Ο μθητής που έχει μελετήσει τo κεφάλιο των κονικών τομών θ πρέπει ν είνι σε θέση: Ν προσδιορίζει την εξίσωση του κύκλου με κέντρο την ρχή των ξόνων. Με τη μέθοδο της συμπλήρωσης τετργώνου υπολογίζοντι οι συντετγμένες του κέντρου κι η κτίν του κύκλου που πριστά- νει η εξίσωση + + A + B + Γ = 0. Ν προσδιορίζει την εξίσωση της εφπτομένης ενός κύκλου σε έν σημείο του πό την ιδιότητά της ν είνι κάθετη στην κτίν που ντιστοιχεί στο σημείο επφής. Ν γνωρίζει τον ορισμό της προλής κι ν ρίσκει την εξίσωσή της με άξον των τετμημένων τον άξον συμμετρίς της κι άξον των τετγμένων τη μεσοκάθετη της πόστσης της εστίς της πό τη διευθετούσ. Ν γνωρίζει τον ορισμό της έλλειψης κι της υπερολής κι ν ρίσκει τις εξισώσεις των εφπτομένων τους. Τονίζετι ιδιίτερ η έννοι της εκκεντρότητς κι η σημσί της γι τη μορφή της έλλειψης. ΚΥΠΡΙΑΝΟΣ ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ
7. Κωνικές τομές Τύποι - Βσικές έννοιες ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ: Τύποι - Βσικές έννοιες Α. ΚΥΚΛΟΣ Εξίσωση κύκλου με κέντρο Ο( 0, 0 ) κι κτίν ρ : + =ρ Εξίσωση εφπτομένης κύκλου με κέντρο Ο(0,0) κι κτίν ρ στο σημείο Α(, ): + =ρ Εξίσωση κύκλου με κέντρο K( 0, 0) κι κτίν ρ: ( ) ( ) 0 0 + =ρ Η εξίσωση + +Α +Β +Γ = 0 (), A, B, Γ R Αν Α + Β 4Γ> 0: η εξίσωση () πριστάνει κύκλο με κέντρο το σημείο: Α Β Κ, κι κτίν Α +Β 4Γ ρ=. Α Β Αν Α + Β 4Γ= 0: η () πριστάνει το σημείο Κ,. Αν Α + Β 4Γ< 0: η εξίσωση () είνι δύντη. Β. ΠΑΡΑΒΟΛΗ Ορισμός Προλή είνι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ του επιπέδου τ οποί ισπέχουν πό μι στθερή ευθεί (δ) που λέγετι διευθετούσ της προλής κι πό έν στθερό σημείο Ε που λέγετι εστί της προλής. Τ σημεί που ικνοποιούν την προηγούμενη ιδιότητ νήκουν σε μι κμπύλη που φίνετι στ επόμεν σχήμτ.
Τύποι - Βσικές έννοιες Κωνικές τομές 73. Εξίσωση προλής κι γρφική πράστση. Με κορυφή Ο ( 0,0),εστί p E,0, κι διευθετούσ p δ : = = p. Με κορυφή Ο ( 0,0), εστί p E 0,, κι διευθετούσ p δ : = = p Εφπτομένη της προλής Εφπτομένη της προλής = p στο σημείο ( ) M, : = p( + ) = p στο σημείο ( ) M, : = p( + )
74. Κωνικές τομές Τύποι - Βσικές έννοιες Ανκλστική ιδιότητ προλής Η κάθετη στην εφπτομένη μις προλής στο σημείο επφής Μ διχοτομεί τη γωνί που σχημτίζουν η ημιευθελι ΜΕ κι η ημιευθεί Μt, που είνι ομόρροπη της ΟΕ, όπου Ε η εστί της προλής Γ. ΕΛΛΕΙΨΗ Ορισμός: Έλλειψη με εστίες τ σημεί Ε κι Ε είνι ο γεωμετρικός τόπος C των σημείων του επιπέδου των οποίων το άθροισμ των ποστάσεων πό τ Ε κι Ε είνι στθερό κι μεγλύτερο του ΕΕ. Το στθερό υτό άθροισμ το συμολίζουμε με, ενώ την εστική πόστση ΕΕ με γ. Δηλδή Αν Μ σημείο της έλλειψη: ( ME )' + ( ME) = Εξίσωση έλλειψης κι γρφική πράστση Η εξίσωση της έλλειψης ως προς σύστημ συντετγμένων Ο με άξον την ευθεί που διέρχετι πό τ Ε κι Ε κι άξον την μεσοκάθετο του ΕΕ είνι: + =, όπου = γ (σχήμ ) O μικρός άξονς BB της έλλειψης έχει μήκος. Η εξίσωση της έλλειψης ως προς σύστημ συντετγμένων Ο με άξον την ευθεί που διέρχετι πό τ Ε κι Ε κι άξον την μεσοκάθετο του ΕΕ είνι: + =, όπου = γ (σχήμ 3) σχήμ Εξίσωση εφπτομένης Έστω η έλλειψη C με εξίσωση + =, >. H εξίσωση της εφπτομένης της έλλειψης C στο σημείο της Μ(, ) είνι: + = σχήμ 4
