Rīgas Tehniskā universitāte. Inženiermatemātikas katedra. Uzdevumu risinājumu paraugi. 4. nodarbība

Σχετικά έγγραφα
Lielumus, kurus nosaka tikai tā skaitliskā vērtība, sauc par skalāriem lielumiem.

ESF projekts Pedagogu konkurētspējas veicināšana izglītības sistēmas optimizācijas apstākļos Vienošanās Nr. 2009/0196/1DP/

Latvijas Universitāte Fizikas un matemātikas fakultāte datorzinātņu nodaļa

Agnis Andžāns, Julita Kluša /95. m.g. matemātikas olimpiāžu uzdevumi ar atrisinājumiem

ATRISINĀJUMI LATVIJAS REPUBLIKAS 32. OLIMPIĀDE

LATVIJAS RAJONU 33. OLIMPIĀDE. 4. klase

1. uzdevums. 2. uzdevums

Παρασκευή 1 Νοεμβρίου 2013 Ασκηση 1. Λύση. Παρατήρηση. Ασκηση 2. Λύση.

LATVIJAS REPUBLIKAS 45. OLIMPIĀDE

Komandu olimpiāde Atvērtā Kopa. 8. klases uzdevumu atrisinājumi

Īsi atrisinājumi Jā, piemēram, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 4. Piezīme. Uzdevumam ir arī vairāki citi atrisinājumi Skat., piemēram, 1. zīm.

Compress 6000 LW Bosch Compress LW C 35 C A ++ A + A B C D E F G. db kw kw /2013

GATAVOSIMIES CENTRALIZĒTAJAM EKSĀMENAM MATEMĀTIKĀ

Logatherm WPS 10K A ++ A + A B C D E F G A B C D E F G. kw kw /2013

ΔΗΜΟΤΙΚΕΣ ΕΚΛΟΓΕΣ 18/5/2014 ΑΚΥΡΑ

Pismeni dio ispita iz Matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja u zavisnosti od parametra a:

M.Jansone, J.Blūms Uzdevumi fizikā sagatavošanas kursiem

10. klase 1. uzdevuma risinājums A. Dēļa garums l 4,5 m. sin = h/l = 2,25/4,5 = 0,5 = (2 punkti) W k. s = 2,25 m.

LATVIJAS RAJONU 43. OLIMPIĀDE

Mehānikas fizikālie pamati

Tēraudbetona konstrukcijas

ATTĒLOJUMI UN FUNKCIJAS. Kopas parasti tiek uzskatītas par fiksētiem, statiskiem objektiem.

II. ANALITIČKA GEOMETRIJA PROSTORA

Rīgas Tehniskā universitāte Materiālu un Konstrukciju institūts. Uzdevums: 3D- sijas elements Beam 189. Programma: ANSYS 9

GRAFOANALITISKO DARBU UZDEVUMI ELEKTROTEHNIKĀ UN ELEKTRONIKĀ VISPĀRĪGI NORĀDĪJUMI

FORD KA KA_202054_V2_2013_Cover.indd /06/ :51

Gaismas difrakcija šaurā spraugā B C

Ķermeņa inerce un masa. a = 0, ja F rez = 0, kur F visu uz ķermeni darbojošos spēku vektoriālā summa

Taisnzobu cilindrisko zobratu pārvada sintēze

6.2. Gaismas difrakcija Gaismas difrakcijas veidi

Lai atvēru dokumentu aktivējiet saiti. Lai atgrieztos uz šo satura rādītāju, lietojiet taustiņu kombināciju CTRL+Home.

LU A.Liepas Neklātienes matemātikas skola /2011.m.g. sagatavošanās olimpiāde matemātikā

Rekurentās virknes. Aritmētiskā progresija. Pieņemsim, ka q ir fiksēts skaitlis, turklāt q 0. Virkni (b n ) n 1, kas visiem n 1 apmierina vienādību

,

1. Testa nosaukums IMUnOGLOBULĪnS G (IgG) 2. Angļu val. Immunoglobulin G

ATTIECĪBAS. Attiecības - īpašība, kas piemīt vai nepiemīt sakārtotai vienas vai vairāku kopu elementu virknei (var lietot arī terminu attieksme).

