ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ Α ΟΜΑΔΑΣ (i Ο συντεεστής διεύθυνσης της ευθείς ΑΒ είνι: 6 ( (ii Ο συντεεστής διεύθυνσης της ευθείς ΓΔ είνι: ( (iii Ο συντεεστής διεύθυνσης κάθε ευθείς κάθετης προς την ΓΔ έχει με τον συντεεστή διεύθυνσης της ΓΔ γινόμενο ίσο με - Αρ θ είνι Έστω ω η γωνί που σχημτίζει η ΑΒ με τον άξον 6 (i Η ευθεί ΑΒ έχει συντεεστή διεύθυνσης Άρ θ ( ισχύει εφω οπότε θ είνι ω 5 (ii Η ευθεί ΑΒ έχει συντεεστή διεύθυνσης Άρ κι στην ( περίπτωση υτή θ έχουμε 5 (iii Επειδή τ Α Β έχουν την ίδι τετμημένη η ευθεί ΑΒ θ είνι κτκόρυφη κι κτά συνέπει θ είνι 9 (iv Επειδή τ Α Β έχουν ίδι τετμημένη η ευθεί ΑΒ θ είνι οριζόντι κι κτά συνέπει θ είνι
6 (i Το διάνυσμ ( έχει συντεεστή διεύθυνσης οπότε η ζητούμενη ευθεί που είνι πράηη με το θ έχει τον ίδιο συντεεστή διεύθυνσης Επειδή επιπέον διέρχετι πό το σημείο A ( η εξίσωση της θ είνι: ( ( ή ισοδύνμ (ii Το διάνυσμ ( έχει τετμημένη ίση με το μηδέν άρ έχει διεύθυνση κτκόρυφη Έτσι η ζητούμενη ευθεί θ είνι κι υτή κτκόρυφη κι επειδή διέρχετι πό το A ( θ έχει εξίσωση (iii Αν ο συντεεστής διεύθυνσης της ζητούμενης ευθείς θ έχουμε π εφ Άρ η εξίσωση της ευθείς θ είνι: ( ή ισοδύνμ (i Έχουμε B οπότε το ύψος ΑΔ που είνι κάθετο στην 6 ΒΓ θ έχει συντεεστή διεύθυνσης Επειδή επιπέον το A ( είνι σημείο του ύψους η εξίσωση του θ είνι ( ( δηδή Εργζόμενοι ομοίως ρίσκουμε ότι η εξίσωση του ύψους ΒΕ είνι κι η εξίσωση του ύψους ΓΖ είνι (ii Προφνώς κι η μεσοκάθετη της πευράς ΒΓ θ έχει συντεεστή διεύθυνσης Επειδή όμως υτή διέρχετι πό το μέσον Μ της ΒΓ το ( οποίο έχει συντετγμένες: ( η εξίσωσή της θ είνι ( δηδή (Πρτηρείστε ότι τυτίζετι με την εξίσωση του ύψους ΑΔ τί συμπερίνετε; Εργζόμενοι ομοίως ρίσκουμε ότι οι εξισώσεις των μεσοκθέτων των ΑΓ κι ΑΒ ντιστοίχως είνι: A κι 5 Είνι A κι B άρ A // B Επίσης είνι AB κι άρ AB // Έτσι φού το τετράπευρο ΑΒΓΔ έχει τις πένντι
πευρές του πράηες θ είνι πρηόγρμμο Ακόμη είνι κι B οπότε A B κι συνεπώς οι ΑΓ κι ΒΔ είνι κάθετες Άρ το πρηόγρμμο ΑΒΓΔ είνι ρόμος Η ΑΓ έχει συντεεστή διεύθυνσης κι διέρχετι πό το σημείο A ( Άρ θ έχει εξίσωση ( δηδή Ομοίως η ΒΔ έχει συντεεστή διεύθυνσης κι διέρχετι πό το B (55 Άρ θ έχει εξίσωση: 5( 5 δηδή A 7 ( ( 6 Έχουμε AB κι A Επομένως AB A οπότε οι ευθείες ΑΒ κι ΑΓ είνι πράηες κι εφόσον έχουν κοινό