Λύσεις Σειράς Ασκήσεων 1 Άσκηση 1 p q r p (q r) (p q) p q r ( r p q) T T T T F T T T T F F F F T T F T T T T T T F F T T T T F T T T F T T F T F T F T T F F T T F T F F F F T F T T Ο πιο πάνω πίνακας παρουσιάζει τον πίνακα αληθείας των προτάσεων. Δυο προτάσεις είναι ισοδύναμες αν αληθεύουν για τις ίδιες τιμές ατομικών προτάσεων. Οι προτάσεις α) και γ) είναι ισοδύναμες. Άσκηση 2 α) p (q r), s, u s q (p u) 1. p (q r) προϋπόθεση 2. r s προϋπόθεση 3. u s προϋπόθεση 4. q προσωρινή υπόθεση 5. p προσωρινή υπόθεση 6. q r MP 1,5 7. r MP 6,4 8. s MP 2,7 9. u MT 3,8 10. u e 6 11. p u i 5-10 12. q (p u) i 4-11 Λύσεις Σειράς Προβλημάτων 1 Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Σελίδα 1
β) p, q ( q p) s q 1. p προϋπόθεση 2. q ( q p) προϋπόθεση 3. s προσωρινή υπόθεση 4. q προσωρινή υπόθεση 5. q p MP 2,3 6. q προσωρινή υπόθεση p προσωρινή υπόθεση 7. i 4,6 i 1,6 8. e 5, 6-7 9. q i 4-8 10. s q i 3-9 γ) (p q) (r s), ( s t) (p r) s 1. (p q) (r s) προϋπόθεση 2. ( s t) (p r) προϋπόθεση 3. s προσωρινή υπόθεση 4. s t i 1, 3 5. p r ΜP 2, 4 6. p e1 5 7. p q i 6 8. r s ΜP 1, 7 9. r e2 5 10. s ΜP 8, 9 11. i 3,10 12. s RAA 3-11 Λύσεις Σειράς Προβλημάτων 1 Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Σελίδα 2
δ) p (q r) (p q) (p r) 1. p (q r) προϋπόθεση 2. q q LEM 3. q πρ. υπόθεση q πρ. υπόθεση 4. p πρ. υπόθεση p πρ. υπόθεση 5. q copy 3 q r MP 1,4 6. p q i 4-5 q πρ. υπ. r πρ. υπ. 7. (p q) (p r) i1 6 i 3,6 8. r e 7 9. r e 5, 6-8 10. p r i 4-9 11. (p q) (p r) i2 10 12. (p q) (p r) e 2, 3-11 ε) (p ((q r) s)) p ( (q r) s) 1. (p ((q r) s)) προϋπόθεση 2. p προσωρινή υπόθεση 3. p προσωρινή υπόθεση 4. i 2,3 5. ((q r) s) e 4 6. p ((q r) s) i 3-5 7. i 1,6 8. p RAA 2-7 9. s προσωρινή υπόθεση 10. ((q r) s) i 9 11. p προσωρινή υπόθεση 12. ((q r) s) copy 10 13. p ((q r) s) i 11-12 14. i 1,13 15. s RAA 9-14 16. q r προσωρινή υπόθεση 17. ((q r) s) i 16 18. p προσωρινή υπόθεση 19. ((q r) s) copy 17 20. p ((q r) s) i 18-19 21. i 1,20 22. (q r) RAA 16-21 23. p (q r) i 8,22 24. p (q r) s i 23,15 Λύσεις Σειράς Προβλημάτων 1 Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Σελίδα 3
