. ΣΤΑΤΙΚΗ ΑΡΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ. Μέγιστα και Ελάχιστα Συναρτήσεων Χωρίς Περιορισμούς Συναρτήσεις μιας Μεταβλητής Εστω f ( x) είναι συνάρτηση μιας μόνο μεταβλητής. Εστω επίσης ότι x είναι ένα σημείο στο πεδίο ορισμού της f. Αν f ( x ) > f ( x ) για κάθε x που ανήκει στο διάστημα ( x ε, x +ε), τότε στο x η συνάρτηση έχει αυστηρά τοπικό μέγιστο. Αν f ( x ) > f ( x ) για όλα τα x στο πεδίο ορισμού της f, τότε στο x μέγιστο. Το τοπικό και το ολικό ελάχιστο ορίζονται με ανάλογο τρόπο. η συνάρτηση έχει ένα αυστηρά ολικό Τα μέγιστα και τα ελάχιστα των συναρτήσεων ονομάζονται ακραία σημεία. Η ικανή (όχι όμως και αναγκαία) συνθήκη για την ύπαρξη μεγίστων και ελαχίστων δίνεται από το Θεώρημα του Weerstrass σύμφωνα με το οποίο συνεχείς συναρτήσεις με συμπαγή πεδία ορισμού έχουν ακραίες τιμές. Στα οικονομικά συνήθως εργαζόμαστε με συναρτήσεις των οποίων οι παράγωγες υπάρχουν και είναι συνεχείς. Για τέτοιες συναρτήσεις αναγκαία συνθήκη για την ύπαρξη ακραίας τιμής στο x είναι f ( x), δηλαδή, η πρώτη παράγωγος της συνάρτησης είναι μηδέν στο σημείο αυτό. Η συνθήκη αυτή ονομάζεται συνθήκη πρώτης τάξης. Η συνθήκη αυτή όμως δεν είναι και ικανή. Στο Σχήμα, στο σημείο Α η συνάρτηση y f ( x) έχει μέγιστο και στο σημείο Β έχει ελάχιστο. Στα αριστερά του σημείου Α η παράγωγος είναι θετική ενώ στα δεξιά του αρνητική. Στα αριστερά του σημείου Β η παράγωγος είναι αρνητική ενώ στα δεξιά του θετική. Η παράγωγος, όμως, της συνάρτησης είναι θετική τόσο στα δεξιά όσο και στα αριστερά του σημείου C. Το σημείο C δεν είναι ακραίο σημείο της συνάρτησης αλλά είναι ένα σημείο καμπής. Η ικανή συνθήκη για την ύπαρξη ακραίας τιμής δίνεται από την δεύτερη παράγωγο της συνάρτησης στο σημείο x. Αν f ( x ) <, τότε η συνάρτηση έχει μέγιστο. Αν f ( x ) >, τότε συνάρτηση έχει ελάχιστο. Η συνθήκη αυτή ονομάζεται συνθήκη δεύτερης τάξης. Όταν η συνθήκη δεύτερης τάξης ικανοποιείται, η συνθήκη πρώτης τάξης είναι αναγαία και ικανή για την ύπαρξη ακραίου σημείου. Όταν f ( x ) μπορεί να έχουμε μέγιστο, ελάχιστο ή σημείο καμπής. Για να δώσουμε απάντηση στην περίπτωση αυτή είτε
μελετάμε το πρόσημο της πρώτης παραγώγου δεξιά και αριστερά από το x είτε καταφεύγουμε στον έλεγχο της νιοστής παραγώγου σύμφωνα με το οποίο αν f ( x) και η πρώτη μη-μηδενική παράγωγος την οποία συναντούμε είναι η νιοστή (), τότε: α) Στο σημείο αυτό υπάρχει μέγιστο όταν είναι άρτιος και f ( x ) <, β) Στο σημείο αυτό υπάρχει ελάχιστο όταν είναι άρτιος και f ( x ) >, γ) Το σημείο αυτό είναι σημείο καμπής όταν είναι περιττός αριθμός. Αφού για f ( x ) είναι δυνατόν να υπάρχει ακραία τιμή (μέγιστο, ελάχιστο) η