Komandu olimpiāde Atvērtā Kopa Atrisinājumi 7. klasei

FIZ 2.un 3.daļas standartizācija 2012.gads

Latvijas Skolēnu 62. fizikas olimpiādes III posms

ss rt çã r s t Pr r Pós r çã ê t çã st t t ê s 1 t s r s r s r s r q s t r r t çã r str ê t çã r t r r r t r s

Šis dokuments ir izveidots vienīgi dokumentācijas nolūkos, un iestādes neuzņemas nekādu atbildību par tā saturu

Για να εμφανιστούν σωστά οι χαρακτήρες της Γραμμικής Β, πρέπει να κάνετε download και install τα fonts της Linear B που υπάρχουν στο τμήμα Downloads.

LATVIJAS REPUBLIKAS 38. OLIMPIĀDE

dužina usmjerena (orijentirana) dužina (zna se koja je točka početna, a koja krajnja) vektor

FIZIKĀLO FAKTORU KOPUMS, KAS VEIDO ORGANISMA SILTUMAREAKCIJU AR APKĀRTĒJO VIDI UN NOSAKA ORGANISMA SILTUMSTĀVOKLI

BŪVJU TEORIJAS PAMATI

Kontroldarba varianti. (II semestris)

5. un 6.lekcija. diferenciālvienādojumiem Emdena - Faulera tipa vienādojumi. ir atkarīgas tikai no to attāluma r līdz lodes centram.

Rīgas Tehniskā universitāte Enerģētikas un elektrotehnikas fakultāte Vides aizsardzības un siltuma sistēmu institūts

Atrisinājumi Latvijas 64. matemātikas olimpiāde 3. posms x 1. risinājums. Pārveidojam doto izteiksmi, atdalot pilno kvadrātu:

"Profesora Cipariņa klubs" 2005./06. m.g. 1. nodarbības uzdevumu atrisinājumi. A grupa

Lai atvēru dokumentu aktivējiet saiti. Lai atgrieztos uz šo satura rādītāju, lietojiet taustiņu kombināciju CTRL+Home.

Atlases kontroldarbs uz Baltijas valstu ķīmijas olimpiādi 2013.gada 07.aprīlī

3.2. Līdzstrāva Strāvas stiprums un blīvums

Latvijas Universitāte Fizikas un matemātikas fakultāte. Inese Bula MIKROEKONOMIKA (MATEMĀTISKIE PAMATI)

rs r r â t át r st tíst Ó P ã t r r r â

LATVIJAS RAJONU 39. OLIMPIĀDE

A N A L I S I S K U A L I T A S A I R D I K A L I M A N T A N S E L A T A N S E B A G A I B A H A N C A M P U R A N B E T O N

Labojums MOVITRAC LTE-B * _1114*

Fax no To Page: 1/12

I.4. Laisvasis kūnų kritimas

Dinamika krutog tijela. 14. dio

Klasificēšanas kritēriji, ņemot vērā fizikāli ķīmiskās īpašības

AGNIS ANDŽĀNS, DACE BONKA, ZANE KAIBE, LAILA ZINBERGA. Matemātikas sacensības klasēm uzdevumi un atrisinājumi 2009./2010.

4. APGAISMOJUMS UN ATTĒLI

Sarò signor io sol. α α. œ œ. œ œ œ œ µ œ œ. > Bass 2. Domenico Micheli. Canzon, ottava stanza. Soprano 1. Soprano 2. Alto 1

P A atgrūšanās spēks. P A = P P r P S. P P pievilkšanās spēks

Andrejs Rauhvargers VISPĀRĪGĀ ĶĪMIJA. Eksperimentāla mācību grāmata. Atļāvusi lietot Latvijas Republikas Izglītības un zinātnes ministrija

KOMISIJAS ĪSTENOŠANAS REGULA (ES)

Ο ΠΕΡΙ ΤΕΛΩΝΕΙΑΚΟΥ ΚΩΔΙΚΑ ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ 2004

Q π (/) ^ ^ ^ Η φ. <f) c>o. ^ ο. ö ê ω Q. Ο. o 'c. _o _) o U 03. ,,, ω ^ ^ -g'^ ο 0) f ο. Ε. ιη ο Φ. ο 0) κ. ο 03.,Ο. g 2< οο"" ο φ.

