Σήματα και Συστήματα ΙΙ Ενότητα 6: Απόκριση Συχνότητας-Φίλτρα Α. Ν. Σκόδρας Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Επιμέλεια: Αθανάσιος Ν. Σκόδρας, Καθηγητής Γεώργιος Α. Βασκαντήρας, Υπ. Διδάκτορας
Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. Το περιεχόμενο της παρουσίασης (κείμενο, εικόνες, γραφήματα) δημιουργήθηκε από τον διδάσκοντα στα πλαίσια σύστασης του υλικού διδασκαλίας του ανοικτού μαθήματος Σήματα και Συστήματα ΙΙ, εκτός αν αναγράφεται διαφορετικά. 2
Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου των διδασκόντων καθηγητών. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Πατρών» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3
Σκοπός Σκοπός της ενότητας είναι η ανάλυση και ο σχεδιασμός συστημάτων διακριτού χρόνου (φίλτρων) μέσω γεωμετρικών/γραφικών μεθόδων. Μελέτη: Τοποθέτηση Πόλων-Μηδενικών Απόκριση Συχνότητας Σχεδιασμός Φίλτρων 4
Τοποθέτηση Πόλων-Μηδενικών Όταν ένα μηδενικό τοποθετείται σε ένα σημείο στο επίπεδο z, η απόκριση της συχνότητας θα είναι μηδενική στο συγκεκριμένο σημείο. Από την άλλη πλευρά, ένας πόλος παράγει μέγιστο στο συγκεκριμένο σημείο συχνότητας. Πόλοι κοντά στο μοναδιαίο κύκλο δίνουν μέγιστα, ενώ μηδενικά κοντά ή πάνω στο μοναδιαίο κύκλο παράγουν ελάχιστα. Σημειώνεται ότι για να είναι πραγματικοί αριθμοί οι συντελεστές ενός φίλτρου, πρέπει οι πόλοι και τα μηδενικά να είναι επίσης πραγματικοί αριθμοί, δηλαδή να βρίσκονται πάνω στον θετικό ή αρνητικό ημιάξονα, είτε να εμφανίζονται ως συζυγείς μιγαδικοί. 5
Επίδραση Πόλων και Μηδενικών στην Απόκριση της Συχνότητας Ένας πόλος κοντά στο μοναδιαίο κύκλο παράγει μεγάλο κέρδος σε κοντινές συχνότητες. Ένα μηδενικό κοντά στο μοναδιαίο κύκλο παράγει μικρό κέρδος σε κοντινές συχνότητες. Μπορούμε να ελέγξουμε το κέρδος μέσω του παράγοντα b o. Τι συμβαίνει με τη φάση;; Εκτός από απλές περιπτώσεις, είναι δύσκολο να μάθουμε πολλά για τη φάση από το διάγραμμα. 6
Γραφικός Σχεδιασμός Φίλτρων Για κάθε ευσταθές φίλτρο με πραγματικούς συντελεστές, όλοι οι πόλοι της συνάρτησης απόκρισης συχνότητας Η(z) πρέπει να βρίσκονται εντός του μοναδιαίου κύκλου. Τα μηδενικά μπορούν να βρίσκονται οπουδήποτε. Πόλοι και μηδενικά μπορούν να είναι είτε πραγματικοί είτε μιγαδικοί αριθμοί. Μιγαδικοί πόλοι και μηδενικά πρέπει να εμφανίζονται ως συζυγή ζεύγη. 7
Βασικές αρχές γραφικού σχεδιασμού φίλτρων Ξεκινάμε με τη συνάρτηση της απόκρισης συχνότητας: j H (e ) j j 1 0,5e e 0,5 z 0,5 j j 1 0,5e e 0,5 z 0,5 Ne De N D j ή j j( ) jp H (e ) e e j Αριθμητής Παρονομαστής 8