Τύποι - Βσικές έννοιες Κωνικές τομές 75. Έστω η έλλειψη C με εξίσωση + =, >. H εξίσωση της εφπτομένης της έλλειψης C στο σημείο της Μ(, ) είνι: + = Εκκεντρότητ έλλειψης Έστω η έλλειψη C με εξίσωση + =. Ονομάζουμε εκκεντρότητ της έλλειψης C το λόγο της εστικής πόστσης προς το μήκος του μεγάλου άξον κι τη συμολίζουμε με: Είνι 0 < ε< κι ποδεικνύετι ότι : = ε γ γ ε = =. Δ. ΥΠΕΡΒΟΛΗ Ορισμός: Υπερολή με εστίες τ σημεί Ε κι Ε είνι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδου των οποίων η πόλυτη τιμή της διφοράς των ποστάσεων πό τ Ε κι Ε είνι στθερή κι μικρότερη του ΕΈ. Το πόλυτο της διφοράς υτής το συμολίζουμε με κι την εστική πόστση με γ. Δηλδή ν Μ το σημείο της υπερολής: ( ME )' ( ME) = Εξίσωση υπερολής κι γρφική πράστση. Η εξίσωση της υπερολής ως προς σύστημ συντετγμένων Ο με άξον την ευθεί που διέρχετι πό τ Ε κι Ε κι άξον την μεσοκάθετο του ΕΕ είνι: =, όπου = γ. Η εξίσωση της υπερολής ως προς σύστημ συντετγμένων Ο με άξον την ευθεί που διέρχετι πό τ Ε κι Ε κι άξον την μεσοκάθετο του ΕΕ είνι: =, όπου = γ
76. Κωνικές τομές Τύποι - Βσικές έννοιες Εξίσωση εφπτομένης Έστω η υπερολή C με εξίσωση =. H εξίσω- ση της εφπτομένης της υπερολής C στο σημείο της Μ(, ) είνι: = Έστω η υπερολή C με εξίσωση =. H εξίσω- ση της εφπτομένης της υπερολής C στο σημείο της Μ(, ) είνι: Ασύμπτωτες υπερολής = Η υπερολή = έχει σύμπτωτες τις ευθείες: : ε = κι : ε = Εκκεντρότητ υπερολής Έστω η υπερολή C με εξίσωση =. Ονομάζουμε εκκεντρότητ της υπερολής κι τη συμολίζουμε με ε το λόγο Αποδεικνύετι ότι: = ε γ γ ε= =. Είνι ε>.
Βήμ ο Κωνικές τομές 77. Α. Κύκλος 3456789034567890345678903456789034567890345678903456789034567890345678903456789034 3456789034567890345678903456789034567890345678903456789034567890345678903456789034 3456789034567890345678903456789034567890345678903456789034567890345678903456789034 3456789034567890345678903456789034567890345678903456789034567890345678903456789034 3456789034567890345678903456789034567890345678903456789034567890345678903456789034 3456789034567890345678903456789034567890345678903456789034567890345678903456789034 µ µ O( 00,) : + =. µ µ µ C µ O( 00,). µ M (, ) C, µ, O µ,, µ : (OM) () (OM) () : (0,0) M(,) C, µ,., µ µ A, ) ( + =. µ C : µ A(, ). µ M (, ), µ,, µ- : OAAM 0. ()
78. Κωνικές τομές Βήμ ο OA (, ) AM (, ). () : ( ) ( ) 0 (, ) M(,),. 3, µ K ( 0, 0) : ( ) ( ) 0 0 µ µ µ C µ K ( 0, 0). µ M (, ) C, µ - µ,, µ : (KM) () ( 0, 0 ) M(,), (KM) ( ) ( ). 0 0 () : ( ) ( ), µ, 0 0 ( ) ( ). 0 0 4, µ: ( - 0 ) + ( - 0 ) = () -
Βήμ ο Κωνικές τομές 79. + + A+ B+ =0 () µ µ () ; µ () : ( ) 0, 0 0 0 0 µ AB 0, µ : A 0, B0. 0 0, µ () : ( A) ( B) A A B B A B 4 4 4 4 µ : A B A B 4. 4 A B 4 0, () µ A B K, A B 4 A B 4. 4
80. Κωνικές τομές Βήμ ο A B K,. A B 4 0, () µ µ, A B 4 0, (), - µ M (, ) µ. µ : µ AB 0, µ A B 4 0 () µ ().
