ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ «ΑΝΑΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗ ΚΙΝΔΥΝΟΥ» ΣΕΜΣΙΡΗΣ ΑΡΙΣΤΕΙΔΗΣ Ανάλυση μέτρων χρεοκοπίας και προεξοφλημένων καταβαλλόμενων μερισμάτων για το γενικό Μαρκοβιανό μοντέλο κινδύνου με πολλαπλά μερίσματα ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ: ΧΑΤΖΗΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΙΔΗΣ Ε. Αν. Καθηγητής Τριμελής Επιτροπή: ΧΑΤΖΗΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΙΔΗΣ Ε. Αν. Καθηγητής ΒΡΟΝΤΟΣ Σ. Λέκτορας ΝΕΚΤΑΡΙΟΣ Μ. Αν. Καθηγητής
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Κλασικό μοντέλο θεωρίας κινδύνου.3. Ο αριθμός των αποζημιώσεων Nt ()....5.2 Περιθώριο Ασφάλειας...6.3 Πιθανότητα Χρεωκοπίας.6.4 Συντελεστής προσαρμογής...7.5 Υπολογισμός του ()...9.6 Ολοκληρωτική εξίσωση της πιθανότητας χρεωκοπίας...9.7 Η πιθανότητα χρεωκοπίας ως συνάρτηση επιβίωσης μιας σύνθετης γεωμετρικής κατανομής..8 Συνάρτηση Gerber-Shu. 2.9 Ολοκληρωδιαφορική Εξίσωση της συνάρτησης Gerber-Shu...3. Γενικευμένη Εξίσωση Lundberg...4. Ολοκληρωτική Εξίσωση της συνάρτησης Gerber-Shu...4.2 Επίλυση της Ολοκληρωτικής Εξίσωσης της συνάρτησης Gerber-Shu...5 2 Μαρκοβιανό Μοντέλο Θεωρίας Κινδύνου χωρίς καταβολή μερισμάτων 7 2. Η συνάρτηση ( u) 8 2.2 Ολοκληρωδιαφορική εξίσωση της ( u)..9 2.3 Αναλυτική έκφραση της ( u).2 2.4 Υπολογισμός του () 23 2.5 Αναλυτική έκφραση της πιθανότητας χρεωκοπίας 25 2.6 Εφαρμογή-Εύρεση της πιθανότητας χρεωκοπίας στο κλασικό μοντέλο...27 2.7 Εφαρμογή- Εύρεση της προεξοφλημένης πιθανότητας χρεοκοπίας-marovan Arrval Proe 29 2.8 Ολοκληρωδιαφορική εξίσωση για u b 3
2.9 Υπολογισμός του ( b ) 33 3 Μαρκοβιανό Μοντέλο Θεωρίας Κινδύνου με πολλαπλά φράγματα.35 3. Ολοκληρωδιαφορική εξίσωση της ub ;.36 3.2 Αναλυτική έκφραση της ( u)...38 3.3 Υπολογισμός του v ( u)...4 3.4 Αναδρομικός υπολογισμός του ( ub ; ).44 3.5 Αλγόριθμος εύρεσης του ( ub ; )..45 4 Αναμενόμενη Προεξοφλημένη Καταβολή Μερισμάτων..5 4. Ολοκληρωδιαφορική εξίσωση της V u; B 4.2 Αναλυτική Έκφραση της V u; B 4.3 Αναδρομικός υπολογισμός του V u; B 4.4 Αλγόριθμος εύρεσης του V u; B...5...54...55..56 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ 59 2
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο Κλασικό Μοντέλο Θεωρίας Κινδύνου Όπως αναφέρθηκε η θεωρία κινδύνου εξετάζει την στοχαστική διαδικασία του πλεονάσματος η οποία περιγράφεται από την σχέση: U( t) u P( t) S( t) Στην σχέση αυτή η στοχαστική διαδικασία St () περιγράφει το συνολικό ποσό των αποζημιώσεων και μάλιστα είναι: όπου S( t) X X X... X N t X ο κίνδυνος σε σειρά εμφάνισης. 2 3 ( ) Το κλασικό μοντέλο της θεωρίας κινδύνου εισάγει κάποιες υποθέσεις τόσο για την στοχαστική διαδικασία Pt () όσο και για την στοχαστική διαδικασία St (). Συνοπτικά δίνεται ο ακόλουθος ορισμός. Ορισμός.. : Το κλασικό μοντέλο της θεωρίας κινδύνου ορίζει την στοχαστική διαδικασία πλεονάσματος από την σχέση: όπου u U() και ισχύουν: U( t) u P( t) S( t) Η στοχαστική διαδικασία Pt () είναι ντετερμινιστική και μάλιστα P() t t,, δηλαδή τα ασφάλιστρα καταβάλλονται με σταθερό ρυθμό. Οι ενδιάμεσοι χρόνοι εμφάνισης των κινδύνων είναι ανεξάρτητοι και ισόνομα εκθετικά κατανεμημένοι με παράμετρο. Οι τ.μ. X,,2,3,... είναι ανεξάρτητες και ισόνομα κατανεμημένες με συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας X και συνάρτηση κατανομής F X. 3
Οι ενδιάμεσοι χρόνοι εμφάνισης των κινδύνων και τα ύψη των αποζημιώσεων είναι ανεξάρτητα. Σχήμα..: Γραφική παράσταση της στοχαστικής διαδικασίας S(t) Σχήμα..2: Γραφική παράσταση της στοχαστικής διαδικασίας P(t) 4
. Ο αριθμός των αποζημιώσεων Nt () Σύμφωνα με το κλασικό μοντέλο οι ενδιάμεσοι χρόνοι εμφάνισης των κινδύνων είναι ανεξάρτητοι και ισόνομα εκθετικά κατανεμημένοι με παράμετρο. Σχηματικά είναι: Σχήμα 2.: Γράφημα των κινδύνων και των χρόνων εμφάνισής τους όπου T,,2,3,..., N( t) οι χρόνοι εμφάνισης των κινδύνων και W,,2,3,..., N( t) οι ενδιάμεσοι χρόνοι εμφάνισης των κινδύνων, συγκεκριμένα ισχύει: W T W, 2,3,..., ( ) T T N t Εφόσον οι τ.μ. W είναι ανεξάρτητες με W Exp( ),,2,..., N( t) προκύπτει ότι W W2... W G( n, ). Προκύπτει λοιπόν: n N t N t N t Pr W W... W t Pr W W... W t Pr ( ) Pr ( ) Pr ( ) 2 2 y y y e y e dy dy t! t! e t t t t e!! t t e N() t Pt! δηλαδή σύμφωνα με την κλασική θεωρία κινδύνου ο αριθμός των κινδύνων που εμφανίζονται στο διάστημα [, t ] ακολουθεί κατανομή Poon με παράμετρο t. 5
.2 Περιθώριο Ασφάλειας Όσον αφορά τα ασφάλιστρα όπως έχει αναφερθεί στο κλασικό μοντέλο θεωρείται ότι καταβάλλονται με έναν σταθερό αριθμό. Μία αρχική απαίτηση που προκύπτει είναι: ( ) ( ) t E S t t E E N t επειδή όμως N( t) P( t) είναι: Επομένως E X ασφάλειας. () t E S t t E t E X όπου. Ο αριθμός καλείται περιθώριο.3 Πιθανότητα Χρεωκοπίας Έστω T η χρονική στιγμή κατά την οποία η στοχαστική διαδικασία πλεονάσματος «πέφτει» για πρώτη φορά κάτω από το μηδέν, δηλαδή: T n{ t / t, U( t), U() u} Η στιγμή T καλείται χρόνος χρεωκοπίας και εξ ορισμού μπορεί να είναι πεπερασμένος ή άπειρος, στην περίπτωση που ο χρόνος της χρεωκοπίας είναι άπειρος ουσιαστικά αυτό σημαίνει ότι δεν επέρχεται χρεωκοπία. Από τα παραπάνω γίνεται σαφές ότι μια σημαντική ποσότητα στην θεωρία κινδύνου είναι η πιθανότητα να επέλθει χρεωκοπία η οποία ορίζεται ως εξής: Ορισμός.3. : Δεδομένου ότι το αρχικό απόθεμα είναι u η πιθανότητα χρεωκοπίας συμβολίζεται με u και εκφράζει την πιθανότητα η στοχαστική 6
διαδικασία πλεονάσματος να πέσει κάτω από το «μηδέν». Η πιθανότητα χρεωκοπίας ορίζεται από την σχέση: u Pr T / U() u Σχήμα.3.: Χρόνος Χρεωκοπίας Υπό τις προϋποθέσεις του κλασικού μοντέλου της θεωρίας κινδύνου, δεσμεύοντας ως προς τον χρόνο εμφάνισης του πρώτου ζημιογόνου γεγονότος προκύπτει η σχέση: u t t t u e ( x) dxdt e u t x ( x) dxdt ut X Παραγωγίζοντας την σχέση αυτή ως προς u προκύπτει: u ' u u u x ( ) ( ) X x dx F u Η τελευταία σχέση καλείται ολοκληρωδιαφορική της πιθανότητας χρεωκοπίας. X.4 Συντελεστής Προσαρμογής Έστω η εξίσωση E X r M r x, η οποία καλείται εξίσωση Lundberg, με την προϋπόθεση ότι η ροπογεννήτρια X M t ορίζεται για κάθε t. 7
