Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 9 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα 9. Ορισµοί... 9. Ιδιότητες...7 9. Θεώρηµα Cayley-Hamilto...4 9.. Εφαρµογές του Θεωρήµατος Cayley-Hamilto...6 9.4 Ελάχιστο Πολυώνυµο...5 Ασκήσεις του Κεφαλαίου 9...40 Απαντήσεις στις ασκήσεις του κεφαλαίου 9...4 Απαντήσεις στις ασκήσεις αυτοαξιολόγησης του κεφαλαίου 9...48 Ας θεωρήσουµε την γραµµική απεικόνιση f : X X. Υπάρχουν διανύσµατα v X τα οποία έχουν την ιδιότητα f ( v) = λv. Τα διανύσµατα αυτά ονοµάζονται ιδιοδιανύσµατα της γραµµικής απεικόνισης f, ενώ οι τιµές του λ για τις οποίες ισχύει η σχέση αυτή ονοµάζονται ιδιοτιµές της γραµµικής απεικόνισης. Οι χώροι των διανυσµάτων v που αντιστοιχούν σε µια συγκεκριµένη ιδιοτιµή λ αποτελούν διανυσµατικούς υπόχωρους του X τους οποίους και θα ονοµάσουµε ιδιόχωρους της συγκεκριµένης ιδιοτιµής. Βασικός στόχος του κεφαλαίου αυτού είναι να διατυπώσει µια µεθοδολογία εύρεσης των ιδιοτιµών και ιδιοδιανυσµάτων µιας γραµµικής απεικόνισης µέσω του πίνακα της γραµµικής απεικόνισης. Στη συνέχεια παρουσιάζονται ορισµένες ιδιότητες των ιδιοτιµών και ιδιοδιανυσµάτων πινάκων/γραµµικών απεικονίσεων, ενώ στο τέλος παρουσιάζουµε το Θεώρηµα Cayley-Hamilto και εφαρµογές του στον υπολογισµό: α) του αντίστροφου ενός πίνακα, β) µαθηµατικών παραστάσεων που εξαρτούνται από έναν πίνακα (όπως οι δυνάµεις ενός πίνακα), και γ) του ελάχιστου πολυωνύµου ενός πίνακα.
9. Ορισµοί Σελίδα από 5 Έστω η γραµµική απεικόνιση f : 9. Ορισµοί 4 5 f = Είναι γνωστό από το κεφάλαιο 8.4 ότι ο πίνακας της παραπάνω γραµµικής T { } απεικόνισης, ως προς την κανονική βάση ( 0 ) T,( 0 ) 4 5 = T Έστω επίσης το διάνυσµα ( ) ( ) είναι ο = = 5. Παίρνοντας το γινόµενο του διαπιστώνουµε ότι είναι ίσο µε 5 4 5 5 0 5 f = = = 4 5 f ( ) =, = και συνεπώς είναι πολλαπλάσιο του. 4 T 4 6 8 0 Ας προσπαθήσουµε να υπολογίσουµε αν υπάρχουν επιπλέον διανύσµατα µε την ίδια ιδιότητα. Θα πρέπει τα διανύσµατα αυτά να ικανοποιούν την ιδιότητα : 4 5 ( λ 4) + 5 = 0 f = λ = λ + ( λ + ) = 0 Προκειµένου να έχει λύση το παραπάνω οµογενές σύστηµα θα πρέπει λ 4 5 det = 0 ( λ 4)( λ + ) ( ) 5 = 0 λ + ( )( ) λ λ = 0 λ λ+ = 0 λ = λ = Συνεπώς εκτός από λ = η παραπάνω ιδιότητα ισχύει και για λ =. Επιλύνοντας το παραπάνω σύστηµα εξισώσεων για λ = θα έχουµε 5+ 5 = 0 = =, 0 + = Άρα θα έχουµε
9. Ορισµοί Σελίδα από 5 4 5 f = = = ( ) f ( ) = ( ), = 0.5 - -0.5 0.5-0.5 H L - Η ιδιότητα αυτή των συγκεκριµένων διανυσµάτων της γραµµικής απεικόνισης αλλά και των αριθµών λ που περιγράψαµε στο παραπάνω παράδειγµα περιγράφεται από τον παρακάτω ορισµό : 9.. Ορισµός Έστω X ένας διανυσµατικός χώρος πάνω στο ( ) και f : X X µια γραµµική απεικόνιση. Ένα µη µηδενικό διάνυσµα X ονοµάζεται ιδιοδιάνυσµα της γραµµικής απεικόνισης εάν υπάρχει αριθµός λ K, τέτοιος ώστε f = λ ( ) Ο αριθµός λ ( ) ονοµάζεται ιδιοτιµή της γραµµικής απεικόνισης. Συνολικά οι ιδιοτιµές και τα ιδιοδιανύσµατα ονοµάζονται ιδιοποσά ή χαρακτηριστικά µεγέθη της γραµµικής απεικόνισης. Ο χώρος Vλ = : X και f ( ) = λ ονοµάζεται ιδιόχωρος που αντιστοιχεί στην ιδιοτιµή λ. 9.. Παράδειγµα Έστω η γραµµική απεικόνιση { } f : η οποία δίνεται από την σχέση (, ) = ( 5 +,6 ) f Να υπολογιστούν τα ιδιοποσά της παραπάνω απεικόνισης. Απάντηση Προσπαθούµε να λύσουµε την σχέση f, = 5 +,6 = λ, ή ισοδύναµα την σχέση 5 = λ 6 ( ) ( ) ( ) όπου Α είναι ο πίνακας της γραµµικής απεικόνισης. Η παραπάνω εξίσωση γράφεται ισοδύναµα ως
9. Ορισµοί Σελίδα 4 από 5 λ + 5 0 = 6 λ + 0 και έχει µη µηδενική λύση αν και µόνο αν 5 det λ + = 0 λ + 7λ 8 = 0 ( λ + 8)( λ ) = 0 λ = 8 λ = 6 λ + Συνεπώς οι ιδιοτιµές της γραµµικής απεικόνισης f είναι λ = 8& λ =. Για λ = 8 το παραπάνω σύστηµα γράφεται ισοδύναµα 0 =, 6 6 = = = 0 Άρα το (,) αποτελεί ένα ιδιοδιάνυσµα της γραµµικής απεικόνισης f που αντιστοιχεί στην ιδιοτιµή λ = 8. Επίσης V 8 = k, k Για λ = το παραπάνω σύστηµα γράφεται ισοδύναµα 6 0 =, 6 = = = 0 Άρα το (, ) αποτελεί ένα ιδιοδιάνυσµα της γραµµικής απεικόνισης f που αντιστοιχεί στην ιδιοτιµή λ =. Επίσης V = k, k Ας υποθέσουµε ότι ο διανυσµατικός χώρος Χ πάνω στο ( ) είναι πεπερασµένης διάστασης µε βάση την { e e e }. Έστω επίσης f : X X µια γραµµική,,..., απεικόνιση και = ( a ij ) ο πίνακας της γραµµικής απεικόνισης για την βάση αυτή. Τότε θα έχουµε : 9.. Πρόταση Ο αριθµός λ ( ) αποτελεί ιδιοτιµή της γραµµικής απεικόνισης f : X X αν και µόνο αν det[ λi ] = 0 ενώ τα ιδιοδιανύσµατα της γραµµικής απεικόνισης f που αντιστοιχούν στην ιδιοτιµή λ είναι τα διανύσµατα που ικανοποιούν την εξίσωση : λi = ( ) 0 Απόδειξη Ο αριθµός λ ( ) αποτελεί ιδιοτιµή της γραµµικής απεικόνισης f : X X σύµφωνα µε τον Ορισµό 9.. εάν και µόνο εάν f ( ) = λ = λ ( λi ) = 0 Η παραπάνω εξίσωση έχει µη µηδενικές λύσεις εάν και µόνο εάν det[ λi ] = 0 που αποδεικνύει την πρόταση.
9. Ορισµοί Σελίδα 5 από 5 Λόγω της σύνδεσης αυτής µεταξύ : α) των ιδιοποσών (ιδιοτιµών / ιδιοδιανυσµάτων) µιας γραµµικής απεικόνισης και β) των χαρακτηριστικών στοιχείων του πίνακα της det λi / γραµµικής απεικόνισης (τιµές που µηδενίζουν το πολυώνυµο [ ] διανύσµατα που αποτελούν λύση του οµογενούς συστήµατος ( I ) 0 δίνουµε τον παρακάτω ορισµό. 9..4 Ορισµός Ένα µη µηδενικό διάνυσµα ( ) ενός τετράγωνου πίνακα λ = ) ονοµάζεται δεξιό (αριστερό) ιδιοδιάνυσµα εάν υπάρχει αριθµός ( ) = λ ( = λ) λ, τέτοιος ώστε Ο αριθµός λ ( ) ονοµάζεται ιδιοτιµή του πίνακα Α. Συνολικά οι ιδιοτιµές και τα ιδιοδιανύσµατα ονοµάζονται ιδιοποσά ή χαρακτηριστικά µεγέθη του πίνακα. Στην θεωρία που αναφέρεται παρακάτω, όταν αναφερόµαστε στα ιδιοδιανύσµατα του πίνακα Α, θα εννοούµε τα δεξιά ιδιοδιανύσµατα του πίνακα Α. 9..5 Άσκηση αυτοαξιολόγησης Προσδιορίστε ποιο από τα διανύσµατα = ; = 0 ; = ; 4 = 0 αποτελεί ιδιοδιάνυσµα του πίνακα 0 0 = 0 και σε ποια ιδιοτιµή αντιστοιχεί το ιδιοδιάνυσµα αυτό. Εύλογα ερωτήµατα που γεννιούνται από τον ορισµό 9..4, είναι τα εξής :. υπάρχουν ιδιοδιανύσµατα και ιδιοτιµές για κάθε πίνακα Α ;. ποιο είναι το πλήθος των ιδιοτιµών και ιδιοδιανυσµάτων ενός τετράγωνου πίνακα Α ;. µε ποιον τρόπο υπολογίζω τις ιδιοτιµές και τα ιδιοδιανύσµατα ενός τετράγωνου πίνακα Α ; Θα ξεκινήσουµε µε την απάντηση στο τρίτο ερώτηµα, δηλαδή τον τρόπο εύρεσης των είναι ιδιοδιανυσµάτων/ιδιοτιµών του πίνακα Α. Από τον ορισµό, αν ( ) ιδιοδιάνυσµα του πίνακα, τότε θα υπάρχει ( ) λ τέτοιο ώστε : ( λ ) 0 = λ I = B (9..) Στην περίπτωση που ο πίνακας B = λi έχει ορίζουσα διάφορη του µηδενός τότε η µόνη λύση που έχει το σύστηµα (9..) είναι η µηδενική ( = 0, ). Σε περίπτωση
9. Ορισµοί Σελίδα 6 από 5 που η ορίζουσα του πίνακα B = λi είναι µηδέν, τότε υπάρχουν µη µηδενικές λύσεις του συστήµατος (9..). Συνεπώς το ιδιοδιάνυσµα υπάρχει στην περίπτωση που p λ : = λi = 0 (9..) ( ) ( ) Σηµείωση. Στα ίδια συµπεράσµατα θα καταλήγαµε αν στην θέση του πίνακα λi παίρναµε τον πίνακα λi (γιατί;). 9..6 Ορισµός Η εξίσωση (9..) ονοµάζεται χαρακτηριστική εξίσωση του πίνακα, ενώ το πολυώνυµο p(λ), ονοµάζεται χαρακτηριστικό πολυώνυµο του πίνακα. Το σύνολο των ριζών της χαρακτηριστικής εξίσωσης, οι οποίες και αποτελούν τις ιδιοτιµές του πίνακα Α, ονοµάζεται φάσµα και συµβολίζεται µε σ ( ). Από το Θεµελιώδες Θεώρηµα της Άλγεβρας το πλήθος των ριζών (και άρα των ιδιοτιµών λi ) του χαρακτηριστικού πολυωνύµου είναι, όση δηλαδή και η διάσταση του πίνακα Α. p ( λ) = ( λ λ ) ( λ λ ) ( λ λ ) k k + + = k 9..7 Ορισµός Ο αριθµός των φορών που εµφανίζεται µια ιδιοτιµή στο χαρακτηριστικό πολυώνυµο του πίνακα Α ονοµάζεται αλγεβρική πολλαπλότητα της ιδιοτιµής π.χ. αν p ( λ) = ( λ λ) ( λ λ) ( λ λ ) k k τότε η αλγεβρική πολλαπλότητα της λ i είναι. i 9..8 Παράδειγµα 4 5 ίνεται ο πίνακας =. Να βρεθούν οι ιδιοτιµές του πίνακα Α 0 0 καθώς και η αλγεβρική πολλαπλότητα κάθε ιδιοτιµής. Απάντηση Υπολογίζουµε το χαρακτηριστικό πολυώνυµο του πίνακα Α : 0 0 4 5 λ 4 5 p( λ) = det[ λi ] = det λ 0 0 = λ+ = 0 0 0 0 0 0 λ + = ( λ+ ) ( λ+ )( λ 4) ( ) 5 = ( λ+ ) ( λ ) Σύµφωνα µε το Θεµελιώδες Θεώρηµα της Άλγεβρας κάθε µη-σταθερό πολυώνυµο f ( ) [ ] έχει τουλάχιστο µια ρίζα στο σώµα.
