Το Φασµατικο Θεωρηµα

Το Φασµατικο Θεωρηµα Πτυχιακη Εργασια Μαριαννα Καλογηρου Α.Μ. 2163 Επιβλεπων: ρ. Αντωνης Τσολοµυτης A Τµηµα Μαθηµατικων Πανεπιστηµιο Αιγαιου Σαµος 25

2

Περιεχόµενα 1 Γραµµικοί χώροι-χώροι µε νόρµα 7 1.1 Γραµµικοί χώροι......................... 7 1.2 Χώροι µε νόρµα......................... 9 1.2.1 Ανισότητα Hölder..................... 9 1.2.2 Ανισότητα Minkowski................... 12 1.3 Τοπολογικοί και γεωµετρικοί συµβολισµοί........... 16 1.4 Πληρότητα............................ 16 2 Χώροι Hilbert 19 2.1 Ανισότητα Cauchy Schwartz και η νόρµα του Hilbert..... 2 2.2 Φραγµένα συναρτησοειδή Νόρµα................ 23 2.3 Φραγµένα γραµµικά συναρτησοειδοί σε χώρο Hilbert..... 27 3 Ο δυϊκός χώρος 33 3.1 Το ϑεώρηµα Hahn Banach και τα πρώτα επακόλουθα..... 33 3.1.1 Πορίσµατα του ϑεωρήµατος Hahn Banach....... 34 4 Γραµµικοί ϕραγµένοι τελεστές 39 4.1 Πληρότητα του L(X Y ).................... 41 4.2 Συµπαγείς τελεστές........................ 42 4.2.1 Συµπαγή σύνολα..................... 43 4.2.2 Ο χώρος των συµπαγών τελεστών............. 44 4.3 υϊκοί τελεστές.......................... 45 4.4 Συγκλίσεις στον χώρο L(X).................... 46 4.5 Αντιστρέψιµοι τελεστές...................... 47 5 Φάσµα-Θεωρία Fredholm 51 5.1 Ταξινόµιση του ϕάσµατος.................... 53 5.2 Θεωρία Fredholm........................ 56 3

4 ΠΕΡΙΕΧ ΟΜΕΝΑ 6 Αυτοσυζυγείς τελεστές 85 6.1 Γενικές ιδιότητες......................... 85 6.2 ιάταξη στον χώρο των αυτοσυζυγών τελεστών.......... 88 6.2.1 Ιδιότητες της διάταξης................... 88 6.3 Τελεστές προβολής και ορθοπροβολές.............. 9 7 Συναρτήσεις Τελεστών 91 7.1 Φασµατική ανάλυση....................... 96 7.1.1 Η κύρια ανισότητα.................... 97 7.1.2 Η κατασκευή του ϕασµατικού ολοκληρώµατος..... 98 7.2 Το ϑεώρηµα του Hilbert.................... 1 7.3 Φασµατική οικογένεια...................... 13 7.4 Απλό ϕάσµα........................... 11 8 Φασµατική Θεωρία unitary τελεστών 113 8.1 Φασµατικές ιδιότητες των unitary τελεστών........... 114

Ευχαριστίες Συνηθίζεται σε αυτό το κοµµάτι της πτυχιακής ο κάθε ϕοιτητής να εκφράζει την ευγνωµοσύνη και τις ευχαριστίες του σε όσους τον ϐοήθησαν σηµαντικά στη διάρκεια των σπουδών του. Η παρουσίαση της πτυχιακής εργασίας είναι η τελευταία ή µια απο τις τελευταίες ακαδηµαϊκές δραστηριότητες ενός ϕοιτητή, όσοι έχουν ϐρεθεί σε αυτή τη ϑέση καταλαβαίνουν ότι τα αισθήµατα είναι ιδιαίτερα έντονα. Και τι να πρωτοειπωθεί όταν ένας µεγάλος κύκλός τελειώνει και ένας άλλος άγνωστος ετοιµάζεται να αρχίσει. Θα ξεκινήσω ϕυσικά ευχαριστώντας τον Λέκτορα Αντώνη Τσολοµύτη ο οποίος δέχτηκε αρχικά να δουλέψω µαζί του, που µε καθοδήγησε στα µονοπάτια της συναρτησιακής ανάλυσης, που για µένα ήταν άγνωστο, για την υποµονή που έδειξε, για τις ώρες που µου αφιέρωσε και γενικά για το ϕιλικό κλίµα που δηµιούργησε µε την συµπεριφορά του. Επίσης ϑα ήθελα να ευχαριστήσω τον Καθηγητή Μιχαήλ Ανούση και τον Αναπληρωτή Καθηγητή Τσαπόγα Γεώργιο για τις συµβουλές που µου παρείχαν. Θα ήθελα ακόµη να ευχαριστήσω όλους όσους περάσανε απο τη Ϲωή µου, για τις γλυκιές στιγµές που µου χάρισαν. Ιδιαίτερα ϑα ήθελα να πω ευχαριστώ στον Ιορδάνη γιατί υπάρχει στη Ϲωή µου. Αισθάνοµαι πως ότι και να πω για τους γονείς µου ϑα είναι λίγο, πως να χωρέσουν άλλωστε 23 χρόνια ευχαριστιών σε ένα κοµµάτι χαρτί... Θα ήθελα να τους ευχαριστήσω για τον τρόπο που µε µεγάλωσαν, για την υποµονή που έδειχναν, για τις συµβουλές τους, την αγάπη τους και την υποστήριξη που µου παρείχαν κατά τη διάρκεια των σπουδών µου. 5

6 ΠΕΡΙΕΧ ΟΜΕΝΑ

Κεφάλαιο 1 Γραµµικοί χώροι-χώροι µε νόρµα 1.1 Γραµµικοί χώροι Σε αυτή την ενότητα ϑα µελετήσουµε γραµµικούς χώρους Ε πάνω στον χώρο των πραγµατικών αριθµών R ή των µιγαδικών αριθµών C. Ορισµός 1.1. Ο Ε λέγεται γραµµικός χώρος αν έχει δύο πράξεις+, όπου + : E E E : R E E που ικανοποιούν τις ιδιότητες 1. x+ y=y+x για κάθε x, y E 2. x+ (y+z)=(x+ y)+z για κάθε x, y, z E 3. E : +x= x+ =x για κάθε x E 4. (λµ)x= λ(µx) για κάθε λ, µ R για κάθε x E 5. λ(x+ y)=λx+ λy για κάθε λ Rγια κάθε x, y E 6. (λ+µ)x= λx+ µx για κάθε λ, µ R για κάθε x E 7. 1 x= x για κάθε x E 8. x= για κάθε x E 7

8 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 1. ΓΡΑΜΜΙΚΟ Ι Χ ΩΡΟΙ-Χ ΩΡΟΙ ΜΕ Ν ΟΡΜΑ Ορισµός 1.2. Μια απεικόνιση A : E 1 E 2 λέγεται γραµµική αν για κάθε λ, µ R και για κάθε x, y E ισχύει A(λx+ µy)=λa(x)+µa(y). Θα ορίσουµε ακόµη δύο σύνολα τα οποία σχετίζονται µε µια γραµµική απεικόνιση Α. Το πρώτο σύνολο είναι ο πυρήνας της γραµµικής απεικόνισης Α και συµβολίζεται µε ker A και το άλλο σύνολο είναι η εικόνα της γραµµικής απεικόνισης Α και συµβολίζεται µε Im A και ορίζονται ως : και ker A={x E 1 : Ax= } Im A={Ax : x E 1 } Ορισµός 1.3. Μια γραµµική απεικόνιση A : E 1 E 2 λέγεται ισοµορφισµός και οι χώροι E 1 και E 2 λέγονται ισόµορφοι αν η απεικόνιση Α είναι «1-1» και «επί» δηλαδή αν ker A={} και Im A=E 2. Ορισµός 1.4. Ο E 1 λέγεται υπόχωρος του Ε αν είναι υποσύνολο του Ε και οι πράξεις του Ε είναι κλειστές στον E 1. Γράφουµε E 1 E. Ορισµός 1.5. Το σύνολο των διανυσµάτων x 1, x 2,..., x n E λέγεται γραµµικά ανεξάρτητο αν ο µόνος τρόπος για να ισχύει η σχέση είναι να έχουµε ότι a 1 x 1 + a 2 x 2 + +a n x n = a 1 = a 2 = =a n. Ενα σύνολο διανυσµάτων x 1, x 2,..., x n E λέγεται γραµµικά εξαρτηµένο αν υπάρχουν αριθµοί a 1, a 2,..., a n όχι όλοι ταυτόχροα µηδέν τέτοιοι ώστε a 1 x 1 + a 2 x 2 + +a n x n = Ορισµός 1.6. Γραµµική ϑήκη (span) των x 1, x 2,..., x n τα οποία ανήκουν στον γραµµικό χώρο Ε λέµε το σύνολο όλων των γραµµικών συνδιασµών όπου τα (a i ) n i=1 R και γράφουµε a 1 x 1 + a 2 x 2 + +a n x n span{x 1, x 2,..., x n }= a {E a : E a E και x 1, x 2,..., x n E a } όπου οι E a είναι όλοι οι υπόχωροι του Ε. Ορισµός 1.7. ιάσταση ενός γραµµικού χώρου λέµε το µέγιστο πλήθος γραµ- µικών ανεξάρτητων διανυσµάτων. Οποιοδήποτε τέτοιο σύνολο λέγεται ϐάση.

1.2. Χ ΩΡΟΙ ΜΕ Ν ΟΡΜΑ 9 1.2 Χώροι µε νόρµα Ορισµός 1.8. Η νόρµα x του x E είναι µια συνάρτηση απο τον Ε στον R η οποία ικανοποιεί τις ακόλουθες ιδιότητες : 1. x και x =αν και µόνο αν x= 2. λx = λ x για κάθε λ Rκαι για κάθε x E 3. x+ y x + y. Αν ο Ε είναι πάνω στο πεδίο C τότε παίρνουµε λ C. Ορισµός 1.9. Η νόρµα 1 λέµε ότι είναι «ισχυρότερη» απο τη νόρµα 2, αν υπάρχει µια σταθερά C > τέτοια ώστε x 2 C x 1 για κάθε x E. Οι νόρµες 1 και 2 λέγονται ισοδύναµες αν υπάρχουν σταθερές C, c > τέτοιες ώστε c x 2 x 1 C x 2 για όλα τα x E. 1.2.1 Ανισότητα Hölder Θεώρηµα 1.1. Για κάθε ακολουθία (a i ) i=1 και (b i) i=1 και για κάθε 1 < p < ισχύει ότι όπου a k b k k=1 ( ) 1/p ( ) 1/p a k b k a k p b k p (1.1) k=1 k=1 1 p + 1 q = 1. Απόδειξη. Να σηµειώσουµε πρώτα δύο σχέσεις, οι οποίες ϑα µας είναι πολύ χρήσιµες στη συνέχεια, για τους αριθµούς p και q 1 = q 1 και (p 1)q=p p 1 k=1 Θέτουµε a k c k = ( a k p ) 1/p

