ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΡΙΣΜΟΙ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΤΥΠΟΙ ΧΩΡΙΣ ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

ΟΡΙΣΜΟΙ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΤΥΠΟΙ ΧΩΡΙΣ ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Το σύολο C τω μιγδικώ ριθμώ είι έ υπερσύολο του συόλου R τω πργμτικώ ριθμώ, στο οποίο: Επεκτείοτι οι πράξεις της πρόσθεσης κι του πολλπλσισμού έτσι, ώστε έχου τις ίδιες ιδιότητες όπως κι στο R, με το μηδέ ) είι το ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης κι το έ ) το ουδέτερο στοιχείο του πολλπλσισμού, Υπάρχει έ στοιχείο i τέτοιο, ώστε i =, Κάθε στοιχείο z του C γράφετι κτά μοδικό τρόπο με τη μορφή z = + i, όπου, R 3 Επειδή κάθε μιγδικός ριθμός z γράφετι με μοδικό τρόπο στη μορφή + i, δύο μιγδικοί ριθμοί Επομέως, επειδή 4 i = i 4 ρ+ υ = i i 4 ρ υ + i κι γ + δi είι ίσοι, κι μόο = γ κι = δ Δηλδή ισχύει: = + i, έχουμε = 4 ρ i ) υ ρ υ i = i + i = γ + δi = γ κι = δ + i = = κι = = i υ i = - i,,,, υ = υ = υ = υ = 3 5 Ιδιότητες Συζυγώ Στο μιγδικό επίπεδο οι εικόες M, ) κι M, ) δύο συζυγώ μιγδικώ z = + i κι z = i είι σημεί συμμετρικά ως προς το πργμτικό άξο Γι δύο συζυγείς μιγδικούς ριθμούς z = + i κι z = i μπορούμε εύκολ, με εκτέλεση τω πράξεω, διπιστώσουμε ότι: z + z = z z = i ΓΕΛ ΘΡΑΚΟΜΑΚΕΔΟΝΩΝ Α z = + i κι z = γ + δi είι δυο μιγδικοί ριθμοί, τότε: Ο Mz) M z) z + z = z + z z z = z z 3 z z = z z 4 z z z = z

6 Έστω M, ) η εικό του μιγδικού z = + i στο μιγδικό επίπεδο Ορίζουμε ως μέτρο του z τη πόστση του M πό τη ρχή O, δηλδή z = OM = + Α z = + i, τότε z = i κι z = i Eπομέως, z = z = z z = z z z z = z z z = z z z 7 Από τη γωστή μς τριγωική ισότητ κι πό τη γεωμετρική ερμηεί του θροίσμτος z + z κι της διφοράς z z δύο μιγδικώ προκύπτει ότι: z z z + z z + z Επίσης, είι φερό ότι το μέτρο του διύσμτος ON είι ίσο με το μέτρο του διύσμτος M M Επομέως: Το μέτρο της διφοράς δύο μιγδικώ είι ίσο με τη πόστση τω εικόω τους Δηλδή: M M ) = z 8 Γεικά, η εξίσωση z z = ρ, ρ > z πριστάει το κύκλο με κέτρο το σημείο Kz ) κι κτί ρ 9 Γεικά, η εξίσωση z z = z z πριστάει τη μεσοκάθετο του τμήμτος με άκρ τ σημεί Az ) κι Bz ) ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ Έστω Α έ υποσύολο του R Οομάζουμε πργμτική συάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μι διδικσί κό), με τη οποί κάθε στοιχείο A τιστοιχίζετι σε έ μόο πργμτικό ριθμό Το οομάζετι τιμή της στο κι συμολίζετι με ) Μερικές σικές συρτήσεις ΓΕΛ ΘΡΑΚΟΜΑΚΕΔΟΝΩΝ Στη πράγρφο υτή δίουμε τις γρφικές πρστάσεις μερικώ σικώ συρτήσεω, τις οποίες γωρίσμε σε προηγούμεες τάξεις Η πολυωυμική συάρτηση ) = + O O O

Η πολυωυμική συάρτηση ) =, O O > < Η πολυωυμική συάρτηση > Η ρητή συάρτηση > Οι συρτήσεις 3 ) =, O ) =, O ) =, g ) = = < < O ΓΕΛ ΘΡΑΚΟΜΑΚΕΔΟΝΩΝ O O = O Επειδή, < g ) =, η γρφική πράστση της = ποτελείτι πό δύο κλάδους Ο, ές είι η γρφική πράστση της = κι ο άλλος η συμμετρική της ως προς το άξο 3