το σημείο Α θ τυτίζοντι Άρ τ σημεί Α Β Γ θ είνι συνευθεικά π 7 Αν κι θ κπ κ Z τότε ο συντεεστής διεύθυνσης της ευθείς (συνθ ημθ ημθ συνθ ΑΒ είνι Επομένως η εξίσωση της ΑΒ (συνθ ημθ ημθ συνθ είνι η οποί γράφετι διδοχικά: ημθ συνθ ημθ ( συνθ ημθ συνθ ημθ συνθ συνθ ημθ ημθ συνθ ημθ συνθ ημθ συνθ ημ συν ημ ημσυν συν ημσυν ημ συν ημ συν ημ συν ημ συν ημ συν π Αν ά θ κπ κ Z τότε συνθ ημθ οπότε η ευθεί ΑΒ είνι κτκόρυφη κι άρ έχει εξίσωση ή Αν τότε τ σημεί Α Β τυτίζοντι οπότε υπάρχουν άπειρες ευθείες που διέρχοντι πό υτά
8 8 Αν ( είνι οι συντετγμένες του κέντρου άρους G του τριγώνου ΑΒΓ τότε θ είνι: κι 5 Επομένως η ευθεί που διέρχετι πό σημεί A ( κι G έχει 5 συντεεστή διεύθυνσης κι κτά συνέπει η εξίσωσή της θ 5 είνι ( δηδή Β ΟΜΑΔΑΣ Η ζητούμενη ευθεί επειδή σχημτίζει με τους άξονες τρίγωνο κι περνάει πό το σημείο A ( θ έχει εξίσωση ( με δηδή: με Με τους περιορισμούς υτούς το σημείο τομής της ευθείς με τον έστω Β έχει συντετγμένες ενώ το σημείο τομής της με τον άξον έστω Γ έχει συντετγμένες Έτσι φού ( O το τρίγωνο ΟΒΓ είνι ισοσκεές ν κι μόνο ν: ( OB κι ή Άρ υπάρχουν δύο ευθείες που ικνοποιούν το ζητούμενο κι των οποίων οι εξισώσεις είνι: κι Αρχικά διπιστώνουμε ότι οι συντετγμένες του Α δεν επηθεύουν τις εξισώσεις που δίνοντι Άρ οι εξισώσεις υτές ντιστοιχούν στ ύψη ΒΕ κι ΓΖ Εστω ότι η είνι η εξίσωση του ΒΕ κι η του
ΓΖ Τότε επειδή 9 A BE κι AB Z θ έχουμε: κι A BE AB Z οπότε A κι A Άρ οι εξισώσεις των ΑΓ κι ΑΒ θ είνι ντιστοίχως οι δηδή οι ( κι ( 6 κι Επομένως οι συντετγμένες του Γ είνι η ύση του συστήμτος A : 6 Z : που είνι το ζεύγος ( κι οι συντετγμένες του Β είνι η ύση του συστήμτος AB : BE : που είνι το ζεύγος ( Τέος επειδή ( δηδή 7 B η εξίσωση της ΒΓ θ είνι ( 7 6 7 7 Οι ευθείες που διέρχοντι πό το σημείο Μ( είνι η κτκόρυφη με εξίσωση κι οι μη κτκόρυφες με εξισώσεις ( R Η ευθεί τέμνει την στο σημείο Β( κι την στο σημείο ( Το ΒΓ έχει μέσο το σημείο με συντετγμένες ( δηδή ( που είνι οι συντετγμένες του σημείο Μ Άρ η κτκόρυφη είνι μι πό τις ζητούμενες ευθείες Η ευθεί ( R τέμνει τις κι στ σημεί Β κι Γ ντιστοίχως που οι συντετγμένες τους είνι οι ύσεις των συστημάτων: ( κι (
