Matematinės analizės konspektai

Matematinės analizės konspektai (be įrodymų) Marius Gedminas pagal V. Mackevičiaus paskaitas 998 m. rudens semestras (I kursas) Realieji skaičiai Apibrėžimas. Uždarųjų intervalų seka [a n, b n ], n =, 2,... vadinama įdėtųjų uždarųjų intervalų seka, jei [a n+, b n+ ] [a n, b n ], n N. Teiginys.2 (Įdėtųjų intervalų principas (aksioma)) Bet kokios įdėtųjų uždarųjų intervalų sekos sankirta netuščia aibė ( c R n N, c [a n, b n ]). Pastaba Vien racionaliesiems skaičiams šis principas neteisingas. Pvz., [.4,.5] [.4,.42]... [a n, b n ] = { 2} Q Pastaba Intervalų uždarumas yra svarbus dalykas. Pvz., (0, n+ ) ( ) ( 0, n, bet 0, n) = Apibrėžimas.3 Aibė A R vadinama aprėžta iš viršaus, jei c R toks, kad x A, x c. c vadinamas aibės viršutiniu rėžiu. Aibės A R mažiausias viršutinis rėžis, jei jis egzistuoja, vadinamas aibės A tiksliuoju viršutiniu rėžiu ir žymimas sup A ( supremum A ). Aibė A R vadinama aprėžta iš apačios, jei c R toks, kad x A, x c. c vadinamas aibės apatiniu rėžiu. Aibės A R mažiausias apatinis rėžis, jei jis egzistuoja, vadinamas aibės A tiksliuoju apatiniu rėžiu ir žymimas inf A ( infimum A ). Teorema.4 (Tiksliųjų rėžių egzistavimas) Kiekviena netuščia aprėžta iš viršaus (apačios) aibė A R turi tikslųjį viršutinį (apatinį) rėžį. Pastaba.5 Susitarsime rašyti sup A = + (inf A = ), jei A nėra aprėžta iš viršaus (apačios). Teorema.6 (Borelio-Lebego teorema apie baigtinį denginį) Jei atvirųjų intervalų sistema {G α : α I} dengia intervalą [a, b] (t.y. α I G α [a, b]), tai egzistuoja posistemis {G α,..., G αr }, taip pat dengiantis šį intervalą. Pastaba Tiek atvirųjų intervalų sistema, tiek uždaras intervalas yra b ūtini dalykai teoremoje ir jų negalima atsisakyti. Pvz., [ 0, n] [, 2] [0, 2], n N bet iš gautos sistemos negalime išrinkti baigtinio posistemio, kuris dengtų intervalą [0, 2].

2 Sekos riba 2 Sekos riba Apibrėžimas 2. Sakoma, kad seka (x n ) turi ribą x R, jei su visais ( kiek norima mažais ) ε > 0 atsiras N N, kad x n x < ε, kai n > N ( x n yra kiek norima arti x su pakankamai dideliais n ). Tokiu atveju žymima lim x n = x n lim n x n = x lim x n = x x n x, n Pastaba Vietoje N N galime imti N R. Pavyzdžiai 2.2. x n = n, lim x n = 0 x n = n 3 + 5n 2 + 7n + 2, lim x n = 0 2. x n = 9 sin n 98 cos3 n n, lim x n = 0 3. x n = n. Seka diverguoja (neturi baigtinės ribos) 4. x n = ( ) n. Seka diverguoja (neturi ribos) 5. {[a n, b n ]} įdėtųjų uždarųjų intervalų seka, b n a n 0, kai n. Remiantis įdėtųjų intervalų principu, c n N[a n, b n ]. Tada lim a n = lim b n = c Apibrėžimas 2.3 Skaičių seka (x n ) vadinama aprėžta (aprėžta iš viršaus, aprėžta iš apačios), jei M R : x n M, n N) (atitinkamai x n M, n N, x n M, n N). Teiginiai 2.4. Kiekviena konverguojanti seka yra aprėžta. 2. Seka gali turėti ne daugiau kaip vieną ribą. Teorema 2.5 (Veiksmai su ribomis) Tarkime, kad lim x n = x ir lim y n = y. Tada. lim(x n + y n ) = x + y 2. lim(x n y n ) = x y 3. Jei y 0, tai lim x n y n = x y Teiginys 2.6 (Perėjimas prie ribos nelygybėse). Jei x n x, y n y ir x < y, tai N N : x n < y n, kai n > N. Atskiru atveju, jei y n y ir y > 0, tai N N : y n > 0, kai n > N. 2. Jei x n y n, n N ir x n x, y n y, tai x y 3. (Dviejų policininkų principas) Jei x n z n y n ir x n x, y n x, tai z n x. Pavyzdžiai 2.7. Iš x n < y n, x n x, y n y neišplaukia x < y! Pvz., n : 0 < n. Tada x = lim x n = y = lim y n = 0. Matematinės analizės konspektai 2 c M. Gedminas, 998 999 0 0

