Κεφ. 6Α: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις - προβλήματα δύο οριακών τιμών

Κεφ. 6Α: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις - προβλήματα δύο οριακών τιμών 1. Εισαγωγή. Προβλήματα δύο οριακών τιμών 3. Η μέθοδος των πεπερασμένων διαφορών 4. Οριακές συνθήκες με παραγώγους 5. Παραδείγματα 1

1. Εισαγωγή Επιλύονται αριθμητικά προβλήματα δύο οριακών τιμών που περιγράφονται από συνήθεις διαφορικές εξισώσεις στο διάστημα x a, b με οριακές συνθήκες τύπου Dirichlet, Newmann ή μικτές με τη μέθοδο πεπερασμένων διαφορών. Η μέθοδος πεπερασμένων διαφορών είναι από τις παλαιότερες και πλέον συνηθισμένες και διαδεδομένες υπολογιστικές τεχνικές επίλυσης διαφορικών εξισώσεων με πλήθος εφαρμογών στην φυσική, στην μηχανική και σε άλλες επιστήμες. Παρουσιάζεται μία εισαγωγή στη μέθοδο πεπερασμένων διαφορών, διατυπώνοντας και αναλύοντας τα κύρια βήματα και βασικά χαρακτηριστικά της μεθόδου σε σχέση με την επίλυση συνήθων διαφορικών εξισώσεων που περιγράφουν προβλήματα οριακών τιμών. Η συγκεκριμένη επιλογή είναι εκπαιδευτικά σκόπιμη, αφού πρόκειται για την απλούστερη ίσως εφαρμογή της μεθόδου των πεπερασμένων διαφορών.

Σύντομη και γενική περιγραφή της μεθόδου: a) Το συνεχές πεδίο ορισμού, όπου ορίζεται η διαφορική εξίσωση αντικαθίσταται από ένα πεπερασμένο αριθμό σημείων D, όπου D και παράλληλα το όριο του πεδίου ορισμού αντικαθίσταται από ένα πεπερασμένο αριθμό σημείων D που μπορεί να ανήκουν ή και να μην ανήκουν στο. b) Το νέο πεδίο ορισμού του προβλήματος ονομάζεται υπολογιστικό πλέγμα, δομικά στοιχεία του οποίου είναι τα επιλεγέντα σημεία που ονομάζονται κόμβοι. Για κάθε σημείο (κόμβο) P του D, διατυπώνεται μια αλγεβρική εξίσωση που περιλαμβάνει την τιμή της εξαρτημένης μεταβλητής στο σημείο P και σε γειτονικά σημεία του P εντός των και. D c) Η αλγεβρική εξίσωση ονομάζεται εξίσωση πεπερασμένων διαφορών και αποτελεί προσέγγιση της μερικής διαφορικής εξίσωσης στο σημείο P. Η συστηματική διατύπωση της αλγεβρικής εξίσωσης πεπερασμένων διαφορών εξαρτάται από τις πολλές εναλλακτικές δυνατότητες που προσφέρονται μέσω της μεθόδου των πεπερασμένων διαφορών. D 3

d) Εάν υπάρχουν N σημεία στο D προκύπτει ένα σύστημα N αλγεβρικών εξισώσεων με N αγνώστους. Εάν το σύστημα έχει μοναδική λύση, που συνήθως έχει, οι τιμές της εξαρτημένης μεταβλητής που προκύπτουν θεωρούνται προσεγγιστικές σε σχέση με αυτές της αναλυτικής λύσης. e) Η καλή ή κακή προσέγγιση ανάμεσα στην υπολογιστική (αριθμητική) και πραγματική (αναλυτική αν υπάρχει) λύση εξαρτάται από την συγκεκριμένη μεθοδολογία πεπερασμένων διαφορών που υιοθετείται και αξιολογείται μελετώντας την σύγκλιση, την ευστάθεια και την συνοχή του αριθμητικού σχήματος. f) Η διαδικασία αντικατάστασης της αναλυτικής διαφορικής εξίσωσης και του συνεχούς πεδίου ορισμού της με ένα σύστημα αλγεβρικών εξισώσεων πεπερασμένων διαφορών που ορίζονται στους κόμβους του υπολογιστικού πλέγματος ονομάζεται διακριτοποίηση. 4