KOMBINATORIKAS UN VARBŪTĪBU TEORIJAS ELEMENTI. matemātikas profīlkursam vidusskolā

PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN

d 2 y dt 2 xdy dt + d2 x

TIEŠĀ UN NETIEŠĀ GRADIENTA ANALĪZE

Γενικά Μαθηματικά ΙΙ

Japanese Fuzzy String Matching in Cooking Recipes

ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΔΙΕΓΕΡΣΗ ΧΟΡΔΗΣ ΠΟΥ ΕΙΝΑΙ ΠΑΚΤΩΜΕΝΗ ΣΤΟ ΕΝΑ ΑΚΡΟ ΤΗΣ Κ. ΕΥΤΑΞΙΑΣ ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΕΥΤΑΞΙΑΣ

Council of the European Union Brussels, 25 June 2015

Κώστας Φελουκατζής Σημειώσεις εξετάσεων ΠΛΗ-20 / ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ

2. PLAKANU STIEŅU SISTĒMU STRUKTŪRAS ANALĪZE

JAUNO ĶĪMIĶU KONKURSA 2.KĀRTAS UZDEVUMI

LATVIJAS 48. NACIONĀLĀ ĶĪMIJAS OLIMPIĀDE (2007)

Lai atvēru dokumentu aktivējiet saiti. Lai atgrieztos uz šo satura rādītāju, lietojiet taustiņu kombināciju CTRL+Home.

THỂ TÍCH KHỐI CHÓP (Phần 04) Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG

O ITIKH Ô ÎÔÈÓˆÓÈÎfi apple Î ÙÔ apple ÚÔ ÒÓ appleô ı ÂÍ ÁÁÂ ÏÂÈ Ô. apple Ó- Ú Ô ÛÙË.

Năm Chứng minh. Cách 1. Y H b. H c. BH c BM = P M. CM = Y H b

Elektriskais lauks dielektriķos Brīvie un saistītie lādiņi

ÙËÓ ÂappleÔ ÙÔ ÈÒÚÁÔ OÈ ÌÂÙÔ Í Û Ó ÙËÓ ÎÚ ÛË. PÔ ÛÊ ÙÈ ÛÙÔ apple Ú 5 M ÚÈ Î È ÙËÓ ÙÂÏÂ Ù ÒÚ. «EÏÏËÓ Ú» applefi ÙËÓ AÏ Ó

Elektrozinību teorētiskie pamati

Latvijas. 9 punkti. Četri vienā. 15 punkti. 12 punkti. Kristāli no gaisa. Gāzu ķīmijaa 1. A = H 2 S B = SO 2 C = S D = SO 3 E = H 2 SO 3 F = H 2 SO 4

DEKLARĀCIJA PAR VEIKSTSPĒJU

Κεφάλαιο 3 ο : Αναπαράσταση θέσης

TIESĪBU AKTI, KO PIEŅEM STRUKTŪRAS, KURAS IZVEIDOTAS AR STARPTAUTISKIEM NOLĪGUMIEM

I dalis KLAUSIMŲ SU PASIRENKAMUOJU ATSAKYMU TEISINGI ATSAKYMAI

SKICE. VĪTNE SATURS. Ievads Tēmas mērķi Skice Skices izpildīšanas secība Mērinstrumenti un detaļu mērīšana...

ΛΟΞΗ ΚΟΠΗ 1. ΓΕΝΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΣΗΜΕΙΩΣΗ

Laboratorijas darbu apraksts (I semestris)

AÎ ÓËÙ : X Ú ÙÛÈ ÛÂ ÌÂÛ Î È ÌÂÁ Ï TI Y O XE HKE KAI TI PA MATO OIH E H KYBEPNH H TOY A OK. NÙÔÎÔ Ì ÓÙÔ ÁÈ ÙËÓ fiïë

Kā radās Saules sistēma?