Αρχικά το ερώτημα που προκύπτει είναι αν η εξίσωση αυτή έχει θετικές ρίζες. Μία γραφική απόδειξη του παραπάνω ερωτήματος προκύπτει λαμβάνοντας υπόψη τα ακόλουθα: Έστω y r E X r και y r M r τότε είναι y r E X 2 rx και y 2 r E Xe rx y ' r E Xe 2 X ' ', Δηλαδή η συνάρτηση y είναι γραμμική με θετική κλίση ενώ η συνάρτηση y 2 είναι φθίνουσα και κυρτή. Λαμβάνοντας ακόμα υπόψη ότι y' E X y ' E X προκύπτει το ακόλουθο γράφημα: 2 Σχήμα.4.: Συντελεστής Προσαρμογής Ορισμός.4. : Έστω R η μικρότερη θετική ρίζα της εξίσωσης: E X r M r x Η ρίζα αυτή καλείται συντελεστής προσαρμογής. Εναλλακτική μορφή της παραπάνω εξίσωσης είναι η r M r. X 8
.5 Υπολογισμός του Για τον υπολογισμό της πιθανότητας χρεωκοπίας, δεδομένου ότι το αρχικό απόθεμα είναι μηδενικό, γίνεται χρήση της ολοκληροδιαφορικής εξίσωσης οπότε είναι: u ' u u u x X ( x) dx F( u) u ' udu udu u x ( ) ( ) X x dxdu F u du udu ( ) X x u x dudx E X x udu ( ) X x u dudx E X ( ) u du u du X x dx E X E X E X E X.6 Ολοκληρωτική εξίσωση της πιθανότητας χρεωκοπίας Ξεκινώντας από την ολοκληρωδιαφορική εξίσωση της πιθανότητας χρεωκοπίας και ολοκληρώνοντας προκύπτει: u ' u u u x X ( x) dx F( u) u u u t u ' tdt tdt t x ( ) ( ) X x dxdt F t dt 9
u u u u u tdt u t F tdt F( t) dt F ( t) dt u u u u t F tdt F( t) dt u u u t F tdt F() t dt u Χρησιμοποιώντας την σχέση u προκύπτει η ισοδύναμη μορφή: E X u e e u e e u u t t dt ( t) dt u u t t dt F u όπου e x F x η οποία προφανώς είναι συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας E X και ονομάζεται συνάρτηση ισορροπίας..7 Η πιθανότητα χρεωκοπίας ως συνάρτηση επιβίωσης μιας σύνθετης γεωμετρικής κατανομής Παίρνοντας μετασχηματισμούς Laplae στην τελευταία ολοκληρωδιαφορική εξίσωση προκύπτει: Fe e F e Από την τελευταία σχέση προκύπτει ότι u Pr L u N G F. και L e E X e όπου L L L2... LN με
Γεωμετρικά η παραπάνω σχέση γίνεται αντιληπτή λαμβάνοντας υπόψη ότι: t t U t u t t u t S t u Pr n{ /, ( ) } Pr n{ /, ( ) } Pr n{ t / t, t S( t) } Δηλαδή ξεκινώντας με αρχικό απόθεμα u, τότε με πιθανότητα η στοχαστική διαδικασία Ut () «πέφτει» κάτω από το u ενώ με πιθανότητα παραμένει πάνω από το αρχικό απόθεμα. Κάθε φορά που η στοχαστική διαδικασία Ut ()«πέφτει» κάτω από το u ανανεώνεται και με ένα νέο αρχικό απόθεμα u u επαναλαμβάνει την ίδια διαδικασία. Συμπερασματικά λοιπόν η τ.μ. N απαριθμεί το πλήθος των φορών που η Ut () πέφτει κάτω από το ελάχιστο πλεόνασμα που έχει διαμορφωθεί μέχρι την στιγμή t. Όπως είναι φυσικό η έλευση ενός κινδύνου που δεν ρίχνει την στοχαστική διαδικασία κάτω από το ελάχιστο Ut () δεν καταγράφεται από την τ.μ. N. Οι καταγεγραμμένες πτώσεις εκφράζονται από τις τ.μ. L,, 2,..., N και εκφράζουν την πτώση του πλεονάσματος κάτω από την ελάχιστη τιμή του Ut () κάθε φορά που συμβαίνει ένας αρκετά μεγάλος κίνδυνος. Είναι προφανές τώρα ότι
η τ.μ. L για την οποία L L L2... LN εκφράζει την μέγιστη σωρευτική απώλεια, δηλαδή την συνολική πτώση της στοχαστικής διαδικασίας Ut. () Όταν η σωρευτική απώλεια είναι μεγαλύτερη από το αρχικό απόθεμα τότε επέρχεται και η χρεωκοπία..8 Συνάρτηση Gerber-Shu Στην διαχείριση ενός χαρτοφυλακίου συν τοις άλλοις ενδιαφέρουν και οι εξής ποσότητες: Η κατανομή του χρόνου χρεωκοπίας T. Η κατανομή του πλεονάσματος λίγο πριν την χρεωκοπία UT Η κατανομή του ελλείμματος UT την στιγμή της χρεωκοπίας. Έστω x, y, t / u η από κοινού σ.π.π. των τ.μ. UT, UT και T δεδομένου ότι το αρχικό απόθεμα είναι u. Η συγκεκριμένη σ.π.π. καλείται «ελαττωματική» εφόσον το παρακάτω ολοκλήρωμα δεν συγκλίνει απαραίτητα στην μονάδα: x, y, t / u dxdydt u Ο λόγος για τον οποίο συμβαίνει αυτό είναι ότι η τ.μ. T είναι μία «ελαττωματική» τυχαία μεταβλητή εφόσον έχει μάζα πιθανότητα στο. Ορισμός.8. : Η αναμενόμενη προεξοφλημένη συνάρτηση ποινής των Gerber-Shu ορίζεται ως:, / T u E e w U T U T I T U u όπου η συνάρτηση wx, y είναι μία μη αρνητική συνάρτηση η οποία ονομάζεται συνάρτηση ποινής. 2
.9 Ολοκληρωδιαφορική Εξίσωση της συνάρτησης Gerber-Shu Δεσμεύοντας ως προς τον χρόνο εμφάνισης του πρώτου ζημιογόνου γεγονότος προκύπτει ότι: t ut t t, X ut u e x e u t x dx x e w u t x u t dx dt Παραγωγίζοντας ως προς u και θεωρώντας X, X προκύπτει: w x x dx u ' u u u u x X x dx Ανάλογα με την πιθανότητα χρεωκοπίας λαμβάνοντας μετασχηματισμούς Laplae στην παραπάνω σχέση προκύπτει: Οπότε: X Εφόσον η συνάρτηση u είναι φραγμένη θα πρέπει X, από το γεγονός αυτό προκύπτει ότι οι ρίζες του παρονομαστή της παραπάνω σχέσης θα πρέπει να είναι ρίζες και του αριθμητή. 3
. Γενικευμένη Εξίσωση Lundberg Η εξίσωση καλείται γενικευμένη εξίσωση Lundberg και γράφεται ισοδύναμα M εξίσωση Lundberg. X. Προφανώς για ανάγεται στην X Σχήμα..: Οι ρίζες της γενικευμένης εξίσωσης Lundberg Έστω l τότε η γενικευμένη εξίσωση Lundberg γράφεται και η μοναδική θετική ρίζα συμβολίζεται με l X.. Ολοκληρωτική Εξίσωση της συνάρτησης Gerber- Shu Από τον μετασχηματισμό Laplae της συνάρτησης Gerber-Shu και λαμβάνοντας υπόψη την θετική ρίζα προκύπτει: της γενικευμένης εξίσωσης Lundberg, 4
X X X X X X X X T T r y x όπου T x e y dy (Τελεστής Don-Hpp). r x Από την τελευταία σχέση προκύπτει: u T T u u x T x dx T u X X Θέτοντας z x T X x και z xdx u z x dx z u G u και g u z x dx z xdx H u T u προκύπτει: u u x g x dx H u, u u.2 Επίλυση της Ολοκληρωτικής Εξίσωσης της συνάρτησης Gerber-Shu Στόχος είναι να λυθεί η ολοκληρωδιαφορική εξίσωση των Gerber-Shu. Για να επιτευχθεί αυτό χρήσιμη είναι η ακόλουθη πρόταση: 5
Πρόταση.2. : Έστω και F συνάρτηση κατανομής μιας τυχαίας μεταβλητής που ορίζεται στο [, ) με F. x Έστω x x ydf y r x, x όπου συνεχής συνάρτηση στο [, ), τότε ισχύει:. n * n όπου Gx F x n x r x y dg y r x Σύμφωνα με την παραπάνω πρόταση προκύπτει: n * n όπου K u G u u r x γενικά είναι μία u H u x dk x H u, u με n. 6