συνθήκη δεύτερης τάξης είναι ικανή αλλά όχι αναγκαία. Οι συνθήκες πρώτης και δεύτερης τάξης μπορούν να εκφραστούν με την μορφή διαφορικών. Το διαφορικό της y f ( x) είναι dy f ( x) dx. Όταν dx, dy αν και μόνο αν f ( x). Συνεπώς, η συνθήκη " dy για αυθαίρετες μη-μηδενικές μεταβολές της ανεξάρτητης μεταβλητής" είναι ισοδύναμη με την συνθήκη πρώτης τάξης, όπως αναφέρθηκε παραπάνω. Το διαφορικό δεύτερης τάξης είναι d y f ( x) dx, όπου dx ( dx) ( dx). Εφόσον οι μεταβολές της ανεξάρτητης είναι μη-μηδενικές, d y <> ( ) εάν και μόνο εάν f ( x) <> ( ). Συνεπώς, η συνθήκη " d y <> ( ) για αυθαίρετες μη-μηδενικές μεταβολές της ανεξάρτητης" είναι ικανή συνθήκη για μέγιστο (ελάχιστο). Όμως, δεν είναι και αναγκαία αφού ακραία τιμή είναι δυνατόν να υπάρχει και όταν dy f ( x ). Όταν η συνθήκη δεύτερης τάξης ικανοποιείται η συνθήκη πρώτης τάξης είναι αναγαία και ικανή. Συναρτήσεις Πολλών Μεταβλητών Εστω η συνάρτηση y f ( x), όπου x είναι ένα x διάνυσμα. Εστω επίσης ότι οι δεύτερες μερικές παράγωγοι της y υπάρχουν και είναι συνεχείς. Η αναγκαία αλλά όχι ικανή συνθήκη για την ύπαρξη ακραίας τιμής στο x (συνθήκη πρώτης τάξης) είναι f ( x ),,,...,, όπου f f x. Η αναγκαία συνθήκη μπορεί να εκφραστεί με την βοήθεια του ολικού διαφορικού της y. Συγκεκριμένα, το ολικό διαφορικό είναι dy f dx. Συνεπώς, η συνθήκη " dy για αυθαίρετες μη-μηδενικές μεταβολές των Αν αντί για το > (<) έχουμε ( ) το μέγιστο (ελάχιστο) είναι ασθενές.
3 ανεξάρτητων μεταβλητών" είναι ισοδύναμη με την συνθήκη πρώτης τάξης,,,...,. Για τον προσδιορισμό της ικανής συνθήκης είναι απαραίτητο να χρησιμοποιήσουμε την έννοια της τετραγωνικής μορφής. Εστω μια συνάρτηση δυο μεταβλητών y f ( x, x ). Το διαφορικό δεύτερης τάξης της συνάρτησης αυτής είναι d z f dx + f dx dx + f dx f j, όπου είναι οι δεύτερες μερικοί παράγωγοι. f Ορίζοντας u, υ dx, a f dx, b f, h f, q d z, οδηγούμαστε στην τετραγωνική μορφή q au + huυ + bυ. Η τετραγωνική μορφή είναι α) Θετικά Ορισμένη (Ημι-ορισμένη) όταν q > ( ) β) Αρνητικά Ορισμένη (Ημι-ορισμένη) όταν q < ( ) για αυθαίρετες τιμές των μεταβλητών μεταβάλλεται με τις τιμές των q u και υ (όχι όμως όλες μηδενικές). Αν το πρόσημο u και υ η τετραγωνική μορφή δεν είναι ορισμένη. Η έννοια της τετραγωνικής μορφής μπορεί να επεκταθεί σε συνάρτηση μεταβλητών f j j u ( u, u,..., u ) και Η είναι ο πίνακας Hessa, H [ f j ], u u j uhu T, όπου Τ υποδηλώνει την αναστροφή του διανύσματος, j,,,...,. Το πρόσημο μια τετραγωνικής μορφής (και του πίνακα Η) μπορεί να προσδιοριστεί με δύο τρόπους. Ο πρώτος τρόπος είναι μέσω των οριζουσών των κυριών ελασσόνων πινάκων του H. Συγκεκριμένα, η τετραγωνική μορφή είναι αρνητικά