ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΕΠΙ ΟΣΕΩΝ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΚΑΝΑΛΙΩΝ & ΟΡΙΑ ΤΗΣ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑΣ ΑΥΤΩΝ

ΕΙΣ. ΣΥΣΤ. ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ 011-1 16/1/011 9:45:1 µµ ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΕΠΙ ΟΣΕΩΝ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΚΑΝΑΛΙΩΝ & ΟΡΙΑ ΤΗΣ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑΣ ΑΥΤΩΝ ΑΠΑΙΤΗΣΕΙΣ ΣΕ ΕΥΡΟΣ ΖΩΝΗΣ ΤΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΙΑΒΙΒΑΣΗΣ ΙΑΚΡΙΤΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ Η ΣΧΕΣΗ ΜΕΤΑΞΥ ΕΥΡΟΥΣ ΖΩΝΗΣ, B c ΚΑΙ ΡΥΘΜΟΥ ΣΥΜΒΟΛΩΝ R ΓΙΑ ΤΑ ΙΑΦΟΡΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΊΝΑΙ: 1. PAM ΒΑΣ. ΖΩΝΗΣ: R=B c. PAM ΜΕ ΙΑΜΟΡΦ. (ASK): R=B c 3. PSK,QAM: R=B c 4. MFSK-Coh: B c =MR/ M 8 5. MFSK N-Coh: B c =MR M 8 sagri@di.uoa.gr 1

ΕΙΣ. ΣΥΣΤ. ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ 011-1 16/1/011 9:45:1 µµ ΑΠΑΙΤΗΣΕΙΣ ΣΕ ΕΥΡΟΣ ΖΩΝΗΣ ΤΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΙΑΒΙΒΑΣΗΣ ΙΑΚΡΙΤΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ Επειδή σε ένα σύστηµα µε Μσύµβολα ισχύει: R b =log (M)R Προκύπτει εύκολα η τιµή του πηλίκου R b /B c για ένα Μιαδικό Σύστηµα. 1. PAM ΒΑΣ. ΖΩΝΗΣ: R b /B c =log (M). PAM ΜΕ ΙΑΜΟΡΦ. (ASK): R b /B c =log (M) 3. PSK,QAM: R b /B c =log (M) 4. MFSK-Coh: R b /B c =log (M)/M M 8 5. MFSK N-Coh: R b /B c =log (M) /M M 8 Επίσης θυµηθείτε τη σχέση µεταξύ της πιθανότητα σφάλµατος ανά bit, P b και της πιθανότητας σφάλµατος ανά σύµβολο, P e. Στα Μ-PAM, M-PSK και Μ-QAM,στα οποία τα σύµβολα του αστερισµού απέχουν άνισες αποστάσεις µεταξύ τους, χρησιµοποιείται κώδικας Gray στην απεικόνιση των τιµών των bits στα σύµβολα του αστερισµού και επιτυγχάνεται η σχέση: P b =P e /k, k=log (M). Στα Ορθογώνια όµως Μ-δικά συστήµατα τα σύµβολα όλα ισαπέχουν, ο κώδικας Gray ωφελεί να εφαρµοστεί και ισχύει: P b =P e / sagri@di.uoa.gr

ΕΙΣ. ΣΥΣΤ. ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ 011-1 16/1/011 9:45:1 µµ ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΕΠΙ ΟΣΕΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΤΟΝ Ι ΙΟ ΑΡΙΘΜΟ ΣΥΜΒΟΛΩΝ ΟΤΑΝ Ο ΘΟΡΥΒΟΣ ΣΤΗΝ ΕΞΟ Ο ΕΙΝΑΙ ΛΕΥΚΟΣ GAUSSIAN Η σύγκριση των επιδόσεων δύο συστηµάτων ως προς την πιθανότητα σφάλµατος γίνεται εύκολα όταν έχουµε τους αναλυτικούς τύπους των πιθανοτήτων: Παράδειγµα Χρησιµοποιείστε τους τύπους του M-PSK και του Μ-PAM για να συγκρίνετε ως προς την πιθανότητα σφάλµατος ένα QPSK µε ένα 4-PAM. Οι δύο µαθ. τύποι είναι: P 4 PAM 4-PAM 3 E av 4PAM = Q 5N 0 P 4 PSK QPSK E av QPSK = Q N 0 Αν θεωρήσουµε αµελητέα τη διαφορά µεταξύ των 3/ και τότε για να έχουµε την ίδια πιθανότητα σφάλµατος αρκεί να επιλεγεί: Ε άν-qpsk =E av-4pam /5 ηλαδή τα δύο αυτά συστήµατα για να έχουν την ίδια πιθανότητα σφάλµατος πρέπει Ε av 4PAM =.5E av QPSK. sagri@di.uoa.gr 3