Από το πρώτο σύστημ με ντικτάστση του στη δεύτερη εξίσωση έχουμε: ( Άρ ν τότε οπότε Επομένως οι συντετγμένες του Β θ είνι το ζεύγος Ομοίως πό το δεύτερο σύστημ έχουμε: ( Άρ ν τότε οπότε Επομένως οι συντετγμένες του Γ θ είνι το ζεύγος Έτσι το Μ( θ είνι μέσο του ΒΓ ν κι μόνο ν κι Οι εξισώσεις όμως υτές δεν συνηθεύουν γι κμί τιμή του φού η πρώτη είνι δύντη γι κάθε R Έτσι η μόνη ύση του προήμτός μς είνι η κτκόρυφη ευθεί (i Η εξίσωση της ευθείς που ορίζετι πό τ σημεί κ κ κι Q με κ κι κ έχει συντεεστή διεύθυνσης ίσο με κ κ κ Άρ η εξίσωσή της είνι ( κ κ κ δηδή κ κ κ (
κ (ii Από την ( γι έχουμε κι γι έχουμε κ κ Άρ τ σημεί τομής της PQ με τους άξονες κι ντιστοίχως είνι τ: Έτσι θ έχουμε: κ B κι A( κ κ κι ( AP ( κ κ κ κ κ ( BQ ( κ κ Άρ AP BQ 5 Η ευθεί που διέρχετι πό τ σημεί A ( κι B ( έχει συντεεστή διεύθυνσης οπότε η εξίσωσή της θ είνι η: ( (με τον προφνή περιορισμό ότι 6 Από τ δεδομέν προκύπτει ότι η ζητούμενη ευθεί θ έχει εξίσωση της μορφής Από την εξίσωση υτή γι έχουμε κι γι έχουμε Άρ τ σημεί Α κι Β θ έχουν συντετγμένες τ ζεύγη κι ( ντιστοίχως οπότε θ είνι A B 5 55 6 Άρ η εξίσωση της ζητούμενης ευθείς είνι η 6
ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ Α ΟΜΑΔΑΣ Επειδή οι συντεεστές μ κι μ των κι δεν μηδενίζοντι συγχρόνως γι κμί τιμή του μ η δοθείσ εξίσωση πριστάνει γι κάθε R ευθεί γρμμή Έστω ε η ευθεί υτή Τότε: ε // μ μ κι ε // μ Τέος η ε διέρχετι πό το Ο( ν κι μόνο ν οι συντετγμένες του Ο επηθεύουν την εξίσωσή της δηδή ν κι μόνο ν ισχύει: ( Η ευθεί 6 έχει συντεεστή διεύθυνσης Άρ η ζητουμένη ευθεί που είνι κάθετη σ υτήν θ έχει συντεεστή διεύθυνσης κι επειδή διέρχετι πό το σημείο Α(- θ έχει εξίσωση ( δηδή Οι συντετγμένες του σημείου τομής των δύο ευθειών είνι η ύση του συστήμτος που είνι το ζεύγος 8 6 Οι συντετγμένες του σημείου τομής των δύο ευθειών είνι η ύση του 5 συστήμτος που είνι το ζεύγος ( 7 7 Η ευθεί έχει συντεεστή διεύθυνσης Άρ η ζητούμενη θ έχει συντεεστή διεύθυνσης κι επειδή διέρχετι πό το σημείο A ( 7 θ έχει εξίσωση 7 ( δηδή 6
(i Επειδή // θ είνι είνι 6 ( δηδή του Δ θ είνι η ύση του συστήμτος ζεύγος ( B Άρ η εξίσωση της ΑΔ θ Επομένως οι συντετγμένες A : : (ii Ο συντεεστής διεύθυνσης της διγωνίου ΑΓ είνι η ΑΓ είνι πράηη προς το διάνυσμ: δ ( 5 που είνι το 6 5 οπότε Ο συντεεστής διεύθυνσης της διγωνίου ΒΔ συμπίπτει με τον συντεεστή διεύθυνσης της ΔΚ όπου Κ το σημείο τομής των διγωνίων ΑΓ κι ΒΔ Το Κ 5 7 είνι το μέσον