Άσκηση 3 Για τη διατύπωση των προτάσεων στον Προτασιακό λογισμό, θα χρησιμοποιήσουμε τις πιο κάτω ατομικές προτάσεις. Πρόταση Κ: Πρόταση Π: Πρόταση Ε: Πρόταση Α: Πρόταση Δ: Υπάρχει η κίνηση Κάποιος μπορεί να μετακινηθεί από το σημείο Χ στο σημείο Υ σε πεπερασμένο χρόνο Κάποιος μπορεί να βρίσκεται σε ακριβώς ένα σημείο ανά πάσα στιγμή Η απόσταση ανάμεσα σε δύο σημεία Χ και Υ μπορεί να διαιρεθεί σε ένα μη πεπερασμένο αριθμό σημείων Κάποιος μπορεί να διασχίσει ένα μη πεπερασμένο αριθμό σημείων σε πεπερασμένο χρόνο Οι προτάσεις της άσκησης, μεταφράζονται στον Προτασιακό Λογισμό ως τις πέντε πρώτες προτάσεις της απόδειξης που ακολουθεί. 1. K Π προϋπόθεση 2. Ε Δ προϋπόθεση 3. Α προϋπόθεση 4. Ε προϋπόθεση 5. Π ( Α Δ) προϋπόθεση 6. Κ προσωρινή υπόθεση 7. Π MP 1,6 8. Α Δ MP 5,7 9. A προσωρινή υπόθεση Δ προσωρινή υπόθεση 10. i 3,9 Δ MP 2,4 11. i 9,10 12. e 8, 9-11 13. Κ RAA 6-12 Λύσεις Σειράς Προβλημάτων 1 Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Σελίδα 4
Άσκηση 4 φ = [( p ( q r)) (( q p) r)] Impl_free( ( p ( q r)) (( q p) r) ) = = Impl_free( [( p ( q r)) (( q p) r)] [(( q p) r) ( p ( q r))] ) = Impl_free( ( p ( q r)) (( q p) r) ) Impl_free( (( q p) r) ( p ( q r)) ) = ( Impl_free( p ( q r) ) Impl_free( ( q p) r ) ) ( Impl_free( ( q p) r) ) Impl_free( p ( q r) ) ) = ( ( Impl_free( p) Impl_free( q r) ) ( Impl_free( q p) Impl_free(r) ) ) ( ( Impl_free( q p) Impl_free(r) ) ( Impl_free( p) Impl_free( q r) ) ) = ( ( Impl_free(p) ( Impl_free( q) Impl_free(r)) ) ( Impl_free( q) Impl_free( p) r ) ) ( ( ( Impl_free( q) Impl_free( p) ) r ) ( p ( Impl_free( q) Impl_free(r) ) ) ) = ( ( p ( Impl_free(q) r) ) ( Impl_free(q) Impl_free(p) r ) ) ( ( ( Impl_free(q) Impl_free(p) ) r ) ( p ( Impl_free(q) r ) ) ) = ( ( p ( q r) ) ( q p r ) ) ( ( ( q p ) r ) ( p ( q r ) ) ) NNF(( ( p ( q r) ) ( q p r ) ) ( ( ( q p ) r ) ( p ( q r ) ) )) = = NNF( ( p ( q r)) ( q p r )) NNF( (( q p ) r ) ( p ( q r ))) = (NNF( ( p ( q r))) NNF( q p r)) (NNF( (( q p ) r) ) NNF( p ( q r ))) = (NNF( p ( q r)) (NNF( q) NNF( p) NNF(r))) ( (NNF( ( q p )) NNF( r) ) (NNF( p) NNF( q r)) ) = ( (NNF( p) NNF( ( q r))) ( q p r)) ( (NNF( q p ) r ) ( p (NNF( q) NNF(r))) ) = ( (NNF(p) NNF( q r)) ( q p r)) ( ( (NNF( q) NNF( p) ) r ) ( p (NNF(q) r)) ) = ( (p (NNF( q) NNF( r))) ( q p r)) ( ( (NNF(q) NNF(p) ) r ) ( p (q r)) ) = ( (p (NNF( q) r)) ( q p r)) ( ( (q p ) r ) ( p (q r)) ) = ( (p ( q r)) ( q p r)) ( ( (q p ) r ) ( p (q r)) ) Λύσεις Σειράς Προβλημάτων 1 Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Σελίδα 5