2 Sekos riba 2. z n = n2 + + n2 + 2 + + n2 + n, n N. Taigi, z n. n n + = n n2 + 2n + z n n n 2 = Apibrėžimas 2.8 Sakykime, turim seką (x n ). Imkime didėjančią nat ūraliųjų skaičių seką (n k ), k N. Tada seka (x nk ) vadinama sekos (x n ) posekiu (arba daline seka). Jei sekos (x n ) posekis turi ribą x, tai x vadinama sekos (x n ) daline riba. Pastaba Jei seka (x n ) turi ribą x, tai visi jos posekiai turi tą pačią ribą. Teiginys 2.9 (Vejerštraso teorema apie konverguojantį posekį) Kiekviena aprėžta seka turi konverguojantį posekį. Teorema 2.0 (Sekos konvergavimo Koši kriterijus) Tarkime, turime seką (x n ). Tada šie du teiginiai ekvivalent ūs:. Seka (x n ) konverguoja 2. ε > 0 N N : x n x m < ε, kai n, m > N Pastabos. Sekos (x n ), pasižyminčios antra savybe, vadinamos fundamentaliosiomis arba Koši sekomis. Erdvės, kuriose kiekviena Koši seka konverguoja, vadinamos pilnomis. Taigi, ši teorema teigia, kad R yra pilna erdvė. 2. Antrasis teiginys dažnai užrašomas taip: Pavyzdžiai 2. x n x m 0, kai n, m. x n = cos 2 + cos 2 2 2 + cos 3 2 3 + + cos n 2 n, n N Seka turi ribą remiantis Koši kriterijumi. 2. x n = ( ) n, n N. Seka diverguoja. 3. x n = + 2 + + n. Seka diverguoja. Apibrėžimas 2.2 Seką (x n ) vadinsime. didėjančia, jei n N x n+ x n. 2. griežtai didėjančia, jei n N x n+ > x n. 3. mažėjančia, jei n N x n+ x n. 4. griežtai mažėjančia, jei n N x n+ < x n. Teiginys 2.3 Didėjanti (mažėjanti) seka (x n ) konverguoja tada, ir tik tada, kai ji yra aprėžta iš viršaus (apačios). Tokiu atveju lim x n = sup{x n } (inf{x n }). Pavyzdžiai 2.4. x n = n q n, q >. lim x n = 0. 2. lim n n = 2 lim n a =, a > 0 3. lim qn n! = 0, q R Matematinės analizės konspektai 3 c M. Gedminas, 998 999 0 0

2 Sekos riba ( 4. lim + n) n = e Apibrėžimas 2.5 Išplėstine realiųjų skaičių tiese vadiname aibę R := R {+, } su tokiais papildomais sąryšiais:. < x < +, x R 2. x + (± ) = (± ) + x = ±, x R { ± x > 0 3. x (± ) = (± ) x = x < 0, x R \ {0} Apibrėžimas 2.6 Turime seką (x n ). Sakysime, kad. lim x n = +, jei R N N, toks, kad x n >, kai n > N. 2. lim x n =, jei R N N, toks, kad x n <, kai n > N. 3. lim x n =, jei lim x n = +. Pastabos 2.7. Baigtinių ir begalinių ribų apibrėžimus galima unifikuoti naudojant taško aplinkos sąvoką. Taško x R ε-aplinka vadinamas intervalas (x ε, x + ε). Ji žymima U ε (x). y U ε (x) y x < ε. Taško + -aplinka vadinamas intervalas (, + ]. Žymima U (+ ). Taško -aplinka vadinamas intervalas [, ). Žymima U ( ). Tada lim x n = x U(x) N N x n U(x), kai n > N. 2. Monotoniška seka išplėstinėje realiųjų skaičių tiesėje visada turi ribą (baigtinę arba begalinę). 3. Dalinės ribos sąvoka turi pramę ir begalinių ribų atveju. Todėl tiesėje R bet kokia seka turi bent vieną dalinę ribą. Teiginys 2.8 Turime sekas (x n ) ir (y n ), x n, y n R. Tada. Jei x n + ir y n c R, n N, tai x n + y n +. Atskiru atveju, jei x n + ir y n y R (arba y = + ), tai x n + y n +. Jei x n ir y n c R, tai x n + y n. 2. a) Jei x n > 0, tai lim x n = + tada, ir tik tada, kai lim x n = 0. b) Jei x n < 0, tai lim x n = tada, ir tik tada, kai lim x n = 0. 3. Jei x n + ir n N x n y n, tai y n +. Apibrėžimas 2.9 Sekos (x n ), x n R, apatine ir viršutine ribomis vadinami skaičiai ir Žymima: i = lim n inf k n x k = lim n inf{x n, x n+,...} s = lim sup n k n x k = lim n sup{x n, x n+,...} lim inf n x n = i lim sup x n = s n Apatinė ir viršutinė ribos visada egzistuoja, nes sekos i n = inf{x n, x n+,...} ir s n = sup{x n, x n+,...} yra monotoniškos. Matematinės analizės konspektai 4 c M. Gedminas, 998 999 0 0

3 Skaičių eilutės Pavyzdžiai 2.20. x n = ( ) n. lim inf x n =, lim sup x n =. 2. x n = ( ) n n. lim inf x n =, lim sup x n = +. 3. x n = n ( )n. lim inf x n = 0, lim sup x n = +. 4. x n = n. lim inf x n = +, lim sup x n = +. Teiginys 2.2 Apatinė ir viršutinė sekos ribos yra lygios mažiausiai ir didžiausiai tos sekos dalinėms riboms Išvada 2.22 Seka (x n ) turi ribą tada, ir tik tada, kai lim inf x n = lim sup x n. Tokiu atveju lim x n = lim inf x n = lim sup x n. 3 Skaičių eilutės Apibrėžimas 3. Skaičių eilute vadinamas reiškinys a n = a + a 2 + + a n +, n a n R Sekos (a n ) nariai vadinami eilutės a n nariais. Skaičiai S N := N a n, N N vadinami eilutės dalinėmis sumomis. Jei S := lim N S N, tai S vadinamas eilutės suma ir rašoma S = Jei S R (t.y. suma baigtinė), tai sakoma, kad eilutės suma konverguoja, priešingu atveju (kai suma begalinė arba neegzistuoja) diverguoja Teiginiai 3.2. (Eilučių konvergavimo Koši kriterijus) Eilutė a n konverguoja tada, ir tik tada, kai ε > 0 2. (B ūtinoji eilutės konvergavimo sąlyga) N 0 N M n=n+ Jei eilutė a n konverguoja, tai a n 0, n. a n a n < ε kai M > N > N 0 3. Jei a n 0, n N, tai a n konverguoja tada, ir tik tada, kai jos dalinių sumų seka (S N ) yra aprėžta. Pastaba 3.3 Jei a n 0, tai eilutė a n visada turi sumą baigtinę arba begalinę (+ ), todėl eilutei su a n 0 prasminga rašyti a n < +, kai ji konverguoja, ir a n = +, kai ji diverguoja. Pavyzdžiai 3.4. x n = x x kai x < + kai x neapibrėžta kai x a n 2. ( ) n diverguoja. Matematinės analizės konspektai 5 c M. Gedminas, 998 999 0 0