ΕΙΣ. ΣΥΣΤ. ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ 011-1 16/1/011 9:45:1 µµ ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΕΠΙ ΟΣΕΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΤΟΝ Ι ΙΟ ΑΡΙΘΜΟ ΣΥΜΒΟΛΩΝ ΟΤΑΝ Ο ΘΟΡΥΒΟΣ ΣΤΗΝ ΕΞΟ Ο ΕΙΝΑΙ ΛΕΥΚΟΣ GAUSSIAN Λόγω του ότι ο θόρυβος είναι προσθετικός και η φώραση γίνεται µε βάση την αρχή της ελάχιστης απόστασης, µπορούµε να αντιληφθούµε ότι τα σύµβολα του αστερισµού µε την µικρότερη απόσταση αποτελούν τον αδύναµο κρίκο του αστερισµού. ηλαδή για τα σύµβολα αυτά η υποσυνθήκη πιθανότητα να συµβεί λάθος είναι πολύ αυξηµένη Για παράδειγµα, ο αστερισµός A1 υστερεί του γνωστού QPSK αστερισµού,που έχει την ίδια µέση ενέργεια ανά σύµβολο, λόγω της µικρής απόστασης των s 1 και s Α1 Αστερ. QPSK s s 1 s s 1 s 3 s 4 s 3 s 4 sagri@di.uoa.gr 4

ΕΙΣ. ΣΥΣΤ. ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ 011-1 16/1/011 9:45:1 µµ Ένας εύκολος τρόπος λοιπόν, για να συγκρίνουµε τις επιδόσεις δύο αστερισµών, είναι να υπολογίσουµε το λόγο d E min av για κάθε αστερισµό και αυτός που παρουσιάζει την µεγαλύτερη τιµή του λόγου αυτού έχει τις καλύτερες επιδόσεις. Παράδειγµα Να συγκρίνετε ως προς την πιθανότητα σφάλµατος ένα QPSK µε ένα 4-PAMχρησιµοποιώντας τους αστερισµούς των συστηµάτων αυτών. ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΕΠΙ ΟΣΕΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 4-PAM και QPSK 1. Για 4-PAM -3Α -Α Α 3Α d 1. Για QPSK min 4A E = 1 9A + A + A + 9A = 5A 4 = av ( ) ( dmin Eav) 4 PAM = 4 5 E av d min d min = R ( dmin Eav) Eav = R 4 PSK = sagri@di.uoa.gr 5

ΕΙΣ. ΣΥΣΤ. ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ 011-1 16/1/011 9:45:1 µµ ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΕΠΙ ΟΣΕΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 4-PAM και QPSK Τα δύο αυτά συστήµατα για να έχουν τον ίδιο λόγω δείκτη πρέπει να παρουσιάζουν Ε av4pam =.5E av QPSK. ηλαδή φτάνουµε στο ίδιο συµπέρασµα, όπως και όταν χρησιµοποιήσαµε τους µαθηµατικούς της πιθανότητας σφάλµατος. Παράδειγµα Να συγκρίνετε ως προς την πιθανότητα σφάλµατος δύο τετραδικά συστήµατα επικοινωνιών. 1 d min = 4A ( min av) ΑΣΤ. 1 1 Eav d E = = A ΑΣΤ. = + Eav = ( A1 + A1 + A + A ) = ( A1 + A ) d A A min 1 1 4 ( min av) d E = ηλαδή τα δύο συστήµατα πρέπει να παρουσιάζουν τις ίδιες επιδόσεις ως προς τη σχέση P e =f(ε b ) sagri@di.uoa.gr 6