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο Μαρκοβιανό Μοντέλο Θεωρίας Κινδύνου χωρίς καταβολή μερισμάτων Σύμφωνα με το κλασικό μοντέλο θεωρίας κινδύνου οι ενδιάμεσοι χρόνοι εμφάνισης των κινδύνων είναι εκθετικά κατανεμημένοι και οι κίνδυνοι είναι ανεξάρτητοι και ισόνομοι. Στο μαρκοβιανό μοντέλο τοποθετείται ένα ευρύτερα στοχαστικό περιβάλλον σύμφωνα με το οποίο μια στοχαστική διαδικασία J( t) / t, η οποία είναι ομογενής και αδιαχώριστη, προσδιορίζει το κλίμα μέσα στο οποίο συμβαίνουν οι κίνδυνοι. Ορισμός 2..: Η διαδικασία Jt () στα πλαίσια της θεωρίας κινδύνου ορίζεται ως η στοχαστική διαδικασία που έχει χώρο καταστάσεων E,2,3,..., και οι πιθανότητες της αρχικής κατάστασης δίνονται από το διάνυσμα T a a, a2, a3,..., a D D D, όπου:. Επίσης ο πίνακας τάσεων της διαδικασίας ορίζεται ως D (, ) για είναι η τάση μετάβασης από την κατάσταση στην δοθέντος ότι δεν επέρχεται κάποιος κίνδυνος. D (, ) είναι η τάση μετάβασης από την κατάσταση στην δοθέντος ότι επέρχεται κάποιος κίνδυνος. 7
Τα διαγώνια στοιχεία του πίνακα D προσδιορίζονται από την σχέση D(, ), επομένως D (, ). Όπως αναφέρθηκε η διαδικασία Jt () εισάγει ένα ευρύτερο περιβάλλον στο μοντέλο και ως εκ τούτου επόμενο είναι το ύψος των κινδύνων να καθορίζεται από την κατάσταση στην οποία βρίσκεται το σύστημα. Ορισμός 2..2.: Το ύψος των κινδύνων X,,2,3,... n n στο μαρκοβιανό μοντέλο περιγράφεται από την συνάρτηση κατανομής F, η οποία καθορίζεται από την κατάσταση της διαδικασίας κατά την οποία επέρχεται ο κίνδυνος και την κατάσταση αμέσως μετά την εμφάνιση του κινδύνου. Η σ.π.π. συμβολίζεται με, ενώ ο μετασχηματισμός Laplae με, () 2. Η συνάρτηση () u Σύμφωνα με το μαρκοβιανό μοντέλο η αναμενόμενη προεξοφλημένη συνάρτηση ποινής δοθέντος ότι αρχίζουμε από την κατάσταση E ορίζεται ως: απόθεμα., / T u E e w U T U T I T U u όπου η συνάρτηση wx, y είναι η συνάρτηση ποινής και u το αρχικό Λαμβάνοντας υπόψη το διάνυσμα a με τις πιθανότητες της αρχικής κατάστασης και θέτοντας u u u u ( ) ( ), ( ),..., ( ) T προκύπτει ότι: 2 T ( u) a ( u) όπου ( u) η αναμενόμενη προεξοφλημένη συνάρτηση ποινής. 8
2.2 Ολοκληρωδιαφορική εξίσωσης της () u Θεώρημα 2.2.: Η αναμενόμενη προεξοφλημένη συνάρτηση ποινής δοθέντος ότι αρχίζουμε από την κατάσταση E ικανοποιεί την εξίσωση: '( u) ( u) D (, ) ( u) D (, ) ( u x) df ( x) ( u),, όπου ο ρυθμός είσπραξης των ασφαλίστρων, η ένταση ανατοκισμού και, ( u) w( u, x u) df, ( x). u Απόδειξη Δεδομένου ότι βρισκόμαστε στην κατάσταση και ξεκινάμε με ένα αρχικό απόθεμα u την χρονική στιγμή, τότε στο χρονικό διάστημα, h μπορούν να συμβούν τα εξής: u Να παραμείνουμε στην κατάσταση και να μην εμφανιστεί κίνδυνος με πιθανότητα D (, ) h Να μεταβούμε από την κατάσταση στην κατάσταση χωρίς την εμφάνιση κινδύνου με πιθανότητα D (, ) h Να μεταβούμε από την κατάσταση στην κατάσταση και να εμφανιστεί στο διάστημα αυτό ένας κίνδυνος με σ.κ. F, με πιθανότητα D (, ) Να συμβεί οποιοδήποτε άλλο ενδεχόμενο με πιθανότητα oh ( ) Συνδυάζοντας τα παραπάνω προκύπτει: h h ( u) D (, ) h e ( u h) D (, ) he ( u h) uh h, uh, D (, ) he ( u h x) df ( x) w( u h, x u h) df ( x) o( h) 9
h Λαμβάνοντας υπόψη ότι e h o( h) προκύπτει: ( u) D (, ) h h o( h) ( u h) D (, ) h h o( h) ( u h) uh uh D (, ) h h o( h) ( u h x) df ( x) w( u h, x u h) df ( x) oh ( ),, ( u) D (, ) h h ( u h) D (, ) h ( u h) uh, u h, uh D (, ) h ( u h x) df, ( x) w( u h, x u h) d u h, D (, ) h ( u h x) df ( x) w( u h, x u h) df ( x) o( h) ( u) ( u h) D (, ) h h ( u h) D (, ) h ( u h) F ( x) o( h) Διαιρώντας με h και λαμβάνοντας h προκύπτει: ( u) ( u h) D (, ) ( u h) D (, ) ( u h) h h uh oh ( ) D (, ) ( ) u h x df, ( x) w( u h, x u h) df, ( x) uh h '( u) D (, ) ( u) D (, ) ( u) u D (, ) ( u x) df, ( x) w( u, x u) df, ( x) u u, u, '( u) ( u) D (, ) ( u) D (, ) ( u x) df ( x) w( u, x u) df ( x) Θέτοντας, ( u) w( u, x u) df, ( x) προκύπτει το ζητούμενο. u 2
2.3 Αναλυτική έκφραση της () u Για να βρούμε τις αναλυτικές εκφράσεις των ποσοτήτων ( u), E εργαζόμαστε από κοινού κάνοντας χρήση των πινάκων. Συγκεκριμένα αν u u u u εξίσωση γράφεται: όπου ( x), ( ) ( ), ( ),..., ( ) T τότε η ολοκληρωδιαφορική 2 '( u) ( u) D ( u) ( x) ( u x) dx ( u) είναι ο πίνακας ο οποίος στην θέση, u n περιέχει το στοιχείο D (, ) ( x) ενώ το διάνυσμα ( u) είναι ένας πίνακας στήλη με n,. ( u) D (, ) ( u) Η παραπάνω ολοκληρωδιαφορική εξίσωση είναι μη ομογενής εξαιτίας του όρου ( u). Θεωρούμε λοιπόν αρχικά την αντίστοιχη ολοκληρωδιαφορική εξίσωση, δηλαδή την: '( u) ( u) D ( u) ( x) ( u x) dx Παίρνοντας μετασχηματισμούς Laplae στο πρώτο μέλος της παραπάνω σχέσης προκύπτει: u u u u e '( u) du e '( u) du e ( u) e ( u) du () L ( u) όπου L () ο μετασχηματισμός Laplae. u Παίρνοντας μετασχηματισμούς Laplae στο δεύτερο μέλος της παραπάνω σχέσης προκύπτει: 2
u u u u e ( u) D ( u) ( x) ( u x) dx du e ( u) du D e ( u) du u u e ( ) ( ) ( ) x u x dxdu L u DL ( u) ( ) L ( u) I D L ( u) ( ) L ( u) όπου I ο μοναδιαίος πίνακάς. Τελικά προκύπτει: () L ( u) I D L ( u) ( ) L ( u) I I D ( ) L ( u) () I D ( ) L ( u) () I D ( ) L ( u) () Από την τελευταία σχέση προκύπτει: L ( u) I D ( ) () Οπότε παίρνοντας αντίστροφο μετασχηματισμό Laplae: ( u) L I D ( ) () Θέτοντας v( u) L I D ( ) έχουμε ότι: ( u) v( u) (), u Από την σχέση αυτή παρατηρούμε ότι για u, v() I. Στα προηγούμενα επετεύχθη η επίλυση μέσω μετασχηματισμών Laplae της αντίστοιχης ομογενής ολοκληρωδιαφορικής εξίσωσης. Για την επίλυση στην μη ομογενή περίπτωση εργαζόμαστε ανάλογα λαμβάνοντας υπόψη τον μη ομογενή όρο, οπότε είναι: 22
I D ( ) L ( u) () L ( u) L ( u) I D ( ) () L ( u) v( u) L I D ( ) L ( u) L v( u) () L ( u) L ( u) L v( u) () L v( u) L ( u) Παίρνοντας αντίστροφο μετασχηματισμό Laplae στην τελευταία σχέση καταλήγουμε: u ( u) v( u) () v( u t) ( t) dt, u 2.4 Υπολογισμός του () Όπως ορίζεται στους Albreher & Boxa (25) η γενικευμένη εξίσωση Lundberg δίνεται από την σχέση: όπου L ( ) I D ( ) Det I D ( ) Det L ( ). Ακολουθώντας λοιπόν την διαδικασία των Shuanng L & Y Lu (28) προκύπτει: 23