9. Ορισµοί Σελίδα 7 από 5 Από την µορφή του χαρακτηριστικού πολυωνύµου εύκολα συµπεραίνουµε ότι οι ιδιοτιµές του πίνακα είναι οι - και µε αλγεβρική πολλαπλότητα και αντίστοιχα. Το φάσµα του πίνακα Α είναι σ ( ) = {,, }. Για να υπολογίσουµε τα ιδιοδιανύσµατα του πίνακα, θα πρέπει για κάθε λ του πίνακα να λύσουµε το οµογενές σύστηµα ιδιοτιµή i ( ) ( λι ) = 0. i i 9..9 Ορισµός Το σύνολο των ιδιοδιανυσµάτων αποτελούν έναν διανυσµατικό υπόχωρο του ( ) V λ που αντιστοιχούν στην ιδιοτιµή ( ) i λ,, ο οποίος και ονοµάζεται ιδιοχώρος της ιδιοτιµής λi ( ). Η διάσταση του ιδιοχώρου V rak ( λ I ) V λ είναι ίση µε i = και ονοµάζεται γεωµετρική πολλαπλότητα της ιδιοτιµής dim λ i i i ( ) ( ) λ. Αν συµβολίσουµε µε i την αλγεβρική πολλαπλότητα της ιδιοτιµής λi τότε µπορεί να αποδειχθεί ότι ισχύει η σχέση dimvλ i i. i 9..0 Παράδειγµα Ας θεωρήσουµε τον πίνακα του παραδείγµατος 9..8. Να υπολογιστούν οι ιδιόχωροι που αντιστοιχούν στις ιδιοτιµές - και, καθώς και η γεωµετρική πολλαπλότητα που αντιστοιχεί σε κάθε ιδιοτιµή. Απάντηση Γνωρίζουµε από το παράδειγµα 9..8 ότι το χαρακτηριστικό πολυώνυµο του πίνακα Α είναι : ( ) = ( + ) ( ) p λ λ λ Για την ιδιοτιµή - θα πρέπει να λύσουµε την εξίσωση : 4 5 4 5 + = 5 5 + = 0 = = ( ) + = 0 0 0 0 + = = = Άρα ο ιδιοχώρος V ορίζεται ως : V = =, = 0 0 και έχει διάσταση, δηλ. dimv =. Με το σύµβολο e ορίζουµε τον διανυσµατικό χώρο που παράγεται από το διάνυσµα e. Συνεπώς η γεωµετρική πολλαπλότητα της ιδιοτιµής - είναι και είναι διαφορετική από την αλγεβρική της πολλαπλότητα που είναι. Όµοια για την ιδιοτιµή θα πρέπει να λύσουµε την εξίσωση :
9. Ορισµοί Σελίδα 8 από 5 4 5 4 5 + = 5 = 0 5 = = + = 5 = 0 0 0 0 0 = = = Άρα ο ιδιοχώρος V ορίζεται ως : 5 5 5 V = =, = 0 0 0 και έχει διάσταση, δηλ. dimv =. Συνεπώς η γεωµετρική πολλαπλότητα της ιδιοτιµής είναι, όσο δηλαδή και η αλγεβρική της πολλαπλότητα. Όταν µας ζητείται ο υπολογισµός των ιδιοδιανυσµάτων ενός πίνακα, και όχι οι ιδιοχώροι που αντιστοιχούν στις ιδιοτιµές αυτές, αρκεί να επιλέξουµε µια βάση από κάθε υπόχωρο V λ. Για ευκολία στις πράξεις στην θεωρία που θα ακολουθήσει, i συνήθως διαλέγουµε ιδιοδιανύσµατα µε ακέραιες τιµές όπου αυτό είναι δυνατό. Στο παραπάνω παράδειγµα θα µπορούσαµε να ορίσουµε ότι ο ιδιοχώρος V παράγεται από το διάνυσµα 5 5 =. 0 0 Μεθοδολογία υπολογισµού ιδιοτιµών/ιδιοδιανυσµάτων του πίνακα. Βήµα. Εύρεση ιδιοτιµών του πίνακα. α) Υπολογισµός του χαρακτηριστικού πολυωνύµου p λ = det λi = λ + a λ + + a. ( ) [ ] β) Υπολογισµός των ριζών { } Βήµα. Εύρεση των ιδιοδιανυσµάτων i του πίνακα Α. Επίλυση της εξίσωσης i = λii για i =,,...,. 0 λ, λ,..., λ της χαρακτηριστικής εξίσωσης p(λ)=0. 9.. Παράδειγµα ίνεται ο πίνακας του πίνακα Α. 4 = 4. Να βρεθούν οι ιδιοτιµές και τα ιδιοδιανύσµατα 4 Λύση Βήµα α. Υπολογίζουµε το χαρακτηριστικό πολυώνυµο του πίνακα Α.
9. Ορισµοί Σελίδα 9 από 5 0 0 4 λ 4 p I 0 0 4 λ 4 Βήµα β. Υπολογίζουµε τις λύσεις της χαρακτηριστικής εξίσωσης p(λ)=0. λ λ 8 = 0 λ =, λ = 8 ( λ) = det( λ ) = λ 0 0 4 = λ 4 = ( λ ) ( λ 8) ( ) ( ) Εποµένως λ = και λ = 8 είναι οι ιδιοτιµές του πίνακα Α µε αλγεβρική πολλαπλότητα και αντίστοιχα. Βήµα. Για να βρούµε τα ιδιοδιανύσµατα λύνούµε για κάθε ένα από τα λ, το οµογενές σύστηµα ( λι ) = 0. Για λ =, 4 4+ + = + + = 0 4 = + 4 + = + + = 0 + + = 0 4 4 0 + + = + + = εποµένως ο ιδιοχώρος που αντιστοιχεί στην ιδιοτιµή είναι ο παρακάτω 0 0 V = = 0 +,, = 0, Παρατηρούµε ότι dimv = και συνεπώς η γεωµετρική πολλαπλότητα της ιδιοτιµής είναι. Για λ = 8, 4 4+ + = 8 4+ + = 0 4 = 8 + 4 + = 8 4 + = 0 4 4 8 4 0 + + = + = + = + = = + 4 + = 0 + = 0 = εποµένως ο ιδιοχώρος που αντιστοιχεί στην ιδιοτιµή 8 είναι ο παρακάτω V8 = =, = Παρατηρούµε ότι dimv 8 = και συνεπώς η γεωµετρική πολλαπλότητα της ιδιοτιµής 8 είναι. Συνεπώς και για τις δύο ιδιοτιµές ισχύει ότι η αλγεβρική τους πολλαπλότητα ταυτίζεται µε την γεωµετρική πολλαπλότητα. Σε αντίθετη περίπτωση το σύνολο των ιδιοδιανυσµάτων του πίνακα Α θα ήταν µικρότερο από την διάσταση του πίνακα Α.
