Νόµος των Wiedemann-Franz

Άκηη 7 Νόµος των Wiedemann-Franz 7.1 Σκοπός Σκοπός της άκηης αυτής είναι η µέτρηη της ταθεράς Lorentz ε δύο διαφορετικά µέταα οι ιδιότητες των οποίων διαφέρουν ηµαντικά. Η ταθερά του Lorentz µετράται µέω της µέτρηης του όγου της θερµικής αγωγιµότητας προς την αντίτοιχη ηεκτρική. Οι µετρήεις θα γίνουν τον χακό που αντιπροωπεύει τους καούς αγωγούς θερµότητας και ηεκτρικού ρεύµατος και το νικέιο που αντιπροωπεύει τους κακούς αγωγούς. 7. Γενικά Είναι γνωτό ότι η θερµική αγωγιµότητα των µετάων είναι εκατοντάδες φορές µεγαύτερη από αυτήν των διηεκτρικών υικών. Αυτό οφείεται το γεγονός ότι τα εεύθερα ηεκτρόνια που είναι υπεύθυνα για την ηεκτρική αγωγιµότητα των µετάων είναι υπεύθυνα και για τη θερµική τους αγωγιµότητα. Έτι, όο µεγαύτερη είναι η ηεκτρική αγωγιµότητα του µετάου, τόο µεγαύτερη είναι η θερµική του αγωγιµότητα. Στα µέταα, η οµοιότητα τους µηχανιµούς διάδοης του ηεκτρικού φορτίου και της θερµότητας βρίκει την έκφραή της τον αρχικά πειραµατικά διαπιτωµένο νόµο των Wiedemann-Franz (1853), ύµφωνα µε τον οποίο, ε θερµοκραία δωµατίου (ωτότερα, ε θερµοκραίες όχι πού χαµηές, άνω της θερµοκραίας Debye), τα µέταα, η θερµική αγωγιµότητά () είναι ανάογη προς την αντίτοιχη ηεκτρική (). ηαδή, ~ ή / = ταθ. Παρατηρήθηκε ακόµη ότι ο όγος / εξαρτάται από τη θερµοκραία και η εξάρτηη αυτή είναι της µορφής: = LT (7.1) όπου Τ (T > T Debye ) είναι η απόυτη θερµοκραία του µετάου και L είναι ένας ταθερός αριθµός, ίδιος για όα τα µέταα και ονοµάζεται ταθερά του Lorentz. Συνεπώς, τα µέταα, ο όγος /Τ αναµένεται να είναι ταθερός. Πίνακας 7.1 Μέταο (10 7 Ω -1 m -1 ) (W m -1 K -1 ) L (10-8 W Ω Κ - ) Ag 6,15 43,45 Cu 5,8 387,7 Al 3,55 10,0 Na,1 135,18 Cd 1,3 10,64 Fe 1,00 67,31 Ni 1,46 91,5,14 Pb 0,45 34,56 Στον Πίνακα 7.1 δίνονται οι τιµές της ηεκτρικής, () και θερµικής () αγωγιµότητας µερικών µετάων τους 93 Κ (Τ = Τ δοµ ) καθώς και η πειραµατική τιµή του αριθµού Lorentz τα υικά αυτά. 85

7..1 Η ταθερά του Lorentz. Καική προέγγιη Ο νόµος των Wiedemann-Franz έπαιξε µεγάο ρόο τη διαµόρφωη της θεωρίας των µετάων αφού αποτέεε την πειραµατική βάη και τήριγµα της υπόθεης περί του αερίου των εεύθερων ηεκτρονίων τα υικά. Σύµφωνα µε την υπόθεη αυτή, τα ηεκτρόνια τα οποία οφείεται η ηεκτρική αγωγιµότητα των µετάων, παρά το ότι είναι εγκωβιµένα εντός του τερεού, είναι κατά τα άα απούτως εεύθερα και έχουν ιδιότητες όµοιες µε αυτές που έχει ένα ιδανικό αέριο. Έτι, η ηεκτρική και η θερµική αγωγιµότητα των µετάων αποδίδονται ε φαινόµενα µεταφοράς όταν, για κάποιον όγο, το ιδιόµορφο αυτό αέριο ηεκτρονίων δηµιουργείται βαθµίδα θερµοκραίας ή ηεκτρικού δυναµικού. 