ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ Πανεπιστήμιο Ιαννίνν ΦΙΛΤΡΑ 5 ο Κεφάλαιο Γ. Τσιατούχας Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Διάρθρση. Φίλτρα διέλευσης χαμηλών συχνοτήτν. Φίλτρα διέλευσης υψηλών συχνοτήτν 3. Ζνοπερατά φίλτρα VSI Systems ad Computer Archtecture ab Φίλτρα
Ηλεκτρικά Φίλτρα Τα ηλεκτρικά φίλτρα είναι κυκλώματα τα οποία μπορούν να εξασθενίσουν (να μειώσουν) το πλάτος σημάτν σε ανεπιθύμητες συχνότητες, τα οποία συνήθς οφείλονται σε ηλεκτρικό θόρυβο ή παρεμβολές. Μη φιλτραρισμένο ημιτονικό σήμα. Φιλτραρισμένο ημιτονικό σήμα. Φίλτρα 3 Φίλτρα Διέλευσης Χαμηλών Συχνοτήτν Τα φίλτρα διέλευσης χαμηλών συχνοτήτν επιτρέπουν σε σήματα χαμηλών συχνοτήτν τα οποία θα εφαρμοστούν στην είσοδό τους να εμφανιστούν στην έξοδό τους. Σήματα υψηλών συχνοτήτν εξασθενούν. Στο σχήμα παρουσιάζεται ένα φίλτρο C διέλευσης χαμηλών συχνοτήτν με τη μορφή τν φασόρν. Η συνάρτηση μεταφοράς (ή απόκριση συχνότητας) Τ(s)=T(j) θα είναι: (s) (j) T(s) (j) T(j) V (s) V (j) V Διαιρέτης τάσης: V (s) sc o V (s ) V (s) ~ /sc V o (s) sc (s) sc T(s) V (s) sc sc Φίλτρα 4
Ανάλυση Χαμηλοπερατού Φίλτρου Ι Παρατηρούμε ότι όταν η συχνότητα του σήματος μηδενίζεται η τιμή της συνάρτησης μεταφοράς είναι μονάδα, δηλ. το φίλτρο επιτρέπει τη διέλευση όλου του σήματος εισόδου. T (j 0) V (j 0) V (j 0) o Καθώς για μηδενική συχνότητα το ημιτονοειδές σήμα γίνεται DC, το συγκεκριμένο φίλτρο δεν επηρεάζει τις συνεχείς τάσεις. V (s) /sc T(j) jc Φίλτρα 5 Ανάλυση Χαμηλοπερατού Φίλτρου ΙΙ Όσο όμς η συχνότητα του σήματος εισόδου αυξάνει, το πλάτος της απόκρισης συχνότητας ελαττώνεται καθώς ο παρονομαστής αυξάνει ανάλογα με τη συχνότητα. Το πλάτος (μέτρο ή κέρδος) της απόκρισης συχνότητας είναι: T(j) C / 0 V (s) T(j) = /sc jc όπου: 0 C η συχνότητα αποκοπής (cutoff frequecy) Ηφάση(γνία) της απόκρισης συχνότητας είναι: T(j) arcta ta 0 0 Φίλτρα 6 3
Διαγράμματα Πλάτους & Φάσης Την απόκριση συχνότητας την αναπαριστούμε με δύο διαφορετικές γραφικές παραστάσεις που δίδουν το πλάτος Τ και τη φάση Τςσυνάρτησητου. Απόκριση (διάγραμμα) πλάτους χαμηλοπερατού φίλτρου C T(j) jc / 0 μοίρες Απόκριση (διάγραμμα) φάσης χαμηλοπερατού φίλτρου C / 0 Φίλτρα 7 Συχνότητα Αποκοπής Το χαμηλοπερατό φίλτρο του παραδείγματος επιτρέπει τη διέλευση σημάτν χαμηλών συχνοτήτν <</C και φιλτράρει (εξασθενεί) τα σήματα υψηλών συχνοτήτν >>/C. Η συχνότητα αποκοπής 0 =/C παριστάνει (προσεγγιστικά) το σημείο όπου το φίλτρο ξεκινά να φιλτράρει τα σήματα υψηλών συχνοτήτν. Η τιμή του πλάτους στην συχνότητα αποκοπής είναι: T(j0) 0,707 Η συχνότητα αποκοπής ταυτίζεται με τη συχνότητα γονάτου (ή συχνότητα 3db) της συνάρτησης μεταφοράς. V (s) ~ /sc T(j) jc Η συχνότητα αποκοπής εξαρτάται αποκλειστικά από τις τιμές τν και C και ρυθμίζεται με αλλαγή αυτών τν τιμών. Φίλτρα 8 4