της ΑΓ οπότε θ έχει συντετγμένες το ζεύγος 7 Επομένως θ ισχύει οπότε η ΒΔ θ είνι πράηη 5 9 προς το διάνυσμ: δ (9 Άρ η οξεί γωνί των ΑΓ κι ΒΔ θ είνι ίση ή πρπηρωμτική με τη γωνί φ των δινυσμάτων γι την οποί έχουμε: δ δ συνφ δ δ 95 ( 5 9 697 6 7 697 Έτσι η οξεί γωνί των ΑΓ κι ΒΔ θ είνι περίπου ίση με 65 5 Η ευθεί με εξίσωση ( 8 είνι πράηη προς το διάνυσμ ( ενώ η ευθεί με εξίσωση είνι πράηη προς το ( Έτσι οι δύο ευθείες είνι κάθετες ν κι μόνο ν δ δ Όμως:
δ δ δ δ ( ( ή 6 Οι συντετγμένες του σημείου τομής των ευθειών 6 κι 6 6 5 9 είνι η ύση του συστήμτος που είνι το 6 5 9 ζεύγος 7 Έτσι η ευθεί διέρχετι πό το σημείο 7 ν κι μόνο ν ( 7 κ ή ισοδύνμ κ Άρ ζητουμένη τιμή του κ είνι η Β ΟΜΑΔΑΣ (i Έχουμε ( ( ( ή Οι τεευτίες είνι εξισώσεις των ευθειών που πεικονίζοντι στο διπνό σχήμ (ii Έχουμε - O ( ( ( ( ( ( ( ( ή Οι εξισώσεις υτές πριστάνουν ευθείες
5 Γι ν πριστάνει η εξίσωση ( ( ( ( ευθεί γρμμή γι τις διάφορες τιμές του πρέπει ν ρκεί οι συντεεστές των κι ν μην είνι τυτόχρον μηδέν Αυτό συμίνει φού ο συντεεστής του δεν μηδενίζετι γι κμί πργμτική τιμή του Στη συνέχει θεωρούμε δύο τιμές του (έστω κι κι τις εξισώσεις των ευθειών που προκύπτουν: 6 Το σύστημ των εξισώσεων υτών έχει μονδική ύση την ( ( Άρ οι ευθείες υτές τέμνοντι στο σημείο A ( Η εξίσωση ( επηθεύετι πό τις συντετγμένες του σημείου Α φού ( ( ( Άρ όες οι ευθείες της οικογένεις ( διέρχοντι πό το σημείο Α ( Οι συντετγμένες του σημείου τομής των ευθειών 5 κι 5 είνι η ύση του συστήμτος που είνι το ζεύγος ( ( Η τρίτη ευθεί 7 8 επηθεύετι γι φού 7 8 Άρ κι οι τρεις ευθείες διέρχοντι πό το σημείο με συντετγμένες ( Έχουμε τις ευθείες μ κι ( μ ( μ που είνι ντίστοιχ πράηες με τ δινύσμτ: δ ( μ κι δ ( μ μ Γι την γωνί φ των δύο υτών δινυσμάτων ισχύει: δ δ συνφ δ δ ( μ μ( μ μ ( μ ( μ μ μ μ μ ( μ
6 Άρ π π φ οπότε η οξεί γωνί των δύο ευθειών θ είνι ίση με 5 Οι συντετγμένες του σημείου τομής των δύο ευθειών ε : κι ε : είνι η ύση του συστήμτος Το σύστημ υτό ν δηδή ν έχει τη ύση ( Επομένως ν κι η ζητούμενη εξίσωση είνι η Αν ή οι κι δεν τέμνοντι Συγκεκριμέν ν είνι πράηες οι ευθείες συμπίπτουν ενώ ν οι ευθείες 6 Η ευθεί έχει συντεεστή διεύθυνσης Επομένως η κάθετη στην ευθεί υτή πό το σημείο Α( θ έχει εξίσωση ( Άρ οι συντετγμένες της προοής του Α στην ευθεί θ είνι η ύση 9 του συστήμτος που είνι το ζεύγος ( 5 5 7 Γι πό την εξίσωση της ευθείς ε : έχουμε σημείο τομής της ε με τον άξον είνι το Α( Άρ το