1 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 1. ΓΡΑΜΜΙΚΟ Ι Χ ΩΡΟΙ-Χ ΩΡΟΙ ΜΕ Ν ΟΡΜΑ και Τότε c pk = ( d k = και µε τον ίδιο τρόπο έχουµε ότι b k ( b k p ) 1/p a k ) p ( ak p = a k p ) 1/p (( a k p ) 1/p ) p= 1 d p k = 1. Για να αποδείξουµε το Ϲητούµενο αρκεί να δείξουµε ότι c k d k 1 Ελέγχουµε πρώτα ότι c k d k 1 p cp k + 1 q dq k Οντως αυτή η σχέση ισχύει. Θεωρούµε τη συνάρτηση y=x p 1 και ολοκληρώνουµε απο το µέχρι c k ως προς x. Τότε η περιοχή S 1 η οποία αντιπροσωπεύεται απο το ολοκλήρωµα αυτό είναι S 1 = ck [ x p x p 1 dx= p ] x=ck x= = 1 p cp k Παρόµοια, ολοκληρώνοντας την αντίστροφη συνάρτηση x= y 1 p 1 = y 1 q έχουµε ότι η περιοχή S 2 η οποία αντιπροσωπεύεται απο αυτό το ολοκλήρωµα και είναι ίση µε dk [ y q] y=dk S 2 = y q 1 dy= = 1 q q dq k και έτσι έχουµε ότι το άθροισµα S 1 + S 2 πάντα υπερβαίνει το γινόµενο c k d k. Άρα καταλήγουµε στη σχέση y= c k d k 1 p cp k + 1 q dq k

1.2. Χ ΩΡΟΙ ΜΕ Ν ΟΡΜΑ 11 η οποία γίνεται ισότητα µόνο όταν d k = c p 1 k. Προσθέτοντας τώρα την τελευταία ανισότητα έχουµε ότι ( 1 c k d k p cp+ 1 ) k q dq k = 1 p c p + 1 d q k k q = 1 p + 1 q = 1 Στην περίπρωση όπου p = q=2 η πιο πάνω ανισότητα λέγεται Cauchy Schwartz Θεώρηµα 1.2. Εστω ότι 1 < p < και το q είναι τέτοιο ώστε 1 p + 1 q = 1 τότε για όλες τις συναρτήσεις f, g στο διάστηµα [a, b] τέτοιες ώστε τα ολοκλη- ϱώµατά τους b a f (t) p dt, b a g(t) q dt και b a f (t) g(t) dt να υπάρχουν (ως ολοκληρώµατα Riemann) έχουµε ότι b ( b ) ( b ) 1/q f (t) g(t) dt f (t) p dt 1/p g(t) q dt (1.2) a a Να σηµειώσουµε ακόµη ότι αν υπάρχει και το ολοκλήρωµα Riemann προκύπτει ότι b a f (t)g(t)dt b a f (t)g(t)dt ( b f (t) p dt a ) 1/p a ( b ) 1/q g(t) q dt (1.3) a

12 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 1. ΓΡΑΜΜΙΚΟ Ι Χ ΩΡΟΙ-Χ ΩΡΟΙ ΜΕ Ν ΟΡΜΑ Απόδειξη. Θεωρούµε µια διαµέριση του διαστήµατος [a, b] σε n ίσα υποδιαστήµατα µε άκρα a= x < x 1 < < x n = b. Εστω Εχουµε x= b a n. n f (x i )g(x i ) x = i=1 = = n f (x i )g(x i ) ( x) 1/p+1/q i=1 n f (x i ) g(x i ) ( x) 1/p ( x) 1/q i=1 n ( )( ) f (x i ) ( x) 1/p g(x i ) ( x) 1/q i=1 και τώρα µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε την ανοσότητα Hölder και ϑα πά- ϱουµε ότι = ( n ( ) p ) 1/p ( n ( ) q ) 1/q f (x i ) ( x) 1/p g(x i ) ( x) 1/q i=1 i=1 ( n ) 1/p ( n f (x i ) p x g(x i ) q x i=1 i=1 ) 1/q Αφήνοντας το n έχουµε ότι b a ( b ) ( b ) 1/q f (x) g(x) dx f (x) p dx 1/p g(x) q dx a a 1.2.2 Ανισότητα Minkowski Θεώρηµα 1.3. Για κάθε ακολουθία a= (a i ) i=1 και b=(b i) i=1 και για p τέτοιο ώστε 1 p ισχύει ότι a+ b p a p + b p (1.4)

1.2. Χ ΩΡΟΙ ΜΕ Ν ΟΡΜΑ 13 Απόδειξη. Η περίπτωση όπου p=1είναι προφανής γιατί (a i )+(b i ) 1 = a i + b i i=1 ( a i + b i ) i=1 a i + i=1 i=1 b i = (a i ) 1 + (b i ) 1 Αν πάλι p= ηανισότητα είναι προφανής επειδή sup a i + b i sup a i + sup b i i=1,... i=1,..., i=1,..., Τώρα µας αποµένει να εξετάσουµε την περίπτωση όπου 1 < p < (a i )+(b i ) p p = = = a i + b i p i=1 a i + b i p 1 a i + b i i=1 a i + b i p 1 ( a i + b i ) i=1 a i + b i p 1 a i + i=1 i=1 a i + b i p 1 b i Σε αυτό το σηµείο εφαρµόζουµε την ανισότητα Hölder για κάθε ένα απο τα πιο πάνω αθροίσµατα και έχουµε ότι a i + b i p p + (( ) q ) 1/q ( ) 1/p a i + b i p 1 a i p i=1 i=1 (( ) q ) 1/q ( ) 1/p a i + b i p 1 b i p i=1 i=1

14 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 1. ΓΡΑΜΜΙΚΟ Ι Χ ΩΡΟΙ-Χ ΩΡΟΙ ΜΕ Ν ΟΡΜΑ Χρησιµοποιούµε τώρα και το γεγονός ότι (p 1)q=pκαταλήγουµε στην ακόλουθη σχέση a i + b i p p + ( ) 1/q ( ) 1/p a i + b i p a i p i=1 i=1 ( ) 1/q ( ) 1/p a i + b i p b i p i=1 i=1 Άρα άχουµε καταλήξει στη σχέση a i + b i p p = ( ) 1/q [( ) 1/p ( ) 1/p ] a i + b i p a i p + b i p i=1 i=1 i=1 ( ) 1/q [ ] a i + b i p (a i ) p + (b i ) p i=1 Τελικά διαιρούµε και τα δύο µέρη µε ( ) 1/q a i + b i p i=1

1.2. Χ ΩΡΟΙ ΜΕ Ν ΟΡΜΑ 15 και χρησιµοποιούµε τη σχέση 1 1/q=1/p και άρα έχούµε ότι a i + b i p p ( ) 1/q i=1 a i+ b i p (a i ) p + (b i ) p a i + b i p p ( ) 1 1/p i=1 a i + b i p (a i ) p + (b i ) p a i + b i p p ( )( i=1 a ) 1/p i+ b i p i=1 a i+ b i p (a i ) p + (b i ) p ( a i + b i p p )( i=1 a i + b i p ) 1/p a i + b i p p (a i ) p + (b i ) p και έτσι καταλήγουµε στο Ϲητούµενό µας, ότι a i + b i p (a i ) p + (b i ) p Θεώρηµα 1.4. Για όλα τα p τέτοια ώστε 1 < p < και για όλες τις συναρτήσεις f, g σε ένα διάστηµα [a, b] για τις οποίες τα ολοκληρώµατα b f (x) p dx και b a a υπάρχουν, τότε και το ολοκλήρωµα b a f (x)+g(x) p dx g(x) p dx υπάρχει και ισχύει ότι ( b ) 1/p ( b f (x)+g(x) p dx f (x) p dx a + a ) 1/p ( b ) 1/p g(x) p dx (1.5) a

16 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 1. ΓΡΑΜΜΙΚΟ Ι Χ ΩΡΟΙ-Χ ΩΡΟΙ ΜΕ Ν ΟΡΜΑ Απόδειξη. Θεωρούµε τη διαµέριση a= x < x 1 < < x n = b η οποία διαιρεί το διάστηµα [a, b] σε n ίσα υποδιαστήµατα, τα οποία έχουν µήκος ίσο µε x=: b a n. Χρησιµοποιώντας τώρα τη σχέση 1.4 δηλαδή την ανισότητα Minkowski παίρνουµε ότι ( n ) 1/p n ) 1/p ( n ) 1/p f (x i )+g(x i ) p x ( f (x i ) p x + g(x i ) p x i=1 Αφήνοντας το n καταλήγουµε στο Ϲητούµενο. i=1 i=1 1.3 Τοπολογικοί και γεωµετρικοί συµβολισµοί Ορισµός 1.1. Μια ακολουθία (x n ) n=1 σε ένα χώρο Χ µε νόρµα λέµε ότι συγκλίνει σε ένα σηµείο x X αν και µόνο αν x n x. Ορισµός 1.11. Μια ανοικτή µπάλα µε κέντρο x και ακτίνα r > ορίζουµε να είναι το σύνολο D r (x )={x : x x < r}. Ορισµός 1.12. Ενα σύνολο O X λέµε ότι είναι ανοικτό αν και µόνο αν για κάθε x O, υπάρχει r > τέτοιο ώστε D r (x) O. Ενα σύνολο F X λέµε ότι είναι κλειστό αν για κάθε ακολουθία x n F η οποία συγκλίνει σε κάποιο x X, συνεπάγεται ότι x F. Ορισµός 1.13. Ενα υποσύνολο Μ ενός χώρου Χ µε νόρµα λέγεται ϕραγµένο αν υπάρχει ένας αριθµός C > τέτοιος ώστε για όλα τα x M έχουµε ότι x C. 1.4 Πληρότητα Ορισµός 1.14. Μια ακολουθία (x n ) n=1 στον χώρο Χ µε νόρµα λέγεται ακολουθία Cauchy αν και µόνο αν για κάθε ε > υπάρχει N N τέτοιο ώστε x n x m < ε για όλα τα n, m > N.

