικονομική ερμηνεία. Προδιορίζουν το μέγεθος της μεταβολής της αντικειμενικής υνάρτηης L, όταν μεταβληθούν κατά μια μονάδα οι τιμές των περιοριμών (δηλ. μ και, το παράδειγμά μας). Για την ελαχιτοποίηη του προβλήματος, που δίνεται από τη χέη (), θα πρέπει να ιχύουν οι ακόλουθες υνθήκες πρώτης τάξης: L = + λr λ = 0 L = + λr λ = 0 (3α) (3β) L = [ μ r r] = 0 μ = r + r λ L = [ ] = 0 = + λ (3δ) (3γ) Από τις υνθήκες (3α)-(3β) υνεπάγεται το ακόλουθο ύτημα εξιώεων για τα βάρη και : ( α) λr + λ = λr + λ ( β) = ( r r) = λ + λ d d, ( r r) = λ + λ d d όπου d =. To ύτημα αυτό μπορεί να γραφεί ε μορφή διανυμάτων ως εξής: 5 Σημειώτε ότι το πρόβλημα () η διαίρεη της διακύμανης με δεν επηρεάζει τη λύη του. Η διαίρεη αυτή απλοποιεί ημαντικά τις αλγεβρικές πράξεις του προβλήματος. 35

r r = + d d λ λ r r Ορίζοντας τη μήτρα διακύμανης-υνδιακύμανης των αποδόεων των μετοχών "" και "" του χαρτοφυλακίου ως Σ = και το διάνυμα των μέων αποδόεών τους ως r r =, το ύτημα των εξιώεων, που δίνεται από τη χέη (4), μπορεί να γραφεί με τη r βοήθεια γραμμικής άλγεβρας πιο υνοπτικά ως εξής: (4) = = λσ r + λσ, (5) όπου = αποτελεί ένα διάνυμα τήλης που περιλαμβάνει ως τοιχεία του τη μονάδα. Για να διαπιτωθεί ότι το ύτημα των εξιώεων που δίνεται από την (4) γράφεται τη μορφή της χέης (5), παρατηρήτε πρώτα ότι η μήτρα των διακυμάνεωνυνδιακυμάνεων Σ είναι υμμετρική και μπορεί να γραφεί ως Σ =, καθώς =. Τότε, εύκολα μπορούν να επιβεβαιωθούν οι ακόλουθες δύο χέεις: Σ r r r r r r r d r r = = = και = = =, d Σ που ειέρχονται το δεξί μέλος της χέης (4). 36

Η χέη (5) δείχνει ότι τα άριτα βάρη των μετοχών "" και "" του χαρτοφυλακίου Ρ και, που περιλαμβάνονται το διάνυμα =, εξαρτώνται από τη μήτρα διακύμανης-υνδιακύμανης Σ = και το διάνυμα των μέων αποδόεων των r μετοχών r =. r Για να προδιοριτεί πλήρως η λύη του διανύματος των άριτων βαρών, που δίνεται από τη χέη (5), θα πρέπει να υπολογιτούν οι πολλαπλαιατές Lagrange και λ. Αυτό λ μπορεί να γίνει χρηιμοποιώντας τις υνθήκες πρώτης τάξης (3γ) και (3δ), που αποτελούν τους δύο περιοριμούς του προβλήματος επιλογής του άριτου χαρτοφυλακίου. Πιο υγκεκριμένα, γράφοντας τις υνθήκες αυτές με τη βοήθεια γραμμικής άλγεβρας την ακόλουθη μορφή: (3 ) : [ ] r γ μ= = r r (3 δ) : = [ ] = (6α) (6β) και αντικαθιτώντας ε αυτές τη χέη (5) υνεπάγεται το ακόλουθο ύτημα εξιώεων: (6 α) μ λσ r λσ = + r = λr Σ r+ λ Σ r = λr Σ r+ λ Σ r = λa+ λ b (7α) και (6 β) λσ r λσ = λr Σ λ + = + Σ = λb+ λ c (7β) όπου a=, b= r Σ r Σ r r Σ = και c= Σ αποτελούν βαθμωτά (δηλαδή διανύματα ( )). Αυτά μπορούν να υπολογιτούν με βάη τις τιμές της μήτρας Σ και του διανύματος 37

των μέων αποδόεων r. Λύνοντας το ύτημα των εξιώεων (7α) και (7β) με τη μέθοδο οριζουών δίνονται οι ακόλουθες λύεις για τους πολλαπλαιατές Lagrange και λ : μ b a μ μ= λa+ λb c μc b b a μb λ = =, λ = = = λb+ λc a b ac b a b ac b b c b c λ Αντικαθιτώντας τις λύεις αυτές τη χέη (5) παίρνουμε την αναλυτική λύη του διανύματος των άριτων βαρών των μετοχών του χαρτοφυλακίου ως εξής: μc b a b ac b Σ r μ ac b Σ = = + (8) Η λύη αυτή δείχνει ότι τα άριτα βάρη ενός χαρτοφυλακίου δύο μετοχών που έχει μέη απόδοη μ μπορούν να βρεθούν εύκολα βαιζόμενοι ε εκτιμήεις της μήτρας διακύμανηςυνδιακύμανης Σ και του διανύματος r. Όπως αναφέρθηκε προηγουμένως, οι εκτιμήεις αυτές μπορούν να ληφθούν εύκολα χρηιμοποιώντας ιτορικά τοιχεία των αποδόεων των δύο μετοχών. Σημειώτε ότι ο τύπος του διανύματος των άριτων βαρών, που δίνεται από τη χέη (8), μπορεί να γενικευτεί εύκολα και για την περίπτωη χαρτοφυλακίων που αποτελούνται από Ν μετοχές (βλέπε παράρτημα του κεφαλαίου). Το μόνο που αλλάζει την περίπτωη αυτή είναι οι διατάεις της μήτρας Σ και του διανύματος r. Αυτές γίνονται αντίτοιχα ( N N ) και ( N ). Στη υνέχεια, παραθέτουμε ένα παράδειγμα εφαρμογής του τύπου του διανύματος, για δύο μετοχές. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 4.: Έτω τα τοιχεία του Πίνακα 4., τότε βρείτε το άριτο χαρτοφυλάκιο των μετοχών "" και "" όταν η μέη απόδοή του είναι μ=9%. Για να υπολογίουμε τα άριτα βάρη του χαρτοφυλακίου αυτού, πρώτα υπολογίζουμε τις τιμές των βαθμωτών α, b και c: a = b = c = ac b = = r Σ r 3.850, = Σ r 36.3803, = Σ 405.479 και - 8.350 38

Αυτό γίνεται χρηιμοποιώντας τα τοιχεία του Πίνακα 4. και πιο υγκεκριμένα, το διάνυμα των μέων τιμών r και τη μήτρα διακύμανης-υνδιακύμανης Σ των αποδόεων των δύο μετοχών. Αυτά δίνονται αντίτοιχα ως 0.0 0.0076 0.004 r = και Σ =. 0.08 0.004 0.00708 Η αντίτροφη της μήτρας Σ δίνεται ως 0.0076 0.004 47.35 49.95 Σ = = 0.004 0.00708 49.95 58.7 Χρηιμοποιώντας τις τιμές των παραπάνω βαθμωτών α, b και c, τη υνέχεια βρίκουμε τις τιμές των πολλαπλαιατών Lagrange και λ για την απαιτούμενη (επιθυμητή) μέη απόδοη του χαρτοφυλακίου μ=0.09 ως εξής: λ και λ μc b 0.09 (405.479) 36.3803 = = = 0.03 ac b 8.350 a μb 3.850 0.09(36.3803) λ = = = 0.003. ac b 8.350 Αντικαθιτώντας τις παραπάνω τιμές των και λ τον τύπο του διανύματος των άριτων λ βαρών, που δίνεται από τη χέη (8), υνεπάγεται = = (0.03) Σ r + (0.003) Σ 8.733 97.307 0.435 0.565 0.50 = (0.03) + (0.003) = + = 7.6490 08.5 0.94 0.706 0.50 Παρατηρήτε ότι τα βάρη αυτά υμπίπτουν με εκείνα του παραδείγματος του Πίνακα 4., το οποίο αντιτοιχεί ε ένα χαρτοφυλάκιο με απόδοη μ = 0.09 (9%). Η υνάρτηη του αποτελεματικού υνόρου 39

Με βάη την αναλυτική λύη των άριτων βαρών, που δίνεται από τη χέη (8), μπορούμε να εξαγάγουμε τη υνάρτηη του αποτελεματικού υνόρου (ΕF) των εφικτών χαρτοφυλακίων το χώρο μέου - τυπικής απόκλιης, ( r p ). Όπως αναφέρθηκε προηγουμένως, το ύνορο αυτό αποτελεί ένα γεωμετρικό τόπο ανάμεα τη μέη τιμή και την τυπική απόκλιη (διακύμανη) των αποδόεων όλων των εφικτών υνδυαμών χαρτοφυλακίων. Τα χαρτοφυλάκια αυτά έχουν την ελάχιτη δυνατή τυπική απόκλιη δεδομένες τιμές της μέης απόδοης για r p, μ. Για να προδιορίουμε τη υνάρτηη αυτή, θα αντικατατήουμε τη χέη (8) του διανύματος τον τύπο της διακύμανης του χαρτοφυλακίου Ρ,. Για να γίνει αυτό, πρώτα γράψτε τη υνάρτηη διακύμανης τη βοήθεια γραμμικής άλγεβρας την ακόλουθη τετραγωνική μορφή: με = + + = [ ] = Σ, χρηιμοποιώντας τη χέη =, καθώς η μήτρα Σ είναι υμμετρική. Στη υνέχεια, αντικατατήτε την τελευταία χέη τη χέη (8). Τότε, έχουμε μc b a μb Σ Σ Σ r = = + Σ ac b ac b μc b a μb = ΣΣ r+ ΣΣ ac b ac b μc b a μb = r + ac b ac b = μc b a μb cμ b a μ μ+ = ac b + ac b, (9) ac b όπου για την απόδειξη της τελευταίας χέης χρηιμοποιήαμε τους δύο περιοριμούς μ = r και =. Αυτοί ικανοποιούνται από τη λύη του προβλήματος επιλογής του άριτου χαρτοφυλακίου (βλέπε χέη (), ή ()). 40

Η υνάρτηη που δίνεται από τη χέη (9) παρέχει την ελάχιτη διακύμανη της απόδοης ενός χαρτοφυλακίου p για κάποια δεδομένη τιμή, μ της μέης απόδοης αυτού. Αυτή αποτελεί μια υνάρτηη παραβολής μεταξύ των δύο αυτών μεταβλητών και μ. Η τετραγωνική ρίζα αυτής, που δίνεται από την ακόλουθη χέη: p = cμ bμ+ a ac b (0) ορίζει το γεωμετρικό τόπο των χαρτοφυλακίων που έχουν την ελάχιτη τυπική απόκλιη για διαφορετικές τιμές μ της μέης απόδοης του χαρτοφυλακίου. Η υνάρτηη αυτή αποτελεί μια υνάρτηη υπερβολής. Το γράφημά της δίνεται το Διάγραμμα 4.. Το πάνω τμήμα αυτού (βλέπε, τμήμα ΑΒ το Διάγραμμα 4.) αποτελεί το αποτελεματικό ύνορο των χαρτοφυλακίων. Όπως αναφέρθηκε προηγουμένως, το τμήμα αυτό ορίζει τα χαρτοφυλάκια που έχουν την ελάχιτη δυνατή διακύμανη (ή τυπική απόκλιη ) για κάποια τιμή μ της μέης απόδοης του χαρτοφυλακίου r, και το αντίτροφο. Δηλαδή, για κάποια τιμή της τυπικής απόκλιης, αυτά έχουν τη μέγιτη δυνατή μέη τιμή της απόδοη r. ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ 4.3: Αποτελεματικό ύνορο χαρτοφυλακίων όταν ρ =.0 και ρ =.0 4

Η υνάρτηη του αποτελεματικού υνόρου όταν ρ =.0 και ρ =.0 () Η υνάρτηη υπερβολής που δίνεται από τη χέη (0) και καθορίζει το αποτελεματικό ύνορο των χαρτοφυλακίων (ΕF), θεωρεί ότι ο υντελετής υχέτιης ανάμεα τις αποδόεις των δύο μετοχών "" και "" ρ παίρνει τιμές ανάμεα τις - και (δηλ..0 < ρ <.0 ), χωρίς να περιλαμβάνει τις ακραίες τιμές και -. H εύρεη των αποτελεματικών χαρτοφυλακίων που αντιτοιχούν τις ακραίες αυτές τιμές του υντελετή ρ έχει θεωρητικό ενδιαφέρον, καθώς αυτά προδιορίζουν τα όρια εντός των οποίων βρίκεται το αποτελεματικό ύνορο για την κανονική περίπτωη, όπου.0 < ρ <.0. Στην πρώτη περίπτωη, όπου ρ =.00, επιτυγχάνεται η μεγίτη δυνατή διαφοροποίηη του χαρτοφυλακίου, με υνέπεια ο λόγος της μέης απόδοης αυτού ανά μονάδα τυπικής του απόκλιης μ p να λαμβάνει επίης τη μέγιτη δυνατή τιμή. Στην περίπτωη αυτή, το αποτελεματικό ύνορο των χαρτοφυλακίων θα πρέπει να βρίκεται πάνω και αριτερά εκείνου που δίνεται από τη χέη (9) όταν.0 < ρ <.0, αναπαριτώντας έτι τις καλύτερες αποδόεις του επενδυτή. Από την άλλη μεριά, όταν ρ =.00 δε θα υπάρχει κανένα όφελος για τον επενδυτή να διαφοροποιήει το χαρτοφυλάκιο του. Προφανώς, την περίπτωη αυτή το αποτελεματικό ύνορο θα βρίκεται κάτω και δεξιά του υνόρου που καθορίζεται από τη χέη (9). Το αποτελεματικό ύνορο ενός χαρτοφυλακίου που αντιτοιχεί τις δύο περιπτώεις ρ =.0 και ρ =.0 δίνεται το Διάγραμμα 4.3. Η μαθηματική του απόδειξη παρουιάζεται το παράρτημα του κεφαλαίου. Για λόγους ύγκριης, το διάγραμμα αυτό περιλαμβάνει επίης και τη υνάρτηη υπερβολής (9) που καθορίζει το αποτελεματικό ύνορο την περίπτωη όπου.0 < ρ <.0. Στο Διάγραμμα 4.3, το ευθύγραμμο τμήμα CA αποτελεί το αποτελεματικό ύνορο την περίπτωη όπου ρ =.0, ενώ το τμήμα ΑΒ αντιτοιχεί την περίπτωη ρ =.0. Όπως αναλύθηκε προηγουμένως, τα τμήματα αυτά περιβάλλουν από πάνω-αριτερά και κάτω-δεξιά, το αποτελεματικό ύνορο που αντιτοιχεί την περίπτωη όπου ο υντελετής υχέτιης ανάμεα τις αποδόεις των δύο μετοχών βρίκεται εντός του διατήματος.0 < ρ <.0. 4