. Προβλήματα δύο οριακών τιμών Ο αριθμός προβλημάτων οριακών τιμών που περιγράφονται από συνήθεις διαφορικές εξισώσεις είναι ιδιαίτερα μεγάλος. Στις περιπτώσεις αυτές, και σε αντίθεση με ότι συμβαίνει στα προβλήματα αρχικών τιμών, οι συνθήκες του προβλήματος ορίζονται σε δύο διαφορετικές τιμές της ανεξάρτητης μεταβλητής. Τα προβλήματα αυτά είναι γνωστά στη βιβλιογραφία σαν προβλήματα δύο οριακών τιμών. Μερικά κλασσικά παραδείγματα προβλημάτων δύο οριακών τιμών περιλαμβάνουν: o ροή Poiseuille ανάμεσα σε δύο πλάκες ή σε κυλινδρικό αγωγό o ροή θερμότητας σε μονοδιάστατη ράβδο o λυγισμό λεπτής μονοδιάστατης δοκού 5

d du dp Η ροή Poiseuille ανάμεσα σε πλάκες περιγράφεται από την ΣΔΕ: dy dy dx όπου 0 y L είναι η απόσταση ανάμεσα στις δύο πλάκες, dp / dx είναι η κλίση της πίεσης στην αξονική διεύθυνση x της ροής και u u y η άγνωστη κατανομή της ταχύτητας. Οι οριακές συνθήκες μη ολίσθησης είναι u L 0 0. Η ροή θερμότητας σε μονοδιάστατη ράβδο περιγράφεται από την ΣΔΕ: d dt k h T T dx dx 0 όπου 0 x L T T x η άγνωστη θερμοκρασιακή κατανομή κατά μήκος της ράβδου, T η θερμοκρασία του περιβάλλοντος χώρου και k και h οι συντελεστές θερμικής αγωγής και συναγωγής αντίστοιχα. Οι οριακές συνθήκες στην αρχή και στο τέλος της ράβδου είναι T0 TL και TL TR, όπου T L και T R είναι γνωστές θερμοκρασίες. είναι το μήκος της ράβδου, 6

Ο λυγισμός λεπτής μονοδιάστατης δοκού περιγράφεται από την ΣΔΕ d f k f 0 dx όπου 0 x L είναι το μήκος της δοκού και f f x (παραμόρφωση) από τη θέση ισορροπίας. Επίσης k P/ EI η απομάκρυνση, όπου P είναι το εξωτερικό αξονικό φορτίο, E το μέτρο ελαστικότητας και I η ροπή αδρανείας. Θεωρώντας ότι τα δύο άκρα της δοκού είναι πακτωμένα, προκύπτουν οι οριακές f 0 f L 0. συνθήκες Παρατηρούμε ότι το πρόβλημα του λυγισμού, όπως διατυπώνεται στη συγκεκριμένη περίπτωση, περιγράφεται από ομογενή διαφορική εξίσωση και ομογενείς οριακές συνθήκες. Επομένως, σε αντίθεση με τα δύο προηγούμενα προβλήματα, είναι ένα πρόβλημα ιδιοτιμών τύπου Sturm-Liouville που μπορεί να λυθεί, όπως και τα δύο προηγούμενα κλασσικά προβλήματα οριακών τιμών, με τη μέθοδο των πεπερασμένων διαφορών. 7

Στα παραπάνω παραδείγματα όταν οι συντελεστές των παραγώγων θεωρούνται σταθεροί τότε οι εξισώσεις είναι γραμμικές και μπορούν να επιλυθούν αναλυτικά και αριθμητικά. Στη περίπτωση αυτή τα αριθμητικά αποτελέσματα συγκρίνονται με τα αντίστοιχα αναλυτικά και είναι εφικτό να μελετήσουμε και να προσδιορίσουμε την ακρίβεια των αριθμητικών αποτελεσμάτων. Αντίθετα, όταν οι συντελεστές είναι συναρτήσεις της εξαρτημένης μεταβλητής (άμεσα ή έμμεσα) τότε οι εξισώσεις είναι μη γραμμικές και τις περισσότερες φορές επιλύονται μόνο αριθμητικά. Στις περιπτώσεις αυτές θα πρέπει να είμαστε πολύ προσεκτικοί σχετικά με την ακρίβεια των αριθμητικών αποτελεσμάτων. Σημειώνεται τέλος ότι είναι ιδιαίτερα χρήσιμο για τον μη μυημένο αναγνώστη να ανατρέξει και να εντοπίσει στη βιβλιογραφία προβλήματα δύο οριακών τιμών που περιγράφονται από γραμμικές και μη γραμμικές ΣΔΕ. 8