9. Ορισµοί Σελίδα 0 από 5 Παρακάτω χρησιµοποιούµε το υπολογιστικό σύστηµα άλγεβρας Mathematica για να υπολογίσουµε τις ιδιοτιµές και τα ιδιοδιανύσµατα του πίνακα Α. Ορισµός του πίνακα Α I[]:= a= 884,, <, 8, 4, <, 8,, 4<< Out[]= 884,, <, 8, 4, <, 8,, 4<< Υπολογισµός του χαρακτηριστικού πολυωνύµου του πίνακα. I[]:= p = Det@s IdetityMatri@D ad Out[]= + 6 s s + s Επίλυση της χαρακτηριστικής εξίσωσης. I[]:= Solve@p 0, sd Out[]= 88s <, 8s <, 8s 8<< Το χαρακτηριστικό πολυώνυµο του πίνακα Α θα µπορούσε να υπολογιστεί και µε την συνάρτηση CharacteristicPolyomial. I[4]:= CharacteristicPolyomial@a, sd Out[4]= 6 s + s s Οι ιδιοτιµές του πίνακα Α θα µπορούσαν να υπολογιστούν επίσης µε την συνάρτηση Eigevalues. I[5]:= Eigevalues@aD Out[5]= 88,, < Υπολογισµός των ιδιοδιανυσµάτων του πίνακα Α που αντιστοιχούν στην ιδιοτιµή. I[6]:= NullSpace@a IdetityMatri@DD Out[6]= 88, 0, <, 8,, 0<< Υπολογισµός των ιδιοδιανυσµάτων του πίνακα Α που αντιστοιχούν στην ιδιοτιµή 8. I[7]:= NullSpace@a 8 IdetityMatri@DD Out[7]= 88,, << Τα ιδιοδιανύσµατα του πίνακα Α θα µπορούσαν να υπολογισθούν µε την συνάρτηση Eigevectors. I[8]:= Eigevectors@aD Out[8]= 88,, <, 8, 0, <, 8,, 0<<
9. Ορισµοί Σελίδα από 5 Παρατηρούµε ότι το πρώτο ιδιοδιάνυσµα αντιστοιχεί στην πρώτη ιδιοτιµή που µας έδωσε η συνάρτηση Eigevalues, ενώ τα υπόλοιπα δύο αντιστοιχούν στην δεύτερητρίτη ιδιοτιµή που επέστρεψε η συνάρτηση Eigevalues. Θα µπορούσαµε επίσης να πάρουµε και τις ιδιοτιµές και τα ιδιοδιανύσµατα µας µε την συνάρτηση Eigesystem που µας δίνει τα ιδιοποσά του συστήµατος. I[9]:= Eigesystem@aD Out[9]= 888,, <, 88,, <, 8, 0, <, 8,, 0<<< Η παραπάνω συνάρτηση επιστρέφει µια λίστα µε στοιχεία λίστες. Η πρώτη περιέχει τις ιδιοτιµές του πίνακα Α, ενώ η δεύτερη τα ιδιοδιανύσµατα που αντιστοιχούν στις ιδιοτιµές της πρώτης λίστας. 9.. Παράδειγµα Να υπολογίσετε τις ιδιοτιµές και τα ιδιοδιανύσµατα του πίνακα 5 = Απάντηση Βήµα α. Υπολογίζουµε το χαρακτηριστικό πολυώνυµο του πίνακα Α. 0 5 λ 5 p( λ) = det( λi ) = λ = = ( λ )( λ+ ) + 5 = λ + 0 λ + Βήµα β. Υπολογίζουµε τις λύσεις της χαρακτηριστικής εξίσωσης p(λ)=0. λ + = 0 λ = i, λ = i όπου i ο φανταστικός αριθµός (δες κεφάλαιο, του ου τόµου). Εποµένως λ = i και λ = i είναι οι ιδιοτιµές του πίνακα Α µε αλγεβρική πολλαπλότητα η κάθε µια. Βήµα. Για να βρούµε τα ιδιοδιανύσµατα λύνούµε για κάθε ένα από τα λ, το οµογενές σύστηµα ( λι ) = 0. Για λ = i, ( ) 5 + 5 = i i + 5 = 0 = i = ( + i) = i ( + i) = 0 εποµένως ο ιδιοχώρος που αντιστοιχεί στην ιδιοτιµή i είναι ο παρακάτω ( + i) ( + i) Vi =, = Σε περίπτωση που µας ενδιέφεραν οι ιδιοτιµές στο τότε ο πίνακας µας δεν έχει ιδιοτιµές λόγω του ότι η εξίσωση p(λ)=0 δεν έχει λύσεις στο.
9. Ορισµοί Σελίδα από 5 Για λ = i, ( ) 5 + 5 = i + i + 5 = 0 = i = ( i) = i ( i) = 0 εποµένως ο ιδιοχώρος που αντιστοιχεί στην ιδιοτιµή -i είναι ο παρακάτω ( i) ( i) V i =, = 9.. Παράδειγµα Να υπολογίσετε τις ιδιοτιµές και τα ιδιοδιανύσµατα του πίνακα = Απάντηση Βήµα α. Υπολογίζουµε το χαρακτηριστικό πολυώνυµο του πίνακα Α. 0 λ p λ = det( λi ) = λ = = λ λ + = λ 0 λ Βήµα β. Υπολογίζουµε τις λύσεις της χαρακτηριστικής εξίσωσης p(λ)=0. ( λ ) = 0 λ =, λ = Εποµένως λ = είναι ιδιοτιµή του πίνακα Α µε αλγεβρική πολλαπλότητα. ( ) ( )( ) ( ) Βήµα. Για να βρούµε τα ιδιοδιανύσµατα λύνουµε για λ=, το οµογενές σύστηµα λι =. ( ) 0 = = 0 = = + = + = 0 εποµένως ο ιδιοχώρος που αντιστοιχεί στην ιδιοτιµή είναι ο παρακάτω V, = = Παρατηρούµε ότι dimv = και συνεπώς η γεωµετρική πολλαπλότητα της ιδιοτιµής είναι. Η γεωµετρική πολλαπλότητα της ιδιοτιµής που είναι, δεν ταυτίζεται µε την αλγεβρική της πολλαπλότητα που είναι. 9..4 Άσκηση αυτοαξιολόγησης Προσπαθήστε να υπολογίσετε τις ιδιοτιµές και τα ιδιοδιανύσµατα των παρακάτω πινάκων : 0 0 = 0 ; B= 0 0 ; C = 0 0
9. Ορισµοί Σελίδα από 5 Σε κάθε περίπτωση να υπολογίσετε την αλγεβρική και γεωµετρική πολλαπλότητα των ιδιοτιµών των πινάκων. Χρησιµοποιήστε το Mathematica για να επαληθεύσετε τα αποτελέσµατα σας Ασκήσεις 9... Έστω η γραµµική απεικόνιση f : η οποία δίνεται από την σχέση (, ) = ( 5, + 5 ) f Να υπολογιστούν τα ιδιοποσά της παραπάνω απεικόνισης.. Προσδιορίστε ποιο από τα διανύσµατα 0 = ; = 0 ; = 0 ; 4 = 0 0 αποτελεί ιδιοδιάνυσµα του πίνακα 4 4 = 0 0 και σε ποια ιδιοτιµή αντιστοιχεί το ιδιοδιάνυσµα αυτό.. Υπολογίστε τις ιδιοτιµές και τα ιδιοδιανύσµατα των παρακάτω πινάκων : 6 8 ; = = ; = ; 4 = Επίσης να δώσετε την αλγεβρική και γεωµετρική πολλαπλότητα κάθε ιδιοτιµής. 4. Υπολογίστε τις ιδιοτιµές και τα ιδιοδιανύσµατα των παρακάτω πινάκων : 4 0 6 B = 0 0 0 ; B = ; B = 0 ; B4 = 0 5 6 0 0 0 Επίσης να δώσετε την αλγεβρική και γεωµετρική πολλαπλότητα κάθε ιδιοτιµής.
9. Ορισµοί Σελίδα 4 από 5 Ενδεικτικές λύσεις των ασκήσεων Απάντηση. Προσπαθούµε να λύσουµε την σχέση f, = 5, + 5 = λ, ή ισοδύναµα την σχέση 5 = λ 5 ( ) ( ) ( ) όπου Α είναι ο πίνακας της γραµµικής απεικόνισης. Η παραπάνω εξίσωση γράφεται ισοδύναµα ως λ 5 0 = λ 5 0 και έχει µη µηδενική λύση αν και µόνο αν 5 det λ = 0 λ 0λ + 4 = 0 ( λ 4)( λ 6) = 0 λ = 4 λ = 6 λ 5 Συνεπώς οι ιδιοτιµές της γραµµικής απεικόνισης f είναι λ = 4& λ = 6. Για λ = 4 το παραπάνω σύστηµα γράφεται ισοδύναµα 0 =, = = = 0 Άρα το (, ) αποτελεί ένα ιδιοδιάνυσµα της γραµµικής απεικόνισης f που αντιστοιχεί στην ιδιοτιµή λ = 4. Επίσης V4 = k, k Για λ = 6 το παραπάνω σύστηµα γράφεται ισοδύναµα 0 =, = = = 0 Άρα το (, ) αποτελεί ένα ιδιοδιάνυσµα της γραµµικής απεικόνισης f που αντιστοιχεί στην ιδιοτιµή λ = 6. Επίσης V6 = k, k. Τα, 4 είναι ιδιοδιανύσµατα του πίνακα Α που αντιστοιχούν στην ιδιοτιµή λ=.. λ = 5 ; V5 = = λ = 0 ; V0 = λ = 5, λ = 0 έχουν αλγεβρική και γεωµετρική πολλαπλότητα. Τα
9. Ορισµοί Σελίδα 5 από 5 λ = ; V = = λ = ; V = λ =, λ = έχουν αλγεβρική και γεωµετρική πολλαπλότητα. Τα = λ = ; V = Το λ = έχει αλγεβρική πολλαπλότητα και γεωµετρική πολλαπλότητα. i λ = 4 + i ; V = 6 8 4 = + i λ = 4 i ; V = λ = 4+ i, λ = 4 i έχουν αλγεβρική και γεωµετρική πολλαπλότητα. Τα 4. λ = ; V = 0 B = 0 0 0 5 λ = 0 ; V0 = 4 Το λ = έχει αλγεβρική πολλαπλότητα και γεωµετρική πολλαπλότητα, ενώ το λ = 0 έχει αλγεβρική πολλαπλότητα και γεωµετρική πολλαπλότητα.
9. Ορισµοί Σελίδα 6 από 5 5 + i λ i ; V i i = + + = + 5 i 4 B = λ i ; V i i = = λ = ; V = 0 Τα λ = +, i λ =, i λ = έχουν αλγεβρική και γεωµετρική πολλαπλότητα. 0 B = 0 λ = ; V = 0 0 0 0 Το λ = έχει αλγεβρική πολλαπλότητα και γεωµετρική πολλαπλότητα. 6 λ = 4 ; V 4 = 6 B4 = 0 5 6 5 0 λ = ; V = Το λ = 4 έχει αλγεβρική πολλαπλότητα και γεωµετρική πολλαπλότητα, ενώ το λ = έχει αλγεβρική πολλαπλότητα και γεωµετρική πολλαπλότητα.