Οι τριγωομετρικές συρτήσεις : ) = ημ, ) = συ, ) = εφ O π π =ημ ) Υπεθυμίζουμε ότι, οι συρτήσεις συάρτηση O π π/ O ) = εφ είι περιοδική με περίοδο T = π Η εκθετική συάρτηση > = π =συ ΓΕΛ ΘΡΑΚΟΜΑΚΕΔΟΝΩΝ π/ 3π/ =εφ ) = ημ κι ) = συ είι περιοδικές με περίοδο T = π, εώ η < ), ) O << Υπεθυμίζουμε ότι: >, τότε: < < Η λογριθμική συάρτηση ) γ) O ) < <, τότε: < > ) = log, < O O > ) << ) 4

Υπεθυμίζουμε ότι: ) log = 4) log ) = log + log = ) log κι = log = 5) log = log log k 3) log = κι log = 6) log = κlog 7) >, τότε: log < log < 8) < <, τότε : log < log > ln = e, φού ln = e Δύο συρτήσεις κι g λέγοτι ίσες ότ: έχου το ίδιο πεδίο ορισμού Α κι γι κάθε A ισχύει ) = g ) 3 Πράξεις με συρτήσεις Ορίζουμε ως άθροισμ + g, διφορά - g συρτήσεω, g τις συρτήσεις με τύπους Το πεδίο ορισμού τω ) ) = g g ) + g) ) = ) + g ) g) ) = ) g ) g ) ) = ) g ), γιόμεο g κι πηλίκο ΓΕΛ ΘΡΑΚΟΜΑΚΕΔΟΝΩΝ g δύο + g, g κι g είι η τομή A B τω πεδίω ορισμού Α κι Β τω συρτήσεω κι g τιστοίχως, εώ το πεδίο ορισμού της g είι το A B, εξιρουμέω τω τιμώ του που μηδείζου το προομστή g ), δηλδή το σύολο 4 { A κι B, με ) } g Α, g είι δύο συρτήσεις με πεδίο ορισμού Α, Β τιστοίχως, τότε οομάζουμε σύθεση της με τη g, κι τη συμολίζουμε με go, τη συάρτηση με τύπο go ) ) = g )) Το πεδίο ορισμού της go ποτελείτι πό όλ τ στοιχεί του πεδίου ορισμού της γι τ οποί το ) ήκει στο πεδίο ορισμού της g Δηλδή είι το σύολο Είι φερό ότι η go ορίζετι A = { A ) } B A, δηλδή A) B 5

5 ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Μι συάρτηση λέγετι : γησίως ύξουσ σ έ δ ι ά σ τ η μ Δ του πεδίου ορισμού της, ότ γι οποιδήποτε < ισχύει: ) < ) γησίως φθίουσ σ έ δ ι ά σ τ η μ Δ του πεδίου ορισμού της, ότ γι οποιδήποτε < ισχύει: ) > ) 6 Μι συάρτηση με πεδίο ορισμού Α θ λέμε ότι: Προυσιάζει στο Προυσιάζει στο A ολικό) μέγιστο, το ), ότ ) ) γι κάθε A A ολικό) ελάχιστο, το ), ότ ) ) γι κάθε A Το ολικό) μέγιστο κι το ολικό) ελάχιστο μις συάρτησης λέγοτι ολικά) κρόττ της 7 Μι συάρτηση συεπγωγή:, Δ με, Δ με :A R λέγετι συάρτηση, ότ γι οποιδήποτε, A ισχύει η, τότε ) ) Επίσης Μι συάρτηση :A R είι συάρτηση, κι μόο γι οποιδήποτε, A ισχύει η συεπγωγή: ΣΧΟΛΙΑ ) = ), τότε = Από το πρπάω ορισμό προκύπτει ότι μι συάρτηση είι, κι μόο : Γι κάθε στοιχείο του συόλου τιμώ της η εξίσωση ) = έχει κριώς μι λύση ως προς Δε υπάρχου σημεί της γρφικής της πράστσης με τη ίδι τετγμέη Αυτό σημίει ότι κάθε οριζότι ευθεί τέμει τη γρφική πράστση της το πολύ σε έ σημείο Σχ 33) O ΓΕΛ ΘΡΑΚΟΜΑΚΕΔΟΝΩΝ συάρτηση - Α μι συάρτηση είι γησίως μοότοη, τότε προφώς, είι συάρτηση " " Έτσι, οι 3 συρτήσεις ) = +,, ) =,, 3 ) =, < κι 4 ) = log, <, είι συρτήσεις Υπάρχου, όμως, συρτήσεις που είι λλά δε είι γησίως μοότοες, όπως γι πράδειγμ η, συάρτηση g ) = Σχ 34), > A B O συάρτηση όχι - =g) 33 34 O 6