Το θεώρημα του διαχωριμού των χαρτοφυλακίων του αποτελεματικού υνόρου Όπως φαίνεται από το Διάγραμμα 4., που παρουιάζει τη υνάρτηη υπερβολής του αποτελεματικού υνόρου των χαρτοφυλακίων, το ύνορο αυτό υπάρχει ένα χαρτοφυλάκιο που αντιτοιχεί το ημείο Β και έχει την ελάχιτη δυνατή διακύμανη, για όλες τις τιμές μ της μέης απόδοης των χαρτοφυλακίων r p. Το χαρτοφυλάκιο αυτό αναφέρεται τη βιβλιογραφία ως το χαρτοφυλάκιο της ολικής ελάχιτης διακύμανης (global minimum variance portolio) και υμβολίζεται ως GMVΡ. Το χαρτοφυλάκιο αυτό μπορεί να προδιοριτεί μοναδικά με βάη τις διακυμάνεις των αποδόεων των μετοχών του, ανεξαρτήτως των τιμών της μέης απόδοης r p. Αυτό υμβαίνει γιατί το ημείο Β η μερική πρώτη παράγωγος της υνάρτηης (0) ως προς την τιμή της μέης απόδοης του χαρτοφυλακίου μ,, ιούται με το μηδέν. Δηλαδή, ιχύει η ακόλουθη χέη: μ μ = 0. Υπολογίζοντας την παράγωγο αυτή υνεπάγεται ότι τη μέη απόδοη του GMVΡ δίνεται ως εξής: / cμ bμ a + cμ bμ a μc b 0 + 0 μ ac b = = ac b ac b / μc b b ( ) 0 = μgmv =, ac b c καθώς 0 και 0 ac b. Έχοντας προδιορίει τη μέη απόδοη του GMV ως b μ GMV =, μπορούμε να βρούμε τα βάρη του χαρτοφυλακίου αυτού, που υμβολίζονται το c εξής ως GMV. Αυτό γίνεται αντικαθιτώντας τη μέη τιμή b μ GMV = το γενικό τύπο του c διανύματος των άριτων βαρών του χαρτοφυλακίου, που δίνεται από τη χέη (8). Τότε, θα έχουμε 43

b b c b a b c c GMV Σ r = Σ = Σ + ac b ac b c Η τυπική απόκλιη της απόδοης του χαρτοφυλακίου GMVΡ μπορεί να υπολογιθεί αντικαθιτώντας τη μέη τιμή αυτού υνόρου, που δίνεται από τη χέη (0). Τότε, θα έχουμε b μ GMV = τη υνάρτηη του αποτελεματικού c b b c b a = + c c. GMV = ac b c Όπως και για τα βάρη, παρατηρήτε ότι η τυπική απόκλιη της απόδοης του χαρτοφυλακίου GMVΡ που δίνεται από την τελευταία χέη εξαρτάται μόνο από τις διακυμάνεις των αποδόεων των μετοχών του χαρτοφυλακίου, καθώς c= Σ. ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ 4.4: Διαχωριμός των χαρτοφυλακίων του αποτελεματικού υνόρου 44

Έχοντας προδιορίει τα βάρη του χαρτοφυλακίου GMVΡ, μπορούμε τώρα να αποδείξουμε ένα θεμελιώδες θεώρημα των χαρτοφυλακίων του αποτελεματικού υνόρου που είναι πολύ χρήιμο τη διαχείριη χαρτοφυλακίων. Αυτό είναι γνωτό τη βιβλιογραφία ως το θεώρημα του διαχωριμού των χαρτοφυλακίων του αποτελεματικού υνόρου (to unds separation theorem). To θεώρημα αυτό προβλέπει ότι όλα τα άριτα χαρτοφυλάκια του αποτελεματικού υνόρου, μπορούν να διαχωριτούν ε δύο βαικά χαρτοφυλάκια: το GMVΡ και κάποιο άλλο χαρτοφυλάκιο, που θα το υμβολίζουμε το εξής ως D. Τα βάρη του χαρτοφυλακίου D δίνονται το ακόλουθο διάνυμα: b D = Σ r. Στο παράρτημα του κεφαλαίου δείχνουμε ότι το χαρτοφυλάκιο D δεν είναι ένα οποιοδήποτε χαρτοφυλάκιο, αλλά προδιορίζεται μοναδικά από το ημείου του αποτελεματικού υνόρου όπου εφάπτεται η ευθεία γραμμή που ξεκινά από την αρχή των αξόνων, Ο (βλέπε Διάγραμμα 4.4). Το θεώρημα του διαχωριμού των χαρτοφυλακίων του αποτελεματικού υνόρου τα χαρτοφυλάκια GMV και διανύματος των άριτων βαρών D μπορεί να αποδειχθεί εύκολα χρηιμοποιώντας τον τύπο του, που δίνεται από τη χέη (8), δηλαδή μc b a b ac b Σ r μ ac b Σ = = + Αντικαθιτώντας τον τύπο αυτό τις ακόλουθες χέεις: Σ = cgmv που δίνονται από τους οριμούς των χαρτοφυλακίων GMVΡ και D, υνεπάγεται και Σ r = b D, μc b a μb = b = D + c GMV φ D + φ GMV, ac b ac b μc b a b όπου φ b και φ μ = = ac b c ac b. Η παραπάνω χέη δείχνει ότι τα βάρη των χαρτοφυλακίων του αποτελεματικού υνόρου μπορούν να διαχωριτούν ε εκείνα των 45

χαρτοφυλακίων GMVΡ και D. Οι υντελετές φ και φ αποτελούν τους ταθμικούς όρους (βάρη) των δύο χαρτοφυλακίων αυτών, καθώς αυτοί αθροίζουν τη μονάδα. Αυτό μπορεί να διαπιτωθεί εύκολα υπολογίζοντας το άθροιμα τους φ + φ μc b a μb φ+ φ = b + c= ac b ac b,. Αυτό δίνεται ως που αποδεικνύει το θεώρημα του διαχωριμού των χαρτοφυλακίων του αποτελεματικού χώρου. Πολλαπλαιάζοντας τα διανύματα των βαρών των δύο χαρτοφυλακίων GMVΡ και D με το διάνυμα γραμμής = (,) μπορεί εύκολα να διαπιτωθεί ότι αυτά αποτελούν δύο ταθμιμένα χαρτοφυλάκια, τα βάρη των οποίων αθροίζουν τη μονάδα, δηλαδή έχουμε και (, GMV, GMV ) GMV Σ + = = =, καθώς c = Σ, c + = = Σ r =, καθώς b (, D, D) D = =. b Σ r r Σ To θεώρημα του διαχωριμού χαρτοφυλακίων του αποτελεματικού υνόρου έχει πουδαία πρακτική ημαία τη διαχείριη χαρτοφυλακίων. Έχοντας προδιορίει τα δύο βαικά χαρτοφυλάκια GMVΡ και D, αυτό μας επιτρέπει να κατακευάουμε οποιοδήποτε άλλο άριτο χαρτοφυλάκιο του αποτελεματικού υνόρου, για διαφορετικές τιμές της μέης απόδοης r p, μ. Για παράδειγμα, το χαρτοφυλάκιο που αντιτοιχεί το ημείο Ε του αποτελεματικού υνόρου και βρίκεται τα δεξιά του ημείου D (βλέπε Διάγραμμα 4.4) μπορεί να προδιοριτεί με βάη το θεώρημα του διαχωριμού των χαρτοφυλακίων ως εξής: E E = φ + φ MV, όπου φ > και φ < 0. E E E D G Το αρνητικό πρόημο του ταθμικού όρου ημαίνει ότι το χαρτοφυλάκιο Ε υνεπάγεται ακάλυπτη πώληη του GMV. Αυτό μπορεί να εξηγηθεί μαθηματικά από το γεγονός ότι το ημείο Ε βρίκεται τα δεξιά του D. E φ < 0 46

Αντίθετα με το Ε, το χαρτοφυλάκιο που αντιτοιχεί το ημείο Η και βρίκεται ανάμεα τα ημεία των δύο χαρτοφυλακίων GMV και D ορίζεται ως εξής: E E = φ + φ MV, όπου 0< φ < και 0< φ <, H H H D G και υνεπάγεται επένδυη και τα δύο αυτά χαρτοφυλάκια. Στη υνέχεια, για την καλύτερη κατανόηη του θεωρήματος του διαχωριμού των χαρτοφυλακίων του αποτελεματικού υνόρου παραθέτουμε ένα απλό παράδειγμα υπολογιμού των βαρών των δύο βαικών χαρτοφυλακίων GMVΡ και D, καθώς και ενός άλλου χαρτοφυλακίου που μπορεί να κατακευατεί με βάη αυτά. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 4.: Έτω τα τοιχεία του Πίνακα 4., τότε βρείτε τα βάρη των δύο χαρτοφυλακίων GMVΡ και D. Στη υνέχεια, με βάη αυτά κατακευάτε ένα χαρτοφυλάκιο που έχει μέη απόδοη μ=%. Τα βάρη των χαρτοφυλακίων GMVΡ και D μπορούν να υπολογιτούν με βάη τα τοιχεία του Παραδείγματος 4. ως εξής: και 97.307 0.4867 GMV = Σ = = c 405.479 08.5 0.533 8.733 0.549 D = Σ r = =. b 36.3803 7.6490 0.485 Για να υπολογίουμε τα βάρη ενός χαρτοφυλακίου με μέη απόδοη μ=0. (%), ( μ= 0.), θα εφαρμόουμε το θεώρημα του διαχωριμού των χαρτοφυλακίων του αποτελεματικού υνόρου. Σύμφωνα με αυτό, το διάνυμα εξής: ( μ= 0.) μπορεί να γραφεί ως ( μ= 0.) = φ D + φ GMV. 47

Στην τελευταία χέη αντικατατήτε τις τιμές των διανυμάτων GMV και D, που βρέθηκαν προηγουμένως, καθώς και τις τιμές των ταθμικών όρων φ και φ, που υπολογίζονται ως εξής: μc b φ a μb = =53.645 b ac b και φ = 5.645 c = ac b, για μ = 0.. Τότε, υνεπάγεται 0.4867 0.549.00 ( μ= 0.) = φd + φgmv = 53.645 + ( 5.645) =. 0.533 0.485.00 Η λύη αυτή δείχνει ότι το χαρτοφυλάκιο με μέη απόδοη μ = 0. (%) περιλαμβάνει ακάλυπτη πώληη της μετοχής "" και αγορά της μετοχής "" ε ποοτά 00.00% και 00.00%, αντίτοιχα. Με την ακάλυπτη πώληη της μετοχής "", η οποία ημειώτε ότι έχει τη μικρότερη μέη απόδοη r = 0.08, το χαρτοφυλάκιο περιλαμβάνει τη μετοχή "", η οποία έχει την μεγαλύτερη μέη απόδοη, r = 0.0, ε μεγαλύτερο ποοτό. Έτι, επιτυγχάνεται αύξηη της μέη απόδοης του χαρτοφυλακίου ε επίπεδο μεγαλύτερου του 0%, όπως απαιτείται. Επιλογή του βέλτιτου χαρτοφυλακίου του επενδυτή Όπως είδαμε προηγουμένως, το αποτελεματικό ύνορο των χαρτοφυλακίων (EF) παρέχει όλα τα εφικτά χαρτοφυλάκια που έχουν την ελάχιτη δυνατή διακύμανη για διαφορετικές τιμές της μέης απόδοης τους. Ποιο όμως από αυτά θα επιλέξει ο αντιπροωπευτικός επενδυτής; Προφανώς, η απάντηη το ερώτημα αυτό θα εξαρτηθεί από τις προτιμήεις του επενδυτή για τον κίνδυνο απώλειας ειοδήματος που ενέχει καθένα από τα χαρτοφυλάκια του αποτελεματικού υνόρου. Οι προτιμήεις του επενδυτή μπορούν να ληφθούν υπόψη την ανάλυή μας χρηιμοποιώντας τις καμπύλες αδιαφορίας της αναμενόμενης υνάρτηης χρηιμότητας V μ που παρουιάαμε το προηγούμενο κεφάλαιο. Όπως (, ) δείξαμε ε αυτό, οι καμπύλες αυτές αποτελούν κυρτές υναρτήεις το χώρο μέης τιμής (μ) και της τυπικής απόκλιης ( ) των ροών (ή αποδόεων) διαφορετικών επενδυτικών χεδίων, που την παρούα ανάλυή μας αποτελούν χαρτοφυλάκια μετοχών. 48

Για να προδιορίουμε το χαρτοφυλάκιο του αποτελεματικού υνόρου που προτιμά ο επενδυτής και θα ονομάζουμε το εξής ως βέλτιτο χαρτοφυλάκιο, το Διάγραμμα 4.5, εκτός του γραφήματος του αποτελεματικού υνόρου, παρουιάζουμε καμπύλες αδιαφορίες της υνάρτηης αναμενόμενης χρηιμότητάς V μ (, ). Με βάη αυτές, μπορεί να προδιοριτεί άμεα ότι το χαρτοφυλάκιο που θα επιλέξει ο επενδυτής ως βέλτιτο θα πρέπει να βρίκεται το ημείο επαφής του αποτελεματικού υνόρου και κάποιας από τις καμπύλες αδιαφορίας, που παρουιάζονται το Διάγραμμα 4.5. Το ημείο αυτό είναι το ημείο Ε. Το χαρτοφυλάκιο που αντιτοιχεί το ημείο αυτό παρέχει τον επενδυτή τη μέγιτη αναμενόμενη χρηιμότητα μεταξύ όλων των χαρτοφυλακίων του αποτελεματικού υνόρου. Όπως φαίνεται από το Διάγραμμα 4.5, οποιοδήποτε άλλο χαρτοφυλάκιο του αποτελεματικού υνόρου (όπως εκείνα που βρίκονται τα ημεία τομής των καμπύλων αδιαφορίας με το αποτελεματικό ύνορο) δεν αποτελούν βέλτιτα χαρτοφυλάκια για τον επενδυτή, καθώς παρέχουν επίπεδο αναμενόμενης χρηιμότητας μικρότερο εκείνου που αντιτοιχεί το ημείο Ε. ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ 4.5: Επιλογή του βέλτιτου χαρτοφυλακίου του επενδυτή Προδιοριμός της μέης τιμής και διακύμανης του βέλτιτου χαρτοφυλακίου () 49