9. Ιδιότητες Σελίδα 7 από 5 9. Ιδιότητες Στην ενότητα αυτή θα προσπαθήσουµε να παρουσιάσουµε µερικές από τις σηµαντικές ιδιότητες των ιδιοτιµών-ιδιοδιανυσµάτων τετράγωνων πινάκων. 9.. Θεώρηµα Έστω ο πίνακας που αντιστοιχεί στην ιδιοτιµή λ. Τότε : k (α) Ο πίνακας θα έχει ως ιδιοτιµή το λ k ( ), k =,,... και ιδιοδιάνυσµα το µε ιδιοτιµή ( ) λ και το ιδιοδιάνυσµα ( ). (β) Ο πίνακας Α δεν έχει πλήρη τάξη αν και µόνο αν το 0 αποτελεί ιδιοτιµή του πίνακα Α. (γ) Αν ο πίνακας Α είναι αντιστρέψιµος (συνεπώς λ 0 ), ο πίνακας. ιδιοτιµή το ( ) (δ) Ο πίνακας λ και ιδιοδιάνυσµα το ( ) ιδιοδιάνυσµα το ( ) (ε) Έστω ο πίνακας ( ) T (ανάστροφος) θα έχει ως ιδιοτιµή το ( ). B µε ιδιοτιµή ( ) θα έχει ως λ και αριστερό µ και το ίδιο ιδιοδιάνυσµα µε τον πίνακα Α, που αντιστοιχεί στην ιδιοτιµή µ. Τότε ο πίνακας + B θα έχει ως ιδιοτιµή την λ µ ( ) (στ) Έστω ο πίνακας ( ). + και αντίστοιχο ιδιοδιάνυσµα το ( ) B µε ιδιοτιµή ( ) µ και το ίδιο ιδιοδιάνυσµα µε τον πίνακα Α, που αντιστοιχεί στην ιδιοτιµή µ. Τότε ο πίνακας B θα έχει ως ιδιοτιµή την ( ). λµ και αντίστοιχο ιδιοδιάνυσµα το ( ) Απόδειξη (α) Θα δώσουµε την απόδειξη του (α) µε επαγωγή. Έστω ο πίνακας λ και ιδιοδιάνυσµα το ( ), τότε : έχει ιδιοτιµή την ( ) = λ (9..) Πρώτα αποδεικνύουµε ότι το (α) ισχύει για k=, θα έχουµε Έστω ότι το (α) ισχύει για k= ( ) ( 9.. ) ( ) ( ) ( 9.. ) ( ) = = λ = λ = λ λ = λ Θα δείξουµε ότι το (α) ισχύει για k=+ = λ (9..) ( ) ( 9.. ) ( ) ( ) ( 9.. ) ( ) + = = λ = λ = λ λ = λ + (β) ( ) Αν ο πίνακας Α δεν έχει πλήρη τάξη, τότε έχει έναν µη µηδενικό δεξιά µηδενικό χώρο, δηλαδή υπάρχει µη µηδενικό διάνυσµα τέτοιο ώστε = 0
9. Ιδιότητες Σελίδα 8 από 5 το οποίο µπορεί να γραφεί ισοδύναµα ως = 0, και συνεπώς το 0 αποτελεί ιδιοτιµή του πίνακα Α. ( ) Αν το 0 αποτελεί ιδιοτιµή του πίνακα Α, θα έχουµε ότι det[ 0 I ] = det [ ] = ( ) det[ ] = 0 det[ ] = 0 και συνεπώς ο πίνακας Α έχει τάξη µικρότερη από. (γ) Από την σχέση (9..) έχουµε ότι λ λ λ = = = (9..) Από το 9..β µε αντιθετοαντιστροφή έχουµε ότι ο πίνακας Α είναι αντιστρέψιµος αν και µόνο αν έχει µη µηδενικές ιδιοτιµές και συνεπώς µπορούµε να πολλαπλασιάσουµε την σχέση (9..) µε λ και να πάρουµε = λ το οποίο αποδεικνύει το 9..γ. T (δ) Οι πίνακες, έχουν το ίδιο χαρακτηριστικό πολυώνυµο όπως φαίνεται παρακάτω και συνεπώς θα έχουν τις ίδιες ιδιοτιµές T T T T det[ λi ] = det ( λi ) = det λi = det λi T Από την παρακάτω σχέση µπορούµε επίσης να συµπεράνουµε ότι το διάνυσµα αποτελεί αριστερό ιδιοδιάνυσµα του πίνακα Α, που αντιστοιχεί στην ιδιοτιµή λ. ( ) ( ) T T T T T = λ = λ = λ (ε) Εύκολα φαίνεται από την παρακάτω σχέση + B = + B = λ + µ = λ + µ ( ) ( ) (στ) Αποδείξτε το µε τον ίδιο τρόπο που αποδείχθηκε το (ε). Μπορούµε να αποδείξουµε από τον συνδυασµό των σχέσεων (α), (γ) στο θεώρηµα 9.. ότι η σχέση (α) ισχύει για κάθε ακέραιο αριθµό και όχι µόνο για θετικούς ακέραιους αριθµούς. 9.. Παράδειγµα ίνεται ο πίνακας = Το χαρακτηριστικό πολυώνυµο του πίνακα Α είναι p ( λ) = λ( λ 5) και συνεπώς έχει ως ιδιοτιµές τις {0,5}. Επειδή µια από τις ιδιοτιµές είναι το 0, συµπεραίνουµε βάση του Θεωρήµατος 9..β, ότι ο πίνακας δεν έχει πλήρη τάξη. Θεωρείστε τον πίνακα 0 0 = = 5 5 Ο παραπάνω πίνακας έχει ως χαρακτηριστικό πολυώνυµο το Αν η πρόταση p συνεπάγεται την πρόταση q, τότε η αντίθετη της πρότασης q θα συνεπάγεται την αντίθετη της πρότασης p.
9. Ιδιότητες Σελίδα 9 από 5 ( ) = λ( λ 5) p λ = =. Έστω ο πίνακας + = + = 8 8 Από το Θεώρηµα 9..α αν ο πίνακας Α έχει ως ιδιοτιµή το λ και αντίστοιχο ιδιοδιάνυσµα το, τότε ο πίνακας θα έχει ως ιδιοτιµή το λ και αντίστοιχο ιδιοδιάνυσµα το. Συνεπώς βάσει του Θεωρήµατος 9...ε ο πίνακας + θα έχει ως ιδιοτιµή την λ + λ, δηλαδή { 0+ 0 = 0,5+ 5 = 0}, όπως άλλωστε φαίνεται από το χαρακτηριστικό πολυώνυµο του πίνακα αυτού p λ = λ λ 0 και συνεπώς έχει (Θεώρηµα 9..α) ως ιδιοτιµές τις { 0 0,5 5} ( ) ( ) 9.. Παράδειγµα ίνεται ο πίνακας = 4 Εφόσον υπολογίσετε τις ιδιοτιµές του παραπάνω πίνακα, να υπολογίσετε τις ιδιοτιµές και τα ιδιοδιανύσµατα του πίνακα + I Απάντηση Ο πίνακας Α έχει το ακόλουθο χαρακτηριστικό πολυώνυµο : λ p ( λ) = = ( λ )( λ ) 8= λ 4λ 5= ( λ 5)( λ+ ) 4 λ και συνεπώς οι ιδιοτιµές του πίνακα Α είναι 5 και -. Αν είναι το ιδιοδιάνυσµα του πίνακα Α για την ιδιοτιµή λ, τότε θα έχουµε : + I = + = λ λ+ = λ λ+ ( ) ( ) ( ) Συνεπώς ο πίνακας I + θα έχει ως ιδιοτιµή το το, δηλαδή οι ιδιοτιµές του θα είναι ( ) ( ) 9..4 Θεώρηµα Έστω ο πίνακας λ λ+ και ιδιοδιάνυσµα { 4,5 5 6 } µε ιδιοτιµές,,..., ( ) + = + =. λ λ λ. Τότε : det[ ] = λ λ λ [ ] = + + + trace λ λ λ όπου µε τον όρο trace εννοούµε το ίχνος του πίνακα, δηλαδή το άθροισµα των διαγώνιων στοιχείων του πίνακα Α πρδ. a, + a, + + a,. Απόδειξη. Το χαρακτηριστικό πολυώνυµο του πίνακα θα είναι p( λ ) = det[ λi ] = ( λ λ)( λ λ) ( λ λ) και συνεπώς για λ = 0 θα έχουµε p 0 = det 0I = det = 0 λ 0 λ 0 λ = λλ λ ( ) [ ] [ ] ( )( ) ( ) ( )
9. Ιδιότητες Σελίδα 0 από 5 Επειδή όµως det[ ] = ( ) det[ ] θα έχουµε ( ) det[ ] ( ) det[ ] = λ λ λ = λλ λ Όσον αφορά την απόδειξη της δεύτερης σχέσης, παρατηρήστε ότι ο συντελεστής του λ στο χαρακτηριστικό πολυώνυµο είναι λ λ λ (από το γινόµενο των µεγιστοβάθµιων συντελεστών των - παραγόντων µε την σταθερά του εναποµείναντα παράγοντα). Στη συνέχεια υπολογίστε τον συντελεστή του λ στην ορίζουσα : λ a a a ( λ) det[ λ ] p = I =,,, a λ a a,,, a a λ a,,, κάνοντας χρήση του κανόνα της σελ.7 (στον πρώτο τόµο) λ a a a λ a a a a, λ a, a, a, λ a, λ a a a λ a a a a,,,,,,,,,,,,, Θα διαπιστώσετε ότι µόνο η κύρια διαγώνιος µας δίνει συντελεστή του (καθώς και λ,..., λ a a a = trace. Άρα ) ίσο µε,,, [ ] [ ] λ λ λ = trace που αποδεικνύει την δεύτερη σχέση. Οι σχέσεις που διατυπώθηκαν στο παραπάνω θεώρηµα αποτελούν και έναν χρήσιµο κανόνα για να ελέγξουµε αν οι ιδιοτιµές που υπολογίσαµε για έναν τετράγωνο πίνακα είναι σωστές. λ 9..5 Παράδειγµα ίνεται ο πίνακας 4 = 4 4 του παραδείγµατος 9.., ο οποίος αποδείχτηκε ότι έχει ιδιοτιµές τις και 8 µε αλγεβρική πολλαπλότητα και αντίστοιχα. Παρατηρήστε ότι det = = 8 καθώς και trace [ ] λ λ λ [ ] 4 4 4 8 = + + = = + + λ λ λ 9..6 Άσκηση αυτοαξιολόγησης Έστω ο πίνακας Α
9. Ιδιότητες Σελίδα από 5 = Κάνοντας χρήση του Θεωρήµατος 9..4 και χωρίς να υπολογίσετε το χαρακτηριστικό πολυώνυµο, υπολογίστε τις ιδιοτιµές του πίνακα Α. Στο κεφάλαιο 0 θα περιγράψουµε τις ιδιότητες των ιδιοτιµών και ιδιοδιανυσµάτων από ειδικές κατηγορίες πινάκων, όπως οι συµµετρικοί πίνακες, ερµητιανοί πίνακες, ορθοµοναδιαίοι πίνακες και οι πίνακες Markov. Ασκήσεις 9.. Έστω ( ) q λ = λ λ+ και για κάθε πίνακα ορίστε τον πολυωνυµικό πίνακα q( ) = + I, όπου I, ο () µοναδιαίος πίνακας. (α) Να αποδείξετε ότι αν λ είναι η ιδιοτιµή του πίνακα Α, τότε ο αριθµός q(λ) είναι ιδιοτιµή του πίνακα q(). (β) Να χρησιµοποιήσετε το αποτέλεσµα που βρήκατε παραπάνω για να υπολογίσετε τις ιδιοτιµές του πίνακα ( ) q B όπου B είναι ο πίνακας που δόθηκε στην άσκηση του κεφαλαίου 9... Ένας () πίνακας Α ονοµάζεται idempotet εάν µόνες ιδιοτιµές του πίνακα Α είναι λ=0 και λ=. =. Να δείξετε ότι οι. Να δείξετε ότι τα χαρακτηριστικά πολυώνυµα και τα ίχνη δύο όµοιων πινάκων συµπίπτουν. 4. Αν B,, να δείξετε ότι οι πίνακες ΑΒ και ΒΑ έχουν τις ίδιες ιδιοτιµές.
