ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ Β. Α. ΑΓΓΕΛΗΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ Β. Α. ΑΓΓΕΛΗΣ ΧΙΟΣ 009

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. Ειαγωγή... 3. ιαιθητική ειγµατοληψία... 6 3. ειγµατοληψία Κατά Πιθανότητα... 7 3.. Απλή Τυχαία ειγµατοληψία... 7 3.. Στρωµατοποιηµένη Τυχαία ειγµατοληψία... 3.3 Συτηµατική ειγµατοληψία... 3 3.4 ειγµατοληψία Κατά Οµάδες... 38 4. Αποτελεµατικότητα ειγµατοληπτικών Σχηµάτων... 46

. Ειαγωγή Στατιτική είναι η επιτήµη που αχολείται µε τη υλλογή, παρουίαη, επεξεργαία, ανάλυη και ερµηνεία αριθµητικών δεδοµένων τα οποία προέρχονται από παρατηρήεις και τα οποία αναφέρονται ε ιδιότητες φυικών, οικονοµικών και κοινωνικών φαινοµένων. Το ύνολο των παρατηρήεων που υνδέονται µε το φαινόµενο που θέλουµε να µελετήουµε ονοµάζεται πληθυµός (populato). Επειδή δε περιέχει όλες τις δυνατές παρατηρήεις ο πληθυµός αναφέρεται και επίης και ως ολότητα (uverse). Η ποότητα η οποία εκφράζει κάποιο χαρακτηριτικό του πληθυµού το οποίο θέλουµε να µελετήουµε ονοµάζεται παράµετρος (parameter). Σε αντίθεη µε τον πληθυµό που αχολείται από όλες τις δυνατές παρατηρήεις, το δείγµα (sample) περιέχει µόνο µερικές από τις παρατηρήεις. Είναι µε άλλα λόγια ένα υπούνολο του πληθυµού. Για τη υλλογή των πληροφοριών που απαιτούνται για τη διεξαγωγή µιας τατιτικής µελέτης µπορούµε να χρηιµοποιήουµε τόο την απογραφική όο και την δειγµατοληπτική µέθοδο. Με την απογραφική µέθοδο παίρνουµε πληροφορίες από κάθε τοιχείο του πληθυµού. Προφανώς µια τέτοια διαδικαία είναι εξαιρετικά χρονοβόρα και πολυδάπανη και γι αυτό πάνια χρηιµοποιείται την πράξη. Με τη δειγµατοληπτική µέθοδο, από την άλλη πλευρά παίρνουµε πληροφορίες από ένα δείγµα το οποίο περιέχει οριµένα µόνο τοιχεία του πληθυµού. Η δειγµατοληπτική µέθοδος είναι αφώς ταχύτερη και οικονοµικότερη της απογραφικής. Το ερώτηµα όµως που γεννιέται είναι αν τα υµπεράµατα που βαίζονται ε αυτή είναι εξίου αξιόπιτα µε τα υµπεράµατα που βαίζονται την απογραφή. Για να απαντηθεί το ερώτηµα αυτό θα πρέπει καταρχήν να διευκρινιθεί ότι µε οποιοδήποτε τρόπο και να επιλέξει κανείς τα τατιτικά τοιχεία αυτά θα περιέχουν κάποιο φάλµα. Τα φάλµατα διακρίνονται ε: - δειγµατοληπτικά και - µη δειγµατοληπτικά. Τα δειγµατοληπτικά φάλµατα υπάρχουν µόνο τις παρατηρήεις που υλλέγονται µε τη δειγµατοληπτική µέθοδο και οφείλονται ακριβώς το ότι οι παρατηρήεις αυτές δεν προέρχονται από όλες τις µονάδες του πληθυµού. Τα µη δειγµατοληπτικά φάλµατα παρατηρούνται τα τοιχεία που υλλέγονται και µε τις δύο µεθόδους και οφείλονται ε πολλούς παράγοντες όπως η αδύνατη µνήµη, η υτηµατική απόκρυψη τις αλήθειας και άλλες ειδικές υνθήκες. Η ύπαρξη ενός επιπλέον τύπου φάλµατος τα τοιχεία που υλλέγονται µε τη δειγµατοληπτική µέθοδο θα µπορούε ίως να θεωρηθεί ως ένδειξη ότι η µέθοδος 3

αυτή δειγµατοληψίας υτερεί ε αξιοπιτία. Τα πράγµατα όµως δεν είναι έτι. Αν ληφθεί υπόψη ότι από τη µία πλευρά εφαρµόζοντας ύγχρονες µεθόδους δειγµατοληψίας µπορούµε να µειώουµε το δειγµατοληπτικό φάλµα το ελάχιτο και ότι από την άλλη πλευρά οι δυνατότητες που υπάρχουν για περιοριµό του µη δειγµατοληπτικού φάλµατος είναι εκ των πραγµάτων πολύ µεγαλύτερες όταν επιλέγουνε τοιχεία παρά από τον πληθυµό υµπεραίνουµε ότι η δειγµατοληπτική µέθοδος δεν είναι µόνο ταχύτερη και οικονοµικότερη, αλλά κάτω από οριµένες υνθήκες, και πιο αξιόπιτη. Για αυτό ακριβώς το λόγο η χρήη της δειγµατοληψίας επεκτείνεται υνεχώς ε βάρος της απογραφής. Για να έχουν όµως τα τοιχεία που υλλέγονται µε τη δειγµατοληπτική µέθοδο τα παραπάνω πλεονεκτήµατα θα πρέπει το χρηιµοποιούµενο δείγµα να είναι αντιπροωπευτικό του πληθυµού. Ο βαθµός αντιπροωπευτικότητας ενός δείγµατος προδιορίζεται από δύο παράγοντες: - το µέγεθός του και - τον τρόπο επιλογής των µονάδων του. Το µέγεθος του δείγµατος προδιορίζεται µε βάη την αρχή ότι όο µεγαλύτερος είναι ο βαθµός διαποράς (ανοµοιογένειας) των τιµών του χαρακτηριτικού που εξετάζουµε µεταξύ τω µονάδων του πληθυµού τόο µεγαλύτερο πρέπει να είναι και το µέγεθος του δείγµατος. Ο τρόπος επιλογής των µονάδων του δείγµατος προδιορίζεται από την ανάγκη ελαχιτοποίηης του δειγµατοληπτικού φάλµατος και κατά υνέπεια της µεγιτοποίηης του βαθµού αντιπροωπευτικότητας του δείγµατος. Προκειµένου να επιλέξουµε από τον πληθυµό που µελετάµε το δείγµα που θα εξετάουµε πρέπει καταρχήν να ορίουµε τον πληθυµό αυτό ως ένα ύνολο επιµέρους µονάδων οι οποίες ονοµάζονται δειγµατοληπτικές µονάδες. Το ύνολο των δειγµατοληπτικών µονάδων που αντιτοιχούν τον εξεταζόµενο πληθυµό αποτελεί το πλαίιο δειγµατοληψίας. Ανάλογα µε το αντικείµενο της έρευνας η δειγµατοληπτική µονάδα µπορεί να αναφέρεται ε φυικά πρόωπα (π.χ. άνεργοι), ε αντικείµενα (π.χ. αυτοκίνητα ιδιωτικής χρήης) ή ε γεγονότα (π.χ. εργατικά ατυχήµατα). Επιπλέον πολλές φορές η δειγµατοληπτική µονάδα είναι τεχνητή µε την έννοια ότι καθορίζεται αποκλειτικά για τους κοπούς της υγκεκριµένης δειγµατοληψίας. Αν, για παράδειγµα, θέλουµε να πάρουµε δείγµα από το έδαφος µιας περιοχής χωρίζουµε την επιφάνεια του χάρτη της περιοχής ε µικρά τετράγωνα και επιλέγουµε κάποια από αυτά. Στην περίπτωη αυτή δειγµατοληπτική µονάδα είναι το κάθε τετράγωνο. Τέλος, ε οριµένες περιπτώεις η δειγµατοληπτική µονάδα µπορεί να µεταβάλλεται ως προς το µέγεθος ή τη ύνθεή της. Ο άνεργος, για παράδειγµα, ως δειγµατοληπτική µονάδα αποτελείται πάντα από ένα φυικό πρόωπο ενώ αντίθετα η οικογένεια, ως δειγµατοληπτική µονάδα αποτελείται από κυµαινόµενο αριθµό φυικών προώπων. Όπως ήδη αναφέρθηκε το ύνολο των δειγµατοληπτικών µονάδων που εξετάζουµε πληθυµού αποτελεί το πλαίιο δειγµατοληψίας. Προκειµένου ένα τέτοιο πλαίιο να µπορεί να χρηιµοποιηθεί ως βάη για τη δειγµατοληψία θα πρέπει να πληροί τις παρακάτω βαικές προϋποθέεις: 4

α. Να είναι πλήρες. β. Να είναι ακριβές. γ. Να είναι ενηµερωµένο. δ. Να µην έχει διπλές ή πολλαπλές εγγραφές. ε. Να µην έχει απροπέλατες µονάδες. Μετά τον προδιοριµό του πλαιίου δειγµατοληψίας ακολουθεί η λήψη του δείγµατος. Ο τρόπος επιλογής των επί µέρους µονάδων του δείγµατος καθορίζεται από το δειγµατοληπτικό χέδιο που θα επιλεγεί. Κύριος τόχος κάθε δειγµατοληπτικού χεδίου είναι να εξαφαλίζει δείγµα αντιπροωπευτικό του πληθυµού ο οποίος µελετάται, να αποτρέπει κάθε µεροληψία επιλογής και να µεγιτοποιεί την ακρίβεια των εκτιµήεων πάντοτε µέα τα πλαίια των πόρων που διατίθενται για το κοπό αυτό. Τα πιο γνωτά δειγµατοληπτικά χέδια παρουιάζονται τη υνέχεια. 5