Βήμ ο Κωνικές τομές 8. 3456789034567890345678903456789034567890345678903456789034567890345678903456789034 3456789034567890345678903456789034567890345678903456789034567890345678903456789034 3456789034567890345678903456789034567890345678903456789034567890345678903456789034 3456789034567890345678903456789034567890345678903456789034567890345678903456789034 3456789034567890345678903456789034567890345678903456789034567890345678903456789034 3456789034567890345678903456789034567890345678903456789034567890345678903456789034 Β. Προλή 3456789034567890345678903456789034567890345678903456789034567890345678903456789034 3456789034567890345678903456789034567890345678903456789034567890345678903456789034 3456789034567890345678903456789034567890345678903456789034567890345678903456789034 µ µµ o µ. µ µµ o : p p (µ 0 ) µµ., µ. µ, µ -. µµ. µ M(, ) µ p,, p, µ M, ) µ, ( : ( ) p. µ µµ.. µ, µµ.(.)
8. Κωνικές τομές Βήμ ο 3456789034567890345678903456789034567890345678903456789034567890345678903456789034 3456789034567890345678903456789034567890345678903456789034567890345678903456789034 3456789034567890345678903456789034567890345678903456789034567890345678903456789034 3456789034567890345678903456789034567890345678903456789034567890345678903456789034 3456789034567890345678903456789034567890345678903456789034567890345678903456789034 3456789034567890345678903456789034567890345678903456789034567890345678903456789034 Γ. Έλλειψη 3456789034567890345678903456789034567890345678903456789034567890345678903456789034 3456789034567890345678903456789034567890345678903456789034567890345678903456789034 3456789034567890345678903456789034567890345678903456789034567890345678903456789034,,.., - µ 0. µ.,,,. µµ ; = -. µ; µ µ µ. µµ µ-
Βήμ ο Κωνικές τομές 83. µ µ,.,, -. () µ, µ µ - µ.(.()) µ, - µ., µ, µ, 0 µ - µµ µµ. µ,. (. ). () ()
84. Κωνικές τομές Βήμ ο 3456789034567890345678903456789034567890345678903456789034567890345678903456789034 3456789034567890345678903456789034567890345678903456789034567890345678903456789034 3456789034567890345678903456789034567890345678903456789034567890345678903456789034 3456789034567890345678903456789034567890345678903456789034567890345678903456789034 3456789034567890345678903456789034567890345678903456789034567890345678903456789034 3456789034567890345678903456789034567890345678903456789034567890345678903456789034 Δ. Υπερολή 3456789034567890345678903456789034567890345678903456789034567890345678903456789034 3456789034567890345678903456789034567890345678903456789034567890345678903456789034 3456789034567890345678903456789034567890345678903456789034567890345678903456789034 µ -. µ.,, 0. µ, µ -, µ µ. µµ ;
Βήμ ο Κωνικές τομές 85. =. µ - µ ; µ ; µ µ. µµ, µµ µ,.,,,. () µ, - µ,,. µ. µ µ,,, µ µ 0., µ µ., :.