Ο προδιοριμός του βέλτιτου χαρτοφυλακίου ενός αντιπροωπευτικού επενδυτή που παρουιάαμε προηγουμένως τηρίχθηκε ε διαγραμματική ανάλυη. Αν επιθυμούμε να προδιορίουμε αναλυτικά το χαρτοφυλάκιο αυτό, δηλαδή να υπολογίουμε τη μέη τιμή και την τυπική απόκλιη της απόδοής του, καθώς και τα βάρη του θα πρέπει να υποθέουμε κάποια υγκεκριμένη υνάρτηη χρηιμότητας. Για το κοπό αυτό, θεωρήτε ότι η υνάρτηη χρηιμότητας του επενδυτή είναι τετραγωνική μορφής ως προς της απόδοη του χαρτοφυλακίου r. 6 Τότε, η αναμενόμενη υνάρτηη χρηιμότητας V μ δίνεται ως εξής: (, ) V( μ, ) E[ U( r) ] = E γr δr = γ E( r) δe( r) = γμ δμ δ. Οι καμπύλες αδιαφορίας της υνάρτηης αυτής αποτελούν το γεωμετρικό τόπο μεταξύ των τιμών μ και που παρέχουν το αυτό επίπεδο αναμενόμενης χρηιμότητας, που ορίζεται ως V V μ (, )). Αντικαθιτώντας V την παραπάνω υνάρτηη αναμενομένης χρηιμότητας δίνεται η ακόλουθη υναρτηιακή χέη που ορίζει τις καμπύλες αδιαφορίας της V ( μ, ): γμ δμ V =. δ Έχοντας προδιορίει τη υνάρτηη των καμπυλών αδιαφορίας της V ( μ, ), τη υνέχεια μπορούμε να προδιορίουμε το βέλτιτο χαρτοφυλάκιο Ε. Όπως εξηγήθηκε προηγουμένως, το χαρτοφυλάκιο αυτό καθορίζεται από την κλίη της εφαπτομένης γραμμής τη υνάρτηη της καμπύλη αδιαφορίας της V μ το ημείο Ε. Η κλίη αυτή ιούται με την πρώτη (, ) παράγωγο της καμπύλης αδιαφορίας d dμ το Ε. Για το βέλτιτο χαρτοφυλάκιο, η 6 Αντί του ρυθμού απόδοης r, θα μπορούαμε να υποθέουμε ότι η υνάρτηη τετραγωνικής χρηιμότητας αποτελεί υνάρτηη της ειοδηματικής ροής (+ r ) που παρέχει μια επένδυη ενός χαρτοφυλακίου μετοχών αξίας ενός ευρώ ή κάποιου άλλου χρηματικού ποού, έτω Υ. Όμως, τα αποτελέματα της ανάλυης δεν αλλάζουν, καθώς οι αβέβαιες μεταβολές του επιπέδου αναμενόμενης χρηιμότητας που παίζουν ρόλο την επιλογή του βέλτιτου χαρτοφυλακίου προέρχονται από αυτές της απόδοης r που αποτελεί μια τυχαία μεταβλητή. 50

παράγωγος αυτή θα πρέπει να ιούται με εκείνη της υνάρτηης του αποτελεματικού υνόρου, το οποίο δίνεται ως = cμ bμ+ a. ac b Για τη υνάρτηη της καμπύλης αδιαφορίας υπολογίζεται ως εξής: γμ δμ V d =, η παράγωγος δ dμ / d( p) d / p / d γμ δμ V / = ( p) = ( p) ( p) ( γ ) dμ dμ dμ δ = δμ, δ ενώ για την υνάρτηη του αποτελεματικού υνόρου = cμ bμ+ a ac b δίνεται ως / d( p) d / p / d cμ bμ+ a / = ( p) = ( p) ( ) ( ) p c b dμ dμ dμ ac b = μ. ac b Εξιώνοντας τις δύο παραπάνω παραγώγους υνεπάγεται η ακόλουθη χέη: ( γ δμ ) = (c b δ ac b μ ) Λύνοντας αυτή ως προς εξής: μ δίνεται η μέη απόδοη του βέλτιτου χαρτοφυλακίου Ε ως μ E μ= α + ( ac b ) + b ( c ( ac b )) δ δ. Η χέη αυτή δείχνει ότι, γνωρίζοντας τις τιμές των παραμέτρων της τετραγωνικής υνάρτηης χρηιμότητας γ και δ, καθώς και τις τιμές των βαθμωτών α, b και c μπορούμε να προδιορίουμε την επιθυμητή μέη απόδοη του βέλτιτου χαρτοφυλακίου Ε. Με βάη την τιμή του μ E, τη υνέχεια μπορούμε να βρούμε τα βάρη του χαρτοφυλακίου αυτού 5

χρηιμοποιώντας τη χέη (8), καθώς και την τυπική απόκλιη της απόδοής του με βάη τη χέη (0) του αποτελεματικού υνόρου. 4.4 Άριτη ύνθεη ενός χαρτοφυλακίου που περιλαμβάνει και το περιουιακό τοιχείο χωρίς κίνδυνο Στη μέχρι τώρα ανάλυη μας υποθέαμε ότι το χαρτοφυλάκιο Ρ αποτελείται μόνο από μετοχές, των οποίων οι αποδόεις είναι αβέβαιες. Στην πραγματικότητα όμως μπορούμε να υμπεριλάβουμε ε αυτό και περιουιακά τοιχεία τα οποία έχουν βέβαιες αποδόεις. H επένδυη τα τοιχεία αυτά δεν ενέχει κανένα κίνδυνο απώλειας ειοδήματος. Παραδείγματα τέτοιων περιουιακών τοιχείων αποτελούν τα έντοκα γραμμάτια του δημοίου ή οι τραπεζικές καταθέεις, που προφέρονται την αγορά χρήματος. Έτω ότι θεωρούμε την απόδοη του περιουιακού τοιχείου χωρίς κίνδυνο ως κάποιο αντιπροωπευτικό επιτόκιο της αγοράς χρήματος r. Αν επιπλέον των δύο μετοχών "" και "", το χαρτοφυλάκιο Ρ περιλαμβάνει και το περιουιακό τοιχείο χωρίς κίνδυνο, τότε η μέη απόδοή του θα υπολογίζεται ως ακολούθως: r E( r) = r 0 + E[ r + r ] = r 0 + r + r, όπου 0 υμβολίζει το βάρος του χαρτοφυλακίου για το περιουιακό τοιχείο χωρίς κίνδυνο. Λόγω της προθήκης του τοιχείου αυτού το χαρτοφυλάκιο Ρ, θα ιχύει ο ακόλουθος περιοριμός για τα βάρη του: 0+ + =. Λύνοντας ως προς το βάρος του περιουιακού τοιχείου χωρίς κίνδυνο 0 υνεπάγεται = () 0 Η τελευταία χέη δείχνει ότι το βάρος 0 μπορεί να προδιοριτεί εφόον έχουν πρώτα προδιοριτεί τα βάρη των δύο μετοχών "" και "", που αποτελούν τα τοιχεία του 5

χαρτοφυλακίου που ενέχουν κίνδυνο απώλειας ειοδήματος. Επίης ημαίνει ότι, τα πλαίια του προβλήματος προδιοριμού των άριτων βαρών ενός χαρτοφυλακίου (βλέπε χέη ()), ο περιοριμός των βαρών + = δεν υπάρχει πλέον. Όπως θα δούμε τη υνέχεια του κεφαλαίου, αυτό θα έχει ημαντικές υνέπειες τον προδιοριμό των άριτων βαρών του χαρτοφυλακίου Ρ, καθώς μειώνει τον αριθμό των περιοριμών κατά ένα. Με βάη τη χέη () μπορούμε να διακρίνουμε τις ακόλουθες δύο περιπτώεις χετικά με το βάρος της επένδυης το περιουιακό τοιχείο χωρίς κίνδυνο. Αν 0 >0, τότε αυτό ημαίνει ότι ο αντιπροωπευτικός επενδυτής θεωρείται ως δανειτής (καταθέτης) την αγορά χρήματος. Ενώ αν 0 <0, αυτός θεωρείται ως δανειολήπτης. Η δυνατότητα του επενδυτή να δανειθεί την αγορά χρήματος του επιτρέπει να επενδύει και τις δύο μετοχές πολλαπλάιο ποό του αρχικού ειοδήματος του, χωρίς να προβεί ε ακάλυπτη πώληη κάποιας από τις δύο μετοχές. Για να λύουμε το πρόβλημα της άριτης ύνθεης του χαρτοφυλακίου Ρ όταν υπάρχει και περιουιακό τοιχείο χωρίς κίνδυνο, θα ακολουθήουμε ανάλογα βήματα με το πρόβλημα όταν δεν θεωρούαμε το τοιχείο αυτό (βλέπε χέη ()). Πρώτα, θα ορίουμε τη μέη απόδοη του χαρτοφυλακίου Ρ, απόδοής του r. Στη υνέχεια, θα ορίουμε τη διακύμανη της και θα προπαθήουμε να ελαχιτοποιήουμε τη υνάρτηη αυτή ως προς τα βάρη του χαρτοφυλακίου 0, και. Παρατηρήτε όμως το ημείο αυτό ότι η διακύμανη και οι υνδιακυμάνεις της απόδοης του περιουιακού τοιχείου χωρίς κίνδυνο με εκείνες των μετοχών είναι μηδέν, καθώς το τοιχείο αυτό έχει βέβαιες αποδόεις. Αυτό υνεπάγεται ότι η διακύμανη της απόδοης τους χαρτοφυλακίου Ρ, δεν θα εξαρτάται από το βάρος 0. Αυτή υπολογίζεται ως εξής:, = Var( r + r + r ) = 0+ Var( r ) + Var( r ) + 0+ 0+ Cov( r ; r) 0 = + + και είναι ίδια εκείνη με τη διακύμανη υμπεριλαμβάνεται το χαρτοφυλάκιο (βλέπε χέη ()). όταν το περιουιακό τοιχείο χωρίς κίνδυνο δεν 53

Το γεγονός ότι η διακύμανη δεν εξαρτάται από το βάρος ημαίνει ότι, για τον προδιοριμό των άριτων βαρών του χαρτοφυλακίου Ρ, αυτή δε θα ελαχιτοποιηθεί ως προς αυτό, αλλά μόνο ως προς τα βάρη των δύο μετοχών προηγουμένως, το βάρος 0 0 και 0 = και. Όπως αναφέρθηκε θα προδιοριτεί εκ των υτέρων ως κατάλοιπο, δηλαδή ως, εφόον έχουν πρώτα προδιοριτεί οι άριτες τιμές των βαρών. Για το κοπό αυτό, θα αντικατατήουμε = 0 τον οριμό της μέης απόδοης του χαρτοφυλακίου Ρ r. Τότε, αυτή γίνεται r = ( ) r + r + r = r + ( r r ) + ( r r ) () Η χέη αυτή δίνει τη μέη απόδοη του χαρτοφυλακίου r ως άθροιμα του επιτοκίου της αγοράς r και των ταθμιμένων μέων επιπλέον αποδόεων των μετοχών του ε χέη με αυτό, δηλαδή των ( r r ) και ( r r ). Αυτές αναφέρονται διαφορετικά ως υπερβάλλουες αποδόεις. Με βάη την παραπάνω ανάλυη, το πρόβλημα επιλογής του άριτου χαρτοφυλακίου όταν αυτό περιλαμβάνει και το περιουιακό τοιχείο χωρίς κίνδυνο μπορεί να διατυπωθεί ως εξής: ελαχ = + + (3), κάτω από τον περιοριμό της μέης απόδοης r = r + ( r r ) + ( r r ) = μ (βλέπε ) Όπως αναφέρθηκε προηγουμένως, ο περιοριμός που αφορά τα βάρη του χαρτοφυλακίου και (δηλ. + = ), δεν υφίταται πλέον καθώς υπάρχει η δυνατότητα δανειμού την αγορά. Μαθηματικά, η μείωη των περιοριμών τη λύη του παραπάνω προβλήματος κατά ένα ημαίνει ότι η βέλτιτη τιμή της αντικειμενικής υνάρτηης του προβλήματος αυτού (δηλαδή, η ελάχιτη τιμή της διακύμανης ) θα είναι μικρότερη ε χέη με εκείνη όταν ο περιοριμός των βαρών υμπεριλαμβάνεται. Αυτό θα ιχύει για όλες τις τιμές μ της 54

μέης απόδοης του χαρτοφυλακίου r, με μόνη εξαίρεη την περίπτωη όπου η λύη του προβλήματος χωρίς το περιουιακό τοιχείο, που δίνεται από τη χέη (3), τυχαίνει να ικανοποιεί τον περιοριμό των βαρών. Στην περίπτωη αυτή ο επενδυτής θα επιλέγει να κρατά το άριτο χαρτοφυλάκιό του μόνο τις μετοχές "" και "" και επομένως, το βάρος του περιουιακού τοιχείου χωρίς κίνδυνο θα ιούται με το μηδέν (δηλ. = =0). Προφανώς, την περίπτωη αυτή οι λύεις των δύο προβλημάτων 0 επιλογής του άριτου χαρτοφυλακίου χωρίς ή με το περιουιακό τοιχείο χωρίς κίνδυνο, που δίνονται από τις χέεις () και (3) αντίτοιχα, θα υμπίπτουν και επομένως, η ελάχιτη τιμή της διακύμανης θα είναι ίδια. + = Για τη λύη του προβλήματος που δίνεται από τη χέη (3) θα εργατούμε ανάλογα με αυτό που δίνεται από τη χέη (). Η λύη των άριτων βαρών και την ελαχιτοποίηη της ακόλουθης υνάρτηης του Lagrange: θα προκύψει από (4) ελαχ L= [ + + ] + λ [ μ r ( r r ) ( r r )],. Οι υνθήκες πρώτης τάξης για τη λύη του προβλήματος αυτού δίνονται ως ακολούθως: L = + λ( r r ) = 0 (5α) L = + λ( r r ) = 0 (5β) L = [ μ r ( r r ) ( r r)] = 0 λ μ r = ( r r ) + ( r r ) (5γ) Από τις υνθήκες αυτές υνεπάγεται το ακόλουθο ύτημα εξιώεων για τα άριτα βάρη και : 55

(5α) λ( r r ) = λ( r r ) (5β) = ( r r ) ( r r) = λ d ( r r) ( r r ), = λ d όπου εξής: d =. Με τη βοήθεια της γραμμικής άλγεβρας, το ύτημα αυτό γράφεται ως ( r r ) ( r r ) = λ d ( r r ) ( r r ) ή ε πιο υνοπτική μορφή, ως ακολούθως = = λσ r (6) όπου r ( r r ) r = = r = r r αποτελεί το διάνυμα των μέων επιπλέον ( r r ) r αποδόεων των μετοχών από την απόδοη του περιουιακού τοιχείου χωρίς κίνδυνο r. Η χέη (6) δεν αποτελεί την τελική αναλυτική χέη των άριτων βαρών του χαρτοφυλακίου Ρ, που υμβολίζονται ως, καθώς εξαρτάται από τον πολλαπλαιατή Lagrange λ. Για να βρούμε τον τύπο αυτό, γράψτε τον περιοριμό του προβλήματος που δίνεται από τη χέη (3) με τη βοήθεια γραμμικής άλγεβρας ως εξής: ( r r ) μ r = [ ] = r, (7) ( r r ) και αντικατατήτε ε αυτόν το διάνυμα των βαρών, που δίνεται από τη χέη (6). Τότε, υνεπάγεται μ r Σ r r r Σ r μ r = λ λ = = μ r g, 56