Transcript:

Rīgas Tehniskā univesitāte Inženiematemātikas kateda Uzdevumu isinājumu paaugi 4 nodabība piemēs pēķināt vektoa a gaumu un viziena kosinusus, ja a = 5 i 6 j + 5k Vektoa a koodinātas i dotas: a 5 ; a = 6; a = 5 = y z Vektoa modulis i vienāds a kvadātsakni no tā koodinātu kvadātu summas: a = 5 + ( 6) + ( 5) = 5 + 6 + 0 = 8 = 9 Viziena kosinusus atodam pēc fomulām: a 5 a y 6 az 5 cos α = = ; cos β = = = ; cosγ = = a 9 a 9 a 9 Vaam secināt, ka vektos a a odinātu asi veido platu leņķi ( cos β < 0), bet a abscisu un aplikātu asīm šauus leņķus ( cos α > 0, cosγ > 0 ) cīmedzot, ja kāda vektoa koodināta i vienāda a 0 (tad aī atbilstošais viziena kosinuss i vienāds a 0), vektos a attiecīgo asi veido taisnu leņķi piemēs Noteikt vektoa moduli, viziena kosinusus un otu Uzzīmēt vektou koodinātu sistēmā, ja (, -, ) un ( 5,, ) Vektoa koodinātes nosaka no vektoa galapunkta koodinātēm atņemot sākumpunkta koodinātes: (, 4, ) = Vektoa modulis i vienāds a kvadātsakni no tā koodinātu kvadātu summas: = + 4 + ( ) = 9 Vektoa ots i vienības vektos, kua viziens sakīt a dotā vektoa vizienu Tā koodinātes iegūst, dotā vektoa koodinātes izdalot a vektoa moduli: 0 =, 9 4, 9 9 4 nodabība lpp ugstākā matemātika I Volodko

Rīgas Tehniskā univesitāte Inženiematemātikas kateda Uzdevumu isinājumu paaugi Vektoa attēlojums koodinātu sistēmā: z - 0 4 y piemēs Plaknē doti divi vektoi a = (,) un = (, ) b, a un a + b b Konstuēt vektous a, b, b y a b + a a - 0 b 4 Vektou b = (, );, a un a + b koodinātas i b a = (, ) = ( 4, ); a + b = ( 4, + ) = (, 4) 4 nodabība lpp ugstākā matemātika I Volodko

Rīgas Tehniskā univesitāte Inženiematemātikas kateda Uzdevumu isinājumu paaugi 4 piemēs ateiālam punktam pielikti spēki f = i + j + k, f = i + j k un f = i + k tast ezultējošo spēku un tā moduli Rezultējošais spēks F i vienāds a pielikto spēku summu F = f + f + f, tātad Tā modulis ( +, + + 0, + ) = (,4,4) F = F = + 4 + 4 = 4 + 6 + 6 = 6 = 6 5 piemēs Vektoa = (,, 6) sākumpunktu a galapunkts i punkts (, 5, 6) tast vektoa a pzīmēsim vektoa a sākumpunktu a (, y, z) Tad vektoa a koodinātas i punktu un attiecīgo koodinātu stapība, ti no kuienes =, 5 y =, 6 z = 6, =, y =, z = 0 No šīm sakaībām edzams, ka vektoa sākumpunkta koodinātas va noteikt, no galapunkta koodinātām atņemot atbilstošās vektoa koodinātas 6 piemēs Doti punkti (, -, ), (,, 0 ), ( 4, -, 5 ), D( 5,, - ) a) pēķināt tijstūa mediānu no visotnes ; b) Noteikt punktu E tā, lai četstūis E būtu paalelogams a) Noteiksim vektou koodinātas =( -,, - ), =( -,, -5 ) Tijstūa mediānas vektou izteiksim a malu vektou summu ( + ) = (, 4, 8) m = ediānas gaums i vienāds a šī vektoa moduli 89 m = 9 + 6 + 64 = 4 nodabība lpp ugstākā matemātika I Volodko