CNF_rec(( (p ( q r)) ( q p r)) ( ( (q p ) r ) ( p (q r)) )) = = CNF_rec( (p ( q r)) (( q p) r)) CNF_rec( ((q p ) r) ( p (q r)) ) = Distr(CNF_rec(p ( q r)), CNF_rec(( q p) r)) Distr(CNF_rec( (q p ) r ), CNF_rec( p (q r))) = Distr(CNF_rec(p ( q r)), CNF_rec(( q p) r)) Distr(Distr(CNF_rec (q p ), CNF_rec( r)), Distr(CNF_rec( p), CNF_rec(q r))) = Distr((CNF_rec (p) CNF_rec( q r)),(cnf_rec( q) CNF_rec( p) CNF_rec(r))) Distr(Distr(Distr(q, p ), r), Distr( p, Distr(CNF_rec(q), CNF_rec(r)))) = Distr((p CNF_rec( q) CNF_rec( r)),( q p r)) Distr(Distr((q p ), r), Distr( p, Distr(q, r))) = Distr((p q r),( q p r)) Distr((q p r), Distr( p, (q r))) = Distr(p,( q p r)) Distr( q,( q p r)) Distr( r,( q p r)) Distr((q p r), ( p q r)) = Distr(p, q) Distr(p, p) Distr(p,r) Distr( q, q) Distr( q, p) Distr( q,r) Distr( r, q) Distr( r, p) Distr( r,r) (q p r p r) = (p q) (p p) (p r) ( q q) ( q p) ( q r) ( r q) ( r p) ( r r) (q p r p r) Εφόσον έχουμε τουλάχιστον 1 όρο ο οποίος δεν είναι ταυτολογία, η πρόταση δεν είναι έγκυρη. Άσκηση 6 Κανόνες εισαγωγής:,, i 1 i 1 Κανόνες απαλοιφής:,,, e3, e4 Λύσεις Σειράς Προβλημάτων 1 Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Σελίδα 6
Ορθότητα Κανόνα. Θέλουμε να δείξουμε ότι κάθε φορά που χρησιμοποιούμε τον κανόνα αυτό το συμπέρασμα είναι έγκυρο με βάση τη σημασιολογία του τελεστή xor. Η απόδειξη ακολουθεί την απόδειξη της ορθότητας των κανόνων του Προτασιακού Λογισμού. Για το βήμα της επαγωγής πρέπει να δείξουμε ότι αν Φ φ και Φ ψ τότε Φ φ xor ψ. Από την υπόθεση της επαγωγής Φ φ και Φ ψ. Επιπλέον, θα πρέπει να δείξουμε ότι Φ,φ, ψ φ xor ψ. Αυτό ισχύει αν σε κάθε γραμμή που είναι αληθείς οι προτάσεις φ, ψ είναι αληθής και η φ xor ψ. Από τον πίνακα αλήθειας του τελεστή xor, όπως φαίνεται και πιο κάτω, αυτό είναι αληθές. φ ψ φ xor ψ T T F T F T F T T F F F Παρόμοια, μπορεί να δειχθεί και η ορθότητα των υπόλοιπων κανόνων. Συνεχίζουμε με την απόδειξη του ζητούμενου επακόλουθου χρησιμοποιώντας, ανάμεσα σε άλλους, τους καινούριους κανόνες. (p q) r, r s, q xor s, ( s xor q) p p xor q 1. (p q) r προϋπόθεση 2. r s προϋπόθεση 3. q xor s προϋπόθεση 4. ( s xor q) p προϋπόθεση 5. q q LEM 6. q πρ. υπόθεση q πρ. υπόθεση 7. s xor e1 2, 6 s xor e3 3, 6 8. r MT 2, 7 s i 7 9. (p q) MT 1, 7 s xor q xor i2 8, 6 10. p πρ. υπόθεση p MP 4, 9 11. p q i 10, 6 p xor q xor i1 10, 6 12. i 9, 11 13. p i 10, 12 14. p xor q xor i2 6, 13 15. p xor q e 5, 6-14 Λύσεις Σειράς Προβλημάτων 1 Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Σελίδα 7