1.4. ΠΛΗΡ ΟΤΗΤΑ 17 Να σηµειώσουµε εδώ κάποιες απλές ιδιότητες των ακολουθιών Cauchy: 1. Αν η ακολουθία (x n ) n=1 είναι Cauchy τότε συνεπάγεται ότι το lim n x n υπάρχει (στον R). Αυτό ισχύει επειδή απο την τριγωνική ανισότητα x n x m x n x m το οποίο δείχνει ότι η ( x n ) n=1 είναι Cauchy. 2. Αν η ακολουθία (x n ) n=1 είναι Cauchy τότε είναι και ϕραγµένη. Αυτό ισχύει επειδή η ( x n ) είναι συγκλίνουσα και άρα είναι και ϕραγµένη. ηλαδή υπάρχει M R τέτοιο ώστε x n M για κάθε n N. Ορισµός 1.15. Ενας χώρος Χ µε νόρµα λέγεται πλήρης αν και µόνο κάθε ακολουθία Cauchy συγκλίνει σε ένα στοιχείο x του χώρου X. Ορισµός 1.16. Ενας πλήρης χώρος µε νόρµα (X, ) λέγεται χώρος Banach. Ορισµός 1.17. Εστω ότι οι E, F είναι χώροι µε νόρµα. Λέµε ότι η γραµµική απεικόνιση T : E F είναι ισοµετρία αν και µόνο αν για όλα τα x E. Tx F = x E

18 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 1. ΓΡΑΜΜΙΚΟ Ι Χ ΩΡΟΙ-Χ ΩΡΟΙ ΜΕ Ν ΟΡΜΑ

Κεφάλαιο 2 Χώροι Hilbert Ορισµός 2.1. Εστω ότι ο Η είναι ένας διανυσµατικός χώρος επί του C. Εσωτερικό γινόµενο λέµε µια συνάρτηση µε τις εξής ιδιότητες:, : H H C 1. Γραµµικότητα ως προς το πρώτο όρισµα: ax+ by, z =a x, z +b y, z όπου x, y, z H και a, b C. 2. y, x = x, y 3. Μη αρνητικότητα: x, x και x, x =αν και µόνο αν x=. Παρατήρηση 2.1. z, ax+ by = ax+ by, z =a x, z +b y, z = a x, z +b y, z =a z, x +b z, y Αρα z, ax+ by =a z, x +b z, y και γι αυτό λέµε ότι το εσωτερικό γινόµενο είναι ηµιγραµµικό ως προς τη δεύτερη µεταβλητή. Θεωρούµε ακόµη τη συνάρτηση p(x)= x, x 1/2. 19

2 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 2. Χ ΩΡΟΙ ΗΙΛΒΕΡΤ Θα αποδείξουµε αργότερα ότι αυτή η συνάρτηση είναι νόρµα και ϑα την συµβολίζουµε µε x. Παράδειγµα 2.1. Στον χώρο C 2 [a, b] ο οποίος είναι C 2 [a, b]={f : [a, b] C συνεχής} ορίζουµε το εσωτερικό γινόµενο να είναι f, g = b a f (x)g(x)dx Τώρα ϑα ελέγξουµε αν είναι καλά ορισµένο. Εχουµε ότι f, g = b a f (x)g(x)dx b f (x) g(x) dx a ( b ) 1/2 ( b ) 1/2 f (x) 2 g(x) 2 < a a Οπου στην προηγούµενη σχέση χρησιµοποιήσαµε την ανισότητα Hölder για p=q=2. Άρα το εσωτερικό γινόµενο είναι καλά ορισµένο. 2.1 Ανισότητα Cauchy Schwartz και η νόρµα του Hilbert Θεώρηµα 2.1. Για όλα τα διανύσµατα x και y σε ένα γραµµικό χώρο Η µε εσωτερικό γινόµενο, η ακόλουθη ανισόττα η οποία λέγεται «ανισότητα Cauchy Schwartz» είναι αληθής x, y x, x 1/2 y, y 1/2 Απόδειξη. Υπενθυµίζουµε τον συµβολισµό p(x)= x, x 1/2 οπότε p(x) 2 =

2.1. ΑΝΙΣ ΟΤΗΤΑ ΑΥ ΗΨ-Σ ΗΩΑΡΤΖ ΚΑΙ Η Ν ΟΡΜΑ ΤΟΥ ΗΙΛΒΕΡΤ 21 x, x. Τότε για κάθε λ Cκαι για x, y H παίρνουµε ότι x λy, x λy = x, x λy λ y, x λy = x, x + x, λy λ y, x λ y, λy = x, x λ x, y λ y, x λ λ y, y = p(x) 2 λ y, x λ y, x + λ 2 p(y) 2 = p(x) 2 2 Re(λ y, x )+ λ 2 p(y) 2 Αφού η ανισότητα µας ισχύει για κάθε λ Cεπιλέγουµε το λ να είναι λ= p(x)2 y, x. Άρα p(x) 2 2 Re ( p(x) 2 y, x y, x ) + p(x)4 y, x 2 p(y)2 = p(x) 2 + p(x)4 p(y) 2 = p(x) 2 p(x)4 p(y) 2 y, x 2 y, x 2 Σε αυτό το σηµείο µπορούµε να υποθέσουµε ότι p(x) επειδή αν p(x)= τότε x = και έτσι η ανισότητα ισχύει τετριµµένα. Άρα διαιρώντας µε το p(x) έχουµε ότι y, x 2 p(x) 2 p(y) 2 = y, x 2 x, x y, y Ετσι καταλήγουµε στο επιθυµιτό αποτέλεσµα, ότι δηλαδή

22 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 2. Χ ΩΡΟΙ ΗΙΛΒΕΡΤ y, x x, x 1/2 y, y 1/2. Τώρα ϑα αποδείξουµε ότι η συνάρτηση p(x)= x = x, x 1/2 είναι νόρµα. Για να το επιτύχουµε αυτό ϑα πρέπει να δείξουµε ότι ισχύουν οι τρεις ιδιότητες που αναφέραµε στον ορισµό της νόρµας. Ετσι έχουµε ότι: 1. p(x)= x, x 1/2 και p(x)= x, x = x= 2. Πρέπει να δείξουµε ότι ισχύει η σχέση p(λx)= λ p(x). p(λx)= λx, λx 1/2 = (λλ x, x ) 1/2 = ( λ 2 x, x ) 1/2 = λ p(x) 3. Τώρα ϑα αποδείξουµε ότι ισχύει η τριγωνική ανισότητα p(x+ y) p(x)+p(y) p(x+ y) 2 = x+ y, x+ y = x, x + x, y + y, x + y, y = p(x) 2 + 2 Re x, y +p(y) 2 p(x) 2 + 2 x, y +p(y) 2 p(x) 2 + 2p(x)p(y)+p(y) 2 = (p(x)+p(y)) 2. Και έτσι δείξαµε ότι p(x+ y) p(x)+p(y). Από τώρα και στο εξής ϑα χρησιµοποιούµε τον συµβολισµό x αντί για p(x). Άρα ο Η είναι ένας χώρος µε νόρµα, µε τη νόρµα x η οποία λέγεται η νόρµα του Hilbert και ορίζεται απο το εσωτερικό γινόµενο στον Η. Λέµε τον Η χώρο Hilbert αν ο Η είναι πλήρης µε αυτή τη συγκεκριµένη νόρµα.

2.2. ΦΡΑΓΜ ΕΝΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΟΕΙ Η Ν ΟΡΜΑ 23 2.2 Φραγµένα γραµµικά συναρτησοειδή σε χώρο µε νόρµα η νόρµα του συναρτησοειδούς Ορισµός 2.2. Εστω ότι ο Ε είναι ένας γραµµικός χώρος επί του R ή του C. Γραµµικά συναρτησοειδή είναι συναρτήσεις (ή f : E C) τέτοιες ώστε για όλα τα x, y E λ, µ R (ή C). Να σηµειώσουµε ακόµη ότι ο f : E R f (λx+ µy)=λf (x)+µf (y) (2.1) ker f={x E : f (x)=} είναι γραµµικός υπόχωρος τον οποίο τον συµβολίζουµε συχνά ως H f. Ορισµός 2.3. Για ένα χώρο Ε ϑα γράφουµε E και ϑα εννοούµε τον χώρο όλων των γραµµικών συναρτησοειδών στο χώρο Ε. Ορισµός 2.4. Εστω ότι ο X= (E, ) είναι ένας χώρος µε νόρµα. Λέµε ότι το γραµµικό συναρτησοειδές f E είναι ϕραγµένο αν υπάρχει c > τέτοιο ώστε f (x) c x δηλαδή ως συνάρτηση η f είναι ϕραγµένη σε ϕραγµένα σύνολα. Ορισµός 2.5. Λέµε ότι το f E είναι συνεχές συναρτησοειδές αν ισχύει η x n x συνεπάγεται ότι f (x n ) f (x). Ορισµός 2.6. Για ένα χώρο Χ ϑα γράφουµε X και ϑα εννοούµε τον χώρο των ϕραγµένων γραµµικών συναρτησοειδών του Χ. Παρατήρηση 2.2. Ο X είναι προφανώς ένας γραµµικός χώρος ως προς την πρόσθεση των συναρτησοειδών. Εστω ότι f, g X λ, µ C τότε ισχύει ότι f (x) c x

24 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 2. Χ ΩΡΟΙ ΗΙΛΒΕΡΤ και και έτσι έχουµε ότι g(x) c x, (λf+ µg)(x) λ f (x) + µ g(x) λ c x + µ c x = ( ) λ c+ µ c x } {{ } =:C Ορίζουµε τη νόρµα στον X ως ακολούθως : Για το γραµµικό ϕραγµένο συναρτησοειδές f X ορίζουµε f = sup x f (x) x = sup f (x) x =1 Συχνά ϑα παραλείπουµε το και ϑα γράφουµε απλώς f αντί για f. Η f είναι όντως νόρµα επειδή: 1. f : f sup x f (x) x sup f (x) x το οποίο ισχύει και ϑα δείξουµε ότι f = f= : f = sup x f (x) x = sup f (x) = x f (x) = f (x)=

2.2. ΦΡΑΓΜ ΕΝΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΟΕΙ Η Ν ΟΡΜΑ 25 2. Τώρα ϑα αποδείξουµε τη δεύτερη ιδιότητα της νόρµας, ότι δηλαδή λf = λ f λf = sup x λf (x) x = sup λf (x) x =1 = sup λ f (x) = λ sup f (x) x =1 x =1 = λ f 3. Μας έχει αποµείνει µόνο η τριγωνική ανισότητα, δηλαδή ότι f+ g f + g. Εχουµε f+ g = sup x f (x)+g(x) x = sup f (x)+g(x) x =1 sup ( f (x) + g(x) ) x =1 = sup f (x) + sup g(x) x =1 x =1 = f + g Να σηµειώσουµε ακόµη ότι αφού f = sup x f (x) x συνεπάγεται ότι και έτσι καταλήγουµε στη σχέση f f (x) x f (x) f x Πρόταση 2.1. Το f είναι ϕραγµένο συναρτησοειδές αν και µόνο αν το f είναι συνεχές συναρτησοειδές. Απόδειξη. (= )Υποθέτουµε αρχικά ότι το f είναι ϕραγµένο. Τότε από τον ορισµό του ϕραγµένου συναρτησοειδούς γνωρίζουµε ότι υπάρχει C >

26 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 2. Χ ΩΡΟΙ ΗΙΛΒΕΡΤ τέτοιο ώστε f (x) C x, και ϑέλουµε να δείξουµε ότι αν x n f (x n ) f (x ). Αλλά x τότε f (x n ) f (x ) = f (x n x ) f x n x καθώς x n x. Άρα f (x n ) f (x ). Ετσι δείξαµε τη µια κατευθυνση. ( =) Εστω ότι το f είναι συνεχές συναρτησοειδές, δηλαδή αν x n τότε f (x n ). Υποθέτουµε ότι το f δεν είναι ϕραγµένο και ϑα καταλήξουµε σε άτοπο. Αφού δεν είναι ϕραγµένο τότε για κάθε n N υπάρχει x n µε f (x n ) n x n. Τότε όµως προκύπτει ότι f ( x n n x n ) 1για κάθε n και x n n x n αφού x n n x n = 1 n x n x n = 1 n το οποίο είναι άτοπο λόγω της συνέχειας του f. Άρα το f είναι ϕραγµένο συναρτησοειδές. Τώρα ϑα επιστρέψουµε στον ορισµό της νόρµας των γραµµικών συναρτησοειδών. Οπως ϑα δούµε τώρα υπάρχουν διάφορες µορφές της νόρµας του συναρτησοειδούς. f = sup x f (x) x = sup f (x) x =1 = sup{ f (x) : x 1} (2.2) = sup { 1 x : f (x)=1 } (2.3) = 1 inf{ x : f (x)=1}. (2.4) Τώρα ϑα αποδείξουµε ότι όντως αυτές οι σχέσεις για τη νόρµα είναι ισοδύναµες. Αρχίζουµε µε τη σχέση 2.2. Φανερά sup{ f (x) : x =1} sup{ f (x) : x 1} (2.5)