Rīgas Tehniskā univesitāte Inženiematemātikas kateda Uzdevumu isinājumu paaugi b) Paalelogama petējās malas i paalēlas un vienāda gauma, tātad petējo malu vektoi i vienādi E = = (,, 5 ) Vektoa galapunktu nosaka, pie vektoa sākumpunkta koodinātām pieskaitot vektoa koodinātes E = (, -4, 7 ) 7 piemēs tast vektoa a + b + c pojekciju uz ass l, ja vektoi a, b un c a asi l π π attiecīgi veido leņķus 0,, un a = b = 5, c = 4 Kā zināms, bet poj l ( a b + c) = poj a + poj b + poj c +, poj a l = a cos, l l ( a l) Tātad π pojl a = 5 cos0 = 5; pojl b = 5 cos =,5; un saskaitot iegūsim poj l a + b + c = 5 +,5 + = 9, ( ) 5 l π poj l c = 4 cos = 8 piemēs Tijstūī doti tīs punkti: visotnes (,, ), (5,, 6) un malas viduspunkts (, 4, 5) tast vektoa otu e ( ) = + e, tāpēc, ka i tijstūa mediāna ; no šīs sakaības = +, = Tā kā punkti,, i doti, vaam noteikt ( 4, 0, 5), = (,, 4) =, tātad ( 0, 6, ) = = 4 nodabība 4 lpp ugstākā matemātika I Volodko

Rīgas Tehniskā univesitāte Inženiematemātikas kateda Uzdevumu isinājumu paaugi Šī vektoa gaums = 0 + 6 + 9 = 45 = 5 un ots e = = 0,, 5 5 9 piemēs Tijstūa visotnes i (,, 5), (5,, 8) un (, 6, -) tast homogēna tijstūa smaguma centa koodinātes Tijstūa smaguma cents atodas mediānu kustpunktā No elementāās ģeometijas i zināms, ka mediānu kustpunkts katu mediānu dala attiecībā :, atskaitot no tijstūa visotnes K un ediāna = + = ((, 0, ) + ( 0,, 6) ) = (,, )= (,, ) K =, ku K i mediānu kustpunkts, tātad K = (,, ) Lai noteiktu K galapunktu, pie sākumpunkta koodinātām jāpieskaita atbilstošās vektoa koodinātas, iegūsim K(, 4, 4) tas i meklētais smaguma cents 0 piemēs Pābaudīt, vai četstūis a visotnēm punktos (0,, 4); (, 0, ); (, -, 0); D(-4, 4, 4) i paalelogams Noteiksim vektou,, D un D D koodinātas: 4 nodabība 5 lpp ugstākā matemātika I Volodko

Rīgas Tehniskā univesitāte Inženiematemātikas kateda Uzdevumu isinājumu paaugi = (,, ) ; = (,, ) ; = ( 6, 6, 4) D ; D = ( 4,, 0) Vektoi un D i kolineāi, jo to atbilstošās koodinātas i popocionālas: = =, bet un D nav kolineāi, jo, tātad D nav 6 6 4 4 paalelogams, bet tapece piemēs Vektos a 0 a O asi veido leņķi α = 5, a Oy asi taisnu leņķi un a Oz asi šauu leņķi tast vektoa a otu Izmantosim sakaību stap viziena kosinusiem cos α + cos β + cos γ = Tā kā 0 cosα = cos5 = ; cos β = cos90 = 0, tad cos γ = = un cos γ = ± Ņemot vēā, ka γ i šaus leņķis, iegūst cos γ = un γ = 45 0 Ota a koodinātas i viziena kosinusi cos α, cosβ, cosγ, tātad a 0 = ; 0, v v piemēs Vektoi a = i + j + k un b = i + j 5k veido paalelogamu pēķināt paalelogama diagonāļu gaumus v Paalelogama diagonāles sakīt a vektoiem c = a + b un d = a b Noteiksim šo vektou koodinātas: =,4, 4 d = 0,,6 c ( ) un ( ) pēķināsim šo vektou moduļus: c = c = 4 + 6 + 6 = 6 un d = d = 0 + 4 + 6 = 40 = 0 v piemēs Noteikt, a kādām α un β vētībām vektos a + b a Oz asi veido taisnu leņķi, ja a = ( α,, α + β ); b = ( β, β, β ), vektoa b modulis i vienāds a un vektos a a O asi veido šauu leņķi 4 nodabība 6 lpp ugstākā matemātika I Volodko