ΕΙΣ. ΣΥΣΤ. ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ 011-1 16/1/011 9:45:1 µµ Για τους πιο κάτω αστερισµούς υπολογίζονται εύκολα οι αντίστοιχες τιµές των λόγων 1 3 ( min av) d E = 0.67 1 d min = ( min av) d E = 0.59 3 ( ) d E = 0.67 ( ) d E = 0.85 min av min av 4 4 Οπότε για την ίδια πιαθανότητα σφάλµατος πρέπει Ε 3 >Ε =Ε 1 >Ε 4 ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΕΠΙ ΟΣΕΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΤΟΝ ΙΑΦΟΡΕΤΙΚΟ ΑΡΙΘΜΟ ΣΥΜΒΟΛΩΝ ΟΤΑΝ Ο ΘΟΡΥΒΟΣ ΣΤΗΝ ΕΞΟ Ο ΕΙΝΑΙ ΛΕΥΚΟΣ GAUSSIAN Στην περίπτωση αυτή η σύγκριση µπορεί να γίνει χρησιµοποιώντας το λόγο: d E min bav Παράδειγµα Να συγκρίνετε ως προς την πιθανότητα σφάλµατος ένα 8- FSK µε ένα QPSK και ένα Β-PSK (όλα σύµφωνα συστήµατα). sagri@di.uoa.gr 7

ΕΙΣ. ΣΥΣΤ. ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ 011-1 16/1/011 9:45:1 µµ -Α +Α B-PSK ( d Ebav) min = 4 B PSK 4-PSK E av d min ( dmin Ebav) 4 PSK = 4 8-FSK Τα σύµβολα του αστερισµού είναι: s s s 1 8 = = = T ( Eav,0,0,0,0,0,0,0) ( 0, E,0,0,0,0,0,0) av ( 0,0,0,0,0,0,0, E ) T Παρατηρείστε ότι στο σύστηµα αυτό η απόσταση µεταξύ οποιουδήποτε ζεύγους συµβόλων του αστερισµού έχει τιµή ίση µε τη σταθερή ποσότητα Ε av. Για παράδειγµα η απόσταση d ij = s i -s j 8 ij = si s j = k= 1 av ( sik s jk) = Eav d T sagri@di.uoa.gr 8

ΕΙΣ. ΣΥΣΤ. ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ 011-1 16/1/011 9:45:1 µµ Εποµένως: dmin = Eav = 6Ebav Και τελικά ( d ) 6 min E bav = 8 FSK Από τα πιο πάνω προκύπτει ότι τα τρία συστήµατα για να παρουσιάζουν την ίδια πιθανότητα σφάλµατος οι λόγοι ενεργειών ανά bit πρέπει να είναι: Eb BPSK Eb QPSK = 1 Eb BPSK Eb 8 FSK = 1.5 ΓΡΑΦΗΜΑ ΓΙΑ ΤΗ ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΤΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΙΑΒΙΒΑΣΗΣ ΙΑΚΡΙΤΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ Στο διάγραµµα αυτό δίνονται για τα πιο γνωστά συστήµατα για P e =10-5 οι απαιτήσεις σε Εύρος Ζώνης (R b /B c )και ισχύ (Ε b /N 0 ) Μπορείτε να διαπιστώσετε ότι εν γένει όσο µικρότερη ισχύ απαιτεί ένα σύστηµα τόσο µεγαλύτερο Εύρος Ζώνης χρειάζεται για να λειτουργήσει. Ειδικότερα, στο διάγραµµα αυτό µπορείτε να διακρίνετε δύο περιοχές µε συστήµατα που παρουσιάζουν διαφορετική συµπεριφορά. sagri@di.uoa.gr 9