3 Skaičių eilutės 3. 4. = + (diverguoja). n 2 (konverguoja). n2 Teiginiai 3.5 (Eilučių palyginimas). Jei a n c n, n N ir c n < +, tai a n konverguoja. 2. Jei 0 d n a n, n N ir d n = +, tai a n = + (diverguoja). a 3. Tarkime, kad a n 0, b n 0, n N ir α := lim n n bn [0, + ]. Jei α < + ir b n < +, tai a n < +. Jei α > 0 ir b n = +, tai a n = +. Kitaip tariant, jei α (0, + ), tai a n ir b n arba abi konverguoja, arba abi diverguoja. Lema 3.6 Tarkime, a n a n+ 0, n N. Tokiu atveju a n < + tada, ir tik tada, kai k= 2k a 2 k < +. Pavyzdžiai 3.7. 2. n=2 n=2 Teiginys 3.8 < + p > np n ln p < + p > n n ln n ln p < + p > ln n e = n=0 n! = 2 + 2 + 3! + + n! + Teiginys 3.9 (Eilutės konvergavimo Koši požymis) Bet kokiai eilutei a n pažymėsime α := lim sup n a n.. Jei α <, tai eilutė a n konverguoja; 2. Jei α >, tai eilutė a n diverguoja; 3. Yra tiek konverguojančių, tiek diverguojančių eilučių, kurioms α =. Teiginys 3.0 (Eilutės konvergavimo Dalambero požymis) Sakykime, a n yra eilutė su a n 0, n N.. Jei α := lim sup <, tai eilutė a n konverguoja; an+ a n 2. Jei N N an+ a n, kai n > N, tai eilutė a n diverguoja (tam pakanka lim inf an+ a n > ); 3. Yra tiek konverguojančių, tiek diverguojančių eilučių, kurioms lim an+ a n =. Pavyzdžiai 3.. x n n! konverguoja (Dalamberas arba Koši). Matematinės analizės konspektai 6 c M. Gedminas, 998 999 0 0

3 Skaičių eilutės 2. 2 + 3 + 2 2 + 3 2 + + 2 k + + konverguoja (Koši; Dalamberas atsakymo neduoda). 3k Pastaba Koši požymis stipresnis: jei Koši požymis neduoda atsakymo, tai neduos ir Dalambero. Teiginys 3.2 (Eilutės konvergavimo Abelio-Dirichlė požymis) Tarkime, kad a) eilutės a n dalinių sumų seka yra aprėžta: A n M, n N, M < + b) b n b n 0, n N, c) lim b n = 0. Tada eilutė a nb n konverguoja. Pastabos. Kai išpildytos sąlygos b) ir c), dažnai sakoma, kad b n monotoniškai artėja į nulį (žymima b n 0 arba lim n b n = 0). 2. Yra prasmė naudoti ši požymį tik tada, kai a n nariai įgyja skirtingus ženklus be galo daug kartų. Išvada 3.3 (Leibnico teorema) Jei b n 0, n, tai eilutė ( )n+ b n konverguoja. Pavyzdžiai 3.4 x n. konverguoja, kai x [, ) (Dalambero požymis, kai x =, Leibnico teorema, kai x =, n harmoninė eilutė, kai x = ). sin πn 4 2. konverguoja (Abelio-Dirichlė požymis). ln(n + ) Apibrėžimas 3.5 Sakoma, kad eilutė a n konverguoja absoliučiai, jei a n < +. Jei a n konverguoja, o a n = +, tai sakoma, kad eilutė a n konverguoja reliatyviai. Teiginys 3.6 Jei eilutė konverguoja absoliučiai, tai ji konverguoja. Apibrėžimas 3.7 Dviejų eilučių n=0 a n ir n=0 b n sandauga vadinama eilutė n=0 c n, kurioje c n = n i=0 a ib n i = a 0 b n + a b n + + a n b 0. Teorema 3.8 (Mertenso teorema) Jei A = n=0 a n R, B = n=0 b n R ir bent viena iš šių eilučių konverguoja absoliučiai, tai šių eilučių sandauga c n konverguoja, o jos suma lygi AB. Pastaba 3.9 Abiejų eilučių (reliatyvaus) konvergavimo nepakanka, kad teoremos tvirtinimas b ūtų teisingas. Pvz., a n = b n = ( ) n n + Jų sandaugos c n nariai n=0 c n = = = }{{} a+b 2 ab = n=0 n=0 n ( ) i ( ) n i i=0 i + n i + n ( ) n i=0 (i + )(n i + ) n (i + )(n i + ) i=0 n i=0 n i=0 i++n i+ 2 2 n + 2 = 2n + n + 2 2 Neišpildyta b ūtina konvergavimo sąlyga, tad c n diverguoja. Matematinės analizės konspektai 7 c M. Gedminas, 998 999 0 0

