Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ η κατηγορία: ΕΥΡΕΣΗ ΠΕΔΙΟΥ ΟΡΙΣΜΟΥ Για να βρούμε το πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης, αρκεί να βρούμε τις τιμές του χ για τις οποίες ορίζονται οι πράξεις που αναγράφονται στο τύπο της συνάρτησης Για το λόγο αυτό χρησιμοποιούμε τον παρακάτω πίνακα: Πίνακας περιορισμών ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΙ ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ f( 0 Δεν υπάρχουν A f ( g( 0 g( f ( f ( g( g( 0 ln g( g( 0 A / g( 0 A / g( 0 A / g( 0 f ( g( e g( A / g( f ( g f ( συνg g( A / g( g( A / g( f ( g g κπ, κ π A / g, κ f ( σφg g, κ A / g, κ Να βρείτε το πεδίο ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων: α f( β f( δ f( ε f( 8 γ f( (Απ α,β {, }, γ [,0 (0,,
δ [, ε {,0,} Να βρείτε το πεδίο ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων: α f ( β f ( 7 6 γ f ( δ f στ ε f ( 0 f ( (Απ α δ (, 5] [, ε /,, {,6 },β[,+, γ [,0 (0,], στ,, Να βρείτε το πεδίο ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων : α f β f( γ f( 5 δ f( ( ε f( 7 στ f( ζ f( η f ( θ f( (Απ α 5,,β, γ /, 6,,,,0 δ (, ] [,,, ε στ 5 ζ /,,, 6 6 η,,, θ Δίνεται η συνάρτηση f(, Να βρεθούν οι τιμές του πραγματικού αριθμού λ, για τις οποίες η f έχει πεδίο ορισμού το (Απ:, 5 Για τις διάφορες τιμές του πραγματικού αριθμού λ, να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f( 5, 6 Δίνεται η σχέση f(, τις οποίες η f είναι συνάρτηση Να βρεθούν οι τιμές του ακεραίου λ, για (Απ: 0
7 Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f( 5 5 5 5 (Απ (,,, 8 Δίνεται η σχέση f( τις οποίες η f είναι συνάρτηση ln(, Να βρείτε τις τιμές του ακεραίου λ, για (Απ - 9 Δίνεται η συνάρτηση f( Να βρείτε τις τιμές του, για τις οποίες η f έχει πεδίο ορισμού το 0 Να βρείτε τις τιμές του λ, για τις οποίες η συνάρτηση πεδίο ορισμού το f( (Απ (, έχει (Απ (, Για τις διάφορες τιμές του λ, να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f( Να βρείτε τις τιμές του πραγματικόυ αριθμού α για τις οποίες η συνάρτηση f( έχει πεδίο ορισμού το Να βρείτε τις τιμές του πραγματικού αριθμού λ για τις οποίες η συνάρτηση f ( έχει πεδίο ορισμού το διάστημα, (Απ (Απ 5 Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει συνάρτηση f: για την οποία να ισχύει η σχέση f f,
η Κατηγορία: ΙΣΟΤΗΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Αν τα πεδία ορισμού A f,agτων συναρτήσεων f,g είναι ίσα, τότε αποδεικνύουμε ότι και οι τύποι τους είναι ίσοι, δηλαδή f Αν Af Ag g, τότε βρίσκουμε το σύνολο A Af Ag και στ περίπτωση που είναι A, εξετάζουμε αν f g 6 Να εξετάσετε αν οι παρακάτω συναρτήσεις είναι ίσες Αν όχι, να βρεθεί το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο στο οποίο μπορεί να είναι ίσες α f( β f( γ f( δ f( (Απ α 7 Δίνονται οι συναρτήσεις f( και g( ( Να βρείτε το ώστε f g 8 Να βρείτε τα ώστε οι συναρτήσεις g( (, να είναι ίσες f( και { },β [,,γ [, 9 Να εξετάσετε αν οι παρακάτω συναρτήσεις είναι ίσες Αν όχι, να βρείτε το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο στο οποίο μπορεί να είναι ίσες α f( β f( γ f( δ ε f( 5 5 6 f( (Απ α δ ίσες (Απ (Απ, { },β [0,,γ [0, δ ίσες, ε {0, }
