Αθανάσιος Ι. Πάπιστας Καθηγητής Τµήµα Μαθηµατικών Αριστοτέλειο Πανεπιστήµιο Θεσσαλονίκης. Μαθήµατα Θεωρίας Οµάδων

Αθανάσιος Ι. Πάπιστας Καθηγητής Τµήµα Μαθηµατικών Αριστοτέλειο Πανεπιστήµιο Θεσσαλονίκης Μαθήµατα Θεωρίας Οµάδων

2 Μαθήµατα Θεωρίας Οµάδων Συγγραφή Αθανάσιος Ι. Πάπιστας Κριτικός Αναγνώστης Βασίλειος Μεταφτσής Συντελεστές Εκδοσης Γλωσσική Επιµέλεια : Αθανάσιος Ι. Πάπιστας Γραφιστική Επιµέλεια : Αθανάσιος Ι. Πάπιστας Τεχνική Επεξεργασία : Αθανάσιος Ι. Πάπιστας ISBN: 978-960-603-110-6 Copyright ΣΕΑΒ, 2015 Το παρόν έγγραφο αδειοδοτείται υπό τους όρους της άδειας Creative Commons Αναφορά ηµιουργικού - Μη Εµπορική Χρήση - Παρόµοια ιανοµή 3.0. Για να δείτε ένα αντίγραφο της άδειας αυτής, επισκεφτείτε τον ιστότοπο https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/gr/ ΣΥΝ ΕΣΜΟΣ ΕΛΛΗΝΩΝ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΩΝ ΒΙΒΛΙΟΘΗΚΩΝ Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Ηρώων Πολυτεχνείου 9, 15780 Ζωγράφου www.kallipos.gr

Αφιέρωση Στη σύζυγο µου Μαρία και στα παιδιά µου Γιάννη και Κέλλυ για τη συνεχή και απεριόριστη συµπαράσταση και κατανόησή τους.

4

Περιεχόµενα Πίνακας Συντοµεύσεων-Ακρωνύµια 9 Πρόλογος 11 1 Οµάδες 13 1.1 Καρτεσιανό γινόµενο. Σχέσεις.................... 13 1.2 Απεικονίσεις............................. 13 1.3 ιµελείς Πράξεις........................... 16 1.4 Σύνολα µε δύο διµελείς πράξεις................... 21 1.5 Οµοµορφισµοί οµάδων........................ 23 1.6 Σχέσεις Ισοδυναµίας......................... 26 1.7 ιαιρετότητα............................. 30 1.8 Μεταθέσεις.............................. 34 1.9 Ασκήσεις............................... 40 Βιβλιογραφία 43 2 Υποοµάδες. Κυκλικές οµάδες 45 2.1 Υποοµάδες.............................. 45 2.2 Θεώρηµα Lagrange.......................... 52 2.3 Κυκλικές Οµάδες........................... 57 2.4 Γινόµενο υποοµάδων......................... 63 2.5 Κανονικές υποοµάδες........................ 64 2.6 Ασκήσεις............................... 69 Βιβλιογραφία 73 3 Θεωρήµατα Ισοµορφισµών 75 3.1 Τα Θεωρήµατα Ισοµορφισµών.................... 75 3.2 Ασκήσεις............................... 80 3.3 Οδηγός για περαιτέρω µελέτη.................... 81 4 οµές Ισοµορφισµών 83 4.1 Εσωτερικοί αυτοµορφισµοί...................... 83 4.2 Συζυγία................................ 85 4.3 Ευθύ γινόµενο............................ 87 4.4 Ασκήσεις............................... 89 4.5 Οδηγός για περαιτέρω µελέτη.................... 91 5

6 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 5 ράση οµάδων 93 5.1 ράση οµάδας σε σύνολο....................... 93 5.2 ύο εφαρµογές............................ 98 5.3 ράση οµάδας σε οµάδα....................... 105 5.4 Ηµιευθύ γινόµενο.......................... 106 5.4.1 ιεδρική οµάδα........................ 108 5.4.2 Ολόµορφο........................... 108 5.5 Ασκήσεις............................... 110 5.6 Οδηγός για περαιτέρω µελέτη.................... 112 Βιβλιογραφία 115 6 Αβελιανές Οµάδες 117 6.1 Ελεύθερη αβελιανή οµάδα...................... 117 6.2 Αλγόριθµος για πίνακες....................... 124 6.3 Ταξινόµηση αβελιανών οµάδων.................... 128 6.4 Παραδείγµατα............................ 140 6.5 Ασκήσεις............................... 142 6.6 Οδηγός για περαιτέρω µελέτη.................... 143 Βιβλιογραφία 145 7 Θεώρηµα Sylow 147 7.1 ιατύπωση και Απόδειξη του Θεωρήµατος.............. 147 7.2 Θεώρηµα Sylow και υποοµάδες................... 151 7.3 Ταξινόµηση Μικρών Οµάδων..................... 154 7.3.1 Οµάδες τάξης 6........................ 155 7.3.2 Οµάδες τάξης 8........................ 155 7.3.3 Οµάδες τάξης 10....................... 157 7.3.4 Οµάδες τάξης 12....................... 158 7.4 Ασκήσεις............................... 162 7.5 Οδηγός για περαιτέρω µελέτη.................... 163 8 Επιλύσιµες και µηδενοδύναµες οµάδες 165 8.1 Κανονικές και Συνθετικές Σειρές................... 165 8.2 Μεταθέτες............................... 173 8.3 Επιλύσιµες Οµάδες.......................... 174 8.4 Μηδενοδύναµες Οµάδες....................... 184 8.5 Ασκήσεις............................... 197 8.6 Οδηγός για περαιτέρω µελέτη.................... 199 9 Ελεύθερη οµάδα 201 9.1 Κατασκευή ελεύθερης οµάδας.................... 201 9.2 Ιδιότητες της ελεύθερης οµάδας................... 206 9.3 Παράσταση οµάδων.......................... 213 9.4 Πλήρως αναλλοίωτες υποοµάδες................... 222 9.5 Ασκήσεις............................... 224 9.6 Οδηγός για περαιτέρω µελέτη.................... 226

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 7 Βιβλιογραφία 229 10 Lie άλγεβρες και Οµάδες 231 10.1Προκαταρκτικές έννοιες....................... 231 10.2Κατασκευή ελεύθερης Lie άλγεβρας................. 236 10.2.1Ελεύθερη προσεταιριστική άλγεβρα............. 236 10.2.2Ελεύθερο µάγµα....................... 239 10.3Κατασκευή Lie άλγεβρας από οµάδα................ 241 10.4Ασκήσεις............................... 243 10.5Οδηγός για περαιτέρω µελέτη.................... 244 Βιβλιογραφία 247 Ευρετήριο 247

8 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

Πίνακας Συντοµεύσεων-Ακρωνύµια µκδ εκπ αντιστ. ϐλ. κτλ. π.χ. Μέγιστος Κοινός ιαιρέτης Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο Αντίστοιχα Βλέπε Και Τα Λοιπά Παραδείγµατος Χάρη 9

10 Συντοµεύσεις

Πρόλογος Το παρόν ϐιβλίο ϐασίζεται στην ύλη των προπτυχιακών µαθηµάτων Αλγεβρικές οµές Ι και Θεωρία Οµάδων καθώς και στην ύλη του µεταπτυχιακού µαθήµατος Μηδενοδύναµες Οµάδες και Lie Αλγεβρες, που δίδαξα στο Τµήµα Μαθηµατικών του Αριστοτέλειου Πανεπιστηµίου Θεσσαλονίκης για αρκετά χρόνια. Απευθύνεται κυρίως σε προπτυχιακούς ϕοιτητές Τµηµάτων Μαθηµατικών. Εχει καταβληθεί προσπάθεια ώστε το ϐιβλίο να είναι όσον το δυνατόν ανεξάρτητο. Σε κάθε κε- ϕάλαιο περιέχονται παραδείγµατα ώστε να γίνονται κατανοητοί τόσο οι ορισµοί όσο και τα ϑεωρήµατα. Η αρίθµηση των ορισµών, ϑεωρηµάτων, προτάσεων, ληµ- µάτων, πορισµάτων, παραδειγµάτων, σχολίων-παρατηρήσεων είναι ενιαία σε κάθε κεφάλαιο. Στο τέλος κάθε κεφαλαίου υπάρχουν ασκήσεις που καλύπτουν το µεγαλύτερο µέρος της ϑεωρίας, οι οποίες ϐοηθούν τον αναγνώστη στην κατανόηση του κειµένου. Επίσης, στο τέλος σχεδόν όλων των κεφαλαίων δίνεται ϐιβλιογρα- ϕία, σε κάποια µάλιστα κεφάλαια δίνεται και οδηγός για περαιτέρω µελέτη. Το ϐιβλίο αποτελείται από δέκα κεφάλαια. Στα πρώτα τέσσερα αναπτύσσονται τα απαραίτητα εργαλεία που χρειάζονται στα επόµενα. Η προσέγγιση της ύλης γίνεται µε τέτοιο ϱυθµό που είναι δυνατόν να ακολουθηθεί από έναν 2ο-ετή ϕοιτητή ενός Τµήµατος Μαθηµατικών. Συγκεκριµένα, το πρώτο κεφάλαιο διαβάζεται από οποιονδήποτε αναγνώστη που κατέχει ένα ϐασικό υπόβαθρο µαθηµατικών γνώσεων. Η ουσιαστική, όµως, µελέτη των Οµάδων αρχίζει από το Κεφάλαιο 2. Σε αυτό εισάγεται η έννοια του συνόλου γεννητόρων µιας οµάδας, αποδεικνύεται το Θεώρηµα Lagrange και γίνεται η ταξινόµηση των κυκλικών οµάδων. Οι κυκλικές οµάδες είναι ο ακρογωνιαίος λίθος, καθώς πάνω σε αυτές ϑα «κτισθούν» -στο Κεφάλαιο 6- οι πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες. Στο Κεφάλαιο 3, διατυπώνονται και αποδεικνύονται τρία Θεωρήµατα-γνωστά στη ϐιβλιογραφία ως Θεωρήµατα ισοµορφισµών- που δείχνουν τη σχέση ανάµεσα στις έννοιες : οµάδα πηλίκο και οµοµορφισµό οµάδων. Η σπουδαιότητά τους ϑα γίνει καλύτερα κατανοητή στα επόµενα κεφάλαια. Η οµάδα αυτοµορφισµών µιας οµάδας, καθώς και οι έννοιες της συζυγίας και του ευθέος γινοµένου µελετώνται στο Κεφάλαιο 4. Τα επόµενα τρία κεφάλαια αποτελούν εισαγωγή στην προχωρηµένη Θεωρία Οµάδων. Η αρχή γίνεται στο Κεφάλαιο 5, µε τη δράση οµάδας σε σύνολο. Μία οµάδα µπορεί να δρα πάνω και σε άλλα µαθηµατικά αντικείµενα. Οταν αυτό συµβαίνει, πρέπει στα αξιώµατα της δράσης πάνω στο σύνολο να προστίθενται επιπλέον αξιώµατα τέτοια, ώστε η δράση να διατηρεί τη δοµή του συγκεκριµένου µαθηµατικού αντικειµένου. Εδώ, ϑα µελετηθεί η δράση οµάδας σε οµάδα. Με τη ϐοήθεια της δράσης, κατασκευάζεται το ηµιευθύ γινόµενο δύο οµάδων. Μία εφαρµογή του ηµιευθέος γινοµένου είναι η κατασκευή του ολόµορφου µιας ο- µάδας. Η ταξινόµηση των πεπερασµένα παραγόµενων αβελιανών οµάδων γίνεται 11