86. Κωνικές τομές Βήμ ο Α. Από το σχολικό ιλίο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ έκδοση 003. 3. Α Ομάδ: 4, 5 Β Ομάδ:, 3, 6, 7, 0 3. Α Ομάδ:, 5,6 Β Ομάδ:, 3, 5, 6, 8 3.3 Α Ομάδ:,, 6 Β Ομάδ:, 3, 4, 7, 8 3.4 Α Ομάδ:,, 4, 7 Β Ομάδ:,, 4, 5 ΚΥΠΡΙΑΝΟΣ ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ
Βήμ 3 ο Κωνικές τομές 87.. Θεωρούμε την = κι τον κύκλο + = 0. Φέρνουμε τη διχοτόμο της O ˆ που τέμνει τον κύκλο στο Α κι την προλή στο Β. Φέρνουμε τις εφπτόμενες του κύκλου κι της προλής στ σημεί Α κι Β ντίστοιχ. Ν δείξετε ότι τέμνοντι στον άξον. Λύση: Η = κι ο κύκλος + = 0 έχουν μονδικό κοινό σημείο το O0,0 ( ) φού είνι η μονδική λύση του συστήμτος των εξισώσεών τους. Η προλή = έχει + = 0 έχει κέντρο Α + Β 4Γ ρ = ενώ ο κύκλος Κ,0 κι κτίν ρ = =. Έστω η ευθεί (ε): = (διχοτόμος της O ˆ ). Η (ε) τέμνει τον κύκλο στο σημείο Α του οποίου οι συντετγμένες προκύπτουν πό = = τη λύση του συστήμτος:... + = 0 = Άρ A,. Η (ε) τέμνει την προλή στ σημεί των οποίων οι συντετγμένες προκύπτουν πό τη λύση του συστήμτος: ( ) = = = 0 = 0 = 0 ή= = 0, = 0 = = = = = =, =
88. Κωνικές τομές Βήμ 3 ο Άρ τ σημεί τομής είνι: Ο(0,0) κι B, ( ). Βρίσκουμε την εξίσωση της εφπτομένης του κύκλου στο σημείο Α: όπου M(, ) τυ- Έχουμε KA = 0, κι AM =, =, χίο σημείο της εφπτομένης. Τότε ισχύει: KA AM = 0 0 + = 0 = 0 = = () 4 Η εφπτομένη της προλής στο σημείο Β(,) έχει εξίσωση: = ρ+ = + + = 0 ( ) ( ) ( ) Λύνοντς το σύστημ των () κι () ρίσκουμε: = 0, = Άρ το σημείο τομής τους είνι το Γ 0, κι ρίσκετι πάνω στον άξον.. Δίνετι κύκλος C με εξίσωση: + + ρ = 0, > 0 κι κέντρο Α. Έστω μετλητό σημείο Β του ημιάξον Ο. Αποδείξτε ότι οι κύκλοι που γράφουμε με κέντρο το Β κι κτίν ΒΓ, όπου Γ το σημείο τομής των κύκλων με τον C, τέτοιο ώστε η γωνί ΒΑΓ ν είνι ορθή, διέρχοντι πό στθερά σημεί. Λύση: Ο κύκλος με εξίσωση ρ 0 () A,0 κι κτίν ρ. Έστω Β0, ( ) σημείο πάνω στον Ο τότε: + + =, έχει κέντρο ( ) ( ) ( ) + = + + = C : R R Έστω Γ κι Δ τ σημεί τομής των δύο κύκλων. λ ΑΒ = οπότε λ ΑΓ = κι η ευθεί ΓΔ έχει εξίσωση:
Βήμ 3 ο Κωνικές τομές 89. = ( ) = + + = 0 ( 3) Η ΓΔ είνι κοινή χορδή των δύο κύκλων άρ η εξίσωσή της δίνετι εκτός πό την (3) κι πό την φίρεση της () πό την (). Έχουμε: () 3 + ρ + R = 0 R = + + ρ την οποί ν ντικτστήσουμε στην () έχουμε: + = ρ + ( 4) Η (4) είνι μι οικογένει κύκλων η οποί περνάει πό τ στθερά σημεί ( + ) κι Λ( ρ,0) Κ ρ,0 + διότι: Γι = 0 κι = ντίστοιχ η (4) γίνετι + = ρ + κι + = ρ +. Από τη λύση των δύο τελευτίων εξισώσεων ρίσκουμε τ Κ κι Λ τ οποί επληθεύουν την (4). 3. Δίνετι η προλή ρ, ρ 0 = > το σημείο ( ( ) ) ΑdE,δ,0 όπου δ η διευθετούσ της προλής. Κι η ευθεί () ε : + ρ= 0. i. Ν δείξετε ότι η ευθεί (ε) είνι εφπτόμενη της προλής σε έν σημεί Β. ii. Αν η ευθεί ΑΒ τέμνει την προλή σε έν άλλο σημείο Γ (εκτός του Β) ν δείξετε ότι ΑΓ = ΑB. Λύση: Έχουμε d( E,δ) = ρ. Άρ το σημείο Α είνι Αρ,0. ( ) i. Γι ν εφάπτετι η ευθεί + ρ= 0 στην = ρ πρέπει ν υπάρχει σημείο (,) = + = ρ ρ + ν τυτίζετι με την ώστε η ευθεί ρ ( ) ρ + ρ= 0 = +. Οι ευθείες υτές τυτίζοντι ν: ρ = κι ρ ρ ρ =, δηλδή ν =, = ρ