όπου g= r αποτελεί ένα βαθμωτό (διάνυμα (Χ)). Αντικαθιτώντας την τελευταία r Σ χέη του υντελετή λ τη χέη (6) υνεπάγεται την ακόλουθη αναλυτική χέη του διανύματος των άριτων βαρών ως εξής: 7 μ r = = g Σ r. (8) Το άριτο διάνυμα βαρών που δίνεται από τη χέη (8) διαφέρει εκείνου που δίνεται από τη χέη (8), η οποία δε λαμβάνει υπόψη της την ύπαρξη του περιουιακού τοιχείου χωρίς κίνδυνο. Το διάνυμα αυτό δεν εξαρτάται ξεχωριτά από τα τοιχεία της μήτρας διακύμανης-υνδιακύμανης των αποδόεων των μετοχών Σ, που όπως είδαμε το τμήμα 4.3 του κεφαλαίου προδιορίζει τα βάρη του χαρτοφυλακίου ολικής ελάχιτης διακύμανης (GMVΡ). Το αποτέλεμα αυτό ημαίνει ότι δεν μπορούμε να διαχωρίουμε τα άριτα χαρτοφυλάκια που προδιορίζονται από τη χέη (8) τα GMV και D. Αυτό βεβαίως δε ημαίνει ότι δεν ιχύει το θεώρημα του διαχωριμού των χαρτοφυλακίων όταν υπάρχει και το περιουιακό τοιχείο χωρίς κίνδυνο. Στην περίπτωη αυτή, το ρόλο του χαρτοφυλακίου που έχει την ολική ελάχιτη διακύμανη τον παίζει το χαρτοφυλάκιο εκείνο που εξολοκλήρου αποτελείται από το περιουιακό τοιχείο χωρίς κίνδυνο. Αυτό ορίζεται ως εξής: ( =, = 0, = 0) και προφανώς έχει απόδοη ταθερή, ίη με το επιτόκιο της 0 αγοράς r και διακύμανη (ή τυπική απόκλιη ) ίη με το μηδέν. Αυτό θα διαπιτωθεί καλύτερα το επόμενο τμήμα, όπου θα παρουιάουμε αναλυτικά το αποτελεματικό ύνορο χαρτοφυλακίων μετοχών που δίνονται από τη χέη (8) και λαμβάνουν υπόψη τους την ύπαρξη περιουιακού τοιχείου χωρίς κίνδυνο. Για την καλύτερη κατανόηη του υπολογιμού των άριτων βαρών ενός χαρτοφυλακίου που περιλαμβάνει και το περιουιακό τοιχείο χωρίς κίνδυνο, τη υνέχεια παραθέτουμε το ακόλουθο παράδειγμα. 7 Σημειώτε ότι αντικαθιτώντας το διάνυμα των επιπλέον μέων αποδόεων r = r r το τύπου του βαθμωτού g = r Σ r, το τελευταίο μπορεί να γραφτεί ε όρους των βαθμωτών a, b και c που έχουμε ήδη ορίει το προηγούμενο τμήμα του κεφαλαίου ως εξής: g = r Σ r = ( r r ) Σ ( r r ) = r Σ r Σ rr r Σ r + Σ r = a br + cr 57

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 4.3: Θεωρήτε τα τοιχεία του Πίνακα 4. και ότι υπάρχει ένα περιουιακό τοιχείο χωρίς κίνδυνο του οποίου η απόδοη είναι 5%. Βρείτε τα άριτα βάρη ενός χαρτοφυλακίου που αποτελείται από τα τοιχεία αυτά και έχει μέη απόδοη %. Για τον προδιοριμό των άριτών βαρών του χαρτοφυλακίου αυτού, πρώτα θα υπολογίουμε το διάνυμα των επιπλέον μέων αποδόεων. Αυτό δίνεται ως εξής: ( r r ) 0.05 ( r r ) 0.03 r = =. Χρηιμοποιώντας τις τιμές του διανύματος αυτού και της αντίτροφης της μήτρας Σ (βλέπε Παράδειγμα 4.), το βαθμωτό g υπολογίζεται ως εξής: r Σ r =. Με βάη την g= 0.6606 τιμή αυτού, τα άριτα βάρη των μετοχών του χαρτοφυλακίου με απόδοη μ=0. υπολογίζονται ως εξής: μ Σ r r = = g 0. 0.05 47.35 49.95 0.05 0.9395 = = 0.6606 49.95 58.7 0.03 0.7675 Έχοντας υπολογίει τα άριτα βάρη των μετοχών, μπορούμε τώρα να βρούμε το άριτο βάρος του περιουιακού τοιχείου χωρίς κίνδυνο ως εξής: = = 0.9395 0.7675 = 0.70699. 0 Το αρνητικό πρόημο του βάρους 0 υνεπάγεται ότι το άθροιμα των άριτων βαρών των δύο μετοχών "" και "" είναι μεγαλύτερο της μονάδος (δηλαδή, έχουμε + = 0.9395+ 0.7675 =.770 > ). Το αποτέλεμα αυτό ημαίνει ότι ο επενδυτής δανείζεται την αγορά χρήματος, έτι ώτε να μπορεί να επενδύει μεγαλύτερο μέρος του ειοδήματος τις μετοχές "" και "". Συγκρίνοντας τα αποτελέματα αυτά με εκείνα του Παραδείγματος 4. παρατηρούμε ότι η ύπαρξη του περιουιακού τοιχείου χωρίς κίνδυνο δίνει τη δυνατότητα τον επενδυτή να δανειθεί την αγορά χρήματος για να επιτύχει τη μέη απόδοη % του χαρτοφυλακίου του, αντί να προβεί ε ακάλυπτη πώληη της μετοχής "". 58

Το αποτελεματικό ύνορο χαρτοφυλακίων όταν υπάρχει περιουιακό τοιχείο χωρίς κίνδυνο Για να βρούμε το αποτελεματικό ύνορο χαρτοφυλακίων τα οποία, εκτός από μετοχές, περιλαμβάνουν και το περιουιακό τοιχείο χωρίς κίνδυνο, θα αντικατατήουμε το διάνυμα των άριτων βαρών, που δίνεται από τη χέη (8), τη διακύμανη της απόδοης του χαρτοφυλακίου. Τότε, υνεπάγεται μ r μ r μ r μ = Σ = r Σ Σ Σ r r = Σ r = r g g g g g = ( ) r g μ Η τετραγωνική ρίζα της τελευταίας χέης δίνει = ( μ r ) μ= r + g (9) g Η χέη αυτή αποτελεί το αποτελεματικό ύνορο των χαρτοφυλακίων όταν υπάρχει και περιουιακό τοιχείο χωρίς κίνδυνο. Στο χώρο μέης απόδοης και τυπικής απόκλιης ( r p ), αυτή παριτάνει μια ευθεία γραμμή της οποίας η ταθερά ιούται με την απόδοη του περιουιακού τοιχείου χωρίς κίνδυνο (δηλ., το επιτόκιο r ) και ο υντελετής κλίης της δίνεται ως g (βλέπε Διάγραμμα 4.6Α). Η θέη της ευθείας αυτής γραμμής το χώρο ) μπορεί επίης να προδιοριθεί από δύο ημεία τα οποία έχουν θεωρητικό ( r p ενδιαφέρον. Το πρώτο είναι το ημείο F, που ορίζεται ως (r, 0). Το χαρτοφυλάκιο που αντιτοιχεί το ημείο αυτό έχει απόδοη r και τυπική απόκλιη 0. Επομένως, αυτό θα αποτελείται μόνο από το περιουιακό τοιχείο χωρίς κίνδυνο, δηλαδή θα ορίζεται ως εξής: ( =, = 0, = 0 ). Το χαρτοφυλάκιο αυτό έχει την ελάχιτη διακύμανη ε χέη με 0 όλα τα χαρτοφυλάκιο του αποτελεματικού υνόρου. Αυτό αντιτοιχεί το GMV του αποτελεματικού υνόρου χαρτοφυλακίων που περιλαμβάνουν μόνο μετοχές, που εξετάαμε το προηγούμενο τμήμα. 59

Το δεύτερο ημείο που καθορίζει τη θέη της ευθείας γραμμής που δίνεται από τη χέη (9) το χώρο ( r p ) μπορεί να βρεθεί αν παρατηρήουμε ότι μια δυνατή άριτη λύη του προβλήματος επιλογής του άριτου χαρτοφυλακίου όταν υπάρχει περιουιακό τοιχείο χωρίς κίνδυνο είναι η ακόλουθη: ( = 0, + = ). Το χαρτοφυλάκιο που αντιτοιχεί 0 το ημείο αυτό αποτελείται μόνο από τις μετοχές "" και "" και ικανοποιεί τον περιοριμό + =. Επομένως, αυτό θα πρέπει να αποτελεί και λύη του προβλήματος επιλογής του άριτου χαρτοφυλακίου όταν δεν υπάρχει περιουιακό τοιχείο χωρίς κίνδυνο (βλέπε χέη ()). Αυτό ημαίνει ότι, εκτός από την ευθεία γραμμή που ορίζεται από τη χέη (9), το χαρτοφυλάκιο αυτό θα πρέπει να βρίκεται και πάνω το αποτελεματικό ύνορο των χαρτοφυλακίων μετοχών. που δίνεται από τη υνάρτηη υπερβολής (0). Αυτό θα προδιορίζεται μοναδικά από κάποιο κοινό ημείο των δύο αποτελεματικών υνόρων με ή χωρίς το περιουιακό τοιχείο χωρίς κίνδυνο. Όπως εξηγείται τη υνέχεια, το ημείο αυτό θα πρέπει να είναι το ημείο επαφής (tangency point) των δύο αποτελεματικών υνόρων, που δίνεται από το ημείο Τ του Διαγράμματος 4.6Α. Για το λόγο αυτό, το χαρτοφυλάκιο που αντιτοιχεί το ημείο αυτό αναφέρεται ως εφαπτόμενο χαρτοφυλάκιο (tangent portolio-τ) και υμβολίζεται ως Τ. ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ 4.6Α: Αποτελεματικό ύνορο χαρτοφυλακίων όταν υπάρχει περιουιακό τοιχείο χωρίς κίνδυνο 60

Για να εξηγήουμε γιατί το ημείο Τ θα πρέπει να αποτελεί το εφαπτόμενο ημείο των δύο αποτελεματικών υνόρων που δίνονται από τις χέεις (0) και (9), θεωρήτε ότι τα δύο ύνορα τέμνονται μεταξύ τους, όπως παρουιάζεται το Διάγραμμα 4.6Β. Τότε, θα υπάρχει ένας αριθμός χαρτοφυλακίων του αποτελεματικού υνόρου χωρίς το περιουιακό τοιχείο με κίνδυνο που θα αποτελούν καλύτερες επενδυτικές επιλογές ε χέη με εκείνα που βρίκονται το ύνορο των χαρτοφυλακίων που περιλαμβάνουν και το τοιχείο με κίνδυνο, καθώς θα έχουν μεγαλύτερη απόδοη μ ανά μονάδα τυπικής απόκλιης Ρ. Παραδείγματος χάρη, βλέπε τα χαρτοφυλάκια που αντιτοιχούν τα ημεία Ν και Κ του διαγράμματος. Αυτό όμως δεν είναι ωτό και έτι, θα πρέπει να απορριφθεί καθώς, όπως έχουμε αναλύει προηγουμένως, όλα τα χαρτοφυλάκια του αποτελεματικού υνόρου όταν υπάρχει περιουιακό τοιχείο χωρίς κίνδυνο θα πρέπει να αποτελούν καλύτερες επενδυτικές επιλογές. Δηλαδή, να βρίκονται ε ημεία πάνω από το αποτελεματικό ύνορο χαρτοφυλακίων που αποτελούνται μόνο από μετοχές. Αυτό ιχύει επειδή, κατά τη λύη του προβλήματος επιλογής του άριτου χαρτοφυλακίου όταν υπάρχει και περιουιακό τοιχείο χωρίς κίνδυνο, δεν υφίταται ο περιοριμός των βαρών + =. Η μόνη εξαίρεη αποτελεί το χαρτοφυλάκιο Τ, για το οποίο ικανοποιείται ο περιοριμός + =. Επομένως, το χαρτοφυλάκιο Τ δεν μπορεί να βρίκεται παρά μόνο το εφαπτόμενο ημείο των δύο υνόρων, διαφορετικά δεν θα αποτελούε αποτελεματικό χαρτοφυλάκιο. ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ 4.6Β: Σχέη μεταξύ των δύο αποτελεματικών υνόρων 6

Το χαρτοφυλάκιο που αντιτοιχεί το ημείο Τ, του οποίου το διάνυμα των βαρών του θα υμβολίζουμε το εξής ως T, μπορούμε να το προδιορίουμε βαιζόμενοι τον περιοριμό των βαρών T T + =, που ικανοποιεί. Με τη βοήθεια της γραμμικής άλγεβρας, αυτός γράφεται ως εξής T =. Επειδή το χαρτοφυλάκιο αυτό βρίκεται πάνω το αποτελεματικό ύνορο που δίνεται από τη χέη (9), τα βάρη του θα δίνονται από τον ακόλουθο γενικό τύπο: T = λ. Σ r Διαιρώντας την τελευταία χέη με T =, που ικανοποιεί το χαρτοφυλάκιο Τ, υνεπάγεται η ακόλουθη λύη του διανύματος βαρών T : T λσ r λσ r λσ r Σ r = = = = T T λ( Σ r ) r Σ (0α) Αντικαθιτώντας r = r r την τελευταία χέη, αυτή γράφεται ως 6

T Σ ( r r ) Σ ( r r ) Σ ( r r ) = = = ( r ) Σ r Σ r Σ Σ r r ( r ) = ( r ) b cr Σ r (0β) Όπως φαίνεται από τις παραπάνω χέεις, (0α) ή (0β), τα βάρη του χαρτοφυλακίου Τ καθορίζονται από γνωτά τοιχεία, όπως είναι αυτά της μήτρας διακύμανηςυνδιακύμανης των αποδόεων των μετοχών Σ, του διανύματος των μέων αποδόεων r και το επιτόκιο της αγοράς r. Επομένως, το χαρτοφυλάκιο αυτό μπορεί να προδιοριτεί αποκλειτικά από τοιχεία της αγοράς, χωρίς την ανάγκη να γνωρίζουμε τις προτιμήεις του επενδυτή. Η μέη τιμή και η τυπική απόκλιη της απόδοης του χαρτοφυλακίου Τ, που μ T υμβολίζονται ως και αντίτοιχα, υπολογίζονται αναλυτικά με βάη το διάνυμα των T βαρών του T που δίνεται από τη χέη (0β), ως ακολούθως: μ T και Σ ( r r ) ( r r ) Σ r ( r Σ r) ( Σ r) r Tr a br = = r b cr = = = b cr b cr b cr Σ ( r r ) Σ ( r r ) T = TΣT = Σ r r = Σ ΣΣ r r b cr b cr ( b cr ) = ( a br ) cr ( b cr ) + ( ) ( ) Το γεγονός ότι μπορούμε να διακρίνουμε δύο βαικά χαρτοφυλάκια του αποτελεματικού υνόρου όταν υπάρχει περιουιακό τοιχείο χωρίς κίνδυνο, που δίνεται από τη χέη (9), τα οποία προδιορίζονται μοναδικά: αυτό που αποτελείται μόνο από το περιουιακό τοιχείο χωρίς κίνδυνο, που ορίζεται ως ( =, = 0, = 0 ) και εκείνο που περιλαμβάνει μόνο 0 μετοχές, δηλαδή το χαρτοφυλάκιο Τ που ορίζεται ως ( = 0, + = ), μας επιτρέπει να 0 προδιορίουμε κάθε χαρτοφυλάκιο του υνόρου αυτού ως το ταθμικό μέο των δύο αυτών βαικών χαρτοφυλακίων. Η πρόταη αυτή ουιατικά αποτελεί το θεώρημα του διαχωριμού των χαρτοφυλακίων του αποτελεματικού υνόρου για την περίπτωη που υπάρχει και περιουιακό τοιχείο χωρίς κίνδυνο. Η ιχύς του θεωρήματος αυτού μας 63