4 Funkcijos riba ir tolydumas Apibrėžimas 3.20 Tarkime, kad duota eilutė a n ir bijekcija f : N N. Pažymėkime ã n := a f(n). Tada ãn vadinama pradinės eilutės a n perstata. Teorema 3.2 Jei eilutė a n konverguoja absoliučiai, tai absoliučiai konverguoja ir bet kuri jos perstata, kuri be to turi tą pačią sumą. Pastabos 3.22. Galima įrodyti ir priešingą teoremą (Rymano teoremą): jei a n konverguoja reliatyviai, tai a R f a f(n) = a. 2. Absoliučiai konverguojančios eilutės turi ir kitų baigtinėms sumoms b ūdingų savybių, pvz., jei a nm 0, n, m N, tai m= a nm = m= a nm. Ši lygybė išlieka teisinga ir su a nm R, n, m N, jei m= a nm < +. 4 Funkcijos riba ir tolydumas Apibrėžimas 4. Duota funkcija f : E R, a R. Sakoma, kad funkcija f turi ribą A R taške a, ir rašoma lim x a f(x) = A, jei kiekvienai sekai E \ {a} x n a galioja f(x n ) A. Kiti žymėjimai: lim x a, x E f(x) = A (kai apibrėžimo sritis nėra aiški iš konteksto). f(x) A, x a Jei E = (a, b), a < b, rašoma lim x a+0 f(x) = A (riba iš dešinės) arba lim x a f(x) = A (iš viršaus). Jei E = (b, a), b < a, rašoma lim x a 0 f(x) = A (riba iš kairės) arba lim x a f(x) = A (iš apačios). Pastaba Kad apibėžimas turėtų prasmę, turi egzistuoti bent viena tokia seka x n, sudaryta iš aibės E \ {a} elementų ir artėjanti prie a. Šiuo atveju sakoma, kad taškas a yra ribinis aibės E taškas. Teiginys 4.2 Tarkime, a R, A R, f(x) : E R. Tada šie teiginiai ekvivalent ūs:. lim x a f(x) = A; 2. ε > 0 δ > 0 f(x) A < ε, kai 0 < x a < δ ir x E. Pastaba Šis teiginys tvirtina, kad abu ribos apibrėžimai ( sekų kalba ir ε-δ-kalba ) yra ekvivalent ūs, kaia, A R. Pastaba Analogiški teiginiai yra teisingi, ir kai a ir/arba A lyg ūs ±, imant atitinkamai tų taškų aplinkas vietoje ε-aplinkų: taško A aplinkai U(A) taško a aplinka V (a) tokia, kad f(x) U(A), kai x V (a) \ {a} ir x E. (Apibrėžimas aplinkų kalba ). Teiginiai 4.3. Funkcija viename taške gali turėti tik vieną ribą. 2. Sakykime, f : E R, g : E R ir lim x a f(x) = A R, o lim x a g(x) = B R. Tada a) lim x a (f (x) + g (x)) = A + B b) lim x a (f (x) g (x)) = A B c) Jei, be to, B 0, tai lim x a f(x) g(x) = A B d) Jei f(x) g(x), kai x E \ {a}, tai A B. 3. Jei f(x) h(x) g(x), kai x E \ {a}, ir lim x a f(x) = lim x a g(x) = A, tai lim x a h(x) = A. Matematinės analizės konspektai 8 c M. Gedminas, 998 999 0 0

4 Funkcijos riba ir tolydumas 4. Jei A < B, tai egzistuoja taško a aplinka U, tokia, kad f(x) < g(x) kai x U \ {a}, x E. Pavyzdžiai 4.4. lim x 0 sin x x = 2. lim ( + x) x = e x 0 3. lim x 0 sin x neegzistuoja. 3 lim x 0 x sin x = 0 Apibrėžimas 4.5 Sakoma, kad funkcija f : E R yra tolydi taške x 0 E, jei su kiekviena seka E x n x 0 turime f(x n ) f(x 0 ), n. Sakoma, kad funkcija f : E R yra tolydi aibėje A E, jei ji yra tolydi visuose aibės A taškuose. Pastabos 4.6. Palyginę funkcijos ribos apibrėžimą su tolydžios funkcijos apibrėžimu, matome, kad funkcija yra tolydi taške x 0, kai lim x x0 f(x) = f(x 0 ), ir x 0 yra ribinis aibės E taškas. Jei x 0 nėra ribinis taškas, tai funkcija tame taške visada tolydi. 2. Atsižvelgdami į 4.2 teiginį, matome, kad funkcija f : E R yra tolydi taške x 0 E tada ir tik tada, kai ε > 0 δ > 0 f(x) f(x 0 ) < ε, kai x x 0 < δ ir x E. Teiginiai 4.7. Jei f : E R ir g : E R yra tolydžios taške x 0 E, tai funkcijos (f + g), (fg) ir (jei g(x 0 ) 0) yra tolydžios taške x 0. 2. Jei funkcija f : E E yra tolydi taške x 0 E, o funkcija g : E R yra tolydi taške y 0 := f(x 0 ), tai funkcija (g f)(x) := g (f (x)), x E yra tolydi taške x 0. Pavyzdžiai 4.8. f(x) = c, x, c R yra tolydi aibėje R. 2. f(x) = x, x R yra tolydi aibėje R. 3. f(x) = x n, x R, n N yra tolydi aibėje R. 3 f(x) = a n x n + + a x + a 0 R[x] yra tolydi aibėje R. 3 Kiekviena racionali funkcija R(x) = P (x) Q(x) (dviejų polinomų santykis) yra tolydi visuose taškuose x 0 R, kuriuose Q(x 0 ) 0. 4. f(x) = sin x, x R yra tolydi aibėje R. 5. f(x) = cos x, x R yra tolydi aibėje R. 6. f(x) = tan x, x R yra tolydi visuose taškuose, kuriuose cos x 0. 7. f(x) = a x, x R, a 0, a yra tolydi aibėje R. 8. f(x) = log a x, x > 0, a > 0, a yra tolydi aibėje R. 9. f(x) = x a, x > 0, a R yra tolydi aibėje R. 0. Išvados: ( ) f g Matematinės analizės konspektai 9 c M. Gedminas, 998 999 0 0