ορισμένη όταν και μόνο όταν (ικανή και αναγκαία συνθήκη) οι ορίζουσες των κυρίων ελασσόνων εναλλάσσουν πρόσημα με την πρώτη αρνητική, δηλαδή, f f f f f3 H f <, H f f >, H3 f f f3 <,... f f f 3 3 33 Αν κάποιες από τις ορίζουσες είναι μηδέν τότε η τετραγωνική μορφή είναι αρνητικά ημιορισμένη. Η τετραγωνική μορφή είναι θετικά ορισμένη όταν και μόνο όταν οι ορίζουσες των κυρίων ελασσόνων είναι όλες θετικές. Σε θετικά ημι-ορισμένες τετραγωνικές μορφές κάποιες ορίζουσες είναι μηδέν. Αν τα πρόσημα των οριζουσών δεν ακολουθούν τους κανόνες αυτούς η τετραγωνική μορφή (και ο πίνακας Η) δεν είναι ορισμένη. Ο δεύτερος τρόπος προσδιορισμού του πρόσημου μιας τετραγωνικής μορφής είναι μέσω των
4 χαρακτηριστικών ριζών του πίνακα Η. Οι χαρακτηριστικές ρίζες είναι οι λύσεις της χαρακτηριστικής εξίσωσης f θ f... f f f θ... f A.) 7 H θi... f f f θ όπου Ι είναι ένας x μοναδιαίος πίνακας και θ είναι ένας αριθμός. Αν ο Η είναι συμμετρικός πίνακας, οι χαρακτηριστικές ρίζες θα είναι πραγματικοί αριθμοί (θετικοί, αρνητικοί ή μηδέν). Ο πίνακας Η (και η αντίστοιχη τετραγωνική μορφή) είναι αρνητικά (θετικά) ορισμένος όταν και μόνο όταν όλες οι χαρακτηριστικές ρίζες είναι αυστηρά αρνητικές (θετικές). Η συν-ύπαρξη μηδενικών χαρακτηριστικών ριζών με αρνητικές (θετικές) σημαίνει ότι ο Η (και η αντίστοιχη τετραγωνική μορφή) είναι αρνητικά (θετικά) ημι-ορισμένος. Συν-ύπαρξη αρνητικών και θετικών χαρακτηριστικών ριζών σημαίνει ότι η τετραγωνική μορφή (και ο Η) δεν είναι ορισμένη. Ικανή συνθήκη για την ύπαρξη μέγιστου (ελαχίστου) σε συνάρτηση με πολλές μεταβλητές: ο πίνακας Η είναι αρνητικά (θετικά) ορισμένος, όταν υπολογίζεται στο σημείο x για το οποίο f ( x ). τότε η συνθήκη πρώτης τάξης είναι αναγκαία και ικανή. Όταν η ικανή συνθήκη (συνθήκη δεύτερης τάξης) ικανοποιείται Κοίλες και Κυρτές Συναρτήσεις σε Σχέση με τα Ακραία Σημεία. Μια συνάρτηση πολλών μεταβλητών είναι κοίλη (κυρτή) όταν και μόνο όταν (ικανή και αναγκαία συνθήκη) η αντίστοιχη τετραγωνική μορφή είναι αρνητικά (θετικά) ημιορισμένη. Η συνάρτηση είναι αυστηρά κοίλη (κυρτή) αν -ικανή συνθήκη- η αντίστοιχη τετραγωνική μορφή είναι αρνητικά (θετικά) ορισμένη. Το ότι η αρνητικά (θετικά) ορισμένη τετραγωνική μορφή δεν είναι αναγκαία συνθήκη είναι δυνατόν να αποδειχθεί με το να 4 εξετάσουμε την y x στο διάστημα (, ). Συνάρτηση αυτή είναι αυστηρά κυρτή. Όμως, στο σημείο του πεδίου ορισμού d y x dx. Αν μια συνάρτηση είναι κοίλη (κυρτή) σε ένα διάστημα του πεδίου ορισμού της και f ( x ) για κάποιο x το οποίο ανήκει στο διάστημα αυτό, τότε στο x υπάρχει ασθενές μέγιστο (ελάχιστο). Αν μια συνάρτηση είναι αυστηρά κοίλη (κυρτή)σε ένα διάστημα του