επιτρέπει να υπολογίουμε τη μέη τιμή και την τυπική απόκλιη της απόδοης ενός χαρτοφυλακίου που βρίκεται ανάμεα τα ημεία r και Τ, έτω το ημείο L (βλέπε Διάγραμμα 4.7). Η μέη τιμή της απόδοης του χαρτοφυλακίου αυτού θα δίνεται μl = φr + ( φ) μt, όπου 0 < φ <, ενώ η διακύμανή της ως = φ var( r ) + ( φ) + φ( φ) Cov( r ; μ ) = ( φ) L T T T T T καθώς var( r ) = 0 και Cov( r ; μ ) =0, όπου μ T = r + r, T μ r T T T = T = g Σ r. Σημειώτε ότι για την κατακευή του χαρτοφυλακίου που βρίκεται το ημείο L προαρτήαμε θετικό βάρος το χαρτοφυλάκιο χωρίς κίνδυνο, δηλαδή φ>0, καθώς αυτό βρίκεται ανάμεα τα ημεία r και Τ. Ο επενδυτής που κρατά το χαρτοφυλάκιο αυτό θεωρείται ότι δανείζει ένα μέρος του ειοδήματός του την αγορά χρήματος. Για το λόγο ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ 4.7: Άριτα χαρτοφυλάκια με καθαρό δανειμό ή δανειοληψία 64

αυτό, τέτοιου είδους χαρτοφυλάκια αναφέρονται τη βιβλιογραφία ως χαρτοφυλάκια καθαρού δανειμού (net lending). Σε αντίθεη με αυτά, εκείνα που βρίκονται δεξιά του ημείου Τ ονομάζονται χαρτοφυλάκια καθαρής δανειοληψίας (net borroing), καθώς αυτά έχουν φ<0. Το χαρτοφυλάκιο Ο αποτελεί ένα τέτοιου είδους χαρτοφυλάκιο. Το χαρτοφυλάκιο αυτό, όπως και κάθε άλλο που βρίκεται τα δεξιά του ημείου Τ, θεωρεί ότι ο επενδυτής δανείζεται την αγορά χρήματος ένα ποό για να μπορέει να επενδύει μεγαλύτερο ποό του ειοδήματός του ε μετοχές. Στη υνέχεια παραθέτουμε ένα παράδειγμα για να κατανοήουμε καλύτερα πώς μπορούμε να κατακευάουμε ένα χαρτοφυλάκιο με βάη τα δύο παραπάνω βαικά χαρτοφυλάκια του αποτελεματικού υνόρου όταν υπάρχει και περιουιακό τοιχείο χωρίς κίνδυνο. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 4.4: Θεωρήτε τα τοιχεία του Πίνακα 4. και υποθέτε ότι η απόδοη του περιουιακού τοιχείου χωρίς κίνδυνο είναι r =5%. Κατακευάτε ένα χαρτοφυλάκιο L που έχει μέη απόδοη 9%. Δείξτε αν το χαρτοφυλάκιο αυτό έχει μικρότερη διακύμανη από το χαρτοφυλάκιο ολικής ελάχιτης διακύμανης (GMV), που βρέθηκε το Παράδειγμα 4. και έχει μέη απόδοη 9%. Για την εύρεη του χαρτοφυλακίου L, πρώτα θα υπολογίουμε τη μέη τιμή μ T και την τυπική απόκλιη T του χαρτοφυλακίου Τ. Αυτό μπορεί να γίνει τηριζόμενοι τις ακόλουθες τιμές των βαθμωτών α, b και c που βρήκαμε το Παράδειγμα 4.: a= r Σ r = 3.850, b= Σ r = 36.3803, c= Σ = 405.479 και ac b = 8.350. Με βάη αυτές, μπορούμε να υπολογίουμε τις τιμές μ και ως ακολούθως: T T μ T a br 3.850 36.3808 (0.05) = = = 0.090 b cr 36.3808 405.479 (0.05) και T a br + cr 3.850 (36.3803) (0.05) + (405.479) (0.05) = = = 0.05045 ( b cr ) (36.3803 405.479 0.05) 65

αντίτοιχα, καθώς και το διάνυμα βαρών του χαρτοφυλακίου Τ χρηιμοποιώντας τη χέη (0β) ως εξής: 0.5504 T = ( r ) b cr Σ r- = 0.4496 Σύμφωνα με το θεώρημα του διαχωριμού των χαρτοφυλακίων του αποτελεματικού υνόρου ε δύο διακριτά βαικά χαρτοφυλάκια, η απόδοη του χαρτοφυλακίου L, μ L =0.09, θα πρέπει να αποτελεί το ταθμική μέη τιμή των αποδόεων του περιουιακού τοιχείου χωρίς κίνδυνο και του χαρτοφυλακίου Τ, μ T, δηλαδή 0.09 = φ + ( φ) μ. r T Από την τελευταία χέη μπορούμε να υπολογίουμε το βάρος προάπτει το περιουιακό τοιχείο χωρίς κίνδυνο ως εξής: φ που το χαρτοφυλάκιο L 0.09 μt 0.09 0.090 φ = = = 0.0457. ( μ ) (0.05 0.090) r T Mε βάη την τιμή αυτή του φ μπορούμε να υπολογίουμε ξεχωριτά τα βάρη των περιουιακών τοιχείων του χαρτοφυλακίου L ως ακολούθως: = 0.0457, = ( 0.0457)0.5504 = 0.5369, = ( 0.0457)(0.4496) = 0.4386 0 Αυτά δείχνουν ότι το χαρτοφυλάκιο L αποτελείται κατά.457% από το περιουιακό τοιχείο χωρίς κίνδυνο, 53.69% από τη μετοχή "" και 43.86% τη μετοχή "". Τα τοιχεία αυτά δείχνουν ότι L αποτελεί ένα χαρτοφυλάκιο καθαρού δανειμού, όπως αυτό που περιγράφεται από το ημείο L του Διαγράμματος 4.7. Η τυπική απόκλιη του χαρτοφυλακίου αυτού δίνεται ως εξής: = ( φ) = ( 0.0457) (0.05045) = 0.0490 (4.90%). T Παρατηρήτε ότι η τιμή αυτή της τυπικής απόκλιης είναι μικρότερη εκείνης του χαρτοφυλακίου του Παραδείγματος 4., που αποτελεί το GMV. Τα βάρη του GMV 66

βρέθηκαν να είναι: =0.5, =0.5, ενώ η τυπική απόκλιη του δίνεται ως = 4.970%. Η μικρότερη τυπική απόκλιη του χαρτοφυλακίου L ε χέη με εκείνη του GMV οφείλεται το γεγονός ότι, έτω και ε μικρό ποοτό, το χαρτοφυλάκιο L περιλαμβάνει και το περιουιακό τοιχείο χωρίς κίνδυνο. Το χαρτοφυλάκιο της αγοράς Μ Κάτω από υνθήκες ιορροπίας της αγοράς των μετοχών μπορεί να υποτηριχθεί ότι το χαρτοφυλάκιο Τ δεν είναι ένα οποιοδήποτε χαρτοφυλάκιο, άλλα θα πρέπει να έχει τα χαρακτηριτικά του χαρτοφυλακίου μετοχών της αγοράς (market portolio), που θα υμβολίζεται το εξής ως Μ. Συγκεκριμένα, η μέη τιμή και η τυπική απόκλιη της απόδοης του χαρτοφυλακίου Τ θα πρέπει να ιούνται με εκείνες του χαρτοφυλακίου της αγοράς Μ. Το χαρτοφυλάκιο αυτό αποτελείται από όλες τις μετοχές που βρίκονται ε καθαρή, μη μηδενική ζήτηη την αγορά, δηλαδή κρατούνται από τους επενδυτές ε μια μη μηδενική τιμή κάτω από υνθήκες ιορροπίας. Συνήθως, οι αποδόεις του χαρτοφυλακίου αυτού προεγγίζονται ικανοποιητικά από εκείνες των δεικτών μετοχών που δημοιεύονται την αγορά και περιλαμβάνουν ένα μεγάλο αριθμό μετοχών αυτής. Οι υνθήκες ιορροπίας της αγοράς μετοχών που απαιτούνται για την απόδειξη ότι τα χαρτοφυλάκια Μ και Τ είναι αντίτοιχα είναι ίδιες με εκείνες που χαρακτηρίζουν μια αποτελεματική αγορά. 8 Αυτές δίνονται ως ακολούθως: (α) Όλοι οι επενδυτές την αγορά μετοχών έχουν τις ίδιες προτιμήεις αποτροφής τον κίνδυνο και επιλέγουν τα χαρτοφυλάκιά τους μεγιτοποιώντας την αναμενόμενη χρηιμότητα του ειοδήματος τους. Όπως είδαμε το Κεφάλαιο 3, η υπόθεη αυτή ημαίνει ότι οι επενδυτές επιλέγουν τα χαρτοφυλάκιά τους ελαχιτοποιώντας τη διακύμανη των αποδόεών τους τις περιπτώεις όπου η υνάρτηη χρηιμότητας των επενδυτών αποτελεί τετραγωνική υνάρτηη του ειοδήματός ή οι αποδόεις των μετοχών είναι κανονικά κατανεμημένες. (β) Υπάρχει ένας αρκετά μεγάλος αριθμός επενδυτών την αγορά που εγγυάται την ύπαρξη ανταγωνιτικών υνθηκών έτι ώτε οι τιμές των μετοχών να θεωρούνται ως δεδομένες. Η 8 Πιο εκτεταμένη ανάλυη για τον οριμό και τα χαρακτηριτικά μιας αποτελεματικής αγοράς μπορούν να βρεθούν το Κεφάλαιο 7. 67

υπόθεη αυτή ημαίνει ότι κανείς από τους επενδυτές την αγορά δεν έχει τη δύναμη να καθορίει τις τιμές από μόνος του. (γ) Υπάρχει ένα περιουιακό τοιχείο την αγορά χωρίς κίνδυνο, που έχει βέβαιη απόδοη r το οποίο οι επενδυτές μπορούν να δανείουν ή να δανειθούν απεριόριτη ποότητα χρήματος. (δ) Οι προφερόμενες ποότητες των μετοχών είναι ταθερές και όλες οι μετοχές υναλλάονται (εμπορεύονται) ε οργανωμένες αγορές. (ε) Η αγορά μετοχών είναι τέλεια και κάθε επενδυτής έχει την ίδια πληροφόρηη για τις τιμές τους ή άλλα τοιχεία τους χωρίς κανένα κότος. Στην αγορά αυτή επίης δεν υπάρχουν ατέλειες όπως φόροι, ειδικοί κανονιμοί ή περιοριμοί την ακάλυπτη πώληη. Για την απόδειξη της πρόταης ότι το χαρτοφυλάκιο της αγοράς Μ θα πρέπει να ταυτίζεται με το εφαπτόμενο χαρτοφυλάκιο το ημείο Τ, θα τηριχθούμε το Διάγραμμα 4.8 και θα υποθέουμε αρχικά ότι το χαρτοφυλάκιο αυτό βρίκεται ε κάποιο άλλο ημείο της καμπύλης του αποτελεματικού υνόρου (0), έτω το ημείο Μ (ή το Μ ). Τα δύο αυτά ημεία βρίκονται αριτερά και δεξιά του ημείου Τ, αντίτοιχα. Αυτά αντιπροωπεύουν χαρτοφυλάκια των οποίων οι μέες επιπλέον αποδόεις ε χέη με το επιτόκιο r ανά μονάδα της τυπικής απόκλιης τους είναι μικρότερες από την κλίη του αποτελεματικού υνόρου όταν υπάρχει και περιουιακό τοιχείο χωρίς κίνδυνο, που δίνεται από τη χέη (9) ως ( μt r) = T g. Επομένως, ύμφωνα με τη θεωρία, αυτά δε θα πρέπει να αντιπροωπεύουν άριτα χαρτοφυλάκια για τους επενδυτές και επομένως, δεν είναι λογικό να κρατούνται κάτω από υνθήκες ιορροπίας της αγοράς. Επειδή το χαρτοφυλάκιο της αγοράς Μ όμως θεωρείται ότι αποτελεί χαρτοφυλάκιο ιορροπίας, καθώς η ζήτηή του είναι μη μηδενική, αυτό αναγκατικά θα πρέπει να ταυτίζεται με το Τ. Διαφορετικά, δε θα κρατιέται από τους επενδυτές και δε θα αποτελεί χαρτοφυλάκιο ε ιορροπίας. Εφόον το χαρτοφυλάκιο Τ αντιτοιχεί ε αυτό της αγοράς μετοχών, η ευθεία γραμμή r Τ γράφεται ως r Μ και αναφέρεται τη βιβλιογραφία ως γραμμή κεφαλαιαγοράς (Capital Market Line - CML). H ονομαία της αυτή προκύπτει από το γεγονός ότι ενώνει τις αποδόεις δύο αγορών, της αγοράς χρήματος (που έχει απόδοη r ) και εκείνης των μετοχών (που έχει απόδοη μ Μ ). 68

ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ 4.8: Το χαρτοφυλάκιο της αγοράς Μ Οι υνθήκες ιορροπίας που αναφέρθηκαν προηγουμένως ότι καθορίζουν μια αποτελεματική αγορά αποτελούν αναγκαίες και ικανές υνθήκες για να κρατούν οι επενδυτές το χαρτοφυλάκιο της αγοράς Μ ε ιορροπία. Αυτές αποκλείουν περιπτώεις όπου οι επενδυτές κρατούν διαφορετικά χαρτοφυλάκια λόγω διαφορετικών τους προτιμήεων. Σε μια τέτοια κατάταη, τα χαρτοφυλάκια που βρίκονται τα ημεία Μ και Μ θα έχουν διαφορετικά οφέλη μεταξύ διαφορετικών επενδυτών. Επίης, οι υνθήκες αυτές αποκλείουν περιπτώεις όπου οι επενδυτές έχουν διαφορετική πληροφόρηη ή προβλέψεις για τις μελλοντικές αποδόεις των μετοχών ή, πιθανά, δεν μπορούν να δανειτούν την αγορά χρήματος. Στην πράξη είναι πιθανόν το χαρτοφυλάκιο Μ να διαφέρει από το Τ και να βρίκεται λόγου χάρη το ημείο Μ. Όμως, κάτω από τις υνθήκες ιορροπίας την αγορά μετοχών μια τέτοια κατάταη θα ήταν μόνο προωρινή. Αυτή μπορεί να αποδοθεί ε κάποια λάθη εκτίμηης ή πληροφόρηης των επενδυτών τα οποία θα διορθωθούν την αγορά και έτι, οι επενδυτές ε ιορροπία θα καταλήξουν να κρατούν το χαρτοφυλάκιο της αγοράς Μ ως πιο αποτελεματικό, καθώς αυτό δίνει υψηλότερες μέες αποδόεις την αγορά ανά μονάδα τυπικής απόκλιης. 69