Παράδειγμα: Εξασθένηση Σήματος Πρόβλημα: Υπολογίστε την απόκριση συχνότητας του κυκλώματος το οποίο αποτελείται από την πηγή σήματος, το φίλτρο και το φορτίο. Δίδονται S =50Ω, =00Ω, =500ΩκαιC=0μF. Λύση: Οι μικές αντιστάσεις S και είναι εν σειρά συνδεδεμένες ενώ ο πυκντής και το φορτίο είναι εν παραλλήλ. ' ' S ZC sc Z //ZC Z C sc jc sc S V (s) Πηγή /sc Φίλτρο Φορτίο V (s) ~ Ζ Αναπαράσταση με τη μορφή τν φασόρν. Φίλτρα 9 Παράδειγμα: Εξασθένηση Σήματος Η απόκριση συχνότητας του κυκλώματος θα είναι: ' (s) Z jc S 0,667 T(s) ' ' V C (s) Z S S j j jc 600 Η συχνότητα αποκοπής είναι: S π C S 0 S S π600 (rad/ sec) V (s) Πηγή /sc Φίλτρο Φορτίο V (s) ~ Ζ Αναπαράσταση με τη μορφή τν φασόρν. Φίλτρα 0 5
- 3,57 db -4-6 6,57 db Παράδειγμα: Εξασθένηση Σήματος Τ (dβ) 0-8 -0 - -4-6 -8-0 - πόλος Πραγματική απόκριση πλάτους Συχνότητα Αποκοπής (Γονάτου) Διάγραμμα Bode πολλ. σταθ. T(s) 0,667 Διάγραμμα j 600 Bode Η πολλαπλασιαστική σταθερά της συνάρτησης μεταφοράς (απόκριση συχνότητας) είναι 0,667 και σε db είναι 3,57 db. -4-6 00 00 300 500 700 Κ Κ 3Κ 5Κ 7Κ 0K 0K 30K 50K 70K 00K (rad/sec) 0 =3768 rad/sec Η συχνότητα αποκοπής 0 είναι ο πόλος της συνάρτησης μεταφοράς (απόκρισης συχνότητας): 0 3768 (rad/ sec) Φίλτρα ed Φίλτρα Διέλευσης Υψηλών Συχνοτήτν Τα φίλτρα διέλευσης υψηλών συχνοτήτν επιτρέπουν σε σήματα υψηλών συχνοτήτν τα οποία θα εφαρμοστούν στην είσοδό τους να εμφανιστούν στην έξοδό τους. Τα σήματα χαμηλών συχνοτήτν εξασθενούν. Στο σχήμα παρουσιάζεται ένα φίλτρο C διέλευσης υψηλών συχνοτήτν με τη μορφή τν φασόρν. Η συνάρτηση μεταφοράς (ή απόκριση συχνότητας) Τ(s)=T(j) θα είναι: (s) (j) T(s) (j) T(j) V (s) V (j) V V (s) /sc Διαιρέτης τάσης: (s) V (s) sc (s) sc jc T(s) V (s) sc jc Φίλτρα 6
Ανάλυση Υψιπερατού Φίλτρου Ι Το πλάτος (μέτρο ή κέρδος) της απόκρισης συχνότητας είναι: T(j) C / C / 0 0 με 0 C όταν το τείνει στο άπειρο, το πλάτος τείνει στην μονάδα. Συνεπώς, το φίλτρο επιτρέπει στις υψηλές συχνότητες να περνούν στην έξοδό του. V (s) /sc T(j) = jc jc Ηφάση(γνία) της απόκρισης συχνότητας είναι: ο T(j) 90 arcta Φίλτρα 3 0 90 ο ta 0 V (s) Ανάλυση Υψιπερατού Φίλτρου ΙΙ Όταν =0 τότε το πλάτος της απόκρισης συχνότητας είναι μηδέν. T(j 0) 0 και συνεπώς οιχαμηλές συχνότητες φλ φιλτράρονται (εξασθενούν) ξ θ ύ και δεν περνούν στην έξοδο του φίλτρου. Η συχνότητα: /sc 0 C είναι η συχνότητα αποκοπής (cutoff frequecy) Η συχνότητα αποκοπής παριστάνει (προσεγγιστικά) το σημείο όπου το φίλτρο ξεκινά να φιλτράρει τα σήματα χαμηλών συχνοτήτν. Η τιμή της καθορίζεται αποκλειστικά από τα και C. jc T(j) jc Η τιμή του πλάτους στην συχνότητα αποκοπής είναι: Τ(j 0 ) = 0,707. Φίλτρα 4 7
