ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Αρχική Συνάρτηση του κεφ.3.1 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].

Σχετικά έγγραφα
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Αρχική Συνάρτηση του κεφ.3.1 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ [Κεφάλαιο 2.1: Πρόβλημα εφαπτομένης του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β

3. lim [f(x) g(x)] = lim f(x) lim g(x) x xo x xo x xo x xo x xo v f(x) lim f(x) x xo lim = x xo g(x) lim g(x) x xo v lim [f(x)] = lim f(x) 6. li

ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Κεφάλαιο 2ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 2ο ΜΕΡΟΣ

ΘΕΩΡΙΑ 1ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ (χωρίς αποδείξεις) ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΑ- ΣΥΝΕΧΕΙΑ 1. Να δώσετε τον ορισμό της συνάρτησης

Διαγώνισμα Προσομοίωσης Εξετάσεων 2017

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ.2.5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ - ΟΡΙΣΜΟΣ

ΤΟ ΘΕΜΑ Α ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

1.3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. 1. Ορισµός της παραγώγου συνάρτησης

KEΦΑΛΑΙΟ 1ο : Διαφορικός Λογισμός

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ.2.5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ. Εµβαδά., x 1 x f

Σημειώσεις Μαθηματικών 2

Διαφορικός Λογισμός. Κεφάλαιο Συναρτήσεις. Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. 1. Τι ονομάζουμε συνάρτηση;

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ - ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ.3.7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Πέμπτη 3 Ιανουαρίου 2019 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΘΕΜΑΤΑ

lim είναι πραγµατικοί αριθµοί, τότε η f είναι συνεχής στο x 0. β) Να εξετάσετε τη συνέχεια της συνάρτησης f (x) =

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

Ερωτήσεις ανάπτυξης. α) να βρείτε το σηµείο x 0. β) να αποδείξετε ότι η κλίση της εφαπτοµένης της

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 7: ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΕΛΕΤΗΣ Πότε μια συνάρτηση λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της?

ΘΕΜΑ Α Α1. Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν F είναι μια παράγουσα της f στο Δ, να αποδείξετε ότι:


ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ - ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. η τιμή της συνάρτησης είναι μεγαλύτερη από την τιμή της σε κάθε γειτονικό σημείο του x. . Γενικά έχουμε τον ακόλουθο ορισμό:

( ) ( ) ɶ = = α = + + = = z1 z2 = = Οπότε. Έχουµε. ii) γ) 1ος Τρόπος. Οπότε Ελάχιστη απόσταση είναι:

ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ÏÅÖÅ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΣΤΑΘΕΡΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Το Θεώρημα και το Πόρισμα ισχύουν σε διαστήματα και όχι σε ένωση διαστημάτων.

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗΣ - ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΑ ΟΡΙΑ - ΟΡΙΟ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

f κυρτή στο [1,5] f x x f η Επαναληπτική f [ 2,10], επιπλέον για την f ισχύουν lim 2 x f 8 1,0 και

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. Μονάδες 9 B. Έστω μια συνάρτηση f και x o ένα σημείο του πεδίου ορισμού της. Πότε θα λέμε ότι η f είναι συνεχής στο x o ; Μονάδες 6

Ασκήσεις. g x α β συν α β x, α,β 0. Αν οι. π π Α f g 3 4. α) Να βρείτε την μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της f καθώς και την περίοδο της f.

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (1η σειρά)

Ο Λ Ο Κ Λ Η Ρ Ω Μ Α Τ Α

Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Εποµένως η f είναι κοίλη στο διάστηµα (, 1] και κυρτή στο [ 1, + ).

Διαφορικόσ Λογιςμόσ. Παράγωγοσ. Εξίςωςη εφαπτομένησ όταν γνωρίζουμε το ςημείο επαφήσ

Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής

Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Πέμπτη 20 Απριλίου 2017 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΛΥΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ 5 05/05/2016 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

Θεώρημα Bolzano. Γεωμετρική Ερμηνεία του θ.bolzano. Θ. Bolzano και ύπαρξη ρίζας

Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α I E Π Α Λ

2.3. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας A Οµάδας. Να βρείτε την παράγωγο των συναρτήσεων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ [Κεφ. 2.4: Ρυθμός Μεταβολής του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.)