90. Κωνικές τομές Βήμ 3 ο ρ Το σημείο,ρ είνι σημείο της προλής, άρ η ευθεί εφάπτετι της π- ρολής στο ρ Β,ρ. ii. Η εξίσωση της ευθείς που διέρχετι πό τ Αρ,0 ( ) κι ρ Β,ρ είνι: ρ = ( ρ) = ( ρ) + ρ = 0 ρ ρ Το σημείο Γ είνι έν πό τ σημεί τομής της προλής με την ευθεί ΑΒ (το άλλο είνι το Β). Λύνουμε το σύστημ: Η () έχει λύσεις + ρ ρ = 0 () = ρ... ρ + ρ= 0 = ( ) = ρ ή = ρ οπότε γι = ρ έχουμε πό την () = ρ. Άρ Γρ, ( ρ) (γι = ρ πίρνουμε ρ B,ρ ) οπότε: ( ) ρ ρ 5 ΑΒ = ρ + ρ = κι ( ΑΓ) = ρ + 4ρ = ρ 5. Άρ ΑΓ = ΑΒ. 4. Δίνετι η προλή = ρ, ρ > 0 κι δύο σημεί της Α κι Β εκτέροθεν του άξον συμμετρίς της. Φέρνουμε τις προολές Α κι Β των Α, Β στον άξον. Αν Λ είνι το συμμετρικό της κορυφής Ο της προλής ως προς την εστί Ε κι Μ το μέσο του Α Β, ν δείξετε ότι οι ευθείες ΑΒ κι ΜΛ είνι κάθετες. Λύση: Τ σημεί Α κι Β νήκουν στην B, ρ = ρ, άρ έχουν συντετγμένες. Το Λ είνι Λρ,0. ( ) Τότε Α' ( 0, ) κι ( ) Α, ρ, B' 0, ενώ το Μ ως μέσο
Βήμ 3 ο Κωνικές τομές 9. + του Α Β είνι: M 0,. λ λ ρ = = ΑΒ + ΜΛ ρ + + = = ρ ρ Οπότε λαβ λμλ =, άρ ΑΒ ΜΛ. 5. Έστω Μ έν σημείο της προλής = ρ με ρ> 0. Έστω η κάθετος στο Μ στην εφπτόμενη της προλής στο σημείο Μ, η οποί τέμνει τον στον Ν. Φέρνουμε πό το Ν την κάθετο ΝΚ στην ΟΜ κι πό το Μ την κάθετο ΜΓ στον οι οποίες τέμνοντι στο Λ. Ν ρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων τομής τους. Λύση: Έστω Μ,, 0 ρ Η εφπτομένη ρ ( ), άρ το Μ Ο( 0,0). = + στο Μ έχει συ- ρ ρ ντελεστή λ = =, οπότε λ = κι η ΜΝ ρ ΜΝ έχει εξίσωση: = η οποί τέμνει τον στον ρ ρ = ρ +. ρ Ν ρ +,0 ρ φού γι = 0, ρ Η ΟΜ έχει συντελεστή διεύθυνσης λομ = = οπότε λ ΝΚ = ( ΟΜ ΝΚ) ρ ρ
9. Κωνικές τομές Βήμ 3 ο κι η ΝΚ έχει εξίσωση: = ρ () ρ ρ Η κάθετος ΜΓ έχει εξίσωση: = ( ) ρ Το σημείο τομής Λ της ΝΚ κι ΜΓ είνι η λύση του (Σ) των (), () η οποί δίνει = () 3 κι = = () 4. Η (3) πό (4) δίνει ρ ρ = που είνι εξίσωση προλής εκτός ( ) Ο0,0. 4 ρ ρ = =, 6. Δίνετι κύκλος d: + = 5. Βρείτε τις εφπτομένες του d που άγοντι πό το σημείο Μ(0, -0). Βρείτε την εξίσωση της προλής με κορυφή το 0(0,0) η οποί περνάει πό τ σημεί επφής Α, Β του d κι των εφπτομένων. γ. Δείξτε ότι οι εφπτομένες της προλής τέμνοντι σε σημείο του Ο. Λύση. Η εφπτομένη ε του d στο τυχίο του ( ) 0 0 θ περνάει πό το M0, ( 0) Όμως ( ) N, έχει εξίσωση 0 + 0 = 5κι ν κι μόνο ν 0 5 0 = 5 0 = 5 75 5 N 00 d 0 + 0 = 5 0 + = 5 0 = 0 =± 3 οπότε 4 4 5 5 i. Αν 0 = 3 κι 0 = τότε εφπτομένης 5 3 5 = 5 3 = 0 5 3 5 A, το σημείο επφής των d κι της 5 5 ii. Αν 0 = 3 κι 0 = τότε 5 3 5 B, το σημείο επφής d κι της εφπτομένης 5 3 5 = 5 3 = 0