4 Funkcijos riba ir tolydumas log a) lim a ( + x) = log x 0 x a e ln(x + ) Atskiru atveju, lim = x 0 x ( + x) α b) lim = α x 0 x Apibrėžimas 4.9 Aibę visų tolydžių funkcijų f : E R žymėsime C(E). Galima trumpinti: C[a, b] = C([a, b]). Teiginys 4.0 (Bolcmano-Vejerštraso teorema apie tarpines reikšmes) Sakykime, funkcija f C[a, b], f(a) = A, f(b) = B ir A C B arba B C A. Tada c [a, b] f(c) = C ( tolydi funkcija įgyja visas tarpines reikšmes ). Teiginys 4. (Vejerštraso teorema apie maksimalią reikšmę) Sakykime, f C[a, b]. Tada. f yra aprėžta intervale [a, b]: M R x [a, b] f(x) M. 2. x d [a, b] f(x d ) = max{f(x) : x [a, b]} x m [a, b] f(x m ) = min{f(x) : x [a, b]} (Tolydi uždarame intervale funkcija įgyja tame intervale didžiausią ir mažiausią reikšmę). Pastaba Intervalo uždarumas esminė sąlyga. Pvz., f(x) = x, x (0, ], f C(0, ], bet maksimumas neegzistuoja, nes lim x 0 f(x) = + (tiksliau, lim n f( n ) = + ). Kitas pavyzdys: f(x) = x+, x (0, ). f(x) C(0, ), sup f(x) =, inf f(x) = 2, bet neegzistuoja toks x d (0, ) f(x d ) =. Teiginys 4.2 (apie atvirkštinės funkcijos tolydumą) Tarkime, f : X R Y R (X intervalas) yra tolydi bijekcija. Tada. Y taip pat intervalas, be to f yra monotoniška. 2. f : Y X taip pat yra tolydi. Išvada 4.3. Funkcijos log n x (x > 0, a > 0, a ), arcsin x (x [, ]), arccos x (x [, ]), arctan x (x R) yra tolydžios funkcijos. 2. Visos elementarios funkcijois yra tolydžios savo egzistavimo srityse. elementarios funkcijos daugianariai, racionaliosios funkcijos, trigonometrinės ir jų atvirkštinės, rodyklinė, logaritminė funkcijos, bei visos iš jų padarytos funkcijos, naudojant aritmetinius veiksmus bei kompoziciją. egzistavimo sritis aibė, kurioje funkcija turi prasmę. poaibis. Pastaba x nėra tolydi funkcija: x = x 2 = e 2 ln x2 neegzistuoja, kai x = 0. Apibrėžimo sritis visada yra egzistavimo srities Apibrėžimas 4.4 Funkcija f : E R vadinama tolygiai tolydžia aibėje E, jei ε > 0 δ > 0 f(y) f(x) < ε, kai x y < δ ir x, y E. Pastaba Palyginkime su tolydžios aibėje E funkcijos apibrėžimu: x E ε > 0 δ > 0 f(y) f(x) < ε, kai x y < δ ir y E. Pavyzdžiai 4.5. f(x) = x 2, x [ a, a] yra tolygiai tolydi intervale [ a, a]. 2. f(x) = x 2, x R nėra tolygiai tolydi. 3. f(x) = sin x 2, x R nėra tolygiai tolydi. Matematinės analizės konspektai 0 c M. Gedminas, 998 999 0 0

5 Diferencijavimas 4. f(x) = sin, x R nėra tolygiai tolydi. x Teorema 4.6 (Kantoro teorema) Jei f C[a, b], tai funkcija yra tolygiai tolydi intervale [a, b]. Pavyzdys 4.7 f(x) = sin x, x (0, ) yra tolygiai tolydi intervale (0, ). x Apibrėžimas 4.8 Sakoma, kad funkcija f : E R R turi tr ūkį taške x 0 E, jei ji nėra tolydi tame taške. Taškas x 0 E vadinamas funkcijos f pirmo tipo tr ūkio tašku, jei f(x 0 0) := lim x x0 0 f(x) R ir f(x 0 + 0) := lim x x0+0 f(x) R. Atskiru atveju, kai f(x 0 0) = f(x 0 + 0), x 0 vadinamas pašalinamu funkcijos f tr ūkio tašku. Likusiais atvejais (kai bent viena ribaf(x 0 0) arba f(x 0 + 0) neegzistuoja arba yra begalinė), x 0 vadinamas funkcijos f antro tipo tr ūkio tašku. Pastaba Dažnai patogu vadinti tr ūkio taškais ir taškusx 0 R, kai U eps (x 0 ) := U ε \ {x 0 } E Pastaba Tr ūkio taškai, panaš ūs į funkcijosf(x) = sin x x 0 = 0 dar vadinami osciliuojančiais. Pavyzdžiai 4.9. f(x) = sin x x, x R \ {0}. x 0 = 0 yra pašalinamas I tipo tr ūkio taškas. 2. f(x) = arctan x, x R \ {0}. x 0 = 0 yra I tipo tr ūkio taškas. 3. f(x) = e x, x R \ {0}. x0 = 0 yra II tipo (begalinis) tr ūkio taškas. 4. f(x) = sin x, x R \ {0}. x 0 = 0 yra II tipo (osciliuojantis) tr ūkio taškas. Teiginys 4.20 Monotoninė funkcija f : (a, b) R neturi II tipo tr ūkio taškų. Jos tr ūkio taškų aiḃe yra baigtinė arba skaičioji. 5 Diferencijavimas f(y) f(x) Apibrėžimas 5. Sakoma, kad funkcija f : I R (I intervalas) yra diferencijuojama taške x I, jei lim y x y x R. Tokiu atveju pastaroji riba vadinama funkcijos f išvestine taške x ir žymima f (x). Pakeitę nurodytą ribą riba iš dešinės (iš kairės), gausime dešininės (kairinės) išvestinės apibrėžimą. Jos žymimos f d (x), f +(x) (f k (x), f (x)). Jei funkcija f yra diferencijuojama su visais x I, tai sakoma, kad funkcija f yra diferencijuojama intervale I. Pastaba 5.2 (Geometrinė išvestinės prasmė) Sakykime, funkcija f : I R yra diferencijuojama taške x. Tada ε(t) := f(t) f(x) t x f (x) 0, kai t x. f(t) = f(x) + f (x)(t x) + ε(t)(t x). Atmetę paskutinį }{{} mažas, kai t x ( mažą ) narį gauname tiesinę funkciją y(t) = f(x) + f (x)(t x), t R, kuri, kai t arti x, įgyja reikšmes, artimas f(x). Ši funkcija vadinama funkcijos f(x) liestine taške x. Geometriškai jos grafikas yra funkcijos f grafiko liestinė taške (x, f(x)). Liestinės kampinis koeficientas tan α = f (x). Teiginys 5.3 Jei funkcija f diferencijuojama taške x, tai ji tolydi tame taške. Teiginys 5.4 Jei funkcijos f, g yra diferencijuojamos taške x I, tai. (f + g) (x) = f (x) + g (x). 2. (fg) (x) = f (x)g(x) + f(x)g (x). 3. ( ) f (x) = f (x)g(x) f(x)g (x) g g 2, jei g(x) 0. (x) Matematinės analizės konspektai c M. Gedminas, 998 999 0 0