12 Πρόλογος στο Κεφάλαιο 6, όπου περιγράφεται ένας αλγόριθµος µε τον οποίο µετατρέπεται ένας πίνακας µε ακέραια στοιχεία στην κανονική του µορφή. Με τη ϐοήθεια του αλγόριθµου, επιτυγχάνεται η ταξινόµηση. Τα Θεωρήµατα Sylow δίνονται στο Κεφάλαιο 7. Οι τεχνικές και η ανάλογη ϑεωρία που έχουν αναπτυχθεί στα προηγούµενα κεφάλαια επιτρέπουν την περιγραφή όλων των οµάδων µε τάξη το πολύ 15. Συγκεκριµένα, στην Παράγραφο 7.3, περιγράφονται αναλυτικά εκείνες οι «µικρές» οµάδες που συσχετίζονται µε τις συµµετρίες των κανονικών πολυγώνων. Στα τελευταία τρία κεφάλαια του παρόντος ϐιβλίου, δίνονται κάποια επιλεγ- µένα ϑέµατα προχωρηµένης Θεωρίας Οµάδων. Πιο συγκεκριµένα, οι επιλύσιµες και οι µηδενοδύναµες οµάδες µελετώνται στο Κεφάλαιο 8. Στο Κεφάλαιο 9, κατασκευάζεται η ελεύθερη οµάδα και αποδεικνύονται κάποιες ϐασικές ιδιότητές της. Η παράσταση οµάδων γίνεται µε τη ϐοήθεια της ελεύθερης οµάδας. Το ϐιβλίο ολοκληρώνεται µε το Κεφάλαιο 10, όπου εισάγεται η έννοια της Lie άλγεβρας. Ειδικότερα, δίνεται η κατασκευή της ελεύθερης Lie άλγεβρας µε τη ϐοήθεια ή της ελεύθερης προσεταιριστικής άλγεβρας ή της ελεύθερης µη προσεταιριστικής και µη µεταθετικής άλγεβρας ή µε τη ϐοήθεια της ελεύθερης οµάδας. Τέλος, στην Παράγραφο 10.3, για κάθε οµάδα, κατασκευάζεται ο συσχετιζόµενος Lie δακτύλιος της οµάδας. Θεσσαλονίκη, Οκτώβριος 2015 Αθανάσιος Ι. Πάπιστας

Κεφάλαιο 1 Οµάδες Σύνοψη. Στο παρόν κεφάλαιο περιέχονται οι ϐασικές έννοιες που απαιτούνται για τον ορισµό της οµάδας : καρτεσιανό γινόµενο, απεικονίσεις, διµελείς πράξεις. Επίσης, δίνονται οι ϐασικές ιδιότητες της διαιρετότητας των ακέραιων αριθµών και εισάγεται η έννοια των µεταθέσεων. Προαπαιτούµενη γνώση. ιαβάζεται από οποιονδήποτε αναγνώστη που κατέχει ένα ϐασικό υπόβαθρο µαθηµατικών γνώσεων. 1.1 Καρτεσιανό γινόµενο. Σχέσεις Εστω X και Y δύο µη κενά σύνολα. Από τα στοιχεία x X και y Y σχηµατίζουµε στοιχεία (x, y). Τα στοιχεία αυτά τα ονοµάζουµε διατεταγµένα Ϲεύγη αν ισχύει (x, y) = (x, y ) x = x, y = y. Το σύνολο των διατεταγµένων Ϲευγών (x, y), µε x X και y Y, συµβολίζεται µε X Y και ονοµάζεται καρτεσιανό γινόµενο των X και Y. Εστω X 1,..., X n, n 2, µη κενά σύνολα. Από τα στοιχεία x i X i, i = 1,..., n, δηµιουργούµε στοιχεία (x 1,..., x n ) που τα αποκαλούµε διατεταγµένες n-άδες αν ισχύει (x 1,..., x n ) = (y 1,..., y n ) x i = y i, i = 1,..., n. Ονοµάζουµε γενικευµένο καρτεσιανό γινόµενο των συνόλων X 1,..., X n και το συµβολίζουµε X 1... X n το σύνολο των διατεταγµένων n-άδων (x 1,..., x n ), όπου x i X i, 1,..., n. ηλαδή, X 1... X n = {(x 1,..., x n ) : x i X i, i = 1,..., n}. Κάθε υποσύνολο R του καρτεσιανού γινοµένου X Y καλείται διµελής σχέση στο σύνολο X Y ή διµελής σχέση µεταξύ των συνόλων X και Y. Αν X = Y, µία διµελής σχέση στο X είναι ένα υποσύνολο R του καρτεσιανού γινοµένου X X. 1.2 Απεικονίσεις Μία απεικόνιση ενός µη κενού συνόλου X σε ένα µη κενό σύνολο Y είναι µία διαδικασία (κανόνας, µηχανισµός) f, η οποία σε κάθε στοιχείο x X αντιστοιχεί 13

14 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΟΜΑ ΕΣ ένα µοναδικό στοιχείο y του Y. Το y ονοµάζεται εικόνα του x µέσω της f. Συµβολίζουµε µε f : X Y µία απεικόνιση από το X στο Y, ενώ για να δείξουµε ότι η απεικόνιση f : X Y στέλνει το στοιχείο x X στο στοιχείο y Y γράφουµε f(x) = y ή x y. Το X ονοµάζεται σύνολο αφετηρίας (ή πεδίο ορισµού), ενώ το Y ονοµάζεται σύνολο άφιξης (ή σύνολο τιµών). Συµβολίζουµε µε Id X : X X την ταυτοτική απεικόνιση επί του συνόλου X. ηλαδή, Id X (x) = x για κάθε x X. ύο απεικονίσεις f, g : X Y είναι ίσες αν και µόνο αν f(x) = g(x) για όλα τα x X. Να παρατηρήσουµε ότι µία απεικόνιση f : X Y είναι µία σχέση f µεταξύ των συνόλων X και Y, δηλαδή, f X Y τέτοια, ώστε 1. Για κάθε x X, (x, f(x)) f και 2. Αν (x, f(x)), (x, f(x )) f, τότε f(x) = f(x ). Θεωρούµε τις απεικονίσεις f : X Y και g : Y Z. Η σύνθεση των απεικονίσεων f και g είναι η απεικόνιση gf : X Z που ορίζεται ως εξής : (gf)(x) = g(f(x)) για όλα τα x X. Αν h : Z T είναι µία τρίτη απεικόνιση είναι εύκολο να επαληθεύσουµε ότι h(gf) = (hg)f. Με άλλα λόγια, η σύνθεση απεικονίσεων έχει την προσεταιριστική ιδιότητα. Εστω A X και f : X Y µία απεικόνιση. Ονοµάζουµε εικόνα του A µέσω της f, και τη συµβολίζουµε f(a), το σύνολο f(a) = {f(x) Y : x X}. Για κάθε σύνολο X συµβολίζουµε µε P(X) το δυναµοσύνολό του, δηλαδή, το σύνολο όλων των υποσυνόλων του X. Κάθε απεικόνιση f : X Y ορίζει µια απεικόνιση P f : P(X) P(Y ) µε τύπο P f (A) = f(a) για κάθε A P(X). Η απεικόνιση P f έχει τις παρακάτω ιδιότητες, για A 1, A 2 P(X) : 1. A 1 A 2 = P f (A 1 ) P f (A 2 ) 2. P f (A 1 A 2 ) = P f (A 1 ) P f (A 2 ) 3. P f (A 1 A 2 ) P f (A 1 ) P f (A 2 ). Αν B Y ονοµάζουµε αντίστροφη εικόνα του B µέσω της απεικόνισης f, και τη συµβολίζουµε µε f 1 (B), το σύνολο f 1 (B) = {x X : f(x) B}. Η f : X Y ορίζει µια απεικόνιση Pf α : P(Y ) P(X) µε τύπο Pα f (B) = f 1 (B) για κάθε B P(Y ). Η απεικόνιση Pf α διατηρεί τις σχέσεις,,. ηλαδή, η Pf α έχει τις επόµενες ιδιότητες, για B 1, B 2 P(Y ) :

1.2. ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ 15 1. B 1 B 2 = P α f (B 1) P α f (B 2) 2. P α f (B 1 B 2 ) = P α f (B 1) P α f (B 2) 3. P α f (B 1 B 2 ) = P α f (B 1) P α f (B 2). Μία απεικόνιση f : X Y λέγεται ένα προς ένα (1 1) (ή εµφύτευση (injection) ) αν για κάθε x 1, x 2 X x 1 x 2 = f(x 1 ) f(x 2 ) ή ισοδύναµα, η f : X Y είναι ένα προς ένα (1 1) αν για κάθε x 1, x 2 X f(x 1 ) = f(x 2 ) = x 1 = x 2. Η απεικόνιση f : X Y ονοµάζεται επί (ή έφεση (surjection) ) αν f(x) = Y. ηλαδή, η f : X Y είναι επί αν για κάθε y Y υπάρχει x X έτσι, ώστε f(x) = y. Η απεικόνιση f : X Y λέγεται ένα προς ένα και επί (ή αµφίεση (bijection) ) αν η f είναι ταυτόχρονα 1 1 και επί. Είναι εύκολο να αποδειχθούν οι παρακάτω ισχυρισµοί και αφήνονται ως ασκήσεις. Εστω f : X Y και g : Y Z δύο απεικονίσεις. Τότε, 1. Αν οι f, g είναι 1 1 απεικονίσεις, τότε η gf είναι 1 1. 2. Αν οι f, g είναι επί απεικονίσεις, τότε η gf είναι επί. 3. Αν η gf είναι 1 1 απεικόνιση, τότε η f είναι 1 1. 4. Αν η gf είναι επί απεικόνιση, τότε η g είναι επί. Εστω f : X Y µία 1 1 και επί απεικόνιση. Ισχυριζόµαστε ότι υπάρχει µοναδική απεικόνιση g : Y X έτσι, ώστε gf = Id X και fg = Id Y. Η µοναδική απεικόνιση g ονοµάζεται αντίστροφη της f και συµβολίζεται µε f 1. Πρώτα από όλα, για κάθε y Y υπάρχει µοναδικό x X έτσι, ώστε f(x) = y. Πράγµατι, επειδή η f είναι επί υπάρχει x X µε f(x) = y. Εστω ότι υπάρχει x X τέτοιο, ώστε f(x ) = y. Αφού η f είναι 1 1, έχουµε ότι x = x. Ετσι, αν σε κάθε στοιχείο y Y αντιστοιχίσουµε το µοναδικό x X για το οποίο ισχύει f(x) = y, ορίζεται µία απεικόνιση g : Y X δηλαδή, g(y) = x f(x) = y. Προφανώς, η g ικανοποιεί τις σχέσεις gf = Id X και fg = Id Y. Η µοναδικότητα της αντίστροφης προκύπτει από το επόµενο αποτέλεσµα. Πρόταση 1.1 Εστω f : X Y µία απεικόνιση. Αν υπάρχει απεικόνιση h : Y X τέτοια, ώστε hf = Id X και fh = Id Y, τότε η f είναι 1 1 και επί. Συγκεκριµένα, η h είναι η αντίστροφη της f.