2.3. ΦΡΑΓΜ ΕΝΑ ΓΡΑΜΜΙΚ Α ΣΥΝΑΡΤΗΣΟΕΙ Ο Ι ΣΕ Χ ΩΡΟ ΗΙΛΒΕΡΤ 27 Για κάθε ε > υπάρχει x µε x 1ώστε sup{ f (x) : x 1} ε ( ) f (x) = x f x x ( ) f x x sup{ f (y) : y =1} (2.6) όπου στη σχέση 2.6 καταλήξαµε ϑέτοντας y= x. Ετσι απο τις σχέσεις 2.5 x και 2.6 προκύπτει η σχέση 2.2. Τώρα ϑα αποδείξουµε τη σχέση 2.3. Υποθέτουµε ότι f. Τότε f (x) f = sup x x { f (x) } = sup, f (x) } x { } 1 = sup f (x) x, f (x) { 1 } = sup y : f (y)=1 Στην τελευταία σχέση καταλήξαµε ϑέτοντας y= x. Η σχέση 2.4 προκύπτει x άµεσα απο την 2.3 επειδή sup(1/x)=1/ inf x. 2.3 Φραγµένα γραµµικά συναρτησοειδοί σε χώρο Hilbert Τώρα ϑα µελετήσουµε τα γραµµικά συναρτησοειδοί σε ένα χώρο Hilbert. Το επόµενο ϑεώρηµα περιγράφει τον χώρο όλων των ϕραγµένων γραµµικών συναρτησοειδών σε ένα χώρο Hilbert.

28 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 2. Χ ΩΡΟΙ ΗΙΛΒΕΡΤ Θεώρηµα 2.2 (Riesz). Για κάθε γραµµικό ϕραγµένο συναρτησοειδές σε ένα χώρο Hilbert ϕ H υπάρχει µοναδικό y H τέτοιο ώστε ϕ(x)= x, y, x H (2.7) δηλαδή οποιοδήποτε ϕραγµένο άρα και συνεχές γραµµικό συναρτησοειδές σε ένα χώρο Hilbert περιγράφεται από κάποια στοιχεία y του ίδιου χώρου ικανοποιώντας τη σχέση ϕ(x) = x, y. Με άλλα λόγια οποιοδήποτε ϕραγµένο συναρτησοειδές σε ένα χώρο Hilbert έχει τη µορφή εσωτερικού γινοµένου στοιχείων του ίδιου χώρου. Ακόµη αυτή η αντιστοιχία είναι ισοµετρία ϕ = y Αντίστροφα, για οποιοδήποτε y H ο τύπος 2.7 ορίζει ένα συναρτησοειδές ϕ H µε νόρµα ϕ = y. Πρώτα ϑα αναφέρουµε δύο λήµµατα τα οποία ϑα µας ϐοηθήσουν στην απόδειξη του ϑεωρήµατος. Λήµµα 2.2.1. Αν ο L είναι κλειστός υπόχωρος του H και codime= 1 τότε ο υπόχωρος L είναι διάστασης 1. Απόδειξη. Εχουµε ότι E+ E = H. Υποθέτουµε ότι dim E 1 αλλά dim E = 2. Τότε ϑα υπάρχουν δύο διανύσµατα x 1, x 2 ανεξάρτητα στον E. Στη συνέχεια µετασχηµατίζουµε τα διανύσµατα x 1, x 2 σε ορθογώνια, έστω τα y 1, y 2 E. Αν ay 1 + by 2 = z Eτότε παίρνουµε ότι a = b=, επειδή y i, z = αφού τα y i E και z E. Αφού όµως ο E είναι διάστασης 2 έχουµε ότι τα y 1, y 2 αποτελούν ϐάση και αφού y i z τότε συνεπάγεται ότι το z=. Θα δείξουµε τώρα ότι τα διανύσµατα Y i = y i + E είναι γραµµικώς ανεξάρτητα στον H/E για i= 1, 2. Πρέπει να δείξουµε ότι αν ay 1 + by 2 = E τότε a= b=. Άρα έχουµε ay 1 + by 2 = E a(y 1 + E)+b(y 2 + E)=E ay 1 + ae+ by 2 + be= E ay 1 + by 2 + E= E. Ετσι ay 1 + by 2 E και έτσι a= b=. Αυτό όµως έρχεται σε αντίθεση µε την αρχική µας υπόθεση ότι codime= 1.

2.3. ΦΡΑΓΜ ΕΝΑ ΓΡΑΜΜΙΚ Α ΣΥΝΑΡΤΗΣΟΕΙ Ο Ι ΣΕ Χ ΩΡΟ ΗΙΛΒΕΡΤ 29 Λήµµα 2.2.2. Θεωρούµε ότι f E \{}. Τότε 1. codim ker f= 1 2. Αν f, g E \{} και ker f= ker g, τότε υπάρχει λ τέτοιο ώστε λf= g. 3. Εστω ότι L E και codiml = 1. Τότε υπάρχει f E τέτοιο ώστε ker f= L. Απόδειξη. 1. Αφού f τότε υπάρχει x 1 τέτοιο ώστε f (x 1 ). Θέτουµε x = x 1 f (x 1 ) και λόγω γραµµικότητας παίρνουµε ότι f (x ) = 1. Εστω x E και ϑεωρούµε y=x f (x)x οπότε, λόγω γραµµικότητας f (y)=f (x) f (x) f (x )=και άρα το y=x f (x)x ker f. Άρα x= f (x)x όπου y ker f. Η γραφή του x είναι µοναδική, δηλαδή αν x = λx + z, z ker f τότε λ=f (x) και z=y. Άρα E/ ker f ={λx ker f : λ R ή C} και συνεπάγεται ότι dime/ ker f = 1. 2. Αφού f συνεπάγεται ότι υπάρχει x 1 τέτοιο ώστε f (x 1 ) και ϑέτοντας x = x 1 /f (x 1 ) παίρνουµε ότι f (x )=1. Θέτουµε λ=g(x ) και ϑα αποδείξουµε ότι g=λf. Εστω x E και ϑα δείξουµε ότι g(x)=λf (x). x f (x)x ker f = ker g. Άρα g(x f (x)x )=και συνεπάγεται ότι g(x) f(x)g(x )=. Άρα καταλήξαµε ότι g(x)=λf (x). 3. E/L= span(x + L) όπου x L. Εστω ότι x E, x+ L span(x + L) δηλαδή µε άλλα λόγια υπάρχει λ x τέτοιο ώστε x+ L= λ x (x + L) και συνεπάγεται ότι x λ x x L. Ορόζουµε f (x) = λ x. Αν x L τότε συνεπάγεται ότι x+ L= L= (x + L) που συνεπάγει ότι f (x)=και έτσι έχουµε ότι ker f= L.

3 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 2. Χ ΩΡΟΙ ΗΙΛΒΕΡΤ Για την γραµµικότητα τώρα, έχουµε ότι f (ax+ by)=λ ax+by και συνεπάγεται ότι (ax+ by)+l= λ ax+by (x + L). (2.8) Αν f (x)=λ x τότε συνεπάγεται ότι x+ L= λ x (x + L) και για f (y)=λ y τότε παίρνουµε ότι y+l = λ y (x + L). Συνδιάζοντας τις δύο σχέσεις καταλήγουµε στην (ax+ by)+l= (aλ x + bλ y )(x + L). (2.9) Απο τις σχέσεις 2.8 και 2.9 καταλήγουµε στην aλ x + bλ y = λ ax+by = af (x)+bf (y)=f (ax+ by). Και έτσι δείξαµε ότι το f είναι γραµµικό συναρτησοειδές. Τώρα ϑα προχωρήσουµε στην απόδειξη του ϑεωρήµατος. Απόδειξη. Θα αρχίσουµε την απόδειξή µας αντίστροφα, δηλαδή υποθέτουµε ότι αν y H και ϕ y (x)= x, y και ϑα αποδείξουµε ότι αυτή η ανιστοιχία είναι ισοµετρία. Για οποιοδήποτε y H ορίζουµε το συναρτησοειδές ϕ y (x)= x, y. Είναι ξεκάθαρο ότι το ϕ y (x) είναι γραµµικό επειδή για κάθε x, z H και για κάθε κ, λ Rήστον C έχουµε ότι ϕ y (κx+ λz)= κx+ λz, y =κ x, y +λ z, y =κϕ y (x)+λϕ y (z) Από την ανισότητα Cauchy Schwartz προκύπτει ότι το οποίο συνεπάγεται ότι ϕ y (x) x y ϕ y y επειδή από την προηγούµενη σχέση έχουµε ότι ϕ y (x) x y sup ϕ y(x) x Θέτοντας τώρα όπου x= y παίρνουµε ότι y ϕ y y. ϕ y (y) = y 2 ϕ y(y) = y y sup ϕ y(x) y x ϕ y y

2.3. ΦΡΑΓΜ ΕΝΑ ΓΡΑΜΜΙΚ Α ΣΥΝΑΡΤΗΣΟΕΙ Ο Ι ΣΕ Χ ΩΡΟ ΗΙΛΒΕΡΤ 31 Ετσι καταλήγουµε ότι ϕ y = y. Ας δείξουµε τώρα ότι οποιοδήποτε συναρτησοειδές ϕ H έχει τη µορφή ϕ(x)= x, y. Η περίπτωση όπου ϕ= είναι τετριµµένη. Εστω τώρα ότι ϕ και L= ker ϕ. Αφού το ϕ είναι συνεχές συνεπάγεται ότι ο υπόχωρος ker ϕ είναι κλειστός και άρα ο υπόχωρος L είναι κλειστός και απο το Λήµµα 2.2.2 έχουµε ότι η codim ker ϕ=1και έτσι codim L= 1 και απο το Λήµµα 2.2.1 έχουµε ότι ο υπόχωρος L είναι διάστασης 1. Άρα ο L παράγεται απο ένα στοιχείο έστω το ŷ δηλαδή L = span{ŷ}, ŷ H\{}. Το διάνυσµα ŷ ορίζει ένα γραµµικό συναρτησοειδές ϕŷ(x)= x, ŷ. Τότε ker ϕŷ είναι τα x που είναι κάθετα στο ŷ. Άρα ker ϕŷ= span{ŷ} = (L ) = L. Άρα δείξαµε ότι ker ϕŷ= L= ker ϕ. Απο το ϑεώρηµα 2.2.2 γνωρίζουµε ότι υπάρχει λ τέτοιο ώστε ϕ=λϕŷ. Θέτουµε y=λŷ και παίρνουµε ότι ϕ(x)=λϕŷ(x)=λ x, ŷ = x, λŷ = x, y και απο το αρχικό τµήµα της απόδειξης µας γνωρίζουµε ότι αν ϕ(x)= x, y τότε ϕ = y. Ετσι συµπεραίνουµε ότι ϕ = y.