5 Diferencijavimas Teiginys 5.5 Jei f : (a, b) (c, d) yra diferencijuojama taške x (a, b), o g : (c, d) R yra diferencijuojama taške y = f(x), tai funkcija g f yra diferencijuojama taške x ir (g f) (x) = g (f (x)) f (x). Pavyzdžiai 5.6. f(x) = C, x R. f (x) = 0. 2. f(x) = x, x R. f (x) =. 3. f(x) = x 2, x R. f (x) = 2x. f(x) = x n, x R, n N. f (x) = nx n. 4. f(x) = sin x, x R. f (x) = cos x. f(x) = cos x, x R. f (x) = sin x. f(x) = tan x, x R \ { π 2 + πn, n Z}. f (x) = cos 2 x. f(x) = cot x, x R \ {πn, n Z}. f (x) = sin 2 x. 5. f(x) = a x, x R, a > 0, a. f (x) = a x ln a. Atskiru atveju f(x) = e x, x R. f (x) = e x. 6. f(x) = log a x, x > 0, a > 0, a. f (x) = x ln a. Atskiru atveju f(x) = ln x, x > 0. f (x) = x. 7. f(x) = x a, x > 0, a R. f (x) = ax a. Galima įsitikinti, kad ši formulė teisinga, ir kai x < 0, jei x a turi prasmę. ( m ) ( ) x n = n x m ši formulė irgi teisinga, kai x R, m Z, n N. { x 8. f(x) = 2 sin x x 0 0 x = 0, x R. { 2x sin f (x) = x cos x x 0 0 x = 0. Įdomu, kad riba lim x 0 f (x) neegzistuoja (t.y. f nėra tolydi funkcija). 9. f(x) = x, x R. f d (0) =, f k (0) =. ( = f(x) g(x) 0. f(x) }{{} >0 g(x) (x x ) = x x (ln x + ). g (x) ln f(x) + g(x) f(x) f (x) Teiginys 5.7 (Atvirkštinės funkcijos išvestinė) Jei griežtai didėjanti funkcija f C(a, b) yra diferencijuojama taške x 0 (a, b) ir f(x) 0, tai jos atvirkštinė funkcija f yra diferencijuojama taške y 0 := f(x 0 ) ir ( f ) (y0 ) = f (x 0). Pavyzdžiai 5.8. (arcsin x) =, x (, ). x 2 (arccos x) =, x (, ). x 2 ). Matematinės analizės konspektai 2 c M. Gedminas, 998 999 0 0

5 Diferencijavimas 2. (arctan x) = + x 2, x R. (arccotx) = + x 2, x R. Apibrėžimas 5.9 Taškas x E vadinamas funkcijos f : E R lokaliojo maksimumo tašku, jei ε > 0 f(y) f(x), kai y U ε (x) E. Analogiškai apibrėžiamas lokaliojo minimumo taškas. Šie taškai vadinami funkcijos (lokaliniais) ekstremumo taškais. Teiginys 5.0 (Ferma teorema) Jei x 0 (a, b) yra funkcijos f : [a, b] R ekstremumo taškas ir f (x 0 ) R, tai f (x 0 ) = 0. Teiginys 5. (Rolio teorema) Jei f C[a, b] yra diferencijuojama intervale (a, b), ir f(a) = f(b), tai c (a, b) f (c) = 0. Teiginys 5.2 (Koši vidutinės reikšmės teorema) Jei funkcijos f, g C[a, b] yra diferencijuojamos intervale (a, b), tai c (a, b) (f(b) f(a)) g (c) = (g(b) g(a)) f (c). Pastaba Jei g (x) 0, x (a, b), tai lygybę galima užrašyti taip: f(b) f(a) g(b) g(a) = f (c) g (c) Išvada 5.3 (Lagranžo vidutinės reikšmės teorema) Jei f C[a, b] yra diferencijuojama intervale (a, b), tai c (a, b) f(b) f(a) = f (c)(b a). Teiginys 5.4 Sakykme, funkcija f yra diferencijuojama intervale (a, b). Tada. Jei f (x) 0, x (a, b), tai f didėja intervale (a, b) (t.y. a x < y b f(x) f(y)). 2. Jei f (x) 0, x (a, b), tai f mažėja intervale (a, b) (t.y. a x < y b f(x) f(y)). 3. Jei f (x) = 0, x (a, b), tai f konstanta (t.y. c R x (a, b) f(x) = c). Pastaba Pakeitę nelygybes griežtomis gausime griežtai monotoniškas funkcijas, bet ne atvirkščiai. Pvz., f(x) = x 3 griežtai didėja aibėje R, bet f (0) = 0. Teiginys 5.5 Jei f : I R (I R baigtinis arba begalinis intervalas) turi aprėžtą išvestinę intervale I, tai f yra tolygiai tolydi tame intervale. Pastaba Šis požymis nėra b ūtinas. Pvz., x (0, ) yra tolygiai tolydi, nors neturi išvestinės taške x = 0. Teorema 5.6 (Lopitalio taisyklė) Tarkime, kad funkcijos f ir g yra diferencijuojamos intervale (a, b) ( a < b < + ) ir. lim x a f(x) = lim x a g(x) = 0 arba lim x a g(x) = +. 2. g (x) 0, kai x (a, b). 3. lim x a f (x) g (x) = A R. Tada lim x a f(x) g(x) = A. Pavyzdžiai 5.7. lim x 0 cosx x 2 = 2. Matematinės analizės konspektai 3 c M. Gedminas, 998 999 0 0