Επιλογή του βέλτιτου χαρτοφυλακίου όταν υπάρχει περιουιακό τοιχείο χωρίς κίνδυνο Όπως έχει ήδη γίνει κατανοητό από τη μέχρι τώρα ανάλυή μας, η ύπαρξη περιουιακού τοιχείου χωρίς κίνδυνο διευρύνει ημαντικά το ύνολο των ευκαιριών των επενδυτών, καθώς το αποτελεματικό ύνορο των χαρτοφυλακίων που περιλαμβάνουν και το τοιχείο αυτό βρίκεται πάνω και αριτερά εκείνου που περιλαμβάνει χαρτοφυλάκια μόνο μετοχών. Οι δυνατότητες των επενδυτών την περίπτωη αυτή διευρύνονται επειδή μπορούν να δανειτούν την αγορά χρήματος και να επενδύουν χρηματικό ποό μεγαλύτερο του ειοδήματός τους ε μετοχές. Ένας άλλος λόγος είναι ότι η ύπαρξη περιουιακού τοιχείου χωρίς κίνδυνο δίνει τη δυνατότητα τους επενδυτές να υποκατατήουν ένα μέρος των επενδύεών τους ε μετοχές με το περιουιακό τοιχείο χωρίς κίνδυνο, όταν αυτό προφέρει καλύτερες αποδόεις ε χέη με κάποιες από τις μετοχές. Η διεύρυνη των ευκαιριών του επενδυτή με τη δυνατότητα προθήκης του περιουιακού τοιχείου χωρίς κίνδυνο το χαρτοφυλάκιο των μετοχών του έχει ως αποτέλεμα το βέλτιτο χαρτοφυλάκιο που θα επιλέξει να του παρέχει μεγαλύτερο επίπεδο αναμενόμενης χρηιμότητας ε χέη με εκείνο όταν δεν υπάρχει το περιουιακό τοιχείο χωρίς κίνδυνο (βλέπε Διάγραμμα 4.5). Θυμηθείτε ότι το βέλτιτο χαρτοφυλάκιο αποτελεί το χαρτοφυλάκιο εκείνο που έχει τη μεγαλύτερη δυνατή αναμενόμενη χρηιμότητα μεταξύ όλων των χαρτοφυλακίων του αποτελεματικού υνόρου. Όταν υπάρχει και περιουιακό τοιχείο χωρίς κίνδυνο, η θέη του χαρτοφυλακίου αυτού προδιορίζεται διαγραμματικά από το ημείο επαφής κάποιας από τις καμπύλες αδιαφορίας του επενδυτή το αποτελεματικό ύνορο που δίνεται από την ευθεία γραμμή r Μ. Στο Διάγραμμα 4.9, που παρουιάζει τις καμπύλες αδιαφορίες του επενδυτή και το ύνορο r Μ, το ημείο αυτό είναι το Β. Όπως είναι προφανές από το διάγραμμα αυτό, το επίπεδο αναμενόμενης χρηιμότητας V 3 που επιτυγχάνεται το ημείο Β είναι μεγαλύτερο εκείνου όταν δε λαμβάνεται υπόψη το περιουιακό τοιχείο χωρίς κίνδυνο, βλέπε ημείο Α του διαγράμματος. ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ 4.9: Επιλογή του βέλτιτου χαρτοφυλακίου όταν υπάρχει περιουιακό τοιχείο χωρίς κίνδυνο 70

Υπολογιμός του βέλτιτου χαρτοφυλακίου όταν υπάρχει περιουιακό τοιχείο χωρίς κίνδυνο () Αν η υνάρτηη χρηιμότητας του επενδυτή είναι γνωτή, τότε η μέη απόδοη και η τυπική απόκλιη του βέλτιτου χαρτοφυλακίου του επενδυτή που αντιτοιχεί το ημείο Β του Διαγράμματος 4.9 μπορεί να βρεθεί ακολουθώντας ανάλογα βήματα με εκείνα για την περίπτωη όπου το αποτελεματικό ύνορο των χαρτοφυλακίων δεν περιλαμβάνει περιουιακό τοιχείο χωρίς κίνδυνο. Πιο υγκεκριμένα, οι υντεταγμένες του ημείου Β προδιορίζονται αναλυτικά εξιώνοντας την κλίη (ή την παράγωγο d dμ ) της καμπύλης αδιαφορίας της αναμενόμενης υνάρτηης χρηιμότητας V μ με εκείνη της γραμμής (, ) κεφαλαιαγοράς r Μ, που ορίζεται διαμέου της χέης = ( μ ). g p p r Αν, ως παράδειγμα, θεωρήουμε ότι η υνάρτηη χρηιμότητας είναι τετραγωνικής μορφής και οι καμπύλες αδιαφορίας της δίνονται ως γμ δμ V =, τότε θα έχουμε: δ Η κλίη της καμπύλης αδιαφορίας της V ( μ, ) θα δίνεται ως εξής: 7

/ d( p) d / p / d γμ δμ V / = ( p) = ( p) = ( p) ( ) dμ dμ dμ δ γ δμ δ ενώ του αποτελεματικού υνόρου r Μ θα υπολογίζεται ως / d( p) d / p / d / = ( p) = ( p) ( μ r ) = ( p) ( μ r ) dμ dμ dμ g g Εξιώνοντας κατά μέλη τις δύο παραπάνω χέεις των παραγώγων βρίκεται η μέη απόδοη του βέλτιτου χαρτοφυλακίου Β ως ακολούθως: γg δr ( γ δμ) = ( μ r ) μβ μ= δ g ( g) δ. Με βάη τη μέη απόδοη αυτή μπορούμε να προδιορίουμε τα άριτα βάρη και την τυπική απόκλιη του βέλτιτου χαρτοφυλακίου Β, χρηιμοποιώντας τις χέεις (6) και (9), αντίτοιχα. 4.5 Άριτη ύνθεη χαρτοφυλακίων με βάη το κριτήριο της αναμενόμενης χρηιμότητας () Αν είναι γνωτή η υνάρτηη χρηιμότητας, το άριτο χαρτοφυλάκιο του επενδυτή μπορεί να βρεθεί κατευθείαν μεγιτοποιώντας τη υνάρτηη αναμενόμενης χρηιμότητας χωρίς την ανάγκη κατακευής του αποτελεματικού υνόρου. Για το κοπό αυτό θεωρήτε ότι η υνάρτηη χρηιμότητας είναι τετραγωνικής μορφής και γράφεται ως προς την απόδοη του δ χαρτοφυλακίου r ως εξής: U( r) = r r. Τότε, το πρόβλημα επιλογής του άριτου χαρτοφυλακίου όταν υπάρχει δυνατότητα να υμπεριλάβουμε ε αυτό και το περιουιακό τοιχείο χωρίς κίνδυνο ορίζεται ως το ακόλουθο πρόβλημα μεγιτοποίηης της υνάρτηης αναμενόμενης χρηιμότητας: 9 9 Είναι προφανές ότι, αντί της απόδοης r, το πρόβλημα μπορεί να λυθεί θεωρώντας την τετραγωνική υνάρτηη χρηιμότητας ως υνάρτηη του ειοδήματος (ή πλούτου) του επενδυτή το τέλος της περιόδου. 7

[ ( )] Mεγ EUr () Το πρόβλημα αυτό λύνεται κάτω από τον περιοριμό ότι η μέη απόδοη του χαρτοφυλακίου r παίρνει την τιμή μ, δηλαδή μ = r + ( r r ) + ( r r ). Με τη βοήθεια γραμμικής άλγεβρας, η τελευταία χέη γράφεται πιο υνοπτικά ως εξής: r r μ = r + (, ) = r + r r r. Γράφοντας την αναμενόμενη υνάρτηη χρηιμότητας ως εξής: δ δ V( μ, p) E[ U( r) ] = μ μ και αντικαθιτώντας ε αυτή τον παραπάνω περιοριμό, το πρόβλημα που διατυπώνεται τη χέη () γράφεται ως εξής: δ δ Mεγ V( μ, ) = r + r ( r + r ) Σ, Αν το αρχικό του ειόδημα είναι Υ =, τότε το ειόδημα το τέλος της περιόδου θα δίνεται ως Z p = ( +r ) δ και η υνάρτηη χρηιμότητας γράφεται ως εξής U( Z ) = Z Z. Η μεγιτοποίηη όμως της υνάρτηης αυτής ως προς το διάνυμα των βαρών δεν αλλάζει τα αποτελέματα της ανάλυης. 73

όπου μ r = +r και. Για τη λύη του προβλήματος αυτού ως προς το = Σ διάνυμα των άριτων βαρών των μετοχών υνθήκες πρώτης τάξης: 0, θα πρέπει να ικανοποιούνται οι ακόλουθες V μ V μ μ V μ = + = 0 μ (, ) (, ) (, ) Αντικαθιτώντας ε αυτές τις ακόλουθες χέεις: V ( μ, ) = μ δμ, μ ( r + r ) = = r, V μ δ και (, ) = ( Σ) = = Σ δίνεται η ακόλουθη λύη του διανύματος των βαρών του βέλτιτου χαρτοφυλακίου: δ ( δμ) ( δμ) r ( Σ) = 0 = Σ r. () δ Παρατηρήτε ότι o όρος ( δμ) της τελευταίας χέης αποτελεί τον αντίτροφο του δ υντελετή αποφυγής κινδύνου για την τετραγωνική υνάρτηη χρηιμότητας, δηλαδή ( δμ) U ( μ) = =. Έτι, η χέη () μπορεί να γραφεί διαφορετικά ως δ U ( μ) R ( μ ) A = R ( ) A μ Σ r. Όπως αναμενόταν από τη θεωρία, η τελευταία χέη δείχνει ότι το διάνυμα των άριτων βαρών των μετοχών του χαρτοφυλακίου εξαρτάται αντιτρόφως ανάλογα από το 0 Για την απόδειξη της χέης () χρηιμοποιήθηκαν τα ακόλουθα αποτελέματα του διαφορικού λογιμού μήτρων και διανυμάτων: κεφαλαίου. r = r, V μ δ (, ) = και ( Σ) = Σ, βλέπε το Παράρτημα Ι 74

υντελετή αποφυγής κινδύνου. Δηλαδή, όο μεγαλύτερος είναι ο υντελετής αυτός, τόο μικρότερα θα είναι και τα ποοτά του ειοδήματος του επενδυτή που θα κατανέμονται τις μετοχές ε χέη με το περιουιακό τοιχείο χωρίς κίνδυνο. ΑΣΚΗΣΕΙΣ 4. Έτω ότι οι μέες τιμές των αποδόεων δύο μετοχών είναι: r = 0.03 και r = 0.08 και οι διακυμάνεις-υνδιακυμάνεις τους δίνονται ως = 0.0, = 0.05 και = 0.0. Τότε απαντήτε τα παρακάτω ερωτήματα: α) Βρείτε και χεδιάτε το αποτελεματικό ύνορο των χαρτοφυλακίων που απαρτίζονται από τις μετοχές αυτές. 75

β) Βρείτε το χαρτοφυλάκιο με την ελάχιτη δυνατή διακύμανη. γ) Βρείτε το άριτο χαρτοφυλάκιο, αν η επιθυμητή απόδοη του επενδυτή είναι 6%. 4. Δίνονται οι από κοινού πιθανότητες (robabilities-r) των αποδόεων δύο μετοχών r και r ε δεκαδικά ψηφία ως ακολούθως: r{ r =.0 και r = 0.5} = 0.0 r{ r = 0.5 και r = 0.5} = 0.8 r{ r = 0.5 και r =.65} = 0.0 α) Βρείτε την κατανομή των αποδόεων αυτών και υπολογίτε τις μέες τιμές τους, τις διακυμάνεις τους και τις υνδιακυμάνεις τους. β) Υποθέτε ότι υπάρχει ένα περιουιακό τοιχείο χωρίς κίνδυνο με απόδοη 5%. Σχεδιάτε το αποτελεματικό ύνορο των χαρτοφυλακίων που αποτελούνται από τις μετοχές και το περιουιακό τοιχείο χωρίς κίνδυνο. Βρείτε τη ύνθεη του εφαπτόμενου χαρτοφυλακίου Τ. 4.3 Στον ακόλουθο πίνακα δίνονται οι κατανομές των αποδόεων δύο μετοχών "" και "": Πιθανότητα (π i ) 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 r 8% 5% % 4% 6% r 0% -3% 5% % % Βρείτε τις μέες τιμές, τις διακυμάνεις και τη υνδιακύμανη των αποδόεων των μετοχών αυτών. Στη υνέχεια βρείτε τα βάρη του χαρτοφυλακίου ολικής ελάχιτης διακύμανης (GMV). 76

4.4 Θεωρήτε τα δεδομένα της Άκηης 4.3 και ότι υπάρχει ένα περιουιακό τοιχείο χωρίς κίνδυνο του οποίου η απόδοη είναι 0.05 (5%). Τότε απαντήτε τα ακόλουθα ερωτήματα: α) Βρείτε το αποτελεματικό ύνορο των χαρτοφυλακίων που απαρτίζονται από τις μετοχές "" και "". β) Βρείτε τη μέη τιμή και διακύμανη της απόδοης ενός αποτελεματικού χαρτοφυλακίου που αποτελείται 0% από το περιουιακό τοιχείο χωρίς κίνδυνο και το υπόλοιπο από τις δύο μετοχές. γ) Κατακευάτε ένα αποτελεματικό χαρτοφυλάκιο από το περιουιακό τοιχείο χωρίς κίνδυνο και τις δύο μετοχές το οποίο έχει μέη απόδοη 0. (%). δ) Κατακευάτε ένα αποτελεματικό χαρτοφυλάκιο από το περιουιακό τοιχείο χωρίς κίνδυνο και τις μετοχές το οποίο έχει διακύμανη 0.00. 4.5 Δείξτε ότι το εφαπτόμενο χαρτοφυλάκιο Τ βρίκεται πάνω το αποτελεματικό ύνορο που δίνεται από την ευθεία γραμμή (9). 4.6 Θεωρήτε δύο περιουιακά τοιχεία, όπου το ένα είναι ένα κρατικό ομόλογο με βέβαιη απόδοη την ακόλουθη κατανομή: r = 4% και το άλλο είναι μια μετοχή της οποίας η απόδοη r ακολουθεί Πιθανότητα π 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 i r -3% 5% % 0% 6% α) Βρείτε ποια είναι η άριτη κατανομή ενός χαρτοφυλακίου που αποτελείται από τα δύο αυτά περιουιακά τοιχεία με βάη το κριτήριο μέου διακύμανης (τυπικής απόκλιης), όταν η απαιτούμενη απόδοη του επενδυτή είναι 6%. β) Βρείτε το αποτελεματικό ύνορο των χαρτοφυλακίων το χώρο μέου τυπικής απόκλιης. 77