5 πεδίου ορισμού της και f ( x ) για κάποιο x το οποίο ανήκει στο διάστημα αυτό, τότε στο x υπάρχει ισχυρό μέγιστο (ελάχιστο) Το Θεώρημα της Περιβάλλουσας Η οικονομική επιστήμη είναι σε μεγάλο βαθμό επιστήμη των επιλογών. Οι επιχειρήσεις και οι καταναλωτές θέτουν ορισμένους στόχους και, συνήθως, έχουν στην διάθεση τους εναλλακτικούς τρόπους για να τους εκπληρώσουν. Ενας (ή περισσότεροι) από τους εναλλακτικούς αυτούς τρόπους είναι με βάση κάποιο κριτήριο περισσότερο επιθυμητοί από τους άλλους. Τα πλέον συνηθισμένα κριτήρια επιλογής στα οικονομικά είναι η Μεγιστοποίηση και η Ελαχιστοποίηση. Για παράδειγμα, οι επιχειρήσεις προσπαθούν να μεγιστοποιήσουν το κέρδος τους ή να ελαχιστοποιήσουν το κόστος για την παραγωγή ενός δεδομένου επίπεδου προϊόντος και οι καταναλωτές προσπαθούν να μεγιστοποιήσουν την χρησιμότητα τους με δεδομένο το διαθέσιμο εισόδημα. Τα προβλήματα της μεγιστοποίησης και της ελαχιστοποίησης αναφέρονται στην βιβλιογραφία ως προβλήματα αριστοποίησης (δηλαδή προβλήματα αναζήτησης του άριστου). Το πρώτο βήμα στην διατύπωση ενός προβλήματος αριστοποίησης είναι η περιγραφή της συνάρτησης στόχου (ή αντικειμενικού σκοπού). Η εξαρτημένη μεταβλητή στην συνάρτηση αυτή είναι το αντικείμενο της μεγιστοποίησης ή της ελαχιστοποίησης (π.χ κέρδος, κόστος). Το σύνολο των ανεξάρτητων μεταβλητών στην συνάρτηση αντικειμενικού σκοπού αποτελείται από τις παράμετρες και τις μεταβλητές επιλογής (ή μεταβλητές απόφασης). Οι παράμετρες προσδιορίζονται εξωγενώς. Οι τιμές των μεταβλητών επιλογής καθορίζονται ενδογενώς στην προσπάθεια για αριστοποίηση. Η ουσία της αριστοποίησης είναι η εύρεση ( με δεδομένες τις τιμές των παραμέτρων) των τιμών των μεταβλητών επιλογής που δίνουν το επιθυμητό ακραίο σημείο στην συνάρτηση αντικειμενικού σκοπού. Ένα τυπικό πρόβλημα μεγιστοποίησης ορίζεται ως ) Max y f ( x, α) x όπου α είναι ένα mx διάνυσμα παραμέτρων και x ένα x διάνυσμα μεταβλητών επιλογής και η f είναι αυστηρά κοίλη στο x. Η λύση του προβλήματος θα οδηγήσει σε συναρτήσεις της μορφής x x ( α),,,..., οι οποίες ονομάζονται εξισώσεις απόφασης και δίνουν
6 τις τιμές των μεταβλητών απόφασης για κάθε διάνυσμα τιμών των παραμέτρων. Η αντικατάσταση των εξισώσεων απόφασης στην σχέση () οδηγεί στην συνάρτηση αξίας ) y ( α) f ( x ( α), α ) η οποία δίνει τις μέγιστες τιμές της y για κάθε διάνυσμα τιμών των παραμέτρων. Στα οικονομικά συχνά ενδιαφερόμαστε για το πως μεταβάλλεται η άριστη τιμή της y όταν μεταβληθεί κάποια από τις παραμέτρους. Παραγωγίζοντας και τα δύο μέλη τηςσχέσης () ως προς α, όπου,,..., m, έχουμε 3) y ( α ) f ( x ( α), α) f ( x ( α), α) + α a a. Επειδή x ( α ) είναι το