ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΥΟ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΥΟ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ Η ανάλυση προβλημάτων δύο διαστάσεων με τη μέθοδο των Πεπερασμένων Στοιχείων περιλαμβάνει τα ίδια βήματα όπως και στα προβλήματα μιας διάστασης. Η ανάλυση γίνεται λίγο πιο πολύπλοκη από το γεγονός ότι τα προβλήματα D περιγράφονται από Μ.Δ.Ε. που αναφέρονται σε πολύπλοκα γεωμετρικά πεδία. Επίλυση D προβλήματος Διακριτοποίηση και επίλυση πάνω σε μια γραμμή Επίλυση D προβλήματος Διακριτοποίηση και επίλυση μέσα σε ένα επίπεδο που περικλείεται από ένα καμπύλη Γ Τα πεπερασμένα στοιχεία δύο διαστάσεων είναι διδιάστατα απλά γεωμετρικά σχήματα που χρησιμοποιούνται για να προσεγγίσουν ένα διδιάστατο γεωμετρικό χωρίο καθώς και τη λύση της άγνωστης μεταβλητής στο χωρίο αυτό. Επομένως, στα D προβλήματα έχουμε σφάλματα που υπείσερχονται: α) λόγω της προσέγγισης της άγνωστης μεταβλητής β) λόγω της προσέγγισης του φυσικού πεδίου επίλυσης

Ένα από τα σημαντικά πλεονεκτήματα της μεθόδου των Πεπερασμένων Στοιχείων είναι ότι μπορεί να αναπαραστήσει πολύπλοκες γεωμετρίες με απλά γεωμετρικά σχήματα. Έστω η Μ.Δ.Ε. u u u u a a a a a u f x x y y x y 0 Τα βήματα που πρέπει να εφαρμόσουμε ώστε να επιλυθεί το πρόβλημα με τη μέθοδο των Πεπερασμένων Στοιχείων είναι:. Διακριτοποίηση του πεδίου επίλυσης με Πεπερασμένα Στοιχεία. Εξαγωγή ασθενούς μορφής της Μ.Δ.Ε. 3. Εξαγωγή καταλλήλων συναρτήσεων βάσης 4. Εφαρμογή του μοντέλου των Πεπερασμένων Στοιχείων σε κάθε στοιχείο 5. Σύνθεση του συνολικού προβλήματος από τους τοπικούς πίνακες σε κάθε στοιχείο 6. Επιβολή οριακών συνθηκών 7. Επίλυση συστήματος αλγεβρικών εξισώσεων 8. Επεξεργασία και παρουσίαση αποτελεσμάτων

. Διακριτοποίηση πεδίου επίλυσης με Πεπερασμένα Στοιχεία Στα D προβλήματα υπάρχουν παραπάνω από ένα απλά γεωμετρικά σχήματα που μπορούν να χρησιμοποιηθούν σαν στοιχεία. Η μορφή των συναρτήσεων παρεμβολής εξαρτάται από το σχήμα του στοιχείου και τον αριθμό των κόμβων σ αυτό. Η διαδικασία της αναπαράστασης του φυσικού πεδίου επίλυσης με πεπερασμένα στοιχεία ονομάζεται κατασκευή πλέγματος (msh gnration). H επιλογή του στοιχείου που θα χρησιμοποιηθεί, ο αριθμός των στοιχείων και η πύκνωση τους εξαρτάται από: α) τη γεωμετρία του πεδίου επίλυσης, β) το πρόβλημα που μελετάται και γ) το βαθμό ακρίβειας που απαιτείται στους υπολογισμούς. Οι βασικοί κανόνες που πρέπει να τηρούνται κατά την κατασκευή του πλέγματος για επίλυση με FEM είναι: α) Επιλογή στοιχείων (αριθμός, σχήμα, είδος) ώστε η γεωμετρία του πεδίου επίλυσης να μπορεί να αναπαρασταθεί με την επιθυμητή ακρίβεια β) Η πύκνωση των στοιχείων θα πρέπει να είναι τέτοια ώστε οι περιοχές μέσα στο πεδίο στις οποίες υπάρχει μεγάλη κλίση (παράγωγος) να μπορούν να αναπαρασταθούν με ακρίβεια. Στις περιοχές αυτές θα πρέπει να χρησιμοποιούμε είτε περισσότερα στοιχεία, είτε στοιχεία υψηλότερης τάξης.