4.7 Θεωρήτε μια μετοχή η οποία έχει μέη απόδοη r και τυπική απόκλιη, αν το επιτόκιο του περιουιακού τοιχείου χωρίς κίνδυνο είναι r, τότε βρείτε το βέλτιτο χαρτοφυλάκιο Ρ ενός επενδυτή που αποτελείται από τα δύο αυτά περιουιακά τοιχεία τις ακόλουθες περιπτώεις υναρτήεων αναμενόμενης χρηιμότητας: δ δ (i) V( μ, ) E[ U( r )] = μ μ και (ii) [ ] V( μ, ) E U( r ) μ p p δ = ) 4.8 Θεωρήτε έναν επενδυτή με υνάρτηη χρηιμότητας ay ( + Z, όπου Υ= αποτελεί το αρχικό του ειόδημα και UY ( + Z) = e Z αποτελεί τη μεταβολή αυτού από μια επένδυη ε ένα χαρτοφυλάκιο που αποτελείται από το περιουιακό τοιχείο χωρίς κίνδυνο με ποοτιαία απόδοη r και i=,,,ν μετοχές με ποοτιαίες αποδόεις, αντίτοιχα Δείξτε ότι, όταν οι αποδόεις των μετοχών κατανέμονται κανονικά, τότε το διάνυμα των άριτων βαρών του επενδυτή δίνεται ως ακολούθως: r i = a Σ r, όπου Σ υμβολίζει τη μήτρα διακυμάνεων-υνδιακυμάνεων των αποδόεων των μετοχών και r = r r αποτελεί το διάνυμα των επιπλέον μέων αποδόεων των μετοχών από την απόδοη του περιουιακού τοιχείου χωρίς κίνδυνο r. ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΜΕ ΤΟ EXCEL Στο τμήμα αυτό του κεφαλαίου, εφαρμόζουμε μερικά από τα πιο βαικά αποτελέματα της ανάλυης μέου-διακύμανης την άριτη ύνθεη (ή επιλογή) χαρτοφυλακίων χρηιμοποιώντας το πακέτο της Microsot Excel. Αρχικά δείχνουμε πώς να υπολογίουμε με το Εxcel βαικά τατιτικά κριτήρια που χρηιμοποιούνται την ανάλυη μέουδιακύμανης, όπως είναι η μέη τιμή και η διακύμανη των αποδόεων των μετοχών, ο 78

υντελετής υχέτιής τους, καθώς και ολόκληρη η μήτρα διακυμάνεωνυνδιακυμάνεων τους. Στη υνέχεια χρηιμοποιούμε το εργαλείο Solver του Excel για να επιλέξουμε άριτα χαρτοφυλάκια και να κατακευάουμε το αποτελεματικό ύνορο χαρτοφυλακίων (EF). Επίης, με τη βοήθεια του Solver δείχνουμε πως η ανάλυη του μέου-διακύμανης τροποποιείται τη περίπτωη που έχουμε ανιοτικούς περιοριμούς τα βάρη του χαρτοφυλακίου ή υπάρχει και περιουιακό τοιχείο χωρίς κίνδυνο. Στατιτικά εργαλεία του Excel Τα δεδομένα του παραδείγματός μας παρουιάζονται τον Πίνακα Ε. και προέρχονται από το Ελληνικό Χρηματιτήριο Αξιών. Αυτά αποτελούν τις ημερήιες αποδόεις μετοχών τριών εταιρειών: των Ελληνικών Πετρελαίων (Ε.Π.), του ΟΤΕ και της INTRACOM για τη περίοδο 9/4/007-/6/007, μετά την αφαίρεη των αργιών. Όπως φαίνεται από τον Πίνακα Ε., από τις 3 μετοχές που αναλύονται μόνο αυτή του OTE είχε θετική μέη απόδοη για την περίοδο του δείγματός μας. Επίης παρατηρείται αρνητική υχέτιη μεταξύ των αποδόεων των μετοχών E.Π. και INTRACOM, καθώς και μεταξύ αυτών του OTE και της INTRACOM. Για να υπολογίουμε τη μήτρα διακύμανης-υνδιακύμανης των αποδόεων των τριών μετοχών Σ, τα τοιχεία της οποίας παρουιάζονται το κάτω μέρος του Πίνακα Ε., χρηιμοποιήαμε κάποιο εργαλείο του Excel που υπολογίζει τη μήτρα αυτή απευθείας. Προοχή, για να είματε ε θέη να χρηιμοποιήουμε το εργαλείο αυτό (όπως και τον Solver που θα παρουιάουμε τη υνέχεια) θα πρέπει να εγκατατήουμε το Excel από την επιλογή των Εργαλείων: Πρόθετα, την επιλογή Ανάλυη Δεδομένων. Τότε, ΠΙΝΑΚΑΣ Ε.: Στατιτικά εργαλεία αποδόεων μετοχών 79

A B C D Ημερομηνία Ε.Π. ΟΤΕ INTRACOM /6/007 0 0.84 4. 3 3/05/007 0.7.8 -.5 4 30/05/007 -.58.3-0.99 5 9/05/007-0.5.76-0.98 6 5/05/007 -.03 0.8.49 7 4/05/007.58 -.05-0.99 8 3/05/007 0.7.6 -.46 9 /05/007 -. -0.09.98 0 /05/007-0.69.55 0 8/05/007.94-0.63-0.49 7/05/007 0.53. 0 3 6/05/007-0.8.39 -.4 4 5/05/007 3.48 0.56-0.95 5 4/05/007-0.36 0.66 0.96 6 /5/007 -.6-0.9.96 7 0/5/007-0.7 -.93 0.49 8 9/5/007 0.9 0 0 9 8/5/007 -.5 -.68-0.49 0 7/5/007-0.8 0.9 0 4/5/007-0.8 0.8-0.49 3/5/007 -.3 0.73-0.97 3 /5/007.5 3. -0.96 4 30/04/007 -.77 -.66 -.88 5 7/04/007-0.53-0.73 0.47 6 6/04/007-0.8-0.9-0.93 7 5/04/007.33.37 -.38 8 4/04/007 0. -.36 9 3/04/007 -.76 0.9 -.35 30 0/04/007.8.67 0.9 3 9/04/007 -. -0.38 -.64 3 33 Μέη απόδοη μετοχών: -0.008 0.49-0.36 =AVERAGE(D:D3) 34 Τυπική απόκλιη μετοχών:.40.40.469 =STDEV(D:D3) 35 36 Συνδιακύμανη E.Π.-ΟΤΕ 0.775 =COVAR(B:B3,C:C3) 37 Συνδιακύμανη Ε.Π.-INTRACOM -0.4 38 Συνδιακύμανη ΟΤΕ-INTRACOM -0.085 39 Συντελετής υχέτιης E.Π.-ΟΤΕ 0.403 =CORREL(B:B3,C:C3) 40 Συντελετής υχέτιης Ε.Π.-INTRACOM -0.07 4 Συντελετής υχέτιης ΟΤΕ-INTRACOM -0.043 4 43 Πίνακας διακυμάνεων-υνδιακυμάνεων: 44 Ε.Π. ΟΤΕ INTRACOM 45 Ε.Π..9767 46 ΟΤΕ 0.77473.9 47 INTRACOM -0.43-0.085.084876 από τα εργαλεία του Excel μπορούμε να επιλέξουμε την Ανάλυη δεδομένων, η οποία παρουιάζεται με το ακόλουθο εικονίδιο: 80

και τη υνέχεια να επιλέξουμε τη υνδιακύμανη, οπότε θα ανοίξει το ακόλουθο εικονίδιο: Σε αυτό θα πρέπει να δηλώουμε που βρίκονται τα δεδομένα μας (βλέπε κελιά B:D3). Εάν μέα τη περιοχή επιλογής θέλουμε να βρίκονται και οι τίτλοι των περιουιακών τοιχείων, επιλέγουμε Ετικέτες την πρώτη γραμμή. Στη υνέχεια επιλέγουμε την περιοχή εξόδου όπου θέλουμε να εμφανιτεί ο πίνακας διακυμάνεων-υνδιακυμάνεων (εδώ το κελί Α45). Επιλογή του άριτου χαρτοφυλακίου με το Εxcel Για να επιλέξουμε κάποιο άριτο χαρτοφυλάκιο ή να κατακευάουμε το αποτελεματικό ύνορο χαρτοφυλακίων με το Εxcel, θα πρέπει πρώτα να ορίουμε τα κελιά όπου θα βρίκονται τα βάρη του χαρτοφυλακίου. Σε αυτά, το Excel θα τοποθετήει τη λύη των άριτων βαρών ενός χαρτοφυλακίου που έχει κάποια επιθυμητή μέη απόδοη. 8

ΠΙΝΑΚΑΣ Ε.: Στατιτική ανάλυη A B C D E Βάρη χαρτοφυλακίου: 0.5 0.5 0.5 =$B$B3+$C$C3+$D$D3 Ημερομηνία Ε.Π. ΟΤΕ INTRACOM Απόδοη Χαρτοφυλακίου 3 /6/007 0 0.84 4..4 4 3/05/007 0.7.8 -.5 0.05 5 30/05/007 -.58.3-0.99-0.7 6 9/05/007-0.5.76-0.98-0.07 7 5/05/007 -.03 0.8.49-0.0 8 4/05/007.58 -.05-0.99 0.8 9 3/05/007 0.7.6 -.46 0.64 0 /05/007 -. -0.09.98-0.4 /05/007-0.69.55 0 0.04 8/05/007.94-0.63-0.49 0.69 3 7/05/007 0.53. 0 0.54 4 6/05/007-0.8.39 -.4-0.34 5 5/05/007 3.48 0.56-0.95.64 6 4/05/007-0.36 0.66 0.96 0.3 7 /5/007 -.6-0.9.96-0.9 8 0/5/007-0.7 -.93 0.49-0.7 9 9/5/007 0.9 0 0 0.45 0 8/5/007 -.5 -.68-0.49 -.4 7/5/007-0.8 0.9 0 0.4 4/5/007-0.8 0.8-0.49-0.0 3 3/5/007 -.3 0.73-0.97-0.68 4 /5/007.5 3. -0.96.80 5 30/04/007 -.77 -.66 -.88 -.0 6 7/04/007-0.53-0.73 0.47-0.33 7 6/04/007-0.8-0.9-0.93-0.55 8 5/04/007.33.37 -.38.6 9 4/04/007 0. -.36-0.06 30 3/04/007 -.76 0.9 -.35 -.7 3 0/04/007.8.67 0.9.79 3 9/04/007 -. -0.38 -.64 -.8 33 34 Μέη απόδοη χαρτοφυλακίου: 0.03 =AVERAGE(E3:E3) 35 Διακύμανη χαρτοφυλακίου: 0.909 =VAR(E3:E3) 36 Τυπική απόκλιη χαρτοφυλακίου: 0.953 =STDEV(E3:E3) Στον Πίνακα Ε., ως παράδειγμα, υπολογίζουμε τις ημερήιες ποοτιαίες αποδόεις ενός χαρτοφυλακίου που αποτελείται από τις τρεις μετοχές του παραδείγματός μας και έχουν τα ακόλουθα βάρη: 0.5 για τα ΕΠ, 0.5 για τον ΟΤΕ και 0.5 για την ΙΝΤRΑCΟΜ. Με βάη τις αποδόεις αυτές, υπολογίζουμε επίης τη μέη τιμή και τη διακύμανη (ή τυπική απόκλιη) της απόδοης του χαρτοφυλακίου (βλέπε το κάτω μέρος του πίνακα). Αυτό γίνεται χρηιμοποιώντας τις υναρτήεις του Excel AVERAGE(.) για τη μέη τιμή, VAR(.) για τη διακύμανη και STDEV(.) για την τυπική απόκλιη. Συγκρίνοντας την τυπική απόκλιη της απόδοης του χαρτοφυλακίου, που δίνεται ως 0.953, με εκείνες των τριών μετοχών παρατηρούμε ότι αυτή είναι ημαντικά μικρότερη ε χέη με τις άλλες οι οποίες κυμαίνονται το διάτημα τιμών:.4-.469. Αυτό δείχνει τα οφέλη που προκύπτουν από τη διαφοροποίηη του χαρτοφυλακίου. 8

Το εργαλείο Solver Με βάη τη θεωρία που αναπτύξαμε, το πρόβλημα επιλογής ενός άριτου χαρτοφυλακίου όταν δεν υπάρχει περιουιακό τοιχείο χωρίς κίνδυνο γράφεται ως εξής: ελαχ = Σ p και λύνεται κάτω από τους ακόλουθους δύο περιοριμούς: (i) μ = = r και (ii) = r Η λύη του προβλήματος αυτού μπορεί να βρεθεί εύκολα χρηιμοποιώντας το εργαλείο Solver του Εxcel. Αυτό χρηιμοποιεί μεθόδους γραμμικού προγραμματιμού όπως είναι η μέθοδος simplex, η μέθοδος διακλάδωης-οριακής υνθήκης ή, τέλος, η μέθοδος μη γραμμικής βελτιτοποίηης, μειωμένης γενικευμένης κλίης (Generalized Reduced Gradient ή GRG) για να λύνει μαθηματικά προβλήματα ανάλογα με αυτό της επιλογής του άριτου χαρτοφυλακίου. Για να χρηιμοποιήουμε το Solver, θα πρέπει πρώτα να προετοιμάουμε ένα φύλλο εργαίας όπου θα έχουμε ορίει ε ένα κελί τη υνάρτηη που θέλουμε να ελαχιτοποιήουμε (ή μεγιτοποιήουμε), ενώ ε επιμέρους κελιά θα ειαγάγουμε τους γραμμικούς περιοριμούς του προβλήματος. Ένα τέτοιο φύλλο δίνεται τον Πίνακα Ε.3. Αυτό περιλαμβάνει τα ακόλουθα επιθυμητά (απαιτούμενα) ημερήια ποοτά απόδοης χαρτοφυλακίου μ: 0.0%, 0.50%,.00% και 4.00%, για τα οποία θα βρούμε άριτα χαρτοφυλάκια. Για κάθε ένα από αυτά, οι αρχικές τιμές των βαρών των τριών μετοχών βρίκονται τα κελιά Β7:E9, ενώ η μήτρα διακυμάνεων-υνδιακυμάνεων των αποδόεων τους βρίκεται τα κελιά Β7:D9. Επειδή τον υπολογιμό της διακύμανης της απόδοης του χαρτοφυλακίου, που δίνεται από τη χέη p = Σ, απαιτείται το ανάτροφο του διανύματος των βαρών, τη υνέχεια δημιουργούμε μια περιοχή κελιών το φύλο εργαίας την B5:D8, όπου θα βρίκονται τα τοιχεία του διανύματος αυτού. Για να γίνει αυτό, την περιοχή εξόδου (B5:D8) πατήτε F ώτε να ειαχθεί η υνάρτηη του ανάτροφου διανύματος TRANSOSE(Β7:E9), όπου Β7:E9 είναι η περιοχή όπου βρίκονται οι αρχικές τιμές του διανύματος των βαρών για καθένα από τα 83