16 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΟΜΑ ΕΣ Απόδειξη. Πρώτα, ϑα δείξουµε ότι η f είναι 1 1. Πράγµατι, f(x 1 ) = f(x 2 ) = h(f(x 1 )) = h(f(x 2 )) = (hf)(x 1 ) = (hf)(x 2 ) = Id X (x 1 ) = Id X (x 2 ) = x 1 = x 2. Εστω y Y. Το στοιχείο h(y) = x απεικονίζεται από την f στο y, επειδή f(x) = f(h(y)) = (fh)(y) = Id Y (y) = y. Με άλλα λόγια, η f είναι επί. Συνεπώς, η f είναι αντιστρέψιµη και µάλιστα, f 1 = h. Πράγµατι, h = Id X h = (f 1 f)h = f 1 (fh) = f 1 Id Y = f 1. Πόρισµα 1.1 1. Η σύνθεση gf δύο 1 1 και επί απεικονίσεων f και g είναι 1 1 και επί. Η αντίστροφή της είναι f 1 g 1. 2. Η αντίστροφη απεικόνιση f 1 µιας 1 1 και επί απεικόνισης f είναι και αυτή 1 1 και επί και µάλιστα, (f 1 ) 1 = f. 1.3 ιµελείς Πράξεις Εστω E ένα µη κενό σύνολο. Μία (διµελής) πράξη πάνω στο σύνολο E είναι µία απεικόνιση : E E E. Οπότε, σε κάθε Ϲεύγος (x, y) E E αντιστοιχεί ένα στοιχείο (x, y) E. Συνήθως για την εικόνα (x, y) χρησιµοποιούµε τον συµβολισµό x y. Παραδείγµατα 1.1 1. Στο σύνολο των ϕυσικών αριθµών N = {1, 2,...} η συνηθισµένη πρόσθεση, ο συνηθισµένος πολλαπλασιασµός, καθώς και η απεικόνιση ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο (εκπ) είναι διµελείς πράξεις. [, ] : N N, (m, n) εκπ(m, n) 2. Εστω E ένα µη κενό σύνολο. Στο δυναµοσύνολο P(E) του E οι απεικονίσεις : P(E) P(E) P(E), και : P(E) P(E) P(E), είναι διµελείς πράξεις. (A, B) A B (A, B) A B Εστω X ένα µη κενό υποσύνολο του E. Θα λέµε ότι η πράξη : E E E είναι εσωτερική στο X (ή το X είναι κλειστό ως προς την ) αν x y X για κάθε x, y X. Για παράδειγµα, το σύνολο των άρτιων ϕυσικών αριθµών είναι κλειστό ως προς την πρόσθεση, ενώ το σύνολο των περιττών αριθµών δεν είναι κλειστό ως προς την πρόσθεση. Εστω η (διµελής) πράξη : E E E. Αν η είναι προσεταιριστική, δηλαδή, (x y) z = x (y z) για όλα τα x, y, z E, το Ϲεύγος (E, ) ονοµάζεται ηµιοµάδα. Η προσεταιριστική ιδιότητα έχει την παρακάτω συνέπεια.

1.3. ΙΜΕΛΕΙΣ ΠΡΑΞΕΙΣ 17 Πρόταση 1.2 (Γενικευµένος προσεταιριστικός νόµος) Αν µία πράξη πάνω στο E είναι προσεταιριστική, τότε µε οποιοδήποτε τρόπο και αν «πολλαπλασιάσουµε» τα n στοιχεία του g 1,..., g n, διατηρώντας την σειρά τους, παίρνουµε το ίδιο στοιχείο. Απόδειξη. Θα χρησιµοποιήσουµε επαγωγή στο n. Για n = 2 ή 3 προφανώς ισχύει. Υποθέτουµε ότι αληθεύει για όλα τα m < n. Εστω g ένα «γινόµενο» που σχηµατίζεται από τα στοιχεία g 1,..., g n παρµένα µε αυτή τη σειρά. Τότε, το g γράφεται στη µορφή u v, όπου u, v είναι οι όροι της τελευταίας πράξης που γίνεται για το σχηµατισµό του g. Το u σχηµατίζεται από τα στοιχεία g 1,..., g κ (1 κ n 1) και το v σχηµατίζεται από τα στοιχεία g κ+1,..., g n. Αν κ = n 1, έχουµε ότι v = g n και το u είναι ένα «γινόµενο» που σχηµατίζεται από τα στοιχεία g 1,..., g n 1, άρα, από την επαγωγική µας υπόθεση u = g 1 g 2... g n 1. Συνεπώς, g = g 1... g n 1 g n. ιαφορετικά, σύµφωνα µετην επαγωγική υπόθεση, u = g 1 g 2... g κ και v = g κ+1... g n, µε 1 κ n 2. Εποµένως, g = u v = (g 1 g 2... g κ ) (g κ+1... g n ) (επαγωγική υπόθεση) = (g 1 g 2... g κ ) [(g κ+1... g n 1 ) g n ] (προσεταιριστική ιδιότητα) = [(g 1 g 2... g κ ) (g κ+1... g n 1 )] g n (επαγωγική υπόθεση) = (g 1 g 2... g n 1 ) g n = g 1... g n. Παρόµοια σύµβολα µε το είναι επίσης τα,, +,, κτλ. και για διαφο- ϱετικές πράξεις πάνω στο ίδιο σύνολο E χρησιµοποιούµε διαφορετικά σύµβολα. Συνήθως, για κάθε πράξη χρησιµοποιείται µία ονοµασία, όπως πολλαπλασιασµός, πρόσθεση κτλ. Στη Θεωρία Οµάδων κυρίως χρησιµοποιείται η ονοµασία «πολλαπλασιασµός» και η πολλαπλασιαστική γραφή (µε παράλειψη του συµβόλου της πράξης) ab, µε a, b E, διαφορετικά αναφέρεται σαφώς. Μία πράξη πάνω στο σύνολο E ονοµάζεται µεταθετική αν ab = ba για όλα τα a, b E. Ενα στοιχείο e E ονοµάζεται δεξιό ουδέτερο (αντιστ. αριστερό ουδέτερο) ως προς την πράξη αν ae = a (αντιστ. ea = a) για κάθε a E. Το στοιχείο e E ονοµάζεται ουδέτερο αν ταυτόχρονα είναι δεξιό και αριστερό ουδέτερο. Ετσι, σε ένα σύνολο E εφοδιασµένο µε πράξη, το e E είναι ουδέτερο στοιχείο αν : ae = a = ea για κάθε a E. Κάνοντας χρήση της προηγούµενης ιδιότητας είναι εύκολο να αποδειχθεί ότι αν το ουδέτερο στοιχείο υπάρχει, τότε είναι και µοναδικό. Πράγµατι, έστω ότι υπάρχουν δύο ουδέτερα στοιχεία e 1, e 2. Τότε, e 1 = e 1 e 2 (αφού το e 2 είναι ουδέτερο στοιχείο) = e 2 (αφού το e 1 είναι ουδέτερο στοιχείο). Εστω µία πράξη πάνω στο σύνολο E µε ουδέτερο στοιχείο e. Ενα στοιχείο x (αντιστ. x ) καλείται δεξιό αντίστροφο (αντιστ. αριστερό αντίστροφο) ενός στοιχείου x E, αν xx = e (αντιστ. x x = e). Ενα στοιχείο x καλείται αντίστροφο του x αν είναι ταυτόχρονα δεξιό και αριστερό αντίστροφο του x. ηλαδή, το x είναι αντίστροφο του x αν xx = e = x x.

18 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΟΜΑ ΕΣ Παραδείγµατα 1.2 1. Στο σύνολο R ορίζουµε την πράξη µε τύπο x y = (x 1)y 2 + xy (x 1). Η πράξη είναι καλά ορισµένη, επειδή η έκφραση (x 1)y 2 + xy (x 1) είναι πολυωνυµική. Θα δείξουµε ότι ο 1 R είναι το ουδέτερο στοιχείο ως προς την πράξη. Αν υπάρχει το ουδέτερο στοιχείο e R, τότε ϑα πρέπει να ισχύει x e = x = e x για κάθε x R. Εκτελώντας τις πράξεις, ϐλέπουµε ότι το e πρέπει να ικανοποιεί τις παρακάτω σχέσεις ταυτόχρονα e 2 + e 2 = 0, e 2 1 = 0, e 1 = 0. Οι τελευταίες σχέσεις µάς δίνουν e = 1 άρα, το 1 R είναι το ουδέτερο στοιχείο για την πράξη. 2. Στο R ορίζουµε την πράξη µε x y = x + y + x 2 y 2. Να εξετάσουµε αν υπάρχει ουδέτερο στοιχείο ως προς την πράξη. ηλαδή, αν υπάρχει e R έτσι, ώστε για κάθε x R να ισχύει : x e = e x = x. Με πράξεις παίρνουµε την εξίσωση e 2 x 2 + e = 0 για κάθε x R. Από εδώ προκύπτει ότι e = 0. Η επόµενη πρόταση µάς λέει ότι όταν το αντίστροφο υπάρχει και η πράξη είναι προσεταιριστική, τότε το αντίστροφο είναι µοναδικό. Μία ηµιοµάδα E µε ουδέτερο στοιχείο e ονοµάζεται µονοειδές. Πρόταση 1.3 Εστω E ένα µονοειδές µε ουδέτερο στοιχείο e. Αν για το στοιχείο x E υπάρχει x E τέτοιο, ώστε xx = e = x x, τότε το x είναι µοναδικό. Απόδειξη. Εστω x και x δύο αντίστροφα του στοιχείου x. Τότε, x = x e = x (xx ) = (x x)x = ex = x. Παράδειγµα 1.1 Στο σύνολο R ορίζουµε µια πράξη µε x y = x + y + x 2 y 2. Να εξετασθεί ποια στοιχεία του R έχουν αντίστροφο ή αντίστροφα. Στο Παραδείγµατα 1.2(2) δείξαµε ότι το 0 είναι το ουδέτερο στοιχείο της πράξης. Κατόπιν εξετάζουµε ποια στοιχεία x R έχουν x R τέτοια, ώστε Κάνοντας τις πράξεις καταλήγουµε στη x x = 0 = x x. x 2 (x ) 2 + x + x = 0. ( ) (Παρατηρούµε ότι η πράξη είναι µεταθετική.) Για τη διερεύνηση της παραπάνω εξίσωσης δουλεύουµε ως εξής :