0 Να βρεθούν τα διαστήματα στα οποία είναι ίσες οι συναρτήσεις f( και g( (Απ [-,] Να βρεθούν τα διαστήματα στα οποία είναι ίσες οι συναρτήσεις f( και g( (Απ, Δίνονται οι συναρτήσεις f: και, Να αποδειχθεί ότι η συνάρτηση φ δεν μπορεί να είναι η μηδενική συνάρτηση και g( Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό λ για τον οποίο οι συναρτήσεις f,g είναι ίσες Δίνονται οι συναρτήσεις f η Κατηγορία: ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ (Απ Για να ορίσουμε τις συναρτήσεις f g, f g, fg βρίσκουμε το σύνολο f g και αν A, βρίσκουμε και τον αντίστοιχο τύπο Για την συνάρτηση f g εκτός από τα προηγούμενα απαιτούμε και g( 0 Δίνονται οι συναρτήσεις f και g f g,f g,fg Να βρείτε τις συναρτήσεις (Απ (f g(, (fg( 5, 6 f( 5 Έστω οι συναρτήσεις 7, 6 0 Να ορίσετε την συνάρτηση f g και, 7 g(, 7 9 (Απ f g 5,,6 7 6, [6,7 5, [7,9] 6 Έστω οι συναρτήσεις f,g: Να αποδειχθεί ότι: α Αν f, g άρτιες, τότε οι συναρτήσεις f g, f g είναι άρτιες β Αν f, g περιττές, τότε η συνάρτηση f g είναι περιττή, ενώ η f g είναι άρτια 5
9 7 Δίνονται οι συναρτήσεις f( Να βρείτε τις συναρτήσεις : f g f g, f g και g( 6 (Απ (f g( 8 6, (fg( 6, f g 8 Δίνονται οι συναρτήσεις f( και g( 6 Να ορίσετε τις συναρτήσεις f+ g,f- g,f g, f, g g f 9 Δίνονται οι συναρτήσεις συναρτήσεις (Απ f( f f g,, f g g (f g( 6 f g και g( Να βρεθούν οι, ( (,f g 8 7 0 Δίνονται οι συναρτήσεις f( και f g, f g και f g (Απ: fg, g( Να βρείτε τις συναρτήσεις f g, fg,, 0 5 Δίνονται οι συναρτήσεις: f( και g(, 6, 5 0 Να βρεθεί η συνάρτηση f g, 0, (Απ: f g 0,,5, 5,6 Δίνονται οι συναρτήσεις:, 0 f( 5, 8 Να βρείτε τη συνάρτηση f g και g(, 5,, 0, (Απ: f g 5,, 9,,8 6
Έστω οι συναρτήσεις f, g με πεδίο ορισμού ένα σύνολο A για τις οποίες ισχύει: f( f( g( g( f( g( 8 για κάθε A Να αποδειχθεί ότι: f g η Κατηγορία: ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Σημεία τομής Για να βρούμε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης f με: - τον άξονα : Θέτουμε f 0 Έστω,,,k οι λύσεις της εξίσωσης Τα ζητούμενα σημεία είναι τα:,0,,0,, k,0 (αν γίνεται και βρίσκουμε το f0 Το ζητούμενο σημείο (αν υπάρχει είναι το 0,f 0 - τον άξονα : Θέτουμε 0 - τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης g: Λύνουμε την εξίσωση f g έστω,,,k οι λύσεις της εξίσωσης Τα ζητούμενα σημεία είναι τα: f g,,,,, k, k, όπου Σχετική θέση γραφικών παραστάσεων και - Η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω ή κάτω από τον, όταν αντίστοιχα f 0 f 0 ή Η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω ή κάτω από την γραφική παράσταση f g f g μιας συνάρτησης g, όταν ή αντίστοιχα Να βρείτε τα σημεία στα οποία οι γραφικές παραστάσεις των παρακάτω συναρτήσεων τέμνουν τους άξονες α f β f γ f δ f 8 ε f στ f (Απ: α(0,-,(,0 β(0,-,(,0,(-,0,γ(0,,(-,0 δ(0,-8,(-,0,(,0,ε(,0,στ(0, 5 Να βρείτε τα σημεία τομής των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f( και g( (Απ: (0,-,(,0 7
