Σεμιναριακό Μάθημα Ασκήσεων Υπαίθρου (Ιούλιος 2016) Σύγκριση λύσεων δικτύου μέσω μετασχηματισμού συντεταγμένων Χ. Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων και Τοπογράφων Μηχανικών Πολυτεχνική Σχολή, ΑΠΘ
Εισαγωγή Έστω ότι έχουμε διαθέσιμες δύο διαφορετικές λύσεις του ίδιου δικτύου: x (1) και x (2). Στη δικιά μας περίπτωση (Α.Υ.) τα διανύσματα x (1) και x (2) έχουν τις τελικές συντεταγμένες του οριζόντιου δικτύου που υπολογίστηκαν από διαφορετικά σενάρια συνόρθωσης. Ζητούμενο: η σύγκριση των δύο λύσεων.
Σύγκριση λύσεων δικτύου Γενικό μοντέλο σύγκρισης: x x G θ v (1) (2) T εκφράζει τις συστηματικές διαφορές μεταξύ των δύο σετ συντεταγμένων (μετασχ/μός ομοιότητας) θ διάνυσμα που περιέχει 2 παραμέτρους μετάθεσης, 1 παράμετρο μικρής στροφής και 1 παράμετρο διαφορικής αλλαγής κλίμακας.
Σύγκριση λύσεων δικτύου Γενικό μοντέλο σύγκρισης: x x G θ v (1) (2) T εκφράζει τις διαφορές μεταξύ των δύο σετ συντεταγμένων αφού αυτά προσαρμοστούν μεταξύ τους μέσω μετάθεσης, στροφής και αλλαγής κλίμακας v coordinate residuals αντανακλούν τα τυχαία σφάλματα των συντεταγμένων από κάθε λύση δικτύου καθώς και την παραμόρφωση μεταξύ των λύσεων εξαιτίας διαφόρων συστηματικών επιδράσεων (π.χ. λόγω πλεοναζουσών δεσμεύσεων).
Γραμμικοποιημένος μετασχηματισμός ομοιότητας x1 x1 1 0 y x y1 y1 0 1 x y x N x N 1 0 yn x y y 0 1 x y N (1) N (2) x (1) x (2) 1 1 t x 1 1 t y N s T G N N θ Βλέπε επίσης: Κωτσάκης Χ. (2016) Εγχειρίδιο μετασχηματισμού ομοιότητας. Διδακτικές σημειώσεις για το μάθημα των Ασκήσεων Υπαίθρου, ΤΑΤΜ/ΑΠΘ.
Σύγκριση λύσεων δικτύου Γενικό μοντέλο σύγκρισης: (1) (2) T x x G θ v Απαραίτητοι υπολογισμοί (απλή συνόρθωση ελαχίστων τετραγώνων) ˆ ( T ) 1 ( (1) (2) ) θ GG G x x T T 1 vˆ ( I G ( GG ) G) ( x x ) (1) (2)
Μερικές παρατηρήσεις Τα στοιχεία του πίνακα G υπολογίζονται με βάση τις συντεταγμένες του αρχικού πλαισίου αναφοράς x (2). Η εκτίμηση των παραμέτρων 2Δ μετασχηματισμού και των σφαλμάτων κλεισίματος (coordinate residuals) θα γίνει για τα εξής ζευγάρια λύσεων στο δίκτυο του Μεταλλικού: x (ελαχ) vs. x (πλεον) x (ελαχ) vs. x (GPS) x (πλεον) vs. x (GPS) Για κάθε ζευγάρι λύσεων θα υπολογιστούν τα statistics του αντίστοιχου διανύσματος σφαλμάτων κλεισίματος.
Παραδοτέο υλικό Θα παραδοθεί ξεχωριστό τεύχος με αναλυτική τεχνική έκθεση σχετικά με τα αποτελέσματα σύγκρισης των διαφορετικών λύσεων συνόρθωσης (συντεταγμένες Ε, Ν) στο δίκτυο του Μεταλλικού. Στις επόμενες διαφάνειες δίνονται ενδεικτικά παραδείγματα με τους πίνακες αριθμητικών αποτελεσμάτων που θα πρέπει να περιλαμβάνει η παραπάνω τεχνική έκθεση.