3. Η μέθοδος των πεπερασμένων διαφορών Θεωρούμε τη γραμμική ΣΔΕ ης τάξης στη γενική μορφή P x y'' Q x y' R x ys x 0 (*) στο διάστημα x x, x με οριακές συνθήκες y y L για x xl και y yr για x xr. L R Οριακές συνθήκες, που περιέχουν τιμές μόνο της εξαρτημένης μεταβλητής (και όχι των παραγώγων της) ονομάζονται οριακές συνθήκες τύπου Dirichlet και δύναται να είναι ομογενείς ή μη ομογενείς. 9

Το πρώτο βήμα, στη εφαρμογή της μεθόδου των πεπερασμένων διαφορών, είναι ο καθορισμός του υπολογιστικού πλέγματος και των κόμβων: Το διάστημα x x, x L R διαιρείται σε N ίσα τμήματα και το κάθε τμήμα έχει μήκος hxr xl/ N. Τα σημεία που ορίζουν την αρχή και το τέλος κάθε τμήματος ονομάζονται κόμβοι και η θέση τους στο υπολογιστικό πλέγμα προσδιορίζεται από τις x x i 1 h, i 1,, N 1. σχέσεις i L Είναι προφανές ότι x1 xl και xn 1 xr. Συνολικά, ορίζονται N 1 κόμβοι, εκ των οποίων οι N 1 κόμβοι x i, i,3,, N είναι εσωτερικοί κόμβοι, ενώ οι δύο κόμβοι x 1 και xn 1 ταυτίζονται με τα δύο όρια x L και x R αντίστοιχα. Επίσης οι τιμές της εξαρτημένης μεταβλητής στους κόμβους του πλέγματος ορίζονται από τις σχέσεις y x y, i 1,, N 1. i i 10

Οι τιμές της εξαρτημένης μεταβλητής στους εσωτερικούς κόμβους είναι άγνωστες και αποτελούν το αντικείμενο της υπολογιστικής επίλυσης του προβλήματος, ενώ οι αντίστοιχες τιμές στα όρια είναι γνωστές από τις οριακές συνθήκες. 1 3 i-1 i i+1 N-1 N N+1 x 1 x x 3 x i-1 x i x i+1 x N-1 x N x N+1+1 Υπολογιστικό πλέγμα και κόμβοι πλέγματος. 11

Το δεύτερο βήμα είναι η προσέγγιση της ΣΔΕ σε ένα τυχαίο εσωτερικό κόμβο, έστω x, του πλέγματος. Η πράξη αυτή συμβολίζεται ως εξής: i P x y'' Q x y' R x y S x 0 xx x x i xxi xx i i Η πρώτη και η δεύτερη παράγωγος της ΣΔΕ προσεγγίζονται με τις κεντρώες εκφράσεις πεπερασμένων διαφορών ης τάξης y ' xx i y y h y y y h i1 i1 i1 i i1 Oh και y '' O h xx i Οι εκφράσεις αυτές αντικαθίστανται στη εξίσωση που γράφεται στη μορφή yi 1 yi yi 1 yi 1 yi 1 Pi Q 0 i Riyi Si, i,, N. (**) h h 1

Οι δείκτες i 1, i και i 1 στις διάφορες ποσότητες συμβολίζουν τις ποσότητές αυτές στους αντίστοιχους κόμβους. Σημειώνεται ότι η εξίσωση (**) δεν ταυτίζεται αλλά αποτελεί προσέγγιση της ΣΔΕ (*) και το σφάλμα είναι Oh. Βλέπουμε επίσης ότι είναι αλγεβρική και ότι ισχύει για κάθε εσωτερικό κόμβο. Επομένως δημιουργείται ένα σύστημα αλγεβρικών εξισώσεων με αγνώστους τις τιμές της εξαρτημένης μεταβλητής στους εσωτερικούς κόμβους του πλέγματος. Η εξίσωση (**) ονομάζεται εξίσωση πεπερασμένων διαφορών. Αναδιατάσσοντας κατάλληλα τους όρους της (**), ξαναγράφεται στη μορφή Pi Qi Pi Pi Qi yi1ri y i y i1 Si, i,, N h h h h h Έχουμε N 1 αλγεβρικές εξισώσεις με αγνώστους τις N 1 τιμές της εξαρτημένης μεταβλητής y, y3,, yn. Οι τιμές y 1 και yn 1 που εμφανίζονται στην πρώτη ( i ) και τελευταία (i N) εξίσωση του συστήματος αντίστοιχα είναι γνωστές από τις οριακές συνθήκες. 13

