ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Να βρείτε τα παρακάτω όρια: α ( 4 8) + 6 + 8 Απλές περιπτώσεις Εφαρµόζυµε τις ιδιότητες των ρίων Ουσιαστικά κάνυµε αντικατάσταση α 4+ 8 = 4 + 8= + 4+ 8= 9 8 8 = = 4 + 6 = + 6= Αν f( ) = και α α ( f( ) 4 g( ) ) α α Επειδή g( ) = 4> η συνάρτηση α g παίρνει θετικές τιµές σε περιχή τυ α και έτσι η g( ) ρίζεται καλά g = 4 Να βρείτε τα όρια: α α Εφαρµόζυµε τις ιδιότητες των ρίων f 4 g = f 4 g = α α α ( ) 4 4=9 6= g( ) f + g
( ) f + g f + g f + g α g g g α α α = = = α + 4 6+ 4 = = = = 4 α Να υπλγίσετε τα παρακάτω όρια: α 4 + + 4 Στις περιπτώσεις ρητών συναρτήσεων της µρφής: g( ) f( ) = h όπυ g( ), h( ) πλυώνυµα τυ και τ f( ) α καταλήγει στη µρφή, τότε σίγυρα τ α είναι ρίζα των πλυωνύµων και αυτά γράφνται µε τη µρφή: g g h = α h = ( α ) και µε συνέπεια τ κλάσµα να απλπιείται α ( ) = = = 4 + + 4 ( )( + ) + 4 = = ( + ) = 6 Τ πλυώνυµ g( ) = + έχει ρίζα τ Με τη βήθεια τυ σχήµατς Horner: 6
παραγντπιύµε: Επµένως τ όρι γράφεται: + = ( )( + + ) g ( )( + + ) = = + + = 8 4 Να βρείτε τα παρακάτω όρια: α + + 7 + 8 4 6 Ταυτότητες πυ «παραγντπιύν» α β = αβ α+β α β = ( αβ)( α +αβ+β ) όπυ ρ, ρ ι ρίζες της εξίσωσης α +β = ( α+β)( α αβ+β ) α +β +γ=α( ρ )( ρ ) α +β +γ= α Οι ρίζες της εξίσωσης: = είναι: ρ = ± = 9, ρ, = = ρ = Επµένως: ( ) + ( ) = = = = =, + + ( )( + + ) 8 = = = 4 6 4 4 + 4 7
( ) ( )( + )( + 4 ) ( + )( + 4) + + 4 + + 4 4+ 4+ 4 4 = = = = = 4 4+ 4 4 8 8 ( + )( + ) + + = = = + + 7 9 7 Να βρείτε τα παρακάτω όρια: α 9 9 + 4+ + 6 6 Συζυγείς παραστάσεις Α+Β ΑΒ ΑΒ Α+Β Α Β Α+ Β Α+ Β Α Β Αν η ύπαρξη µιας ρίζας απτελεί εµπόδι για την παραγντπίηση τυ κλάσµατς, πλλαπλασιάζυµε και τυς δυ όρυς τυ κλάσµατς µε την συζυγή παράσταση α ( )( + ) = = = 9 9 9 9 9 + 9 + 9 = = = = 9 9 + 9+ 6 ( 9)( + ) ( )( + ) = = + 9 = = = = ( )( + ) ( )( + ) ( )( + ) ( ) = = = = = + + 6 ( )( + ) 8
6 6 ( + 4+ + )( + 4 + ) + 4+ + = = 6 6 + 4 + + 4 + + 8+ 6 + = = = 6 6 6 + 4 + 6 + 4 + + 7+ 6 ( + 6)( + ) = = = 6 6 6 + 4 + 6 + 6 + 4 + + 6+ = = = 6 48 ( 6)( + 4 + ) ( 6 6)( 6+ 4 6+ ) 6 Να βρείτε τα όρια: α + + 8 + 4 Στην άσκηση αυτή, εµφανίζνται ριζικά και στυς δυ όρυς τυ κλάσµατς Θα πλλαπλασιάσυµε και τυς δυ όρυς τυ κλάσµατς µε τις συζυγείς παραστάσεις τυ αριθµητή και τυ παρνµαστή α ( )( + )( + + ) = = + + + + + + + + + = = = 4 + + + + + 4 = = = + + = 8 + 4 9