Γεωμετρικός Αλγόριθμος για το Σχεδιασμό της Απόκρισης Συχνότητας Ν-ιοστής τάξης διαφορική εξίσωση N y(n) a y(n k) b x(n k) k k 1 k 0 l k H (z) z z z N L L L 1 (b o b 1... b L) N N 1 z a 1z... an H(z) b o z (z n )(z n )...(z n ) (z d )(z d )...(z d ) N L 1 2 L 1 2 N Να θυμάστε ότι οι ρίζες n 1, n 2,, n L (μηδενικά) και d 1, d 2,, d L (πόλοι) είναι μιγαδικοί αριθμοί, και γενικά όλοι οι μιγαδικοί αριθμοί πρέπει να εμφανίζονται ως συζυγή ζεύγη γιατί οι συντελεστές του πολυωνύμου είναι όλοι πραγματικοί αριθμοί. 9
Παράδειγμα: Τρίτης Τάξης Φίλτρο H (z) H (z) z z 3 2 z 1 0,5z ( z 1)(z 1) j j 2 2 (z 0,707e )(z 0,707e ) 10
Προσδιορισμός της Απόκρισης Συχνότητας μέσω της Γεωμετρικής Μεθόδου και του διαγράμματος Πόλων - Μηδενικών z 1 H (z) z 0.7071 11
Η απόκριση του πλάτους είναι συμμετρική και η απόκριση της φάσης αντισυμμετρική στο μισό της συχνότητας δειγματοληψίας. Αυτή είναι πάντα η περίπτωση όπου οι συντελεστές α k, b k είναι πραγματικοί αριθμοί. Η απόκριση συχνότητας σε τέτοια συστήματα είναι περιοδική με περίοδο ω s, σύμφωνα με τη θεωρία της δειγματοληψίας. 12
Άσκηση 1: Δίνεται το φίλτρο πρώτης τάξης h(n) a n u(n), a 1 Χρησιμοποιείστε τη γραφική μέθοδο για να σχεδιάσετε την απόκριση συχνότητας για α=±0.5. Λύση: Για α=+0.5 H(e jw ) = å m=0 (0.5) m e - jwm Το άπειρο γεωγραφικό άθροισμα μπορεί να γραφεί ως: H(e jw 1 ) = 1-0.5e - jw, jw 0.5e- <1 = e jw e jw - 0.5 = z z - 0.5 μηδενικό στο z=0 πόλος στο z=0.5 13
Αυτή είναι η γενική μορφή H(e jw ) = Ne ja De jb = N D e j(a-b ) = Me jp Το διάνυσμα του αριθμητή είναι Νe jα =1 e j0 για όλες τις τιμές του ω. Το διάνυσμα του παρονομαστή De jβ αρχίζει με 0.5e j0 στη ω=0 και αυξάνεται κατά μέτρο και φάση ως το 1.5e j180 στο ω=π. 14
Το μέτρο Μ μειώνεται όσο το ω αυξάνεται από 0 ως π, όσο το D αυξάνεται. Η φάση είναι πάντα αρνητική γιατί το β είναι πάντα μεγαλύτερο του α για 0<θ<π. Συχνότητα Αριθμητής Νe jα Παρονομαστής De jβ Μe jp 0 1e j0 0.5e j0 2e j0 π/2 1e j90 1.12e j116.6 0.89e- j26.6 π 1e j180 1.5e j180 0.67e j0 Πρόκειται για βαθυπερατό φίλτρο με αρνητική φάση. Η απόκριση φαίνεται στο σχήμα. 15
Για α=-0.5 η απόκριση συχνότητας είναι: μηδενικό στο z=0 H(e jw ) = 1 1-a e - jw = 1 1+0.5e - jw = H(e jw ) = N e ja De jb jp = Me e jw e jw +0.5 = z z + 0.5 πόλος στο z=0.5 Συχνότητα Αριθμητής Νe jα Παρονομαστής De jβ Μe jp 0 1e j0 1.5e j0 0.67e j0 π/2 1e j90 1.12e j116.6 0.89e- j26.6 π 1e j180 0.5e j180 2e j0 16
Η εξίσωση διαφορών που αντιστοιχεί στην κρουστική απόκριση h(n)=α n u(n) είναι: y(n)=αy(n-1)+x(n) Το διάγραμμα του πρώτης τάξης φίλτρου δίνεται στο παρακάτω σχήμα. Αλλάζοντας, λοιπόν το πρόσημο του συντελεστή του φίλτρου από + σε, αλλάζουν ριζικά τα χαρακτηριστικά του φίλτρου: από lowpass γίνεται highpass. 17