Οι αντίστοιχοι όροι μετακινούνται στην δεξιά πλευρά του συστήματος που ξαναγράφεται στη παρακάτω γενική μορφή: P P Q P Q R y y S y h h h h h 3 1 Pi Qi Pi Pi Qi yi1ri y i y i1 Si, i 3,, N 1 (***) h h h h h P Q P P Q y R y S y h h h h h N N N N N N1 N N N N1. 14

Το τρίτο (και τελευταίο) βήμα είναι η επίλυση του συστήματος (***). Το σύστημα έχει τριδιαγώνια μορφή και γνωρίζουμε, ότι στη περίπτωση αυτή, η πλέον αποτελεσματική μέθοδος επίλυσης είναι ο αλγόριθμος Thomas. Τονίζεται ότι η λύση του συστήματος και ο υπολογισμός των αγνώστων y, y3,, yn αποτελεί προσέγγιση της αναλυτικής λύσης της αρχικής ΣΔΕ (*) στα σημεία x, x3,, xn. Λέμε ότι η αριθμητική μέθοδος συγκλίνει, εφόσον καθώς ο αριθμός N 1 των κόμβων αυξάνει και το διάστημα h 0, βελτιώνεται η ακρίβεια των αριθμητικών αποτελεσμάτων σε σχέση με τα αναλυτικά. Στο συγκεκριμένο πρόβλημα αφού οι εκφράσεις πεπερασμένων διαφορών είναι ης τάξης, αναμένεται η σύγκλιση να είναι τετραγωνική. Βέβαια αυτό δεν ισχύει γενικώς αλλά για μικρές τιμές του διαστήματος h και ακόμα καλύτερα για h 0. Είναι προφανές ότι καθώς αυξάνει ο αριθμός των κόμβων αυξάνει παράλληλα ο αριθμός των αλγεβρικών εξισώσεων του συστήματος και βεβαίως το υπολογιστικό κόστος (μνήμη υπολογιστή και χρόνος υπολογισμών). 15

Η επιλογή του κατάλληλου πλέγματος εξαρτάται από την εκάστοτε εφαρμογή. Είναι όμως χρήσιμο και τις περισσότερες φορές απαραίτητο να γίνονται δοκιμές με διαφορετικά πλέγματα ώστε να εξετάζεται η συμπεριφορά των αποτελεσμάτων για διαφορετικά h και να επιβεβαιώνεται η σύγκλισή τους. Όπως βλέπουμε το σύστημα (***) αλλά όπως θα δούμε και στη συνέχεια, ο πίνακας των συντελεστών των αλγεβρικών συστημάτων που προκύπτουν με την εφαρμογή της μεθόδου των πεπερασμένων διαφορών, περιέχει πολλά μηδενικά στοιχεία και μόνο ένας μικρός αριθμός συντελεστών, σε σχέση με τη τάξη του συστήματος, είναι μη μηδενικοί. Επομένως, πρόκειται για αραιούς πίνακες. Επίσης η απόλυτη τιμή των διαγωνίων στοιχείων είναι μεγαλύτερη ή ίση από το άθροισμα των απολύτων τιμών των υπολοίπων στοιχείων κάθε γραμμής. Άρα οι επαναληπτικές μέθοδοι επίλυσης συστημάτων (Jacobi, Gauss-Seidel, SOR) θα πρέπει να προτιμώνται αντί των άμεσων μεθόδων (απαλοιφή Gauss, παραγοντοποίηση LU), εκτός βεβαίως αν πρόκειται για ειδικές μορφές πινάκων όπως οι τριδιαγώνιοι ή οι συμμετρικοί πίνακες όπου ο αλγόριθμος Thomas και η μέθοδος Cholesky αντίστοιχα είναι οι πλέον αποτελεσματικές μέθοδοι επίλυσης. 16

