Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών Απειροστικός Λογισµός Ι ιδάσκων : Α. Μουχτάρης Απειροστικός Λογισµός Ι - 4η Σειρά Ασκήσεων Ασκηση.. Χρησιµοποιούµε το κριτήριο ολοκλήρωσης : dx x( x + Θέτω u x + du x du u du u. si si dx dx x du και έχω : [l u ] [l l], άρα η σειρά αποκλίνει. Θέτω u. Οταν το u 0 άρα έχω : si u 0 άρα από κριτήριο ν-οστού όρου η σειρά αποκλίνει. u 0 u. Χρησιµοποιούµε το κριτήριο ολοκλήρωσης : + e x dx Θέτω u e x x lu du e x dx, dx du u Εφαρµόζω ανάλυση σε µερικά κλάσµατα : u( + u A u + B A( + u + Bu + u και έχω : A Άρα : ( e u( + u du e u du + u e [ l u ] [ l u + e + l e ] e + ϑέτω t +. t όταν άρα έχω : lt l e t e + l e άρα η σειρά συγκλίνει. e + 4. ( e B l ( u u( + u du du + u + l e e + συγκλίνει σαν γεωµετρική σειρά µε r < 5. Χρησιµοποιούµε κριτήριο ν-οστής ϱίζας : ( a ( 0 <, άρα η σειρά συγκλίνει. [lu l( + u] e
Απειροστικός Λογισµός Ι - 4η Σειρά Ασκήσεων 6. Χρησιµοποιούµε κριτήριο λόγου : ( ( a+ ( + 0 a άρα η σειρά συγκλίνει. 0 + 0 0 ( + 0 ( ( + 0 ( 0 0 0 <, 7. Χρησιµοποιούµε κριτήριο ν-οστής ϱίζας : (l l a (l ( 0 <, άρα η σειρά συγκλίνει. 8. Χρησιµοποιούµε κριτήριο λόγου : ( a+ ( + e (+ a e σειρά συγκλίνει. ( + ( ( + ( e e e <, άρα η 9. Χρησιµοποιούµε κριτήριο λόγου : ( a+ a αποκλίνει. ( ( +! 0 0 +! (!( + 0 0 (+! ( ( +, άρα η σειρά 0 0. Χρησιµοποιούµε κριτήριο ν-οστής ϱίζας : a (l. Χρησιµοποιούµε κριτήριο ν-οστής ϱίζας : a (l /. Χρησιµοποιούµε κριτήριο λόγου : ( ( a+ a. Εχουµε ότι : si <. l (+ ( + (+ Το συγκλίνει σαν γεωµετρική σειρά µε r si συγκλίνει. 0 <, άρα η σειρά συγκλίνει. l 0 <, άρα η σειρά συγκλίνει. (l / ( + ( >, άρα η σειρά αποκλίνει. < άρα από Κριτήριο Άµεσης Σύγκρισης η σειρά 4. Εχουµε ότι : ( + < (. Το συγκλίνει σαν γεωµετρική σειρά µε r ( < άρα από Κριτήριο Άµεσης Σύγκρισης η σειρά ( + συγκλίνει. 5. Εστω a + και Η σειρά αποκλίνει (p-series /
Απειροστικός Λογισµός Ι - 4η Σειρά Ασκήσεων Επίσης a + /6 + Άρα από Οριακό Κριτήριο Σύγκρισης η σειρά + + αποκλίνει. ( / + / / + /6 6. Εστω a (l και Η σειρά συγκλίνει (p-series Επίσης a (l ( 0 (l (l (l (l Άρα από Οριακό Κριτήριο Σύγκρισης η σειρά συγκλίνει. 7. Χρησιµοποιούµε κριτήριο λόγου : ( a + ( +! ( +! a ( +!! ((l ( l + 0 <, άρα η σειρά συγκλίνει. ( + ( + 8. Χρησιµοποιούµε κριτήριο ν-οστής ϱίζας : (! (! (! ( ( ( ( ( 0 < άρα η σειρά συγκλίνει. Ασκηση.. u + u < (x + 4 4 + (x < (x 4 x < < x < < x < < (x < 4 Για x : 4 που αποκλίνει. Για x : ( 4 που αποκλίνει. Άρα το διάστηµα σύγκλισης είναι : < x <. (x 4 είναι µια γεωµετρική σειρά που συγκλίνει για < x < και το άθροισµα της είναι ( 4 x x x+ + x x 4