διάνυσμα των επιλογών που μεγιστοποιεί την y, f 4) f ( x ( α), α) ( x ( α), α) για κάθε. Συνεπώς, y ( α ) f ( x ( α), α). α a Η σχέση (4) είναι το θεώρημα της περιβάλλουσας σύμφωνα με το οποίο η ολική παράγωγος της συνάρτησης αξίας ως προς μια παράμετρο είναι ίση με την μερική παράγωγο της συνάρτησης αντικειμενικού σκοπού ως προς την παράμετρο αυτή όταν η συνάρτηση αντικειμενικού σκοπού υπολογίζεται στις άριστες τιμές των μεταβλητών επιλογής. Η μεταβολή μιας παραμέτρου έχει δύο αποτελέσματα στην συνάρτηση αξίας. Το άμεσο που συνδέεται με την επίδραση της μεταβολής της παραμέτρου στην f με σταθερό το διάνυσμα x (ο δεύτερος όρος στο δεξιό μέρος της (3)) και το έμμεσο το οποίο λειτουργεί μέσω της επίδρασης της μεταβολής της παραμέτρου στις άριστες επιλογές (ο πρώτος όρος στο δεξιό μέρος της (3)). Όταν το διάνυσμα x επιλέγεται με άριστο τρόπο, οι απειροελάχιστες μεταβολές του δεν έχουν επίδραση στην f (λόγω των συνθηκών πρώτης τάξης). Ετσι, το έμμεσο αποτέλεσμα είναι μηδέν και μένει μόνο η επίδραση του άμεσου αποτελέσματος. Το θεώρημα τις περιβάλλουσας έχει πολύ σημαντικές εφαρμογές στην ανάλυση της συμπεριφοράς των επιχειρήσεων και των καταναλωτών. Οι εμπειρικές αναλύσεις προσφοράς προϊόντων και ζήτησης εισροών υιοθετούν, συνήθως, την Δυϊκή Προσέγγιση που βασίζεται στην εξειδίκευση μιας ευέλικτης συνάρτησης αξίας και στην εξαγωγή από την συνάρτηση αυτή εξισώσεων απόφασηςμέσω του Θεωρήματος της Περιβάλλουσας. Η πραγματική συνάρτηση αξίας δεν είναι γενικά γνωστή. Ευέλικτες συναρτήσεις είναι αυτές που εξασφαλίζουν προσέγγιση δεύτερης τάξης στην άγνωστη αυτή συνάρτηση.
7 Για παράδειγμα, έστω ότι ένα προϊόν, q, παράγεται από μια πλήρως ανταγωνιστική επιχείρηση με την εισροή, z. Η συνάρτηση παραγωγής q q() z είναι αυστηρά κοίλη, η τιμή του τιμή προϊόντος είναι p και η τιμή της εισροής είναι w. Το κέρδος της επιχείρησης είναι π pq() z wzκαι η επιχείρηση επιλέγει τα επίπεδα της παραγωγής και της εισροής που μεγιστοποιούν το κέρδος. Οι παράμετρες του προβλήματος είναι οι τιμές (p και w) και η συνάρτηση αξίας (συνάρτηση κέρδους) είναι π π ( p, w). Από θεώρημα της περιβάλλουσας η συνάρτηση προσφοράς είναι q π p και η συνάρτηση ζήτησης z π. Επειδή η συνάρτηση κέρδους δεν είναι γνωστή την προσεγγίζουμε μια ευέλικτη w όπως είναι η Γενικοποιημένη Leoteff, π / / βp+ βw+ β ( p w ). Για την συγκεκριμένη συνάρτηση κέρδους, η συνάρτηση προσφοράς είναι q / + 5. ( w/ p) β β / και η συνάρτηση ζήτησης είναι z β 5. β ( p/ w). Συγκριτική Στατική Ανάλυση Ένα άλλο ενδιαφέρον ερώτημα στα οικονομικά είναι πως οι άριστες επιλογές αλλάζουν με τις μεταβολές των παραμέτρων. Η ανάλυση αυτού του είδους ονομάζεται συγκριτική στατική. Από τις συνθήκες πρώτης τάξης f ( x ( α ), α ),,,...,. Παραγωγίζοντας τις συνθήκες πρώτης τάξης ως προς το α παίρνουμε το σύστημα των εξισώσεων α f f f f... α x f f... f f α α.......... f f... f f x α α x Με δεδομένο ότι έχουμε υποθέσει ότι η συνάρτηση f είναι αυστηρά κοίλη (άρα υπάρχει ο αντίστροφος του πίνακα H [ f j ] ) η λύση του συστήματος είναι