1.3. ΙΜΕΛΕΙΣ ΠΡΑΞΕΙΣ 19 1. Αν x = 0, τότε η εξίσωση ( ) δίνει x = 0. 2. Αν x 0, τότε η ( ) είναι εξίσωση δευτέρου ϐαθµού ως προς x και διακρίνουµε τις περιπτώσεις : (αʹ) Αν > 0, τότε x < 1 3 4 και η ( ) έχει δύο ϱίζες πραγµατικές και άνισες, δηλαδή, για κάθε x R µε x 0 και x < αντίστροφα. (Γιατί συµβαίνει αυτό ;) 1 3 4 έχουµε δύο (ϐʹ) Αν = 0, τότε x = 1 3 4 και η ( ) έχει µία ϱίζα πραγµατική και έχει αντίστροφο το x = 3 2. (γʹ) Αν < 0, τότε η ( ) δεν έχει πραγµατικές ϱίζες και άρα, κάθε x R µε x > 1 3 4 δεν έχει αντίστροφο. Ενα Ϲεύγος (G, ) αποτελούµενο από ένα µη κενό σύνολο G και µια πράξη µε (x, y) x y, τέτοια, ώστε 1. Η πράξη είναι προσεταιριστική. : G G G 2. Υπάρχει e G τέτοιο, ώστε g e = g = e g για κάθε g G. 3. Για κάθε g G, υπάρχει g G τέτοιο, ώστε g g = e = g g. ονοµάζεται οµάδα. Επιπλέον, αν η πράξη είναι µεταθετική, τότε η οµάδα (G, ) ονοµάζεται αβελιανή. Στην περίπτωση που ο πληθικός αριθµός του συνόλου G είναι πεπερασµένος, δηλαδή, G <, η G ονοµάζεται πεπερασµένη οµάδα. Παραδείγµατα 1.3 1. Τα σύνολα Z, Q, R και C των ακέραιων, των ϱητών, των πραγµατικών και των µιγαδικών αριθµών εφοδιασµένα µε τη συνηθισµένη πρόσθεση αποτελούν αβελιανές οµάδες. εν είναι οµάδες αν είναι εφοδιασµένα µε το γνωστό πολλαπλασιασµό. 2. Τα σύνολα Q = Q \ {0}, R = R \ {0} και C = C \ {0} εφοδιασµένα µε το συνηθισµένο πολλαπλασιασµό αποτελούν αβελιανές οµάδες. 3. Το πεπερασµένο σύνολο V = {e, x, y, z} εφοδιασµένο µε την πράξη e x y z e e x y z x x e z y y y z e x z z y x e είναι αβελιανή οµάδα η οποία ονοµάζεται τετραδική οµάδα Klein, προς τιµή του Γερµανού µαθηµατικού Felix Klein.

20 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΟΜΑ ΕΣ 4. Εστω n ϑετικός ακέραιος µε n 2. Το σύνολο των αντιστρέψιµων n n πινάκων µε στοιχεία από το R εφοδιασµένο µε τον συνηθισµένο πολλαπλασιασµό αποτελεί µη αβελιανή οµάδα. Η οµάδα αυτή ονοµάζεται γενική γραµµική οµάδα και συµβολίζεται µε GL(n, R). Η ονοµασία αβελιανή οµάδα είναι προς τιµή του Νορβηγού µαθηµατικού Abel. Στην περίπτωση που έχουµε µια αβελιανή οµάδα, χρησιµοποιούµε συνήθως την προσθετική γραφή +, δηλαδή, x + y, το αντίστροφο του x το συµβολίζουµε µε x και καλείται συµµετρικό ή αντίθετο και το ουδέτερο στοιχείο συµβολίζεται µε 0 G (ή απλά 0). Στην περίπτωση πολλαπλασιαστικής γραφής χρησιµοποιούµε 1 G (ή απλά 1) αντί του e και το αντίστροφο του x το συµβολίζουµε µε x 1. Λήµµα 1.1 Εστω G µία (πολλαπλασιαστική) οµάδα. 1. Ισχύουν οι νόµοι διαγραφής : ca = cb = a = b και ac = bc = a = b. 2. Για κάθε a, b G, (ab) 1 = b 1 a 1 και (a 1 ) 1 = a. 3. Οι εξισώσεις ax = b και xa = b έχουν µοναδικές λύσεις a 1 b και ba 1, αντίστοιχα. Απόδειξη. 1. Εστω ca = cb. Τότε, c 1 (ca) = c 1 (cb). Επειδή ισχύει η προσεταιριστική ιδιότητα (c 1 c)a = (c 1 c)b. Εποµένως, 1 G a = 1 G b και έτσι, a = b. Οµοια, αποδεικνύουµε ac = bc = a = b. 2. Επειδή (ab)(b 1 a 1 ) = a(bb 1 )a 1 = a1 G a 1 = 1 G = b 1 1 G b = b 1 (a 1 a)b = (b 1 a 1 )(ab), το b 1 a 1 είναι αντίστροφο στοιχείο του ab. Λόγω του ότι η G είναι οµάδα, το αντίστροφο κάθε στοιχείου της G είναι µοναδικό και έτσι, έχουµε ότι (ab) 1 = b 1 a 1. Οµοια δουλεύουµε για να δείξουµε ότι (a 1 ) 1 = a για κάθε a G. 3. Εστω xa = b. Τότε, (xa)a 1 = ba 1 x(aa 1 ) = ba 1 x1 G = ba 1 x = ba 1. Εποµένως, το στοιχείο ba 1 είναι µία λύση της εξίσωσης. Εστω x 1, x 2 G τέτοια, ώστε x 1 a = b = x 2 a. Από το Λήµµα 1.1(1) έπεται ότι x 1 = x 2. Οµοια επιχειρήµατα εφαρµόζουµε και για τη δεύτερη εξίσωση.

1.4. ΣΥΝΟΛΑ ΜΕ ΥΟ ΙΜΕΛΕΙΣ ΠΡΑΞΕΙΣ 21 Στο παρακάτω αποτέλεσµα δίνουµε µια ικανή και αναγκαία συνθήκη για το πότε µία ηµιοµάδα είναι οµάδα. Μερικοί συγγραφείς δίνουν το αποτέλεσµα αυτό και σαν ορισµό. Πρόταση 1.4 Ενα σύνολο G εφοδιασµένο µε µία προσεταιριστική πράξη είναι οµάδα αν και µόνο αν ισχύουν τα παρακάτω : 1. Υπάρχει ένα στοιχείο e G (δεξιό ουδέτερο) τέτοιο, ώστε ge = g για κάθε g G. 2. Για κάθε g G υπάρχει g G (δεξιό αντίστροφο) τέτοιο, ώστε gg = e. Απόδειξη. Αν G είναι οµάδα, τότε προφανώς ισχύουν οι (1) και (2) της πρότασης. Εποµένως, αρκεί να αποδειχθεί ότι το υπό του (1) δεξιό ουδέτερο e είναι και αριστερό ουδέτερο και το υπό του (2) δεξιό αντίστροφο g είναι και αριστερό αντίστροφο του g. Εστω g το δεξιό αντίστροφο του g. Ετσι, g g = (g g)e = (g g)(g g ) = g (gg )(g ) = g eg = (g e)g = g g = e και εποµένως, eg = (gg )g = g(g g) = ge = g. Στην διατύπωση της Πρότασης 1.4 µπορούµε να αντικαταστήσουµε το δεξιό ουδέτερο και το δεξιό αντίστροφο µε αριστερό ουδέτερο και αριστερό αντίστρο- ϕο, αντίστοιχα. Εστω g ένα στοιχείο της (πολλαπλασιαστικής) οµάδας G και n ακέραιος αριθµός. Η n-οστή δύναµη g n του g ορίζεται επαγωγικά ως εξής : 1. g 0 = 1 G, g 1 = g και g 1 είναι το αντίστροφο του g 2. g n+1 = g n g, αν n > 0 και 3. g n = (g n ) 1, αν n < 0. Με την ϐοήθεια της µαθηµατικής επαγωγής µπορούµε να δείξουµε ότι ι- σχύουν τα εξής : Εστω m και n ακέραιοι και g ένα στοιχείο µιας οµάδας G. Τότε, g m g n = g n+m και (g m ) n = g mn = (g m ) n. 1.4 Σύνολα µε δύο διµελείς πράξεις Στην Παράγραφο 1.3 ορίσαµε τις έννοιες ηµιοµάδα, µονοειδές και οµάδα. Κάθε µία από αυτές είναι ένα Ϲεύγος (G, ), όπου το G είναι σύνολο και µία διµελής πράξη στο G. Η διαφορά µεταξύ της ηµιοµάδας, του µονοειδούς και της οµάδας οφείλεται στις διαφορετικές ιδιότητες που ικανοποιεί η πράξη. Στην παρούσα παράγραφο ϑα ορίσουµε δύο νέες έννοιες το δακτύλιο και το σώµα. ακτύλιος µε µονάδα (ή απλά δακτύλιος) είναι ένα µη κενό σύνολο S εφοδιασµένο µε δύο διµελείς πράξεις, την πρόσθεση και τον πολλαπλασιασµό, + : S S S, (x, y) x + y και : S S S, (x, y) x y για όλα τα x, y S, έτσι, ώστε (S, +) είναι αβελιανή οµάδα, (S, ) είναι µονοειδές και, επιπλέον, ισχύουν οι ιδιότητες