6 Να βρεθούν οι τιμές του για τις οποίες η γραφική παράσταση της συνάρτησης f 5 6 βρίσκεται πάνω από τον άξονα των (Απ:,, 7 Να βρεθούν οι τιμές του για τις οποίες η γραφική παράσταση της συνάρτησης 6 5 f(, βρίσκεται κάτω από τον άξονα 0 (Απ:, 8 Να βρείτε το διάστημα στο οποίο η γραφική παράσταση της συνάρτησης f, βρίσκεται πάνω από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης g (Απ:, 9 Να βρείτε τις τιμές του ώστε η γραφική παράσταση της f, να βρίσκεται πάνω από την γραφική παράσταση της g, αν : και g 6 β f( και g 9 9 (Απ: α,,,β,,, α f 5 0 Δίνεται η συνάρτηση f: για την οποία ισχύει: f ( f ( f(, για κάθε Να αποδειχθεί ότι η C f βρίσκεται πάνω από τον άξονα Δίνεται η συνάρτηση f: για την οποία ισχύει: f ( f ( 5 f (, για κάθε Να αποδείξετε ότι η C βρίσκεται κάτω από τον άξονα f Να βρείτε το λ, ώστε το σημείο που δίνεται κάθε φορά να ανήκει στη γραφική παράσταση της συνάρτησης: α f A, β f (Απ: α 7,β Δίνονται οι συναρτήσεις f γραφικές παραστάσεις τέμνονται στον άξονα α Να αποδείξετε ότι και g,, των οποίων οι 8
β Να βρείτε τις τιμές του, για τις οποίες η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τη γραφική παράσταση της g (Απ: β 0, Να βρείτε τα, ώστε οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f( και g( να τέμνονται επί των ευθειών και (Απ:, 0 5 Δίνεται η συνάρτηση f Να βρεθούν τα ώστε η C f να διέρχεται από τα σημεία A,5 και B,7 (Απ:, 6 Δίνεται η συνάρτηση f(, διέρχεται από τα σημεία A, και B,, της οποίας η γραφική παράσταση α Να αποδείξετε ότι και β Να βρείτε το σημείο τομής της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα γ Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον άξονα δνα βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με την ευθεία = 5 (Απ: β(6,0,γ,,δ,,, 7 Δίνονται οι συναρτήσεις f( και,, των οποίων οι γραφικές παραστάσεις τέμνονται επί των ευθειών και α Να αποδείξετε ότι και β Να βρείτε τις τιμές του, για τις οποίες η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από την γραφική παράσταση της g g γ Να λύσετε την εξίσωση δ Να βρείτε τα σημεία στα οποία οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f και g τέμνουν τους άξονες (Απ: β,,γ 8 Δίνονται οι συναρτήσεις f( και,, των οποίων οι γραφικές παραστάσεις τέμνονται επί των ευθειών και α Να αποδείξετε ότι α= και β= 9
β Να βρείτε τις τιμές του, για τις οποίες η Cf βρίσκεται πάνω από τη C g (Απ:(, 9 Να κάνετε τη γραφική παράσταση των παρακάτω συναρτήσεων: α f( β g( γ h( δ f( και από τη γραφική παράσταση να προσδιορίσετε το σύνολο τιμών τους 50 Να κάνετε τη γραφική παράσταση των παρακάτω συναρτήσεων:, 0 α f( β f( γ f(, 0, 0, 0, 0 δ f( ε f( στ f (,0, 0, 0, και από τη γραφική παράσταση να προσδιορίσετε το σύνολο τιμών τους 5 Να κάνετε τη γραφική παράσταση των παρακάτω συναρτήσεων:, α f( β f(,, 0, 0 γ f( δ f (,0, και από τη γραφική παράσταση να προσδιορίσετε το σύνολο τιμών τους 5 Έστω η συνάρτηση f, Να παραστήσετε γραφικά τις παρακάτω συναρτήσεις: f f α β f f γ f f δ f f ε f f στ f f 5 Έστω η συνάρτηση f συναρτήσεις: f f 5 6, Να παραστήσετε γραφικά τις παρακάτω α β f f γ f f δ f f ε f f στ 6 f f 6 0