. ιαιθητική ειγµατοληψία Μερικά δειγµατοληπτικά χέδια έχουν διαιθητική βάη. Αναπτύχθηκαν για να αντιµετωπίουν υγκεκριµένα προβλήµατα, εξελίχθηκαν όµως ε δηµοφιλή χέδια και είναι αρκετά διαδεδοµένα. Σ αυτά περιλαµβάνονται τα ακόλουθα: ειγµατοληψία Ευκολίας (Coveece Samplg) Στην περίπτωη αυτή το δείγµα επιλέγεται από ένα τµήµα του πληθυµού το οποίο υπάρχει εύκολη πρόβαη. Είναι προφανές ότι ένα τέτοιο δείγµα δεν µπορεί να είναι αντιπροωπευτικό του πληθυµού από τον οποίο προέρχεται. Κατά υνέπεια, ο βαθµός αξιοπιτίας των υµπεραµάτων που µπορεί κανείς να βγάλει µε βάη το δείγµα αυτό είναι περιοριµένος. ειγµατοληψία Κρίης ή Σκοπιµότητας (Judgmetal Samplg) Στην περίπτωη αυτή το δείγµα επιλέγεται υποκειµενικά και περιέχει µονάδες οι οποίες κατά την αντίληψη του ερευνητή είναι αντιπροωπευτικές του πληθυµού. ειγµατοληψία τέτοιου τύπου χρηιµοποιείται κυρίως ε περιπτώεις που ο πληθυµός από τον οποίο λαµβάνεται το δείγµα αποτελείται από διαφορετικούς τύπους µονάδων. ειγµατοληψία µε Προκαθοριµένα Ποοτά (Quοta Samplg) Το ειγµατοληπτικό αυτό χήµα είναι αποτέλεµα υνδυαµού της κρίης του ερευνητή και της πρόβαης του τις µονάδες του πληθυµού. Χρηιµοποιείται όπως και το προηγούµενο όταν ο πληθυµός αποτελείται από µονάδες που ανήκουν ε διαφορετικές κατηγορίες και µπορεί να θεωρηθεί ως αναλογική εκπροώπηη το δείγµα των επί µέρους κατηγοριών του πληθυµού. 6

3. ειγµατοληψία Κατά Πιθανότητα Τα δειγµατοληπτικά χέδια που περιγράφηκαν παραπάνω µπορούν, εφόον η κρίη και η διαίθηη του ερευνητή είναι ωτή, να δώουν αντιπροωπευτικά δείγµατα τα οποία θα οδηγήουν ε χρήιµα υµπεράµατα. Από την άλλη πλευρά παρουιάζουν ένα ηµαντικό µειονέκτηµα. Το γεγονός ότι τερούνται του τοιχείου της τυχαιότητας κατά την επιλογή των µονάδων τους ηµαίνει ότι δεν υπάρχει µέτρο ύγκριης της αντιπροωπευτικότητας, καταλληλότητας και ακριβείας των εκτιµητριών που θα βαιτούν ε δείγµατα που έχουν ληφθεί µέω των χεδίων αυτών. Για να ξεπεραθεί το πρόβληµα αυτό πρέπει το δείγµα να επιλέγεται ύµφωνα µε κάποιο µηχανιµό πιθανότητας (probablty mechasm). Στην περίπτωη αυτή η δειγµατοληψία ονοµάζεται ειγµατοληψία κατά Πιθανότητα (Ρrοbablty Samplg). Η ειαγωγή ενός τέτοιου µηχανιµού µπορεί να γίνει ως εξής: Έτω Ν το µέγεθος του πληθυµού, το µέγεθος του δείγµατος που θέλουµε να επιλέξουµε από αυτόν και S,,,... όλα τα δυνατά δείγµατα µεγέθους τα οποία µπορούν να επιλεγούν από τον πληθυµό αυτό. Η ειγµατοληψία κατά πιθανότητα βαίζεται την αντιτοίχιη µιας πιθανότητας π ε κάθε δείγµα S και τη υνέχεια επιλογή ενός δείγµατος ύµφωνα µε ένα µηχανιµό πιθανότητας ο οποίος εξαφαλίζει το δείγµα S πιθανότητα επιλογής π. Προφανώς υπάρχει απειρία διαφορετικών δειγµατοληπτικών χεδίων τα οποία αντιτοιχούν τις διαφορετικές κατανοµές πιθανότητας π {π, π, }που µπορούν να οριθούν πάνω το ύνολο των δυνατών δειγµάτων {S, S, }. Μερικά από τα ευρύτερα χρηιµοποιούµενα χήµατα θα παρουιαθούν τη υνέχεια και θα υγκριθούν ως προς την ακρίβεια της εκτίµηης οριµένων παραµέτρων τις οποίες υνήθως υγκεντρώνεται το ενδιαφέρον των ερευνητών. Οι παράµετροι αυτές είναι οι ακόλουθες: - Μέη τιµή ενός χαρακτηριτικού του πληθυµού. - Συνολικό µέγεθος ενός χαρακτηριτικού του πληθυµού. - Λόγος των µέων τιµών ή των υνολικών µεγεθών δύο χαρακτηριτικών του πληθυµού. - Ποοτό ή αριθµός µονάδων του πληθυµού που ανήκουν ε κάποια κατηγορία. Τέλος για κάθε δειγµατοληπτικό χέδιο θα προδιοριθεί το µέγεθος του δείγµατος που θα πρέπει να ληφθεί από τον πληθυµό ώτε µε πιθανότητα -α το φάλµα που κάνει ο ερευνητής εκτιµώντας την άγνωτη τιµή ενός χαρακτηριτικού του πληθυµού µε κάποια υνάρτηη του δείγµατος να µην υπερβαίνει µια προκαθοριµένη τιµή e. 3.. Απλή Τυχαία ειγµατοληψία Η Απλή Τυχαία ειγµατοληψία (Smple Radom Samplg) είναι η απλούτερη µορφή δειγµατοληψίας κατά πιθανότητα. Χρηιµοποιείται ευρύτατα και επιπλέον αποτελεί τη βάη για κάποια πιο ύνθετα δειγµατοληπτικά χήµατα τα οποία θα εξετάουµε τη υνέχεια. Αν Ν είναι το µέγεθος του πληθυµού και το µέγεθος του δείγµατος που θέλουµε να επιλέξουµε τότε το πλήθος όλων των δυνατών διακεκριµένων δειγµάτων είναι: 7

! ( )...( + )!( )! Απλή Τυχαία ειγµατοληψία ονοµάζεται η διαδικαία επιλογής ενός από τα δυνατά δείγµατα αν καθένα από αυτά έχει πιθανότητα επιλογής ίη µε Στην πράξη όµως δεν είναι πάντα εύκολος ο χηµατιµός όλων των δυνατών δειγµάτων, ιδιαίτερα όταν το µέγεθος του πληθυµού Ν είναι µεγάλο. Στις περιπτώεις αυτές επιλέγονται διαδοχικά µονάδες από τον πληθυµό µε τυχαίο τρόπο, δηλαδή µε τρόπο που εξαφαλίζει την ίδια πιθανότητα επιλογής για κάθε µία από τις Ν µονάδες του πληθυµού. Αυτό γίνεται ως εξής: α. Αντιτοιχούµε ε κάθε µονάδα του πληθυµού έναν αριθµό από µέχρι το Ν. β. Επιλέγουµε µια ειρά τυχαίων αριθµών µεταξύ και Ν µε τη βοήθεια του Πίνακα Τυχαίων Αριθµών. Εύκολα µπορεί να αποδειχθεί ότι και µε τον τρόπο αυτό καθένα από τα διακεκριµένα δείγµατα έχει πιθανότητα επιλογής. Εδώ θα πρέπει να ηµειωθεί ότι το δειγµατοληπτικό χέδιο που µόλις περιγράφτηκε κάθε µονάδα αποµακρύνεται από το πληθυµό µετά την επιλογή της. Για το λόγο αυτό η δειγµατοληψία αυτή ονοµάζεται και Απλή Τυχαία ειγµατοληψία χωρίς επανάθεη. Σε οριµένες όµως περιπτώεις η µονάδα του πληθυµού που επιλέγεται ε κάθε δοκιµή επανατοποθετείται τον πληθυµό. Στην περίπτωη αυτή η δειγµατοληψία ονοµάζεται Απλή Τυχαία ειγµατοληψία µε επανάθεη και προφανώς δίνει τη δυνατότητα επιλογής της ίδιας µονάδας του πληθυµού το δείγµα περιότερες από µία φορές. Επειδή ο υπολογιµός οριµένων εκτιµητριών είναι ευκολότερος την περίπτωη δειγµατοληψίας µε επανατοποθέτηη η τεχνική αυτή χρηιµοποιείται µερικές φορές ε υνθετότερα δειγµατοληπτικά χήµατα. Στις ενότητες που ακολουθούν µε τον όρο Απλή Τυχαία ειγµατοληψία θα εννοούµε Απλή Τυχαία ειγµατοληψία χωρίς επανάθεη εκτός αν ρητά αναφέρεται κάτι διαφορετικό. Μετά την παρουίαη της µεθοδολογίας της Απλής Τυχαίας ειγµατοληψίας θα τη χρηιµοποιήουµε για την εκτίµηη των παραµέτρων ενός πληθυµού. Για οµοιοµορφία την παρουίαη οι τιµές των Ν µονάδων του πληθυµού που αναφέρονται ε κάποιο υγκεκριµένο χαρακτηριτικό του θα υµβολίζονται µε µικρά γράµµατα x, x,, x Ν ενώ οι αντίτοιχες τιµές των µονάδων ενός δείγµατος µεγέθους από τον πληθυµό αυτό µε κεφαλαία γράµµατα Χ, Χ,, Χ. Τέλος η εκτιµήτρια µιας παραµέτρου θ ενός πληθυµού υµβολίζεται µε ˆΘ. 8