H(e jw ) = (e jq -1)(e jq +1) e jq (e jq -0.707e jp 2 )(e jq -0.707e - jp 2 ) H(e jw ) = (N 1 e ja 1 )(N 2 e ja 2 ) (D 1 e jb 1 )(D 2 e jb 2 )(D 3 e jb 3 ) H(e jw ) = N 1 N 2 (1)D 2 D 3 e j(a 1+a 2-q-b 2-b 3) H(z) b o z ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ Ξεκινάμε με: (z n )(z n )...(z n ) (z d )(z d )...(z d ) N L 1 2 L 1 2 N 18
Ξεκινάμε με: Με z=e jω H(z) b ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ Με γραφική απεικόνιση έχω: (N H(z) = b o e j(n-l)w 1 e ja 1 )(N e ja 2 )...(N e ja L ) 2 L (D Όπου Ν q e jαq 1 e jb 1 )(D e jb 2 )...(D e jb N ) 2 N είναι το διάνυσμα από το μηδενικό n q ως την κορυφή του διανύσματος e jω, q=1,2,..,l και D p e jβp είναι το διάνυσμα από τον πόλο d p ως την κορυφή του e jω, p=1,2,..,n. Το εύρος της απόκρισης συχνότητας είναι: Και η φάση είναι: o z (z n )(z n )...(z n ) (z d )(z d )...(z d ) N L 1 2 L 1 2 H(z) = b o e j( N-L)w (e jw - n 1 )(e jw - n 2 )...(e jw - n L ) (e jw - d 1 )(e jw - d 2 )...(e jw - d N ) H (z) b on1n2... NL / D1D 2...D H(z) = (N - L)w +a 1 +a 2 +...+a L - (b 1 + b 2 +...+ b N ) = (N - L)w + åa k -åb k L k=1 N k=1 N 19
Άσκηση 2: Το δεύτερης τάξης σύστημα που περιγράφεται από την εξίσωση (αλγόριθμο): y(n) 1y(n 1) 2 y(n 2) bo x(n) b1 x(n 1) b2 x(n 2) Χρησιμοποιείται για την υλοποίηση ενός ψηφιακού φίλτρου με τις ακόλουθες προδιαγραφές: Α. Ζώνη διέλευσης στο θ=π/2 με κέντρο στο ω=π/2 Β. Κέρδος στο κέντρο ζώνης διέλευσης lη(e jπ/2 )=1l. Σχεδιάστε το φίλτρο με τα παραπάνω χαρακτηριστικά. Με άλλα λόγια προσδιορίστε τους συντελεστές α 1, α 2,b o, b 1, b 2. Η γενικευμένη εξίσωση του φίλτρου δεύτερης τάξης είναι: 1 2 2 bo b1 z b2 z boz b1 z b2 (Α) H (z) 1 2 2 1 a z a z z a z a 1 2 1 2 Το οποίο μπορεί να γραφεί στη μορφή: ( z n1)( z n2) H(z) bo ( z d )( z d ) 1 2 Σε μορφή διανυσμάτων: H(e jw ) = b o N 1 e ja 1 N 2 e ja 2 D 1 e jb 1 D 2 e jb 2 (Β) (Γ) 20
Ας ξεκινήσουμε με μια πιθανή λύση Βήμα 1. Το κέντρο της ζώνης διέλευσης τοποθετείται κοντά στο ω=π/2. Αυτό σημαίνει ότι το κέρδος θα μεγαλώνει κοντά στο ω=π/2 και αυτό θα το πετύχουμε μειώνοντας το D 1 στη περιοχή αυτή. Έτσι τοποθετούμε ένα πόλο στη θέση d 1 όπως φαίνεται στην εικόνα (a). Αφού πρέπει να υπάρχουν συζυγείς πόλοι τοποθετώ και τον πόλο d 2. Πιο συγκεκριμένα θα τους τοποθετήσουμε στο Βήμα 3. Βήμα 2. Οι πόλοι επιλέχθηκαν για να ελέγξουμε τα χαρακτηριστικά της ζώνης διέλευσης του φίλτρου. Τα μηδενικά n 1 και n 2 μπορούν να τοποθετηθούν σε πολλά κατάλληλα σημεία, όπως για παράδειγμα στην αρχή των αξόνων (βλ. Εικόνα b). Τώρα το πλάτος της συχνότητας διέλευσης είναι Μ=b o N 1 N 2 /D 1 D 2 = b o /D 1 D 2 επειδή N 1 =N 2 =1 για όλες τις τιμές του ω. Βήμα 3. Για να πετύχουμε το απαιτούμενο κέρδος στο ω=π/2 σχεδιάζουμε δύο διανύσματα από το d 1 και d 2 στο ω=π/2. Το κέρδος στο ω=π/2 είναι: M p /2 = b o 1 D 1 D 2 = b o 1 (1- d 1 )(1+ d 2 ) = b o 1 1- d 1 2,ajou d 1 = d 2 21