9. Ιδιότητες Σελίδα από 5 Ενδεικτικές λύσεις των ασκήσεων. (α) Υποθέστε ότι = λ, όπου 0 και κάντε χρήση του Θεωρήµατος 9..α. (β) Ο πίνακας B είχε ως ιδιοτιµές το λ = µε αλγεβρική πολλαπλότητα και γεωµετρική πολλαπλότητα, και το λ = 0 µε αλγεβρική πολλαπλότητα και γεωµετρική πολλαπλότητα. Συνεπώς ο πίνακας q( B ) θα έχει ως ιδιοτιµές τις q( λ ) = q( ) = + = µε αλγεβρική πολλαπλότητα και γεωµετρική πολλαπλότητα, και το ( ) ( ) q λ = q 0 = 0 0+ = µε αλγεβρική πολλαπλότητα και γεωµετρική πολλαπλότητα.. Έστω ότι = λ, όπου 0. Τότε = λ = λ ( ) ( ) = = = λ. Επίσης έχουµε ότι = = λ = λ = λ. Συνδυάζοντας τις δύο αυτές σχέσεις έχουµε ότι 0 ( ) ( ) λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ = = 0 = 0 = 0 = 0 =. Έστω δύο όµοιοι πίνακες B, T τέτοιος ώστε B = T T και συνεπώς T T= I, λi, B λi, T T λt T T T. Τότε υπάρχει αντιστρέψιµος πίνακας det = det = det = T ( λi, ) T T ( λi, ) [ T] [ T] ( λi, ) [ T] ( λi, ) det T = det = det = det det det = = det det det = det Άρα οι δύο πίνακες έχουν το ίδιο χαρακτηριστικό πολυώνυµο. Επίσης γνωρίζουµε από το Θεώρηµα 9..4 ότι το χαρακτηριστικό πολυώνυµο ενός πίνακα γράφεται ως det λi, = ( ) λ + ( ) ί χνος( ) λ + + det[ ] Αν λοιπόν det λi, B = ( ) λ + ( ) ί χνος( B) λ + + det[ B] τότε επειδή οι δύο πίνακες έχουν τα ίδια χαρακτηριστικά πολυώνυµα, οι συντελεστές των δύο παραπάνω πολυωνύµων θα συµπίπτουν µε αποτέλεσµα τα ίχνη των δύο πινάκων ως συντελεστές του λ να είναι ίδιοι. Επίσης παρατηρούµε ότι και οι ορίζουσες των δύο πινάκων είναι ίδιες ως σταθεροί όροι των χαρακτηριστικών πολυωνύµων. 4. Έστω λ η ιδιοτιµή του πίνακα B δηλ. B = λ, 0. Περίπτωση. λ=0. Τότε από Θεώρηµα 9..β 0 = det B = det det B = det B det = det B και συνεπώς λ=0 είναι και η ιδιοτιµή του πίνακα B. Περίπτωση. λ 0. Τότε [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ T]
9. Ιδιότητες Σελίδα από 5 B ( ) ( ) ( ) ( ) B = λ B B = B λ B B = λ B B= λ 0 Το B 0, διαφορετικά B = 0 B = 0 λ = 0 λ = 0 (άτοπο), και συνεπώς το λ αποτελεί ιδιοτιµή του πίνακα ΒΑ.
9. Θεώρηµα Cayley-Hamilto Σελίδα 4 από 5 9. Θεώρηµα Cayley-Hamilto Έστω και το πολυώνυµο : k p( λ ) = p0 + pλ+ + p k λ Καλούµε τιµή του p(λ) στον Α τον πίνακα k p( ) : = p0i + p+ + pk Παρατηρήστε ότι την σταθερά p 0 του πολυωνύµου την πολλαπλασιάζουµε µε τον µοναδιαίο πίνακα, ενώ στην θέση του s στο πολυώνυµο τοποθετούµε τον πίνακα Α. Λέµε ότι το πολυώνυµο p(λ) µηδενίζεται από τον πίνακα Α αν p( ) = 0, Ο χώρος των πινάκων διαστάσεως είναι διανυσµατικός χώρος µε διάσταση και συνεπώς οποιαδήποτε + διανύσµατα του χώρου αυτού είναι γραµµικώς I,,,..., είναι εξηρτηµένα. Βάσει του σκεπτικού αυτού οι πίνακες { } γραµµικώς εξηρτηµένοι και συνεπώς υπάρχουν πραγµατικοί αριθµοί λ0, λ,..., λ τέτοιοι ώστε λ0i + λ + + λ = 0, Άρα για κάθε πίνακα υπάρχει ένα πολυώνυµο βαθµού το οποίο µηδενίζεται από τον πίνακα αυτό. 9.. Παράδειγµα Ας θεωρήσουµε τον πίνακα = Τότε οι + = + = 5 πίνακες 0 5 4 4 4 4 40 I, =, =, =, =, = 0 4 5 4 40 4 είναι γραµµικώς εξηρτηµένοι και συνεπώς υπάρχουν σταθερές λ i, i = 0,,..,4 τέτοιες ώστε 4 λ0i,+ λ+ λ + λ + λ4 = 0, Λύνοντας την παραπάνω σχέση, υπολογίζουµε τις σταθερές λ i, i = 0,,..,4 (προσπαθήστε να λύσετε το παραπάνω σύστηµα που προκύπτει) λ0 = λ 6λ λ4, λ = λ 7λ 0λ4 Συνεπώς λ0 =, λ =, λ =, λ = λ4 = 0 αποτελεί µια από τις λύσεις του p λ = λ+ λ είναι τέτοιο ώστε παραπάνω συστήµατος και άρα το πολυώνυµο ( ) p( ) = 0,. Θα διαπιστώσατε από το παραπάνω παράδειγµα ότι η µέθοδος που ακολουθήσαµε για την εύρεση του πολυωνύµου p ( λ ) ήταν αρκετά επίπονη. Στο παρακάτω θεώρηµα προτείνουµε έναν πιο εύκολο τρόπο υπολογισµού του πολυωνύµου αυτού.
9. Θεώρηµα Cayley-Hamilto Σελίδα 5 από 5 9.. Θεώρηµα (Cayley-Hamilto) Κάθε πίνακας µηδενίζει το χαρακτηριστικό του πολυώνυµο p λ det λi p =. ( ) = [ ] δηλ. ( ), Απόδειξη Έστω 0 ( ) det[ ] p λ = λi = λ + a λ + + aλ+ a0 και dj[ λi ] [ λi ] = det[ λi ] όπου dj[ λi ] b λ = + b λ + + bλ+ b0 Αν εξισώσουµε τους συντελεστές του λ στην παρακάτω σχέση dj[ λi ] I = [ λi ] [ λi ] = [ λi ] det[ λi ] det λi I = λi dj λi [ ] [ ] [ ] ( λ + a λ + + aλ+ a0) I = ( λi ) ( b λ + b λ + + bλ+ b0) θα πάρουµε ai 0 = b0 ai = b + b... 0 a I = b + b I = b Πολλαπλασιάζοντας τις παραπάνω εξισώσεις µε I ai 0 = b0 a = b+ b0...,,,..., παίρνουµε a = b + b = b Προσθέτοντας τις παραπάνω εξισώσεις θα έχουµε + a + + a+ a0i = = b + b + b + + b+ b + b = ( ) ( ) ( ) 0 0 0 9.. Παράδειγµα Θεωρείστε τον πίνακα 0 = 0 0 0 0 ο οποίος, ως άνω τριγωνικός, είναι εύκολο να δειχθεί ότι έχει χαρακτηριστικό πολυώνυµο :
9. Θεώρηµα Cayley-Hamilto Σελίδα 6 από 5 ( ) ( ) p λ = det( λi ) = λ = λ 6λ + λ 8 και συνεπώς σύµφωνα µε το Θεώρηµα Cayley-Hamilto θα έχουµε p ( ) = 6+ 8I = 0, Προσπάθησε να κάνεις την επαλήθευση. Μπορούµε όµως να ελέγξουµε ότι το πολυώνυµο : ( ) ( ) p λ = λ = λ 4λ+ 4 µηδενίζεται επίσης από τον πίνακα Α. Συνεπώς το πολυώνυµο που υπολογίζουµε από το Θεώρηµα Cayley-Hamilto ή ισοδύναµα από το χαρακτηριστικό πολυώνυµο του πίνακα, δεν είναι το ελαχίστου βαθµού πολυώνυµο που µηδενίζεται από τον πίνακα Α. 9.. Εφαρµογές του Θεωρήµατος Cayley-Hamilto 9... Εύρεση αντίστροφου πίνακα Έστω ένας πίνακας p ( λ ) = p0 + pλ+ + p λ Τότε σύµφωνα µε το Θεώρηµα Cayley-Hamilto θα έχουµε : p = p I + p + + p = 0 µε χαρακτηριστικό πολυώνυµο : ( ) 0, Στην περίπτωση που ο πίνακας Α είναι αντιστρέψιµος θα έχουµε p0 0 ( p p( ) [ I ] [ ] ( ) [ ] 0 = 0 = det 0 = det = det 0 ) και συνεπώς : ( ) 0 I = ( pi p p ) p0 = ( pi p p ) p 0 p0 pi = p p = pi p p 9... Παράδειγµα Θεωρείστε τον πίνακα 0 = 0 0 0 0 που έχει χαρακτηριστικό πολυώνυµο ( ) ( ) p λ = det( λi ) = λ = λ 6λ + λ 8 και συνεπώς από το Θεώρηµα Cayley-Hamilto θα έχουµε p ( ) = 6+ 8I = 0, ή ισοδύναµα