Α. Εκτίµηη Παραµέτρων α. Εκτίµηη του µέου ενός πληθυµού Έτω πληθυµός µεγέθους Ν και Χ το χαρακτηριτικό του οποίου τη µέη τιµή µ x (.) θέλουµε να εκτιµήουµε. Λαµβάνουµε απλό τυχαίο δείγµα µεγέθους και έτω Χ, Χ,, Χ οι τιµές του χαρακτηριτικού αυτού για τις µονάδες του δείγµατος. Αποδεικνύεται ότι: - Ο µέος (.) του τυχαίου δείγµατος είναι αµερόληπτη εκτιµήτρια της µέης τιµής µ του πληθυµού. - Η διακύµανη του µέου είναι: V ( ) (.3) όπου x µ (.4) ( ) είναι η διακύµανη του πληθυµού - Το τυπικό φάλµα του µέου είναι: (.5) Στην περίπτωη που ο πληθυµός είναι πεπεραµένος και το µέγεθος του δείγµατος είναι µεγάλο ε χέη µε το µέγεθος Ν του πληθυµού (δηλαδή αν / f 0.05 ή ε οριµένες περιπτώεις αν / f 0.0) τότε τον υπολογιµό της διακύµανης και κατά υνέπεια και του τυπικού φάλµατος του 9

µέου υπειέρχεται και ο παράγοντας -f -/ (-)/ ο οποίος ονοµάζεται διορθωτικός παράγοντας πεπεραµένου πληθυµού. Κατά υνέπεια την περίπτωη αυτή οι τύποι (.3) και (.5) γίνονται αντίτοιχα: V ( ) ( ) ( f ) (.6) f (.7) Η γνώη του τυπικού φάλµατος µιας εκτίµηης είναι πολύ ηµαντική για δύο λόγους:. Επιτρέπει τη µέτρηη του βαθµού ακρίβειας της εκτίµηης αυτής και τη ύγκριη του µε το βαθµό ακρίβειας που παρέχει οποιοδήποτε άλλο δειγµατοληπτικό χήµα.. ίνει τη δυνατότητα εκτίµηης του µεγέθους του δείγµατος που απαιτείται ε µια δειγµατοληπτική έρευνα ώτε να επιτευχθεί ο επιθυµητός βαθµός ακρίβειας. Όπως φαίνεται από τους τύπους (.5) και (.7) για τον υπολογιµό του τυπικού φάλµατος του µέου είναι απαραίτητη η γνώη της τιµής του. Στην πράξη όµως το πάνια είναι γνωτό και για το λόγο αυτό απαιτείται µια εκτίµηης του. Στην περίπτωη αυτή ως αµερόληπτη εκτιµήτρια του χρηιµοποιείται η υνάρτηη: ( ) (.8) S οπότε οι τύποι (.3), (.5), (.6) και (.7) γίνονται αντίτοιχα: S V( ) S (.9) S S (.0) S Vˆ( ) S ( f ) (.) και S S f (.) 0

Το S ονοµάζεται εκτιµήτρια του τυπικού φάλµατος εκτίµηης του. Στο ηµείο αυτό θα πρέπει να ηµειωθεί ότι τις επόµενες ενότητες οι τύποι της διακύµανης και του τυπικού φάλµατος εκτίµηης των παραµέτρων θα δίνονται, εκτός οριµένων εξαιρέεων, µόνο για την περίπτωη f / < 0.05. Οι τύποι που ιχύουν για f / 0.05 προκύπτουν από αυτούς, αν τους πολλαπλαιάουµε µε (-f) την περίπτωη της διακύµανης f την περίπτωη του τυπικού φάλµατος. β. Εκτίµηη του υνολικού µεγέθους κάποιου χαρακτηριτικού ενός πληθυµού Έτω πληθυµός µεγέθους Ν και Χ το χαρακτηριτικό του οποίου το υνολικό µέγεθος x x (.3) θέλουµε να εκτιµήουµε. Λαµβάνουµε απλό τυχαίο δείγµα Χ, Χ,., Χ µεγέθους από τον πληθυµό και έτω ο µέος του. Αποδεικνύεται ότι η τατιτική υνάρτηη: ˆ (.4) είναι αµερόληπτη εκτιµήτρια του υνολικού µεγέθους x. Η διακύµανη της ˆ, ύµφωνα µε τα όα αναφέρθηκαν παραπάνω είναι: ˆ V ( ) V ( ) V ( ) ( ˆ V ) (.5) Το τυπικό φάλµα της ˆ, ύµφωνα µε τα όα αναφέρθηκαν την προηγούµενη ενότητα, είναι: ˆ (.6)

Επειδή όµως την πράξη το πανίως είναι γνωτό χρηιµοποιούµε αντί γι αυτό την αµερόληπτη εκτιµήτρια του S. Έτι η εκτιµήτρια του τυπικού φάλµατος εκτίµηης της ˆ είναι: S ˆ s (.7) γ. Εκτίµηη Λόγου Έτω πληθυµός µεγέθους Ν και Χ, Υ δύο διαφορετικά χαρακτηριτικά των µονάδων του. Τα, (.8) x x, Y Y εκφράζουν τα υνολικά µεγέθη των δύο αυτών χαρακτηριτικών και τα, x µ x µ, Y Y (.9) τις αντίτοιχες µέες τιµές τους. Ο λόγος που θέλουµε να εκτιµήουµε είναι: y Y R x ηλαδή, y µ R x µ y (.0) x Λαµβάνουµε δύο απλά τυχαία δείγµατα µεγέθους,,, και Y, Y,, Y από τους αντίτοιχους πληθυµούς και έτω και Y οι δειγµατικοί µέοι τους. Αποδεικνύεται ότι, για µεγάλα η τατιτική υνάρτηη:

Y ˆ R Y (.) είναι αµερόληπτη εκτιµήτρια του λόγου Y µ µ y x (Σηµειώνεται ότι για µικρά η ˆR δεν είναι αµερόληπτη εκτιµήτρια του R). Η διακύµανη της R είναι: V ( Rˆ ) ( y Rx ) ( ) µ x (.) Επειδή όµως το R δεν είναι υνήθως γνωτό αντί της V( ˆR ) χρηιµοποιούµε την εκτιµήτρια V ˆ ( R ˆ ) που δίνεται από τη χέη: ( Y ˆ ˆ ˆ R ) Y R Y+ R Rˆ Vˆ ( Rˆ ) S ( ) ( ) (.3) Άρα η εκτιµήτρια του τυπικού φάλµατος εκτίµηης του ˆR είναι: S ˆ ˆ Y R Y+ R Rˆ ( ) (.4) δ. Εκτίµηη Μέων Τιµών και Συνολικών Μεγεθών Υποπληθυµών Έτω πληθυµός µεγέθους Ν από τον οποίο επιλέγεται δείγµα µεγέθους. Έτω ακόµη Ν 0 από τις µονάδες του πληθυµού αυτού ανήκουν ε ένα υπούνολο του και έτω 0 ο αριθµός των µονάδων του δείγµατος που ανήκουν το υπούνολο αυτό. Στην περίπτωη αυτή αποδεικνύεται ότι το υπούνολο των 0 µονάδων του αρχικού δείγµατος µεγέθους αποτελεί ένα απλό τυχαίο δείγµα από τον υποπληθυµό των Ν 0 µονάδων και ιχύει: 3

0 E 0 Η πρόταη αυτή έχει µεγάλη πρακτική ηµαία γιατί δίνει τη δυνατότητα τους ερευνητές να χρηιµοποιούν πληροφορίες από το αρχικό δείγµα για τη υναγωγή υµπεραµάτων όχι µόνο για το υνολικό πληθυµό από τον οποίο επιλέχτηκε το δείγµα αλλά για οποιονδήποτε υποπληθυµό του. Οι υποπληθυµοί τους οποίος µπορεί να αναλυθεί ένας πληθυµός ονοµάζονται υνήθως περιοχές µελέτης. Έτω για παράδειγµα ένας πληθυµός µεγέθους Ν ο οποίος υποδιαιρείται ε υποπληθυµούς. Τότε κάθε µονάδα Χ, Χ,, Χ Ν του πληθυµού ανήκει ε έναν από τους υποπληθυµούς και ιχύει: + + + όπου το µέγεθος του υποπληθυµού. Έτω επιπλέον ένα τυχαίο δείγµα µεγέθους από τον πληθυµό αυτό. Προφανώς και κάθε µονάδα του δείγµατος ανήκει ε έναν από τους υποπληθυµούς και ιχύει: + + + όπου το µέγεθος του δείγµατος που οι µονάδες του ανήκουν τον υποπληθυµό. Όπως ήδη γνωρίζουµε η µέη τιµή του πληθυµού µεγέθους Ν δίνεται από τη χέη: µ x Αντίτοιχα, η µέη τιµή του υποπληθυµού δίνεται από τη χέη: µ x ( ) (.5) όπου µε x () υµβολίζονται οι µονάδες του αρχικού πληθυµού που ανήκουν το υποπληθυµό του. Αποδεικνύεται ότι: 4

- Η τατιτική υνάρτηη ( ) (.6) είναι αµερόληπτη εκτιµήτρια του µ, όπου µε () I υµβολίζονται οι µονάδες του δείγµατος που προέρχονται από τον υποπληθυµό. - Η διακύµανη του είναι V ( ) (.7) - Το τυπικό φάλµα του µέου είναι (.8) Στην πράξη όµως το πάνια είναι γνωτό και για το λόγο αυτό απαιτείται µια εκτίµηή του. Στην περίπτωη αυτή ως αµερόληπτη εκτιµήτρια του χρηιµοποιείται η υνάρτηη ( ) ( ) S (.9) Άρα η εκτιµήτρια του τυπικού φάλµατος εκτίµηης του. S S (.30) ή S S S f αν f (.3)., 0,05 Αν το Ν δεν είναι γνωτό χρηιµοποιείται αντί του λόγου / ο λόγος /. Στην περίπτωη αυτή ο τύπος (.3) γίνεται: 5