8 Ατίστροφη συάρτηση ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Έστω μι συάρτηση : A R Α υποθέσουμε ότι υτή είι, τότε γι κάθε στοιχείο του συόλου τιμώ, A), της υπάρχει μοδικό στοιχείο του πεδίου ορισμού της Α γι το οποίο ισχύει ) = Επομέως ορίζετι μι συάρτηση g :A) R με τη οποί κάθε A) τιστοιχίζετι στο μοδικό A γι το οποίο ισχύει ) = Από το τρόπο που ορίστηκε η g προκύπτει ότι: έχει πεδίο ορισμού το σύολο τιμώ A) της, έχει σύολο τιμώ το πεδίο ορισμού Α της κι ισχύει η ισοδυμί: ) = g ) = Αυτό σημίει ότι, η τιστοιχίζει το στο, τότε η g τιστοιχίζει το στο κι τιστρόφως Δηλδή η g είι η τίστροφη διδικσί της Γι το λόγο υτό η g λέγετι τίστροφη συάρτηση της κι συμολίζετι με Επομέως έχουμε οπότε ) = ) = )) =, A κι )) =, A) Οι γρφικές πρστάσεις C κι C τω συρτήσεω κι τη ευθεί = που διχοτομεί τις γωίες O κι O 9 ) = l, κι μόο ) = ) = l είι συμμετρικές ως προς Α μι συάρτηση είι ορισμέη σε έ σύολο της μορφής, ), ), τότε ισχύει η ισοδυμί: ) = l ΓΕΛ ΘΡΑΚΟΜΑΚΕΔΟΝΩΝ Α ) >, τότε ) > κοτά στο A g)= ) = + =) + g ) = l O A) =) 36a 35 Α ) <, τότε ) < κοτά στο Α οι συρτήσεις, g έχου όριο στο κι ισχύει ) g ) κοτά στο, τότε ) g ) 7

3 Όρι κι πράξεις ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Α υπάρχου τ όρι τω συρτήσεω κι g στο, τότε: ) + g )) = ) + g ) κ )) = κ ), γι κάθε στθερά κ 3 ) g )) = ) g ) 4 4 ) ) =, εφόσο g ) g ) g ) 5 ) = ) 6 k ) = k ), εφόσο ) κοτά στο Έστω οι συρτήσεις τότε [ )], g, h Α h ) ) g ) κοτά στο κι h ) g = l, = ) 5 Tριγωομετρικά όρι συ = συ 6 Όριο σύθετης συάρτησης = ΓΕΛ ΘΡΑΚΟΜΑΚΕΔΟΝΩΝ ), ) = l * ημ, γι κάθε η ισότητ ισχύει μόο ότ = ) ημ ) = συ ) = Με τις ιδιότητες που φέρουμε μέχρι τώρ μπορούμε προσδιορίσουμε τ όρι πλώ συρτήσεω Α, όμως, θέλουμε υπολογίσουμε το g )), της σύθετης συάρτησης o g στο σημείο, τότε εργζόμστε ως εξής: Θέτουμε u = g) Υπολογίζουμε υπάρχει) το u = g ) κι 3 Υπολογίζουμε υπάρχει) το l = u) u u Αποδεικύετι ότι, g ) u κοτά στο, τότε το ζητούμεο όριο είι ίσο με l, δηλδή ισχύει: g )) = u) u u ημ = ημ 8