32 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 2. Χ ΩΡΟΙ ΗΙΛΒΕΡΤ

Κεφάλαιο 3 Ο δυϊκός χώρος 3.1 Το ϑεώρηµα Hahn Banach και τα πρώτα επακόλουθα Θα αρχίσουµε µε τη µελέτη του χώρου X δηλάδή τον χώρο όλων των ϕραγ- µένων γραµµικών συναρτησοειδών στο χώρο Χ ο οποίος είναι εφοδιασµένος µε νόρµα. Να υπενθυµίσουµε ότι ο χώρος X είναι εφοδιασµένος µε τη νόρµα f =sup x f (x) x (3.1) Αυτή η νόρµα λέγεται δυική νόρµα, δηλαδή είναι δυική στην αρχική νόρµα του χώρου Χ και ο χώρος X λέγεται δυικός χώρος, δηλαδή είναι δυικός στον αρχικό χώρο Χ. Οπως παρατηρήσαµε και στο προηγούµενο κεφάλαιο η σχέση της νόρµας συνεπάγεται τη σχέση f (x) f x (3.2) Πρόταση 3.1. Για οποιοδήποτε χώρο Χ µε νόρµα ο δυικός χώρος X είναι πάντα πλήρης, δηλαδή ο δυικός χώρος X µε τη δυική νόρµα είναι χώρος Banach Θεώρηµα 3.1 (Hahn Banach). Εστω ότι ο Ε είναι υπόχωρος του Χ και f E. Τότε υπάρχει µια επέκταση f X τέτοια ώστε f E = f 33

34 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 3. Ο ΥϊΚ ΟΣ Χ ΩΡΟΣ δηλαδή f (x)=f (x) για x E και δηλαδή f (x) sup X\{} x f X = f E = sup E\{} f (x). x 3.1.1 Πορίσµατα του ϑεωρήµατος Hahn Banach Πόρισµα 3.1.1. Για όλα τα x S(X) = {x X : x = 1} δηλαδή τη µοναδιαία σφαίρα του Χ, υπάρχει f X τέτοιο ώστε f X = 1 και f (x )=1. Αρα το συναρτησοειδές f επιτυγχάνει το sup του στη µοναδιαία µπάλα στο διάνυσµα x. Απόδειξη. Για να αποδείξουµε αυτό το πόρισµα από το ϑεώρηµα Hahn Banach ϑεωρούµε τον µονοδιάστατο υπόχωρο E ={λx } και το συναρτησοειδές ϕ(λx )=λ. Τότε ϕ E = sup ϕ(λx ) λx = sup λ λ x = 1 Άρα ϕ E = 1 και αφού ϕ(λx )=λ συνεπάγεται ότι λϕ(x )=λ και άρα ϕ(x )=1. Από το ϑεώρηµα Hahn Banach υπάρχει µια επέκταση f X τέτοια ώστε f E = ϕ που σηµαίνει ότι f (x)=ϕ(x), x E και άρα f (x)=1 και f X = ϕ E δηλαδή f X = 1 Πόρισµα 3.1.2. Για όλα τα x X υπάρχει f X \{} τέτοιο ώστε f (x )= f x. Απόδειξη. Αν x = τότε κάθε f X \{} ικανοποιεί τη σχέση f (x )= f x. Αν x τότε ϑεωρούµε το x 1 = x x. Τότε ϕανερά x 1 S(X) δηλαδή έχει νόρµα ίση µε 1 και σύµφωνα µε το προηγούµενο πόρισµα υπάρχει f X τέτοιο ώστε f =1

3.1. ΤΟ ΘΕ ΩΡΗΜΑ ΗΑΗΝ-ΒΑΝΑ Η ΚΑΙ ΤΑ ΠΡ ΩΤΑ ΕΠΑΚ ΟΛΟΥΘΑ 35 και f (x 1 )=1. Ετσι f ( ) x = 1= f (x )= x = f (x )= f x. x Επίσης f επειδή f =1και άρα f X \{}. Πόρισµα 3.1.3. Για όλα τα x 1 X και για όλα τα x 2 X τέτοια ώστε x 1 x 2 υπάρχει f X που ικανοποιεί τη σχέση f (x 1 ) f (x 2 ). Απόδειξη. Χρησιµοποιούµε το προηγούµενο πόρισµα, δηλαδή υπάρχει f X \{} ώστε f (x )= f x για x = x 1 x 2. Άρα f (x )=f (x 1 x 2 )= f x 1 x 2 > f (x )=f (x 1 ) f (x 2 ) >. Άρα f (x 1 ) > f (x 2 ) και άρα f (x 1 ) f (x 2 ). Πόρισµα 3.1.4. Το X είναι ένα πλήρες σύνολο, δηλαδή αν f (x)= για κάθε f τότε x=. Απόδειξη. Εστω ότι f (x)=για κάθε f και x. Αφού x από το προηγούµενο πόρισµα έχουµε ότι υπάρχει f X : f (x) f (). Από υπόθεση όµως ισχύει ότι f (x) = και f () = για κάθε f λόγω γραµµικότητας. Άρα f (x)= =f (), το οποίο είναι άτοπο και άρα αναγκαστικά x=.

36 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 3. Ο ΥϊΚ ΟΣ Χ ΩΡΟΣ Πόρισµα 3.1.5. Εστω ότι ο L είναι υπόχωρος του Χ ο οποίος είναι εφοδιασµένος µε νόρµα και έστω ότι x X τέτοιο ώστε dist(x, L)=d>. Τότε υπάρχει ένα f X τέτοιο ώστε f =1, f (L)=και f (x)=d. ηλαδή υπάρχει ϕραγµένο γραµµικό συναρτησοειδές όπου η νόρµα του είναι ίση µε 1 και µηδενίζει όλο τον υπόχωρο. Απόδειξη. Θεωρούµε το χώρο L 1 = span{x, L} δηλαδή L 1 ={λx+ y : λ R, y L}. Εστω z= λx+ y L 1. Ορίζουµε την f : L 1 R ϑέτοντας f (z)=λd. Το f είναι γραµµικό συναρτησοειδές επειδή αν z 1 = λ 1 x+y 1 και z 2 = λ 2 x+y 2 τότε az 1 + bz 2 = (aλ 1 + bλ 2 )x+ (ay 1 + by 2 ) και άρα f (az 1 + bz 2 )=(aλ 1 + bλ 2 )d= a(λ 1 d)+b(λ 2 d)=af (z 1 )+bf (z 2 ). Προφανώς f (L)=επειδή κάθε στοιχείο του L γράφεται ως ο εαυτός του και x. Το f (1x)=1d=d. Τώρα αφού z= λx+ y L 1 έχουµε ότι z = ( λ x+ y ) = λ λ x+ y λ Το y/λ ανήκει L και άρα η απόσταση του x απο το y/λ είναι τουλάχιστον d. Άρα λ x+ y λ λ d= f (z). ηλαδή δείξαµε ότι το οποίο συνεπάγεται ότι f (z) z f L 1 1. Ακόµη υπάρχουν y n L τέτοια ώστε x+ y n d και άρα d= f (x+ y n ) f 1 x+ L y n d f L. 1 ηλαδή d d f L 1 και άρα f L 1 1. Με αυτό τον τρόπο καταφέραµε να αποδείξουµε ότι f L 1 = 1.

3.1. ΤΟ ΘΕ ΩΡΗΜΑ ΗΑΗΝ-ΒΑΝΑ Η ΚΑΙ ΤΑ ΠΡ ΩΤΑ ΕΠΑΚ ΟΛΟΥΘΑ 37 Από το ϑεώρηµα Hahn Banach γνωρίζουµε ότι υπάρχει µια επέκταση f X του f µε f X = f L 1 = 1 και f L1 = f άρα και f (L)=f (L)= f (x)=f (x)=d. Για οποιοδήποτε L X ϑεωρούµε τον κάθετο υπόχωρο του L ο οποίος είναι ο L ={f X : f (L)=} X. Αν αρχίσουµε µε ένα υπόχωρο L του X δηλαδή L X τότε µπορούµε να µπορούµε να ϑεωρήσουµε δύο διαφορετικές κατασκευές για τους κάθετους υπόχωρους. Η πρώτη είναι ίδια µε την προηγούµενη, δηλαδή L ={f X : f (L)=} X και η άλλη κατασκευή είναι L ={x X : f (x)=για όλα τα f F}= ker f. Πόρισµα 3.1.6. Εστω ότι ο L είναι κλειστός υπόχωρος του Χ. Θεωρούµε τον κάθετο υπόχωρο L X και f L (L ) ={x X : f (x)=για όλα τα f L }. Τότε (L ) = L. Απόδειξη. Είναι ϕανερό ότι L (L ) (προκύπτει άµεσα απο τον ορισµό). Τώρα για κάθε x L και αφού ο L είναι κλειστός έστω d= dist(x, L) > Από το πόρισµα 3.1.5 υπάρχει f τέτοιο ώστε f (L)=δηλαδή f L και f (x) Άρα συµπεραίνουµε ότι x (L ) γιατί αν το x (L ) τότε ϑα έπρεπε f (x)=επειδή (L ) ={x X : f (x)=για όλα τα f L }. Άρα (L ) = L.

38 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 3. Ο ΥϊΚ ΟΣ Χ ΩΡΟΣ

Κεφάλαιο 4 Γραµµικοί ϕραγµένοι τελεστές Εστω ότι οι χώροι X και Y είναι χώροι Banach και έστω ότι η απεικόνιση T : X Y είναι γραµική ορισµένη στον Χ. Η απεικόνιση Τ ϑα λέγεται τελεστής. Ο τελεστής Τ λέγεται ϕραγµένος, αν υπάρχει ένα C > τέτοιο ώστε Tx Y C x X για όλα τα x X Αν ο τελεστής Τ είναι ϕραγµένος ορίζουµε την ποσότητα (η οποία ϑα δείξουµε στη συνέχεια ότι είναι νόρµα) T =sup x Tx x. Φανερά αν Tx C για κάθε x X µε x =1τότε και T C Σε αυτό το σηµείο ϑα δείξουµε ότι η ποσότητα T ορίζει νόρµα. 1. T sup x Tx x το οποίο ισχύει. και T = sup x Tx x = Tx x = Tx = x X Tx= x X T= 39

4 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 4. ΓΡΑΜΜΙΚΟ Ι ΦΡΑΓΜ ΕΝΟΙ ΤΕΛΕΣΤ ΕΣ 2. Θα δείξουµε ότι λt = λ T λt = sup x = λ sup x λtx x = λ T Tx x = sup x λ Tx x 3. Τώρα ϑα δείξουµε την τριγωνική ανισότητα, ότι δηλαδή T+ A T + A (T+ A)x Tx+ Ax ( Tx + Ax ) T+ A = sup = sup sup x x x x x x = sup x ( Tx x + Ax x ) Tx Ax sup + sup x x x x = T + A Άρα η T =sup x Tx x είναι νόρµα. Θα συµβολίζουµε µε L(X Y ) ή L(X, Y ) τον χώρο των γραµµικών ϕραγµένων τελεστών και η νόρµα αυτού του χώρου είναι η T =sup x Tx x. Από τον ορισµό της νόρµας προκύπτει η σχέση T =sup x Tx x = T Tx x = Tx T x.