S S (.3) x ( ) ( ) x (.33) του υποπληθυµού χρηιµοποιείται η τατιτική υνάρτηη ˆ ( ) (.34) Σύµφωνα µε τα όα έχουν ήδη αναφερθεί το τυπικό φάλµα εκτίµηης του () είναι: S ˆ ( ) S (.35) Ο υπολογιµός του S x () από τον τύπο (.35) προϋποθέτει γνώη της τιµής του Ν το οποίο όµως την πράξη δεν είναι υνήθως γνωτό. Στις περιπτώεις αυτές ως εκτιµήτρια του x () χρηιµοποιείται αντί της χέης (.34) η υνάρτηη: ˆ ( ) ( ) (.36) Το τυπικό φάλµα της εκτίµηης είναι S S ˆ ( ) S S ˆ ( ), αν f 0,05 (.37) όπου S ( ) ( ) ( ) (.38) 6

ε. Εκτίµηη Ποοτών Έτω πληθυµός µεγέθους Ν και έτω p το ποοτό των µανάδων του που ανήκουν ε κάποια κατηγορία Α. Επιλέγουµε απλό τυχαίο δείγµα µεγέθους και έτω Χ ο αριθµός των µονάδων του δείγµατος που ανήκουν την κατηγορία Α. Με βάη την πληροφορία αυτή θέλουµε να εκτιµήουµε το p. Αποδεικνύεται ότι: - Η τατιτική υνάρτηη (.39) είναι αµερόληπτη εκτιµήτρια του ˆp. - Η διακύµανη του p είναι V ( ) p( p) (.40) Για τον υπολογιµό του V( ˆp ) πρέπει µα είναι γνωτό το p. Όταν όµως δεν είναι, χρηιµοποιείται αντί του V( ˆp ) η αµερόληπτη εκτιµήτριά του S ( ) (.4) - Άρα η εκτιµήτρια του τυπικού φάλµατος εκτίµηης του ˆp είναι S ( ) (.4) ή ( ) S ( ) ( f), αν f 0,05 Σε οριµένες περιπτώεις εκτός του p θέλουµε να εκτιµήουµε και το υνολικό αριθµό µονάδων, Ν Α, του πληθυµού που ανήκουν την κατηγορία Α. 7

Αποδεικνύεται ότι: Η τατιτική υνάρτηη ˆ A (.43) είναι αµερόληπτη εκτιµήτρια του Ν Α. Η εκτιµήτρια του τυπικού φάλµατος εκτίµηης του Χ Α είναι S ˆ ( ) A (.44) Β. Μέγεθος είγµατος Μετά την ολοκλήρωη της παρουίαης των εκτιµητριών που χρηιµοποιούνται για την εκτίµηη των παραµέτρων ενός πληθυµού θα προχωρήουµε τον προδιοριµό του µεγέθους του απαιτούµενου δείγµατος τις παρακάτω δύο περιπτώεις δειγµατοληψίας: - ειγµατοληψία για την εκτίµηη της µέης τιµής ενός πληθυµού. - ειγµατοληψία για την εκτίµηη ενός ποοτού. Η τιµή του ε κάθε περίπτωη εξαρτάται από το βαθµό ακριβείας µε τον οποίο ο ερευνητής επιθυµεί να εκτιµήει τη υγκεκριµένη παράµετρο του πληθυµού. Ο τρόπος προδιοριµού του για καθεµία από τις περιπτώεις αυτές περιγράφεται τη υνέχεια. α. ειγµατοληψία για την εκτίµηη της Μέης Τιµής ενός πληθυµού Στην περίπτωη αυτή, όπως ήδη γνωρίζουµε, η άγνωτη µέη τιµή µ του πληθυµού µε διακύµανη εκτιµάται από το δειγµατικό µέο ενός απλού τυχαίου δείγµατος µεγέθους. Το ζητούµενο είναι ποια πρέπει να είναι η τιµή του έτι ώτε το φάλµα που κάνει ο ερευνητής εκτιµώντας το µ µε το να µην υπερβαίνει µια προκαθοριµένη τιµή e µε µια επίης προκαθοριµένη πιθανότητα -α. Με άλλα λόγια θέλουµε να βρούµε την τιµή του για την οποία ιχύει: ( ) P µ e α (.45) 8

p Χ µ e α (.46) Αν ο πληθυµός τον οποίο αναφερόµατε µπορεί να θεωρηθεί κανονικός, ή κατά προέγγιη κανονικός, έχουµε: µ (, ) ή µ (0,) (.47) Τότε η (.46) ιχύει και µόνο αν e z (.48) α / όπου Κατά υνέπεια, z α / z α / z α / * α / e e z e e (.49) Όταν / 0.05 ιχύει ότι: Στην περίπτωη αυτή, µε ανάλογο τρόπο, προκύπτει ότι: * * + Άρα, γενικά το µέγεθος του δείγµατος δίνεται από τον τύπο: 9

*, αν 0,05, αν > 0,05 * + * (.50) όπου z e * α / Αν η διακύµανη του πληθυµού, που υπειέρχεται τον υπολογιµό του *, δεν είναι γνωτή τότε για τον υπολογιµό του χρηιµοποιείται µια εκτίµηη της βαιζόµενη ε δείγµα µεγέθους 30. β. ειγµατοληψία για την εκτίµηη ποοτού Στην περίπτωη αυτή το άγνωτο ποοτό των µονάδων ενός πληθυµού που ανήκουν ε µια οριµένη κατηγορία εκτιµάται από το ˆp / όπου Χ είναι ο αριθµός των µονάδων ενός απλού τυχαίου δείγµατος µεγέθους που ανήκουν την κατηγορία αυτή. Το ζητούµενο εδώ είναι ποια πρέπει να είναι η τιµή του έτι ώτε τα φάλµα που κάνει ο ερευνητής εκτιµώντας το άγνωτο ˆp µε το p να µην υπερβαίνει µια προκαθοριµένη τιµή e µε µια προκαθοριµένη πιθανότητα - α. Με άλλα λόγια πρέπει να βρούµε την τιµή του για την οποία ( ) P p e α (.5) ή P p e (.5) Η χέη (.5) ιχύει αν και µόνο αν e z (.53) α / όπου p( p) (.54) 0

Κατά υνέπεια, e e e z α / z z α / α / p( p) p( p) p( p) z p( p) e α / α / * e z (.55) Όταν / 0,05 ιχύει ότι: p( p) Στην περίπτωη αυτή, µε ανάλογο τρόπο, προκύπτει ότι: * * + Άρα γενικά το µέγεθος του δείγµατος δίνεται από τον τύπο: *, αν 0,05, αν 0,05 * + * (.56) όπου z p( p) e * α / Προφανώς η τιµή του * δεν µπορεί να υπολογιτεί αφού το p δεν είναι γνωτό. Για το λόγο αυτό αντί της άγνωτης τιµής p χρηιµοποιείται µια εκτίµηη της που βαίζεται ε προηγούµενη εµπειρία του ερευνητή. Αν τέτοια εµπειρία δεν υπάρχει τότε χρηιµοποιείται η τιµή p / η οποία µεγιτοποιεί το γινόµενο p(-p).

3.. Στρωµατοποιηµένη Τυχαία ειγµατοληψία Αν ο πληθυµός που εξετάζεται δεν είναι αρκετά οµοιογενής η απλή τυχαία δειγµατοληψία ενδέχεται να δώει δείγµα µη αντιπροωπευτικό το οποίο θα οδηγήει ε εκτιµήεις µειωµένης ακρίβειας. Ένας τρόπος για να βελτιωθεί η ακρίβεια των εκτιµήεων είναι να αυξηθεί το µέγεθος του δείγµατος. Μια τέτοια αύξηη µειώνει την τιµή του τυπικού φάλµατος εκτίµηης (όπως φαίνεται από τους τύπους που παρουιάτηκαν την προηγούµενη ενότητα) αλλά από την άλλη πλευρά αυξάνει το κότος της δειγµατοληψίας. Ένας άλλος τρόπος για να αυξήουµε την ακρίβεια των εκτιµήεων διατηρώντας παράλληλα ταθερό του δείγµατος και κατά υνέπεια το κότος δειγµατοληψίας είναι να βελτιώουµε την αντιπροωπευτικότητα του δείγµατος εφαρµόζοντας για το κοπό αυτό τρωµατοποιηµένη τυχαία δειγµατοληψία (stratfed radom samplg). Έτω πληθυµός µεγέθους Ν ο οποίος µπορεί να υποδιαιρεθεί ε εωτερικά οµοιογενείς υποπληθυµούς µεγέθους Ν, Ν,,. Αν αυτοί οι υποπληθυµοί είναι ξένοι µεταξύ τους ώτε να ιχύει + + + τότε ονοµάζονται τρώµατα (strata). Έτω επιπλέον ότι από καθένα από τα τρώµατα επιλέγεται ένα απλό τυχαία δείγµα µεγέθους,,,, ανεξάρτητο από τα άλλα. Το δείγµα µεγέθους + + + που προκύπτει από την ένωη των ανεξάρτητων απλών τυχαίων δειγµάτων ονοµάζεται τρωµατοποιηµένο τυχαίο δείγµα (stratfed radom samplg) και η διαδικαία επιλογής του τρωµατοποιηµένη τυχαία δειγµατοληψία (stratfed radom samplg). Από τη φύη του το ενιαίο δείγµα είναι αντιπροωπευτικότερο ε ύγκριη µε εκείνο της απλής τυχαίας δειγµατοληψίας γιατί είναι βέβαιο ότι ε αυτό θα περιέχονται τοιχεία από όλες τις κατηγορίες (τρώµατα) του πληθυµού κάτι που δεν εξαφαλίζεται µε την απλή τυχαία δειγµατοληψία. Με την τρωµατοποίηη του πληθυµού διαχωρίζουµε τη υνολική διακύµανη της µεταβλητής που εξετάζουµε ε δύο µέρη: - ιακύµανη µεταξύ των τρωµάτων - ιακύµανη εντός των τρωµάτων Επειδή όµως το τρωµατοποιηµένο τυχαίο δείγµα αντιπροωπεύονται όλα τα τρώµατα η διακύµανη της δειγµατικής κατανοµής δεν επηρεάζεται από τη διακύµανη µεταξύ των τρωµάτων. Έτι η διακύµανη της δειγµατικής κατανοµής προδιορίζεται από τη διακύµανη εντός των τρωµάτων. Συνεπώς είναι προφανές ότι η τρωµατοποίηη του πληθυµού πρέπει να γίνεται µε τέτοιο τρόπο ώτε οι µονάδες του που εντάονται ε κάθε τρώµα να διαφέρουν µεταξύ τους όο το δυνατό λιγότερο.