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ.2.5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 10: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ.2.6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].

ln 1. ( ) vii. Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη C f, τον άξονα η οποία είναι συνεχής στο και για την οποία ισχύει

ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE

ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ

Οι ασκήσεις βασίζονται στο αξιόλογο φυλλάδιο του Μαθηματικού Μιλτ. Παπαγρηγοράκη, από τις σημειώσεις του για το 4ο Γενικό Λύκειο Χανίων [ <

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 10: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ

(, ) ( x0, ), τότε να αποδείξετε ότι το. x, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Αν f ( x) 0 στο

ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE. τέτοιο ώστε. στο οποίο η εφαπτομένη είναι παράλληλη στον άξονα χχ. της γραφικής παράστασης της f x με. Κατηγορίες Ασκήσεων

ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΕΞΙ (6) Α1.i. Να διατυπώσετε το θεώρημα ενδιαμέσων τιμών (Μονάδες 2) και στη

1, x > 0 η οποία είναι συνεχής και παραγωγίσιμη σε κάθε ένα από τα διαστήματα (, 0) και (0, + ) του πεδίου ορισμού της D f = R.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

ΟΜΟΣΠΟΝΔΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑΔΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2019 A ΦΑΣΗ

Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΚΕΦΑΛΑΙΟ. 1 ο :Μιγαδικοί Αριθµοί

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ & ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

Ημερομηνία: Πέμπτη 5 Ιανουαρίου 2017 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 7: ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΕ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ


ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1 η εκάδα

ΜΑΘΗΜΑ ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ Κοίλα κυρτά συνάρτησης Σηµεία καµπής Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις

ÈÅÌÁÔÁ 2003 ÏÅÖÅ ( ) ) ( x ) ( ) Β. α) Για α=1 έχουµε: max. Η x= 0 είναι κατακόρυφη ασύµπτωτη και η y= 0 οριζόντια ασύµπτωτη.

Πανελλαδικές εξετάσεις Μαθηµατικά Προσανατολισµού Γ Λυκείου. Ενδεικτικές Απαντήσεις ϑεµάτων. Θέµα Β. (α) ϑεωρία. (ϐ) i, ii) ϑεωρία.

Κατηγορία 1 η. Σταθερή συνάρτηση Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f : 0, f '( x) 0 για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ

2011 ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Γ 1. Δίνεται η συνάρτηση f: δύο φορές παραγωγίσιμη στο, με f (0) = f(0) = 0, η οποία ικανοποιεί τη σχέση:

Κεφάλαιο 3ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1o ΜΕΡΟΣ

Συνέχεια συνάρτησης Σελ 17. Η απόδειξη ύπαρξης ρίζας εξίσωσης (τουλάχιστον μία) σε

Θέματα. Α1. Να δώσετε τον ορισμό της συχνότητας και της σχετικής συχνότητας μιας παρατήρησης x i. Σ Λ

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( ΘΕΡΙΝΑ )

Σημαντικές παρατηρήσεις

3o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 2016

f( ) + f( ) + f( ) + f( ). 4 γ) υπάρχει x 2 (0, 1), ώστε η εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης της

********* Β ομάδα Κυρτότητα Σημεία καμπής*********

f (x) g(h) = 1. f(x + h) f(x) f(x)f(h) f(x) = lim f(x) (f(h) 1) = lim = lim = lim f(x)g(h) g(h) = f(x) lim = f(x) 1 = f(x)

f (x) 2e 5(x 1) 0, άρα η f

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2019 ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

2η ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ

1. Θεωρήματα Διαφορικού Λογισμού

Πες το με μία γραφική παράσταση

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2018 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ( ) ( ) ( ) α β, παραγωγίσιμη στο ( ) β με. β α β α. f β f α. g ( ξ ) = 0, δηλαδή

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου

ΛΥΣΕΙΣ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΤΡΙΑΚΟΣΤΟ ΕΚΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης.

ΛΥΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ 5 05/05/2016 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

5ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Θέμα A

Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ windowslive. com.