9. Θεώρηµα Cayley-Hamilto Σελίδα 7 από 5 ( 6+ I) = 8I ( 6+ I) = I 8 4 0 = ( 6+ I ) = 0 4 0 8 8 0 0 4 9... Υπολογισµός τιµών ενός πολυωνύµου σε πίνακα. Ας υποθέσουµε ότι θέλουµε να υπολογίσουµε την τιµή του πολυωνύµου : k q( λ ) = q0 + qλ+ + q k λ σε έναν πίνακα µε χαρακτηριστικό πολυώνυµο : p ( λ ) = p0 + pλ+ + p λ Στην περίπτωση που ο βαθµός του πολυωνύµου q(λ) είναι µικρότερος από τον βαθµό του p(λ) υπολογίζουµε τον πίνακα q() µε απλή αντικατάσταση. Στην περίπτωση που ο βαθµός του πολυωνύµου q(λ) είναι µεγαλύτερος από τον βαθµό του p(λ) τότε κάνουµε την ευκλείδια διαίρεση του p(λ) µε το q(λ). ηλαδή υπάρχουν πολυώνυµα deg r λ deg p λ τέτοια ώστε : a(λ) και r(λ) µε ( ) ( ) q( λ ) = a( λ) p( λ) + r( λ) και συνεπώς µε αντικατάσταση του s µε τον πίνακα Α θα έχουµε q( ) = a( ) p( ) + r( ) = r( ) Αυτό δηλαδή που µπορούµε να καταφέρουµε είναι να µειώσουµε τον βαθµό υπολογισµού του πολυωνυµικού πίνακα από k σε έναν βαθµό µικρότερο του. Ένα δεύτερο ερώτηµα που γεννιέται είναι πως θα υπολογίσουµε το υπόλοιπο r(λ). Ένας τρόπος είναι µε την απευθείας διαίρεση πολυωνύµων. Ο τρόπος αυτός είναι πολύ πολύπλοκος όταν ο βαθµός k του q(λ) είναι πολύ µεγαλύτερος από τον βαθµό του p(λ). Θα δούµε παρακάτω έναν δεύτερο τρόπο υπολογισµού του πολυωνύµου r(λ). η περίπτωση. Ας υποθέσουµε ότι ο πίνακας Α έχει τις ιδιοτιµές λ i, i =,,..., µε αλγεβρική πολλαπλότητα. Τότε θα έχουµε q( λi) = a( λi) p( λi) + r( λi) = r( λi) i =,,..., p λ = det λi = 0. Αν υποθέσουµε ότι : διότι ( ) [ ] i i ( λ ) = + λ+ + λ r r0 r r Θα πρέπει λοιπόν να λύσουµε το παρακάτω σύστηµα εξισώσεων : q( λi) = r0 + rλi + + r λ i i =,,..., 9... Παράδειγµα Προσπαθήστε να υπολογίσετε την παράσταση : + όπου 004 00 00
9. Θεώρηµα Cayley-Hamilto Σελίδα 8 από 5 Απάντηση Έχουµε λοιπόν ότι = 004 00 00 q ( λ ) = λ λ + λ και λ p( λ) = det = λ 6λ+ 8= ( λ )( λ 4) λ Ψάχνουµε λοιπόν για το υπόλοιπο r( λ ) = r0 + rλ της διαίρεσης του q(λ) µε το p(λ). Σύµφωνα µε την παραπάνω θεωρία θα πρέπει το υπόλοιπο r(λ) και το πολυώνυµο q(λ) να έχουν τις ίδιες τιµές για τις ιδιοτιµές του πίνακα Α δηλ. 004 00 00 q( ) = + = r0 + r = r( ) 004 00 00 q( 4) = 4 4 + 4 = r0 + 4r = r( 4) Λύνοντας το παραπάνω σύστηµα θα πάρουµε : 00 00 r0 ( 4 + ) = 00 4004 4 r 4 ( 6 4 ) = + 00 00 r0 4 = 4004 4004 r = 4 00 4004 00 4004 r0 6 6 = 00 4004 = 00 400 r + + και συνεπώς η τιµή που ψάχνουµε θα είναι 00 4004 0 00 400 q( ) = r( ) = ( 6 ) ( ) 0 + + = 00 4004 00 400 + + 4 = 00 400 00 4004 + 4 9... Άσκηση αυτοαξιολόγησης ίνεται ο πίνακας 6 = 0 Να υπολογίσετε τον πίνακα. η περίπτωση. Ας υποθέσουµε ότι ο πίνακας Α έχει την ιδιοτιµή λ i µε αλγεβρική πολλαπλότητα ν. Τότε θα έχουµε q λ = a λ p λ + r λ ( ) ( ) ( ) ( ) ν όπου p( λ ) [ λi ] ( λ λ ) p( λ) = det = i και συνεπώς θα έχουµε ισοδύναµα :
9. Θεώρηµα Cayley-Hamilto Σελίδα 9 από 5 ν ν ( λ ) = ( λ)( λ λ ) ( λ) + ( λ) ( λ ) = ( λ )( λ λ ) ( λ ) + ( λ ) ( λ ) = ( λ ) q a p r q a p r q r i i i i i i i i i ( λ) ( λ)( λ ν ν ν λ ) i ( λ) ( λ) ν ( λ λ ) i ( λ) ( λ)( λ λ ) i ( λ) ( λ) ν q' ( λ) = ( λ λ ) a ( λ) + r' ( λ) q' ( λ ) = r' ( λ ) q' = a' p + a p + a p' + r' i i i... ( ) ( ( ) ( ) ( ) ) ( ( ) ) ( q λ = λ λ ( ) ) i a λ r λ q λi r + = ( λi) Συνεπώς θα πρέπει για κάθε ιδιοτιµή λ i µε αλγεβρική πολλαπλότητα ν να λύσουµε τις εξισώσεις : q( λi) = r( λi) q' ( λi) = r' ( λi)... q λ = r λ υποθέτοντας ότι : ( ) ( ) i ( ) ( ) ( λ ) = + λ+ + λ r r r r 0 i 9... Παράδειγµα Προσπαθήστε να υπολογίσετε την παράσταση : 004 00 00 + όπου = 0 Απάντηση. Έχουµε λοιπόν ότι 004 00 00 q ( λ ) = λ λ + λ και λ p( λ) = det = λ 6λ+ 9= ( λ ) 0 λ Ψάχνουµε λοιπόν για το υπόλοιπο r( λ ) = r0 + rλ της διαίρεσης του q(λ) µε το p(λ). Σύµφωνα µε την παραπάνω θεωρία θα πρέπει το υπόλοιπο r(λ) και το πολυώνυµο q(λ), αλλά και οι παράγωγοι τους, να έχουν τις ίδιες τιµές για την ιδιοτιµή του πίνακα Α δηλ. 004 00 00 q( ) = + = r0 + r = r( ) 00 00 00 q' ( ) = 004 00 + 00 = r = r' ( ) Λύνοντας το παραπάνω σύστηµα θα πάρουµε : 00 00 00 r0 = 6009 + 6006 600 00 00 00 r = 004 00 + 00 και συνεπώς η τιµή που ψάχνουµε θα είναι
9. Θεώρηµα Cayley-Hamilto Σελίδα 0 από 5 0 = = + 0 + 00 00 00 + ( 004 00 + 00 ) = 0 00 00 00 ( ) r( ) ( 6009 6006 600 ) q 004 00 00 00 00 00 + 004 00 + 00 = 004 00 00 = 0 + ( ) ( ) 00 00 + 004 00 + 00 = = 00 0 ( + ) 00 00 7 409 = 00 0 7 Ορισµός του πίνακα Α I[]:= a = 88, <, 80, << Out[]= J 0 N 004 00 00 Υπολογισµός του αθροίσµατος + κάνοντας χρήση της συνάρτησης MatriPower[πίνακας, δύναµη] που υπολογίζει την «δύναµη» ενός «πίνακα» καθώς και της συνάρτησης FactorIteger[ακέραιος] που παραγοντοποιεί έναν «ακέραιο» αριθµό. I[]:= MatriPower@a, 004D MatriPower@a, 00D + MatriPower@a, 00D êê FactorIteger Out[]= i j k J 00 7 N J 00 409 N H 0 L J 00 7 N y z { Άρα το αποτέλεσµα που θα πάρουµε είναι ο πίνακας 00 00 7 409 00 0 7 το οποίο και συµφωνεί µε το αποτέλεσµα που υπολογίσαµε. 9...4 Άσκηση αυτοαξιολόγησης ίνεται ο πίνακας Να υπολογίσετε τον πίνακα 6. = Η παραπάνω µεθοδολογία µπορεί να εφαρµοστεί και σε οποιαδήποτε άλλη συνάρτηση q ( λ ), µη πολυωνυµική, η οποία έχει ανάπτυγµα Taylor το οποίο συγκλίνει σε µια περιοχή λ < R και όλες οι ιδιοτιµές του πίνακα Α έχουν την ιδιότητα απολύτως να ανήκουν στην περιοχή αυτή.
9. Θεώρηµα Cayley-Hamilto Σελίδα από 5 9...5 Παράδειγµα ίνεται ο πίνακας 5 8 = 5 να υπολογιστεί ο πίνακας e. Απάντηση Η συνάρτηση q( λ ) = e λ συγκλίνει σε όλο τον πραγµατικό άξονα και συνεπώς µπορούµε να εφαρµόσουµε την µεθοδολογία που έχουµε αναπτύξει παραπάνω. Ο πίνακας Α έχει το χαρακτηριστικό πολυώνυµο : λ 5 8 p ( λ) = = λ 9= ( λ )( λ+ ) λ + 5 Ψάχνουµε λοιπόν για ένα πολυώνυµο r( λ ) = r0 + rλ το οποίο θα έχει τις ίδιες τιµές µε το q(λ) στις ιδιοτιµές του πίνακα Α δηλ. q( ) = e = r0 + r = r( ) q( ) = e = r0 r = r( ) λύνοντας το παραπάνω σύστηµα θα έχουµε : 0 e r0 e e r e r = = r ( e + e r ) 0 e = r = 6 e ( e e ) 6 και συνεπώς η τιµή που ψάχνουµε θα είναι 0 5 8 q( ) = r( ) = ( e + e ) ( ) 0 + e e 6 5 = 8 8 e e ( e e ) 6 6 6 = 8 ( e e ) e + e 6 6 6 Ορισµός του πίνακα Α I[]:= a= 885, 8<, 8, 5<< Out[]= J 5 8 - -5 N Υπολογισµός του πίνακα e
9. Θεώρηµα Cayley-Hamilto Σελίδα από 5 I[]:= MatriEp@aD Out[]= i j k -+4 6 4 J-+ 6 N - 6 4-6 y z { Σηµείωση. Ο πίνακας συνάρτησης e : e ορίζεται σύµφωνα µε το ανάπτυγµα Taylor της e I!! = + + + 9...6 Άσκηση αυτοαξιολόγησης ίνεται ο πίνακας Να υπολογίσετε τον πίνακα si ( ). 5 8 = 5 Σηµείωση. Ο πίνακας si ( ) ορίζεται σύµφωνα µε το ανάπτυγµα Taylor της συνάρτησης si ( ) : si!! k ( ) ( ) ( k + ) k + = + + + Ασκήσεις 9.. ίνεται ο πίνακας a b = c d Εφόσον υπολογίσετε το χαρακτηριστικό πολυώνυµο του παραπάνω πίνακα, να επαληθεύσετε το Θεώρηµα Cayley-Hamilto.. ίνεται ο πίνακας = Να υπολογίσετε µε την βοήθεια του Θεωρήµατος Cayley-Hamilto την ν-οστή δύναµη του πίνακα Α.. ίνεται ο πίνακας 4 = 4 4 (α) Να υπολογίσετε µε την βοήθεια του Θεωρήµατος Cayley-Hamilto τον αντίστροφο του πίνακα Α. (β) Να υπολογίσετε τον πίνακα ως συνάρτηση του πίνακα Α.