4.1. ΠΛΗΡ ΟΤΗΤΑ ΤΟΥ L(X Y ) 41 4.1 Πληρότητα του χώρου των γραµµικών ϕραγ- µένων τελεστών Θεώρηµα 4.1. Εστω ότι ο Χ είναι ένας τυχαίος χώρος µε νόρµα και ο Y είναι ένας πλήρης χώρος µε νόρµα. Τότε ο χώρος των γραµµικών ϕραγµένων τελεστών από τον χώρο Χ στον Y, που τον συµβολίζουµε µε L(X, Y ) είναι ένας χώρος Banach. ηλαδή ο L(X Y ) είναι ένας πλήρης χώρος µε νόρµα. Απόδειξη. Εστω ότι η{a n } n=1 είναι µια ακολουθία Cauchy στον χώρο L(X Y ) και ϑα προσπαθήσουµε να δείξουµε ότι αυτή η ακολουθία συγκλίνει στον χώρο L(X Y ). Άφού η ακολουθία{a n } n=1 είναι µια ακολουθία Cauchy, έχουµε ότι για κάθε ε > υπάρχει N N τέτοιο ώστε αν m, n > N τότε A n A m ε (4.1) Αυτό σηµαίνει ότι για κάθε x X και για m, n > N έχουµε ότι A n (x) A m (x) Y = (A n A m )(x) Y A n A m x ε x Άρα η ακολουθία{a n (x)} n=1 είναι ακολουθία Cauchy στον χώρο Y για κάθε x X. Οµως από την υπόθεσή µας ο χώρος Y είναι χώρος Banach δηλαδή κάθε ακολουθία Cauchy στον χώρο Y συγκλίνει στον χώρο Y. Εστω τώρα ότι η ακολουθία{a n (x)} n=1 συγκλίνει στο A(x) Y και άρα ορίζουµε για όλα τα x X, lim n A n (x)=a(x). Ο Α είναι γραµµικός τελεστής αυτό είναι άµεση συνέπεια του ορισµού του ορίου και ακόµη είναι και ϕραγµένος αφού, A(x) Y = lim A n(x) = lim A n(x) sup A n (x) n n sup n N n N A n x X = x X sup A n (4.2) n N δηλαδή δείξαµε ότι A(x) sup A n x που συνεπάγεται ότι A(x) sup A x n (x) και άρα A sup A n (4.3) n N επειδή το sup n N A n είναι πραγµατικός αριθµός διότι η ακολουθία{a n } n=1 είναι Cauchy. Άρα αφού ο Α είναι γραµµικός και ϕραγµένος έχουµε ότι A L(X Y ).

42 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 4. ΓΡΑΜΜΙΚΟ Ι ΦΡΑΓΜ ΕΝΟΙ ΤΕΛΕΣΤ ΕΣ Τώρα το µόνο που µας αποµένει να δείξουµε είναι ότι A n A L(X Y ). Αφού η{a n } n=1 είναι Cauchy απο τον ορισµό της ακολουθίας Cauchy στον L(X Y ) έχουµε ότι για κάθε ε > υπάρχει N N τέτοιο ώστε για οποιοδήποτε m, n > N έχουµε ότι A m A n < ε. Αυτό σηµαίνει ότι για m, n > N και για οποιοδήποτε x µε x =1έχουµε ότι Αφήνοντας το m παίρνουµε ότι για οποιοδήποτε x µε x = 1. Άρα για n > N το οποίο σηµαίνει ότι δηλαδή A m (x) A n (x) < ε. Ax A n (x) ε A A n ε lim n A A n = A n A. Άρα, αφού{a n } L(X n=1 Y ), A n A και A L(X Y ) έχουµε ότι ο L(X Y ) είναι χώρος Banach. Παρατηρήσεις 4.1. 1. Ο Α είναι ϕραγµένος τελεστής αν και µόνο αν ο Α είναι συνεχής τελεστής, δηλαδή Ax n Ax για x n x. 2. Το ϑεώρηµα 4.1 συνεπάγεται ότι αν Χ τυχαίος χώρος µε νόρµα και ο χώρος Y είναι ο R ή ο C τότε ο δυικός χώρος X του χώρου Χ ο οποίος είναι ο χώρος των γραµµικών ϕραγµένων συναρτησοειδών απο τον χώρο Χ στον χώρο R ή C είναι ο L(X, Y )=X ο οποίος γνωρίζουµε ότι είναι πλήρης απο το ϑεώρηµα 4.1. 4.2 Συµπαγείς τελεστές Ορισµός 4.1. Ενας γραµµικός τελεστής A : X Y λέγεται συµπαγής τελεστής αν και µόνο αν για κάθε ϕραγµένη ακολουθία x n X η ακολουθία {Ax n } έχει υπακολουθία Cauchy.

4.2. ΣΥΜΠΑΓΕ ΙΣ ΤΕΛΕΣΤ ΕΣ 43 Προφανώς ένας συµπαγής τελεστής ϑα πρέπει να είναι και ϕραγµένος τελεστής γιατί η εικόνα της µοναδιαίας µπάλας στον X πρέπει να είναι ϕραγ- µένο σύνολο στον Y γιατί αλλιώς ϑα µπορούσαµε να κατασκευάσουµε µια ακολουθία x n µέσα στη µοναδιαία µπάλα του X τέτοια ώστε µέσω του τελεστή η Ax n και άρα η{ax n } δεν ϑα ήταν ϕραγµένη και άρα δεν ϑα είχε υπακολουθία Cauchy. 4.2.1 Συµπαγή σύνολα Για να µπορέσουµε να µιλήσουµε για συµπαγής τελεστές ϑα πρέπει πρώτα να κατανοήσουµε την έννοια του συµπαγούς συνόλου. Ορισµός 4.2. Ενα σύνολο K X λέγεται συµπαγές αν και µόνο αν για κάθε ακολουθία x n K υπάρχει ένα x X και µια υπακολοθία x ni της x n έτσι ώστε x ni x. Ορισµός 4.3. Το σύνολο Κ είναι σχετικά συµπαγές αν κάθε ακολουθία x n K έχει υπακολουθία Cauchy x ni. Για παράδειγµα αν ο Χ είναι συµπαγής και το Κ είναι σχετικά συµπαγές τότε η κλειστότητα K είναι συµπαγές. Θεώρηµα 4.2. (Arzelá) Εστω ότι M C[a, b]. Το Μ είναι σχετικά συµπαγές στον χώρο C[a, b] αν και µόνο αν 1. Το Μ είναι οµοιόµορφα ϕραγµένο (δηλαδή το Μ είναι ϕραγµένο σύνολο στον C[a, b]) και 2. Το Μ είναι ισοσυνεχές, δηλαδή για κάθε ε > υπάρχει δ > τέτοιο ώστε για t 1 t 2 < δ συνεπάγεται ότι f (t 1 ) f (t 2 ) < ε για οποιαδήποτε f M. Παράδειγµα 4.1. Εστω ότι η K(t, τ) είναι συνεχής συνάρτηση δύο µεταβλητών στο [, 1] [, 1]. Θα αποδείξουµε ότι ο τελεστής Kx= 1 είναι συµπαγής τελεστής. K(t, τ)x(τ)dτ : C[, 1] C[, 1]

44 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 4. ΓΡΑΜΜΙΚΟ Ι ΦΡΑΓΜ ΕΝΟΙ ΤΕΛΕΣΤ ΕΣ Υποθέτουµε ότι το σύνολο M ={x(t)} είναι ϕραγµένο και περιέχει συναρτήσεις του C[, 1] τέτοιες ώστε x r. Είναι προφανές ότι οι συναρτήσεις y(t)= 1 K(t, τ)x(τ)dτ όπου η x(τ) είναι συνάρτηση στο Μ είναι οµοιόµορφα ϕραγµένες. Οντως, αν R=max K(t, τ) τότε y(t) Rr πράγµα που σηµαίνει ότι ο τελεστής Κ είναι ϕραγµένος, αφού Kx = y(t) Rr. Τώρα ϑα δείξουµε ότι οι συναρτήσεις y(t) είναι οµοιόµορφα συνεχείς. οθέντος ε > από την οµοιόµορφη συνέχεια του K(t, τ) υπάρχει δ > τέτοιο ώστε K(t 1, τ) K(t 2, τ) < ε r για t 1 t 2 < δ και για οποιοδήποτε τ [, 1]. Από το t 1 t 2 < δ προκύπτει ότι y(t 1 ) y(t 2 ) 1 K(t 1, τ) K(t 2, τ) x(τ) dτ ε r r= ε το οποίο ισχύει για οποιαδήποτε συνάρτηση y(t) από το σύνολο που µελετάµε και άρα είναι ισοσυνεχές. Αρα, αφού ο σύνολο{y(t)} είναι ϕραγµένο και ισοσυνεχές, από το ϑεώρηµα Arzelá προκύπτει ότι είναι σχετικά συµπαγές στον C[, 1] και άρα ο τελεστής Κ είναι συµπαγής τελεστής. 4.2.2 Ο χώρος των συµπαγών τελεστών Πρόταση 4.1. Το σύνολο K(X, Y ) των συµπαγών τελεστών από το χώρο X στον Y ικανοποιεί την εξής ιδιότητα. Αν A K(X, Y ), B L(Z, X) και C L(Y, Z) τότε AB K(Z, Y ) και CA K(X, Z). Απόδειξη. Για να δείξουµε ότι AB K(Z, Y ) δηλαδή ότι ο AB είναι συµπαγής τελεστής πρέπει να δείξουµε ότι για κάθε ακολουθία z n Z η ακολουθία {A(B(z n ))} n=1 έχει υπακολουθία Cauchy. Άρα για τον τελεστή AB παίρνουµε την ακολουθία{z n } n=1 να είναι ϕραγµένη ακολουθία στον Z. Αυτό είναι εφικτό επειδή ο Z είναι συµπαγής χώρος άρα και ϕραγµένος. Ο τελεστής Β είναι ϕραγµένος αφού B L(Z, X) δηλαδή ανήκει στο χώρο των γραµµικών ϕραγ- µένων τελεστών και άρα και η ακολουθία{b(z n )} n=1 είναι και αυτή ϕραγµένη. Αφού ο A K(X, Y ) δηλαδή είναι συµπαγής τελεστής, η{a(b(z n ))} n=1 έχει υπακολουθία Cauchy. Άρα AB K(Z, Y ).