7..1.1 Η ηεκτρική αγωγιµότητα των µετάων Το µοντέο του Drude (1890) απετέεε την πρώτη περιγραφή της κίνηης των ηεκτρονίων αγωγιµότητας τα µέταα. Στο µοντέο αυτό τα ηεκτρόνια αγωγιµότητας θεωρούνται ότι αποτεούν ένα αέριο Ν ωµατιδίων ε όγκο V. Καθένα από αυτά κινείται τυχαία και έτι, όταν δεν εφαρµόζεται ηεκτρικό πεδίο, η µέη ταχύτητά τους είναι µηδέν. Η εφαρµογή ενός ηεκτρικού πεδίου E, προκαεί µία κίνηη των ηεκτρονίων προς την κατεύθυνη του πεδίου µε ταχύτητα u που είναι πού µικρότερη της θερµικής. Η µέη τιµή της ταχύτητας αυτής u δηµιουργεί ένα ρεύµα, η πυκνότητα του οποίου είναι: J = n 0 e u (7.) όπου e και n 0 είναι το φορτίο και ο αριθµός των ηεκτρονίων ανά µονάδα όγκου. Επιπέον, το µοντέο αυτό θεωρείται ότι το ηεκτρικό πεδίο προκαεί επιτάχυνη των ηεκτρονίων όπως το κενό, a= m e E (7.3) ενώ η πεπεραµένη τιµή της u ερµηνεύεται ως αποτέεµα κέδαης των ηεκτρονίων από τα ιόντα του πέγµατος. Ακόµη θεωρείται ότι µετά τη ύγκρουη των ηεκτρονίων µε τα ιόντα του πέγµατος η ταχύτητά τους µηδενίζεται. Συνεπώς, τη µόνιµη κατάταη, η µέη ταχύτητα των ηεκτρονίων u είναι: eτ u= Ε, (7.4) m όπου τ είναι ο µέος χρόνος µεταξύ των κεδάεων. Αντικαθιτώντας την Έξ. (7.4) την Εξ.(7.) θα έχουµε j = n 0 e τ m E. (7.5) Λαµβάνοντάς υπόψη την διαφορική µορφή του νόµου του Ωµ, j = E (7.6) βέπουµε ότι το µοντέο του Drude η ηεκτρική αγωγιµότητα των µετάων είναι = n 0 e τ m. (7.7) 86

7..1. Η θερµική αγωγιµότητα των µετάων Σύµφωνα µε το µοντέο του Drude, η θερµική αγωγιµότητα των µετάων, όπως αυτή προκύπτει από την κινητική θεωρία, είναι: = 3 1 n 0 C e l υ (7.8) όπου υ και l είναι η µέη ταχύτητα και η µέη εευθέρα διαδροµή των ηεκτρονίων αντίτοιχα, και C e είναι θερµοχωρητικότητα που αντιτοιχεί ε ένα ηεκτρόνιο του αερίου. Στην καική Φυική, η τιµή της C e είναι ίη µε C e = 3 k, (7.9) όπου k είναι η ταθερά του Boltzmann. Συνεπώς, η χέη (7.8) γίνεται: Έτι, τα µέταα, ο όγος προς είναι: 1 = n kυ l (7.10) 0 n0k lυ mkυ υ 8 k = = = T (7.11) n e τ / m e π e 0 όπου άβαµε υπόψη ότι l = υ τ όπως επίης και τη γνωτή από την κινητική θεωρία χέη 8kT ( υ) =. (7.1 πm Συνεπώς, η καική προέγγιη για τη ταθερά του Lorentz δίνει τον αριθµό 8 k L = π e που είναι κοντά την πειραµατική τιµή. Πρέπει να ηµειωθεί εδώ ότι τη βιβιογραφία υχνά αναφέρεται η τιµή L = 3 k e =1,9 10 8 WΩK (7.13) =,3 10 8 WΩΚ (7.14) που αφαώς είναι πιο κοντά την