8 α f f... f f f... f α...... f f... f α fα fα..., fα όπου το (-) σημαίνει αντιστροφή του πίνακα. Συγκριτική στατική ανάλυση είναι δυνατόν να γίνει μέσω μιας συνάρτησης αξίας. Στο παράδειγμα που εξετάσαμε παραπάνω, q p z w π q π z π,, και p w p w p w p π. Με δεδομένο ότι μια συνάρτηση κέρδους πρέπει να είναι κυρτή στις τιμές w μπορούμε να συμπεράνουμε ότι η προσφορά αυξάνει με την τιμή του προϊόντος ενώ η ζήτηση για την εισροή μειώνεται με την τιμή της εισροής. Επίσης, αν υπάρχουν οι πρώτες και οι δεύτερες μερικές παράγωγοι της συνάρτησης του κέρδους και είναι συνεχείς, τότε από το Θεώρημα του Youg 3 προκύπτει ότι q w z. p Παραδείγματα. Να προσδιοριστούν τα ακραία σημεία της συνάρτησης y f ( X, X, X ) X + X X + 4 X + X X + X + 3 3 3 Λύση Συνθήκες πρώτης τάξης: f 4X + X + X, f X + 8X, f X + X. 3 3 Η λύση του συστήματος είναι X X X. Συνθήκες δεύτερης τάξης: 3 3 4 H 8 και οι ορίζουσες των κυρίων ελασσόνων είναι 4, 3 και 54. 3 Για μια συνάρτηση f ( x, y) ισχύει ότι f f, όταν οι σταυροειδείς μερικές παράγωγοι είναι συνεχείς. xy yx
9 Συμπεραίνουμε ότι στο σημείο X (,, ) η συνάρτηση έχει ελάχιστο y.. Να προσδιοριστούν οι ακραίες τιμές της συνάρτησης y X + 3X X + X X 3 X. 3 3 3 Λύση Συνθήκες πρώτης τάξης: f 3X + 3X3, f ( X ), f3 3X 6X3. Υπάρχουν δυο λύσεις, η X (,, ) και η X (/, 4, / ). Συνθήκες δεύτερης τάξης: 3 Με βάση την πρώτη λύση H. Οι συνθήκες δεύτερης τάξης δεν 3 6 ικανοποιούνται αφού ο Η δεν είναι αρνητικά (η θετικά) ορισμένος. Για περισσότερες πληροφορίες σχετικά με την φύση της πρώτης λύσης χρησιμοποιούμε τον έλεγχο των χαρακτηριστικών ριζών. Η χαρακτηριστική εξίσωση είναι θ 3 θ 3 6 θ ( θ + )( θ + 6θ 9). Οι χαρακτηριστικές ρίζες εξίσωσης αυτής είναι θ, θ 3+ 5. 7, θ 3 5. 7. Με δύο αρνητικές και μία θετική 3 χαρακτηριστική ρίζα το πρόσημο της τετραγωνικής μορφής που συνδέεται με την Η είναι απροσδιόριστο και η λύση X (,, ) δεν αντιστοιχεί σε μέγιστο ή ελάχιστο αλλά σε σημείο καμπής. Για την δεύτερη λύση οι ορίζουσες είναι -3, 6 και -8 που σημαίνει ότι το X (/, 4, / ) αντιστοιχεί σε μέγιστο. Ασκήσεις. Να προσδιοριστούν οι ακραίες τιμές των συναρτήσεων a) y X + 3X 3X X + 4X X + 6X 3 3 b) z 9 ( X + X + X ) 3 c) z X X + X X + X X + X + 3X 3 3 3 X Y W W d) z e + e + e e + ( X + Y).