Πίνακας παραμέτρων μετασχ/μού μεταξύ των λύσεων δικτύου Παράμετροι μετασχ/μού x (ελαχ) vs. x (πλεον) x (ελαχ) vs. x (GPS) x (πλεον) vs. x (GPS) t x (m) t y (m) (arcsec) s (ppm)
Πίνακας σφαλμάτων κλεισίματος μεταξύ των λύσεων δικτύου x (ελαχ) vs. x (πλεον) x (ελαχ) vs. x (GPS) x (πλεον) vs. x (GPS) Σημείο 1 v x1, v y1 v x1, v y1 v x1, v y1 Σημείο 2 v x2, v y2 v x2, v y2 v x2, v y2 Σημείο 3,,, Σημείο 4,,, Σημείο 5,,, και τα statistics των παραπάνω σφαλμάτων
Πίνακας σφαλμάτων κλεισίματος μεταξύ των λύσεων δικτύου (συνολικό οριζοντιογραφικό σφάλμα) x (ελαχ) vs. x (πλεον) x (ελαχ) vs. x (GPS) x (πλεον) vs. x (GPS) Σημείο 1 v 2 2 x v 1 y1 v 2 2 x v 1 y1 v 2 2 x v 1 y1 Σημείο 2 v 2 2 x v 2 y2 v 2 2 x v 2 y2 v 2 2 x v 2 y2 Σημείο 3 Σημείο 4 Σημείο 5 και τα statistics των παραπάνω σφαλμάτων
Μερικές παρατηρήσεις Σε ορισμένες περιπτώσεις η χρήση του μετασχ/μού ομοιότητας μπορεί να είναι προβληματική: αναξιόπιστες (μη ρεαλιστικές) εκτιμήσεις παραμέτρων μεγάλες συσχετίσεις μεταξύ των παραμέτρων μεγάλα σφάλματα μετασχηματισμού σε μη-κοινά σημεία Που μπορεί να οφείλεται αυτό? στη γεωμετρία & στις θέσεις των κοινών σημείων σε σχέση με τα αντίστοιχα συστήματα αναφοράς συντεταγμένων. Τι να κάνω σε τέτοια περίπτωση? χρήση απλούστερου μοντέλου μετασχηματισμού (π.χ. μόνο μεταθέσεις t x, t y block/shift approach)
Παράδειγμα
Διαθέσιμες λύσεις δικτύου x (m) x' (m) Σημείο 1 Σημείο 2 Σημείο 3 Σημείο 4 Σημείο 5 x = 401848.491 x = 401848.513 y = 4541893.354 y = 4541893.301 x = 400658.525 x = 400658.522 y = 4540300.325 y = 4540300.292 x = 400105.251 x = 400105.274 y = 4540360.911 y = 4540360.890 x = 400068.727 x = 400068.751 y = 4540685.752 y = 4540685.723 x = 400296.746 x = 400296.768 y = 4540555.693 y = 4540555.661
Εκτιμήσεις παραμέτρων μετασχ/μού ομοιότητας Παράμετροι x vs. x' t x (m) -48.547 t y (m) 40.873 θ (arcsec) 2.35 δs (ppm) -8.00
Σφάλματα κλεισίματος μετασχ/μού ομοιότητας v x (cm) v y (cm) v hor (cm) Σημείο 1 0.2 0.4 0.45 Σημείο 2-1.5-0.2 1.51 Σημείο 3 0.6 0.4 0.72 Σημείο 4 0.3-0.2 0.36 Σημείο 5 0.5-0.4 0.64 Statistics Max: 0.6 Max: 0.4 Max: 1.51 Min: -1.5 Min: -0.4 Min: 0.36 Mean: 0.0 Mean: 0.0 Mean: 0.74 Std: 0.9 Std: 0.4 Std: 0.46
Εκτιμήσεις παραμέτρων μετάθεσης (μοντέλο άκαμπτου μετασχ/μού) Παράμετροι x vs. x' t x (m) 0.018 t y (m) -0.034