πειραµατική τιµή πην όµως είναι εφαµένη. Η τιµή 3 αντί της 8/π προκύπτει όγω αδικαιοόγητης αντικατάταης της χέης (7.1) από τη ωτή κατά τα άα χέη υ = 3kT/m. 7..1 Η Σταθερά του Lorentz. Κβαντοµηχανική προέγγιη το µοντέο του αερίου Fermi Και το µοντέο αυτό, η διάδοη της θερµότητας αποδίδεται εξοοκήρου το αέριο των ηεκτρονίων. Ο ρόος του κρυταικού πέγµατος αγνοείται, µια και τα µέταα η πεγµατική υνιτώα της θερµικής αγωγιµότητας είναι περίπου 1% της οικής. Επιπέον, αγνοούνται οι ενεργειακές ζώνες και 87

θωρείται ότι η µάζα του ηεκτρονίου είναι ίη µε αυτήν το κενό. Και εδώ, οι τύποι για την ηεκτρική και θερµική αγωγιµότητα ενός µετάου είναι όµοιες µε αυτές του µοντέου του Drude και δίνονται από τις Εξ. (7.7) και (7.8), µόνο που τώρα οι τιµές των µεγεθών υ l, τ, και C e είναι διαφορετικές. Η θερµοχωρητικότητα του αερίου ανά ηεκτρόνιο, C e, είναι π k T C e = E F, (7.15) όπου E F είναι η ενέργεια Fermi. Έτι, η χέη για την θερµική αγωγιµότητα παίρνει τη µορφή: n0π k FT =. (7.16) 3p όπου F είναι η µέη εευθέρα διαδροµή των ηεκτρονίων των οποίων οι ενέργειες είναι πού κοντά την τιµή E F και p F είναι η ορµή ενός ηεκτρονίου του οποίου η ενέργεια είναι E F. Η χέη για την ηεκτρική αγωγιµότητα έχει τη µορφή: n0e F = (7.17) p Συνεπώς, ο όγος / είναι: F F =π 3 Έτι, την κβαντοµηχανική προέγγιη, η ταθερά του Lorentz είναι: k e T (7.18) 8 L= π =,45 10 WΩK - (7.19) 3 k e Είναι αξιο προοχής το γεγονός ότι για τη ταθερά του Lorentz η καική (8k /πe ) και η κβαντική προέγγιη (π k /3e ) δίνουν χεδόν τον ίδιο αριθµό. 7.3 Η µέθοδος µέτρηης του όγου / Λόγω της διαφορετικής φύεως των µεγεθών και, οι τεχνικές µέτρηης των µεγεθών αυτών διαφέρουν και η µέτρηή τους υνήθως γίνεται ε δύο ξεχωριτά πειράµατα. Στη µέθοδο που ακοουθεί θα παρακαµφθεί αυτή η διαδικαία και η µέτρηη του όγου / θα γίνει άµεα ε ένα ενιαίο πείραµα. Για τον κοπό αυτό θεωρούµε µία µεταική ράβδο η οποία διαρρέεται από ηεκτρικό ρεύµα I 0 και τα δύο άκρα της οποίας διατηρούνται τη θερµοκραία περιβάοντος Τ 0 (Σχ. 7.1). Η ανάυη θα αποποιηθεί ε µεγάο βαθµό αν δεχτούµε ότι η θερµότητα η οποία εκύεται εντός της ράβδου άγεται µόνο προς τα ψυχρά της άκρα και υνεπώς, θεωρήουµε αµεητέες τις απώειες από την πευρική της επιφάνεια. Σκοπός της ανάυης που ακοουθεί είναι να βρεθεί η κατανοµή της θερµοκραίας τη ράβδο και, ακοούθως, η θερµοκραία το κέντρο της, υναρτήει των µεγεθών I 0, και. Η διατύπωη της µαθηµατικής χέης που καθορίζει την αγωγή της θερµότητας τη ράβδο θα γίνει µε τη βοήθεια ενός µικρού