( + )( + + ) 8 ( ) + ( ) ( + + ) + ( ) = = 4 8 8 + 8+ = = 4 8 ( ) ( + + ) ( ) _ 8+ = = 4 8 ( 4 4 ) + ( + + ) ( ) 4 8+ = = l 4 4 48 ( + )( + + ) Επειδή γνωρίζυµε ότι τ τριώνυµ: + 4 48 έχει ρίζα τ 4, µπρύµε να παραγντπιήσυµε µε Horner Άρα τ όρι γράφεται: ( 4)( + 7)( + + ) ( + 7)( + + ) 4 8+ 8+ 4+ 4 4 l = = = = 4 4 7 7 ίνεται η συνάρτηση: f Να υπλγίσετε τα πλευρικά όρια: f Να εξετάσετε αν υπάρχει τ όρι f( ), < = +, και f( ) + Η έκφραση σηµαίνει ότι: και < ενώ η έκφραση + σηµάνει ότι: και >
Παρατηρύµε ότι: και Επειδή: εν υπάρχει τ όρι f( ) f = = 4= f = + = 4+ = + + f f( ) + 8 ίνεται η συνάρτηση: Να βρείτε τα πλευρικά όρια: f +, = 4, > f Να εξετάσετε αν υπάρχει τ όρι f( ) Παρατηρύµε ότι: και Επειδή: Υπάρχει τ f( ) και f( ) + f = + = + = f = 4 = 4 = + + και είναι: f = f = + f = 9 ίνεται η συνάρτηση: f( ) = +, R και f Να εξετάσετε αν υπάρχει τ όρι Για να απαλείψυµε την απόλυτη τιµή, πχ Α ( ), από µια έκφραση πρέπει να γνωρίζυµε τι τιµές (θετικές ή αρνητικές) παίρνει η εντός τυ απλύτυ πσότητα, στην πρκειµένη
περίπτωση η Α ( ) Αν Α ( ) > τότε ( ) ( ) Αν Α ( ) < τότε Α ( ) =Α ( ) Α =Α Αν < τότε <, άρα: = = + Αν > τότε >, άρα: = Έτσι η συνάρτηση γράφεται: ( ) + =, αν < f ( ) = + = +, αν > Άρα: f = = = 4 ενώ: f = + = + = 6 + + Τα πλευρικά όρια δεν είναι ίσα, άρα δεν υπάρχει τ f( ) ίνεται η συνάρτηση f µε τύπ: Να βρείτε: α Τ πεδί ρισµύ της f + f = f Τ όρι + 9 Την τιµή πυ πρέπει να πάρει πραγµατικός αριθµός λ, ώστε: ( + ) f( ) =λ 8 α Πρέπει 9, άρα: 9, Επµένως τ πεδί ρισµύ της f είναι: (, ) (,) (, ) Α= +
Είναι: + + l = ( ) f( ) ( ) ( ) + = + = + = 9 ( )( + ) + 6+ = = l = Θέλυµε να είναι: ( + ) f( ) =λ 8 Άρα: =λ λ = + 8 8 λ= 7 λ = 8 ίνεται η συνάρτηση: f π ηµ +, 6 = π π λ +, > 6 6 Να βρείτε τις τιµές τυ λ ( λ R ) για τις πίες υπάρχει τ όρι f( ) Παρατηρύµε ότι: και άρα: π π 6 6 π 6 π f( ) = ( ηµ + ) = ηµ + = + = 6 6 f + + = λ + =λ + =λ π π 6 6 Για να υπάρχει τ f( ) π 6, πρέπει: f π π π 6 6 6 = f( ) + π π 6 6 λ = 6 λ= 6 ή λ= 6
Να εξετάσετε ως πρς τη συνέχεια στ σηµεί τις παρακάτω συναρτήσεις: α e +, f = = l n( + ) +, > 4, g = + = 4, = Όταν θέλυµε να εξετάσυµε τη συνέχεια µιας συνάρτησης σε σηµεί τυ πεδίυ ρισµύ της, αρχικά βρίσκυµε αν υπάρχει τ f( ) Αν τ όρι δεν υπάρχει, η f δεν είναι συνεχής στ Αν τ όρι υπάρχει, θα πρέπει στη συνέχεια να είναι: f = f α Παρατηρύµε ότι: f = e + = e + = και Επειδή: f = n + + = n + + = n= + + l l l εν υπάρχει τ όρι f( ) f f( ) + Επµένως η f δεν είναι συνεχής στ = Παρατηρύµε ότι: 4 ( )( + ) g( ) = = = ( ) =4 + + Άρα ισχύει: g = g Επµένως η g είναι συνεχής στ = Στ παρακάτω διάγραµµα δείχνει την πσότητα F της βενζίνης (σε λίτρα) σε σχέση µε τ χρόν t (σε µέρες), στ ρεζερβυάρ ενός αυτκινήτυ, κατά τη διάρκεια 4