Απειροστικός Λογισµός Ι - 4η Σειρά Ασκήσεων 4. u + u < (x + + (x < x < < x < Για x ± : ( που αποκλίνει. Άρα το διάστηµα σύγκλισης είναι : < x <. ( x είναι µια γεωµετρική σειρά που συγκλίνει για < x < και το άθροισµα της είναι ( x x + x. u + u < (x + + 9 9 + (x + x + < < x + < 4 < x < < (x + 9 < (x + < 9 Για x : 9 που αποκλίνει. Για x 4 : ( 9 που αποκλίνει. Άρα το διάστηµα σύγκλισης είναι : 4 < x <. (x + 9 άθροισµα της είναι ( (x + είναι µια γεωµετρική σειρά που συγκλίνει για 4 < x < και το ( x+ 4. u + u < x < 4 0 < x < 6 9 x x 9 ( x + + 9 8 x x. ( x < x < < x < 0 < Για x 0 : ( που αποκλίνει. Για x 6 : ( που αποκλίνει. Άρα το διάστηµα σύγκλισης είναι : 0 < x < 6.
Απειροστικός Λογισµός Ι - 4η Σειρά Ασκήσεων 5 ( x είναι µια γεωµετρική σειρά που συγκλίνει για 0 < x < 6 και το άθροισµα της είναι ( x x+ 4 x. 5. u + u < (lx + (lx < lx < < lx < e < x < e Για x e : ( που αποκλίνει. Για x e : ( που αποκλίνει. Άρα το διάστηµα σύγκλισης είναι : e < x < e. (lx 6. u + u < x < lx για e < x < e. < (x + + + (x + < x + < x + < x < Για x ± : ( που αποκλίνει. Άρα το διάστηµα σύγκλισης είναι : < x <. ( x + είναι x + x είναι µια γεωµετρική σειρά που συγκλίνει για < x < και το άθροισµα της x Ασκηση. +. Με χρηση του κριτηρίου του ν-οστού όρου η σειρά αποκλίνει αφού 5 + 0. Εστω f(x lx x lx f (x u > u + για > e. l Επίσης l l l > που αποκλίνει, άρα η σειρά x (x lx lx( x (x lx lx < 0 για x > e f(x ϕθίνουσα (x lx 0 άρα συγκλίνει υπό συνθήκη. Οµως l < l > l a δεν συγκλίνει απόλυτα. l
Απειροστικός Λογισµός Ι - 4η Σειρά Ασκήσεων 6. Συγκλίνει υπό συνθήκη αφού (µε χρηση του κριτήριου συγκλισης για εναλλασσοµενες σειρές: l( > 0 για l( l > l( + l 0 Οµως a συγκλίνει απόλυτα. 4. a + a + + l( (( +! ( +! 4 + 8 + < άρα συγκλίνει απόλυτα. l αποκλίνει, αφού l > και αποκλίνει. Αρα δεν (! ( (! ( +! (!! (!( + ( + ( + ( + ( + ( + + + (4 + 8 + 8 + 8 ( + (8 + 8 8 8 Ασκηση 4.. f(x x + x + x 8 f (x 6x + x + f (x x + f ( (x f ( (x 0, για 4 f( f ( f (x 4 f ( (x + (x + 4! (x +! (x + (x + 7(x + (x. f(x x f (x x l f (x x (l f ( (x x (l f ( (x x (l f( f ( l f ( (l f ( ( (l f ( ( (l + (x l + (l! (x + (l (x +! (l (x!
Απειροστικός Λογισµός Ι - 4η Σειρά Ασκήσεων 7. f(x x x f (x ( x ( x f (x ( x f ( (x ( x 4!( x 4 f (4 (x! 4( x 5 4!( x 5 f ( (x (! ( x!( x f(0 0, f (0, f (0, f ( (0! f ( (0! x + x + x + x + 4. f(x e x f (x e x f (x e x f ( (x e x f ( (x e x, f( e, f ( e, f ( ( e e + e (x + e (x + e! (x + e (x!