I D ( ) L ( u) () L ( u) A( ) L ( u) () L ( u) L ( u) A ( ) () L ( u) L ( u) ( ) () ( ) ( ) Det A( ) * * A A L u όπου A( ) I D ( ) και A * () ο προσαρτημένος πίνακας του A (). Στην τελευταία σχέση ο παρονομαστής είναι η γενικευμένη εξίσωση Lundberg που όπως αποδεικνύεται στους Albreher & Boxa (25) η εξίσωση αυτή έχει μιγαδικές ρίζες,,2,..., με Re( ),,2,...,. Παρατηρούμε ότι L ( u) για Re( ) οπότε για τις μιγαδικές ρίζες τις εξίσωσης Lundberg πρέπει να ισχύει: A ( ) () A ( ) L ( u) * * για,2,..., Χρησιμοποιώντας τις διαιρεμένες διαφορές πινάκων μπορούμε αναδρομικά να δούμε ότι: όπου ( ) L ( u) (),,...,,,..., * A * 2 A 2 και A *,,..., *,,...,,,..., 2 A 2. Μία άλλη μέθοδος υπολογισμού των αρχικών ποσοτήτων (), σύμφωνα με τον Badeu (28) είναι μέσω των αριστερών ιδιοδιανυσμάτων του πίνακα L () για τις αντίστοιχες ιδιοτιμές του,,2,..., n. Ειδικότερα αν q q,, q,2,..., q,,,2,...,, προκύπτει: 24
q I D ( ) L ( u) q () ( ) q L u q () q ( ) q () q ( ) q () q ( ), Υπό την μορφή πινάκων η παραπάνω σχέση γράφεται q ( ) Q() Q() Q() RQe...... q ( ), q, ( ), q, ( ) q2, ( 2) q 2, ( 2) () () Q R Qe Q R Qe T, R dag ( ), ( 2),..., ( ) T T T όπου Q q, q2,..., q στήλη του πίνακα Q.,,2,..., και Q e η 2.5 Αναλυτική έκφραση της πιθανότητας χρεοκοπίας Για τον υπολογισμό της πιθανότητας χρεωκοπίας ( u) γίνεται χρήση της ολοκληρωδιαφορικής εξίσωσης οπότε είναι: n n u '( ) (, ) ( ) (, ) ( ), ( ), ( ) u D u D u x df x F u η οποία με την βοήθεια των πινάκων γράφεται: u '( u) D ( u) ( x) u x df ( x) ( u), 25
όπου ( x), είναι ο πίνακας ο οποίος στην θέση, περιέχει το στοιχείο D (, ) ( x) ενώ το διάνυσμα ( u) είναι ένας πίνακας στήλη με n ( u) D (, ) F, ( u). Λαμβάνοντας μετασχηματισμούς Laplae τελευταία σχέση προκύπτει: () L ( u) DL ( u) L ( u) L ( u) L ( u) L ( u) DL ( u) L ( u) L ( u) () L ( u) I D ( ) ( u) () ( u) A( ) ( u) () ( u) όπου A( ) I D ( ). Τελικά παίρνοντας αντίστροφο μετασχηματισμό Laplae καταλήγουμε στην σχέση: u ( u) v( u) () v( u t) ( t) dt όπου v( u) L I D ( ). Για να καταφέρουμε να βγάλουμε αριθμητικά αποτελέσματα στην παραπάνω σχέση πρέπει να υπολογίσουμε το διάνυσμα (). Ακολουθώντας ανάλογο συλλογισμό με την γενική περίπτωση καταλήγουμε ότι: (),,...,,,..., * A * 2 A 2 όπου, 2,..., n οι ρίζες της γενικευμένης εξίσωσης Lundberg η οποία στην περίπτωσή μας ανάγεται στην DetA Det I D ( ) ( ). Διαφορετικά μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την σχέση: () Q RQe 26
2.6 Εφαρμογή Εύρεση της πιθανότητας χρεοκοπίας στο Κλασικό Μοντέλο Στο παράδειγμα αυτό θεωρούμε ότι n, D, D και ότι το ύψος των κινδύνων είναι εκθετικά κατανεμημένο με παράμετρο, δηλαδή X Exp( ). Σύμφωνα με τα παραπάνω ( x) e x οπότε () εξίσωση Lundberg προκύπτει:. Από την Det I D ( ) Det 2 ή παίρνουμε ή. Λαμβάνοντας ( X ) Οπότε ενώ η ρίζα είναι ο συντελεστής προσαρμογής. Βρίσκουμε ( u) D F( u) ( u) e u, οπότε το () υπολογίζετε από την σχέση: () ( ) () ( ) () () () () Στην συνέχεια υπολογίζουμε το προκύπτει: v( u) L οπότε 27
v( u) L v( u) L v( u) L v( u) L v( u) L v( u) L v( u) e u Τελικά είναι: u ( u) v( u) () v( u t) ( t) dt u u ut t ( u) e e e dt u u u u t t ( u) e e dt e e dt u u u e ( u) e u e e u ( u) e e u u e e u u u u ( u) e e ( u) e, u 28
2.7 Εφαρμογή Εύρεση της προεξοφλημένης πιθανότητας χρεοκοπίας-marovan Arrval Proe Στο παράδειγμα αυτό (Chen 29) θεωρούμε ότι έχουμε δύο καταστάσεις, δηλαδή n 2, και οι πινάκες τάσεων είναι: D p p 2 2 και 2 2 D 2 p2 2 p2 επίσης ο πίνακας με το ύψος των κινδύνων είναι: e () x e x 2 x 2 2x 22x 2e 22e 3 όπου p.5,, 2, 2.5, 22.5,, 2.4, 2 και 2. 4 4 Τελικά οι παραπάνω πίνακες είναι: D.2.2,.25.25 D x x.55.95 και e e () x.5x.5x.5e.5e Προκύπτει οπότε: x e ( x) x x.e.e και ().. η γενικευμένη εξίσωση Lundberg Det I D Για 5 ( ) δίνει: 29
..25.25 Det 2 2.55.95...35.25 2 2 2 Det.55..5 2 2 2 2.35.5.25.55. 2 2 2 2 2 2 2 Οπότε παίρνουμε.4549 και 2.647785. Είναι:.35.25.5.55. 2 2 2 2 2 2 2 * A( ) A ( ).55..5.25.35 2 2 2 2 2 2 2 Οπότε: -.375226 -.279365.2589 -.27834 A ( ) A ( ) -.25 -.93657 -.25.276223 A [, ] [, ].4549.647785 * * * 2 * 2 A 2 2 *.99735.26496 *.266 - [, 2] A [, 2] A.73584.36347.3639 n Επίσης ( u) D (, ) F, ( u) οπότε: u e ( u) ( ).5u.4e.4.5 3
Προκύπτει συνεπώς: * * * A, 2 A, 2 A, 2 2 * A, 2 -.375226 -.279365 -.529833.73584.2649.66875 -.25 -.93657 -.539964.73584.348497 * A, 2.955845.372656 Επομένως: *.266 -.36347.955845 () A *, 2 A, 2 () 2.3639.372656.95737 ().56957 Επίσης είναι v( u) L I D ( ) οπότε:.596477t.4549t.647785t.4888e.5647e.332334e vu ( ).6283u.52288u.47878u.286283u.52288 u.47878u.83e.59e 3.42e 2.66e.836e.836e u Τελικά από την σχέση ( u) v( u) () v( u t) ( t) dt, u προκύπτει:.6283u.286283u.299563e.2954e ( u).574e 6. 93e 8e.42e.5485e.6u.522u.5u.478u.2862u 2.8 Ολοκληρωδιαφορική εξίσωση για u b Σε αυτή την παράγραφο θα ασχοληθούμε με την αναμενόμενη προεξοφλημένη συνάρτηση ποινή στην περίπτωση που το αρχικό απόθεμα είναι 3
μεγαλύτερο από b. Θεωρούμε B b b b b,, 2,..., τα φράγματα σύμφωνα με τα οποία όταν για το απόθεμα u ισχύει u b το ύψος του ασφαλίστρου είναι. Τότε έχουμε την ακόλουθη ολοκληρωδιαφορική εξίσωση: '( u) ( u) D ( u) ( x) ( u x) dx ( u) u Λήμμα 2.8.: Η λύση της παραπάνω ολοκληρωδιαφορικής εξίσωσης δίνεται από την σχέση: ub ( u) v ( u b ) ( b ) v ( u t) ( u t) dt, u b όπου v( u b ) L I D ( ) με v () I. Απόδειξη Για u b θέτουμε x u b οπότε είναι: '( x b ) ( x b ) D ( x b ) ( t) ( x b t) dt ( x b ) u Θέτοντας γράφεται: * ( x) ( x b ) και * ( x) ( x b ) η τελευταία σχέση *' * * u * * ( x ) ( x ) D ( x ) ( t ) ( x t ) dt ( x ), x Με χρήση μετασχηματισμών Laplae καταλήγουμε: * * u * ( x) v ( x) () v ( t) ( x t) dt, x όπου v ( x) L I D ( ) με v () I. Τελικά αντιστρέφοντας τους μετασχηματισμούς που θέσαμε καταλήγουμε: ub ( u) v ( u b ) ( b ) v ( u t) ( u t) dt, u b 32