ενός µήνα Σε πιες χρνικές στιγµές η συνάρτηση F είναι ασυνεχής Τι µπρεί να συνέβει τότε; Από τ διάγραµµα F t φαίνεται ότι: t = και F t F t = + t Άρα τη χρνική στιγµή t= η συνάρτηση F είναι ασυνεχής, αφύ: F t F( t) + t t Τ ίδι συµβαίνει και τη χρνική στιγµή t=, διότι: t =, ενώ F t F t = + t Πρφανώς εκείνες τις χρνικές στιγµές χρήστης τυ αυτκινήτυ συµπλήρωνε βενζίνη στ ρεζερβυάρ τυ αυτκινήτυ 4 Να µελετήσετε ως πρς τη συνέχεια τις συναρτήσεις πυ ακλυθύν: α f( ) =, g( ) =, + +, < h( ) =, α Για κάθε R µε
f f = = = Άρα η f είναι συνεχής για κάθε R, µε Για κάθε έχυµε + και τότε: = = = g g + + Άρα η g είναι συνεχής για κάθε Όταν η συνάρτηση είναι δίκλαδη (ή γενικότερα πλύκλαδη) ή µπρεί να µετασχηµατιστεί σε δίκλαδη (ή σε πλύκλαδη), πιθανά σηµεία ασυνέχειας είναι εκείνα στα πία αλλάζει τύπς της συνάρτησης Για <, η συνάρτηση είναι: h = + Άρα είναι συνεχής Για >, είναι: h( ) = Άρα και σ αυτή την περίπτωση είναι συνεχής Ειδικότερα στ σηµεί =, παρατηρύµε ότι: και Επειδή: εν υπάρχει τ h( ) h = + = + = h = = = + + h h( ) +, επµένως δεν είναι συνεχής στ σηµεί = Να εξηγήσετε γιατί η συνάρτηση: f =ηµ + 9, R 6
είναι συνεχής Υπενθύµιση Αν δύ συναρτήσεις είναι συνεχείς και ι πράξεις πυ ρίζνται µεταξύ αυτών θα είναι συνεχείς Η συνάρτηση g( ) = + 9, R είναι συνεχής ως πλυωνυµική Επίσης και η συνάρτηση h( ) =ηµ, R είναι συνεχής Επειδή: ( ) f = h g, R η f θα είναι επίσης συνεχής ως σύνθεση συνεχών συναρτήσεων 6 Για πια τιµή τυ σταθερύ πραγµατικύ αριθµύ α η συνάρτηση: α +, < f( ) = + 4, είναι συνεχής στ R Για < η f( ) =α + είναι συνεχής ως πλυωνυµική Για > και η f = + 4 είναι συνεχής ως πλυωνυµική Ειδικότερα στ = θα πρέπει να ισχύει: f = f = f + Όµως ισχύει: και Επίσης είναι: Άρα πρέπει: f = α + =α+ f = + 4 = + 4= + + f( ) = + 4= α+ = α= 7
7 ίνεται η συνάρτηση: + f( ) = +β, = α > όπυ α, β R, σταθερί αριθµί Ι Να βρείτε: f f α 4, < e, + Την τιµή τυ α ώστε να υπάρχει τ όρι f( ) ΙΙ Αν α= 4, να υπλγίσετε τν αριθµό β ώστε η f να είναι συνεχής στ = (Πανελλήνιες 7, Ηµερήσια ΤΕΕ) Ι α ( + ) 4 + 4 f = = = f e e + + = α = α= α Για να υπάρχει τ όρι, θα πρέπει: ( ) 4+ = = = άρα: f = f( ) + = α α= 4 ΙΙ Για να είναι συνεχής στ =, θα πρέπει: Όµως για α= 4, είναι: Άρα πρέπει: = = f f f + f = f = + +β= β= 8