Α. Επιµεριµός του υνολικού δείγµατος τα τρώµατα Ένα πρόβληµα που υνδέεται άµεα µε την τεχνική της τρωµατοποιηµένης δειγµατοληψίας είναι ο επιµεριµός του υνολικού αριθµού των µονάδων του δείγµατος,, τα επί µέρους τρώµατα δηλαδή ο προδιοριµός των µεγεθών,,, των απλών δειγµάτων. Ο επιµεριµός του µπορεί να γίνει µε τρεις διαφορετικούς τρόπους οι οποίοι παρουιάζονται τη υνέχεια. α. Αναλογικός Επιµεριµός του (Proportoal Allocato) Η µέθοδος αυτή εφαρµόζεται όταν το δειγµατοληπτικό κότος ανά µονάδα είναι το ίδιο για όλα τα τρώµατα (c c) και παράλληλα οι διακυµάνεις τρωµάτων δεν διαφέρουν ηµαντικά. Σύµφωνα µε το χεδιαµό αυτό τα επιλέγονται έτι ώτε να ιχύει,,,..., (.57) Με άλλα λόγια το µέγεθος του δείγµατος από ένα τρώµα είναι ανάλογο του ποοτού των µονάδων του πληθυµού που εκπροωπεί το υγκεκριµένο τρώµα. Η δειγµατοληπτική αυτή τεχνική ονοµάζεται και αναλογική τρωµατοποιηµένη δειγµατοληψία (proportoal stratfed radom samplg). β. Βέλτιτος Επιµεριµός του µε ταθερό κότος ανά δειγµατοληπτική µονάδα (Optmum Allocato wth costat cost per ut) ή Επιµεριµός eyma (eyma Allocato) Η µέθοδος αυτή εφαρµόζεται όταν το δειγµατοληπτικό κότος ανά µονάδα είναι το ίδιο για όλα τα τρώµατα (c c) αλλά οι διακυµάνεις των τρωµάτων διαφέρουν ηµαντικά. Για να εκπροωπηθούν ωτά όλα τα τρώµατα το δείγµα θα πρέπει αυτά µε τη µεγαλύτερη διακύµανη να εκπροωπηθούν από µεγαλύτερο αριθµό µονάδων το δείγµα. Με άλλα λόγια θα πρέπει ο λόγος / να είναι ανάλογος της τυπικής απόκλιης του τρώµατος. Αποδεικνύεται ότι η ακρίβεια των εκτιµήεων γίνεται η µέγιτη δυνατή αν τα,, επιλεγούν έτι ώτε: 3

,,,..., (.58) Αν οι τιµές των, δεν είναι γνωτές χρηιµοποιούνται τη θέη τους οι τιµές S, S των αντιτοίχων δειγµατικών µεγεθών. γ. Βέλτιτος Επιµεριµός (Optmum Allocato) Η µέθοδος αυτή εφαρµόζεται όταν το δειγµατοληπτικό κότος ανά µονάδα, c, διαφέρει από τρώµα ε τρώµα και παράλληλα οι διακυµάνεις,, των τρωµάτων διαφέρουν ηµαντικά. Στην περίπτωη αυτή ο ερευνητής θα πρέπει να επιλέξει τα έτι ώτε αφενός να είναι ανάλογα των διακυµάνεων των τρωµάτων (όπως την προηγούµενη περίπτωη) και αφετέρου αντιτρόφως ανάλογα του αντίτοιχου δειγµατοληπτικού κότους c. c c c Αν 0 + είναι υνολικό κότος µιας δειγµατοληψίας αποδεικνύεται ότι η ακρίβεια των εκτιµήεων γίνεται η µέγιτη δυνατή αν τα,,, επιλεγούν έτι ώτε c,,,..., ( c ) (.59) Αν οι τιµές των, δεν είναι γνωτές χρηιµοποιούνται τη θέη τους οι τιµές S, S των αντιτοίχων δειγµατικών µεγεθών. Β. Εκτίµηη Παραµέτρων α. Εκτίµηη του µέου ενός πληθυµού Έτω πληθυµός µεγέθους Ν και Χ το χαρακτηριτικό του οποίου τη µέη τιµή µ θέλουµε να εκτιµήουµε. Ο πληθυµός αυτός υποδιαιρείται ε οµοιογενή τρώµατα µεγέθους,,,, µε µέη τιµή και τυπική () απόκλιη µ και αντίτοιχα. Συµβολίζουµε µε x τη µονάδα του πληθυµού που ανήκει το τρώµα και µε () τη µονάδα του δείγµατος (δηλαδή του δείγµατος από το τρώµα). 4

Από καθένα από τα τρώµατα επιλέγονται απλά τυχαία δείγµατα µεγέθους και έτω ο δειγµατικός µέος τους. Προφανώς, ( ),,,..., είναι ο µέος του δείγµατος, και µ x µ ( ) ο µέος του πληθυµού την άγνωτη τιµή του οποίου θέλουµε να εκτιµήουµε µε βάη τα τοιχεία του δείγµατος. Αποδεικνύεται ότι: - Η τατιτική υνάρτηη µ ˆ (.60) είναι αµερόληπτη εκτιµήτρια του µέου µ, του πληθυµού. - Η διακύµανη του είναι: V ( ) - Το τυπικό φάλµα του είναι: (.6) Στην περίπτωη που τα αµερόληπτη εκτιµήτριά τους δεν είναι γνωτά χρηιµοποιούµε αντί για αυτά την S ( ) ( Χ ) 5

όπου () η παρατήρηη του δείγµατος. Έτι η χέη (.6) γίνεται: S S (.6) ή S S S ( ), αν 0, 05 f f Η τατιτική υνάρτηη φάλµατος εκτίµηης του S ονοµάζεται εκτιµήτρια υνάρτηη του τυπικού. β. Εκτίµηη του υνολικού µεγέθους κάποιου χαρακτηριτικού ενός πληθυµού Έτω ότι τον πληθυµό που περιγράψαµε την προηγούµενη ενότητα θέλουµε να εκτιµήουµε το υνολικό µέγεθος: x ( ) x (.63) όπου x η µονάδα του πληθυµού που ανήκει το τρώµα. ( ) Αποδεικνύεται ότι: - Η τατιτική υνάρτηη ˆ (.64) είναι αµερόληπτη εκτιµήτρια του x. - Το τυπικό φάλµα της Χ είναι ˆ (.65) Επειδή όµως την πράξη το πάνια είναι γνωτό χρηιµοποιούµε αντί γι αυτό την αµερόληπτη εκτιµήτριά του 6

( ) ( ) S Έτι η χέη (.65) γίνεται: S S ˆ (.66) Η τατιτική υνάρτηη S ονοµάζεται εκτιµήτρια υνάρτηη του τυπικού ˆ φάλµατος εκτίµηης του ˆ. γ. Εκτίµηη ποοτού Έτω ότι τον πληθυµό που περιγράψαµε προηγουµένως Ν Α () είναι ο άγνωτος αριθµός των µονάδων του τρώµατος που ανήκουν ε µια κατηγορία Α και Χ () ο αριθµός των αντιτοίχων µονάδων του απλού τυχαίου δείγµατος. Προφανώς, p A ( ) το ποοτό των µονάδων του τρώµατος του πληθυµού που ανήκουν την κατηγορία Α, και ( ) A p p το άγνωτο ποοτό των µονάδων του πληθυµού που ανήκουν την κατηγορία Α το οποίο θέλουµε να εκτιµήουµε µε βάη τα τοιχεία του δείγµατος. Αποδεικνύεται ότι: - Η τατιτική υνάρτηη ( ) (.67) ι όπου 7

( ) ι είναι αµερόληπτη εκτιµήτρια της παραµέτρου p. - Η διακύµανη του ˆp είναι p ( p ) V ( ) (.68) Για τον υπολογιµό του V( ˆp ) απαιτείται γνώη του p. Επειδή όµως αυτή δεν υπάρχει χρηιµοποιείται αντί του V( ˆp ) η αµερόληπτη εκτιµήτρια υνάρτηή της S ˆ ( ˆ p p ) (.69) Άρα η εκτιµήτρια του τυπικού φάλµατος εκτίµηης του ˆp είναι: S ˆ ( ˆ p p ) (.70) Σε οριµένες περιπτώεις εκτός του p θέλουµε να εκτιµήουµε και το υνολικό αριθµό µονάδων Ν Α του πληθυµού που ανήκουν την κατηγορία Α. Αποδεικνύεται ότι: - Η τατιτική υνάρτηη ˆ A (.7) είναι αµερόληπτη εκτιµήτρια του Ν Α. - Η εκτιµήτρια του τυπικού φάλµατος του A είναι S ˆ A ( ) (.7) 8