7 Η ε έχει συντεεστή διεύθυνσης Άρ η εξίσωση της κάθετης στην ε στο σημείο Α( θ είνι ( η οποί μετά τις πράξεις γίνετι ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ Α ΟΜΑΔΑΣ Οι ποστάσεις του Α( πό τις δοθείσες ευθείες είνι: (i ( (ii 5 ( 5 (iii 6 6 6 5( (iv 5 (i Έχουμε 5 ε κι 8 5 ε Άρ ε //ε 8 (ii Η πόστση του Ο( πό την είνι ίση με 585 5 89 5 ( 8 89 ενώ η πόστση του O ( πό την ε είνι ίση με 5868 68 89 5 ( 8 89
8 (iii Επειδή το Ο( ρίσκετι μετξύ των ευθειών κι η πόστσή τους θ είνι ίση με το άθροισμ των ποστάσεων του Ο π υτές δηδή θ είνι ίση με: 68 89 5 89 89 9 89 89 (i Έχουμε ε κι ε Άρ ε //ε (ii Γι πό την εξίσωση ε έχουμε Άρ το A ( νήκει στην ε Η πόστση των ε κι ε θ ισούτι με την πόστση του Α πό την ε δηδή με: ( 5 ( 5 Το ζητούμενο σημείο θ είνι το σημείο τομής της μεσοκθέτου του ΑΒ κι της ευθείς Η εξίσωση της μεσοκθέτου του ΑΒ είνι 6( ( ή ισοδύνμ Άρ οι συντετγμένες του θ είνι η ύση του συστήμτος που είνι το ζεύγος ( ( 5 Η ζητούμενη εξίσωση θ είνι της μορφής δηδή της μορφής Επομένως θ έχουμε: 5 5 5 Άρ υπάρχουν δύο ευθείες που ικνοποιούν τις πιτήσεις του προήμτος Αυτές έχουν εξισώσεις: 5 κι 5 6 τρόπος: Οι ευθείες ε ε επειδή είνι πράηες προς την ε θ έχουν εξισώσεις της μορφής Αφού όμως η ε είνι μεσοπράηη των κι κι υτές πέχουν μετξύ τους 8 μονάδες η πόστση οποιουδήποτε σημείου Α της ε πό κάθε μί θ είνι μονάδες
9 Έν σημείο της ε είνι το A Επομένως θ έχουμε (
9 Άρ οι ζητούμενες ευθείες θ είνι οι: ε : κι ε : τρόπος: Έν σημείο M ( νήκει σε μι πό τις ευθείες ε κι ε ν κι μόνο ν πέχει πό την ε πόστση ίση με δηδή ν κι μόνο ν ( ή ( ή ( ( Οι εξισώσεις ( ποτεούν τις εξισώσεις των ευθειών ε κι ε 7 (i Έχουμε AB (6 κι A ( Άρ 6 ( AB det( AB A 8 9 μονάδες (ii Έχουμε AB ( κι A (7 Άρ ( AB 7 5 μονάδες 7 (iii Έχουμε AB ( κι A ( 6 6 Άρ ( AB 6 6 Άρ δε σχημτίζετι τρίγωνο με κορυφές τ σημεί A ( B ( κι ( 5 8 Αφού το Μ είνι σημείο του άξον θ έχει συντετγμένες της μορφής ( οπότε θ είνι AM ( 5 κι AB ( Επομένως:
5 5 ( MAB 7 7 ή ή Άρ το ζητούμενο σημείο θ είνι το Μ( ή το Μ( 9 Αν M ( είνι το ζητούμενο σημείο τότε θ έχουμε: MA MB ( ( (5 ( 96 68 5 κι ( MAB 5 ( 6 6 6 6 ή 6 6 ή Επομένως: MAMB ( MAB ή Λύνοντς τ συστήμτ υτά ρίσκουμε ότι τ σημεί M (7 κι M ( είνι τ ζητούμεν Αν A ( B ( ( 5 οι τρεις κορυφές του πρηόγρμμου ΑΒΓΔ τότε θ είνι AB ( κι A ( 7 6 Άρ ( AB ( AB 6 7 6