της τµήµατος ή επτής φέτας, οι βάεις της οποίας βρίκονται τα ηµεία x και x+ dx και η οποία έχει πάχος dx. Το ηµείο x = 0 επιέγεται το κέντρο της ράβδου. Το εµβαδόν της διατοµής της ράβδου είναι s, και το µήκος της l. Έτω ότι τη χρονική τιγµή t τη θέη x η θερµοκραία της ράβδου είναι T(x,t). Έτω ακόµα ότι η διέευη του ρεύµατος Ι 0 προκαεί έκυη θερµότητας εντός της ράβδου µε ένα ρυθµό ανά µονάδα όγκου ίο µε f(x). 88

Τ Τ + dt T 0 I 0 T 0 x x + dx l/ 0 +l/ x Σχήµα 7.1 Για το ιοζύγιο των ενεργειών που εκύονται, απορροφούνται ή διαχίζουν το τοιχείο της ράβδου µεταξύ x και x + dx µπορούµε να πούµε ότι η θερµότητα Q 1 η οποία ειέρχεται ε αυτό από την αριτερή επιφάνεια (ηµείο x), υν η θερµότητα Q που εκύεται εντός του τοιχείου όγκου ιούται µε τη θερµότητα Q 3 που εξέρχεται από τη δεξιά επιφάνεια (ηµείο x+dx) υν τη θερµότητα Q 4 που απορροφάται από το υικό, δηαδή Q 1 + Q = Q 3 + Q 4 ή Q 4 = Q + Q 1 Q 3 (7.0α,β) Η θερµότητα Q η ποία εκύεται εντός του τοιχείου όγκου dv είναι: Q = f(x) dv dt ή Q = f(x) s dx dt. (7.1α,β) Η θερµότητα Q 4 η οποία απορροφάται από το τοιχείο όγκο είναι Q 4 = C dm dt ή Q 4 = C ρ s dx t dt, (7.α,β) όπου ρ και C είναι η πυκνότητα και η ειδική θερµότητα του υικού της ράβδου και Τ/ t είναι ο ρυθµός µεταβοής της θερµοκραίας του τοιχειώδους όγκου µε τον χρόνο. Ας εξετάουµε τώρα την διαφορά Q 1 Q 3 που υπάρχει την Εξ. (7.0). Η θερµότητα Q 1 που ειέρχεται το τοιχείο όγκο από αριτερά (ηµείο x) ύµφωνα µε τον νόµο της αγωγής της θερµότητας, είναι Q 3 = Τ x s dt. (7.3) Η θερµότητα Q 3 που εξέρχεται από το τοιχείο όγκο από τη δεξιά της επιφάνεια (ηµείο x+dx) είναι Q 1 = x+dx sdt (7.4) Εποµένως, η διαφορά Q 1 Q 3 είναι Q 1 Q 3 T = sdt= dxsdt x x dx x. (7.5) + x 89

Αντικαθιτώντας την Εξ. (7.0β) και απαείφοντας τον κοινό όρο s dx έχουµε ρ C t T = f +. (7.6) Η Εξ. (7.6) είναι γνωτή ως εξίωη της αγωγής της θερµότητας ε µία διάταη. Στη µόνιµη κατάταη, η θερµοκραία δεν µεταβάεται µε τον χρόνο και υνεπώς t = 0. (7.7) Η Εξ. (7.6) γίνεται T f ( x) + = 0. (7.8) Στην περίπτωη που το κέντρο της ράβδου είναι θερµότερο µόνο κατά 0 C, µπορεί να θεωρηθεί ότι οι ιδιότητες του υικού της είναι ίδιες ε όα της τα ηµεία και υνεπώς η υνάρτηη f(x) είναι ένας ταθερός αριθµός, η τιµή του οποίου είναι: f W I 0 R = = (7.9) V sl όπου R είναι η ηεκτρική αντίταη της ράβδου και V = sl είναι ο οικός της όγκος. Οοκηρώνοντας την Εξ.(7.8) θα έχουµε dt dx f = x+ A, (7.30) όπου Α είναι µία ταθερά. Προφανώς, η θερµοκραία έχει τη µέγιτή της τιµή τη µέη της ράβδου, δηαδή τη θέη x = 0. Στο ηµείο αυτό έχουµε, εποµένως, dt dx = 0, (7.31) που ηµαίνει ότι η ταθερά Α την Εξ.(7.30) είναι µηδέν. Η οοκήρωη της Εξ. (7.30) δίνει: f T ( x) = x + B. (7.3) Τη ταθερά Β θα την βρούµε θέτοντας Τ( l/) = T(l/) = T 0. Η υνθήκη αυτή οδηγεί τη χέη: f l T ( x) = x + T0 4. (7.33) 90