Έχουμε μία εξίσωση με 2 αγνώστους και αν θεωρήσουμε ότι Id 1 I=Id 2 I=0.9 για να πάρουμε τους πόλους κοντά στο μοναδιαίο κύκλο θα έχουμε 1.0=b o /(1-0.9 2 ) b o =0.19 Και οι άγνωστοι συντελεστές της εξίσωσης (Β) είναι: n 1 =n 2 =0, d 1 =0.9e jπ/2, d 2 =0.9e -jπ/2 και b o =0.19 Αφού επιλέξαμε τη θέση των πόλων και μηδενικών μέσω της εξίσωσης (Β) μπορούμε να προσδιορίσουμε τους συντελεστές του φίλτρου από την γενικευμένη μορφή της απόκρισης συχνότητας: H (z) 2 2 0.19z 0.19z 0.19 z 0.81 1 0.81z (z 0.9 e )(z 0.9 e ) 2 2 j j 2 2 Σε σύγκριση με τη σχέση (Α) οι συντελεστές του φίλτρου είναι: b o =0.19, b 1 =b 2 =0, α 1 =0 και α 2 =-0.81 Παρατηρείστε τη συμμετρία στ σχήμα, λόγω των συμμετρικών πόλων και μηδενικών, το DC κέρδος στα 0.105 και το επιθυμητό κέρδος ίσο με 1 στο ω=π/2. 22
23
Μια δεύτερη προσέγγιση Το σχήμα της απεικόνισης του πλάτους μπορεί να ελεγχθεί μέσω του Ν 1 Ν 2 /D 1 D 2 και η κλίμακα μπορεί να αλλάξει ρυθμίζοντας κατάλληλα το b o. Έστω ότι θέλω να κάνω πιο απότομη τη γραφική του σχήματος 5.17(b). Τοποθετώ του πόλους στο n 1 =0.9 και n 2 = -0.9, όπως στην εικόνα (a). Τώρα για το ίδιο κέρδος στο ω=π/2, από την εικόνα (b) έχω: N M p /2 =1.0 = b 1 N 2 (1+ 0.81) 2 (1+ 0.81) o = b D 1 D o 2 (0.1)(0.9) 1 1 2 b o = 0.105 24
Μια δεύτερη προσέγγιση Το πλάτος της απόκρισης συχνότητας φαίνεται στο σχήμα (c). Η γενικευμένη σχέση για την απόκριση συχνότητας είναι: H(z) = 0.105 (z+0.9)(z-0.9) z 2 +0.81 = 0.105z2-0.085 z 2 +0.81 = 0.105-0.085z-2 1+0.81z -2 Σε σύγκριση με την εξίσωση (Α) οι συντελεστές του φίλτρου είναι: b o =0.105, b 1 =0, b 2 =-0.085, α 1 =0 και α 2 =-0.81 Η δομή πραγματοποίησης του φίλτρου φαίνεται στο σχήμα (d) 25
Άσκηση 3: Σχεδιάστε ένα φίλτρο εγκοπής (notch filter) με τις εξής προδιαγραφές: Εύρος συχνοτήτων είναι από 0-50 Hz. Συχνότητα δειγματοληψίας 100 Hz. Συχνότητα αποκοπής 6 Hz. Λύση Ισχύει ότι: ω=ωτ=2πf/f s Και η ψηφιακή συχνότητα που πρέπει να αποκοπεί είναι: ω c =(2π)(6)(0.01)=0.12π 26
Μια προσέγγιση είναι να τοποθετήσουμε τα μηδενικά στο μοναδιαίο κύκλο στη γωνία ω c =0.12π όπως στο σχήμα (b). Το κέρδος είναι: Μ=b o Ν 1 Ν 2 /D 1 D 2 Βλέπουμε ότι εάν Ν 1 Ν 2 =D 1 D 2 το κέρδος θα είναι ίσο με b o για όλες τις συχνότητες εκτός από ω c. Οι πόλοι τοποθετούνται κοντά στο ω=ω c και εσωτερικά των μηδενικών. Αυτό κάνει το Ν 1 =D 1 και το Ν 2 =D 2, όπως φαίνεται στην εικόνα (c). Ας θεωρήσουμε την ακτίνα των πόλων ίση με 0.9, δηλαδή R p =0.9. Συγκεντρωτικά έχω: n 1,2 =1e ±j0.12π, d 1,2 =0.9e ±j0.12π, b o =απροσδιόριστο Έτσι καταλήγω στη γενικευμένη σχέση απόκρισης συχνότητας: j0.12 j0.12 ( z 1 e )( z 1 e ) o j0.12 j0.12 H(z) b ( z 0.9 e )( z 0.9 e ) 27