7 Α ) = +, τότε ) > κοτά στο, εώ ) =, τότε ) < κοτά στο Α ) = +, τότε )) =, εώ ) =, τότε )) = + Α ) = + ή, τότε = ) Α ) = κι ) > κοτά στο, τότε = +, εώ ) = ) κι ) < κοτά στο, τότε ) Α ) = + ή, τότε ) = + Α ) = +, τότε k ) = + Σύμφω με τις ιδιότητες υτές έχουμε: + = + = + εώ = κι γεικά = +, N κι γεικά = + +, N + κι γεικά =, N + = Επομέως, δε υπάρχει στο μηδέ το όριο της ) =, N + 8 ΘΕΩΡΗΜΑ ο όριο θροίσμτος) Α στο R το όριο της είι: R R + - + - κι το όριο της g είι: + - + - - + τότε το όριο της * + g είι: + - + - ; ; ΓΕΛ ΘΡΑΚΟΜΑΚΕΔΟΝΩΝ 9 ΘΕΩΡΗΜΑ ο όριο γιομέου) Α στο R, το όριο της είι: κι το όριο της g είι: τότε το όριο της g είι: > < > < + + - - + + - - + - + - + - + - - + ; ; + - - + 9

3 Απροσδιόριστες μορφές ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ + ) + ) κι ± ) + ) + ), ) ) κι 3 ΟΡΙΑ ΣΤΟ = + κι =, + + 3 +, = -, άρτιος περιττός κι =, ±, ± * N * N Γι τη πολυωυμική συάρτηση P ) = + + L +, με ισχύει: P ) = ) κι P ) = ) + Γι τη ρητή συάρτηση ) + = κ κ κ + κ + ) = + + κ κι κ ΓΕΛ ΘΡΑΚΟΜΑΚΕΔΟΝΩΝ + L+ + + L+ + 33 Όρι εκθετικής - λογριθμικής συάρτησης Α >, τότε =, = + + log =, log = + Α < <, τότε + = +, = log 34 + = +, log = +,, ισχύει: ) = κ Εστω μι συάρτηση κι έ σημείο του πεδίου ορισμού της Θ λέμε ότι η είι συεχής στο, ότ 35 ) = ) Μι συάρτηση θ λέμε ότι είι συεχής σε έ οικτό διάστημ, ), ότ είι συεχής σε κάθε σημείο του, ) Μι συάρτηση θ λέμε ότι είι συεχής σε έ κλειστό διάστημ [, ], ότ είι συεχής σε κάθε σημείο του, ) κι επιπλέο ) = ) + κι ) = ) κ κ

36 Θεώρημ του Bolzano Στο διπλό σχήμ έχουμε τη γρφική πράστση μις συεχούς συάρτησης στο [, ] Επειδή τ σημεί A, )) κι B, )) ρίσκοτι εκτέρωθε του άξο, η γρφική πράστση της τέμει το άξο σε έ τουλάχιστο σημείο Συγκεκριμέ ισχύει το πρκάτω θεώρημ του οποίου η πόδειξη πρλείπετι ) a O a) Α,)) 64 B,)) Έστω μι συάρτηση, ορισμέη σε έ κλειστό διάστημ [, ] Α: η είι συεχής στο [, ] κι, επιπλέο, ισχύει ) ) <, τότε υπάρχει έ, τουλάχιστο,, ) τέτοιο, ώστε ) = Δηλδή, υπάρχει μι, τουλάχιστο, ρίζ της εξίσωσης ) = στο οικτό διάστημ, ) 37 ΘΕΩΡΗΜΑ Μέγιστης κι ελάχιστης τιμής) Α είι συεχής συάρτηση στο [, ], τότε η πίρει στο [, ] μι μέγιστη τιμή Μ κι μι ελάχιστη τιμή m Δηλδή, υπάρχου [, ] τέτοι, ώστε, m = ) κι M = ), ισχύει ΣΧΟΛΙΟ, ΓΕΛ ΘΡΑΚΟΜΑΚΕΔΟΝΩΝ m ) M, γι κάθε [, ] Από το πρπάω θεώρημ κι το θεώρημ εδιάμεσω τιμώ προκύπτει ότι το σύολο τιμώ μις συεχούς συάρτησης με πεδίο ορισμού το [, ] είι το κλειστό διάστημ [ m, M], όπου m η ελάχιστη τιμή κι Μ η μέγιστη τιμή της A μι συάρτηση είι γησίως ύξουσ κι συεχής σε έ οικτό διάστημ, ), τότε το σύολο τιμώ της στο διάστημ υτό είι το διάστημ Α, Β), όπου Α = ) κι B = ) + Α, όμως, η είι γησίως φθίουσ κι συεχής στο, ), τότε το σύολο τιμώ της στο διάστημ υτό είι το διάστημ B, A) 38 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ Έστω μι συάρτηση κι A, )) έ σημείο της C Α υπάρχει το ) ) κι είι ές πργμτικός ριθμός λ, τότε ορίζουμε ως εφπτομέη της C στο σημείο της Α, τη ευθεί ε που διέρχετι πό το Α κι έχει συτελεστή διεύθυσης λ Επομέως, η εξίσωση της εφπτομέης στο σημείο A, )) είι ) = λ ),