Rīgas Tehniskā univesitāte Inženiematemātikas kateda Uzdevumu isinājumu paaugi v a + b = ( α + β, + β, α β ) Vektos a + b a Oz asi veido taisnu leņķi, tātad cos γ = 0, ku γ i leņķis, ko šis vektos veido a Oz asi Tā kā cosγ = α β a + b, iegūst α β = 0 ; α = β Vektoa b modulis + + ( ) = = b = β β β β β Tā kā pēc dotā b =, tad β =, tātad β = ± Ņemot vēā, ka a > 0 (vektos a O asi veido šauu leņķi), iegūst α > 0 un attiecīgi α = β = 4 piemēs Dots paalelogams O, ku O = a un O = b Izteikt vektous O,, un a a un b, ja i diagonāļu kustpunkts b O a No skolas kusa i zināms, ka paalelogama diagonāles kustpunktā dalās uz pusēm Tātad O = O et vektos O = a + b un = a b (pēc vektou summas un stapības definīcijas) Tad O = O = O = = = ( a b ), = = ( b a), v = O = ( a + b ) ( a + b ), 4 nodabība 7 lpp ugstākā matemātika I Volodko

Rīgas Tehniskā univesitāte Inženiematemātikas kateda Uzdevumu isinājumu paaugi 5 piemēs Dots vektos a = 4 i j + k tast vektou b, ja a = b, b y = a, y b = 0 pzīmēsim vektoa b koodinātes a, y un z Tad pēc dotā: = 0, y = - Lai noteiktu z, izmantosim nosacījumu a = b pēķināsim abu vektou gaumus: a = 4 + ( ) + = 9, b = 0 + ( ) + z = z + 4 Tātad z + 4 = 9 un z = ± 5 Tādējādi z = j + 5k, z = j 5k 6 piemēs Dots tetaeds D, ku D = a; D = b, D = c tast vektou D, ku i tijstūa smaguma cents D Tijstūa smaguma cents atodas mediānu kustpunktā, ja tijstūis i homogēns K 4 nodabība 8 lpp ugstākā matemātika I Volodko

Rīgas Tehniskā univesitāte Inženiematemātikas kateda Uzdevumu isinājumu paaugi K, = bet K = ( + ) Izteiksim Tātad Tā kā iegūst un :, tātad ( ) = + v = D D = b a, = D D = c a = D = a + ( b a + c a) = ( b + c a) D = D+, ( b + c a) = ( a + b + c) 7 piemēs Uz Oz ass atast punktu, kas i vienādā attālumā no punktiem (, 4, ) un (-,, 5) Punktam, kas atodas Oz ass, pimās divas koodinātes i vienādas a 0: (0, 0, z) Lai atastu z, izmantosim vektoa moduļa fomulu: ( 0 ) + ( 0 4) + ( z ), = (0 ( )) + ( 0 ) + ( 5) = z Tā kā =, iegūsim ( ) 4 + 6 + ( z z ) = 9 + 4 + 5 Kāpināsim abas vienādības puses kvadātā un vienkāšosim: 0 + z z + = + z 0z + 5 z = 8 0z, 8z = 7, z = Tātad meklētā punkta koodinātas (0; 0;,5) 7 8 4 nodabība 9 lpp ugstākā matemātika I Volodko

Rīgas Tehniskā univesitāte Inženiematemātikas kateda Uzdevumu isinājumu paaugi 8 piemēs Tijstūa mala a punktiem un N i sadalīta tijās vienādās daļās: = N = N Noteikt, ja = a un = b N Pēc vektou saskaitīšanas kātulas: = +, = un = b a, = tātad, = ( b a), = a + ( b a) = ( a + b ) 4 nodabība 0 lpp ugstākā matemātika I Volodko