5 Β ΟΜΑΔΑΣ Οι ευθείες που διέρχοντι πό την ρχή Ο( είνι ο κτκόρυφος άξονς δηδή η ευθεί κι οι μη κτκόρυφες ευθείες Επειδή όμως το B ( είνι σημείο του άξονς υτός ποκείετι ν ικνοποιεί την πίτηση του προήμτος Από τις η ζητούμενη είνι εκείνη που ισπέχει πό τ σημεί A ( κι B ( έχουμε: ( ( ( Επομένως θ Άρ οι ευθείες κι Β κι είνι υτές που ισπέχουν πό τ σημεί Α Αν M ( είνι το σημείο του που ισπέχει πό την ρχή Ο( κι πό την ευθεί 5 6 τότε θ έχουμε: 5 6 5 6 5 6 5 5 6 ή 5 6 5 ή 5 Άρ υπάρχουν δύο σημεί του τ M κι M που ικνοποιούν τις πιτήσεις του προήμτος Η ζητούμενη ευθεί ποκείετι ν είνι κτκόρυφη ή οριζόντι (φού τέμνει κι τους δύο άξονες Αφού οιπόν διέρχετι πό το σημείο M ( θ έχει εξίσωση ( Από την ( γι έχουμε η ( τέμνει τους άξονες στ σημεί * R ( κι γι έχουμε Άρ A κι B( οπότε είνι:
5 ( ( AOB ( OA( OB Άρ: ( ( AOB ( 8 Γι τη ύση της εξίσωσης υτής δικρίνουμε δύο περιπτώσεις: Αν τότε ( 8 8 6 Αν τότε ( 8 8 Επομένως οι ευθείες με εξισώσεις (6 ( (6 ( κι ( είνι οι ζητούμενες Επειδή οι πόστση του σημείου A ( πό τον άξον ισούτι με μί πό τις ζητούμενες ευθείες είνι ο άξονς δηδή η ευθεί με εξίσωση Αν τώρ είνι η εξίσωση της μη κτκόρυφης που διέρχετι πό το O ( κι η οποί πέχει πό το σημείο A ( πόστση ίση με τότε θ έχουμε: ( 69 ( Άρ η ζητούμενη μη κτκόρυφη ευθεί είνι η 5 Η εξίσωση γράφετι ισοδύνμ Άρ ν έν σημείο Μ νήκει σε υτήν οι συντετγμένες του θ είνι της μορφής ( Έτσι ν η πόστση του Μ πό την ευθεί 5 6 ισούτι με θ έχουμε:
5 5( 6 75 ( 5 7 5 ή 7 5 7 ή 9 7 7 Άρ τ σημεί M κι M ( 9 7 πέχουν πό την ευθεί 7 7 πόστση ίση με 6 Έχουμε AB ( γ δ κι A ( γ δ Τ σημεί Α Β Γ είνι συνευθεικά ν κι μόνο ν τ AB κι A είνι συγγρμμικά Όμως: AB // A det( AB A γ δ γ δ δ γδ γδ γ δ γ 7 τρόπος: Είνι συντεεστή διεύθυνσης θ έχει εξίσωση: Άρ η μεσοκάθετος του ΑΒ θ έχει κι φού διέρχετι πό το σημείο δηδή Από την εξίσωση υτή γι έχουμε ενώ γι έχουμε Άρ η μεσοκάθετος του ΑΒ τέμνει τον άξον στο σημείο P ( p με p κι τον άξον στο σημείο Q ( q με