39 ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Μι συάρτηση λέμε ότι είι πργωγίσιμη σ έ σημείο του πεδίου ορισμού της, υπάρχει το ) κι είι πργμτικός ριθμός Το όριο υτό οομάζετι πράγωγος της στο κι συμολίζετι με ) ) ) ) = 4 Η είι πργωγίσιμη στο, κι μόο υπάρχου στο R τ όρι κι είι ίσ 4 Α δύο μετλητά μεγέθη ) ), + ΓΕΛ ΘΡΑΚΟΜΑΚΕΔΟΝΩΝ ) ) ) Δηλδή:, συδέοτι με τη σχέση = ), ότ είι μι συάρτηση πργωγίσιμη στο, τότε οομάζουμε ρυθμό μετολής του ως προς το στο σημείο τη πράγωγο ) 4 Μι συάρτηση, με πεδίο ορισμού Α, θ λέμε ότι προυσιάζει στο δ >, τέτοιο ώστε ) ) γι κάθε A δ, + ) A τοπικό μέγιστο, ότ υπάρχει δ Το λέγετι θέση ή σημείο τοπικού μεγίστου, εώ το ) τοπικό μέγιστο της 43 Μί συάρτηση, με πεδίο ορισμού Α, θ λέμε ότι προυσιάζει στο υπάρχει δ >, τέτοιο ώστε ) ), γι κάθε A δ, + ) δ Το λέγετι θέση ή σημείο τοπικού ελχίστου, εώ το ) τοπικό ελάχιστο της A τοπικό ελάχιστο, ότ 44 Π ι θ έ ς θ έ σ ε ι ς τ ω τ ο π ι κ ώ κ ρ ο τ ά τ ω μις συάρτησης σ έ διάστημ Δ είι: Τ εσωτερικά σημεί του Δ στ οποί η πράγωγος της μηδείζετι Τ εσωτερικά σημεί του Δ στ οποί η δε πργωγίζετι 3 Τ άκρ του Δ ήκου στο πεδίο ορισμού της) 45 Τ ε σ ω τ ε ρ ι κ ά σημεί του Δ στ οποί η δε πργωγίζετι ή η πράγωγός της είι ίση με το μηδέ, λέγοτι κρίσιμ σημεί της στο διάστημ Δ 46 Έστω μι συάρτηση πργωγίσιμη σ έ διάστημ, ), με εξίρεση ίσως έ σημείο του, στο οποίο όμως η είι συεχής i) Α ) > στο, ) κι ) < στο, ), τότε το ) είι τοπικό μέγιστο της ii) Α ) < στο, ) κι ) > στο, ), τότε το ) είι τοπικό ελάχιστο της iii) A η ) διτηρεί πρόσημο στο, ), ), τότε το ) δε είι τοπικό κρόττο κι η είι γησίως μοότοη στο, )