Σφάλματα κλεισίματος άκαμπτου μετασχ/μού v x (cm) v y (cm) v hor (cm) Σημείο 1 0.4-1.9 1.94 Σημείο 2-2.1 0.1 2.10 Σημείο 3 0.5 1.3 1.39 Σημείο 4 0.6 0.5 0.78 Σημείο 5 0.4 0.2 0.45 Statistics Max: 0.6 Max: 1.3 Max: 2.10 Min: -2.1 Min: -1.9 Min: 0.45 Mean: 0.0 Mean: 0.0 Mean: 1.33 Std: 1.2 Std: 1.2 Std: 0.72
Σχόλια Το μοντέλο του 2Δ μετασχ/μού ομοιότητας δίνει αναξιόπιστες εκτιμήσεις για τις τιμές των παραμέτρων μετάθεσης στο συγκεκριμένο δίκτυο. Τα σφάλματα κλεισίματος (residuals) είναι πολύ καλά (~ 1 cm) για όλα τα σημεία που συμμετέχουν στη συνόρθωση του μοντέλου μετασχηματισμού. Σε τέτοιες περιπτώσεις η χρήση του μετασχ/μού ομοιότητας μπορεί να είναι επικίνδυνη όπως επισημαίνεται στο ακόλουθο αριθμητικό πείραμα.
Διαθέσιμες λύσεις δικτύου Θα χρησιμοποιηθεί ως σημείο ελέγχου για την εξωτερική αξιολόγηση του μετασχ/μού ομοιότητας. Θα χρησιμοποιηθούν ως κοινά σημεία για την εκτίμηση των παραμέτρων μετασχ/μού ομοιότητας. Σημείο 1 Σημείο 2 Σημείο 3 Σημείο 4 Σημείο 5 x (m) x' (m) x = 401848.491 x = 401848.513 y = 4541893.354 y = 4541893.301 x = 400658.525 x = 400658.522 y = 4540300.325 y = 4540300.292 x = 400105.251 x = 400105.274 y = 4540360.911 y = 4540360.890 x = 400068.727 x = 400068.751 y = 4540685.752 y = 4540685.723 x = 400296.746 x = 400296.768 y = 4540555.693 y = 4540555.661
Εκτιμήσεις παραμέτρων μετασχ/μού ομοιότητας (μέσω των 4 σημείων) Παράμετροι x vs. x' t x (m) -97.573 t y (m) 161.525 θ (arcsec) 5.04 δs (ppm) -33.42
Σφάλματα κλεισίματος μετασχ/μού ομοιότητας v x (cm) v y (cm) v hor (cm) Σημείο 2 3.7-2.9 4.70 Σημείο 3 4.3-2.8 5.13 Σημείο 4 3.5-2.6 4.36 Σημείο 5 4.4-2.8 5.22 Statistics Σημείο 1 (εξωτερική αξιολόγηση ακρίβειας) Max: 4.4 Max: -2.6 Max: 5.22 Min: 3.5 Min: -2.9 Min: 4.36 Mean: 4.0 Mean: -2.8 Mean: 4.85 Std: 0.4 Std: 0.1 Std: 0.40 6.3 3.4 7.16
Εκτιμήσεις παραμέτρων άκαμπτου μετασχ/μού (μέσω των 4 σημείων) Παράμετροι x vs. x' t x (m) 0.016 t y (m) -0.029
Σφάλματα κλεισίματος άκαμπτου μετασχ/μού v x (cm) v y (cm) v hor (cm) Σημείο 2-1.9-0.4 1.94 Σημείο 3 0.6 0.8 1.00 Σημείο 4 0.7-0.0 0.70 Σημείο 5 0.5-0.3 0.58 Statistics Σημείο 1 (εξωτερική αξιολόγηση ακρίβειας) Max: 0.7 Max: 0.8 Max: 1.94 Min: -1.9 Min: -0.4 Min: 0.58 Mean: 0.0 Mean: 0.0 Mean: 1.06 Std: 1.3 Std: 0.5 Std: 0.62 0.5-2.4 2.45