5 q Έτσι έχουμε ήδη εκφράσει τ p q συνρτήσει των κι οπότε έχουμε: (i ( q p ( ( ( ( ( pq ( ( (ii p q τρόπος: Τ δινύσμτ PQ κι AB είνι κάθετ κι τ σημεί M P Q συνευθεικά Άρ PQ AB κι MQ det( MP οπότε 8 Έν σημείο M ( νήκει σε μι πό τις διχοτόμους των γωνιών που ορίζουν οι ευθείες κι 5 ν κι μόνο ν ισπέχει πό τις δύο ευθείες δηδή ν κι μόνο ν ισχύει ( 5 5 5 5 ( 5(5 ή ( 5(5 95 56 ή 95 56 6 ή 6 8 Άρ οι εξισώσεις των διχοτόμων είνι οι: 6 κι 6 8
9 Οι συντετγμένες του σημείου τομής των ευθειών κι 5 είνι η ύση του συστήμτος ζεύγος ( ( 55 που είνι το 5 Άρ το κοινό σημείο των ευθειών υτών είνι το M ( Η πόστση της κτκόρυφης πό το A ( είνι ίση με Άρ η ευθεί υτή δεν ικνοποιεί τις πιτήσεις του προήμτος Οι μη κτκόρυφες που διέρχοντι πό το M ( έχουν εξίσωση ( R η οποί γράφετι ισοδύνμ ( R Από υτές η ζητούμενη είνι εκείνη που πέχει πό το A ( πόστση ίση με 5 7 Άρ έχουμε: 7 ( 5 7 5 ( 9 5 5 559 9 5 ή Άρ οι ζητούμενες ευθείες είνι οι: κι Έν σημείο M ( είνι σημείο του ζητούμενου συνόου ν κι μόνο ν ισχύει ( MAB 8 Όμως: ( MAB det( MA MB 5 Επομένως: ( MAB 8 5 6 56 ή 56 ή Άρ το ζητούμενο σύνοο ποτεείτι πό τις ευθείες κι
56 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Θεωρούμε την κτκόρυφη που διέρχετι πό το M ( δηδή την ή οποί τέμνει την στο σημείο A ( κι την στο B ( Έχουμε ( AB Άρ η είνι μί ύση του προήμτός μς Έστω τώρ μί μη κτκόρυφη ευθεί που διέρχετι πό το σημείο M ( Η ευθεί υτή θ έχει εξίσωση της μορφής ( R δηδή της μορφής R Η ύση του συστήμτος δίνει τις συντετγμένες του Α ενώ η ύση του συστήμτος δίνει τις συντετγμένες του Β Γι ν έχουν ύση τ συστήμτ υτά ρκεί Λύνοντς τ πρπάνω συστήμτ ρίσκουμε ότι οι συντετγμένες των Α κι Β είνι ντιστοίχως κι Έτσι θ είνι: ( ( ( ( ( ( ( Άρ η δεύτερη ευθεί που ικνοποιεί τις πιτήσεις μς έχει εξίσωση Οι συντετγμένες του σημείου τομής των δύο ευθειών είνι η ύση του ( συστήμτος του οποίου η ορίζουσ είνι ( D γι κάθε R Άρ το σύστημ υτό έχει μονδική ύση γι κάθε R επομένως οι ευθείες πάντ τέμνοντι Γι την εύρεση της ύσης του συστήμτος έχουμε: κι D
57 D Άρ ( ( D D D D Έτσι γι τις συντετγμένες του κοινού σημείου των ευθειών έχουμε: R R Η ευθεί είνι ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος Αν ( K το κοινό σημείο των τριών ευθειών κι M M M τ σημεί με συντετγμένες ( ( κι ( τότε θ είνι ( ( κι επιπέον θ ισχύει: οπότε θ έχουμε ( ( ( ( Επομένως το ζεύγος ( είνι μί ύση του συστήμτος ( ( ( ( Επειδή ( ( το σύστημ έχει δύο τουάχιστον ύσεις την ( κι την ( Άρ η ορίζουσά του θ είνι ίση με μηδέν δηδή θ ισχύει: // M M M M M M M συνευθεικά Οι συντετγμένες του σημείου τομής των δύο ευθειών είνι η ύση του συστήμτος