9. Θεώρηµα Cayley-Hamilto Σελίδα από 5 Ενδεικτικές λύσεις των ασκήσεων.. Το χαρακτηριστικό πολυώνυµο του πίνακα Α είναι λ a b p ( λ) = det λi, = det = λ ( a + d ) λ+ ( ad bc) c λ d Είναι εύκολο να δείξουµε ότι p = a + d + ad bc I = ( ) ( ) ( ), ίχνος ( Α) a b a b ad bc 0 0 0 = ( a+ d) + = c d c d 0 ad bc 0 0 det [ ]. Το χαρακτηριστικό πολυώνυµο του πίνακα Α είναι λ p( λ) = det λi, = det = λ λ = ( λ )( λ+ ) λ r λ = r + rλ της διαίρεσης του Ψάχνουµε λοιπόν για το υπόλοιπο ( ) 0 q ( λ ) λ = µε το p(λ). Σύµφωνα µε την παραπάνω θεωρία θα πρέπει το υπόλοιπο r(λ) και το πολυώνυµο q(λ) να έχουν τις ίδιες τιµές για τις ιδιοτιµές του πίνακα Α δηλ. q = = r + r = r ( ) ( ) 0 ( ) = ( ) = = ( ) q r r r 0 Λύνοντας το παραπάνω σύστηµα θα πάρουµε : r 0 r0 = = r ( ) r = ( ) 4 ( ) ( ) ( ) r 0 + = r 4 και συνεπώς η τιµή που ψάχνουµε θα είναι 0 q( ) = r( ) = ( + ( ) ) ( ( ) ) 4 0 + 4 = ( + ( ) ) ( ( ) ) = ( ( ) ) ( + ( ) ) Θα µπορούσε να λυθεί και στο Mathematica όπως παρακάτω : I[]:= MatriPower@88, <, 8, <<, D Out[]= i H-L + j - k H-L + - H-L + H-L + y z {
9. Θεώρηµα Cayley-Hamilto Σελίδα 4 από 5. Ο πίνακας Α έχει χαρακτηριστικό πολυώνυµο ( ) ( ) ( ) p λ = det( λi ) = λ λ 8 = λ λ + 6λ και συνεπώς από το Θεώρηµα Cayley-Hamilto θα έχουµε p ( ) = + 6 I = 0, ή ισοδύναµα ( + 6I) = I ( + 6I) = I 4 4 = ( + 6I ) = 4 4 4 4 Θα µπορούσε να λυθεί και στο Mathematica όπως παρακάτω : I[]:= a= 884,, <, 8, 4, <, 8,, 4<< Out[]= i 4 y 4 j z k 4{ I[]:= Iverse@aD Out[]= i 8-8 j - k 8-8 8-8 - y 8-8 z 8 { = + µε τον πίνακα Αν πολλαπλασιάσουµε την σχέση ( 6I ) θα πάρουµε : = ( + 6I) = ( I+ 6 ) 6 4 84 = I 6 ( 6I ) I + + = +
9.4 Ελάχιστο Πολυώνυµο Σελίδα 5 από 5 9.4 Ελάχιστο Πολυώνυµο 9.4. Ορισµός Με τον όρο ελάχιστο πολυώνυµο ενός πίνακα ελάχιστο βαθµό το οποίο µηδενίζεται από τον πίνακα, ορίζουµε το πολυώνυµο µε τον. Ένας εύκολος τρόπος υπολογισµού του ελάχιστου πολυωνύµου για µικρούς πίνακες δίνεται από το παρακάτω θεώρηµα. 9.4. Θεώρηµα (α) Έστω του πίνακα οριζουσών του πίνακα δίνεται από τον τύπο :. Ορίζουµε ως q( λ) det[ λi ], και ως q ( λ ) λi. Τότε ελάχιστο πολυώνυµο ( ) q ( λ ) ψ ( λ ) = q ( λ ) (β) Το ελάχιστο πολυώνυµο ψ ( λ ) ενός πίνακα = το χαρακτηριστικό πολυώνυµο τον µέγιστο κοινό διαιρέτη όλων των τάξης ψ λ του πίνακα διαιρεί κάθε πολυώνυµο q ( λ ) που µηδενίζει τον πίνακα Α δηλ. q( ) = 0. (γ) Το χαρακτηριστικό πολυώνυµο ψ ( λ ) και το χαρακτηριστικό πολυώνυµο q( λ) = det[ λi ] έχουν τους ίδιους αµείωτους παράγοντες 4. 9.4. Παράδειγµα Θεωρείστε τον πίνακα 0 = 0 0 0 0 ο οποίος, σύµφωνα µε το παράδειγµα 9.., έχει χαρακτηριστικό πολυώνυµο : ( ) ( ) q λ = det( λi ) = λ = λ 6λ + λ 8 Θεωρείστε τον πίνακα λ 0 λi = 0 λ 0 0 0 λ Το σύνολο των τάξης -= οριζουσών του παραπάνω πίνακα είναι οι εξής : {( λ ),0,0,0, ( λ ), ( λ ),0,0, ( λ ) } 4 Εαν δηλαδή το χαρακτηριστικό πολυώνυµο περιέχει τον όρο ( λ λ ) k i τότε το ελάχιστο πολυώνυµο θα περιέχει σίγουρα τον όρο ( λ λ i ) υψωµένο σε δύναµη µικρότερη ή ίση του k.
9.4 Ελάχιστο Πολυώνυµο Σελίδα 6 από 5 Ο µέγιστος κοινός διαιρέτης των παραπάνω πολυωνύµων είναι q ( λ) ( λ ) =. Άρα σύµφωνα µε το Θεώρηµα 9.4.α το ελάχιστο πολυώνυµο του πίνακα Α δίνεται από τον τύπο : q ( λ) ( λ ) ψ ( λ) = = = ( λ ) q ( λ) ( λ ) όπως άλλωστε φάνηκε στο παράδειγµα 9... Ο πίνακας Α µπορεί να οριστεί στο Mathematica ως a= 88s,, 0<, 80, s, 0<, 80, 0, s << 88 + s,, 0<, 80, + s, 0<, 80, 0, + s<< Στη συνέχεια µέσω της συνάρτησης Miors[a,] µπορούµε να υπολογίσουµε όλες τις ορίζουσες τάξης του πίνακα Α, και µέσω της Flatte να πάρουµε τις ορίζουσες αυτές ως µια λίστα Miors@a, DêêFlatte 84 4s+ s,0,0,0,4 4s+ s, s, 0, 0, 4 4s+ s < Εφαρµόζοντας (pply) την συνάρτηση PolyomialGCD, που υπολογίζει τον µέγιστο κοινό διαιρέτη πολυωνύµων, στην παραπάνω λίστα (%) θα πάρουµε τον µέγιστο κοινό διαιρέτη των πολυωνύµων της παραπάνω λίστας q = pply@polyomialgcd, %D + s Συνεπώς το ελάχιστο πολυώνυµο θα είναι Det@aDêq êê Simplify H + sl 9.4.4 Παράδειγµα Θεωρείστε τον πίνακα 5 = 7 5 4 ο οποίος έχει χαρακτηριστικό πολυώνυµο : ( λ) = det( λ ) = ( λ ) ( λ ) q I Συνεπώς σύµφωνα µε το Θεώρηµα 9.4.γ το χαρακτηριστικό πολυώνυµο και το ελάχιστο πολυώνυµο θα έχουν τους ίδιους αµείωτους παράγοντες και συνεπώς το ελάχιστο πολυώνυµο θα είναι είτε το ψ ( λ) ( λ ) ( λ ) ψ ( λ) ( λ )( λ ) ( ) ( I )( I ) 0 = είτε το =. Μπορούµε εύκολα να διαπιστώσουµε ότι ψ = =. Ασκήσεις 9.4. Να υπολογιστεί το ελάχιστο πολυώνυµο του πίνακα
9.4 Ελάχιστο Πολυώνυµο Σελίδα 7 από 5 = 5 0. Ένας πίνακας είναι αντιστρέψιµος αν και µόνο αν ο σταθερός του όρος του ελάχιστου πολυωνύµου είναι διάφορος του µηδέν.. Να δείξετε ότι οι πίνακες πολυώνυµο. και T έχουν το ίδιο ελάχιστο
9.4 Ελάχιστο Πολυώνυµο Σελίδα 8 από 5 Ενδεικτικές λύσεις των ασκήσεων. Ο πίνακας Α έχει χαρακτηριστικό πολυώνυµο : ( λ) = det( λ ) = ( λ 4)( λ ) q I Θεωρείστε τον πίνακα λ λi = λ 5 λ Το σύνολο των τάξης -= οριζουσών του παραπάνω πίνακα είναι οι εξής : {(λ-6)(λ-), (λ-), (λ-), -(λ-), (λ-)(λ-), (λ-), -λ, λ-, (λ-)(λ-)} Ο µέγιστος κοινός διαιρέτης των παραπάνω πολυωνύµων είναι ( ) ( ) q λ = λ. Άρα σύµφωνα µε το Θεώρηµα 9.4. το ελάχιστο πολυώνυµο του πίνακα Α δίνεται από τον τύπο : q ( λ) ( λ 4)( λ ) ψ ( λ) = = = ( λ 4)( λ ) = λ 6λ+ 8 q λ λ ( ) ( ). Είναι γνωστό από το Θεώρηµα 9.4. ότι το ελάχιστο πολυώνυµο ψ ( λ ) του q ( λ ) πίνακα = και συνεπώς διαιρεί το q ( λ ) χαρακτηριστικό πολυώνυµο του πίνακα Α δηλ. q( λ) q( λ) = = q ( λ ) q( λ) = ψ ( λ) q ( λ) ψ ( λ) q ( λ ) q λ δίνεται από τον τύπο ψ ( λ ) ( ) Παίρνοντας την τιµή της τελευταίας σχέσης στο 0, θα έχουµε: q( 0) = ψ ( 0) q ( 0) Αν ο πίνακας Α είναι αντιστρέψιµος, τότε από Θεώρηµα 9..β q ( 0) 0 και συνεπώς ψ ( 0) 0.. Έστω ( ), T ( ) Θέλουµε να δείξουµε ότι ψ ( λ) ψ ( λ) T ψ ( λ) / ψ ( ) T λ και β) ψ ( λ) / ψ T ( λ ). q (α) Αν ψ ( λ ) = ψ0 + ψ λ + + ψ λ τότε T ψ λ ψ λ τα ελάχιστα πολυώνυµα των, αντίστοιχα. ( ) q 0 = ψ = ψ I + ψ + + ψ q 0 q T q 0 = ή ισοδύναµα ότι : α) ( ) T q ( ) 0 q ( ) ( ) ψ I + ψ + + ψ = ψ I + ψ + + ψ = 0 ψ = 0 T T T 0 q Επειδή όµως το πολυώνυµο ψ T ( ) T που ικανοποιεί την σχέση ψ T ( ) = 0, κάθε άλλο πολυώνυµο ( ) ικανοποιεί την σχέση q( ) = 0 είναι πολλαπλάσιο του ψ T ( ) T λ είναι το ελαχίστου βαθµού πολυώνυµο q λ που λ ή
9.4 Ελάχιστο Πολυώνυµο Σελίδα 9 από 5 διαφορετικά T ( )/ q ( ) ( )/ ( ) T ψ λ λ. Συνεπώς από την παραπάνω σχέση θα έχουµε ψ λ ψ λ. Προσπαθήστε όµοια να αποδείξετε το (β).