Βήμ 3 ο Κωνικές τομές 93.. Αφού η προλή περνάει πό τ Α, Β θ είνι συμμετρική ως προς τον άξον άρ θ έχει εξίσωση = p οπότε θ ισχύει: 5 3 5 75 5 p = = 5p p = 4 4 άρ 5 = η εξίσωση της προ- λής η οποί έχει εστί 5 E 0, 8 κι διευθετούσ την 5 δ:= 8 γ. Η εφπτομένη της προλής στο σημείο της 5 3 5 A, έχει εξίσωση: 5 3 5 5 = 4 4 3+ 6= 5 Η εφπτομένη της προλής στο σημείο της 5 3 5 B, έχει εξίσωση: 5 3 5 5 = 4 4 3 6= 5 Λύνουμε τώρ το σύστημ = 0 4 3+ 6 = 5 5. Άρ οι εφπτομένες τέ- 4 3 6 = 5 = μνοντι στο σημείο 5 K 0,. 7. Δίνετι κύκλος με κέντρο Κ(,0) ο οποίος διέρχετι πό το σημείο 3 A, i. Βρείτε την εξίσωση του κύκλου κι της εφπτομένης (ε) στο σημείο του Α. ii. Αν η (ε) διέρχετι πό την εστί της προλής που έχει άξον συμμετρίς τον Ο, ρείτε την εξίσωση της προλής κι μετά το εμδόν του ΑΜΝ με Μ, Ν τ σημεί που η διευθέτουσ τέμνει τον κύκλο. iii. Ο κύκλος τέμνει τον ημιάξον Ο στο σημείο Σ. Ν ρείτε τις εφπτομένες της προλής που άγοντι πό το Σ. Λύση: i. Η κτίν του κύκλου είνι:
94. Κωνικές τομές Βήμ 3 ο 3 ρ = + + = Άρ η εξίσωσή του είνι η: ( ) + + = Αν P(, ) σημείο της εφπτομένης (ε) του κύ- 3 κλου στο σημείο του A, θ ισχύει: 3 AP KA AP KA = 0 AP = +, + 3 KA =, 3 3 3 + + = 0 + 3 = 0 3 = 0 η εξίσωση της (ε) ii. Η προλή έχει άξον συμμετρίς τον O άρ θ έχει εξίσωση ρ ρ ρ> 0) οπότε θ έχει εστί Ε,0 () ε = 0 ρ =. Άρ διευθέτουσ της προλής. = ρ (με ρ = = η Αν = η εξίσωση του κύκλου γίνετι = =± οπότε M(,) κι N(, ) τ κοινά σημεί της διευθέτουσς κι του κύκλου. Το κέντρο νήκει στην ΜΝ, άρ η ΜΝ είνι διάμετρος κι MAN 90 o =, οπότε: ( ) ( 3 3 AMN = AM)( AN) ( AMN) = + + + 4 4 AMN = 3 + 3 AMN = τ.μ. ( ) ( )( ) ( ) iii. Ο κύκλος τέμνει τον O στο Σ(,0) Η εφπτομένη της προλής στο σημείο της Λ(, ) έχει εξίσωση = ( + ) κι θ περνάει πό το Σ(,0) ν κι μόνο ν ( + ) = 0 =. Το ( ) Λ, νήκει στην προλή άρ = 4 = 8 =± οπότε
Βήμ 3 ο Κωνικές τομές 95. i. Αν = κι =, = ( + ) = + η μί εφπτομένη ii. Αν = κι =, = ( + ) = + η άλλη εφπτομένη 8. Δίνετι η προλή C : = 4κι Ε η εστί της. Ακόμ δίνετι ο κύκλος C με κέντρο O(0,0) που τέμνει τον θετικό ημιάξον Ο στο σημείο Α γι το οποίο ισχύει: OA= OE i. Βρείτε την εξίσωση του C. ii. Βρείτε τις κοινές εφπτομένες των C, C. iii. Βρείτε την γωνί των εφπτόμενων Λύση i. Έστω + = R (με R > 0) η εξίσωση του C τότε το σημείο Α είνι το A( R,0 ) οπότε: Άρ OA= OE R = R= + = η εξίσωση του C. ii. Η εφπτόμενη (ε) της έχει εξίσωση: C στο σημείο της N(,) ( ) 0 0 = + + = 0 0 0 0 0 Άρ η (ε) θ εφάπτετι κι του C ν κι μόνο ν: ( 0 > 0) 0 d( 0,ε) = R = 0 = 4+ 0 80 = 4 + 0 0 = 80 4 4+ Το N( 0, 0) νήκει στην C άρ: 0 0 0 0 0 0 0 = 4 8 4 = 4 = 0 0 = > 0 οπότε = 4 =± 0 0 άρ + = 0 κι + + = 0 = + κι = οι εξισώσεις των εφπτομένων. iii. Οι εφπτόμενες τέμνοντι κάθετ στο σημείο E' (,0) δηλδή πάνω στην διευθέτουσ = της C 9. Δίνοντι τ σημεί ( ) A4,0 κι B(,4 ) κι η προλή = 8. Βρείτε την εξίσωση της μεσοκθέτου του ΑΒ.. Βρείτε την εξίσωση της εφπτομένης της προλής στο Β.