58 το οποίο ν έχει μονδική ύση την ( Επομένως σημείο τομής των δύο ευθειών είνι το οπότε η η ευθεί ΜΑ θ έχει συντεεστή διεύθυνσης κι άρ εξίσωση ( δηδή ( 5 Αρκεί ν ρούμε την πόστση ενός σημείου της ευθείς ε : πό A B την ευθεί ε : Η ε τέμνει τον άξον στο σημείο M ( B του οποίου η πόστση πό την ε είνι B B d Όμως οι ευθείες ε ε είνι πράηες Άρ θ έχουν ίσους συντεεστές B διεύθυνσης δηδή θ ισχύει ή ισοδύνμ A B οπότε θ A είνι: A ( A ( A d (φού κι A 6 (i Έχουμε ( ( ( (
59 ( ή ( ή ( ή ( Άρ η πριστάνει τις ευθείες ( κι ( (ii Θεωρούμε τ δινύσμτ δ ( δ ( που είνι πράη στις δύο προηγούμενες ευθείες κθώς κι το δ ( που είνι πράηο στην Αν φ είνι η γωνί των δ δ κι φ η γωνί των δ δ θ είνι: συνφ δ δ δ δ ( ( ( άρ φ Ομοίως δείχνουμε ότι ζητούμενο έχει ποδειχτεί συνφ δηδή φ κι το 7 (i Γι ν ορίζει η ευθεί γ με τους άξονες τρίγωνο ρκεί ν είνι γ Η ευθεί υτή τέμνει τους άξονες στ σημεί A γ κι γ B Επομένως το ΑΟΒ είνι ισοσκεές ν κι Ο μόνο ν επιπέον ισχύει γ γ γ γ ( OA ( OB Άρ η ευθεί σχημτίζει με τους άξονες ισοσκεές τρίγωνο ν κι μόνο ν κι γ (ii Αν τότε οι ευθείες συμπίπτουν με τον άξον οπότε ποκείετι ο άξονς ν διχοτομεί τη γωνί τους
6 Αν ένς μόνο πό τους είνι μηδέν τότε πάι ποκείετι ο άξονς ν διχοτομεί τη γωνί τους Αν τότε οι ευθείες ε ε φ φ έχουν συντεεστή διεύθυνσης Ο φ κι ντιστοίχως κι επειδή διέρχοντι πό την ρχή των ξόνων γι ν διχοτομεί ο τη γωνί τους πρέπει κι ρκεί ν ισχύει: ε ε 8 (i Αφού η ευθεί γ τέμνει κι τους δύο ημιάξονες (όχι στο Ο θ είνι γ γ Έτσι γι έχουμε Άρ το σημείο τομής της ευθείς με τον γ είνι το A κι νήκει στον θετικό ημιάξον O ν κι μόνο ν γ δηδή γ Ο a Ομοίως γι το σημείο τομής της ευθείς κι του άξον είνι γ το B κι νήκει στον ρνητικό ημιάξον O ν κι μόνο ν γ δηδή γ (ii Αν τότε η ευθεί έχει γ εξίσωση (κτκόρυφη οπότε γι ν μην έχει σημεί στο ο τετρτημόριο γ πρέπει κι ρκεί δηδή γ a Ο γ με κι
6 Αν τότε η ευθεί έχει εξίσωση γ (οριζόντι οπότε γι ν μην έχει σημεί στο ο τετρτημόριο πρέπει κι γ ρκεί δηδή Ο γ με κι Αν τότε η ευθεί τέμνει τους γ άξονες κι στ σημεί A γ κι B ντιστοίχως οπότε γι ν μην έχει σημεί στο ο τετρτημόριο γ γ πρέπει κι ρκεί κι a Ο δηδή γ κι γ με
6