Γ. Μέγεθος δείγµατος Μετά την παρουίαη των εκτιµητριών υναρτήεων που χρηιµοποιούνται για την εκτίµηη οριµένων παραµέτρων ενός πληθυµού θα προχωρήουµε τον προδιοριµό του µεγέθους,, του απαιτούµενου πληθυµού ε διάφορες περιπτώεις. Υπενθυµίζουµε ότι την περίπτωη τρωµατοποιηµένου πληθυµού χρηιµοποιούµε τον εξής υµβολιµό: Ν: µέγεθος υνολικού πληθυµού Ν : µέγεθος του,,,, υποπληθυµού (τρώµατος) : µέγεθος υνολικού δείγµατος : µέγεθος του,,,, δείγµατος το οποίο λαµβάνεται από τον αντίτοιχο υποπληθυµό : διακύµανη των παρατηρήεων το τρώµα,,,κ c : µοναδιαίο κότος δειγµατοληψίας από το τρώµα,,,, η Περίπτωη Στην περίπτωη αυτή θεωρούµε ότι το υνολικό κότος δειγµατοληψίας είναι προκαθοριµένο και δίνεται από τη χέη (.73) c c+ c ( c > 0) 0 0 Όπως έχει ήδη αναφερθεί την περίπτωη αυτή η ακρίβεια των εκτιµήεων γίνεται η µέγιτη δυνατή αν τα,,, επιλεγούν έτι ώτε c ( c),,,, (.74) Αντικαθιτώντας τις τιµές των, όπως δίνονται από τη (.74) τη (.73) και λύνοντας ως προς έχουµε: 9

( c c0 ) c c c (.75) η Περίπτωη Στην περίπτωη αυτή θεωρούµε ότι η διακύµανη της εκτιµήτριας προκαθοριµένη και δίνεται από τη χέη: είναι V ( ) (.76) Αντικαθιτώντας τις τιµές όπως δίνονται από τη χέη (.74) τη (.76) και λύνοντας ως προς έχουµε: c c V ( ) + (.77) 3η Περίπτωη Στην περίπτωη αυτή, η οποία είναι και η γενικότερη, θέλουµε να προδιορίουµε το υνολικό µέγεθος ενός τρωµατοποιηµένου δείγµατος του οποίου ένα υγκεκριµένο ποοτό µονάδων (w %) προέρχεται από το τρώµα (,,,) (δηλαδή w,,,,, Σw ) έτι ώτε το φάλµα που κάνει ο ερευνητής εκτιµώντας το µ µε το να µην υπερβαίνει µια προκαθοριµένη πιθανότητα -α. Με άλλα λόγια θέλουµε να βρούµε την τιµή του για την οποία ιχύει ( ) P µ e α (.78) µ e P α (.79) Η χέη ιχύει αν και µόνο αν 30

e z (.80) α/ όπου ή w (.8) Αντικαθιτώντας την τιµή του έχουµε ότι: τη χέη (.80) και λύνοντας ως προς * + z α/ e (.8) όπου * α/ z (.83) e w Άρα γενικά το µέγεθος του δείγµατος δίνεται από τον τύπο: * * + z α/ e, αν 0,05, αν > 0,05 3

3.3 Συτηµατική ειγµατοληψία Έτω πληθυµός µεγέθους Ν και x, x,, x οι µονάδες του. Οριµένες φορές για την επιλογή ενός δείγµατος µεγέθους από τον πληθυµό αυτό επιλέγουµε τυχαία µια οµάδα από τις πρώτες µονάδες του πληθυµού και περιλαµβάνουµε το δείγµα αυτό και κάθε άλλη µονάδα του πληθυµού που η θέη της είναι πολλαπλάιο του µέχρι, φυικά, να χηµατιθεί δείγµα µεγέθους. Προφανώς την περίπτωη αυτή η επιλογή της πρώτης µονάδας καθορίζει ολόκληρο το δείγµα. Αν για παράδειγµα από τις µονάδες του πληθυµού επιλεγεί η 0 το δείγµα θα αποτελείται από τις µονάδες x 0, x 0+, x 0+,, x 0+(-) Η δειγµατοληπτική αυτή τεχνική η οποία ειάγει ένα υτηµατικό τοιχείο τη διαδικαία επιλογής των µονάδων του πληθυµού ονοµάζεται υτηµατική δειγµατοληψία (systematc samplg) και το δείγµα το οποίο προκύπτει από αυτή -ανά- υτηµατικό. Αν επιπλέον οι µονάδες του πληθυµού εµφανίζονται µε τυχαία ειρά τη λίτα από όπου παίρνουµε το δείγµα αυτό ονοµάζεται ψευδοτυχαίο (pseudoradom). Επειδή το µέγεθος Ν του πληθυµού δεν είναι γενικά πολλαπλάιο του διαφορετικά υτηµατικά δείγµατα µπορεί να έχουν διαφορετικό µέγεθος. Αν για παράδειγµα Ν4, 4 τα δυνατά -ανά-4 υτηµατικά δείγµατα είναι τα παρακάτω: (x, x 5, x 9, x 3 ) : 4 (x, x 6, x 0, x 4 ) : 4 (x 3, x 7, x ) : 3 (x 4, x 8, x ) : 3 Για την αποφυγή του προβλήµατος αυτού και την εξαφάλιη δειγµάτων ταθερού µεγέθους χρηιµοποιείται η ακόλουθη µέθοδος. Υπολογίζεται ο λόγος / και το ορίζεται ως ο πληιέτερος προς αυτό ακέραιος (τρογγυλοποιηµένος προς τα πάνω). Τα τοιχεία του πληθυµού θεωρούνται ως ηµεία της περιφέρειας ενός κύκλου. Ένα από αυτά επιλέγεται τυχαία και περιλαµβάνεται το δείγµα µαζί µε όλα τα άλλα ηµεία της περιφέρειας που η απόταη τους από το αρχικό είναι πολλαπλάιο του. Η επιλογή των τοιχείων γίνεται καθώς διατρέχουµε την περιφέρεια κατά τη φορά των δεικτών του ρολογιού και υνεχίζεται µέχρις ότου εξαφαλίουµε δείγµα του επιθυµητού µεγέθους. Εφαρµόζοντας αυτή τη µέθοδο το προηγούµενο παράδειγµα έχουµε: 4 3,5 4 4 Κατά υνέπεια, όλα τα -ανά- υτηµατικά δείγµατα είναι τα παρακάτω: 3

(x, x 5, x 9, x 3 ) (x, x 6, x 0, x 4 ) (x 3, x 7, x, x 5 )... (x 4, x 4, x 8, x ) Ένα υτηµατικό τυχαίο δείγµα είναι την ουία ένα τρωµατοποιηµένο δείγµα που οι µονάδες του έχουν την ίδια χετική θέη το τρώµα. Κατά υνέπεια, το υτηµατικό δείγµα είναι πιο οµοιόµορφα κατανεµηµένο τον πληθυµό µε αποτέλεµα να δίνει υχνά πιο ακριβείς εκτιµήεις από ένα αντίτοιχο τρωµατοποιηµένο ή απλό τυχαίο δείγµα. Το βαικό πλεονέκτηµα της µεθόδου αυτής είναι η ταχύτητα επιλογής του δείγµατος και ο χετικός υψηλός βαθµός ακρίβειας τις εκτιµήεις που δίνει. Από την άλλη πλευρά το ηµαντικότερο µειονέκτηµα της µεθόδου αυτής είναι ο κίνδυνος εφαλµένων εκτιµήεων την περίπτωη ύπαρξης περιοδικότητας τις µονάδες του πληθυµού, κάτι που δεν µπορεί εύκολα να εντοπιθεί. Α. Εκτίµηη παραµέτρων α. Εκτίµηη του µέου Έτω πληθυµός µεγέθους Ν και Χ το χαρακτηριτικό του οποίου τη µέη τιµή µ θέλουµε να εκτιµήουµε χρηιµοποιώντας -ανά- τρωµατοποιηµένα απλά τυχαία δείγµατα µεγέθους. Έτω επιπλέον ότι. Όλα τα δείγµατα υνοψίζονται παρακάτω: Συµβολίζουµε µε ΕΙΓΜΑΤΑ x x x I x x + x + x + x x (-)+ x (-)- x (-)+ x (-)+ x (-)+ x (-)+ x (-)+ x (-)+ το τοιχείο του υτηµατικού δείγµατος και µε () το µέο του δείγµατος. Προφανώς, ( ) 33

Αποδεικνύεται ότι: ( ) (.84) είναι αµερόληπτη εκτιµήτρια του µέου, µ, του πληθυµού. - Η διακύµανη του είναι ( ) ( ) V ( ) µ - Το τυπικό φάλµα του είναι ( ) ( ) µ (.85) Επειδή όµως την πράξη τα µ, δεν είναι γνωτά χρηιµοποιούµε αντί γι αυτά τις αµερόληπτες εκτιµήτριές τους, οπότε η χέη (.85) γίνεται: ( ) ( ) S S (.86) Η τατιτική υνάρτηη φάλµατος εκτίµηης του s. ονοµάζεται εκτιµήτρια υνάρτηη του τυπικού β. Εκτίµηη του υνολικού µεγέθους κάποιου χαρακτηριτικού του πληθυµού Έτω ότι τον πληθυµό που περιγράψαµε την προηγούµενη ενότητα θέλουµε να εκτιµήουµε το υνολικό µέγεθος x x Αποδεικνύεται ότι: 34

- Η τατιτική υνάρτηη ˆ (.87) είναι αµερόληπτη εκτιµήτρια του x. - Η διακύµανη της ˆ είναι ( ) ( ) V ( ˆ ) V ( ) µ - Κατά υνέπεια, το τυπικό φάλµα της ˆ είναι ˆ x ( ) ( ) ι (.88) µ Επειδή όµως την πράξη τα µ, δεν είναι γνωτά χρηιµοποιούµε αντί για αυτά τις αµερόληπτες εκτιµήεις τους και η χέη (.88) γίνεται: ˆ ( ) ( ) (.89) S s S Η τατιτική υνάρτηη S είναι αµερόληπτη του ˆ υνάρτηή του τυπικού φάλµατος εκτίµηης της ˆ. και ονοµάζεται εκτιµήτρια ˆ Η διαίρεη του αρχικού πληθυµού των µονάδων ε οµάδες δίνει τη δυνατότητα έκφραης της διακύµανης του πληθυµού ως υνάρτηης της διακύµανης «µεταξύ» των οµάδων και της διακύµανης «µέα» τις οµάδες. Αποδεικνύεται ότι: ( ) ν + ( ) w (.90) Χ όπου Η διακύµανη του πληθυµού Η διακύµανη της εκτίµηης του µέου του πληθυµού, δηλαδή η διακύµανη µεταξύ των οµάδων w Η διακύµανη «µέα» τις οµάδες 35