διαφορετικά επιθυμητά επίπεδα απόδοης μ. Στη υνέχεια πατήτε CTRL+SHIFT+ENTER, ώτε να ειαχθεί η παραπάνω υνάρτηη ως μόνιμη φόρμουλα τα κελιά αυτά. ΠΙΝΑΚΑΣ Ε.3: Εύρεη των βαρών του άριτου χαρτοφυλακίου A B C D E Ε.Π. ΟΤΕ INTRACOM Μέη απόδοη μετοχών: -0.008 0.49-0.36 3 Τυπική απόκλιη μετοχών:.40.40.469 4 5 Πίνακας διακυμάνεων-υνδιακυμάνεων: 6 Ε.Π. ΟΤΕ INTRACOM 7 Ε.Π..9767 0.77473-0.43 8 ΟΤΕ 0.77473.906-0.08533 9 INTRACOM -0.43-0.085.084876 0 Διακύμανη χαρτοφυλακίου: 0.849439.3739 6.689606335 9.4569 =MMULT(MMULT(B8:D8,$B$7:$D$9),E7:E9) Τυπική απόκλιη χαρτοφυλακίου: 0.965.5044.5864733 9.6544 =SQRT(E) 3 Απόδοη χαρτοφυλακίου: 0.0 0.50.00 4.00 =E7$B$+E8$C$+E9$D$ 4 5 Επιθυμητή απόδοη: 0.0 0.50.00 4.00 6 Βάρη χαρτοφυλακίου: 7 Ε.Π. 0.3-0.03-0.36 -.3 8 ΟΤΕ 0.48.0.88 6.54 9 INTRACOM 0.9-0.07-0.5-3.3 0 Άθροιμα βαρών χαρτοφυλακίου =SUM(E7:E9) 3 4 Βάρη χαρτοφυλακίου αντετραμένα: Ε.Π. ΟΤΕ INTRACOM 5 επιλέγουμε τη περιοχή, F, 0.306 0.480937 0.8884764 6 =TRANSOSE(B7:E9) και -0.0303.084-0.0754438 7 CTRL+SHIFT+ENTER -0.35594.8805-0.548569 8 -.30979 6.54458-3.3479 Έχοντας ορίει τις περιοχές των κελιών του φύλου εργαίας όπου βρίκονται το διάνυμα των βαρών και τον ανάτροφό του, καθώς και η μήτρα διακυμάνεων-υνδιακυμάνεων Σ, τη υνέχεια ειαγάγουμε τη υνάρτηη p = Σ, που θέλουμε να ελαχιτοποιήουμε. Η υνάρτηη αυτή αποτελεί το γινόμενο του διανύματος-γραμμή με τον πίνακα Σ και με το διάνυμα-τήλη, για κάθε διαφορετική επιθυμητή απόδοη μ. Ο πολλαπλαιαμός αυτός το Εxcel γίνεται μέω της υνάρτηης MMULT(x,y), όπου x και y είναι τα δύο τοιχεία (πίνακες ή διανύματα) που θέλουμε να πολλαπλαιάουμε. Έτι για την περίπτωη που η επιθυμητή απόδοη είναι μ=4%, το κελί της διακύμανης του χαρτοφυλακίου p θα γράψουμε: =MMULT(MMULT(B8:D8,$B$7:$D$9),E7:E9), 84

ενώ για τη περίπτωη που επιθυμητή μέη απόδοη μ είναι % το αντίτοιχο κελί θα γράψουμε: =MMULT(MMULT(B7:D7,$B$7:$D$9),D7:D9). Στη υνέχεια θα πρέπει να ειαγάγουμε ε κάποια υγκεκριμένα κελιά του φύλλου εργαίας τις υναρτήεις των γραμμικών περιοριμών (i) και (ii), που απαιτούνται τη λύη του προβλήματος επιλογής του άριτου χαρτοφυλακίου. Ο πρώτος περιοριμός θέτει τη μέη απόδοη του χαρτοφυλακίου r = r να ιούται με κάποια επιθυμητή μέη τιμή μ, ενώ ο δεύτερος θεωρεί ότι το άθροιμα των βαρών του χαρτοφυλακίου ιούται με τη μονάδα (δηλ. = ). Για την περίπτωη όπου η επιθυμητή απόδοη είναι 4%, οι δύο αυτοί περιοριμοί ειάγονται τα κελιά Ε3 και Ε γράφοντας ε αυτά τις ακόλουθες υναρτήεις: =E7$B$+E8$C$+E9$D$ και =SUM(E7:E9), αντίτοιχα. Για να υπολογίουμε τα άριτα βάρη του χαρτοφυλακίου, θα χρηιμοποιήουμε το solver ξεχωριτά για καθένα από τα επιθυμητά επίπεδα απόδοης του χαρτοφυλακίου μ, που ορίαμε τον Πίνακα Ε.3. Για το κοπό αυτό, επιλέγουμε από τα εργαλεία του Excel την επιλογή Επίλυη. Τότε, θα πάρουμε το ακόλουθο εικονίδιο: Στο κελί προοριμού του εικονιδίου αυτού θα ειαγάγουμε τη υνάρτηη που θέλουμε να ελαχιτοποιήουμε για κάποια επιθυμητή μέη απόδοη μ. Ως παράδειγμα, έτω ότι επιθυμούμε να ελαχιτοποιήουμε τη διακύμανη του χαρτοφυλακίου, για μ=4%. Τότε, το κελί προοριμού θα γράψουμε Ε, όπου βρίκεται η φόρμουλα της υνάρτηης της διακύμανης. Στη υνέχεια από την επιλογή Ίο με: θα επιλέξουμε: Ελάχιτο, καθώς 85

επιθυμούμε την ελαχιτοποίηη της υνάρτηης που ορίζεται το κελί Ε. Στη δε επιλογή Με αλλαγή των κελιών θα ειαγάγουμε την περιοχή του φύλλου εργαίας όπου βρίκονται τα βάρη του χαρτοφυλακίου (δηλ. Ε7:Ε9), για τα οποία θα βρούμε την άριτη λύη. Τέλος, την επιλογή Περιοριμοί προθέτουμε τους δύο περιοριμούς (i) και (ii), που έχουν ειαχθεί τα κελιά Ε3 και Ε3, αντίτοιχα. Έχοντας υπολογίει τα άριτα βάρη χαρτοφυλακίου με το Solver, μπορούμε να παρουιάουμε γραφικά ε ένα διάγραμμα δύο διατάεων τη υνάρτηη που υνδέει τις ελάχιτες τιμές της διακύμανης p με τις διαφορετικές τιμές της μέης απόδοης μ που θεωρήαμε το παράδειγμά μας. Η υνάρτηη αυτή αποτελεί το αποτελεματικό ύνορο των χαρτοφυλακίων που κατακευάτηκαν το παράδειγμά μας και παρουιάζεται το Διάγραμμα Ε.. ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ Ε.: Το αποτελεματικό ύνορο των άριτων χαρτοφυλακίων Αποτελεματικό ύνορο Απόδοη 4.50 4.00 3.50 3.00.50.00.50.00 0.50 0.00 0 4 6 8 0 Τυπική απόκλιη Επιλογή άριτων χαρτοφυλακίων με ανιοτικούς περιοριμούς τα βάρη τους Στην επιλογή άριτων χαρτοφυλακίων, υπάρχουν περιπτώεις όπου οι επενδυτές θα πρέπει να θέουν και κάποιους ανιοτικούς περιοριμούς τα βάρη του χαρτοφυλακίου τους, π.χ. ότι αυτά είναι μεγαλύτερα ή ία με το μηδέν (δηλ. i 0). Ένας τέτοιος περιοριμός ημαίνει 86

ότι δεν επιτρέπεται ακάλυπτη πώληη μετοχών. Στην περίπτωη αυτή το πρόβλημα επιλογής του άριτου χαρτοφυλακίου ορίζεται ως ακολούθως: ελαχ = Σ p κάτω από τους περιοριμούς: (i) μ = r = r, (ii) = και (iii) > 0, i =,,..., N i Στο εικονίδιο επιλογών του Solver, oι περιοριμοί τύπου (iii) γράφονται ως ακολούθως: Τα αποτελέματα της επίλυης του παραπάνω προβλήματος για διαφορετικές τιμές της επιθυμητής απόδοης μ παρουιάζονται τον Πίνακα Ε.4. Συγκρίνοντας τα άριτα βάρη του πίνακα αυτά με εκείνα του Πίνακα Ε.3 που δεν περιλαμβάνει τον περιοριμό (iii), παρατηρούμε ότι, για τα ποοτά της ημερήιας μέης απόδοης 0.0% και 0.50%, οι διακυμάνεις των χαρτοφυλακίων με τους επιπλέον περιοριμούς είναι μεγαλύτερη. Αυτό ημαίνει ότι τα χαρτοφυλάκια αυτά είναι λιγότερο αποτελεματικά ε χέη με εκείνα του Πίνακα Ε.3, για τις αντίτοιχες μέες αποδόεις. Το αποτελέματα αυτά είναι αναμενόμενα, καθώς με την προθήκη των περιοριμών (iii) αυξάνονται οι περιοριμοί τη λύη του προβλήματος της άριτης ύνθεης ενός χαρτοφυλακίου. Επίης, για την τιμή της επιθυμητής μέης απόδοης 0.50% παρατηρήτε ότι η μέη απόδοη του άριτου χαρτοφυλακίου δεν αντιτοιχεί την επιθυμητή, αλλά είναι μικρότερη από αυτή. Στην περίπτωη αυτή, τα βάρη για τις μετοχές με τις αρνητικές αποδόεις έχουν μηδενιτεί και 87

επομένως, όλο το ειόδημα επενδύεται τη μετοχή του OTE της οποίας η απόδοη προφανώς ιούται με εκείνη του χαρτοφυλακίου. ΠΙΝΑΚΑΣ Ε.4: Εύρεη των βαρών του άριτου χαρτοφυλακίου κάτω από περιοριμούς ανιοτήτων A B C D E Ε.Π. ΟΤΕ INTRACOM Μέη απόδοη μετοχών: -0.008 0.49-0.36 3 Τυπική απόκλιη μετοχών:.40.40.469 4 5 Πίνακας διακυμάνεων-υνδιακυμάνεων: 6 Ε.Π. ΟΤΕ INTRACOM 7 Ε.Π..9767 0.77473-0.43 8 ΟΤΕ 0.77473.906-0.08533 9 INTRACOM -0.43-0.085.084876 0 Διακύμανη χαρτοφυλακίου: 0.849439.04505.353906.906 =MMULT(MMULT(B8:D8,$B$7:$D$9),E7:E9) Τυπική απόκλιη χαρτοφυλακίου: 0.965.06.63580749.3864 =SQRT(E) 3 Απόδοη χαρτοφυλακίου: 0.0 0.0 0.30 0.43 =E7$B$+E8$C$+E9$D$ 4 5 Επιθυμητή απόδοη: 0.0 0.0 0.30 0.50 6 Βάρη χαρτοφυλακίου: 7 Ε.Π. 0.3 0.7 0.0 0.00 8 ΟΤΕ 0.48 0.64 0.79.00 9 INTRACOM 0.9 0.0 0. 0.00 0 Άθροιμα βαρών χαρτοφυλακίου =SUM(E7:E9) 3 4 Βάρη χαρτοφυλακίου αντετραμένα: Ε.Π. ΟΤΕ INTRACOM 5 επιλέγουμε τη περιοχή, F, 0.306 0.480937 0.8884764 6 =TRANSOSE(B7:E9) και 0.65088 0.6364 0.9850009 7 CTRL+SHIFT+ENTER 0.09996 0.79887 0.085795 8 0 0 Επιλογή άριτων χαρτοφυλακίων όταν υπάρχει και περιουιακό τοιχείο χωρίς κίνδυνο Στο περίπτωη που υπάρχει και περιουιακό τοιχείο χωρίς κίνδυνο, τότε το πρόβλημα επιλογής του άριτου χαρτοφυλακίου γράφεται ως εξής: ελαχ = Σ p κάτω από τον περιοριμό: (i) μ = = r r +r, όπου r =( r ) αποτελεί το διάνυμα των μέων επιπλέον αποδόεων των μετοχών από r το επιτόκιο r. Επειδή ο περιοριμός (i) αναφέρεται τις επιπλέον μέες αποδόεις του 88

χαρτοφυλακίου, το φύλλο εργαίας του Εxcel θα αλλάξουμε τη υνάρτηη που ορίζει τις αποδόεις του χαρτοφυλακίου. Αυτή τώρα θα αποτελεί υνάρτηη των επιπλέον μέων αποδόεων, όπως φαίνεται τον Πίνακα Ε.5 που παρουιάζει τα αποτελέματα του παραπάνω προβλήματος ελαχιτοποίηης. Σημειώτε ότι το πρόβλημα αυτό δεν υπάρχει ο περιοριμός ότι τα βάρη του χαρτοφυλακίου θα πρέπει να αθροίζουν τη μονάδα. Επομένως, αυτός θα πρέπει να αφαιρεθεί από τους περιοριμούς το εικονίδιο του Solver, που δίνεται ως: ΠΙΝΑΚΑΣ Ε.5: Άριτα βάρη χαρτοφυλακίων όταν υπάρχει και περιουιακό τοιχείο χωρίς κίνδυνο A B C D E Ε.Π. ΟΤΕ INTRACOM Μέη απόδοη μετοχών: -0.008 0.49-0.36 3 Τυπική απόκλιη μετοχών:.40.40.469 4 5 Επιτόκιο (ημερήιο) χωρίς κίνδυνο: 0.0 6 7 8 Πίνακας διακυμάνεων-υνδιακυμάνεων: Ε.Π. ΟΤΕ INTRACOM 9 Ε.Π..9767 0.77473-0.43 0 ΟΤΕ 0.77473.906-0.08533 INTRACOM -0.43-0.085.084876 3 Διακύμανη χαρτοφυλακίου: 0.043497.33769 5.488555 89.33 =MMULT(MMULT(B8:D8,$B$7:$D$9),E7:E9) 4 Τυπική απόκλιη χαρτοφυλακίου: 0.08559.56555.34549733 9.4559 =SQRT(E) 5 Υπερβάλλουα απόδοη χαρτοφυλακίο 0.0 0.50.00 4.00 =$B$5+E9($B$-$B$5)+E0($C$-$B$5)+E($D$-$B$5) 6 7 Επιθυμητή απόδοη: 0.0 0.50.00 4.00 8 Βάρη χαρτοφυλακίου: 9 Ε.Π. -0.06-0.35-0.7 -.89 0 ΟΤΕ 0.3 0.7.45 5.85 INTRACOM -0.09-0.49-0.99-3.98 3 4 Ποοτό του χαρτοφυλακίου που επενδύει ε μετοχές: -0.0-0. -0.5 -.0 =SUM(E7:E9) 5 Ποοτό που επενδύει το περιουιακό 6 τοιχείο χωρίς κίνδυνο:.0..5.0 =-E4 7 8 Βάρη χαρτοφυλακίου αντετραμένα: Ε.Π. ΟΤΕ INTRACOM 9 επιλέγουμε τη περιοχή, F, -0.06374 0.96-0.0877439 30 =TRANSOSE(B7:E9) και -0.35347 0.76063-0.48656588 3 CTRL+SHIFT+ENTER -0.7564.449735-0.98509647 3 -.88863 5.85763-3.976808 89