Διαγράμματα Πλάτους & Φάσης Η σε διάγραμμα απόκριση πλάτους Τ και φάσης Τ ςσυνάρτησητου δίδεται ακολούθς: Απόκριση (διάγραμμα) πλάτους υψηπερατού φίλτρου C jc T(j) jc / 0 μοίρες (deg) Απόκριση (διάγραμμα) φάσης υψηπερατού φίλτρου C / 0 Φίλτρα 5 Παράδειγμα: Υψιπερατό Φίλτρο Πρόβλημα: Προσδιορίστε τη συχνότητα αποκοπής του φίλτρου στο σχήμα που ακολουθεί. V (s) Λύση: Αρχικά πρέπει να βρεθεί η απόκριση συχνότητας (συνάρτηση μεταφοράς). (s) (j) T(s) (j) T(j) V (s) V (j) V Το κύκλμα λειτουργεί ς διαιρέτης τάσης και θα ισχύει: ~ s Αναπαράσταση με τη μορφή τν φασόρν. s s s (s) V (s) T(s) s s s s T(s) T(j) s Φίλτρα 6 8
Παράδειγμα: Υψιπερατό Φίλτρο s T(s) s T(j) Όταν το τείνει στο μηδέν η απόκριση συχνότητας μηδενίζεται. Όταν το τείνει στο άπειρο η απόκριση συχνότητας τείνει στη μονάδα. Η=/ που αντιστοιχεί στον πόλο της Τ(s) είναι η συχνότητα αποκοπής. 0 συχνότητα αποκοπής V (s) ~ s Αναπαράσταση με τη μορφή τν φασόρν. Φίλτρα 7 Παράδειγμα: Υψιπερατό Φίλτρο Κέρδος (db) 00 0dB 0 0 (/) 0 ιάγραμμα Bode Κέρδους 0 00 πολλ. σταθ. () s T(s) s Πραγματική απόκριση πλάτους πόλος Ηαπόκρισησυχνότηταςέχει ένα μηδενικό στο s=0 και ένα πόλο στο s= /. 0 0 (/) = 0 0 (/) ed Φίλτρα 8 9
Ζνοπερατά Φίλτρα Τα ζνοπερατά φίλτρα (badpass flter) ή φίλτρα ζώνης επιτρέπουν τη διέλευση σημάτν τα οποία βρίσκονται μέσα σε μια συγκεκριμένη ζώνη συχνοτήτν. Ηανάλυσητουζνοπερατούφίλτρουδεύτερηςτάξηςτουσχήματος(δηλ. ενός φίλτρου με δύο στοιχεία αποθήκευσης ενέργειας C και ) μας οδηγεί στην ακόλουθη απόκριση συχνότητας: V (s) /sc s (s) (j) T(s) (j) T(j) V (s) V (j) V Διαιρέτης τάσης: (s) V (s) s sc sc (s) V (s) sc s C s=j (s) sc jc T(s) V (s) sc s C jc j C Φίλτρα 9 Ανάλυση Ζνοπερατών Φίλτρν Ι Με παραγοντοποίηση της απόκρισης συχνότητας προκύπτει: jc T(s) jc ja j C j/ j/ Οι συχνότητες και σχετίζονται με τους πόλους της απόκρισης συχνότητας (οι αρνητικές τους τιμές είναι τα σημεία που μηδενίζεται ο παρονομαστής) και καθορίζουν το εύρος ζώνης συχνοτήτν μέσα στο οποίο το φίλτρο επιτρέπει τη διέλευση σημάτν. Το Α είναι σταθερά εξαρτώμενη από τα,, C. V (s) /sc s Για =0 ηαπόκρισητουφίλτρουείναιμηδέν καθώς η σύνθετη αντίσταση του πυκντή /jc απειρίζεται. Όταν το τείνει στο άπειρο και πάλι η απόκριση του φίλτρου είναι μηδέν καθώς η σύνθετη αντίσταση του πηνίου j απειρίζεται. Φίλτρα 0 0
Ανάλυση Ζνοπερατών Φίλτρν ΙΙ Το πλάτος της απόκρισης συχνότητας είναι: T(j) A (/ ) (/ ) ( Η φάση της απόκρισης συχνότητας είναι: T (j) π arcta arcta V (s) /sc s Φίλτρα Διαγράμματα Πλάτους & Φάσης Η σε διάγραμμα απόκριση πλάτους Τ και φάσης Τ ςσυνάρτησητου δίδεται ακολούθς: Απόκριση (διάγραμμα) πλάτους ζνοπερατού φίλτρου C T(s) ja j/ j/ Άξονες κανονικοποιημένοι ώστε το κέντρο της ζώνης διέλευσης να είναι στη συχνότητα =rad/sec. ) μοίρες (deg) Απόκριση (διάγραμμα) φάσης ζνοπερατού φίλτρου C Φίλτρα