47 ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Έστω μί συάρτηση σ υ ε χ ή ς σ έ διάστημ Δ κι π ρ γ ω γ ί σ ι μ η στο ε σ ω τ ε ρ ι κ ό του Δ Θ λέμε ότι: Η συάρτηση στρέφει τ κοίλ προς τ άω ή είι κυρτή στο Δ, η είι γησίως ύξουσ στο ε σ ω τ ε ρ ι κ ό του Δ Η συάρτηση στρέφει τ κοίλ προς τ κάτω ή είι κοίλη στο Δ, η είι γησίως φθίουσ στο ε σ ω τ ε ρ ι κ ό του Δ 48 Εστω μι συάρτηση σ υ ε χ ή ς σ έ διάστημ Δ κι δυο φορές πργωγίσιμη στο ε σ ω τ ε ρ ι κ ό του Δ Α ) > γι κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σημείο του Δ, τότε η είι κυρτή στο Δ Α ) < γι κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σημείο του Δ, τότε η είι κοίλη στο Δ 49 Έστω μι συάρτηση πργωγίσιμη σ έ διάστημ, ), με εξίρεση ίσως έ σημείο του Α η είι κυρτή στο, ) κι κοίλη στο, ), ή τιστρόφως, κι η C έχει εφπτομέη στο σημείο A, )), τότε το σημείο A, )) οομάζετι σημείο κμπής της γρφικής πράστσης της 5 Α το A, )) είι σημείο κμπής της γρφικής πράστσης της κι η είι δυο φορές πργωγίσιμη, τότε ) = 5 Π ι θ έ ς θ έ σ ε ι ς σ η μ ε ί ω κ μ π ή ς μις συάρτησης σ έ διάστημ Δ είι: i) τ εσωτερικά σημεί του Δ στ οποί η μηδείζετι, κι ii) τ εσωτερικά σημεί του Δ στ οποί δε υπάρχει η 5 Έστω μι συάρτηση oρισμέη σ έ διάστημ, ) κι, ) Α η λλάζει πρόσημο εκτέρωθε του κι ορίζετι εφπτομέη της C στο A, )), τότε το A, )) είι σημείο κμπής 53 Aσύμπτωτες + Α έ τουλάχιστο πό τ όρι ), ) είι + ή, τότε η ευθεί = λέγετι κτκόρυφη σύμπτωτη της γρφικής πράστσης της ΓΕΛ ΘΡΑΚΟΜΑΚΕΔΟΝΩΝ Α ) = l τιστοίχως ) = l), τότε η ευθεί = l λέγετι οριζότι σύμπτωτη της + γρφικής πράστσης της στο + τιστοίχως στο ) Η ευθεί τιστοίχως = λ + λέγετι σύμπτωτη της γρφικής πράστσης της στο +, τιστοίχως στο, [ ) λ + )] =, + [ ) λ + )] = 3

Η ευθεί = λ + είι σύμπτωτη της γρφικής πράστσης της στο +, τιστοίχως στο, κι μόο τιστοίχως ) = λ R κι [ ) λ] = R, + + ) = λ R κι [ ) λ] = R ΣΧΟΛΙΑ Αποδεικύετι ότι: Οι πολυωυμικές συρτήσεις θμού μεγλύτερου ή ίσου του δε έχου σύμπτωτες P ) Οι ρητές συρτήσεις, με θμό του ριθμητή P ) μεγλύτερο τουλάχιστο κτά δύο του Q ) θμού του προομστή, δε έχου πλάγιες σύμπτωτες Σύμφω με τους πρπάω ορισμούς, σύμπτωτες της γρφικής πράστσης μις συάρτησης ζητούμε: Στ άκρ τω διστημάτω του πεδίου ορισμού της στ οποί η δε ορίζετι Στ σημεί του πεδίου ορισμού της, στ οποί η δε είι συεχής Στο +,, εφόσο η συάρτηση είι ορισμέη σε διάστημ της μορφής, + ), τιστοίχως, ) 54 Κόες de L Hospital Θεώρημ Α ) =, g ) =, R {, + } κι υπάρχει το πεπερσμέο ή άπειρο), τότε: ) g ) ) g ) = Θεώρημ Α ) = +, g ) = +, R {, + } κι υπάρχει το πεπερσμέο ή άπειρο), τότε: ΣΧΟΛΙΑ Το θεώρημ ισχύει κι γι τις μορφές ) g ) ) g ) ΓΕΛ ΘΡΑΚΟΜΑΚΕΔΟΝΩΝ ) g ) = +,, + ) g ) Τ πρπάω θεωρήμτ ισχύου κι γι πλευρικά όρι κι μπορούμε, χρειάζετι, τ εφρμόσουμε περισσότερες φορές, ρκεί πληρούτι οι προϋποθέσεις τους 55 ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ο Βρίσκουμε το πεδίο ορισμού της o Eξετάζουμε τη συέχει της στο πεδίο ορισμού της 4