Transcript:

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Αρχική Συνάρτηση του κεφ.3. Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση. ΘΕΜΑ Β π Για κάθε μία από τις παρακάτω συναρτήσεις με πεδίο ορισμού το D = 0,, να βρείτε την παράγουσα συνάρτηση της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται από το σημείο A,0. i. f(x) = + ηµ x ηµ x 3x ii. f(x)= +3εϕx συν x i. Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της, ως πράξεις συνεχών συναρτήσεων, συνεπώς έχει αρχική συνάρτηση. Αναζητούμε αρχικά μια συνάρτηση F, τέτοια ώστε να ισχύει F (x) = f(x). Παρατηρούμε ότι μια τέτοια συνάρτηση είναι η F(x)=-σφx+συν -x -x, διότι π π F (x)= -σϕx+ συν -x -x = + ηµ -x - = f(x) 4. ηµ x Γνωρίζουμε ότι κάθε άλλη αρχική G της f παίρνει τη μορφή G(x) = F(x) + c, c. Δηλαδή G(x)=-σφx+συν -x -x+c. Για να υπολογίσουμε τη σταθερά c αξιοποιούμε το δεδομένο ότι η γραφική παράσταση της αρχικής που αναζητούμε διέρχεται από το σημείο Α,0, δηλαδή θα ισχύει G =0. π Έχουμε G π =0 - π + - π σϕ συν - π +c = 0 c = π. 4 4 4 Τελικά η ζητούμενη συνάρτηση είναι η π G(x)=-σφx+συν -x -x+.

ii. Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της, ως πράξεις συνεχών συναρτήσεων, συνεπώς έχει αρχική συνάρτηση. Αναζητούμε αρχικά μια συνάρτηση F, τέτοια ώστε να ισχύει F (x) Παρατηρούμε ότι μια τέτοια συνάρτηση είναι η F(x)=3xεφx, διότι 3x F (x)= ( 3xεϕx ) = +3εϕ x = f(x) συν x = f(x). Γνωρίζουμε ότι κάθε άλλη αρχική G της f παίρνει τη μορφή G(x) = F(x) + c, c. Δηλαδή G(x)=3xεφx+c. Για να υπολογίσουμε τη σταθερά c αξιοποιούμε το δεδομένο ότι η γραφική παράσταση της αρχικής που αναζητούμε διέρχεται από το σημείο Α,0, δηλαδή θα ισχύει G =0. π π 3π Έχουμε G =0 3 εϕ +c = 0 c =. 4 4 4 Τελικά η ζητούμενη συνάρτηση είναι η 3π G(x)=3xεφx. 4

Άσκηση. Να βρείτε τη συνάρτηση f :(0, + ) για την οποία ισχύει f( ) = 0. x +x- x +3 f (x) = και x Μετασχηματίζουμε τον τύπο της f, ώστε να εμφανιστούν κατάλληλες συναρτήσεις, ως εξής: x +x- x +3 x x x 3-3 f (x) = = + - + =x+-x +, άρα x x x x x x Είναι f () = 0 +- +3ln+c=0 c=0. Επομένως ο τύπος της ζητούμενης συνάρτησης είναι f (x) = x + x x + 3lnx + c. f (x) = x + x x + 3ln x. 3

Άσκηση 3. Η επιτάχυνση ενός σώματος σε χρόνο t sec δίνεται από τη συνάρτηση για 0 t 5. α (t) = +m/sec t+ Να βρείτε την ταχύτητα του σώματος για t = sec αν η αρχική ταχύτητα του σώματος είναι μηδέν. Η συνάρτηση της ταχύτητας του σώματος είναι η παράγουσα της συνάρτησης α(t), οπότε U ( t ) = ln(t + ) + t + c. Αφού U( 0) = 0 τότε θα είναι c= 0, δηλαδή U ( t ) = ln(t + ) + t. Έτσι U() = ln + m/sec. 4