4.3. ΥϊΚΟ Ι ΤΕΛΕΣΤ ΕΣ 45 Για να δείξουµε τώρα ότι ο CA K(X, Z) πρέπει να δείξουµε ότι για κάθε ακολουθία x n X η ακολουθία{c(a(x n ))} n=1 έχει υπακολουθία Cauchy. Υποθέτουµε ότι η ακολουθία x n είναι ϕραγµένη. Ο Α είναι συµπαγής τελεστής και άρα η{a(x n )} n=1 έχει υπακολουθία Cauchy έστω την{a(x n k )} k=1. Ο C είναι ϕραγµένος γραµµικός τελεστής και άρα η{c(a(x nk ))} k=1 είναι συγκλίνουσα και έτσι CA K(X, Z). 4.3 υϊκοί τελεστές Εστω ο A : X Y ότι είναι ϕραγµένος τελεστής και έστω ότι ϕ Y. Τότε η f (x) = ϕ(ax) για x X ορίζει µια γραµµική συνάρτηση στον Χ. Ακόµη Άρα f X. Ετσι έχουµε µια απεικόνιση f (x) ϕ Y Ax ϕ Y A x (4.4) ϕ f := A ϕ. Προφανώς αυτή η απεικόνιση είναι γραµµική. Ετσι καταλήγουµε ότι για κάθε x X και ϕ Y έχουµε ότι ϕ(ax)=(a ϕ)x. Ελέγχουµε τώρα ότι ο τελεστής A είναι και αυτός ϕραγµένος. A = sup A(x) Y = sup x =1 x =1 ϕ =1 x =1 sup ϕ(a(x)) ϕ =1 = sup sup ϕ(a(x)) = sup sup A (ϕ)(x) = sup A (ϕ) X = A ϕ =1 Ετσι ϐλέπουµε ότι πάντα A = A ϕ =1 x =1 Ο τελεστής A λέγεται ο δυϊκός τελεστής του Α. Να σηµειώσουµε ακόµη ότι αν A : X Y

46 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 4. ΓΡΑΜΜΙΚΟ Ι ΦΡΑΓΜ ΕΝΟΙ ΤΕΛΕΣΤ ΕΣ τότε A : Y X. Τώρα ϑα εισαγάγουµε ένα πιο ϐολικό συµβολισµό για να µπορούµε να χειρι- Ϲόµαστε πιο εύκολα τους δυϊκούς τελεστές. Εστω ότι ο Χ είναι ένας γραµµικός χώρος µε νόρµα και ότι ο X είναι ο δυικός του. Για το f X και για x X γράφουµε για τη δράση του f στο x, x, f αντί για f (x). ( ηλαδή ορίζουµε f (x)=: x, f ) Σε αυτό τον συµβολισµό «αντιγράψαµε» τον συµβολισµό του εσωτερικού γινοµένου, αλλά τώρα το πρώτο και το δεύτερο όρισµα ανήκουν σε διαφο- ϱετικούς χώρους. Εφαρµόζοντας αυτό τον συµβολισµό στο «Ϲευγάρωµα» των χώρων Χ και X µπορούµε να ξαναγράψουµε τον ορισµό του δυικού τελεστή A ενός τελεστή Α µε τον ακόλουθο τρόπο. Για όλα τα x X και για όλα τα f Y Ax, f = x, A f Στην περίπτωση των χώρων Hilbert για τον τελεστή A L(H 1, H 2 ) ο δυικός τελεστής A L(H 2, H 1 ) ορίζεται απο την σχέση Ax, y = x, A y x H 1, y H 2. 4.4 ιαφορετικές συγκλίσεις στον χώρο L(X), τον χώρο των ϕραγµένων τελεστών Στον χώρο των ϕραγµένων τελεστών L(X) := L(X X) κάποιος µπορεί να ορίσει διαφορετικές έννοιες για την σύγκλιση. 1. «Σύγκλιση της νόρµας» που επίσης λέγεται και «οµοιόµορφη σύγκλιση» και ορίζεται ως εξής: Η ακολουθία τελεστών A n συγκλίνει ως προς τη νόρµα στον τελεστή Α και γράφουµε A n A αν καθώς n. A n A Ο χώρος L(X) είναι πλήρης και άρα αν η{a n } είναι ακολουθία Cauchy ως προς τη νόρµα, τότε συγκλίνει πάντα σε ϕραγµένο τελεστή.

4.5. ΑΝΤΙΣΤΡ ΕΨΙΜΟΙ ΤΕΛΕΣΤ ΕΣ 47 2. «Ισχυρή σύγκλιση» η οποία ορίζεται ως: Η ακολουθία τελεστών συγκλινει στον τελεστή Α ισχυρά αν για όλα τα s x X έχουµε ότι A n x A. Για την ισχυρή σύγκλιση γράφουµε A n A. Είναι εύκολο να δούµε ότι η ισχυρή σύγκλιση είναι πιο «αδύνατη» απο την σύκλιση κατά νόρµα. ηλαδή αν A n A ως προς τη νόρµα, τότε για οποιοδήποτε x X ισχύει A n x Ax αφού A n x Ax x A n A. Το αντίθετο δεν ισχύει. Για παράδειγµα ϑα µπορούσαµε να ϑεωρήσουµε τον S : l 2 l 2 τέτοιο ώστε S((x 1, x 2,..., x n,...))=(, x 1, x 2,...) και A n = S n. Τότε A n =1και άρα A n δεν συγκλίνει στο µηδέν, αλλά s. A n 3. «Ασθενής σύγκλιση». Λέµε ότι η ακολουθία τελεστών A n συγκλίνει µε την έννοια της ασθενής σύγκλισης στον τελεστή Α αν για όλα τα x X και για όλα τα f X ισχύει ότι f (A n x) f (Ax). w Για την ασθενή σύγκλιση γράφουµε A n A. Να σηµειώσουµε ακόµη ότι η ασθενής σύγκλιση είναι πιο «αδύνατη» απο την ισχυρή σύγκλιση. 4.5 Αντιστρέψιµοι τελεστές Ορισµός 4.4. Εστω ότι ο A L(X). Λέµε τον B(:= A 1 ) αντίστροφο τελεστή του Α αν και µόνο αν BA=Id και AB=Id. Στην περίπτωση της πεπερασµένης διάστασης µπορούµε µε την έννοια της ορίζουσας να συµπεράνουµε αν ο τελεστής Α είναι αντιστρέψιµος και ο λόγος που συµβαίνει αυτό είναι ότι η σχέση det A οδηγεί στον τύπο για τον A 1. Στην περίπτωση της άπειρης δάστασης όµως δεν ισχύει αυτό. Κάποιος για παράδειγµα µπορεί να ϑεωρήσει την περίπτωση του δεξιού τελεστή ολίσθησης στον l 2. Για x = (x i ) i=1 υποθέτουµε ότι Tx = (, x 1, x 2,...). Ορίζουµε τον αριστερό τελεστή ολίσθησης U : l 2 l 2 απο τη σχέση Ux= (x 2, x 3,...). Τότε UT= Id αλλά TU Id και ker TU.

48 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 4. ΓΡΑΜΜΙΚΟ Ι ΦΡΑΓΜ ΕΝΟΙ ΤΕΛΕΣΤ ΕΣ Ιδιότητα 4.1. Αν ο Α και ο Β είναι αντιστρέψιµοι τελεστές τότε και ο τελεστής ΑΒ είναι και αυτός αντιστρέψιµος και ο αντίστροφος του ικανοποιεί τη σχέση (AB) 1 = B 1 A 1. Ιδιότητα 4.2. Αν η νόρµα του τελεστή Α είναι A =q<1 τότε ο τελεστής I A είναι αντιστρέψιµος και ο αντίστροφος του είναι (I A) 1 = A k. k= Ακόµη η νόρµα του (I A) 1 δίνεται απο τη σχέση (I A) 1 = 1 1 A > 1 Απόδειξη. Ισχύει ακόµη ότι A k A k = q k καθώς το k. Επείσης η ακολουθία n S n = A k k= είναι Cauchy αφού για κάθε ε > υπάρχει N N τέτοιο ώστε S n S m < ε για κάθε n, m > N. Εστω ότι n > m. Τότε S n S m = n m A k A k = n A k k= n k=m+1 n k=m+1 k= A k q k n k=m+1 k=m+1 A k q k = k=m+1 q k k= m q k και άρα η S n είναι ακολουθία Cauchy και άρα συγκλίνει. Ακόµη (I A)S n = I A n 1 I καθώς n. Άρα το lim S n είναι ο αντίστροφος τελεστής του I A. Ιδιότητα 4.3. Εστω ότι ο Α είναι αντιστρέψιµος τελεστής και έστω ότι ο Β είναι τέτοιος ώστε A B < 1 A 1. Τότε ο τελεστής Β είναι και αυτός αντιστρέψιµος. k=1

4.5. ΑΝΤΙΣΤΡ ΕΨΙΜΟΙ ΤΕΛΕΣΤ ΕΣ 49 Απόδειξη. Οντως γράφουµε το Β ως B=A(I A 1 (A B)) δηλαδή γρά- ϕουµε τον Β ως γινόµενο δύο τελεστών, του Α και του I A 1 (A B). Ο τελεστής Α γνωρίζουµε ότι είναι αντιστρέψιµος. Αν καταφέρουµε να δείξουµε ότι και ο τελεστής I A 1 (A B) είναι αντιστρέψιµος τότε απο την ιδιότητα 4.1 ϑα έχουµε ότι και η σύνθεση τους, δηλαδή ο τελεστής Β είναι αντιστρέψιµος. Ο τελεστής I A 1 (A B) είναι αντιστρέψιµος, αφού A B < 1 A 1 A 1 A B < 1 A 1 (A B) < 1 και απο την ιδιότητα 4.2 συνεπάγεται ότι ο τελεστής I A 1 (A B) είναι αντιστρέψιµος. Θα συνεχίσουµε µε ένα από τα κυριότερα ϑεωρήµατα της συναρτησιακής ανάλυσης. Η απόδειξη παραλείπεται. Θεώρηµα 4.3. (Το ϑεώρηµα ανοικτής απεικόνισης του Banach) Εστω ότι οι Χ,Y είναι χώροι Banach και έστω ο A : X Y είναι ϕραγµένος γραµµικός τελεστής ο οποίος είναι «1-1», δηλαδή ker A= και «επί», δηλαδή Im A=Y. Τότε ο αντίστροφος τελεστής A 1 : Y X είναι και αυτός γραµµικός και ϕραγµένος τελεστής.