96. Κωνικές τομές Βήμ 3 ο Λύση γ. Βρείτε την εξίσωση του κύκλου που περνάει πό τ Α, Β κι εφάπτετι της εφπτόμενης της προλής στο Β.. Το μέσο του ΑΒ είνι το 4 + 0 + 4, ή ( 8, ) κι ν f η μεσοκάθετος του ΑΒ ισχύ- 4 0 ει λλ f ΑΒ = λf = λf = 3άρ = 3( 8) = 3 η εξίσωση της f. 4. Η προλή έχει ρ= 4 άρ η εφπτομένη (ε) της προλής στο σημείο της Β(,4 ) έχει εξίσωση ( ) 4 = 4 + = +. γ. Η κάθετη (δ) στην (ε) στο σημείο της Β(,4 ) έχει συντελεστή διεύθυνσης λδ = κι άρ εξίσωση 4 = ( ) στο = + 6 Το κέντρο του ζητούμενου κύκλου ρίσκετι στις (f) κι (δ) (δηλδή στην μεσοκάθετο της χορδής του ΑΒ κι στην κάθετο την εφπτομένη του στο σημείο επφής Β) άρ λύνουμε την εξίσωση + 6 = 3 4 = 8 = 7, άρ =, δηλδή K( 7, ). Η κτίν του κύκλου είνι η R = ( KA) = ( 4 7) + ( ) = 50 άρ η ζητούμενη εξίσωση είνι η: ( ) ( ) 7 + + = 50 0. Δίνετι έλλειψη με εστίες στον η οποί διέρχετι πό το σημείο Μ(,) κι έχει εκκεντρότητ ε =.. Βρείτε την εξίσωσή της κι την ε- φπτομένη της (ε) στο Μ.. Βρείτε την εξίσωση του κύκλου που εφάπτετι της (ε) στο σημείο που υτή τέμνει τον κι διέρχετι πό το σημείο Σ(5,). γ. Βρείτε την εξίσωση της προλής με εστί τον που περνάει πό το σημείο Μ κι την εφπτομένη της στο Μ έστω (σ). δ. Βρείτε το συνημίτονο της οξείς γωνίς (ε), (σ).