Σελίδα 40 από 5 Ασκήσεις του Κεφαλαίου 9. Έστω οι πίνακες 0 = ; = 0 0 (α) Να βρείτε τις ιδιοτιµές και τα ιδιοδιανύσµατα του κάθε πίνακα καθώς και την αλγεβρική και γεωµετρική πολλαπλότητα της κάθε ιδιοτιµής. (β) Σύµφωνα µε την άσκηση στο κεφάλαιο 9. δύο όµοιοι πίνακες έχουν το ίδιο χαρακτηριστικό πολυώνυµο. Μπορείτε να ελέγξετε από τους δύο παραπάνω πίνακες αν ισχύει το αντίστροφο της πρότασης αυτής ;. Έστω οι πίνακες = ; = 4 5 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 = ; 4 = 0 0 0 0 0 0 0 4 6 Να βρείτε τις ιδιοτιµές και τα ιδιοδιανύσµατα του κάθε πίνακα καθώς και την αλγεβρική και γεωµετρική πολλαπλότητα της κάθε ιδιοτιµής.. Έστω f : η γραµµική απεικόνιση η οποία ορίζεται ως εξής : (,, ) = ( + +, + 4 +, + + ) f Να υπολογίσετε τις ιδιοτιµές και ιδιοδιανύσµατα της παραπάνω γραµµικής απεικόνισης καθώς και τους ιδιοχώρους που αντιστοιχούν σε κάθε ιδιοτιµή της. 4. Να βρεθεί πίνακας που να έχει ως ιδιοδιανύσµατα µε αντίστοιχες ιδιοτιµές τα παρακάτω : λ, v, λ, v = = = = 5. Να αποδείξετε µε ένα αντιπαράδειγµα 5 ότι η ιδιοτιµή του πίνακα Α+Β δεν είναι κατά ανάγκη το άθροισµα µιας ιδιοτιµής του πίνακα Α και µιας ιδιοτιµής του πίνακα Β. 6. Να αποδείξετε µε ένα αντιπαράδειγµα ότι η ιδιοτιµή του πίνακα ΑΒ δεν είναι κατά ανάγκη το γινόµενο µιας ιδιοτιµής του πίνακα Α και µιας ιδιοτιµής του πίνακα Β. 5 Παράδειγµα που αποδεικνύει το αντίθετο της πρότασης.
Σελίδα 4 από 5 7. Έστω ένας πίνακας µε ιδιοτιµή λ και αντίστοιχο ιδιοδιάνυσµα, 0 δηλ. ( λi ) = 0, 0. Ορίζουµε ως γενικευµένο ιδιοδιάνυσµα του πίνακα το διάνυσµα y για το οποίο ισχύει η σχέση ( λi ) y =. (α) Να αποδείξετε ότι τα διανύσµατα {, y } είναι γραµµικώς ανεξάρτητα. (Υποθέστε το αντίθετο, ότι δηλαδή είναι γραµµικώς εξαρτηµένα δηλ. υπάρχουν αριθµοί ab, τέτοιοι ώστε a + by = 0 και προσπαθήστε να αποδείξετε το αντίθετο από αυτό που ζητάει η άσκηση). (β) Να υπολογίσετε το γενικευµένο ιδιοδιάνυσµα του πίνακα στην άσκηση. 8. Έστω ένας πίνακας ( ) = a ij. Ο Α ονοµάζεται στοχαστικός πίνακας αν : α) περιέχει µόνο θετικά στοιχεία, και β) αν το άθροισµα των στοιχείων κάθε γραµµής του πίνακα είναι ίσο µε την µονάδα δηλ. a+ a + + a =, i=,,...,. Να αποδείξετε ότι η λ = αποτελεί ιδιοτιµή i i i του πίνακα Α. (Σηµείωση. Αποδείξτε ότι το διάνυσµα w = ( ) T αποτελεί ένα ιδιοδιάνυσµα για την αντίστοιχη τιµή του λ) 9. Μια χρήσιµη υπολογιστική µέθοδος για τον υπολογισµό της µέγιστης κατ απόλυτη τιµή ιδιοτιµής ενός πίνακα δίνεται από τον παρακάτω αλγόριθµο : Βήµα. ιάλεξε ένα διάνυσµα 0, 0 0 Βήµα. Έστω = k k, k = + 0,,,... T k k+ Βήµα. Έστω β k =, k = 0,,,... T k k Κάτω από συγκεκριµένες συνθήκες µπορεί να αποδειχθεί ότι η ακολουθία β k τείνει (καθώς αυξάνουν οι τιµές του k) στην µέγιστη κατ απόλυτη τιµή ιδιοτιµή του Α. Χρησιµοποιώντας ως αρχικό διάνυσµα το 0 = Προσπαθήστε να υπολογίσετε τα β k, k = 0,,,,4 για τον πίνακα στην άσκηση. 0. Να υπολογίσετε τον αντίστροφο του πίνακα = 0 µε την βοήθεια του Θεωρήµατος Cayley-Hamilto.. Να υπολογίσετε την παράσταση + όπου 005 004
Σελίδα 4 από 5 4 4 = 0 0 µε την βοήθεια του Θεωρήµατος Cayley-Hamilto. t. Να υπολογίσετε την παράσταση e όπου = 0. Να υπολογίσετε το ελάχιστο πολυώνυµο του πίνακα 0 = 0 0 0 0
Σελίδα 4 από 5.. Απαντήσεις στις ασκήσεις του κεφαλαίου 9 = λ =, V = 0 0 (α) 0 0 = λ =, V =, 0 0 Ο πίνακας έχει ως ιδιοτιµή την λ = µε αλγεβρική πολλαπλότητα και γεωµετρική πολλαπλότητα, ενώ ο πίνακας έχει ως ιδιοτιµή την λ = µε αλγεβρική πολλαπλότητα και γεωµετρική πολλαπλότητα. (β) Οι δύο πίνακες έχουν το ίδιο χαρακτηριστικό πολυώνυµο p ( λ) ( λ ) =. Έστω ότι οι πίνακες, είναι όµοιοι δηλ. υπάρχει αντιστρέψιµος πίνακας t t T = τέτοιος ώστε t t = T T T = T t t 0 t t t t = 0 0 t t και άρα t = t + t t t t = + t = 0, t = 0, t, t t = t t = t Αν υπολογίσουµε όµως την ορίζουσα του πίνακα Τ θα δούµε ότι det[ T] = tt tt = 0 που µας οδήγησε σε άτοπο, λόγω του ότι υποθέσαµε ότι ο πίνακας T είναι det T 0. αντιστρέψιµος δηλ. [ ] λ = 6, V6 =, λ =, V = = 5 λ =, V = 0 Ο πίνακας έχει ως ιδιοτιµές τις λ = 6, λ =, λ = µε αλγεβρική και γεωµετρική πολλαπλότητα. = 4 λ = 6, V6 =, λ = 0, V0 = 0, 0
Σελίδα 44 από 5 Ο πίνακας έχει ως ιδιοτιµές τις λ = 6 µε αλγεβρική και γεωµετρική πολλαπλότητα και λ = 0 µε αλγεβρική και γεωµετρική πολλαπλότητα. 0 0 λ = 4, V4 =, λ =, V = 0 0 0 4 0 0 0 = 0 0 0 0 0 0 λ =, V =, λ4 =, V = 0 0 Ο πίνακας έχει ως ιδιοτιµές τις λ = 4, λ =, λ =, λ4 = µε αλγεβρική και γεωµετρική πολλαπλότητα. 0 0 0 0 0 0 4 = λ =, V =, λ =, V = 0 0 0 4 4 6 8 Ο πίνακας 4 έχει ως ιδιοτιµές τις λ =, λ = µε αλγεβρική πολλαπλότητα και γεωµετρική πολλαπλότητα αντίστοιχα η κάθε µια.. Παρατηρήστε ότι ο πίνακας της γραµµικής απεικόνισης είναι ο πίνακας της άσκησης. 4. Προσπαθήστε να λύστε το σύστηµα που προκύπτει από τις εξισώσεις : u = λu, u = λu Ο πίνακας που θα βγει είναι ο = 5. Θεωρείστε τους πίνακες 0 0 =, B= 0 0 και δείξτε ότι δεν ισχύει η πρόταση. 6. Θεωρείστε τους ίδιους πίνακες µε την άσκηση 4. 7. (α) Ας υποθέσουµε το αντίθετο από αυτό που µας ζητάει η άσκηση, ότι, y είναι γραµµικώς εξαρτηµένα δηλ. υπάρχουν δηλαδή τα διανύσµατα { } αριθµοί ab,, a 0, b 0 τέτοιοι ώστε a + by = 0. Πολλαπλασιάζοντας την σχέση αυτή µε τον πίνακα Α θα έχουµε :
Σελίδα 45 από 5 = λ a + by = 0 aλ + by = 0 ( ) ( ) y= λ y a+ by= 0 aλ+ b λy = 0 λ a+ by b= 0 b = 0 = 0 το οποίο όµως είναι άτοπο λόγω του ότι το 0. (β) είξαµε στην άσκηση, ότι το = ( 0) T αποτελεί ιδιοδιάνυσµα του πίνακα Α που αντιστοιχεί στην ιδιοτιµή λ =. Συνεπώς θα έχουµε y 0 y ( I ) y = = 0 y = 0 0 0 y 0 y = y =, y 0 0 και συνεπώς το γενικευµένο ιδιοδιάνυσµα που ψάχνουµε είναι της µορφής : y k =, k y 8. Παρατηρήστε ότι a a a a + a + + a a a a a a a + + + = = λ a a a a + a + + a 9. Έστω Τότε 0 v = ( ) T 0 = 0 =, β = = = = T 0 5 ( ) ( ) T 7 = =, β = = = = T 0 0 ( ) ( 4 ) T 4 = =, β = = = = T 0 4 7 ( 4 ) 4 ( 5 ) T 4 5 4 4 = =, β = 4 = = = T 0 5 44 6 ( 5 ) v
Σελίδα 46 από 5... ( + ) + = = =, = = = 0 ( + ) T β + + T + + + και συνεπώς η µέγιστη κατ απόλυτη τιµή ιδιοτιµή του πίνακα Α είναι η λ =. Πράγµατι είναι εύκολο να διαπιστώσει κανείς (λόγω της διαγώνιας µορφής) ότι ο πίνακας Α έχει ως ιδιοτιµή την λ = µε αλγεβρική πολλαπλότητα. 0. Ο πίνακας Α έχει χαρακτηριστικό πολυώνυµο p( λ) = det( λi ) = λ + λ + λ και συνεπώς από το Θεώρηµα Cayley-Hamilto θα έχουµε p ( ) = + + I = 0, ή ισοδύναµα ( + + I) = I ( + + I) = I = ( + + I ) = 4. Έχουµε ότι 005 004 q ( λ) = λ + λ και λ 4 4 p( λ) = det 0 λ λ 6λ λ 8 ( λ ) = + = 0 λ Ψάχνουµε λοιπόν για το υπόλοιπο r( λ ) = r0 + rλ+ rλ της διαίρεσης του q(λ) µε το p(λ). Σύµφωνα µε την παραπάνω θεωρία θα πρέπει το υπόλοιπο r(λ) και το πολυώνυµο q(λ), αλλά και οι παράγωγοι τους (πρώτη και δεύτερη), να έχουν τις ίδιες τιµές για την ιδιοτιµή του πίνακα Α δηλ. 005 004 q( ) = + = r0 + r+ 4r = r( ) 004 00 q' = 005 + 004 = r + r = r' ( ) ( ) 00 00 ( ) = + = = ( ) q'' 005 004 004 00 r r'' Λύνοντας το παραπάνω σύστηµα θα πάρουµε : 005 004 00 r0 = 4007 6 004 004 00 00 r = 005 40008 004 00 00 00 r = 004 005 + 004 00 και συνεπώς η τιµή που ψάχνουµε θα είναι