22 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΟΜΑ ΕΣ 1. (x + y) z = x z + y z 2. x (y + z) = x y + x z για όλα τα x, y, z S. Ο δακτύλιος λέγεται µεταθετικός αν x y = y x για όλα τα x, y S. Να σηµειώσουµε ότι όταν αναφερόµαστε στο µονοειδές (S, ) του δακτυλίου S, ϑα γράφουµε xy αντί του x y. Το µηδέν 0 S (ή απλά 0) του δακτυλίου S ορίζεται να είναι το ουδέτερο στοιχείο της (S, +) και η µονάδα 1 S (ή απλά 1) του δακτυλίου S ορίζεται να είναι το ουδέτερο στοιχείο του (S, ). Να παρατηρήσουµε ότι x0 S = 0 S = 0 S x για όλα τα x S. Λέµε ότι ο δακτύλιος S είναι µη τετριµµένος αν 0 S 1 S. Ενα στοιχείο x S ονοµάζεται αντιστρέψιµο, αν υπάρχει y S έτσι, ώστε xy = yx = 1 S. Αν ένα τέτοιο στοιχείο y S υπάρχει, τότε από την Πρόταση 1.3, το y είναι µοναδικό στοιχείο και έτσι, µπορούµε να γράφουµε y = x 1. Λήµµα 1.2 Εστω U(S) το σύνολο των αντιστρέψιµων στοιχείων του δακτυλίου S. Τότε, U(S) είναι οµάδα. Απόδειξη. Αφού 1 S U(S), έχουµε ότι U(S). Εστω x, y U(S). Τότε, (xy)(y 1 x 1 ) = xyy 1 x 1 = x1 S x 1 = xx 1 = 1 S = y 1 y = y 1 1 S y = y 1 x 1 xy = (y 1 x 1 )(xy). Εποµένως, xy U(S). Με άλλα λόγια, το U(S) είναι κλειστό ως προς τον πολλαπλασιασµό. Επειδή (S, ) είναι µονοειδές, έχουµε ότι ισχύει η προσεταιριστική ιδιότητα. Το 1 S είναι το ουδέτερο στοιχείο της U(S). Εστω x U(S). Τότε, xx 1 = 1 S = x 1 x. Επειδή (x 1 ) 1 = x, έχουµε ότι x 1 U(S). Συνεπώς, το U(S) είναι οµάδα. Παραδείγµατα 1.4 1. Εστω S ένας δακτύλιος µε 0 S = 1 S. Τότε, ο S = {0 S }. Πράγµατι, έστω x S. Τότε, x1 S = x, αφού το 1 S είναι το ουδέτερο στοιχείο του (S, ). Επειδή 0 S = 1 S, έχουµε ότι x = x0 S. Αλλά, x0 S = 0 S και έτσι, x = 0 S. 2. Το σύνολο των ακέραιων αριθµών Z εφοδιασµένο µε τις συνήθεις πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασµού των ακέραιων αριθµών αποτελεί µεταθετικό δακτύλιο. Τα µόνα αντιστρέψιµα στοιχεία του είναι το +1 και 1. Ετσι, U(Z) = {+1, 1}. 3. Το σύνολο M n n (Z) των n n πινάκων µε ακέραια στοιχεία εφοδιασµένο µε τις συνήθεις πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασµού των πινάκων είναι µη µεταθετικός δακτύλιος. Τα αντιστρέψιµα στοιχεία του είναι όλοι οι n n πίνακες µε ακέραια στοιχεία που έχουν ορίζουσα ±1. Με άλλα λόγια, U(M n n (Z)) = GL(n, Z).

1.5. ΟΜΟΜΟΡΦΙΣΜΟΙ ΟΜΑ ΩΝ 23 Σώµα είναι ένας µεταθετικός δακτύλιος F µε U(F) = F, όπου F = F \ {0 F }. Ετσι, για παράδειγµα, τα σύνολα Q, R και C των ϱητών, των πραγµατικών και των µιγαδικών αριθµών, αντίστοιχα, εφοδιασµένα µε τις συνήθεις πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασµού αριθµών είναι σώµατα. Μία πιο συνθετική έννοια, που ϑα τη χρειασθούµε αργότερα, είναι η έννοια του διανυσµατικού χώρου πάνω από σώµα. Εστω F σώµα. ιανυσµατικός χώρος πάνω από το F είναι µία τριάδα (V, +, ), όπου V είναι ένα µη κενό σύνολο και απεικονίσεις + : V V V, (x, y) x + y, και : F V V, (λ, x) λ x για όλα τα x, y V και λ F έτσι, ώστε (V, +) είναι αβελιανή οµάδα και η απεικόνιση ικανοποιεί τις ιδιότητες 1. α (β x) = (αβ) x για όλα τα α, β F και x V. 2. 1 F x = x για όλα τα x V. 3. (α + β) x = α x + β x για όλα τα α, β F και x V. 4. α (x + y) = α x + α y για όλα τα α F και x, y V. Για παράδειγµα το σύνολο των πραγµατικών αριθµών R εφοδιασµένο µε τις συνήθεις πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασµού µπορεί να ϑεωρηθεί διανυσµατικός χώρος πάνω από το σώµα R. 1.5 Οµοµορφισµοί οµάδων Εστω G και H οµάδες. οµάδων αν Μία απεικόνιση f : G H καλείται οµοµορφισµός f(xy) = f(x)f(y) για κάθε x, y G. Αν η f είναι 1 1, τότε ο οµοµορφισµός f ονοµάζεται µονοµορφισµός. Αν η f είναι επί, ο οµοµορφισµός f ονοµάζεται επιµορφισµός. Αν f είναι 1 1 και επί, τότε ο οµοµορφισµός f ονοµάζεται ισοµορφισµός. Στην περίπτωση αυτή λέµε ότι οι οµάδες G και H είναι ισόµορφες και το συµβολίζουµε G = H. Ενας οµοµορφισµός f : G G ονοµάζεται ενδοµορφισµός. Αν, επιπλέον, ο ενδοµορφισµός f είναι 1 1 και επί, ο f ονοµάζεται αυτοµορφισµός. Παραδείγµατα 1.5 1. Για τυχαίες οµάδες G και H, υπάρχει πάντα ένας ο- µοµορφισµός από την G στην H, ο τετριµµένος οµοµορφισµός, f : G H, f(g) = 1 H, g G. 2. Εστω G µία οµάδα. Η απεικόνιση Id G : G G, µε Id G (x) = x για κάθε x G, είναι ένας οµοµορφισµός, αφού Id G (xy) = Id G (x)id G (y) για όλα τα x, y G. Προφανώς, ο Id G είναι αυτοµορφισµός. 3. Εστω m N, µε m 2. Η απεικόνιση f m : Z Z, µε f m (x) = mx για κάθε x Z, είναι ένας ενδοµορφισµός της προσθετικής οµάδας (Z, +) στον εαυτό της. Η f m είναι 1 1, αλλά, δεν είναι επί.

24 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΟΜΑ ΕΣ 4. Εστω V = {e, x, y, z} η τετραδική οµάδα Klein. Ορίζουµε την απεικόνιση f : V V ως εξής : f(e) = f(x) = e και f(y) = f(z) = x. Η f είναι ενδοµορφισµός, αλλά, η f δεν είναι ούτε επί ούτε 1 1. 5. Εστω R το σώµα των πραγµατικών αριθµών και U(R) η πολλαπλασιαστική οµάδα του R. ηλαδή, U(R) = (R, ). Η απεικόνιση det : GL(n, R) U(R) που στέλνει το g GL(n, R) στην ορίζουσά του det g είναι οµοµορφισµός οµάδων. Επιπλέον, η det είναι επί. 6. Κάθε διανυσµατικός χώρος V πάνω από το R σχηµατίζει µία προσθετική οµάδα V +. Για κάθε a R, η απεικόνιση λ a : V + V + µε λ a (v) = a v για όλα τα v V +, είναι οµοµορφισµός οµάδων. Αν το a 0, τότε λ a είναι αυτοµορφισµός. Λήµµα 1.3 1. Εστω f : G H ένας οµοµορφισµός οµάδων. Τότε, (αʹ) f(1 G ) = 1 H (ϐʹ) f(x 1 ) = (f(x)) 1 για κάθε x G. 2. Εστω f : G H και g : H N οµοµορφισµοί οµάδων. Τότε, η σύνθεση gf : G N είναι ο οµοµορφισµός. 3. Εστω f ένας αυτοµορφισµός της οµάδας G. Τότε, η f 1 είναι αυτοµορφισµός της G. Απόδειξη. 1. Θέτοντας x = y = 1 G, f(1 G )f(1 G ) = f(1 G 1 G ) = f(1 G ) = 1 H f(1 G ). Από το Λήµµα 1.1 (1), f(1 G ) = 1 H. Για να δείξουµε ότι f(x 1 ) = (f(x)) 1 για κάθε x G, αρκεί να δείξουµε ότι Επειδή η f είναι οµοµορφισµός f(x)f(x 1 ) = 1 H = f(x 1 )f(x). f(x)f(x 1 ) = f(xx 1 ) = f(1 G ) = 1 H = f(1 G ) = f(x 1 x) = f(x 1 )f(x).