T(x) Τ 0 l/ 0 + l/ x Σχήµα 7. Συνεπώς, τη ράβδο θα διαµορφωθεί µία παραβοική κατανοµή θερµοκραίας το µέγιτο της οποίας βρίκεται το κέντρο (Σχ. 7.). Την τιµή της µέγιτης θερµοκραίας τη βρίκουµε θέτοντας x = 0, Η Εξ. (7.9) µπορεί να τροποποιηθεί και να γραφτεί ως: f l T (0) = T0 +. (7.34) 4 f U = (7.35) Rsl όπου U = I 0 R είναι η πτώη τάης που δηµιουργεί το ρεύµα I 0 τα άκρα της ράβδου. Από την άη πευρά, η χέη που δίνει την αντίταη µιας µεταικής ράβδου είναι: 1 l R=. (7.36) s Έτι, αµβάνοντας υπόψη τις Εξ. (7.35) και (7.36), µπορούµε να γράψουµε την Εξ. (7.34) τη µορφή: T ( 0) U 8 T0 = ή 8 U T =. (7.37α,β) Η Τ δείχνει κατά πόο το κέντρο της ράβδου είναι θερµότερο από τα άκρα του, που έχουν τη θερµοκραία του περιβάοντος. Είναι βοικότερο η Εξ.(7.37β) να γραφτεί τη µορφή 8 U = T (7.38) 91

Βέπουµε οιπόν ότι για τη µέτρηη του όγου / πρέπει να µετρήει κανείς την πτώη τάης τη ράβδο υναρτήει της θερµοκραίας που αναπτύεται το κέντρο της. Συνεπώς, ο όγος / µπορεί να µετρηθεί άµεα ως το 1/8 της κίης της πειραµατικής ευθείας (7.38) που προκύπτει από τη µέτρηη των µεγεθών U και Τ. Το ρεύµα I 0 δεν εµφανίζεται την τεική χέη και για τον όγο αυτό η µέτρηή του δεν είναι απαραίτητη. Όταν η διαφορά Τ = Τ(0) Τ 0 είναι της τάξης 1 0 C, τότε η µέη θερµοκραία της ράβδου µπορεί να υποογιτεί από τη χέη (Τ(0) + Τ 0 )/. Τεικά, η ταθερά του Lorentz υποογίζεται από τη χέη: όπου T είναι η µέη θερµοκραία της ράβδου. 7.3 Η πειραµατική διάταξη L= (7.39) T Για τις µετρήεις χρηιµοποιούνται δυο ράβδοι ή ωτότερα ύρµατα, ένα από χακό και ένα από νικέιο η διάµετρος και το µήκος των οποίων είναι,00 και 80,0 mm αντίτοιχα. Θερµόµετρο Ι 0 Πηγή ρεύµατος (0 0 A) Γη V Ni + Βοτόµετρο Σχήµα 7. 3 Η πειραµατική διάταξη αποτεείται από µία ρυθµιζόµενη πηγή ταθερού ρεύµατος (0 0Α), δυο θερµόµετρα και ένα βοτόµετρο για τη µέτρηη της τάης που αναπτύεται τα ύρµατα. Η θερµοκραία µετράται το κέντρο των υρµάτων όπου βρίκονται δυο επτά µεταικά <<ταυ>> ο προοριµός των οποίων είναι να βετιώουν τη θερµική επαφή των υρµάτων µε τους αιθητήρες των θερµοµέτρων. Στο Σχ. 7.3 δίνεται µόνο το µιό µέρος της πειραµατικής διάταξης την οποία γίνονται περάµατα µε το νικέιο. Όµοιο κύκωµα υναρµοογείται για τις µετρήεις το χακό. Βιβιογραφία 1. M.A. Omar. Elementary Solid State Physics: Principle and Applications. ( Addison Wesley, London 1975).. C. Kittel. Introduction to Solid State Physics,7 th. Edn.. (J. Wiley, N.York 1995). 