γ) Όταν επιλέγεται μη ομοιόμορφο πλέγμα θα πρέπει να υπάρχει ομαλή διαβάθμιση της πύκνωσης από τις περιοχές υψηλής πύκνωσης στις περιοχές μικρότερης πύκνωσης. Σε περίπτωση που χρησιμοποιούνται διαφορετικά στοιχεία σε διαφορετικές περιοχές μέσα στο πλέγμα, τα μεταβατικά στοιχεία θα πρέπει να χρησιμοποιούνται μακριά από τις περιοχές με μεγάλες παραγώγους.

. Εξαγωγή ασθενούς μορφής Έστω η Μ.Δ.Ε.: u u u u a a a a a u f x x y y x y η οποία πρέπει να επιλυθεί στο φυσικό πεδίο Ω. Θέτουμε: 0 u u u u F a a, F a a x y x y F x F y () au f 0 () ο ΒΗΜΑ: Μηδενισμός ολοκληρώματος σταθμισμένου υπολοίπου Αν Ω είναι η περιοχή που αναφέρεται σε ένα στοιχείο τότε πολλαπλασιάζοντας με τις συναρτήσεις βάρους και ολοκληρώνοντας μέσα στο στοιχείο έχουμε: F x F y wi au f d 0, d dxdy ()

ο ΒΗΜΑ: Μείωση τάξης παραγώγου άγνωστης μεταβλητής Ισχύει: (w) F w F F w w w(w) F F F x x x x x x i i i i i i (w) F w F F w w w(w) F F F y y y y y y i i i i i i w w ()() w F w F x y x y (3) i i i i () F F w 0 iau wi f dxdy dxdy Από το θεώρημα Gauss ή απόκλισης γνωρίζουμε ότι: όπου Gd ngds n : ds : (4) το μοναδιαίο κάθετο διάνυσμα στο σύνορο Γ το θεμελιώδες μήκος τόξου κατά μήκος του συνόρου Γ Για D καρτεσιανή γεωμετρία: n nx ny, G Gx Gy wi F wi F x y x y x y Gd n GdS n G n G ds n w F n w F ds (4)()() x x y y x i y i

wi wi (3)() 0 F F wi au wi f dxdy wi F nx wi F ny ds x y wi u u wi u u ()() a a a a wi au wi f dxdy x x y y x y u u u u wi nx ()() a a0 ny a a ds x y x y 3 ο ΒΗΜΑ: Υπολογισμός επικαμπύλιου όρου Όταν σε ένα σύνορο γνωρίζουμε την τιμή της άγνωστης μεταβλητής τότε έχουμε ssntial οριακή συνθήκη και στο αντίστοιχο σύνορο δεν γράφεται η εξίσωση των πεπερασμένων στοιχείων. Όταν έχουμε πληροφορία για την τιμή της παραγώγου της μεταβλητής σε κάποιο σύνορο τότε έχουμε natural οριακές συνθήκες. Αν ορίσουμε: u u u u qn nx ()() a a ny a a x y x y Οπότε η εξίσωση (5) παίρνει την μορφή: (5) wi u u wi u u ()() a a a a 0 wi au wi f dxdy wi qnds x x y y x y (6)

Η τελευταία εξίσωση είναι της μορφής: B w,() u i l w i όπου ο πίνακας Β περιέχει τους διγραμμικούς όρους και το διάνυσμα l τους γραμμικούς: wi u u wi u u B( wi,u)()() a a a a wiau dxdy x x y y x y l() w w f dxdy w q ds i i i n Ο τοπικός πίνακας Β είναι συμμετρικός όταν: a a

3. Τοπικό μοντέλο πεπερασμένων στοιχείων Για την προσέγγιση της άγνωστης μεταβλητής ισχύει: u( x,)( y, y)( u,) x u x y (7) όπου u η τιμή της άγνωστης μεταβλητής στον κόμβο και οι συναρτήσεις σχήματος στο στοιχείο. Χρησιμοποιώντας την Galrkin μέθοδο w η τελική αλγεβρική εξίσωση σε κάθε στοιχείο παίρνει τη μορφή: Η τελευταία εξίσωση είναι της μορφής: n a a a a a dxdy fdxdy q ds n i i ()() i i i n x x y y x y n Kiu fi Qi ή [ K] u F Q Τοπικό σύστημα μεθόδου FEM όπου n i K ()() i i a a a a ia dxdy x x y y x y f fdxdy, Q q ds i i i i n