ΘΕΜΑ Γ Άσκηση. για την οποία ισχύει f( 0) = 0και f( ) =. Nα Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : xo x 0, για το οποίο ισχύει f (x ) = e + e. αποδείξετε ότι υπάρχει ( ) 0 0 g(x) = f(x) e e x με D g =, η οποία είναι συνεχής στο [0,], ως πράξεις συνεχών συναρτήσεων, παραγωγίσιμη στο (0,), ως πράξεις x παραγωγίσιμων συναρτήσεων, με παράγωγο g (x) = f (x) e + e. Για την οποία x Θεωρούμε τη συνάρτηση ( ) διαπιστώνουμε ότι ισχύει g0 ( ) = g ( ) =. Άρα από το θεώρημα Rolle προκύπτει ότι υπάρχει x ( 0,) δηλαδή = +. x o f (x 0) e e 0 για το οποίο ισχύει g (x o) = 0, 5

Άσκηση. Δίνεται η συνάρτηση f (x) = xlnx x, x > 0. i. Να αποδείξετε ότι f (x) = lnx. ii. Να βρείτε τη συνάρτηση g :(0, + ) για την οποία ισχύει g (x) = lnx και η γραφική της παράσταση έχει σε ένα σημείο της εφαπτομένη την ευθεία y= 3. i. Η f είναι παραγωγίσιμη στο D ( 0, ) ( 0, + ), με f = +, ως πράξεις παραγωγίσιμων συναρτήσεων στο f (x)=(xlnx-x) = lnx+x -=lnx. x ii. Μία παράγουσα της συνάρτησης g είναι η f, οπότε η g έχει τύπο g(x) = xlnx x + c ( c σταθερά). Η y= 3 έχει συντελεστή διεύθυνσης μηδέν, άρα αναζητούμε σημείο της γραφικής παράστασης της g στο οποίο η εφαπτομένη να είναι παράλληλη στον xx. g (x) = 0 ln x = 0 x = και φυσικά το ζητούμενο σημείο είναι το Α(,-3) αφού είναι κοινό σημείο της συνάρτησης και της εφαπτομένης. Έτσι θα ισχύει g ( ) = 3, άρα c= και τελικά g(x) = xlnx x. 6

Άσκηση 3. Για μία συνάρτηση f: ισχύει = + για κάθε x και x f (x) e f(x) lim = 3. x x i. Να βρείτε το lim f (x). x ii. Να βρείτε τον τύπο της f. i. Θεωρούμε τη συνάρτηση g(x) f(x) x =, D = { } g. Τότε θα ισχύει f(x) g(x)(x ) =. Οπότε [ ] limf(x) = lim g(x)(x ) = 3 0 = 0. x x ii. Αφού = + τότε x f (x) e x f (x) e x c = + +. Η f είναι συνεχής ως παραγωγίσιμη άρα f() = limf(x) = 0. x Αντικαθιστούμε στον τύπο της f και παίρνουμε c= 5 και τελικά x f (x) e x 5 = +. 7

ΘΕΜΑ Δ Άσκηση. Για τη συνάρτηση f : ισχύουν f( 0) = 0, f(x) ηµ x για κάθε x και f (x) =, για κάθε x. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f έχει τύπο f(x) = x + x για κάθε x. Θεωρούμε τη συνάρτηση g(x) = f(x) ηµ x, με D g =. Τότε θα ισχύει: g(x) 0 για κάθε x () και επειδή g(0) = f (0) ηµ 0 = 0 (), από τις σχέσεις () και () έχουμε g(x) g( 0) για κάθε x. Η παραπάνω σχέση μας πληροφορεί ότι η g παρουσιάζει ελάχιστο στο x = 0 και η g είναι παραγωγίσιμη σ αυτό το εσωτερικό σημείο του πεδίου ορισμού της, έτσι από το θεώρημα Fermat προκύπτει ( ) ( ) f ( 0) = (3). g 0 = 0 f 0 συν 0 = 0 Όμως δίνεται f ( x) = για κάθε x, άρα f ( x) x c παίρνουμε c =, δηλαδή ( ) f x = x +. = + και λόγω της σχέσης (3) Τότε θα είναι f( x) = x + x+ c και με δεδομένο f( 0) = 0 συμπεραίνουμε c = 0, δηλαδή ο τύπος της f είναι f(x) = x + x για κάθε x. Ημερομηνία τροποποίησης: 5/9/0 8