2.9 Υπολογισμός του ( b ) Η διαδικασία υπολογισμού ( b ) είναι ανάλογη με τον υπολογισμό του στην περίπτωση αυτή όμως γίνεται χρήση του τελεστή Don-Hpp ο οποίος ορίζεται από την σχέση r, r y x. x T x e y dy x Ειδικότερα από την σχέση της ολοκληρωτικής εξίσωσης του ( b ) προκύπτει: ub ( u) v ( u b ) ( b ) v ( t) ( u t) dt ( ) ( ) ub ub u b ( u b ) e ( u) e v ( u b ) ( b ) e v ( t) ( u t) dt ( ub) ( ub) e u du e v u b b b ( ) ( ) ( b ) du ub ( ub ) e v ( t) ( u t) dtdu b T ( b ) ( b ) e v ( x) dx e v ( t) ( x b t) dtdx x x x ub x ub x T ( b ) ( b ) L [ v ( x)] L [ v ( x)] L [ ( x b )] T ( b ) L[ v ( x)] ( b ) T ( b ) L ( ) T ( b ) ( b ) T ( b ) u b όπου L ( ) I D ( ). Βρίσκοντας τα αριστερά ιδιοδιανύσματα q, του πίνακα L () για τις αντίστοιχες ιδιοτιμές,,,2,..., και πολλαπλασιάζοντας την τελευταία σχέση από αριστερά παίρνουμε: T 33
T T T q, L (, ) (, ), ( ), (, ) T b q b q T b T T T T q, ( b ) q, T ( b, ), ( ), (, ) q b q T b Υπό την μορφή πινάκων είναι: T T όπου Q q,,..., q, Q ( b ) dag T ( b ),..., T ( b ) Q e,, T και Qe η στήλη του πίνακα Q. Επειδή ο Q είναι αντιστρέψιμος καταλήγουμε: ( b ) Q dag T ( b ),..., T ( b ) Q e,, 34
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο Μαρκοβιανό Μοντέλο Θεωρίας Κινδύνου με πολλαπλά φράγματα Στο προηγούμενο κεφάλαιο εξετάστηκε το μαρκοβιανό μοντέλο χωρίς φράγματα. Το σκεπτικό σε αυτό το κεφάλαιο είναι ότι σε μια ασφαλιστική εταιρεία όταν τα αποθεματικά υπερβαίνουν κάποιο ύψος τότε αυτή προκειμένου να είναι ανταγωνιστική ελαττώνει το ασφάλιστρο. Επομένως σε αυτήν την περίπτωση θεωρούμε B b b b b,, 2,..., n τα φράγματα σύμφωνα με τα οποία όταν για το απόθεμα u ισχύει b u b το ύψος του ασφαλίστρου είναι. Στην περίπτωση αυτή ορίζουμε ως αναμενόμενη προεξοφλημένη συνάρτηση ποινής με αρχική κατάσταση E,2,3,..., ;, ub u; B, u; B n, ub ; u b n b u b b u 2,...,n Επίσης ορίζουμε το διάνυσμα ( u; B) ( u; B), ( u; B),..., ( u; B), b u b., 2, n, Τελικά η προεξοφλημένη συνάρτηση ποινής στο μαρκοβιανό μοντέλο με πολλαπλά φράγματα ορίζεται ως εξής: u; B u b u; B u; B b u b n u; B b u 2,...,n 35
3. Ολοκληρωδιαφορική εξίσωση της ub ; Δεδομένου ότι βρισκόμαστε στην κατάσταση και ξεκινάμε με ένα αρχικό απόθεμα u την χρονική στιγμή για το οποίο b u b, στο χρονικό διάστημα, h μπορούν να συμβούν τα εξής: Να παραμείνουμε στην κατάσταση και να μην εμφανιστεί κίνδυνος με πιθανότητα D (, ) h Να μεταβούμε από την κατάσταση στην κατάσταση χωρίς την εμφάνιση κινδύνου με πιθανότητα D (, ) h Να μεταβούμε από την κατάσταση στην κατάσταση και να εμφανιστεί στο διάστημα αυτό ένας κίνδυνος με σ.κ. F, με πιθανότητα D (, ) Να συμβεί οποιοδήποτε άλλο ενδεχόμενο με πιθανότητα oh ( ) Συνδυάζοντας τα παραπάνω προκύπτει: h h,,, ( u; B) D (, ) h e ( u h; B) D (, ) he ( u h; B) u h b h (, ), ( ; ), ( ) D he u h x B df x D he u h x B df x u h u h b h l (, ), l ( ; ), ( ), ( ) u h b l l όπου η ένταση ανατοκισμού και, ( u) w( u, x u) df, ( x). u oh ( ) 36
h Λαμβάνοντας υπόψη ότι e h o( h) προκύπτει: ( u; B) D (, ) h h o( h) ( u h; B),, D (, ) h h o( h) ( u h; B), uhb (, ) ( ), ( ; ), ( ) D h h o h u h x B df x u hbl D (, ) h h o( h), l ( u h x; B) df, ( x), ( u h) o( h) u hb l l οπότε απαλείφοντας τους όρους ανώτερης τάξης του h : ( u; B) ( u h; B) D (, ) h ( u h; B) h ( u h; B),,,, uhb D (, ) h, ( u h; B) D (, ) h, ( u h x; B) df, ( x) u hbl D (, ) h, l ( u h x; B) df, ( x), ( u h) u h oh ( ) b l l, ( u; B), ( u h; B) D (, ), ( u h; B), ( u h; B) h uhb D (, ), ( u h; B) D (, ), ( u h x; B) df, ( x) u hbl oh ( ) D (, ) l, ( u h x; B) df, ( x), ( u h) u hb l l h Λαμβάνοντας οπότε h προκύπτει: ' ( u; B) D (, ) ( u; B) ( u; B) D (, ) ( u; B),,,, ub ubl D (, ), ( u x; B) df, ( x) D (, ), l ( u x; B) df, ( x), ( u) ub l l ub ' ( u; B) ( u; B) D (, ) ( u; B) D (, ) ( u x; B) df ( x) ( u),,,,,, όπου b u b και ubl, ( u) D (, ), l ( u x; B) df, ( x), ( u) ub l l. 37
Υπό την μορφή πινάκων η παραπάνω σχέση γράφεται: ' ub ( ; ) ( ; ) ( ; ) ( ) ( ; ) ( ) u B u B D u B x u x B dx u όπου ( u), ( u), 2, ( u),...,, ( u). Όσον αφορά την συνέχεια τον διανυσμάτων u; B,..., u; B εκφράζεται n μέσω της συνθήκης b ; B b ; B,,..., n Παρατηρούμε τότε με χρήση της συνέχειας των παραπάνω διανυσμάτων ότι προκύπτει: ' b b ( ; ) ( ; ) ( ; ) ( ) ( ; ) ( ) b B b B D b B x b x B dx b b b ( b ; B) D ( b ; B) ( ) ( ; ) ( ) x b x B dx b ( b ; B) D ( b ; B) ( b ) ' ( b ; B) b b όπου έγινε χρήση της σχέσης ( b ) ( ) ( ; ) ( ) x b x B dx b. Άρα σε κάθε περίπτωση η παράγωγος αυτών των διανυσμάτων δεν είναι συνεχής πάνω στα φράγματα b,,2,..., n. 3.2 Αναλυτική έκφραση της () u Θεώρημα 3.2.: Η ολοκληρωδιαφορική εξίσωση ' ub ( ; ) ( ; ) ( ; ) ( ) ( ; ), ( ) ( ) u B u B D u B x u x B df x u όπου b u b ικανοποιεί την ολοκληρωτική εξίσωση: ub ( u; B) v u b ( b ; B) v ( t) ( u t) dt 38
v ( u) L I D ( ), b u b. όπου Απόδειξη Θέτοντας x u b u x b τότε x b b και η ολοκληρωδιαφορική εξίσωση παίρνει την μορφή: * ' ( x b ; B ) ( x b ; B ) D ( x b ; B ) ( t) ( x b t; B) df ( t) ( x b ) x, Θέτοντας ( x) ( x b, B) και ( x) ( x b ) προκύπτει: * *' * * x * * ( x ) ( x ) D ( x ) ( t ) ( x t ) df ( t ) ( x ), Λαμβάνοντας μετασχηματισμούς Laplae προκύπτει: *' * * * * ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) L x D * * * * * * () ( ) ( ) D ( ) ( ) ( ) ( ) * * ( ) I D ( ) () I * D ( ) ( ) Λαμβάνοντας αντίστροφο μετασχηματισμό Laplae στην παραπάνω σχέση και θέτοντας v ( u) L I D ( ) προκύπτει: * * x * ( x) v ( x) () v ( t) ( x t) dt Τελικά λαμβάνοντας υπόψη τους μετασχηματισμούς που θέσαμε καταλήγουμε: ub ( u; B) v u b ( b ; B) v ( t) ( u t) dt 39
3.3 Υπολογισμός του v () u Όπως φαίνεται από τα παραπάνω ο υπολογισμός της ποσότητας vu ( ) και της v ( u) αντίστοιχα παίζουν κρίσιμο ρόλο στον υπολογισμό της αναμενόμενης προεξοφλημένης συνάρτησης ποινής. Αρχικά θα ασχοληθούμε με τον υπολογισμό του vu ( ) οπότε αντίστοιχα θα προκύψει το v ( u) με αντικατάσταση του με. Μία προσέγγιση του υπολογισμού του vu ( ) είναι μέσω της χρήσης αντίστροφων μετασχηματισμών Laplae κάτι το οποίο είναι δύσκολο ως προς την εύρεση αναλυτικής έκφρασης του αντίστροφου μετασχηματισμού Laplae του αντιστρόφου ενός πίνακα. Μία άλλη προσέγγιση είναι μέσω του υπολογισμού μίας ειδικής αναμενόμενης προεξοφλημένης συνάρτησης ποινής. Η προσέγγιση αυτή αναπτύχθηκε αρχικά από τους Gerber & Shu (998) στην περίπτωση του κλασικού μοντέλου και διευρύνθηκε από τον L (28b) για το Sparre-Anderen μοντέλο. Για το μαρκοβιανό μοντέλο η διαδικασία ακολουθείται όπως περιγράφεται από τον Chen (29). Αρχικά εισάγουμε έναν χρόνο στάσης * ( u, a, b) για a b ο οποίος ορίζεται από την σχέση: * ( u, a, b) n t : U( t) a, b / U() u Επίσης ορίζουμε: * * ( u, a, b) εάν U( ( u, a, b)) b ( u, a, b) * εάν U( ( u, a, b)) a και * εάν U( ( u, a, b)) b ( u, a, b) * * ( u, a, b) εάν U ( ( u, a, b)) a 4