5 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 4. ΓΡΑΜΜΙΚΟ Ι ΦΡΑΓΜ ΕΝΟΙ ΤΕΛΕΣΤ ΕΣ

Κεφάλαιο 5 Φάσµα Η ϑεωρία του Fredholm για τους συµπαγής τελεστές Σε αυτό το κεφάλαιο όσο και στα επόµενα ϑα ϑεωρούµε τους χώρους Banach πάνω στο σώµα των µιγαδικών αριθµών C και ϑα µελετήσουµε τις ϕασµατικές ιδιότητες µερικών κλάσεων γραµµικών και ϕραγµένων τελεστών. Επίσης σε αυτό το κεφάλαιο µετά απο µερικά εισαγωγικά στοιχεία για τους τελεστές ϑα µελετήσουµε κάποιες ιδιότητες των συµπαγών τελεστών. Ορισµός 5.1. Εστω ότι ο A : X X είναι ένας ϕραγµένος τελεστής. Ενας µιγαδικός αριθµός λ C λέγεται κανονικό σηµείο του τελεστή Α αν και µόνο αν υπάρχει ο αντίστροφος τελεστής (A λi) 1 : X X και είναι και ϕραγµένος. Αν το λ δεν είναι κανονικό σηµείο τότε ϑα το λέµε ϕασµατικό σηµείο. Ολα αυτά τα ϕασµατικά σηµεία δηµιουργούν ένα σύνολο το οποίο λέγεται «το ϕάσµα του τελεστή Α» και ϑα το συµβολίζουµε µε σ(a). Αφού οι αριθµοί λ Cτότε προφανώς το ϕάσµα του τελεστή Α είναι υποσύνολο του συνόλου των µιγαδικών αριθµών, σ(a) C. Από το κεφάλαιο 4, ιδιότητα 4.3 η οποία λέει ότι αν ο τελεστής Α είναι αντιστρέψιµος και έστω οτι ο Β είναι τέτοιος ώστε A B < 1 τότε και ο A 1 Β είναι αντιστρέψιµος, προκύπτει οτι το σύνολο των κανονικών σηµείων είναι ανοικτό σύνολο και άρα το σύνολο των ϕασµατικών σηµείων ως συµπλήρωµα των κανονικών σηµείων είναι κλειστό σύνολο. Τώρα ϑα εξηγήσουµε γιατί το σύνολο των κανονικών σηµείων είναι ανοικτό σύνολο. Θεωρούµε το σύνολο των κανονικών σηµείων E={λ : A λi είναι αντιστρέψιµος} C. 51

52 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 5. Φ ΑΣΜΑ-ΘΕΩΡ ΙΑ FREDHOLM Για να είναι το σύνολο Ε ανοικτό ϑα πρέπει για κάθε λ E να υπάρχει ε > τέτοιο ώστε (λ ε, λ+ε) E. Εστω οτι λ E. Πρέπει να ϐρούµε ε > ώστε αν µ λ < ε τότε µ E. Εχουµε λοιπον Παίρνοντας ε= (A λi) (A µi) = (µ λ)i = µ λ < ε 1 A λi) 1 η προηγούµενη σχέση γίνεται (A λi) (A µi) < 1 (A λi) 1 και άρα από αυτό προκύπτει ότι ο τελεστής A µi είναι αντιστρέψιµος και άρα το µ E. Άρα ο σύνολο των κανονικών σηµείων είναι ανοικτό σύνολο και έτσι το σύνολο των ϕασµατικών σηµείων σ(a) είναι κλειστό σύνολο. Πρόταση 5.1. Κάθε λ C τέτοιο ώστε λ > A είναι κανονικό σηµείο του τελεστή Α. Οντως για να είναι το λ κανονικό σηµείο του τελεστή Α ϑα πρέπει σύµφωνα µε τον ορισµό να υπάρχει ο αντίστροφος τελεστής (A λi) 1 και να είναι και ϕραγµένος. Αλλά έχουµε οτι ( ( 1 ) ) A λi= λ I A λ και άρα αρκεί να δείξουµε οτι ο τελεστής I (1/λ)A είναι αντιστρέψιµος. Για να είναι όµως αυτός ο τελεστής αντιστρέψιµος ϑα πρέπει σύµφωνα µε την ιδιότητα 4.2 του κεφαλαίου 4 η 1 A < 1. λ Οµως αυτό ισχύει επειδή A < λ = 1 λ A < 1= 1 λ A < 1 και άρα ο τελεστής A λi είναι αντιστρέψιµος και από το ϑεώρηµα 4.3 γνω- ϱίζουµε ότι είναι και ϕραγµένος.

5.1. ΤΑΞΙΝ ΟΜΙΣΗ ΤΟΥ Φ ΑΣΜΑΤΟΣ 53 5.1 Ταξινόµιση του ϕάσµατος Στην αρχή αυτού του κεφαλαίου αναφερθήκαµε στα ϕασµατικά σηµεία τα οποία συνιστούν ένα σύνολο το οποίο ονοµάζεται «το ϕάσµα του τελεστή». Σε αυτό το σηµείο ϑα δούµε ότι τα σηµεία που αποτελούν το ϕάσµα του τελεστή µπορούν να ταξινοµιθούν ως εξής : 1. Το κατά σηµείο ϕάσµα, ή αλλιώς το σηµειακό ϕάσµα το οποίο το συµβολίζουµε ως σ p (A) αποτελείται από το σύνολο των ιδιοτιµών του τελεστή Α. ηλαδή αν και µόνο αν, υπάρχει ώστε λ σ p (A) x X\{} Ax= λx. Με άλλα λόγια το λ είναι ιδιοτιµή και το x είναι το ιδιοδιάνυσµα του τελεστή Α που αντιστοιχεί στην ιδιοτιµή λ. Αυτό είναι προφανώς ισοδύναµο µε το να πούµε ότι ker(a λi). Ακόµη η διάσταση του ker(a λi)(δηλαδή dim(ker(a λi))) λέγεται η πολλαπλότητα της ιδιοτιµής λ. Σε αυτό το σηµείο ϑα εξετάσουµε την περίπτωση οπου εννοώντας δηλαδή οτι ο τελεστής ker(a λi)= A λi : X X είναι «1-1» αντιστοιχία ανάµεσα στον Χ και στην εικόνα Im(A λi). Τότε σύµφωνα µε το ϑεώρηµα ανοικτής απεικόνισης του Banach (Θεώρηµα 4.3) αν Im(A λi)=x δηλαδή είναι και επί, τότε υπάρχει ο αντίστρο- ϕος ϕραγµένος τελεστής (A λi) 1. Αυτό το λ για το οποίο ισχύουν τα

54 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 5. Φ ΑΣΜΑ-ΘΕΩΡ ΙΑ FREDHOLM προηγούµενα, λέγεται κανονικό σηµείο του Α και άρα δεν ανήκει στο ϕάσµα του Α. Άρα όσον αφορά την ταξινόµιση µας για το ϕάσµα του Α, σ(a), συµπε- ϱαίνουµε ότι αν λ σ p (A) δηλαδή ker(a λi) = αλλά λ σ(a) τότε σίγουρα Im(A λi) X. Αυτό είναι προφανές γιατί αν Im(A λi)=x τότε όπως δείξαµε και πριν λ σ(a). Πριν συνεχίσουµε µε την µελέτη µας για τις πιθανές τιµές του λ στο ϕάσµα, ας παρατηρήσουµε µια χρήσιµη ιδιότητα του σηµειακού ϕάσµατος. Λήµµα 5..1. Εστω ο A : X X ένας οποιοσδήποτε ϕραγµένος τέλεστής και έστω οτι{λ i } n i=1 είναι διακριτές ιδιοτιµές του Α. Εστω x i τέτοια ώστε Ax i = λ i x i δηλαδή τα x i είναι ιδιοδιανύσµατα που αντιστοιχούν στις διαφορετικές ιδιοτιµές{λ i } n i=1. Τότε τα{x i} είναι γραµµικώς ανεξάρτητα. Απόδειξη. Υποθέτουµε ότι τα{x i } n i=1 είναι γραµµικά εξαρτηµένα δηλαδή n i=1 a ix i = µε τα a i να µην είναι όλα ταυτόχρονα µηδέν και ϑα καταλήξουµε σε άτοπο. Χωρίς ϐλάβη της γενικότητας έστω ότι a 1. Στη συνέχεια παίρνουµε ένα πολυώνυµο P(λ) τέτοιο ώστε P(λ 1 )=1και P(λ i )=, για i 2. Παρατηρούµε ότι P(A)x i = P(λ i )x i όπου P(λ i ) είναι ιδιοτιµή του τελεστή P(A). Εφαρµόζοντας τώρα τον P(A) στην προηγού- µενη εξίσωση παίρνουµε οτι =a 1 P(A)x 1 + n a i P(A)x i = a 1 x 1 i 2

5.1. ΤΑΞΙΝ ΟΜΙΣΗ ΤΟΥ Φ ΑΣΜΑΤΟΣ 55 και απο αυτή τη σχέση προκύπτει οτι a 1 αντίθεση µε την υπόθεση. Επιστρέφουµε τώρα στην ταξινόµιση του ϕάσµατος =, το οποίο έρχεται σε 2. Το συνεχές ϕάσµα το οποίο το συµβολίζουµε µε σ c (A) και ορίζεται ως εξής : Το αν και µόνο αν και λ σ c (A) λ σ(a)\σ p (A) Im(A λi)=x. Με άλλα λόγια το σηµείο λ ανήκει στο συνεχές ϕάσµα του τελεστή Α αν και µόνο αν το λ ανήκει στο ϕάσµα του Α αλλά δεν ανήκει στο σηµειακό ϕάσµα και η εικόνα Im(A λi) είναι πυκνό σύνολο στον X. Επίσης είναι το ίδιο µε το να πούµε ότι το αν και µόνο αν και λ σ c (A) ker(a λi)= Im(A λi) X το οποίο σηµαίνει απλά ότι το λ ανήκει στο ϕάσµα του Α αλλά όχι στο κατά σηµείο ϕάσµα και Im(A λi)=x. 3. Το υπόλοιπο ϕάσµα, το οποίο το συµβολίζουµε µε σ r (A) και είναι το σύνολο σ r (A)=σ(A)\(σ p (A) σ c (A)) Άρα µπορούµε να πούµε οτι αν το λ σ r (A) τότε Im(A λi) X

56 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 5. Φ ΑΣΜΑ-ΘΕΩΡ ΙΑ FREDHOLM πράγµα που δείχνει οτι λ σ c (A) και ker(a λi)= που σηµαίνει οτι λ σ p (A). Με άλλα λόγια ϑα µπορούσαµε να πούµε οτι το υπόλοιπο ϕάσµα αποτελείται απο τα στοιχεία που «περισσεύουν» από το σηµειακό ϕάσµα και από το συνεχές ϕάσµα. Παρατήρηση 5.1. Θα γράφουµε (λi) για το λi. Να παρατηρήσουµε όµως ότι το λ ϑα πρέπει να έχει συζυγή αν ϑέλουµε να χρησιµοποιήσουµε τον ίδιο συµβολισµό για τον δυϊκό τελεστή όπως και στους χώρους Hilbert επειδή (λi)x, y = x, (λi) y. 5.2 Η ϑεωρία του Fredholm για τους συµπαγής τελεστές Σε αυτό το σηµείο του κεφαλαίου µας ϑα περιορίσουµε τη µελέτη µας στους απειροδιάστατους χώρους Banach. Εστω T : X X συµπαγής τελεστής. Με T λ ϑα συµβολίζουµε τον τελεστή T λi και έστω λ = Im T λ. Το ακόλουθο Λήµµα ϑα το χρησιµοποιούµε συχνά. Λήµµα 5..2. Εστω ότι ο E 1 είναι κλειστός υπόχωρος του Ε τέτοιος ώστε E E 1 E X. Τότε υπάρχει y E µε y =1και η απόστασή του από το E 1 να ικανοποιεί τη σχέση dist(y, E 1 ) 1 2. Απόδειξη. Επιλέγουµε ένα y E\E 1 µε dist(y, E 1 )=a>. Τέτοιο y υπάρχει επειδή ο E 1 είναι κλειστός και γνήσιος υπόχωρος του Ε. Στη συνέχεια επιλέγουµε ένα x E 1 τέτοιο ώστε y x < 2a. Τότε παίρνουµε το y = y x y x το οποίο ικανοποιεί τα πιο πάνω. Οντως y =1και για κάθε x E 1