1.5. ΟΜΟΜΟΡΦΙΣΜΟΙ ΟΜΑ ΩΝ 25 2. Για κάθε x, y G, έχουµε ότι (gf)(xy) = g(f(xy)) = g(f(x)f(y)) = g(f(x))g(f(y)) = (gf)(x)(gf)(y). Εποµένως, η σύνθεση οµοµορφισµών οµάδων είναι οµοµορφισµός. 3. Αρκεί να δείξουµε ότι η f 1 είναι ενδοµορφισµός. Εστω y 1, y 2 G. Τότε, υπάρχουν µοναδικά x 1, x 2 G έτσι, ώστε f(x i ) = y i και f 1 (y i ) = x i, i = 1, 2. Επειδή η f είναι αυτοµορφισµός f 1 (y 1 y 2 ) = f 1 (f(x 1 )f(x 2 )) = f 1 (f(x 1 x 2 )) = x 1 x 2 = f 1 (y 1 )f 1 (y 2 ). Συνεπώς, η f 1 είναι αυτοµορφισµός της G. Με End(G) συµβολίζουµε το σύνολο των ενδοµορφισµών της οµάδας G. Το End(G) µε πράξη τη σύνθεση απεικονίσεων είναι ηµιοµάδα µε ουδέτερο στοιχείο την ταυτοτική απεικόνιση. Το σύνολο των αυτοµορφισµών της οµάδας G συµβολίζεται µε Aut(G). Το Aut(G) είναι υποσύνολο του End(G) και είναι κλειστό ως προς την πράξη της σύνθεσης απεικονίσεων. Εύκολα διαπιστώνουµε ότι αποτελεί οµάδα, την οµάδα αυτοµορφισµών της G. Παραδείγµατα 1.6 1. Εστω V ένας διανυσµατικός χώρος πεπερασµένης διάστασης n, µε n 2, πάνω από το C. Συµβολίζουµε µε GL(V ) το σύνολο των αυτοµορφισµών του V. Το σύνολο GL(V ) εφοδιασµένο µε πράξη την σύνθεση απεικονίσεων είναι (µη αβελιανή) οµάδα. Εστω GL(n, C) η γενική γραµµική οµάδα ϐαθµού n πάνω από το C. Οι δύο οµάδες GL(V ) και GL(n, C) είναι ισόµορφες µεταξύ τους. Πράγµατι, διαλέγοντας µία ϐάση B του V, κάθε αυτοµορφισµός f του V συνδέεται µε ένα στοιχείο M B (f) GL(n, C). Η αντιστοιχία M : GL(V ) GL(n, C), µε M(f) = M B (f), είναι ισοµορφισµός οµάδων. 2. Ενα γράφηµα αποτελείται από ένα σύνολο κορυφών V (Γ) και από ένα σύνολο ακµών E(Γ). Κάθε ακµή συνδέεται µε ένα µη διατεταγµένο Ϲεύγος κορυφών µε την συνάρτηση ENDS, ENDS(e) = {v, w}, όπου v, w V. Σε αυτή την περίπτωση, λέµε ότι τα v και w είναι γειτονικά (adjacent). Επιτρέπουµε στα γραφήµατα να υπάρχουν πολλαπλές ακµές καθώς, να υπάρχουν ϐρόχοι (loops), δηλαδή, ακµές στις οποίες η αρχή και το τέλος είναι η ίδια κορυφή. Γραφήµατα που δεν υπάρχουν πολλαπλές ακµές και ϐρόχοι ονοµάζονται απλά. Αυτοµορφισµός ενός γραφήµατος Γ είναι µία 1 1 και επί απεικόνιση α πάνω στο σύνολο κορυφών V (Γ) που

26 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΟΜΑ ΕΣ στέλνει κορυφές σε κορυφές και ακµές σε ακµές έτσι, ώστε αν ENDS(e) = {v, w}, τότε ENDS(α(e)) = {α(v), α(w)}. Η οµάδα αυτοµορφισµών του γραφήµατος Γ συµβολίζεται µε Aut(Γ). Ετσι, αν Γ = K n, το πλήρες απλό γράφηµα ϐαθµού n, τότε Aut(K n ) = S n. Ας δούµε ένα µη τετριµµένο παράδειγµα. Πρώτα από όλα, να δώσουµε το ορισµό του κύκλου. Ο κύκλος µε n κορυφές είναι το γράφηµα C n µε σύνολο κορυφών το {0,..., n 1} και το i είναι γειτονικό µε το j αν και µόνο αν j i ±1 (mod n). (Παραπέµπουµε τον αναγνώστη στην Παράγραφο 1.7 για τον ορισµό της (mod n) και ϐασικές ιδιότητές της.) Αν g S n που απεικονίζει το i στο (i + 1) (mod n), τότε g Aut(C n ). Εποµένως, η Aut(C n ) περιέχει το σύνολο R = {g m : 0 m n 1}. Είναι εύκολο να δειχθεί ότι η µετάθεση h που απεικονίζει το i στο i (mod n) είναι αυτοµορφισµός του C n. Παρατηρώντας ότι h(0) = 0, το h σταθεροποιεί µία κορυφή του C n. Από την άλλη πλευρά κανένα µη τετριµµένο στοιχείο του R δεν έχει σταθερά σηµεία. Συνεπώς, το h δεν είναι δύναµη του g και έτσι, h / R. Είναι εύκολο να δειχθεί ότι ο πληθικός αριθµός του Aut(C n ) είναι µεγαλύτερος ή ίσος του 2n. Στην πραγµατικότητα είναι ακριβώς 2n. 3. Εστω X ένα µη κενό σύνολο. Μετρική πάνω στο X είναι µία απεικόνιση που ικανοποιεί τις ιδιότητες : d : X X R (αʹ) d(x, y) 0 για όλα τα x, y X. x = y. (ϐʹ) d(x, y) = d(y, x) για όλα τα x, y X. (γʹ) d(x, z) d(x, y) + d(y, z) για όλα τα x, y, z X. Η ισότητα ισχύει αν και µόνο αν Ενα µη κενό σύνολο X εφοδιασµένο µε µία µετρική d ονοµάζεται µετρικός χώρος και συµβολίζεται µε (X, d). Μία ισοµετρία µετρικού χώρου (X, d) είναι µία 1 1 και επί απεικόνιση f : X X που διατηρεί την απόσταση, δηλαδή, d(f(x), f(y)) = d(x, y) για όλα τα x, y X. Το σύνολο των ισο- µετριών του (X, d) συµβολίζεται µε Isom(X, d). Είναι εύκολο να δειχθεί ότι το σύνολο Isom(X, d) µε πράξη τη σύνθεση απεικονίσεων αποτελεί οµάδα. Εστω (X, d) µετρικός χώρος και Y ένα υποσύνολο του X. Ονοµάζουµε συµµετρία του Y µία ισοµετρία f του (X, d) η οποία σταθεροποιεί το Y σαν σύνολο, δηλαδή, f(y ) = Y. Το σύνολο των συµµετριών του Y συµβολίζεται µε Sym(Y ). Οπότε, Sym(Y ) = {f Isom(X) : f(y ) = Y }. Είναι εύκολο να δειχθεί ότι Sym(Y ) είναι οµάδα µε πράξη τη σύνθεση απεικονίσεων. 1.6 Σχέσεις Ισοδυναµίας Εστω I ένα µη κενό σύνολο, ονοµάζεται σύνολο δεικτών, και υποθέτουµε ότι για κάθε i I έχουµε ένα µη κενό σύνολο X i. Τότε, λέµε ότι έχουµε µία οικογένεια συνόλων και την συµβολίζουµε µε X = {X i : i I}. ιαµελισµό (ή διαµέριση) ενός συνόλου X ονοµάζουµε µία οικογένεια {X i : i I} από µη κενά υποσύνολα του X έτσι, ώστε

1.6. ΣΧΕΣΕΙΣ ΙΣΟ ΥΝΑΜΙΑΣ 27 1. X είναι η ένωση των X i, i I, 2. X i X j = για i j. Τα υποσύνολα X i ονοµάζονται µέρη του διαµελισµού του X. Εστω {X i : i I} ένας διαµελισµός του X. Τότε, ορίζεται µία σχέση R πάνω στο X, δηλαδή, R X X ως εξής : το (x, y) R αν και µόνο αν x, y X i για κάποιο i I. Η σχέση R ικανοποιεί τρεις ιδιότητες : ανακλαστική, συµµετρική και µεταβατική, οι οποίες προκύπτουν άµεσα από τον ορισµό. ηλαδή, 1. (Ανακλαστική) (x, x) R για κάθε x X. 2. (Συµµετρική) Αν (x, y) R, τότε (y, x) R. 3. (Μεταβατική) Αν (x, y) R και (y, z) R, τότε (x, z) R. Μία σχέση R πάνω στο σύνολο X ονοµάζεται σχέση ισοδυναµίας στο X αν είναι ανακλαστική, συµµετρική και µεταβατική. Εστω R µία σχέση ισοδυναµίας στο µη κενό σύνολο X. Θα γράφουµε x y (mod R), και ϑα διαβάζουµε το x είναι ισότιµο µε το y κατά µέτρο R, αντί του (x, y) R. Για κάθε x X, ορίζεται το [x] R = {y X : y x (mod R)}. Το [x] R ονοµάζεται κλάση ισοδυναµίας του x. Επειδή η R είναι σχέση ισοδυνα- µίας, έχουµε ότι x [x] R και έτσι, [x] R. Ενα οποιοδήποτε στοιχείο α της κλάσης ισοδυναµίας [x] R το λέµε αντιπρόσωπο της κλάσης [x] R. Λήµµα 1.4 Εστω X ένα µη κενό σύνολο, R µία σχέση ισοδυναµίας στο X και x, y X. Τότε, [x] R = [y] R αν και µόνο αν y x (mod R) αν και µόνο αν [x] R [y] R. Απόδειξη. Εστω [x] R = [y] R. Επειδή κάθε κλάση ισοδυναµίας είναι µη κενό σύνολο, έχουµε ότι [x] R [y] R. Αντίστροφα, υποθέτουµε ότι [x] R [y] R. Ισχυριζόµαστε ότι [x] R = [y] R. Εστω a [x] R και έστω z [x] R [y] R. Τότε, x a (mod R), z x (mod R) και z y (mod R). Λόγω του ότι η R είναι µεταβατική, z a (mod R). Επειδή η R είναι συµµετρική και µεταβατική, έχουµε ότι a y (mod R). Συνεπώς, a [y] R. Άρα, [x] R [y] R. Εναλλάσσοντας το x µε το y στην παραπάνω απόδειξη, έχουµε ότι [y] R [x] R και εποµένως, [x] R = [y] R. Εστω x y (mod R). Τότε, x [x] R [y] R και άρα, [x] R = [y] R. Αντίστροφα, έστω [x] R = [y] R. Επειδή y [y] R, έχουµε ότι y [x] R, δηλαδή, x y (mod R). Συµβολίζουµε µε X/R το σύνολο των κλάσεων ισοδυναµίας [x] R, x X. Το σύνολο X/R ονοµάζεται το σύνολο πηλίκο του X ως προς τη σχέση R. Πρόταση 1.5 1. Κάθε σχέση ισοδυναµίας R σε ένα µη κενό σύνολο X ορίζει ένα διαµελισµό του συνόλου X. 2. Κάθε διαµελισµός D = (X i ) i I του µη κενού συνόλου X ορίζει µία σχέση ισοδυναµίας R D στο X τέτοια, ώστε το σύνολο πηλίκο X/R D συµπίπτει µε το D.