. Εστω ότι η αυστηρά κοίλη συνάρτηση παραγωγής ενός προϊόντος είναι Q F ( X, X), όπου Q είναι η ποσότητα παραγωγής και X, X οι ποσότητες των εισροών. Εστω επίσης ότι το προϊόν παράγεται σε πλήρως ανταγωνιστικές συνθήκες και ότι η ανά μονάδα τιμή του είναι p, ενώ οι ανά μονάδα τιμές των εισροών είναι w και w. Να γίνει συγκριτική στατική ανάλυση ως προς της τιμές του προϊόντος και των εισροών (οι άριστες επιλογές είναι η προσφορά του προϊόντος και η ζήτηση για εισροές).. Μέγιστα και Ελάχιστα με Περιορισμούς Το πρόβλημα της ελαχιστοποίησης του κόστους για την παραγωγή ενός δεδομένου επίπεδου προϊόντος και το πρόβλημα της μεγιστοποίησης της χρησιμότητας με δεδομένο το διαθέσιμο εισόδημα είναι χαρακτηριστικά παραδείγματα αριστοποίησης όπου οι περιορισμοί έχουν την μορφή ισοτήτων. Εστω ότι έχουμε να λύσουμε το παρακάτω γενικό πρόβλημα με μεταβλητές και m περιορισμούς ) Max f ( x) x g ( x) b,,,..., m όπου m< και οι δεύτερες μερικές παράγωγες των συνεχείς. f, g,..., g m υπάρχουν και είναι Οι συνθήκες πρώτης και δευτέρας τάξεως εξάγονται από την συνάρτηση Lagrage στην οποία κάθε περιορισμός συνδέεται με ένα πολλαπλασιαστή λ. Συγκεκριμένα, σχηματίζουμε την ) Lx (, λ) f( x) + λ ( b g( x) ) m όπου λ ( λ, λ,... λm ) και θέτουμε της μερικές παράγωγες της L ως προς τα x και λ ίσες με το μηδέν 3) L f m g λ L,,,..., και 4) b g,,,..., m. λ Οι (3) και η (4) είναι οι συνθήκες πρώτης τάξεως (αναγκαίες) για μεγιστοποίηση και ελαχιστοποίηση. Η λύση του συστήματος των m+ εξισώσεων θα είναι οι άριστες τιμές x και λ. Οι συνθήκες δεύτερης τάξεως (ικανές) για μεγιστοποίηση είναι
5) q h h L( x, λ j j j ) < για κάθε μη-μηδενικό διάνυσμα [ h, h,..., h ] το οποίο ικανοποιεί την σχέση 6) g ( x ) hj,,,..., m. j j 4 Για να ελέγξουμε το πρόσημο της τετραγωνικής μορφής (5) με τον περιορισμό (6) ορίζουμε τον (+m)x(+m) περιφραγμένο πίνακα Hessa BH P T, όπου είναι πίνακας mxm με όλα τα στοιχεία ίσα με το μηδέν, P Q g g g... P... g g g... m m m Lx και Q (, λ),, j,,..,. j Αν το ( x, λ ) ικανοποιεί τις (3) και (4) και ο πίνακας ΒΗ υπολογίζεται στο ( x, λ ), τότε: α) Η τετραγωνική μορφή θα είναι αρνητικά ορισμένη και η f θα λαμβάνει την μέγιστη τιμή της όταν οι ορίζουσες από τις κύριες ελάσσονες BH m +, BHm+,..., BH BH, όπου m+, κ.λ.π δηλώνουν βαθμό, εναλλάσσουν m+ πρόσημα αρχίζοντας από ( ). β) Η τετραγωνική μορφή θα είναι θετικά ορισμένη και η f θα λαμβάνει την ελάχιστη τιμή της όταν οι ορίζουσες από τις κύριες ελάσσονες BH m +, BHm+,..., BH BH έχουν όλες το ίδιο πρόσημο ( ) m. Παρατηρούμε ότι ο αριθμός των περιορισμών (άρτιος ή περιττός) παίζει ιδιαίτερα σημαντικό ρόλο στην διερεύνηση των συνθηκών δεύτερης τάξης. Οι άριστες τιμές των πολλαπλασιαστών του Lagrage είναι οι οριακές αξιολογήσεις (σκιώδεις τιμές) των περιορισμών με τους οποίους συνδέονται. Δηλαδή, δίνουν την μεταβολή στην μέγιστη τιμή της συνάρτηση αξίας η οποία θα προκύψει από μια απειροελάχιστη μεταβολή στο δεξιό μέρος του περιορισμού. Η εξίσωση αξίας στο πρόβλημα που εξετάζουμε είναι 4 h x x.