4. Οριακές συνθήκες με παραγώγους Είναι πιθανό μία από τις δύο οριακές συνθήκες να προσδιορίζει την τιμή της παραγώγου της εξαρτημένης μεταβλητής (και όχι την ίδια την μεταβλητή) στο όριο αυτό. Στη περίπτωση αυτή οι οριακές συνθήκες της ΣΔΕ (*) δίδονται από τις σχέσεις: dy y y L για x xl και yr dx για x xr. Η οριακή συνθήκη στο όριο x xr ονομάζεται οριακή συνθήκη τύπου Newmann και δύναται να είναι ομογενής ή μη ομογενής. Επομένως, τώρα η τιμή yn 1 δεν είναι γνωστή και θα πρέπει να υπολογισθεί μαζί με τις υπόλοιπες τιμές της y i. Η τελευταία εξίσωση του συστήματος (***) τροποποιείται και γράφεται στη μορφή: P Q P P Q y R y y S h h h h h N N N N N N1 N N N1 N, i N 17

Επίσης, θα πρέπει να διατυπωθεί μία επιπλέον εξίσωση για τον κόμβο xn 1, ώστε ο αριθμός των εξισώσεων να ισούται με τον αριθμό των αγνώστων. Αυτό επιτυγχάνεται με δύο διαφορετικούς τρόπους: Ο πρώτος τρόπος εμπλέκει μόνο την οριακή συνθήκη Newmann στο x xr. Η παράγωγος στην οριακή συνθήκη προσεγγίζεται από την ανάδρομη έκφραση πεπερασμένων διαφορών 1 ης τάξης dy yn 1 yn Oh dx h N 1 και η οριακή συνθήκη στο όριο y y hy N N1 R. x x αντικαθίσταται από την αλγεβρική έκφραση R Το μειονέκτημα της μεθόδου είναι ότι η εξίσωση πεπερασμένων διαφορών στο κόμβο xn 1 είναι 1 ης τάξης, ενώ όλες οι άλλες εξισώσεις πεπερασμένων διαφορών για τους υπόλοιπους κόμβους είναι ης τάξης και επομένως η ακρίβεια του όλου σχήματος μειώνεται σε 1 η τάξη. 18

Ο δεύτερος τρόπος εμπλέκει την οριακή συνθήκη Newmann και την ΣΔΕ στο x x. R Η παράγωγος στην οριακή συνθήκη προσεγγίζεται από την κεντρώα έκφραση πεπερασμένων διαφορών ης τάξης dy dx y y N N O h ή yn yn hyr N 1 h Ο όρος yn αντιστοιχεί στο εικονικό κόμβο xn. N-1 N N+1 N+ x N-1 x N x N+1 x N+ Οριακή συνθήκη με παράγωγο - εικονικός κόμβος πλέγματος. 19

Στη συνέχεια η γενική έκφραση πεπερασμένων διαφορών (**) εφαρμόζεται στον κόμβο xn 1 και παίρνουμε την εξίσωση πεπερασμένων διαφορών P Q P P Q y R y y S h h h h h N1 N1 N1 N1 N1 N N1 N1 N N1 Συνδυάζοντας τις παραπάνω εκφράσεις προκύπτει, για το κόμβο xn 1, η εξίσωση πεπερασμένων διαφορών ης τάξης ( yn yn hyr) P P P Q y R y S hy h h h h N1 N1 N1 N1 N N1 N1 N1 R Το σύστημα είναι και πάλι τριδιαγώνιο και επιλύεται με τον αλγόριθμο Thomas, ενώ η ακρίβεια όλων των εξισώσεων πεπερασμένων διαφορών και επομένως ολόκληρου του αριθμητικού σχήματος είναι ης τάξης. Τέλος σημειώνεται ότι οι κεντρώες εκφράσεις πεπερασμένων διαφορών είναι η πλέον συνήθης προσέγγιση για προβλήματα οριακών τιμών τόσο για συνήθεις όσο και για μερικές διαφορικές εξισώσεις... 0

5. Παραδείγματα Παράδειγμα: Αριθμητική επίλυση του προβλήματος δύο οριακών τιμών du 1 du u 1 1, (1) 0 dr r dr 1 1 4 Αναλυτική λύση: ur r u και du dr r 0 0 Αδιάστατη παροχή: 1 Q uda Q ru( r) dr 0.39699 8 0 1