Λύνοντας τη χέη (.90) ως προς V( ) ( ) V ( ) w (.9) Η αντίτοιχη χέη για την απλή τυχαία δειγµατοληψία όπως ήδη γνωρίζουµε ότι: ( ) V Ν (.9) Από τις χέεις (.9) και (.9) προκύπτει ότι: V ( ) < V ( ) > w Με άλλα λόγια η υτηµατική δειγµατοληψία οδηγεί ε µικρότερο τυπικό φάλµα αν η διακύµανη µέα το δείγµα είναι µεγαλύτερη από τη διακύµανη ολόκληρου του πληθυµού. Κατά υνέπεια, µεγαλύτερη ακρίβεια έχουµε την περίπτωη που η ετερογένεια µεταξύ των µονάδων είναι µεγαλύτερη από την ετερογένεια µεταξύ των µονάδων του πληθυµού. γ. Εκτίµηη Ποοτού Έτω ότι τον πληθυµό που περιγράψαµε προηγουµένως Ν Α είναι ο αριθµός των µονάδων που ανήκουν ε µια κατηγορία Α και Χ () ο αριθµός των αντιτοίχων µονάδων ενός τυχαία επιλεγµένου υτηµατικού δείγµατος. Με βάη τα τοιχεία αυτά θέλουµε να εκτιµήουµε το άγνωτο ποοτό p των µονάδων του πληθυµού που ανήκουν την κατηγορία Α. Αποδεικνύεται ότι: - Η τατιτική υνάρτηη ( ) (.93) όπου ( ) x ( ) είναι αµερόληπτη εκτιµήτρια της παραµέτρου p. - Η διακύµανη του p είναι 36

V ( ) p p ( ) ( ) ˆ (.94) Για τον υπολογιµό του V( ˆp ) απαιτείται γνώη του p. Στην περίπτωη που αυτό δεν είναι γνωτό χρηιµοποιείται αντί του V( ˆp ) η αµερόληπτη εκτιµήτριά του: S p p ( ) ( ) ˆ ˆ (.95) - Άρα η εκτιµήτρια του τυπικού φάλµατος εκτίµηης του ˆp είναι S p p ( ) ( ˆ ˆ) (.96) Σε οριµένες περιπτώεις εκτός από το p θέλουµε να εκτιµήουµε και το υνολικό αριθµό Ν Α του πληθυµού οι οποίες ανήκουν την κατηγορία Α. Αποδεικνύεται ότι: - Η τατιτική υνάρτηη ˆ A είναι αµερόληπτη εκτιµήτρια του Ν Α. - Η εκτιµήτρια του τυπικού φάλµατος Χ Α είναι: ˆ A ( ) ( ) ˆ ˆ (.97) S p p 37

3.4 ειγµατοληψία Κατά Οµάδες Κάθε πληθυµός τον οποίο θέλουµε να µελετήουµε µπορεί να θεωρηθεί ως ύνολο διακεκριµένων οµάδων που αποτελούνται από δειγµατοληπτικές µονάδες. Για παράδειγµα ο πληθυµός των βιοµηχανικών εργατών της χώρας µας µπορεί να θεωρηθεί ως ύνολο χωριµένο ε οµάδες, τις βιοµηχανικές µονάδες της χώρας. Η δειγµατοληψία από έναν τέτοιο πληθυµό µπορεί να γίνει µε δειγµατοληπτική µονάδα την οµάδα. ηλαδή από το ύνολο των Μ οµάδων του πληθυµού επιλέγονται τυχαία m (m<m) οµάδες και οι µονάδες που τις αποτελούν, ή µέρος αυτών, υνενώνονται ε ένα ενιαίο ύνολο. Η δειγµατοληπτική τεχνική η οποία υποδιαιρεί τις τοιχειώδεις µονάδες του πληθυµού ε οµάδες (clusters), επιλέγει ένα δείγµα των οµάδων αυτών και περιλαµβάνει το τελικό δείγµα όλες τις τοιχειώδεις µονάδες που ανήκουν τις οµάδες αυτές λέγεται δειγµατοληψία κατά οµάδες ε ένα τάδιο (Sglestage cluster samplg). Αν µετά την επιλογή του δείγµατος οµάδων επιλεγούν διαδοχικά δείγµατα µικρότερων οµάδων µε τελικό τάδιο την επιλογή δείγµατος αποτελούµενου από το ύνολο ή µέρος των τοιχειωδών µονάδων της τελευταίας κατηγορίας υνθέτων οµάδων η δειγµατοληπτική τεχνική ονοµάζεται δειγµατοληψία κατά οµάδες ε πολλά τάδια (Multstage cluster samplg). Αν κατά τα διάφορα τάδια της δειγµατοληψίας οι ύνθετες µονάδες επιλέγονται µε απλή τυχαία δειγµατοληψία το δειγµατοληπτικό χέδιο ονοµάζεται απλή τυχαία δειγµατοληψία κατά οµάδες (Smple cluster samplg) ε ένα ή περιότερα τάδια. Τέλος αν οι ύνθετες οµάδες τοιχείων είναι βαιµένες ε γεωγραφικές περιοχές ο δειγµατοληπτικός χεδιαµός ονοµάζεται δειγµατοληψία κατά περιοχές (area samplg). ειγµατοληψία κατά οµάδες χρηιµοποιούµε όταν δεν διαθέτουµε δειγµατοληπτικό πλαίιο µε τις βαικές µονάδες του πληθυµού οι οποίες αποτελούν το αντικείµενο της έρευνας µας. Στο παράδειγµα των βιοµηχανικών εργατών που αναφέρθηκε παραπάνω δεν µπορεί να χηµατιθεί απλό τυχαίο δείγµα από τέτοιους εργάτες γιατί δεν υπάρχει κατάλογος όλων των βιοµηχανικών εργατών της χώρας. Αντίθετα, µπορούµε εύκολα να έχουµε τυχαίο δείγµα των βιοµηχανικών µονάδων τις οποίες απαχολούνται οι εργάτες αυτοί. Παρά το γεγονός ότι κάθε οµάδα θα µπορούε εύκολα να θεωρηθεί ως τρώµα η δειγµατοληψία κατά οµάδες διαφέρει ουιατικά από την τρωµατοποιηµένη δειγµατοληψία. Στην πρώτη επιλέγουµε τυχαία οριµένες οµάδες και τη υνέχεια όλες τις µονάδες που έχει κάθε οµάδα του δείγµατος ενώ τη δεύτερη επιλέγουµε τυχαίο δείγµα µονάδων από κάθε τρώµα. Έτι τη δειγµατοληψία κατά οµάδες πρέπει να έχουµε δηµιουργήει τις οµάδες µε τέτοιο τρόπο ώτε ε κάθε µία από αυτές να υπάρχει τόη ανοµοιογένεια όη ε ολόκληρο τον πληθυµό τον οποίο αντιπροωπεύει. Αντίθετα τη τρωµατοποιηµένη δειγµατοληψία πρέπει να έχουµε τη µέγιτη δυνατή οµοιογένεια ε κάθε τρώµα και τη µέγιτη δυνατή ανοµοιογένεια µεταξύ των τρωµάτων έτι ώτε κάθε ένα από αυτά να αποτελεί µια ξεχωριτή οµοιογενή οµάδα του πληθυµού. 38

Α. Εκτίµηη Παραµέτρων α. Εκτίµηη του µέου του πληθυµού Έτω πληθυµός µεγέθους Ν και Χ ένα χαρακτηριτικό του οποίου θέλουµε να εκτιµήουµε τη µέη τιµή χρηιµοποιώντας δειγµατοληψία κατά οµάδες. Στην περίπτωη αυτή (α) Ο πληθυµός {Χ, Χ,, Χ Ν } διαιρείται ε Μ οµάδες u, u,, u M µεγέθους Ν, Ν,, Ν Μ αντίτοιχα Αν µε x υµβολίουµε την τιµή της µονάδας της οµάδας του πληθυµού τότε: u {,,, },,,,M,,,, Επίης M µ η άγνωτη µέη τιµή του πληθυµού µ η µέη τιµή της οµάδας,,,,m M M µ µ M M η µέη τιµή ανά οµάδα M M M το µέο µέγεθος των οµάδων Προφανώς, M µ µ M µ (β) Επιλέγεται από τον πληθυµό των Μ οµάδων τυχαίο δείγµα m οµάδων {U, U,, U m } µεγέθους Ν, Ν,, Ν m αντίτοιχα. Αυτό αντιτοιχεί το πρώτο τάδιο της δειγµατοληψίας. Αν µε U υµβολίουµε το τοιχείο της επιλεγείας οµάδας τότε U {U, U,, U },,,,m,,,, 39