Όπως προκύπτει ο χρόνος στάσης ( u, a, b) εκφράζει την πρώτη στιγμή κατά την οποία η διαδικασία πλεονάσματος υπερβαίνει το άνω φράγμα b, ενώ αντίστοιχα ο χρόνος στάσης ( u, a, b) εκφράζει την πρώτη χρονική στιγμή κατά την οποία η διαδικασία πλεονάσματος πέφτει κάτω από το φράγμα a. Ορίζουμε ως ( u, a, b) B, ( u, b) E e I J ( u, a, b) / J(), u τον μετασχηματισμό Laplae του χρόνου στάσης ( u, a, b) δοθέντος ότι η αρχική κατάσταση στο μαρκοβιανό μοντέλο είναι και την χρονική στιγμή κατά την οποία το πλεόνασμα φτάνει το φράγμα b γίνεται. Όταν b η διαδικασία πλεονάσματος πέφτει κάτω από το «μηδέν» πρώτου επανέλθει. Συμβολίζουμε με ( u,,) την πρώτη χρονική στιγμή κατά την οποία το πλεόνασμα επανέρχεται σε θετικά επίπεδα μετά την στιγμή της χρεωκοπίας. Το καλείται και χρόνος ανάκτησης. Για ορίζουμε ως, ( u) E e I, J( ) / U() u, u τον μετασχηματισμό Laplae του εφόσον η διαδικασία πλεονάσματος ανακτήσει τις απώλειες, δοθέντος ότι η αρχική κατάσταση είναι και η κατάσταση κατά τον χρόνο ανάκτησης είναι. Ας είναι Bu; b ο πίνακας με (, ) δειχθεί στον Ren (29) ο πίνακας Bu; b έχει την μορφή στοιχείο την ποσότητα B, ( u, b ). Όπως έχει K ( b u) ; B u b e, u b 4
όπου ο πίνακας K ικανοποιεί την ακόλουθη εξίσωση πινάκων Kx K I D ( x) e dx Η λύση της παραπάνω εξίσωσης όπως έδειξε ο Ren (29) προκύπτει ως όπου dag, 2,..., με 2 εξίσωσης Lundberg και H h, h2,..., h K H H,,..., να είναι οι λύσεις της γενικευμένης όπου το διάνυσμα στήλη h είναι το από δεξιά ιδιοδιάνυσμα του πίνακα L ( ) που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή. Ας είναι ( u) ο πίνακας με (, ) στοιχείο την ποσότητα, ( u) δειχθεί στον L (28b) ισχύει KU ( ) ( u) E e I / U() u, u. Όπως έχει Κάνοντας χρήση της σχέσης K H H μπορούμε να γράψουμε ( u) Hdag ( u),..., ( u) H όπου ( ) ( ) U u E e I / U() u, E Χρησιμοποιώντας την ίδια μεθοδολογία όπως εμφανίζεται στους Gerber & Shu (998) και στον L (28b), ο πίνακας B( u; b ) παίρνει την ακόλουθη έκφραση Ku Kb B( u; b) e ( u) e ( b), u και επίσης ικανοποιεί την ομογενή ολοκληρωδιαφορική εξίσωση με Bb, b I. u, u B ' u; b B u; b D B u; b ( x) B u x; b dx 42
Ας είναι ( ) Ku v u e ( u) I () ολοκληρωδιαφορική εξίσωση προκύπτει: οπότε από την παραπάνω με v() I. u, u v '( u) v( u) D v( u) ( x) v( u x) dx Κάνοντας χρήση μετασχηματισμών Laplae στην τελευταία σχέση καταλήγουμε στην γνώριμη έκφραση του vu ( ), οπότε αυτό σημαίνει ότι το vu ( ) μπορεί να εκφραστεί με την βοήθεια του ( u) όπως ορίστηκε παραπάνω. Καταλήγουμε οπότε με την βοήθεια της έκφρασης του K στο εξής: v( u) H e dag ( u),..., ( u) H H I dag (),..., () H e ( u) e ( u) v u Hdag H u () () u u ( ),...,, Τώρα μπορούμε να υπολογίσουμε το v ( u) για,..., n οπότε με αντίστοιχη συλλογιστική πορεία προκύπτει: όπου v ( ) Ku u e ( u) I () K H, H,, dag,,...,, και H h,, h2,,..., h, με,,...,, οι ρίζες της εξίσωσης det L ( ) h, h,..., h τα από δεξιά ιδιοδιανύσματα και, 2,, του πίνακα L (, ) που αντιστοιχούν στην ιδιοτιμή. Τελικά καταλήγουμε: όπου το, ( u ) ορίζεται ως, u, u e, ( u) e, ( u) v( u) Hdag,..., H, u, (), (), ( ), ( u ) E e U I / U () u, u, E 43
3.4 Αναδρομικός υπολογισμός του ( ub ; ) Για τον υπολογισμό του ( ub ; ) χρειάζεται να υπολογιστεί πρώτα η ποσότητα ( b ; B). Ωστόσο δεν είναι εφικτό να εφαρμόσουμε διαδικασίες ανάλογες με τον υπολογισμό του ( b ) εξαιτίας του περιορισμού b u b. Θεωρούμε οπότε την ολοκληρωτική εξίσωση ub ( u) v ( u b ) ( b ) v ( u t) ( u t) dt, u b όπου θέσαμε ( u) ( u). Κάνοντας χρήση και της ολοκληρωτικής εξίσωσης ub ( u; B) v u b ( b ; B) v ( t) ( u t) dt, b u b παρατηρούμε ότι με αφαίρεση κατά μέλη προκύπτει: ( u; B) ( u) v ( u b ) ( b ; B) ( b ) ( u; B) ( u) v ( u b ) ( b ; B) ( b ), b u b Θέτοντας στην τελευταία σχέση ( B) ( b ; B) ( b ) προκύπτει: ( u; B) ( u) v( u b ) ( B), b u b Συνοψίζουμε τα παραπάνω στο παρακάτω θεώρημα: Θεώρημα 3.3.: Η αναλυτική έκφραση του διανύσματος της αναμενόμενης προεξοφλημένης συνάρτησης ποινής μπορεί να προκύψει ως εξής: ( u; B) ( u) v ( u b ) ( B), b u b,,2,..., όπου το ( u) και το ( B) υπολογίζονται αναδρομικά από τις σχέσεις ub ( u) v ( u b ) ( b ) v ( u t) ( u t) dt, b u b 44
και ( B) ( b ) ( b ) v ( b b ) ( B),,2,..., ( B) όπου το στοιχείο του διανύσματος ( u) δίνεται από την σχέση με, u, ubl, ( u) D (, ), l ( u x; B) df, ( x), ( u) ubl l ( u) w( u, x u) df ( x). 3.5 Αλγόριθμος εύρεσης του ( ub ; ) Βήμα ο Για κάθε,,2,..., n λύνουμε την γενικευμένη εξίσωση Lundberg, det[ L ( )] και βρίσκουμε ρίζες, τις,,2,...,. Βρίσκουμε το αριστερό ιδιοδιάνυσμα πίνακα Q q,, q,,..., q n, T q της ιδιοτιμής του πίνακα (, ) και κατασκευάζουμε τον, T. Αντίστοιχα βρίσκουμε το δεξιό ιδιοδιάνυσμα h, της ιδιοτιμής του πίνακα (, ) και κατασκευάζουμε τον πίνακα H h, h,..., hn,,,. L L Βήμα 2 ο Για κάθε ρίζα,,,2,..., n υπολογίζουμε τις ποσότητες, ( u ) οι οποίες είναι μία ειδική περίπτωση της αναμενόμενης προεξοφλημένης συνάρτησης w x y, e y ποινής με, καταβολή μερισμάτων. στο μαρκοβιανό μοντέλο της θεωρίας κινδύνου χωρίς την 45