Διακριτοποίηση πεδίου ορισμού: Χωρίζουμε την ακτίνα σε Ν ίσα διαστήματα (Ν+1 κόμβους) πλάτους r 1/ N 0 r 1 1 N N+1 r=0 i-1 i i+1 r=1 Προσεγγίζουμε τη διαφορική εξίσωση (Α1) στον τυχαίο κόμβο i: u u u 1 u u i1 i i1 i1 i1 r ri r 1 1 1 1 1 ui 1 ui u i1 1 r ri r r r rir για τους εσωτερικούς κόμβους i,..., N όπου r ( i1) r i

Για i N 1: u 1 0 N Για i 1 θα χρησιμοποιήσουμε την οριακή συνθήκη μαζί με την διαφορική εξίσωση: du d u 1 du d u Παρατηρούμε ότι limr 0 lim dr r 0 lim dr r0 rdr r 1 dr du u0 u1u 1 Η ΣΔΕ γράφεται στη μορφή: 1 dr r du u u0 Η οριακή συνθήκη: 0 0u u dr r r0 0 Ό κόμβος i 0 είναι φανταστικός. Συνδυάζοντας τις παραπάνω εξισώσεις προκύπτει: 4u 4u r 1 3

Το σύστημα που προκύπτει είναι τριδιαγώνιο και θα επιλυθεί με την μέθοδο Τhomas. Έστω ένα αραιό πλέγμα με 3 διαστήματα και 4 κόμβους ( r h 1/3). Τότε επιλύεται το σύστημα 4 4 0 u1 1/9 4.5 18 13.5 u 1 0 6.75 18u 3 1 u1 0.5 u 0. u3 0.138889 u4 0 (από οριακή συνθήκη) Για το ολοκλήρωμα της παροχής Q χρησιμοποιούμε κανόνα τραπεζίου: R r Q ru( r) dr [ ru 1 1 ru... rnun rn 1uN1] 0 Q 1 4 0 0.5 0. 0.138889 1 0 0.348734 3 3 3 4

Παράδειγμα: Δίδεται το πρόβλημα ιδιοτιμών dw 0 kw dx, w wl 0 0 Να υπολογισθούν αριθμητικά οι δέκα πρώτες ιδιοτιμές (ιδιοσυχνότητες). Οι πρώτες δύο να συγκριθούν με τις αντίστοιχες αναλυτικές. Έχουμε ένα πρόβλημα εύρεσης ιδιοτιμών k, δηλαδή οι διάφορες τιμές του για τις οποίες το πρόβλημα έχει την μη μηδενική τετριμμένη λύση. Αναλυτική γενική λύση: w x Acoskx Bsin kx, όπου Α και Β αυθαίρετες σταθερές. Εφαρμόζοντας τις οριακές συνθήκες προκύπτει w(0) 0 A 0 και wl ( ) 0 Bsin( kl) 0 Η λύση δεν είναι η μηδενική με B 0 και sin( kl) 0 kl n wx Bsin n x L k n, n 1,,... L 5

Αριθμητική επίλυση: Για να υπολογισθούν αριθμητικά οι δέκα πρώτες ιδιοτιμές απαιτούνται 10 εσωτερικοί κόμβοι. Επομένως 11 διαστήματα, αριθμός κόμβων Ν+1=1 και h L/11. w w w h i1 i i1 0 kwi 1 1 w i1 k w i w i1 h h h 0, i 3,...,10 Ειδικά για τους κόμβους i και i 11 θα είναι: 1 k w w 3 h h 0 και 1 w 10 k w 11 h h 0 Το σύστημα σε μορφή πινάκων θα έχει την μορφή: 0 και ο πίνακας A έχει την εξής μορφή: A w, όπου w w, w,..., w 3 11 T 6

. h k h 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 h. h k h 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 h. h k h 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 h. h k h 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 h. h k h 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 h. h k h 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 h. h k h 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 h. h k h 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 h. h k 0 0 0 0 0 0 0 0 1 h. h k det 0. Επομένως γίνονται οι πράξεις και προκύπτει ένα πολυώνυμο ως προς k δεκάτου βαθμού. Στη συνέχεια με τη μέθοδο της διχοτόμησης υπολογίζονται οι 10 ρίζες του πολυωνύμου. Το σύστημα έχει μη μηδενική λύση εάν A 1 h 7