3. Ε.Ν. Οικονόµου. Φυική Στερεάς Κατάταης. (Πανεπιτηµιακές Εκδόεις Κρήτης, Ηράκειο 1977). 4. Σ.Κ. Παπαδόπουος. Ειαγωγή τη Φυική Στερεάς Κατάταης. (Ε.Μ. Πουτεχνείο, Αθήνα 1990). 9

7.5 Εκτέεη του πειράµατος Πρώτα µεετάται το νικέιο. Για τον κοπό αυτό: 1) Θέατε ε ειτουργία την πηγή ρεύµατος και το ψηφιακό βοτόµετρο και περιµένετε 5 επτά έως ότου ταθεροποιηθούν οι ειτουργίες τους. Σηµειώτε τη θερµοκραία Τ 0 των ψυχρών άκρων του νικείου ή ιοδύναµα, την αρχική θερµοκραία του νικείου το κέντρό του, όταν αυτό δεν διαρρέεται από το ηεκτρικό ρεύµα. ) Συναρµοογήτε το κύκωµα όπως το Σχ. 7.3. Η πηγή ρεύµατος το βήµα αυτό πρέπει να είναι ρυθµιµένη το µηδέν. 3) Αυξήτε την τιµή του ρεύµατος το κύκωµα τόο ώτε να προκηθεί πτώη τάης 1 mv το νικέιο. Περιµένετε ένα επτό και κατόπιν ηµειώτε την τιµή της θερµοκραίας το κέντρο του ύρµατος. 4) Επαναάβατε το βήµα (3) για πτώη τάης, 3, 4, 5, 6, 7, 8,9, 10, 11 και 1 mv. 5) Ρυθµίτε την πηγή ρεύµατος το µηδέν και υναρµοογήτε το κύκωµα ξανά προκειµένου να εκτεέετε µετρήεις το χακό. Σηµειώτε τη θερµοκραία Τ 0 το κέντρο του χάκινου ύρµατος όταν αυτό δεν διαρρέεται από το ηεκτρικό ρεύµα. 6) Αυξήτε την τιµή του ρεύµατος το κύκωµα τόο ώτε να προκηθεί πτώη τάης 1 mv το χακό. Περιµένετε ένα επτό και κατόπιν ηµειώτε την τιµή της θερµοκραίας που αναπτύεται το κέντρο του χάκινου ύρµατος. 7) Επαναάβατε το βήµα (6) για πτώη τάης, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 και 10 mv. Πτώη τάης U (mv) Πίνακας 7. 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 Ni: T ( 0 C) Cu: T ( 0 C) 8) Ρυθµίτε την πηγή ρεύµατος το µηδέν και κείτε τα όργανα. 7.6 Επεξεργαία των µετρήεων 1) Από τις τιµές του Πίνακα, υποογίτε τις τιµές U. Με τη µέθοδο των εάχιτων τετραγώνων, υποογίτε την κίη της πειραµατικής ευθείας U = a + b T, όπου Τ = Τ(0) Τ 0, και τη υνεχεία τον όγο / το νικέιο και τον χακό. Υποογίτε επίης τα φάµατα των τιµών αυτών. ) Σχεδιάτε ε γραφική παράταη τα πειραµατικά ηµεία και τη βέτιτη ευθεία της χέης U = a + b T, 3) Υποογίτε τη ταθερά Lorentz και το φάµα της, το νικέιο και τον χακό. Σε περίπτωη απόκιης των τιµών Lorentz που µετρήατε από αυτές του Πίνακα 1, ποιοι κατά τη γνώµη ας είναι οι κυριότεροι παράγοντες που θα µπορούαν να προκαέουν τη διαφορά αυτή. 93