5 Diferencijavimas x 0 2. lim x e x 0 3. lim x = 0. lnx = 0, a > 0. xa Panašiai galima įrodyti, kad lim x ln n x x a = 0, a > 0, n N. Apibrėžimas 5.8 Jei funkcija f yra diferencijuojama intervale I, ir jos išvestinė f (x), x I, taip pat yra diferencijuojama funkcija, tai jos išvestinė (f ) (x) vadinama funkcijos f antrąja išvestine ir žymima f (x) arba f (2) (x). Analogiškai apibrėžiamos aukštesnių eilių išvestinės f (x) = f (3) (x),... f (n) (x) = (f (n ) ) (x), su sąlyga, kad jos egzistuoja. Visų funkcijų f : [a, b] R, turinčių visų eilių tolydžias išvestines iki n-tosios eilės imtinai aibė žymima C n [a, b] := {f(x) : k =,..., n f (k) C[a, b]}. Be to, f C [a, b] n N f (n) C[a, b]. Teorema 5.9 (Teiloro formulė) Tarkime, funkcija f C n [x 0, x] yra (n + ) kartą diferencijuojama intervale (x 0, x) (tam pakanka f C n+ [x 0, x]). Tada c (x 0, x) : n f (k) (x 0 ) f(x) = f(x 0 ) + (x x 0 ) k + f (n+) (c) k! (n + )! (x x 0) n+ k= }{{}}{{} =:R =:P n(x 0;x) n(x 0;x) Daugianaris P n (x 0 ; x) vadinamas Teiloro daugianariu, o reiškinys R n (x 0 ; x) Teiloro formulės liekamuoju nariu Lagranžo pavidalu. Pastabos 5.20. Formulė teisinga ir intervalui [x, x 0 ], kai x < x 0. 2. Teiloro formulė leidžia sudėtingos funkcijos reikšmių skaičiavimą pakeisti paprastos funkcijos daugianario P n (x 0 ; x) reikšmių skaičiavimu, kai R n (x 0 ; x) yra mažas (pastaroji situacija yra tipiška). 3. Ypač dažnai ši formulė naudojama, kai x 0 = 0: (Makloreno formulė) 4. Liekamojo nario Koši pavidalas: 5. Kai n = 2: f(x) = f(0) + n k= f (k) (0) x k + f (n+) (c) k! (n + )! xn+ R n (x 0 ; x) = f (n+) ( c) (x c)(x x 0 ) n n! f(x) = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) + f (x 0 ) (x x 0 ) 2 + f (c) (x x 0 ) 3 2 3! Pirmi du nariai liestinės lygtis ( geriausiai priglundanti tiesė ), pirmi trys nariai geriausiai priglundanti parabolė ir t.t. Apibrėžimas 5.2 Rašysime f(x) = o (g(x)), x a, jei egzistuoja tokia funkcija ε(x), apibrėžta taško a aplinkoje, kad ε(x) 0, kai x a, ir f(x) = ε(x)g(x) (taško a aplinkoje). Jei g(x) 0 taško a aplinkoje, tai f(x) = o (g(x)), x a f(x) g(x) 0, x a. Pastaba Jei g(x) 0 ir f(x) = o (g(x)), x a, tai sakoma, kad f nyksta greičiau nei g, x a. Jei g(x) +, tai sakoma, kad f auga greičiau nei g. Pavyzdžiai x 2 = o(x), x 0 x = o(x 2 ), x + x a = o(e x ), x + lg x = o(x a ), x + Matematinės analizės konspektai 4 c M. Gedminas, 998 999 0 0

5 Diferencijavimas Išvada 5.22 (Teiloro formulė su Peano pavidalo liekamuoju nariu) Jei f C n [x 0, x], tai f(t) = P n (x 0 ; t)+o( x x 0 n ), x x 0, t.y. Rn(x0;x) x x 0 n 0, x x 0. Apibrėžimas 5.23 Tarkime, kad funkcija f yra be galo diferencijuojama taško x 0 aplinkoje. Funkcijos f Teiloro eilute su centru x 0 vadinama funkcijų eilutė f(x 0 ) + f (n) (x 0 ) (x x 0 ) n n! Pastebėkime, kad Teiloro eilutės dalinės sumos yra jos Teiloro daugianariai P n (x 0 ; x), todėl ši eilutė konverguoja su tais x, su kuriais Teiloro formulės liekamasis narys R n (x 0 ; x) 0, n ir tokiu atveju Pavyzdžiai 5.24. e x = + 2. sin x = x n n!, x R. ( ) n x2n+ (2n + )!, x R. n=0 cos x = + ( ) n x2n (2n)!, x R. f(x) = f(x 0 ) + f (n) (x 0 ) (x x 0 ) n n! n+ xn 3. ln( + x) = ( ) n, x ( 2, ] (iš tiesų formulė teisinga, kai x ( ; ], tik tai sunku įrodyti turimomis priemonėmis). { e x 4. f(x) = 2 x 0 0 x = 0. Funkcijos Teiloro eilutė tapačiai lygi nuliui. sinx x + x 3 x 0 5. lim 3! x5 5! x 7 = 7!. Apibrėžimas 5.25 Funkcija f : E R vadinama iškila (žemyn) intervale I E R, jei f(α x + α 2 x 2 ) α f(x ) + α 2 f(x 2 ), su visais x, x 2 I, α, α 2 > 0, α + α 2 =. Reikalaudami griežtos nelygybės gauname griežtai iškilos (žemyn) funkcijos apibrėžimą. Pakeitę nelygybę priešinga, gauname iškilos aukštyn arba išgaubtos funkcijos apibrėžimą. Teiginys 5.26 Diferencijuojama funkcija f : I R yra iškila (žemyn) intervale I tada ir tik tada, kai jos išvestinė f didėja intervale I. Griežtą išvestinės didėjimą atitinka griežtas funkcijos iškilumas. Išvada 5.27 Dukart diferencijuojama funkcija f yra iškila intervale I tada ir tik tada, kai f 0 intervale I. Jei f > 0 intervale I, tai f griežtai iškila (neb ūtinai atvirkščiai). Pastaba Analogiškas tvirtinimas teisingas ir išgaubtai funkcijai. Apibrėžimas 5.28 Taškas x 0 (a, b) vadinamas funkcijos f : (a, b) R perlinkio tašku, jei ε > 0 toks, kad f yra iškila intervale U ε (x 0 ) := (x 0 ε, x 0 ) ir išgaubta intervale U + ε (x 0 ) := (x 0, x 0 + ε) arba atvirkščiai. Išvada 5.29 (Iš 5.26) Jei x 0 yra dukart diferencijuojamas funkcijos perlinkio taškas, tai f (x 0 ) = 0 (neb ūtinai atvirkščiai). Matematinės analizės konspektai 5 c M. Gedminas, 998 999 0 0