L=1;n=10; h=l/(n+1) t=table[0,{n},{n}]; Doti, i 1 N1h, i, 1, n 1 Doti, i Nh, i, n Doti, i 1 N1h, i,, n sol=sort[eigenvalues[t]] {9.807,38.4166,83.537,141.47,07.56,76.44,34.53,400.476,445.583,474.197} pn_ : N n Pi L real=table[p[i],{i,1,n}] {9.8696,39.4784,88.864,157.914,46.74,355.306,483.611,631.655,799.438,986.96} real sol error 100 real {0.677879,.6895,5.96977,10.4134,15.879,.1965,9.173,36.5989,44.69,51.9538} 8

Αριθμός ιδιοτιμής Αριθμητική τιμή k Αναλυτική τιμή k Σχετικό σφάλμα (%) 1 9.807 9.8696 0.67788 38.4166 39.4784.68950 3 83.537 88.864 5.96977 4 141.4700 157.9140 10.4134 5 07.5600 46.7400 15.879 6 76.4400 355.3060.1965 7 34.5300 483.6110 9.173 8 400.4760 631.6550 36.5989 9 445.5830 799.4380 44.69 10 474.1970 986.9600 51.9538 9

Στη περίπτωση του προβλήματος λυγισμού λεπτής μονοδιάστατης δοκού k P/ EI, όπου P είναι το εξωτερικό αξονικό φορτίο, E το μέτρο ελαστικότητας και I η ροπή αδρανείας. Επομένως τα κρίσιμα φορτία λυγισμού που προκαλούν απομάκρυνση της ράβδου από n EI την αρχική θέση wx 0 είναι Pk EI L 30

Παράδειγμα: Ροή Hartmann ανάμεσα σε παράλληλες πλάκες db d u 1, dy dy y 1: 0 b u, 0 y du d b 0 dy dy, y 11,, y 1: 0 b u, 0 y Επιλέγουμε 3 κόμβους (μαζί με τους οριακούς), h 1: y 1: i 0, y 0: i 1, y 1: i Διακριτοποίηση ΣΔΕ στον κεντρικό κόμβο y 0: i 1 b b u u u 3 1 h h 0 1 0 O h 0 1 u u b b b 3 0 h h 1.5b 1.5b u 1 0 1 0 O h b b1 b0 0 Διακριτοποίηση μικτών οριακών συνθηκών στους κόμβους i 0 και i : 31

b 4b 3b by y h b 4b 3b h 1 0 1 0 O h b 1 0 0.b b 1.b0 05 5 0 b 4 b 3 b b y y h 0 1 0 1 O h 1 b 4b 3b h 05.bb 05.b 0 b 0 0 1 Από την επίλυση προκύπτει b 0 b 1 b 0 και u1 0.5 Επιλέξτε την μεθοδολογία με τους εικονικούς κόμβους στα δύο όρια και επαναλάβετε τους υπολογισμούς. 3

Παράδειγμα: Η ροπή M ανά μονάδα μήκους που απαιτείται για την περιστροφή ενός κυλινδρικού R άξονα, ακτίνας R, κατά γωνία δίδεται από το ολοκλήρωμα M 4G r rdr 0 0 r R όπου r η λύση της εξίσωσης 1 r με οριακές συνθήκες r r r 0. r R 0 και r0 Πρώτα υπολογίστε αριθμητικά τη συνάρτηση σας με την αναλυτική λύση του προβλήματος. r και συγκρίνετε τα αποτελέσματά Στη συνέχεια επιλέγοντας τιμές για τη ροπή M και τη παράμετρο G βρείτε την αντίστοιχη γωνία. 33

Παράδειγμα: Ροή Poiseuille ανάμεσα σε παράλληλες πλάκες d du dp dy dy dx, 0 y L, u L 0 0 Αδιαστατοποίηση: du 1 dy, 0 y 1, u 0 1 0 Παράδειγμα: Ροή θερμότητας σε μονοδιάστατη ράβδο: d dt k h T T dx dx 0, 0 x L, T0 TL, TL TR 34

Παράδειγμα: Επιλύστε αριθμητικά με τη μέθοδο των πεπερασμένων διαφορών το παρακάτω πρόβλημα δύο οριακών τιμών: 1 T r r r r 0, R1 r R, TR T, TR 1 1 T Συγκρίνετε τα αριθμητικά αποτελέσματα με τα αντίστοιχα αναλυτικά. Περιγράψτε ένα φυσικό πρόβλημα που θα μπορούσε να μοντελοποιείται με το παραπάνω πρόβλημα οριακών τιμών. 35