5 Δίνονται οι συναρτήσεις f,g:, για τις οποίες ισχύει: f ( g(, Να βρείτε τη σχετική θέση των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f,g 55 Δίνονται οι συναρτήσεις f,g: για τις οποίες ισχύει f( g(, για κάθε Να βρεθεί η σχετική θέση των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f και g 56 Έστω οι συναρτήσεις f( και g, α Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της g περνά από σταθερό σημείο για κάθε β Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των f,g έχουν κοινά σημεία για κάθε γνα βρείτε τον πραγματικό αριθμό λ για τον οποίο οι γραφικές παραστάσεις των f,g εφάπτονται,,γ (Απ: α 57 Δίνεται η συνάρτηση f( Υπάρχουν σταθερά σημεία στο επίπεδο έτσι ώστε η Cf να περνάει από αυτά για κάθε ; (Απ:,,, 58 Δίνονται τρεις συναρτήσεις f,g,h ορισμένες σε ένα σύνολο Α για τις οποίες ισχύει: fg h, gh f hf g για και AΝα αποδείξετε ότι f g h κάθε, A
59 Στο διπλανό σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης fνα βρείτε: i Το πεδίο ορισμού της ii Το σύνολο τιμών της f, f iii Τις τιμές f0, iv Να λύσετε την εξίσωση f 0 v Να λύσετε την ανίσωση f 0 - - - - O - - - - 60 Στο διπλανό σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f Να βρείτε: i Το πεδίο ορισμού της ii Το σύνολο τιμών της f 0, f f iii Τις τιμές, iv Να λύσετε την εξίσωση f 0 v Να λύσετε την εξίσωση f vi Να λύσετε την ανίσωση f 0 vii Να λύσετε την ανίσωση f viii Να λύσετε την ανίσωση f - - - - O - - - - (Απ i D f,,ii, i =- ή =, vi <- ή <, viii,,
6 Στο διπλανό σχήμα, δίνεται η γραφική παράσταση μίας συνάρτησης f α Να βρεθεί το πεδίο ορισμού και το σύνολο τιμών της f β Να υπολογίσετε το f(0 γ Να λυθεί η ανίσωση f( 0 δ Να λυθεί η εξίσωση f( 0 C f - 0 - - 5 (Απ α D,5, f ( A [,],β -, γ <- ή < f 5, δ =- ή = 6 Στο διπλανό σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση μίας συνάρτησης f Α Να λυθούν οι ανισώσεις: α f( β f( Β Να λυθεί η εξίσωση: f ( f( - - = = - Α 0-5 7 9 C f 6 Στο διπλανό σχήμα δίνονται οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f, g Να λυθεί: α Η εξίσωση f( g( β Η ανίσωση f( g( Α - 0 C f C g 6 Στο διπλανό σχήμα δίνονται οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f, g Α Να λυθούν οι εξισώσεις: f( f( g( g( g( g( α β f( g( f( g( g( Β Να λυθεί η ανίσωση: g(f( g( f( 8 0 C f Β Α C g 0 5
γ Cf 65 Στο διπλανό σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης f( Να βρείτε τα α, β, γ - 0 α β (Απ:,, 66 Στο διπλανό σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση μίας συνάρτησης f Να βρείτε το πλήθος των λύσεων της εξίσωσης: f(, - - 0,5 - - 0-5 7 C f 67 Στο διπλανό σχήμα δίνονται οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f, g α Να λύσετε την εξίσωση f ( g ( 6 f( g( β Να λύσετε την ανίσωση f(g( f( 6g( 8 0 6-0 5 C g C f (Απ α =-,β (-,- (5,+