28 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΟΜΑ ΕΣ 3. Υπάρχουν τόσες σχέσεις ισοδυναµίας πάνω σε ένα µη κενό σύνολο X όσοι είναι και οι διαµελισµοί του συνόλου X. Απόδειξη. 1. Εστω R µία σχέση ισοδυναµίας στο X και έστω X/R το σύνολο πηλίκο του X ως προς τη σχέση R. Επειδή x [x] R, έχουµε ότι X = x X [x] R. Από το Λήµµα 1.4 συµπεραίνουµε ότι το X/R αποτελεί διαµελισµό του X. 2. Οπως είδαµε προηγουµένως, η σχέση R D που ορίζεται ως εξής : x y (mod R D ) αν και µόνο αν x, y X i για κάποιο i I είναι σχέση ισοδυνα- µίας στο X. Η κλάση ισοδυναµίας [x] RD του τυχαίου x X ισούται µε το X i, η οποία περιέχει το x, επειδή [x] RD = {y X : x y (mod R D )} = {y X : y X i } = X i. Συνεπώς, το σύνολο πηλίκο X/R D συµπίπτει µε το D. 3. Εστω E(X) το σύνολο όλων των σχέσεων ισοδυναµιών στο X και (X) το σύνολο όλων των διαµελισµών του X. Ισχυριζόµαστε ότι E(X) = (X), δηλαδή, υπάρχει 1 1 και επί απεικόνιση f από το E(X) στο (X). Ο- ϱίζουµε την απεικόνιση f : E(X) (X) µε τύπο f(r) = X/R η οποία στέλνει τη σχέση R στον αντίστοιχο δια- µελισµό (σύνολο πηλίκο) X/R. Θα δείξουµε ότι η f είναι 1 1 και επί. Πράγµατι, ορίζουµε την απεικόνιση g : (X) E(X) µε τύπο g(d) = R D. Από την Πρόταση 1.5(1) και την Πρόταση 1.5(2) προκύπτει ότι gf = Id E(X), fg = Id (X) και έτσι, η f είναι 1 1 και επί. Παράδειγµα 1.2 Να ϐρεθούν όλες οι σχέσεις ισοδυναµίας στο σύνολο X = {a, b, c}. Σύµφωνα µε όσα αναφέραµε προηγουµένως αρκεί να ϐρούµε όλους τους διαµελισµούς του X. Οι δυνατοί διαµελισµοί του X είναι πέντε, οι εξής : (1) X, (2) {a, b}, {c} (3) {a, c}, {b} (4) {b, c}, {a} (5) {a}, {b}, {c}, Η σχέση ισοδυναµίας που ορίζει ο διαµελισµός (1) είναι : R (1) = {(a, a), (b, b), (c, c), (a, b), (a, c), (b, a), (c, a), (b, c), (c, b)}.

1.6. ΣΧΕΣΕΙΣ ΙΣΟ ΥΝΑΜΙΑΣ 29 Η σχέση ισοδυναµίας που ορίζει ο διαµελισµός (4) είναι : R (4) = {(a, a), (b, b), (c, c), (b, c), (c, b)}. Η σχέση ισοδυναµίας που ορίζει ο διαµελισµός (5) είναι : R (5) = {(a, a), (b, b), (c, c)}. Οµοια, δουλεύουµε και στις άλλες περιπτώσεις. Εστω X ένα µη κενό σύνολο εφοδιασµένο µε µία πράξη. Μία σχέση ισοδυναµίας R στο X ονοµάζεται συµβιβαστή ως προς την πράξη αν ισχύει : x 1 y 1 (mod R) x 2 y 2 (mod R) = x 1 x 2 y 1 y 2 (mod R). Που χρησιµοποιείται η έννοια «συµβιβαστή» ; Εστω R µία σχέση ισοδυναµίας του X συµβιβαστή µε την πράξη. Ορίζουµε την απεικόνιση : X/R X/R X/R µε [x] R [y] R = [x y] R. Η απεικόνιση είναι καλά ορισµένη. Πράγµατι, έστω [x] R = [x ] R και [y] R = [y ] R. Τότε, x x (mod R) και y y (mod R). Επειδή η R είναι συµβιβαστή, έχουµε ότι x y x y (mod R) και έτσι, [x y] R = [x y ] R. Παραδείγµατα 1.7 1. Εστω X το σύνολο των διατεταγµένων Ϲευγών (a, b), όπου a Z και b Z = Z \ {0}. Στο σύνολο X ορίζουµε µία σχέση R ως εξής : (a, b) (c, d) (mod R) ad = bc. Είναι εύκολο να δείξουµε ότι η R είναι σχέση ισοδυναµίας στο X. Η µελέτη της σχέσης R µάς δίνει µία κατασκευή των ϱητών αριθµών Q. Ορίζουµε στο X την πράξη : : X X X µε (a, b) (c, d) = (ad + bc, bd) για όλα τα (a, b), (c, d) X. Τότε, η R είναι συµβιβαστή µε την πράξη. Συνεπώς, το σύνολο πηλίκο X/R εφοδιάζεται µε την επαγόµενη πράξη [(a, b)] R [(c, d)] R = [(a, b) (c, d)] R. Συµβολίζοντας µε [(a, b)] R = a b, έχουµε ότι X/R = Q και η επαγόµενη πράξη είναι η πρόσθεση των ϱητών αριθµών. 2. Εστω M n n (R) το σύνολο των n n πινάκων µε πραγµατικά στοιχεία. Ορίζουµε στο M n n (R) την σχέση R ως εξής : A B (mod R) αν και µόνο αν υπάρχει P GL(n, R) έτσι, ώστε B = P 1 AP. Είναι απλό να δείξουµε ότι η R είναι σχέση ισοδυναµίας. Ετσι, η οµοιότητα των πινάκων είναι σχέση ισοδυναµίας. Η κλάση [A] R αποτελείται από τους «συζυγείς» πίνακες του A.

30 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΟΜΑ ΕΣ 1.7 ιαιρετότητα Κάποιες έννοιες από τη στοιχειώδη Θεωρία Αριθµών παίζουν σηµαντικό ϱόλο στη Θεωρία Οµάδων, ειδικότερα στη Θεωρία των πεπερασµένων οµάδων. Συγκεκρι- µένα, οι πρώτοι αριθµοί, η ευκλείδεια διαίρεση, ισοτιµίες και οι πρωταχικές ϱίζες χρησιµοποιούνται συχνά. Θεώρηµα 1.1 (Αλγόριθµος ιαίρεσης) Εστω a, b Z µε b 0. Τότε, υπάρχουν µοναδικοί ακέραιοι αριθµοί c και d έτσι, ώστε a = bc + d και 0 d < b. Ο αλγόριθµος διαίρεσης είναι συνέπεια του γεγονότος ότι οι ϑετικοί ακέραιοι είναι καλά διατεταγµένοι. Για την απόδειξή του, παραπέµπουµε τον αναγνώστη στο [1]. Θα λέµε ότι ο b διαιρεί τον a αν d = 0 στον αλγόριθµο διαίρεσης και γράφουµε b a, διαφορετικά γράφουµε b a. Οι ϐασικές ιδιότητες της διαίρεσης είναι 1. Για κάθε a Z \ {0}, a a, a 0, 1 a και 1 a. 2. Αν c > 0 και a c, τότε c a. 3. Αν a b και a c, τότε a (bx + cy) για όλα τα x, y Z. Ως άµεση συνέπεια του Θεωρήµατος 1.1 και της παραπάνω ιδιότητας (3) έχου- µε το ακόλουθο σηµαντικό αποτέλεσµα. Για µια πλήρης απόδειξή του, παραπέµπουµε τον αναγνώστη στο [1]. Θεώρηµα 1.2 (Αλγόριθµος του Ευκλείδη) Εστω a, b Z και έστω τουλάχιστον ένας από τους a, b είναι διαφορετικός από το 0. Τότε, υπάρχει µοναδικός ακέραιος αριθµός c τέτοιος, ώστε c > 0, c a, c b και αν d a, d b, τότε d c. Ο µοναδικός ϕυσικός αριθµός c που προκύπτει από τον Θεώρηµα 1.2 ονο- µάζεται µέγιστος κοινός διαιρέτης των a και b και συµβολίζεται µκδ(a, b). Μερικές ϐασικές ιδιότητες του µέγιστου κοινού διαιρέτη 1. µκδ(a, b) = µκδ(b, a). 2. µκδ(a, 0) = a. 3. Αν a b και b c, τότε ab (c µκδ(a, b)). 4. µκδ(a, a + b) b. 5. Αν µκδ(a, m) = µκδ(b, m) = 1, τότε µκδ(ab, m) = 1. 6. Αν µκδ(a, b) = d, τότε a/d, b/d Z και µκδ(a/d, b/d) = 1. Εστω a 1,..., a n ακέραιοι αριθµοί από τους οποίους ένας τουλάχιστον είναι διαφορετικός από το 0. Συµβολίζουµε µε S το σύνολο των ϑετικών κοινών διαι- ϱετών των a 1,..., a n. Αφού το 1 S, το S είναι µη κενό. Αν a κ 0 και δ S, τότε δ a κ και έτσι, δ a κ. Συνεπώς, το S είναι πεπερασµένο σύνολο. Το µέγιστο στοιχείο του S είναι ένας ϑετικός ακέραιος που λέγεται µέγιστος