ΕΙΣ. ΣΥΣΤ. ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ 011-1 16/1/011 9:45:1 µµ Περιοχή Περιορισµένου Εύρους-Ζώνης στην οποία ισχύει R b /B c >1 Περιοχή Περιορισµένης Ισχύος στην οποία ισχύει R b /B c <1 Στην περιοχή περιορισµένου Εύρους-Ζώνης βρίσκουµε τα µονοδιάστατα και δυδιάστατα (µιγαδικά) συστήµατα, τα οποία εν γένει επιτυγχάνουν να διαβιβάζουν περισσότερα από 1 bit/sec για κάθε διαθέσιµο Hz Εύρους-Ζώνης. Στην περιοχή περιορισµένης ισχύος βρίσκουµε τα πολυδιάστατα ορθογώνια συστήµατα, όπως το σύµφωνο (και το ασύµφωνο PSK), τα οποία για κάθε bit/secπου διαβιβάζουν απαιτούν πολλαπλάσια HzΕύρους-Ζώνης. Αντίθετα η απαίτησης ισχύος στα συστήµατα της πρώτης περιοχής είναι πολύ µεγαλύτερη από αυτή της δεύτερης. Ειδικά για τα ορθογώνια συστήµατα, όσο αυξάνει το πλήθος των συµβόλων του αστερισµού Μ, τόσο ελαττώνεται η απαιτούµενη ισχύς. Το γεγονός αυτό µας οδηγεί να αναρωτηθούµε αν στα συστήµατα αυτά αυξάνοντας το Μπρος το άπειρο µήπως πετυχαίνουµε τη διαβίβαση δεδοµένων µε ισχύ που τείνει στο µηδέν. Όπως θα διαπιστώσουµε,όµως,µετά από µερικές διαφάνειες όταν το Μ τείνει στο άπειρο τότε το (E b /N 0 ) db τείνει στην τιµή -1.6 db ή ισοδύναµα το E b /N 0 τείνει στο ln() Η τιµή αυτή καλείται Όριο Shannon sagri@di.uoa.gr 10

ΕΙΣ. ΣΥΣΤ. ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ 011-1 16/1/011 9:45:1 µµ ΧΩΡΗΤΙΚΟΤΗΤΑ ΙΑΚΡΙΤΟΥ ΚΑΝΑΛΙΟΥ Θεωρήστε ένα διακριτό κανάλι µε ρυθµό διαβίβασης δυαδικών δεδοµένων R b και αντίστοιχη πιθανότητα σφάλµατος P b. Στη Θεωρία Πληροφορίας αποδεικνύεται ότι αν επιλεγεί να χρησιµοποιηθεί ένας αρκούντως ισχυρός κώδικας καναλιού σε ένα τέτοιο κανάλι, γίνεται δυνατόν να διαβιβαστούν µέσα από αυτό πληροφορία µε µέγιστο ρυθµό C και µε πιθανότητα σφάλµατος όσο µικρή επιθυµούµε. H τιµή αυτή του ρυθµού αξιόπιστης διαβίβασης δεδοµένων, C, αποτελεί σταθερά του δεδοµένου διακριτού καναλιού, και καλείται Χωρητικότητα Καναλιού (Channel Capacity). Η χωρητικότητα του καναλιού Cείναι τόσο µικρότερη από το ρυθµό διαβίβασης του καναλιού R b όσο µεγαλύτερη είναι η P b Για παράδειγµα για ένα κανάλι µε αντίποδα σύµβολα ο λόγος C/R b για διαφορετικές τιµές της P b P b 0.5 0. 0.1 10-10 -3 10-5 C/R b 0 0.871 0.5310 0.919 0.9886 0.9998 Από το παράδειγµα αυτό συµπεραίνουµε ότι για πολύ µικρές τιµές της πιθανότητας σφάλµατος ισχύει C/R b =1. Στο διάγραµµα λοιπόν Σύγκρισης των Συστηµάτων µπορούµε να δεχθούµε ότι ισχύει R b /B c =C/B c sagri@di.uoa.gr 11