3ο Βρίσκουμε τις πργώγους κι κι κτσκευάζουμε τους πίκες τω προσήμω τους Με τη οήθει του προσήμου της προσδιορίζουμε τ διστήμτ μοοτοίς κι τ τοπικά κρόττ της, εώ με τη οήθει του προσήμου της κθορίζουμε τ διστήμτ στ οποί η είι κυρτή ή κοίλη κι ρίσκουμε τ σημεί κμπής 4ο Μελετούμε τη συμπεριφορά της συάρτησης στ άκρ τω διστημάτω του πεδίου ορισμού της ορικές τιμές, σύμπτωτες, κτλ) 5ο Συγκετρώουμε τ πρπάω συμπεράσμτ σ έ συοπτικό πίκ που λέγετι κι πίκς μετολώ της κι με τη οήθειά του χράσσουμε τη γρφική πράστση της Γι κλύτερη σχεδίση της C κτσκευάζουμε έ πίκ τιμώ της ΣΧΟΛΙΟ ) Όπως είι γωστό, μι συάρτηση με πεδίο ορισμού το Α είι ά ρ τ ι, τότε η C έχει άξο συμμετρίς το άξο, εώ είι π ε ρ ιτ τ ή, η C έχει κέτρο συμμετρίς τη ρχή τω ξόω Ο Επομέως, γι τη μελέτη μις τέτοις συάρτησης μπορούμε περιοριστούμε στ A, με ) Α μι συάρτηση είι π ε ρ ι ο δ ι κ ή με περίοδο Τ, τότε περιορίζουμε τη μελέτη της C σ έ διάστημ πλάτους Τ 56 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Έστω μι συάρτηση ορισμέη σε έ διάστημ Δ Αρχική συάρτηση ή πράγουσ της στο Δ οομάζετι κάθε συάρτηση F που είι πργωγίσιμη στο Δ κι ισχύει F ) = ), γι κάθε Δ 57 Αόριστο ολοκλήρωμ Το σύολο όλω τω πργουσώ μις συάρτησης σ έ διάστημ Δ οομάζετι όριστο ολοκλήρωμ της στο Δ, συμολίζετι ) d κι διάζετι ολοκλήρωμ εφ του τε Δηλδή, 58 ) d = F ) + c, c R, Γι κάθε συάρτηση, πργωγίσιμη σε έ διάστημ Δ, ισχύει 59 ) d = ) + c, c R ΠΙΝΑΚΑΣ ΑΟΡΙΣΤΩΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΩΝ d = c 6 ημd ΓΕΛ ΘΡΑΚΟΜΑΚΕΔΟΝΩΝ d 3 d 4 d 5 συd = συ + c = + c 7 d = εφ + c συ = ln + c 8 d = σφ + c ημ + = + c +, 9 e d = ημ + c d = e + c = + c ln 5

Α οι συρτήσεις κι g έχου πράγουσ σ έ διάστημ Δ, τότε * λ ) d = λ ) d, λ ) g )) d = ) d + + g ) d 6 Μέθοδος ολοκλήρωσης κτά πράγοτες 6 Ολοκλήρωση με τικτάστση ) g ) d = ) g ) ) g ) d g )) g ) d = u) du, όπου u = g) κι du = g ) d 6 Η έοι του ορισμέου ολοκληρώμτος Α ), τότε ) d 63 Έστω κι γεικά ) d = ) d ΓΕΛ ΘΡΑΚΟΜΑΚΕΔΟΝΩΝ ) d =, g σ υ ε χ ε ί ς συρτήσεις στο [, ] κι λ, μ R Τότε ισχύου ) d = λ λ ) d [ ) + g )] d = ) d + g ) d [ ) + μg )] d = λ ) d + μ λ g ) d Α η είι σ υ ε χ ή ς σε διάστημ Δ κι 64 γ ) d = ) d +,, γ Δ, τότε ισχύει γ ) d Έστω μι σ υ ε χ ή ς συάρτηση σε έ διάστημ [, ] Α ) γι κάθε [, ] κι η συάρτηση δε είι πτού μηδέ στο διάστημ υτό, τότε ) d > 65 Α είι μι συεχής συάρτηση σε έ διάστημ Δ κι είι έ σημείο του Δ, τότε η συάρτηση = F ) t) dt, Δ, είι μι πράγουσ της στο Δ Δηλδή ισχύει: t) dt = ), a γι κάθε Δ 6