7) L ( b) L ( x( b), λ ( b)) + λ ( b)( b όπου b b, b,..., b ). ( m g ( x( b))) Παραγωγίζοντας και τα δύο μέλη της (7) ως προς το b παίρνουμε 8) L b ( f m g λ ) + λ λ, λόγω των (3) και (4). Προφανώς η (8) είναι ένα b αποτέλεσμα του Θεωρήματος της Περιβάλλουσας. Παραδείγματα. Να προσδιοριστούν τα ακραία σημεία της z XY, με περιορισμό X + Y 6. Λύση Σχηματίζουμε την συνάρτηση Lagrage, L XY + λ( 6 X Y). Συνθήκες πρώτης τάξης: LX λ + Y, LY λ + X, Lλ X + Y. Η λύση του συστήματος είναι Y 3, X 3, λ 3. Συνθήκες δεύτερης τάξης: Ο περιφραγμένος πίνακας είναι HB (πρόσημο ( ) ) συνεπώς στο Y 3, X 3 υπάρχει μέγιστο.. Με δεδομένο ότι και m έχουμε μόνο μια κύρια ελάσσονα να ελέγξουμε, αυτή με βαθμό m+3, η οποία στην συγκεκριμένη περίπτωση ταυτίζεται με την HB. Η ορίζουσα της τελευταίας είναι ίση με m+. Να προσδιοριστούν τα ακραία σημεία της συνάρτησης x3 4 3 z x + x + με περιορισμό x + x + x 4. Λύση Από τις συνθήκες πρώτης τάξης έχουμε τρείς λύσεις ( 3 x, x, x, λ) (,,,), x, x, x, λ) (,,, ) και x, x, x, λ) (.8,,.4,.4). ( 3 Ο περιφραγμένος πίνακας είναι ( 3
3 4 x 4 HB. x λ Με δεδομένο ότι m, 3 θα ελέγξουμε τα πρόσημα των τελευταίων κυρίων ελασσόνων, αρχίζοντας από αυτή που είναι βαθμού 3. Για το πρώτο σημείο η ορίζουσα της κύριας ελάσσονος βαθμού 3 είναι -3 και η ορίζουσα της κύριας ελάσσονος βαθμού 4 είναι -64. Και στις δυο το πρόσημο είναι αρνητικό m ( ), συνεπώς, στο σημείο αυτό υπάρχει ελάχιστο. Για το δεύτερο σημείο ισχύουν ακριβώς τα ίδια (υπάρχει ελάχιστο). Για το τρίτο σημείο η ορίζουσα της ελάσσονος βαθμού 3 είναι.8 και του βαθμού 4 είναι 3. Στο σημείο αυτό σημείο αυτό οι συνθήκες δεύτερης τάξης δεν ικανοποιούνται. Επειδή οι συνθήκες δεύτερης τάξης είναι ικανές και όχι αναγκαίες στο σημείο αυτό είναι δυνατόν να έχουμε είτε μέγιστο, είτε ελάχιστο είτε κανένα από τα δυο. Ενας τρόπος να διαλευκάνουμε το ζήτημα αυτό είναι μέσω της χαρακτηριστικής εξίσωσης του περιφραγμένου πίνακα η οποία ορίζεται ως 4 x θ 4 λ θ x θ. Για την πρώτη και την δεύτερη λύση, οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης είναι και οι δύο θετικές ( θ, 8/ 9) και στις δυο περιπτώσεις, το οποίο σημαίνει ελάχιστο. Για την τρίτη λύση (θ,.8), το πρόσημο του πίνακα δεν μπορεί να προσδιοριστεί και στο σημείο αυτό δεν υπάρχει ακρότατο της συνάρτησης. Ασκήσεις. Να προσδιοριστούν τα ακραία σημεία των συναρτήσεων a) z X + X + X3 με περιορισμούς X + X + 3X και 5X + X + X 5. 3 3 β) z X + X με περιορισμό X + 4X.
4. Να γίνει συγκριτική στατική ανάλυση ως προς τις τιμές των αγαθών και το διαθέσιμο εισόδημα για τον καταναλωτή που μεγιστοποιεί U U ( X, X )με περιορισμό px + px M. U είναι η χρησιμότητα, Χ οι ποσότητες των αγαθών, p οι τιμές και Μ το διαθέσιμο εισόδημα.
5