Η έκφραση της ποσότητας v ( u ),,2,..., n μπορεί να προκύψει από την σχέση, u, u e, ( u) e, ( u) v ( u) Hdag,..., H, u., (), () Βήμα 3 ο προκύπτει u, u n, u Για, ( u) w u, x u df, ( x). u Υπολογίζουμε οπότε το () από την σχέση: όπου T ο τελεστής Don-Hpp. Υπολογίζουμε το ( u) από την σχέση: ( ) ( ),..., ( ) T όπου,( u) D (, ), ( u) και Q dag T T Q e n (), (),...,, () n u ( u) v ( u) () v ( t) ( u t) dt, u n Βήμα 4 ο Από την σχέση ( u; B) ( u) v ( u) ( B) με τον περιορισμό u b υπολογίζουμε την συνάρτηση ( ub ; ). Στην σχέση αυτή υπάρχει η σταθερά ( B) η οποία θα υπολογιστεί στο τελευταίο βήμα. Αξίζει να τονιστεί ότι η συνάρτηση ( ub ; ) με u b προς το παρών είναι συνάρτηση του άγνωστου διανύσματος ( B). Βήμα 5 ο προκύπτει 2 u,2 u n,2 u Για 2 ( ) ( ),..., ( ) T όπου n u ( u) D (, ) ( u x; B) df ( x) ( u),2 ub,,, 46
όπου ( ; ), ub είναι το στοιχείο του διανύσματος ( ub ; ). Υπολογίζουμε οπότε το 2( b ) από την σχέση: όπου T ο τελεστής Don-Hpp. b Q dag T b T b Q e Υπολογίζουμε το 2( u) από την σχέση: n 2( ) 2,2 2( ),...,,2 2( ) n 2 2 u v u b b v t u t dt, u b ub 2( ) 2( ) 2( ) 2( ) 2( ) 2 Τονίζουμε ότι το διάνυσμα 2( u) εξαρτάται από το διάνυσμα ( B). Συνεπώς και τα διανύσματα 2( b ) και 2( u) είναι συναρτήσεις του άγνωστου προς το παρών διανύσματος ( B). σχέση: Βήμα 6 ο Με τον περιορισμό b u b2 υπολογίζουμε την συνάρτηση 2( ub ; ) από την, b u b2 2( u; B) 2( u) v2( u b) 2( B) όπου η ποσότητα v2( u b) υπολογίστηκε στο δεύτερο βήμα και ( B) ( b ) ( b ) v ( b ) ( B) 2 2 Από την εξάρτηση των 2( B) και ( B) προκύπτει ότι τα διανύσματα 2( B) και 2( ub ; ) με b u b2 είναι συναρτήσεις του ( B). 47
Βήμα 7 ο Κατά τον ίδιο τρόπο για 3,4,..., προκύπτει ub 2, ( u) D (, ), ( u x; B) df, ( x), ( u) u b Υπολογίζουμε οπότε το 2( b ) από την σχέση: ( b ) Q dag T ( b ),..., T ( b ) Q e Υπολογίζουμε το ( u) από την σχέση: οπότε από την σχέση n, n, ub ( u) v ( u b ) ( b ) v ( t) ( u t) dt, u b ( u; B) ( u) v ( u b ) ( B) υπολογίζουμε το διάνυσμα ( ub ; ) όπου η ποσότητα v( u b ) έχει υπολογιστεί στο δεύτερο βήμα και το διάνυσμα ( B) υπολογίζεται από την σχέση ( B) ( b ) ( b ) v ( b b 2) ( B) Αντίστοιχα με το έκτο βήμα παρατηρούμε τα διανύσματα ( B) και ( ub ; ) με b u b είναι συναρτήσεις του ( B ). Βήμα 8 ο Για n η έκφραση ( u) περιέχει όλα τα προηγούμενα διανύσματα ( ub ; ),,2,...,n. n Επειδή στο τελευταίο φράγμα παρατηρούμε ότι n ( u; B) n ( u) για u bn προκύπτει από την αναδρομική σχέση ότι n( B). 48
Τονίζουμε ότι όλα τα διανύσματα ( b ), ( u), ( ub ; ) και n( B) εξαρτώνται από το διάνυσμα ( B). n n n n Κάνοντας χρήση της σχέσης ( B) ( b ) ( b ) v ( b b ) n( B) n n n n n n n n υπολογίζουμε την ποσότητα ( B) και ολοκληρώνεται η διαδικασία. 49
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο Αναμενόμενη Προεξοφλημένη Καταβολή Μερισμάτων Στόχος του παρόντος κεφαλαίου είναι η παρουσίαση του μαρκοβιανού μοντέλου με πολλαπλά φράγματα υπό την συνθήκη της καταβολής μερισμάτων. Ορίζουμε λοιπόν την παρούσα αξία της καταβολής μερισμάτων μέχρι την στιγμή της χρεοκοπίας B, δοθέντος ότι το αρχικό κεφάλαιο είναι u, ως εξής: D ub, B t e dd() t, u όπου Dt () είναι η αθροιστική καταβολή μερισμάτων την χρονική στιγμή t. Ορίζουμε, V u; B E Du B / UB() u, u, E να είναι η αναμενόμενη παρούσα αξία της καταβολής μερισμάτων κάτω από μια στρατηγική πολλαπλών φραγμάτων, δοθέντος ότι το αρχικό κεφάλαιο είναι u και η αρχική κατάσταση του συστήματος είναι E. Υπό την μορφή πινάκων γράφουμε V u; B V u; B,..., V u; B T και επίσης ορίζουμε V, u; B u b V u; B V, u; B b u b, 2,..., n V, n u; B bn u 5
Υπό την μορφή πινάκων γράφουμε: όπου V u; B V, u; B,..., V, u; B V u; B u b V u; B V u; B b u b, 2,..., n V n u; B bn u T, b u b,,2,..., n. Στην περίπτωση του μαρκοβιανού μοντέλου με ένα φράγμα b, η διαδικασία πλεονάσματος συμβολίζεται () b παρούσα αξία των μερισμάτων ορίζεται U t και το αρχικό κεφάλαιο U () b u. Αντίστοιχα η D ub, B t e dd() t, u όπου n{ t : U ( t) } ο χρόνος χρεοκοπίας. b b Η αναμενόμενη παρούσα αξία ορίζεται, V u; b E Du b / Ub() u δοθέντος ότι η αρχική κατάσταση είναι E. Αργότερα θα δούμε σε αυτό το κεφάλαιο ότι η αναμενόμενη παρούσα αξία των μερισμάτων στο μαρκοβιανό μοντέλο με πολλαπλά φράγματα σχετίζεται με την αναμενόμενη παρούσα αξία στην περίπτωση του ενός φράγματος. 4. Ολοκληρωδιαφορική εξίσωση της V u; B Δεδομένου ότι βρισκόμαστε στην κατάσταση E και ξεκινάμε με ένα αρχικό απόθεμα u την χρονική στιγμή για το οποίο b u b, στο χρονικό διάστημα, h καταβάλλονται μερίσματα ύψους h και μπορούν να συμβούν τα εξής: 5
Να παραμείνουμε στην κατάσταση και να μην εμφανιστεί κίνδυνος με πιθανότητα D (, ) h Να μεταβούμε από την κατάσταση στην κατάσταση χωρίς την εμφάνιση κινδύνου με πιθανότητα D (, ) Να μεταβούμε από την κατάσταση στην κατάσταση και να εμφανιστεί στο διάστημα αυτό ένας κίνδυνος με σ.κ. F, με πιθανότητα D (, ) Να συμβεί οποιοδήποτε άλλο ενδεχόμενο με πιθανότητα oh ( ) h Συνδυάζοντας τα παραπάνω προκύπτει: h h,,, V ( u; B) h D (, ) h e V ( u h; B) D (, ) he V ( u h; B) u h b h (, ), ( ; ), ( ) D he V u h x B df x u h b h l D (, ) he V, l ( u h x; B) df, ( x) u hb l l oh ( ) h Λαμβάνοντας υπόψη ότι e h o( h) προκύπτει: V ( u; B) h D (, ) h h o( h) V ( u h; B),, D (, ) h h o( h) V ( u h; B), uhb (, ) ( ), ( ; ), ( ) D h h o h V u h x B df x u hbl D (, ) h h o( h) V, l ( u h x; B) df, ( x) u oh ( ) hb l l οπότε απαλείφοντας τους όρους ανώτερης τάξης του h : 52
V ( u; B) V ( u h; B) h D (, ) hv ( u h; B) hv ( u h; B),,,, uhb D (, ) h V, ( u h; B) D (, ) h V, ( u h x; B) df, ( x) u hb l D (, ) h V, l ( u h x; B) df, ( x) u hb oh ( ) l l V, ( u; B) V, ( u h; B) D (, ) V, ( u h; B) V, ( u h; B) h uhb D (, ) V, ( u h; B) D (, ) V, ( u h x; B) df, ( x) u hbl oh ( ) D (, ) V l, ( u h x; B) df, ( x) u hb l l h Λαμβάνοντας οπότε h προκύπτει: V ' ( u; B) V ( u; B) D (, ) ( u; B),,, ub ubl D (, ) V, ( u x; B) df, ( x) D (, ) V, l ( u x; B) df, ( x) ub l l n ub ' V ( u; B) V ( u; B) D (, ) V ( u; B) D (, ) V ( u x; B) df ( x) ( u),,, όπου b u b, E n και l,,, n ub ( u) D (, ) V ( u x; B) df ( x)., ub, l, l l Υπό την μορφή πινάκων η παραπάνω σχέση γράφεται: ' ub ( ; ) ( ; ) ( ; ) ( ) ( ; ), ( ) ( ) V u B V u B D V u B x V u x B df x u όπου ( u), ( u), 2, ( u),...,, ( u). Η συνέχεια των πινάκων V ( u; B), V 2( u; B),..., V n ( u; B) εξασφαλίζεται από την σχέση: V b B V b B ( ; ) ( ; ) Αξίζει να αναφερθεί ότι η παράγωγος των πινάκων V ( u; B ) δεν είναι συνεχής πάνω στα φράγματα εφόσον ισχύει η σχέση: 53