ΕΙΣ. ΣΥΣΤ. ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ 011-1 16/1/011 9:45:1 µµ ΘΕΩΡΗΜΑ των Shannon Hartley: Θεωρείστε ένα ηλεκτρικό κανάλι µε Εύρος-Ζώνης Β c µε προσθετικό λευκό Gaussian θόρυβο. Όποια τεχνική κα αν χρησιµοποιηθεί για την υλοποίηση ενός διακριτού καναλιού αυτό θα έχει χωρητικότητα C µικρότερη από: Θεώρηµα Shannon Hartley: C Β c log [1+P R /N] όπου P R /N το πηλίκο σήµα προς θόρυβο στην είσοδο του δέκτη. Αξίζει να δούµε την εξίσωση του πιο πάνω θεωρήµατος να χαράσσεται σε ένα διάγραµµα σαν αυτό στο γράφηµα σύγκρισης διαστηµάτων µε άξονες (Ε b /N 0 ) db και C/B c R b /B c Για το σκοπό αυτό θέτουµε: N=Β c N 0, P R =ε b R b =ε b C Οπότε C/Β c =log [1+(C/B c )(ε b /N 0 )] ή C B E c b 1 = N C B 0 Την τελευταία σχέση χαράσσουµε στο ίδιο διάγραµµα µε αυτό της σύγκρισης των συστηµάτων, στο οποίο έχουµε αντικαταστήσει το R b /B c µε C/B c c sagri@di.uoa.gr 1

ΕΙΣ. ΣΥΣΤ. ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ 011-1 16/1/011 9:45:1 µµ Στο διάγραµµα αυτό µε ερυθρό χρώµα έχει χαραχθεί η σχέση που προέκυψε από το Θεώρηµα των Shannon Hartley. Σύµφωνα µε το θεώρηµα αυτό κανένα διακριτό κανάλι δεν µπορεί να υλοποιηθεί, το οποίο θα έχει επιδόσεις που θα το τοποθετούν αριστερά από την καµπύλη αυτή. Μπορείτε να παρατηρήσετε ότι η καµπύλη που καθορίζει τα όρια επιδόσεων ενός υλοποιήσιµου συστήµατος, για C/B c 0 (δηλαδή για B c άπειρο), γίνεται ασύµπτωτος του ορίουτης (E b /N 0 ) db =-1.6 db που έχουµε ήδη αναφέρει νωρίτερα. Η ελάχιστη αυτή τιµή του απαιτούµενου (E b /N 0 ) db καλείται Οριο Shannon Η συµπεριφορά αυτή της οριακής καµπύλης µπορούσε να προβλεφθεί και από την εξίσωσή της λαµβάνοντα το όριο του C/B c 0 C Bc C Bc E b 1 E b 1 = lim = lim = ln() N0 C Bc C Bc 0 N0 C Bc 0 C Bc Και ισχύει ln() db =-1.6 db sagri@di.uoa.gr 13

ΕΙΣ. ΣΥΣΤ. ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ 011-1 16/1/011 9:45:1 µµ Παραδείγµατα Εφαρµογής του ιαγράµµατος Σύγκρισης των Συστηµάτων 1.Αν διαθέτουµε ένα κανάλι µε Εύρος Ζώνης, B C =απεριόριστο, και Φασµατική ισχύ Θορύβου Ν 0 /=10-8 Watt/Hz καθώς και δυνατότητα εξασφάλισης της Ισχύος Λήψης στη είσοδο του δέκτη, P R = mwatt, πόση είναι η θεωρητικά µεγαλύτερη τιµή που µπορεί να λάβει ο ρυθµός διαβίβασης δυαδικών δεδοµένων R b ; Απάντηση (Ε b /N 0 ) =[P R /(R b N 0 )] db R b =P R /N 0 /(Ε b /N 0 ) Στην πιο πάνω σχέση γίνεται φανερό ότι για να αυξηθεί το R b πρέπει να βρούµε Τηλπ. Σύστηµα µε όλο και µικρότερο Ε b /N 0. Είναι γνωστό ότι για κάθε υλοποιήσιµο Τηλ. Σύστηµα ισχύει(ε b /N 0 )>=ln Εποµένως R b <=P R /N 0 /ln R b < =*10-3 /(*10-8 )/ln)=145 10 3 R b <=145 Kbits/sec ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ Οι διαφάνειες του αρχείου αυτού καλύπτουν την ύλη που περιέχεται στο βιβλίο του J. Proaki στις παραγράφους: $ 7.6.10 & 9.3 sagri@di.uoa.gr 14