1.7. ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ 31 κοινός διαιρέτης των a 1,..., a n και συµβολίζεται µε µκδ(a 1,..., a n ). Παρατηρούµε ότι το σύνολο των ϑετικών διαιρετών του a Z είναι ίδιο µε αυτό του a. Συνεπώς, µκδ(a 1,..., a n ) = µκδ( a 1,..., a n ), δηλαδή, ο µέγιστος κοινός διαι- ϱέτης είναι ανεξάρτητος των προσήµων. Σηµειώνουµε ότι µκδ(0, a 1,..., a n ) = µκδ(a 1,..., a n ) και έτσι, µπορούµε να υποθέσουµε ότι κανένας από τους α- κέραιους a 1,..., a n δεν είναι 0. Αν µκδ(a 1,..., a n ) = 1, τότε οι ακέραιοι a 1,..., a n ονοµάζονται πρώτοι µεταξύ τους. Αν, επιπλέον, µκδ(a i, a j ) = 1, µε i j, τότε λέµε ότι οι a i, a j είναι πρώτοι µεταξύ τους ανά δύο. Είναι εύκολο να αποδειχθεί ότι αν a 1,..., a n είναι µη µηδενικοί ακέραιοι και d = µκδ(a 1,..., a n ), τότε υ- πάρχουν ακέραιοι κ 1,..., κ n έτσι, ώστε d = κ 1 a 1 +... + κ n a n. Εστω a 1,..., a n µη µηδενικοί ακέραιοι. Τότε, µπορούµε να δείξουµε, και αφήνεται ως άσκηση, ότι ο ϑετικός ακέραιοις d είναι ο µέγιστος κοινός διαιρέτης των a 1,..., a n αν και µόνο αν ισχύουν τα παρακάτω 1. d a 1,..., d a n και 2. Αν δ είναι ϑετικός ακέραιος µε δ a 1,..., δ a n, τότε δ d. Επιπλέον, αν d είναι ένας ϑετικός κοινός διαιρέτης των a 1,..., a n µε d = κ 1 a 1 +... + κ n a n, όπου κ 1,..., κ n Z, τότε d = µκδ(a 1,..., a n ). Να σηµειώσουµε ότι οι ακέραιοι a 1,..., a n είναι πρώτοι µεταξύ τους αν και µόνο αν υπάρχουν κ 1,..., κ n Z τέτοιοι, ώστε 1 = κ 1 a 1 +... + κ n a n. Ενας ϑετικός ακέραιος p > 1 ονοµάζεται πρώτος αν οι µόνοι ϑετικοί διαιρέτες του είναι οι ακέραιοι 1 και p. Ενας ϑετικός ακέραιος n ο οποίος δεν είναι πρώτος ονοµάζεται σύνθετος. Στην περίπτωση αυτή, υπάρχουν ακέραιοι κ, λ έτσι, ώστε n = κλ, 1 < κ λ < n. Λήµµα 1.5 Κάθε ϑετικός ακέραιος αριθµός 2 έχει τουλάχιστον έναν πρώτο διαιρέτη. Απόδειξη. Εστω a ένας ϑετικός ακέραιος 2 και a το σύνολο των ϑετικών διαιρετών δ του a. Επειδή a a, έχουµε ότι a και εποµένως, το a έχει ελάχιστο στοιχείο που το συµβολίζουµε µε p. Ισχυριζόµαστε ότι ο p είναι πρώτος. Υποθέτουµε ότι ο p είναι σύνθετος. Τότε, υπάρχουν κ, λ Z έτσι, ώστε p = κλ και 1 < κ λ < p. Ετσι, έχουµε ότι κ p και p a και άρα, κ a. Με άλλα λόγια, κ a και έτσι, κ < p, που είναι άτοπο. Εποµένως, ο ακέραιος p είναι πρώτος. Χρησιµοποιώντας το Λήµµα 1.5 αποδεικνύεται ότι υπάρχουν άπειροι πρώτοι αριθµοί. Το αποτέλεσµα αυτό αποδείχθηκε πρώτα από τον Ευκλείδη. Τέλος, διατυπώνουµε ένα από τα σηµαντικότερα αποτελέσµατα της στοιχειώδους Θεωρίας Αριθµών γνωστό ως Θεµελιώδες Θεώρηµα της Αριθµητικής (για µία απόδειξή του, δες, για παράδειγµα, [2]). Θεώρηµα 1.3 Κάθε ϑετικός ακέραιος αναλύεται σε γινόµενο πρώτων κατά ένα και µόνο τρόπο, αν παραβλέψουµε την τάξη των παραγόντων στο γινόµενο. Στην παρακάτω παρατήρηση-σχόλιο ϑα συνδυάσουµε τις έννοιες : «σχέση ισοδυναµίας» και «διαιρετότητα».

32 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΟΜΑ ΕΣ Παρατήρηση-Σχόλιο 1.1 (Ισοτιµίες) Εστω n ϕυσικός αριθµός, n 2. Ορίζουµε µία σχέση b (mod n) στο Z ως εξής : a b (mod n) αν και µόνο αν n (a b). Η έννοια αυτή εισήχθηκε από τον Gauss το 1801 και είναι ο ϑεµελιώδης λίθος των εννοιών (αριστερή ή δεξιά) πλευρική κλάση, (αριστερό ή δεξιό) σύστηµα αντιπροσώπων και οµάδα πηλίκο. Είναι εύκολο να δειχθεί ότι η (mod n) είναι σχέση ισοδυναµίας. Για να περιγράψουµε τις κλάσεις ισοδυναµίας ϑα αποδείξουµε ότι : a b (mod n) αν και µόνο αν οι a και b δίνουν το ίδιο υπόλοιπο όταν διαιρεθούν µε το n. Πράγµατι, έστω κ, λ, µ, ν Z έτσι, ώστε a = κn + µ, b = λn + ν, όπου 0 µ, ν < n. Προφανώς, n (a b) αν και µόνο αν n (µ ν). Επειδή µ ν < n, έχουµε ότι n (a b) αν και µόνο αν µ = ν. Για κάθε a Z συµβολίζουµε µε [a] n την κλάση ισοδυναµίας του a και την ονοµάζουµε κλάση ισοτιµίας του a (mod n). Προφανώς, a b (mod n) αν και µόνο αν [a] n = [b] n. Συµβολίζουµε µε Z n = Z/ (mod n) το σύνολο των κλάσεων ισοτιµίας (mod n). Από την παραπάνω παρατήρηση, έχουµε ότι Z n = {[0] n,..., [n 1] n }. Χρησιµοποιώντας τις ϐασικές ιδιότητες της διαιρετότητας είναι απλό να δείξου- µε ότι η σχέση ισοδυναµίας (mod n) είναι συµβιβαστή µε την πρόσθεση και τον πολλαπλασιασµό των ακέραιων αριθµών. Ετσι, στο σύνολο πηλίκο Z n ορίζονται οι πράξεις 1. [a] n + [b] n = [a + b] n και 2. [a] n [b] n = [ab] n για όλα τα [a] n, [b] n Z n. Πρόταση 1.6 Εστω [a] n Z n \ {[0] n }. Τότε, υπάρχει [b] n Z n τέτοιο, ώστε [a] n [b] n = [1] n αν και µόνο αν µκδ(a, n) = 1. Απόδειξη. Εστω [a] n Z n \ {[0] n } και υποθέτουµε ότι υπάρχει [b] n Z n έτσι, ώστε [a] n [b] n = [1] n. Άρα, ab 1 (mod n) και έτσι, ab 1 = κn για κάποιο κ Z. ηλαδή, ab + ( κ)n = 1 και εποµένως, µκδ(a, n) = 1. Αντίστροφα, αν µκδ(a, n) = 1, τότε υπάρχουν r, s Z έτσι, ώστε ar + ns = 1. Επειδή [1] n = [ar + ns] n = [ar] n + [ns] n = [ar] n = [a] n [r] n, έχουµε ότι [a] n [r] n = [1] n. Με άλλα λόγια, υπάρχει [r] n Z n έτσι, ώστε [a] n [r] n = [1] n. Συµβολίζουµε µε U n = U(Z n ) = {[a] n Z n : [a] n [b] n = [1] n για κάποιο [b] n Z n }. Είναι απλό να δείξουµε ότι U n είναι µία αβελιανή οµάδα. Αν ο n είναι p πρώτος, τότε U p = {[1] p,..., [p 1] p }. Χρησιµοποιώντας την αβελιανή οµάδα U p, ϑα δώσουµε µία ικανή και αναγκαία συνθήκη για το πότε ένας ϕυσικός αριθµός p είναι πρώτος. Το αποτέλεσµα αυτό είναι γνωστό στη ϐιβλιογραφία ως Θεώρηµα Wilson. Θεώρηµα 1.4 (Θεώρηµα Wilson) Ενας ακέραιος p > 1 είναι πρώτος αν και µόνο αν (p 1)! 1 (mod p).

1.7. ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ 33 Απόδειξη. Υποθέτουµε ότι ο p είναι πρώτος. Αν p = 2, η παραπάνω ισοτιµία αληθεύει και έτσι, υποθέτουµε ότι p > 2. Θυµίζουµε ότι [1] p,..., [p 1] p U p. ηλαδή, οι κλάσεις [1] p,..., [p 1] p έχουν αντίστροφο. Εστω κ N µε 2 κ p 1. Τότε, κ 2 1(modp) p (κ 1)(κ + 1). Επειδή ο p είναι πρώτος, p (κ 1) ή p (κ + 1). Επειδή κ p 1, έχουµε ότι p (κ 1). Επίσης, η σχέση p (κ + 1) είναι ισοδύναµη µε κ = p 1. Άρα, κ 2 1 (mod p) κ = p 1 και έτσι, [κ 2 ] p = [1] p κ = p 1. Συνεπώς, οι µοναδικές κλάσεις του U p που έχουν ως αντίστροφο στοιχείο τον εαυτό τους είναι οι κλάσεις [1] p και [p 1] p. Τότε, οι υπόλοιπες κλάσεις [2] p,..., [p 2] p χωρίζονται σε (p 3)/2 Ϲεύγη ([a] p, [b] p ) µε [a] p [b] p και [a] p [b] p = [1] p. Οπότε, [2] p... [p 2] p = [1] p, δηλαδή, 2... (p 2) 1 (mod p) και εποµένως, (p 1)! 1 (mod p). Αντίστροφα, υποθέτουµε ότι n είναι ϕυσικός > 1 και ότι ικανοποιεί την ισοτιµία (n 1)! 1 (mod n). Αν ο n είναι σύνθετος, τότε υπάρχει ϕυσικός διαιρέτης d του n, µε 1 < d < n. Οπότε, d (n 1)!. Καθώς d n και n (n 1)! + 1, έχουµε ότι d (n 1)! + 1. Τέλος, από τις σχέσεις d (n 1)! και d (n 1)! + 1, έχουµε ότι 1 < d 1 που είναι άτοπο και άρα, ο n είναι πρώτος. Εστω n ένας ϕυσικός, µε n 2, και a, b Z. Μία ισοτιµία της µορφής ax b (mod n), όπου x ακέραιος, ονοµάζεται γραµµική ισοτιµία. Θα λέµε ότι ο ακέραιος x 0 επαληθεύει την παραπάνω γραµµική ισοτιµία αν ax 0 b (mod n). Στην περίπτωση αυτή, λέµε ότι [x 0 ] n είναι µία λύση της γραµµικής ισοτιµίας. Πρόταση 1.7 1. Εστω µκδ(a, n) = 1. Τότε, η γραµµική ισοτιµία ax b (mod n) έχει ακριβώς µία λύση στο Z n. 2. Η γραµµική ισοτιµία ax b (mod n) έχει λύση αν και µόνο αν µκδ(a, n) b. Αν ο ακέραιος x 0 επαληθεύει τη γραµµική ισοτιµία, τότε υπάρχουν ακριβώς d = µκδ(a, n) λύσεις, οι x 0, x 0 + n d, x 0 + 2 n d,..., x 0 + (d 1) n d (mod n). Απόδειξη. 1. Επειδή ο µκδ(a, n) = 1, από την Πρόταση 1.6 έχουµε ότι η κλάση ισοδυναµίας [a] n είναι αντιστρέψιµη. Άρα, υπάρχει ακέραιος c έτσι, ώστε ac 1 (mod n). Πολλαπλασιάζοντας και τα δύο µέλη της γραµµικής ισοτιµίας µε c παίρνουµε x bc (mod n). Λόγω της µοναδικότητας του αντιστρόφου, η [bc] n είναι η µοναδική λύση. 2. Θέτουµε d = µκδ(a, n). Εστω x 0 ακέραιος τέτοιος, ώστε ax 0 b (mod n). Υπάρχει c Z έτσι, ώστε ax 0 b = cn. Καθώς d a και d n παίρνουµε d b. Αντίστροφα, υποθέτουµε ότι d b. Τότε, b d Z. Παρατηρούµε ότι ένας