Στατιστική Ι-Πιθανότητες ΙΙΙ

Στατιστική Ι-Πιθανότητες ΙΙΙ Γεώργιος Κ. Τσιώτας Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Σχολή Κοινωνικών Επιστημών Πανεπιστήμιο Κρήτης 7 Νοεμβρίου 2012

Περιγραφή 1 Θεωρία Πιθανοτήτων ΙΙΙ Πιθανοτήτες κατά Bayes

Οριακές, Από κοινού, Δεσμευμένες Ορισμός 1 Πιθανότητα ενός Ενδεχομένου(ή Οριακή): Η Πιθανότητα ότι ένα ενδεχόμενο εμφανίζεται. Κανένα άλλα ενδεχόμενο δεν εξετάζεται. Αυτό εκφράζεται ως P(A) για το ενδεχόμενο A. 2 Από κοινού Πιθανότητα: Η Πιθανότητα της εμφάνισης δύο ή περισσοτέρων ενδεχομένων ταυτόχρονα. Αυτό εκφράζεται ως P(A B) για τα ενδεχόμενα A και B να εμφανίζονται ταυτόχρονα. 3 Δεσμευμένη Πιθανότητα: Η Πιθανότητα της εμφάνισης ενός ενδεχομένου δεδομένης της εμφάνισης ενός άλλου(καμιά φορά στην αμέσως προηγούμενη χρονική στιγμή). Αυτό εκφράζεται ως P(A B) για το ενδεχόμενο A δεδομένου του B ενδεχομένου.

Οριακές, Από κοινού, Δεσμευμένες(συν.) Παράδειγμα Χρησιμοποιώνταςδεδομένααπό2τ.μ.. E i ηποιότητατωνπροιόντωνμε υψηλή,μεσαίακαιχαμηλήποιότηταμε i = 1, i = 2και i = 3αντίστοιχα. Επίσης,διαμερίζουμετονδειγματικόχωροσε Aκαι Bγιατηναγορά Aκαι την αγορά B. Μπορούμε να ορίσουμε τις οριακές και τις πιθανότητες των από κοινού ενδεχομένων ως: A B E 1 P(E 1 A) P(E 1 B) P(E 1 ) E 2 P(E 2 A) P(E 2 B) P(E 2 ) E 3 P(E 3 A) P(E 3 B) P(E 3 ) P(A) P(B) P(Ω)

Οριακές, Από κοινού, Δεσμευμένες(συν.) Παράδειγμα(συν.) Χρησιμοποιώντας δεδομένα από διμετάβλητο πίνακα ενδεχομένων: A B E 1 P(E 1 A) = 0.48 P(E 1 B) = 0.12 P(E 1 ) = 0.60 E 2 P(E 2 A) = 0.15 P(E 2 B) = 0.10 P(E 2 ) = 0.25 E 3 P(E 3 A) = 0.0225 P(E 3 B) = 0.1275 P(E 3 ) = 0.15 P(A) = 0.6525 P(B) = 0.3475 P(Ω) = 1

Οριακές, Από κοινού, Δεσμευμένες(συν.) Παράδειγμα(συν.) Μπορούμε να καθορίσουμε την πιθανότητα να έχουμε προιόντα υψηλής ποιότητας δεδομένου ότι προέρχονται από την A αγορά ως: όπου η οριακή πιθανότητα. και οι από κοινού πιθανότητες. P(E 1 A) = P(E 1 A), P(A) P(A) = P(E 1 A) + P(E 2 A) + P(E 3 A), P(E 1 A) = P(E 1 A) P(A) P(E 2 A) = P(E 2 A) P(A) P(E 3 A) = P(E 3 A) P(A)

Οριακές, Από κοινού, Δεσμευμένες(συν.) Παράδειγμα(συν.) Μπορούμε να καθορίσουμε την πιθανότητα να έχουμε τουλάχιστον μέσης ποιότητας προιόντα δεδομένου ότι προέρχονται από την A αγορά ως: όπου η οριακή πιθανότητα, και P(E 1 E 2 A) = P((E 1 E 2 ) A), P(A) P(A) = P(E 1 A) + P(E 2 A) + P(E 3 A), P((E 1 E 2 ) A) = P((E 1 A) (E 2 A)) = P(E 1 A) + P(E 2 A) = 0.63 Επομένως P(E 1 E 2 A) = 0.709885. Ερώτημα; Είναι η ανωτέρω πιθανότητα μεγαλύτερη από αυτής του ενδεχομένου να έχουμε τουλάχιστον μέσης ποιότητας προιόντα δεδομένου ότι προέρχονται απότην Bαγορά; P(E 1 E 2 B) = 0.4075216

Πιθανοτήτες κατά Bayes Κανόνας του Bayes Ορισμός Εστωδειγματικόςχώροςτ.μ. Xδιαμερίζεταισε E 1,..., E k k-ενδεχόμενα. Εανορίσουμεενδεχόμενο Aμε P(A) > 0,τότεμπορούμενακαθορίσουμετις πιθανότητες: P(E i A) = P(E i A) P(A) P k i=1 P(E, i {1,..., k}. i A) P(A) Παράδειγμα Σ έναεργοστάσιοοιμηχανέςα,β,γπαράγουντο 25%, 35%,και 40% αντίστοιχα. Μετά από έλεγχο βρέθηκαν ότι παράγουν ελαττωματικά προιόντα με ποσοστά 5% 4% και το 2% αντίστοιχα. Δεδομένου ότι βρέθηκε ένα ελαττωματικό προιόν, ποιά η πιθανότητα να προέρχεται από την μηχανή Β;

Πιθανοτήτες κατά Bayes Κανόνας του Bayes(συν.) Λύση Δεδομένα της άσκησης: P(E A) = 0.05, P(E B) = 0.04, P(E Γ) = 0.02, P(A) = 0.25, P(B) = 0.35, P(Γ) = 0.40. Ετσι, P(B E) = P(B E) P(E) = = = P(E B) P(B) P(E A) + P(E B) + P(E Γ) P(E B) P(B) P(E A) P(A) + P(E B) P(B) + P(E Γ) P(Γ) 0.04 0.35 0.05 0.25 + 0.04 0.35 + 0.02 0.40