6 Funkcijų sekų ir eilučių tolydusis konvergavimas 6 Funkcijų sekų ir eilučių tolydusis konvergavimas Apibrėžimas 6. Sakoma, kad funkcijų seka (f n ), n N konverguoja į funkciją f aibėje E, jei x E f n (x) f(x), kai n. Toks funkcijų sekos konvergavimas vadinamas paprastu arba pataškiu ir žymimas f n f, n (aibėje E). Sakoma, kad funkcijų seka (f n ) konverguoja į funkciją f tolygiai aibėje E, jei sup x E f n (x) f(x) 0, n. Žymima f n f, n (aibėje E). Pastaba 6.2 f n f x E ε > 0 N N f n (x) f(x) < ε, kai n > N f n f ε > 0 N N f n (x) f(x) < ε, kai n > N Skirtumas tolygaus konvergavimo atveju N priklauso tik nuo ε ir nepriklauso nuo x. Pavyzdžiai 6.3. f n (x) = x n, x [0, ]. f(x) = Funkcijų seka konverguoja pataškiui. { 0 x [0, ) x =. 2. f n (x) = x n x n+, x [0, ]. f(x) = 0. Funkcijų seka konverguoja tolygiai. 3. f n (x) = x n x 2n, x [0, ]. f(x) = 0. Funkcijų seka konverguoja pataškiui. Pastaba 6.4 Funkcijoms f, g : E R pažymėkime d(f, g) = d E (f, g) := sup x E f(x) g(x). Funkcija d pasižymi šiomis savybėmis:. d(f, g) = d(g, f). 2. d(f, g) 0, be to d(f, g) = 0 f = g. 3. d(f, g) d(f, h) + d(h, g), h : E R (Trikampio nelygybė). Pastebime, kad f n f aibėje E d(f n, f) 0, n. Funkcija d vadinama tolygaus konvergavimo metrika (atstumu). Kartais supremumo metrika. Teiginys 6.5 (Funkcijų sekos tolygaus konvergavimo Koši kriterijus) Funkcijų seka (f n ) konverguoja tolygiai (į kokią nors funkciją f) aibėje E tada ir tik tada, kai ε > 0 N N d(f n, f m ) = sup f n (x) f m (x) < ε, kai m, n > N x E Apibrėžimas 6.6 Sakoma, kad funkcijų eilutė f n konverguoja tolygiai aibėje E, jei jos dalinių sumų seka S n := n k= f k, n N konverguoja tolygiai aibėje E į kokią nors funkciją f. Tokiu atveju rašoma f = f n tolygiai aibėje E (arba f = f n tolygiai pagal x E). Teiginys 6.7 (Funkcijų eilučių tolygaus konvergavimo Vejerštraso požymis) Jei f n (x) c n, x E, n N ir c n < +, tai funkcijų eilutė f n konverguoja tolygiai aibėje E. Teorema 6.8 (Teorema apie ribų sukeitimą) Tarkime, kad f n f aibėje E ir n N R, t E. Tada lim t x f(t) = lim n A n R. Kitaip tariant, A n := lim t x f n (t) lim lim f n(t) = lim lim f n(t) t x n n t x Pastaba Be tolygaus konvergavimo toks ribų sukeitimas ne visada teisingas. Pvz., f n (x) = x n, x E = (0, ): lim t x lim n f n (t) = 0 lim n lim t x f n (t) = Išvada 6.9 Jei f n C(E), n N ir f n f aibėje E, tai f taip pat tolydi. Matematinės analizės konspektai 6 c M. Gedminas, 998 999 0 0

6 Funkcijų sekų ir eilučių tolydusis konvergavimas Pastaba Funkcijų sekos tolydus konvergavimas yra { esminis: 0 x [0, ) f n (x) = x n, x E = [0, ], f n (x) f(x) = x =. Teorema 6.0 (Dinio lema) Tarkime, kad funkcijų seka (f n C[a, b]) kiekvienam taške monotoniškai artėja prie funkcijos f C[a, b]. Tada f n konverguoja tolygiai. Pastaba Monotoniškumas yra esminis. Pvz., f n (x) = x n x 2n, x [0, ], f n 0 (pataškiui). Teorema 6. (Vejerštraso teorema apie tolydžių funkcijų aproksimaciją daugianariais) Bet kokiai funkcijai f C[a, b] galima rasti daugianarių seką (P n ), konverguojančią į f tolygiai intervale [a, b]. Lema 6.2 Egzistuoja daugianarių seka (p nk : n N, k : 0,,..., n), pasižyminti šiomis savybėmis:. p nk (x) 0, x [0, ]. 2. n N 3. c n := max n p nk (x) = k=0 n x [0,] k=0 ( ) 2 k n x p nk(x) 0, n. Apibrėžimas 6.3 Funkcijų eilutė n=0 c n(x a) n vadinama laipsnine eilute su centru taške a; čia c n vadinami laipsninės eilutės koeficientais. Teiginys 6.4 Sakykime, c n, n = 0,,... laipsninės eilutės koeficientai. Pažymėkime Tada R := lim sup [0, + ]. n n c n. Laipsninė eilutė konverguoja absoliučiai, kai x (a R, a + R) (t.y. x a < R) ir diverguoja, kai x [a R, a + R] (t.y. x a > R). 2. Jei R = lim n c n c n+, tai R = R R vadinamas laipsninės eilutės konvergavimo spinduliu, o intervalas (a R, a + R) konvergavimo intervalu. Teiginys 6.5 Tarkime, turime laipsninę eilutę n=0 c n(x a) n su konvergavimo spinduliu R. Tada R < R ši laipsninė eilutė konverguoja tolygiai intervale [a R, a + R]. Išvada 6.6 Laipsninės eilutės suma tolydi funkcija laipsninės eilutės konvergavimo intervale (a R, a + R). Matematinės analizės konspektai 7 c M. Gedminas, 998 999 0 0