(γ) Στην περίπτωη που επακολουθεί και δεύτερο τάδιο δειγµατοληψίας επιλέγεται τυχαίο δείγµα, µονάδων από την οµάδα U, που επελέγη κατά το πρώτο τάδιο (,,,m). Τότε, m m Το µέο µέγεθος των m δειγµάτων του δεύτερου ταδίου δειγµατοληψίας. Ο µέος του δείγµατος του δεύτερου ταδίου δειγµατοληψίας,,,,m. U U S U U ( ) η διακύµανη του δείγµατος,, m. Για την εκτίµηη της µέης τιµής του αρχικού πληθυµού θα περιοριτούµε την περίπτωη ενός ταδίου δειγµατοληψίας οπότε και U µ,,,,m και θα διακρίνουµε δύο περιπτώεις: ιοµεγέθεις και ανιοµεγέθεις οµάδες. () Ιοµεγέθεις οµάδες Ν Στην περίπτωη αυτή τα µεγέθη των οµάδων που θα επιλεγούν θα είναι ία µε δηλαδή,,,,m. ' Αποδεικνύεται ότι: - Η τατιτική υνάρτηη m m U ή ιοδύναµα η τατιτική υνάρτηη m m U µ (.98) m m είναι αµερόληπτη εκτιµήτρια της µέης τιµής µ. 40

- Η διακύµανη του είναι M m M m V ( ) ( µ µ ) M M m m M - και το τυπικό φάλµα της εκτίµηης του M m M m µ µ m m M M m m m ( ) (.99) Επειδή όµως τα µ, µ, δεν είναι γνωτά χρηιµοποιούµε αντί γι αυτά τις αµερόληπτες εκτιµήτριές τους. Έτι η χέη (.99) γίνεται M m M m S U S m m m M m m m ( ) (.00) Η τατιτική υνάρτηη φάλµατος εκτίµηης του S. ονοµάζεται εκτιµήτρια υνάρτηη του τυπικού () Ανιοµεγέθεις οµάδες Ν Αποδεικνύεται ότι: - Η τατιτική υνάρτηη m m U (.0) είναι µία αµερόληπτη εκτιµήτρια της µέης τιµής µ. - Η διακύµανη του είναι M M m V ( ) µ M m M - Κατά υνέπεια το τυπικό φάλµα του είναι 4

M M m µ M m M (.0) Επειδή όµως το µ δεν είναι γνωτό χρηιµοποιούµε αντί για αυτό την αµερόληπτη εκτιµήτρια του. Έτι η χέη (.0) γίνεται m ' (.03) M m S U M m m Η τατιτική υνάρτηη S είναι αµερόληπτη εκτιµήτρια του εκτιµήτρια υνάρτηη του τυπικού φάλµατος εκτίµηης του. και ονοµάζεται β. Εκτίµηη του υνολικού µεγέθους κάποιου χαρακτηριτικού του πληθυµού Έτω ότι τον πληθυµό που περιγράψαµε την προηγούµενη ενότητα θέλουµε να εκτιµήουµε το υνολικό µέγεθος m x Mµ M µ όπου η τιµή της µονάδας που ανήκει την οµάδα. Αποδεικνύεται ότι: - Η τατιτική υνάρτηη ˆ (.04) MΝΧ είναι αµερόληπτη εκτιµήτρια του υνολικού µεγέθους x. - Το τυπικό φάλµα της ˆΧ είναι ( M ) (.05) - Η εκτιµήτρια υνάρτηη του τυπικού φάλµατος εκτίµηης της ˆΧ είναι S M S (.06) ˆΧ ( ) 4

Οι χέεις (.04), (.05) και (.06) ιχύουν τόο για ιοµεγέθεις () όο και για ανιοµεγέθεις (Ν ) οµάδες. Αυτό που αλλάζει είναι ο τρόπος υπολογιµού των ποοτήτων που υπειέρχονται τις χέεις αυτές. Συγκεκριµένα: α. Για ιοµεγέθεις οµάδες ταχ, (.99) και (.00) αντίτοιχα., s υπολογίζονται από τους τύπους (.98), β. Για ανιοµεγέθεις οµάδες τα Χ,, (.0), (.0) και (.03) αντίτοιχα. s, υπολογίζονται από τους τύπους γ. Εκτίµηη Ποοτού Έτω ο πληθυµός µεγέθους Ν ο οποίος διαιρείται ε Μ οµάδες u, u,, u M µεγέθους Ν, Ν,, Ν Μ αντίτοιχα. Έτω επιπλέον Ν Α ο άγνωτος αριθµός των µονάδων της οµάδας που ανήκουν την κατηγορία Α. Προφανώς p A ( ) το ποοτό των µονάδων της οµάδας που ανήκουν την κατηγορία Α και p M M p το ποοτό των µονάδων του πληθυµού που ανήκουν την κατηγορία Α. Στη υνέχεια, α. Από τον πληθυµού των Μ οµάδων επιλέγεται απλό τυχαίο δείγµα m οµάδων {U, U,, U M } µεγέθους Ν, Ν,, Ν m αντίτοιχα. Αυτό αντιτοιχεί το πρώτο τάδιο δειγµατοληψίας. β. Στην περίπτωη που ακολουθεί και δεύτερο τάδιο δειγµατοληψίας επιλέγεται τυχαίο δείγµα µονάδων από την οµάδα U που επελέγη κατά το πρώτο τάδιο (,,,m). Αν µε () υµβολίουµε τον αριθµό των µονάδων του δείγµατος που ανήκουν την κατηγορία Α τότε µια αµερόληπτη εκτιµήτρια του p είναι η 43

( ),,,..., m Με βάη τα τοιχεία του δείγµατος θέλουµε να εκτιµήουµε το ποοτό p των µονάδων του πληθυµού που ανήκουν την κατηγορία Α. Για την εκτίµηη του ποοτού αυτού θα περιοριτούµε την περίπτωη ενός ταδίου δειγµατοληψίας οπότε και θα διακρίνουµε δύο περιπτώεις: ιοµεγέθεις και ανιοµεγέθεις οµάδες. () Ιοµεγέθεις οµάδες Ν Στην περίπτωη αυτή, ˆp p,,,,m κατά υνέπεια ( ),,,..., m Αποδεικνύεται ότι: - Η τατιτική υνάρτηη p m m M ( ) ˆ m (.07) είναι αµερόληπτη εκτιµήτρια του ποοτού p. - Η διακύµανη του ˆp είναι m M m V ( ) ( p p) m m M - Το τυπικό φάλµα του p ˆ είναι M M m p p (.08) M m M ( ) Επειδή όµως τα p, p δεν είναι γνωτά χρηιµοποιούνται αντί γι αυτά οι αµερόληπτες εκτιµήτριές τους. Έτι η (.08) γίνεται 44

m M m S ˆ ( ˆ ˆ p p ) p (.09) M m m Η τατιτική υνάρτηη φάλµατος εκτίµηης του ˆp. Sˆp ονοµάζεται εκτιµήτρια υνάρτηη του τυπικού () Ανιοµεγέθεις οµάδες Ν Στην περίπτωη αυτή αποδεικνύεται ότι: - Η τατιτική υνάρτηη m m ( ) (.0) είναι αµερόληπτη εκτιµήτρια του ποοτού p. - Η διακύµανη του ˆp είναι M M m V ( ) A p m m M ( ) ( ) - Το τυπικό φάλµα του p είναι M M m A p M m M ( ) ( ) (.) Στη χέη (.) τα ˆp, A (), είναι εν γένει άγνωτα. Αντικαθιτώντας το p µε την αµερόληπτη εκτιµήτρια του p και παρατηρώντας ότι αυτή είναι ουιατικά µια εκτιµήτρια λόγου δύο µεγεθών (περίπτωη που έχει ήδη εξεταθεί) αποδεικνύεται ότι η χέη (.) γίνεται M m S p p m m m ( ) ( ) ˆ ˆ ˆ p + M m m (.) Η τατιτική υνάρτηη S Pc ονοµάζεται εκτιµήτρια υνάρτηη του τυπικού φάλµατος εκτίµηης του p c 45

4. Αποτελεµατικότητα ειγµατοληπτικών Σχηµάτων Η αποτελεµατικότητα ενός ύνθετου δειγµατοληπτικού χήµατος ε χέη την Απλή Τυχαία ειγµατοληψία προδιορίζεται από ένα µέτρο γνωτό ως Επίδραη του ειγµατοληπτικού Σχήµατος (Desg Effect-Deff). Το µέτρο αυτό ορίζεται ως ο λόγος της διακύµανης της εκτίµηης µιας παραµέτρου του πληθυµού που βαίζεται ε ένα δείγµα το οποίο λαµβάνεται χρηιµοποιώντας το υπό εξέταη δειγµατοληπτικό χήµα προς τη διακύµανη της εκτίµηης που προκύπτει από ένα απλό τυχαίο δείγµα του ίδιου µεγέθους. Με άλλα λόγια: Deff V V Σ Α όπου V A και V Σ υµβολίζουν τη διακύµανη της εκτίµηης της παραµέτρου του πληθυµού που προκύπτει από το ύνθετο δειγµατοληπτικό χήµα και την απλή τυχαία δειγµατοληψία αντίτοιχα. Προφανώς Deff < φανερώνει ότι υπερτερεί η εκτίµηη του ύνθετου δειγµατοληπτικού χεδίου ενώ αντίθετα Deff > δηλώνει ότι υπερτερεί η εκτίµηη που βαίζεται την απλή τυχαία δειγµατοληψία. Εκτός από τη χρήη της για τον προδιοριµό της χετικής αποτελεµατικότητας ενός ύνθετου δειγµατοληπτικού χήµατος η επίδραη του ειγµατοληπτικού Σχήµατος χρηιµοποιείται και για τον κατά προέγγιη υπολογιµό του δειγµατικού µεγέθους για το χήµα αυτό. Επειδή οι τύποι προδιοριµού του δειγµατικού µεγέθους για ύνθετα δειγµατοληπτικά χήµατα είναι πολύπλοκοι µπορούµε να χρηιµοποιήουµε τους αντίτοιχους απλούς τύπους που ιχύουν την περίπτωη της απλής τυχαίας δειγµατοληψίας για να υπολογίουµε το µέγεθος του δείγµατος την περίπτωη αυτή. Στη υνέχεια προδιορίζουµε προεγγιτικά το µέγεθος του δείγµατος του ύνθετου χήµατος πολλαπλαιάζοντας το µέγεθος του απλού τυχαίου δείγµατος µε το Deff. 46