Μέσω της εξίσωσης Euler έχω: 2 H(z) bo z 2 z H (z) z 2 cos(0.12 ) z 1 1.8cos(0.12 ) 0.81 b o 1 2 1 2 z 1.86z 1 1 1.86z z z 1.67z 0.81 1 1.67z 0.81z 2 1 2 Σε σύγκριση με την εξίσωση(α) οι συντελεστές του φίλτρου είναι: b o =1, b 1 =-1.86, b 2 =1, α 1 =1.67 και α 2 =-0.81 Το πλάτος της απόκρισης συχνότητας φαίνεται στο σχήμα (e). Η υλοποίηση του φίλτρου φαίνεται στο σχήμα (d). Να σημειωθεί ότι καταφέραμε και περιορίσαμε επιτυχώς τη μη επιθυμητή συχνότητα f=6 Hz (ω=0.12π). 28
29
Άσκηση 4: Παράδειγμα τύπου «χτένας» (comb filter) Στις ιατρικές εφαρμογές, η συχνότητα της παροχής (60Hz) συλλέγεται από τον ιατρικό εξοπλισμό ( όπως ECG recorder). Την ίδια στιγμή όμως εμφανίζονται λόγω μη γραμμικών φαινομένων αρμονικές συχνότητες F 2 =2x60=120Ηz και F 3 =3x60=180Ηz. Τις συχνότητες αυτές πρέπει να τις εξαλείψουμε όπως φαίνεται στο ημιτελές σχήμα απεικόνισης του πλάτους,(a). Σχεδιάστε ένα φίλτρο που θα υλοποιήσει τα παραπάνω, θεωρώντας ότι η συχνότητα δειγματοληψίας είναι F s =360Ηz. Λύση: Οι ψηφιακές συχνότητες υπολογίζονται από τον τύπο: ω=ωt=2πf/f s. Οπότε: ω 1 =2π(60)/360=π/3, ω 2 =2π(120)/360=2π/3, ω 3 =2π(180)/360=π Ξέρουμε ότι ένα μηδενικό τοποθετημένο στο μοναδιαίο κύκλο στο ω=ω κ εξαλείφει τη ψηφιακή συχνότητα ω κ. Έτσι τοποθετούνται τρία μηδενικά στο ω=π/3, 2π/3, π. Τα μιγαδικά μηδενικά όμως πρέπει να εμφανίζονται σε συζυγή ζεύγη, οπότε προσθέτω άλλα δυο μηδενικά στο ω= -π/3, -2π/3. Το έκτο μηδενικό στο ω=0 τοποθετείται για να περιορίσουμε το DC στο σήμα και επίσης δημιουργεί συμμετρία που οδηγεί στην επιθυμητή ιδιότητα της γραμμικής φάσης. 30
31
Ισχύει ότι Η(z)=N(z)/D(z) Από το σχήμα (b), για τον αριθμητή έχω: N(z) = (z-1)(z-e jp /3 )(z-e j2p /3 )(z-e jp )(z-e j4p /3 )(z-e j5p /3 ) Μετά από απλοποιήσεις παίρνω τη μορφή: Ν(z)=z 6-1 Για ευκολία θα θεωρήσω τον παρονομαστή : D(z)=1 Οπότε: Η(z)= z 6-1 Και η διαφορική εξίσωση που προκύπτει είναι: y(n)=x(n+6)-x(n) η οποία περιέχει τον όρο x(n+6), δηλαδή εξαρτάται κάθε φορά από 6 μελλοντικές τιμές τις εισόδου που είναι άγνωστες σε όλους (εκτός και αν είστε αστρολόγοι ή μέντιουμ!!) 32
Έτσι θεωρώ D(z)=z 6 Οπότε έχω: 6 z 1 H(z) 1 z 6 z Και η διαφορική εξίσωση γίνεται: y(n)=x(n)-x(n-6) Η δομή πραγματοποίησης του φίλτρου δίνεται στο σχήμα (c). Το πλάτος της απόκρισης συχνότητας φαίνεται στο σχήμα (d). 6 33
34
Σημείωμα Αναφοράς Copyright Πανεπιστήμιο Πατρών, Αθανάσιος Σκόδρας. «Σήματα και Συστήματα ΙΙ, Απόκριση Συχνότητας - Φίλτρα». Έκδοση: 1.0. Πάτρα 2015. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση:https://eclass.upatras.gr/modules/course_metadata/ opencourses.php 35