' ' V ( b ; B) V ( b ; B) V ( b ; B) 4.2 Αναλυτική Έκφραση της V u; B Θεώρημα 4.2.: Η ολοκληρωδιαφορική εξίσωση ' ub ( ; ) ( ; ) ( ; ) ( ) ( ; ), ( ) ( ) V u B V u B D V u B x V u x B df x u όπου b u b ικανοποιεί την ολοκληρωτική εξίσωση: ub V ( u; B) v u b V ( b ; B) v ( t) ( u t) dt v ( u) L I D ( ), b u b. όπου Απόδειξη Θέτοντας x u b u x b τότε x b b και η ολοκληρωδιαφορική εξίσωση παίρνει την μορφή: ' x V ( x b ; B ) V ( x b ; B ) D V ( x b ; B ) ( t ) V ( x b t ; B ) df ( t ) ( x b ), * Θέτοντας V ( x) V ( x b, B) και ( x) ( x b ) προκύπτει: * ' V ( x ) V ( x ) D V ( x ) ( t ) V ( x t ) df ( t ) ( x ) * * * x * *, Λαμβάνοντας μετασχηματισμούς Laplae προκύπτει: *' * * * * ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) L V x V D V V * * * * * * V () V ( ) V ( ) D V ( ) ( ) V ( ) ( ) * * V ( ) I D ( ) V () I * D ( ) ( ) 54
Λαμβάνοντας αντίστροφο μετασχηματισμό Laplae στην παραπάνω σχέση και θέτοντας v ( u) L I D ( ) προκύπτει: V ( x) v ( x) V () v ( t) ( x t) dt * * x * Τελικά λαμβάνοντας υπόψη τους μετασχηματισμούς που θέσαμε καταλήγουμε: ub V ( u; B) v u b V ( b ; B) v ( t) ( u t) dt 4.3 Αναδρομικός υπολογισμός του V u; B Για τον υπολογισμό του V ( u; B) χρειάζεται να υπολογιστεί πρώτα η ποσότητα V ( b ; B). Ωστόσο δεν είναι εφικτό να εφαρμόσουμε διαδικασίες ανάλογες με τον υπολογισμό του V ( b ) εξαιτίας του περιορισμού b u b. Θεωρούμε οπότε την ολοκληρωτική εξίσωση V u v u b V b v u t u t dt u b ub ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), Κατά αντιστοιχία με το τρίτο κεφάλαιο κάνοντας χρήση της ολοκληρωτικής εξίσωσης ub V ( u; B) v u b V ( b ; B) v ( t) ( u t) dt, b u b παρατηρούμε ότι με αφαίρεση κατά μέλη προκύπτει: V ( u; B) V ( u) v ( u b ) V ( b ; B) V ( b ) V u B V u v u b V b B V b b u b ( ; ) ( ) ( ) ( ; ) ( ), Θέτοντας στην τελευταία σχέση ( B) V ( b ; B) V ( b ) προκύπτει: V u B V u v u b B b u b ( ; ) ( ) ( ) ( ), 55
όπου η ποσότητα V b B μπορεί να υπολογιστεί με την βοήθεια του τελεστή ; Don-Hpp και τον πίνακα Q ως εξής: V b ; b Q dag T b,..., T b Q e,, Συνοψίζουμε τα παραπάνω στο παρακάτω θεώρημα: Θεώρημα 4.3.: Η αναλυτική έκφραση του διανύσματος της αναμενόμενης προεξοφλημένης συνάρτησης καταβολής μερισμάτων μπορεί να προκύψει ως εξής: V ( u; B) V ( u) v ( u b ) ( B), b u b,,2,..., όπου το V ( u) και το ( B) υπολογίζονται αναδρομικά από τις σχέσεις και V u v u b V b v u t u t dt u b ub ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), ( B) V ( b ) V ( b ) v ( b b ) ( B),,2,..., n( B) όπου το στοιχείο του διανύσματος ( u) δίνεται από την σχέση n ubl, ( u) D (, ) V, l ( u x; B) df, ( x) ubl l 4.4 Αλγόριθμος εύρεσης του V u; B Βήμα ο Για κάθε,,2,..., n λύνουμε την γενικευμένη εξίσωση Lundberg, det[ L ( )] και βρίσκουμε ρίζες, τις,,2,...,n. Προσδιορίζουμε οπότε τους πίνακες Q και H,,..., n. 56
Βήμα 2 ο Υπολογίζουμε την ποσότητα v ( u ),,..., n αντίστοιχα με το δεύτερο βήμα του αλγόριθμου στο τρίτο κεφάλαιο. Βήμα 3 ο Για είναι ( u) και ισχύει V ( u; B) v ( u) V (; B), u b Στην σχέση αυτή η ποσότητα v ( ) u είναι γνωστή από το δεύτερο βήμα ενώ παραμένει άγνωστη η V(; B ). Βήμα 4 ο Από την αναδρομική σχέση είναι V ( u; B) V ( u) v ( u) ( B), u b όπου το διάνυσμα ( B) είναι άγνωστο και θα προσδιοριστεί στο τελευταίο βήμα. Βήμα 5 ο Για 2,..., n είναι ( u), ( u), 2, ( u),...,, ( u) με n ubl, ( u) D (, ) V, l ( u x; B) df, ( x) ubl l Οπότε υπολογίζουμε το V ( b ; B) από την σχέση V b ; B Q dag T b,..., T b Q e,, Αντίστοιχα υπολογίζουμε το V ( u ) από την σχέση V u v u b V b v u t u t dt u b ub ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), Βήμα 6 ο Με τον περιορισμό b u b, 2,3,..., n είναι V ( u; B) V ( u) v ( u b ) ( B) όπου η ποσότητα v( u b ) υπολογίστηκε στο δεύτερο βήμα και ( B) V ( b ) V ( b ) v ( b b ) ( B) 2 57
Βήμα 7 ο Για n είναι V n( u; B) V n( u) για u bn και n( B). Αντίστοιχα και με τον αλγόριθμο στο τρίτο κεφάλαιο, έτσι και εδώ όλες οι παραπάνω συναρτήσεις που κατασκευάσαμε εξαρτώνται από το άγνωστο διάνυσμα ( B). Από την σχέση ( B) V ( b ) V ( b ) v ( b b ) ( B) n n n n n n n n n υπολογίζουμε το ( B) και ολοκληρώνεται η διαδικασία. 58
Βιβλιογραφία Ahn, S., and Badeu, A. L. On the analy o Gerber-Shu dounted penalty unton or r proee wth Marovan arrval. Inurane: Matheat and Eono 4 (27), 234-249. Auen, S. R theory n a Marovan envronent. Sandnavan Atuaral Journal 2 (989), 69-. Badeu, A. L. Duon o The dounted ont dtrbuton o the urplu pror to run and the det at run n a Sparre Anderen odel. North Aeran Atuaral Journal 2, 2 (28),2-22. Badeu, A. L., Dre, S., and Landrault, D. On the analy o a ultthrehold Marovan r odel. Sandnavan Atuaral Journal 4 (27), 248-26. Chen, J. The dounted penalty unton and the dtrbuton o the total dvdend payent n a ult-threhold Marovan r odel (29) Gerber, H. U. and Shu, E. S. The te value o run. North Aeran Atuaral Journal 2, (998), 48-78. Gerber, H. U. and Shu, E. S. The te value o run n a Sparre Anderen Model. North Aeran Atuaral Journal 2, (998), 48-78. L, S. Duon o The dounted ont dtrbuton o the urplu pror to run and the det at run n a Sparre Anderen odel. North Aeran Atuaral Journal 2, 2 (28),28-2. L, S., and Gardo, J. On run o erlang(n) r proe. Inurane: Matheat and Eono 34 (25), 39-48. L, S., and Lu, Y. The deopoton o the dounted penalty unton and dvdend penalty dentty n a Marov-odulated r odel. Atn Bulletn 38 (28), 53-7. Ren, J. The dounted ont dtrbuton o the urplu pror to run and the det at run n a Sparre Anderen odel. North Aera Atuaral Journal,3 (27), 28-37. 59
Ren, J. Duon o The te o reovery and the axu everty o run n a Sparre Anderen odel. North Aera Atuaral Journal 3, (29), 55-56. Σημειώσεις Ε. Χατζηκωνσταντινίδη Θεωρίας Κινδύνου ΙΙ μεταπτυχιακού μαθήματος του τμήματος «Αναλογιστικής Επιστήμης και Διοικητικής Κινδύνου» 6