4. Κατασκευή συναρτήσεων βάσης Η προσέγγιση u ( x,) y της άγνωστης μεταβλητής θα πρέπει να ικανοποιεί ορισμένα κριτήρια ώστε η προσεγγιστική λύση να συγκλίνει στην πραγματική:. Να είναι όσο παραγωγίσιμη όσο απαιτεί η ασθενής μορφή των FEM.. Τα πολυώνυμα που χρησιμοποιούνται για την αναπαράσταση της u να είναι πλήρη. 3. Όλοι οι όροι στα πολυώνυμα πρέπει να είναι γραμμικά ανεξάρτητοι. Στο πρόβλημα που περιγράφεται από την εξίσωση () η πιο απλή προσέγγιση που μπορεί να χρησιμοποιηθεί είναι μια συνάρτηση γραμμική ως προς x και ως προς y. Δηλαδή: u ( x, y) c c x c y 3 Στην περίπτωση αυτή πρέπει να προσδιοριστούν τρεις σταθερές c i, i=,,3. Επομένως, το στοιχείο θα πρέπει να ορίζεται επαρκώς από τρία σημεία. Απαιτείται δηλαδή η εισαγωγή τριγωνικών σημείων.

ΤΡΙΓΩΝΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ Ι. Γραμμικά τριγωνικά στοιχεία Παρεμβάλλουμε την τιμή της άγνωστης μεταβλητής στις 3 κορυφές του τριγώνου. Αρίθμηση: αντίθετη από την φορά των δεικτών ρολογιού u ( x, y) c c x c y 3 (Ι) Ισχύει: u u ( x, y) c c x c y 3 u u ( x, y) c c x c y 3 u u ( x, y) c c x c y 3 3 3 3 3 3 Σύστημα 3 εξισώσεων με 3 αγνώστους: c, c, c 3 Aπο το παραπάνω σύστημα προκύπτουν τελικά οι τιμές των συντελεστών c και με τη βοήθεια της σχέσης (Ι) υπολογίζουμε τελικά τις γραμμικές τριγωνικές συναρτήσεις βάσης:

( x, y)()()(x) yx y x y y y x x A ( x, y)()()(x) yx3 y x y3 y3 y x x3 A 3( x, y)()()(x) yx y x y y y x x A 3 3 3 3 Γραμμικές τριγωνικές συναρτήσεις βάσης όπου Α το εμβαδόν του τριγώνου το οποίο ισούται με το μισό της ορίζουσας του συστήματος x y A D x y x y 3 3

Τοπικό σύστημα συντεταγμένων Χρησιμοποιώντας κατάλληλο μετασχηματισμό απεικονίζουμε το τριγωνικό στοιχείο σε τοπικό σύστημα συντεταγμένων (ξ,η). Με τον παρακάτω μετασχηματισμό οποιοδήποτε τρίγωνο μπορεί να αναπαρασταθεί ως ορθογώνιο ισοσκελές τρίγωνο. Μετασχηματισμός: x x ()() x x x x 3 y y (y)(y) y y 3

Για την εξαγωγή των συναρτήσεων σχήματος στο τοπικό σύστημα συντεταγμένων είτε αντικαθιστούμε τον παραπάνω μετασχηματισμό στην μορφή των συναρτήσεων όπως προέκυψαν χρησιμοποιώντας το global σύστημα συντεταγμένων, είτε θεωρούμε για την άγνωστη μεταβλητή την παρακάτω μορφή και ξεκινάμε την διαδικασία από την αρχή. u (,) c c c 3 (ΙΙ) u u(0,0) c u u(,0) c c u u(0,) c c 3 3 c u c u u c u u 3 3 ()II u () u u u 3 Συναρτήσεις βάσης 3 Γραμμικές τριγωνικές συναρτήσεις βάσης στο τοπικό σύστημα

ΙΙ. Τριγωνικά στοιχεία με τετραγωνικές συναρτήσεις Αν χρησιμοποιήσουμε τις τετραγωνικές συναρτήσεις (δηλ. μέχρι ης προσέγγιση της άγνωστης μεταβλητής μέσα σε ένα στοιχείο είναι: τάξης όρους) η u( x, y) a a x a y a x a xy a y 3 4 5 6 ή u(,) c c c c c c 3 4 5 6 Χρειαζόμαστε δηλαδή 6 κόμβους ανά στοιχείο. u u(0,0) c,(,0) u u c c c 4 c c4 u3 u(0,) c c3 c6,(0.5,0) u4 u c 4 c c3 c4 c5 c6 u5 u(0.5, 0.5) c 4 4 4 4 c3 c6 u6 u(0, 0.5) c 4 ()( ),( ),( ) 3 4(), 4, 4() 4 5 6 Τετραγωνικές συναρτήσεις βάσης για τριγωνικά στοιχεία στο τοπικό σύστημα

ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ Ι. Γραμμικά τετραγωνικά στοιχεία Q4 u 4 u Α ΤΡΟΠΟΣ u ( x, y) a a x a y a xy 3 4 ή Στο τοπικό σύστημα τελικά έχουμε: u (,) c c c c 3 4 ()(),()() 4 4 3 ()(),()() 4 4 4

Β ΤΡΟΠΟΣ Προκύπτουν ως γινόμενο των D γραμμικών συναρτήσεων: D συναρτήσεις στην ξ-κατεύθυνση ()(),()() D συναρτήσεις στην η-κατεύθυνση ()(),()() D συναρτήσεις στην ξ και η-κατεύθυνση: (,)()()()() 4 (,)()()()() 4 3(,)()()()() 4 4(,)()()()() 4

ΙΙ. Τετραγωνικά στοιχεία με τετραγωνικές συναρτήσεις βάσης (Q9) u 9 u u( x, y) a a x a y a xy a x 3 4 5 a y a x y a xy a x y 6 7 8 9 ή u(,) c c c c c 3 4 5 c c c c 6 7 8 9 Α ΤΡΟΠΟΣ Επιβάλλοντας τις τιμές της μεταβλητής στους 9 κόμβους προκύπτει ένα σύστημα 9x9 όπου υπολογίζουμε είτε τους συντελεστές global a, a,..a n, είτε τους local συντελεστές c, c,..c n. Τελικά, με τη βοήθεια της σχέσης: 9 u u προκύπτουν οι συναρτήσεις βάσης στην global ή local μορφή αντίστοιχα.

Β ΤΡΟΠΟΣ Προκύπτουν ως γινόμενο των D γραμμικών συναρτήσεων: D συναρτήσεις στην ξ-κατεύθυνση (),(),() 3 D συναρτήσεις στην η-κατεύθυνση (),(),() 3 (,)()()()(),(,)()()()() 6 4 (,)()()()(),( 3,)()()()() 7 4 3(,)()()()(),(,)()()()() 3 8 3 4 4(,)()()()(),( 3,)()()()() 3 9 3 4 5(,)()()()()

Υπολογισμός παραγώγων συναρτήσεων βάσης Όταν χρησιμοποιούμε το global σύστημα συντεταγμένων οι παράγωγοι των συναρτήσεων ως προς x και y προκύπτουν εύκολα με παραγώγιση των συναρτήσεων φ(x,y). Όταν χρησιμοποιήσουμε το τοπικό σύστημα συντεταγμένων (ξ,η) το οποίο προέκυψε από μετασχηματισμό του global ( x,)( y,) J τότε για τον υπολογισμό των μερικών παραγώγων ως προς x και y θα πρέπει να εφαρμόσουμε τον κάνονα της αλυσιδας. Δηλαδή: i i i x x x i i i y y y () () Tα τα i i, υπολογίζονται εύκολα αφού είναι συνάρτηση των ξ, η στο τοπικό. i Άγνωστες ποσότητες Επομένως, απομένει ο υπολογισμός των ποσοτήτων:,,, x x y y

Μετασχηματισμός: ( x,)( y,) J με ( x,)( y,) x y Ισχύει: d dx dy x y d dx dy x y Ισχύει: x x dx d d y y dy d d d x y dx (3) d dy x y x x dx d dy y y d x x d dx d y y dy (4) x x x y y y x y x x x y ad J y y x y προσαρτημένος J (5) x y y x

Εύρεση προσαρτημένου πίνακα. Υπολογίζω τον πίνακα Β τα στοιχεία του οποίου προκύπτουν από την σχέση: ( ) i i M i στοιχείο που απομένει ή ορίζουσα ως προς i B y y x x. O ανάστροφος του Β είναι ο προσαρτημένος πίνακας (adoint) που ψάχνουμε: x x y x T ad B y y y x

Άρα από τη σχέση (5) προκύπτει: y x x y J y x x y y x, x J y J y x, x J y J Επομένως τελικά οι παράγωγοι των συναρτήσεων βάσης υπολογίζονται από τις σχέσεις: i i y i y x J J i i x i x y J J όπου J x y y x και y y y n n y, x x x n n x, όπου y, x γνωστές τιμές των x,y στους κόμβους του στοιχειου