Συντονισμός Η απόκριση συχνότητας για το φίλτρο του παραδείγματος μπορεί να γραφεί: jc T(s) jc (ζ / j C (ζ / )j j/ (/Q )j j/ )j (/Q )j όπου: C = συχνότητα συντονισμού ή ιδιοσυχνότητα (resoat frequecy) V (s) /sc s Q ζ ζ C Q C C = συντελεστής ποιότητας (qualty factor) = λόγος απόσβεσης Φίλτρα 3 Απόκριση Πλάτους Κανονικοποιημένη απόκριση πλάτους ζνοδιαβατού φίλτρου C. Όσο αυξάνει ο συντελεστήςq, τόσο αυξάνει η οξύτητα της κορυφής (το φίλτρο γίνεται περισσότερο επιλεκτικό). / Φίλτρα 4
Εύρος Ζώνης Το μέτρο της επιλεκτικότητας ενός φίλτρου είναι το εύρος ζώνης (badwdth). 0,707 = / Η περιοχή τν συχνοτήτν μεταξύ τν σημείν της τομής της ευθείας στο ύψος 0,707 και της καμπύλης της απόκρισης πλάτους ορίζεται ς το εύρος ζώνης μισής ισχύος (half power badwdth). / Ένας άλλος ορισμός για το εύρος ζώνης είναι ο εξής: Οι συχνότητες που αντιστοιχούν στις τομές της ευθείας με την απόκριση πλάτους ονομάζονται συχνότητες μισής ισχύος (halfpower frequeces). B Q Φίλτρα 5 Απόκριση Φάσης Κανονικοποιημένη απόκριση φάσης ζνοπερατού φίλτρου C. γνία φάσης (rad) Όσο αυξάνει ο συντελεστήςq, τόσο περισσότερο απότομη είναι η μεταβολή της φάσης. / Φίλτρα 6 3
Παράδειγμα: Ζνοπερατό Φίλτρο Πρόβλημα: Υπολογίστε την απόκριση συχνότητας του ζνοπερατού φίλτρου όταν: α)=kω,c=0μf και =5mH και β)=0ω,c=0μf και =5mH. Λύση: Για το συγκεκριμένο φίλτρο βρήκαμε ότι η συνάρτηση μεταφοράς είναι: (s) sc jc T(s) V (s) sc s C jc j C Αναπαράσταση με τη μορφή τν φασόρν. α) Στην πρώτη περίπτση οι πόλοι της συνάρτησης μεταφοράς είναι: = 00,05 rad/sec και = 99899,95 rad/sec Ησυχνότητασυντονισμούείναι: 3 4,4 0 rad/ sec V (s) /sc s C ~ V o (s) Ο συντελεστής ποιότητας είναι: Q 0,0 C Το εύρος ζώνης είναι: B 038rad/ sec Q Φίλτρα 7 Παράδειγμα: Ζνοπερατό Φίλτρο πλάτος 0,707 = / = 00 rad/sec Κάτ συχνότητα αποκοπής = 4470 rad/sec Συχνότητα συντονισμού = 00 0 3 rad/sec Άν συχνότητα αποκοπής φάση Φίλτρα 8 4
Παράδειγμα: Ζνοπερατό Φίλτρο β) Στην δεύτερη περίπτση οι πόλοι της συνάρτησης μεταφοράς είναι: = 37,85 rad/sec και = 5388,5 rad/sec Η συχνότητα συντονισμού είναι και πάλι: C 3 4,4 0 rad/ sec Ο συντελεστής ποιότητας είναι: Q, V (s) /sc s C ~ V o (s) Το εύρος ζώνης είναι: B 03 rad/ sec Q Αναπαράσταση με τη μορφή τν φασόρν. Φίλτρα 9 Παράδειγμα: Ζνοπερατό Φίλτρο 0,707 = / πλάτος Κυκλώματα με στενό εύρος ζώνης βρίσκουν εφαρμογή σε κυκλώματα συντονισμού (tug crcuts). = 37 rad/sec Κάτ συχνότητα αποκοπής = 4470 rad/sec Συχνότητα συντονισμού = 5388 rad/sec Άν συχνότητα αποκοπής Όσο πιο επιλεκτικό είναι το φίλτρο τόσο πιο απότομη είναι η μεταβολή της φάσης. φάση ed Φίλτρα 30 5