Βήμ 3 ο Κωνικές τομές 97. Λύση. Αφού οι εστίες της έλλειψης ρίσκοντι στον θ έχει εξίσωση της μορφής + = οπότε: γ γ ε = = = γ = ( ) = = = Μ(, ) νήκει στην έλλειψη άρ: άρ = 6 οπότε της εφπτομένης (ε) στο Μ.. Η ε τέμνει τον στο A( 3,0) 4 4 3 + = + = = = 3 + = η εξίσωση της έλλειψης κι + = 3 η εξίσωση 6 3 Εύρεση της ευεθείς (δ) που είνι κάθετη στην (ε) στο σημείο της Α Ισχύει ε δ λ λ = ( ) λ = λ = άρ = 3 η εξίσωση της (δ). ε δ δ δ Εύρεση της μεσοκθέτου (f) του ΑΣ Το μέσο του ΑΣ είνι το ( ) 0 N 4, κι λf λασ = λf = λf = 5 3 = ( 4) = + 5 άρ: Εύρεση του κέντρου του κύκλου Κ Το κέντρο Κ ρίσκετι στις ευθείες (δ) κι (f) άρ λύνουμε την εξίσωση 3= + 5 = 8 = 4 άρ = οπότε K( 4,) Εύρεση της κτίνς του κύκλου R Ισχύει R = ( KA) = ( 3 4) + ( 0 ) =, άρ η εξίσωση του κύκλου είνι: ( ) ( ) 4 + = γ. Αφού η προλή έχει εστί στον θ έχει εξίσωση περνάει πό το σημείο M(, ) θ ισχύει = 4ρ ρ = άρ 4 εφπτομένη (σ) της προλής στο σημείο της Μ έχει εξίσωση: = ρ κι επειδή = οπότε η
98. Κωνικές τομές Βήμ 3 ο δ =, // ε δ. Το ( ) () = ( + ) 4 = + 4+ = 0 4 κι το δ ( ) ( ) = 4, // σ κι ισχύει: δ δ 4+ 3 συν( δ,δ) = = = δ δ 7 34 Άρ το ζητούμενο συνημίτονο της οξείς γωνίς των (ε), (σ) ισούτι με 3 34. Λύση. Ο κύκλος d έχει κέντρο στον θετικό ημιάξον Ο κι κτίν p>0. Η ευθεί ε: = είνι σύμπτωτη της υπερολής του κύκλου d.. Βρείτε τις εξισώσεις των d κι d.. Βρείτε τ σημεί της (ε) πό τ οποί η εφπτόμενες του d τέμνουν κάθετ την (ε). γ. Βρείτε την εξίσωση της προλής που περνάει πό το σημείο Μ του πρώτου τετρτημόριου του. ερωτήμτος κι έχει άξον συμμετρί τον. d : = κι εφάπτετι p 6. Έστω K(,0 ) με > 0 το κέντρο του d τότε η εξίσωση του είνι: ( ) + = p Οι σύμπτωτες της d έχουν εξισώσεις 4 =±, όμως μς δίνετι ότι η (ε) p είνι σύμπτωτη της d άρ: 4 p p = = Η (ε) κόμ εφάπτετι του κύκλου d άρ: 0 d( κ,ε) = p = = = 5 + 5 ( ) άρ:
Βήμ 3 ο Κωνικές τομές 99. ( ) d : 5 + = 4κι d : = 4 6. Έστω Μ το ζητούμενο σημείο της (ε) τότε θ είνι της μορφής M(, ) κι (δ) η ζητούμενη εφπτομένη η οποί θ έχει σ.δ. εφάπτετι του d θ ισχύει: εξίσωση ( ) = 4 (διότι δ ε ) άρ θ έχει = + + 5 = 0 κι επειδή 5 5 d( κ,δ) = = 5 5 = 5 5 5 = 5 ή 5 5 3 5 5 5 = 5 = ή = 5 5 Άρ τ ζητούμεν σημεί είνι τ 5 5 M, 5 5 κι 3 5 6 5 M, 5 5 γ. Έστω = κ η ζητούμενη προλή τότε 36 = κ 3 5 κ = 6 άρ 5 5 5 = η ζητούμενη εξίσωση. 5. Δίνετι η υπερολή Λύση 6 d: 5 = κι η ευθεί 4 ε:= 3. Αν το σημείο Μ της υπερολής πέχει πό μι εστί d πόστση ρείτε πόσο πέχει το Μ πό την άλλη εστί.. Βρείτε σημείο της d με θετικές συντετγμένες το οποίο ν πέχει πό την (ε) πόστση. γ. Βρείτε τις εφπτόμενες της d που είνι πράλληλες στην ε. 5. Η υπερολή d έχει = κι γι κάθε σημείο Μ της d (πό ορισμό) ισχύει: 4 5 5 5 ( ΜΕ) ( ΜΕ ) = ( ΜΕ ) = ( ΜΕ ) = ή ( ΜΕ ) = ( ΜΕ ) = δύντη ή ( ΜΕ ) 9 =
00. Κωνικές τομές Βήμ 3 ο. Έστω Ν( 0,0) 0 > 0 Όμως ισχύει: ( ) 6 d τότε 4 3 = = 4 + 3 d M,ε 0 0 0 0 () 0 0 5 = 5 ( ) 0 6 0 5 + 3 = 5 ή 5 + 3 = 5 5 3 5 0 0 = + 5 0 = 0 + φού 4 5 4 0 + 30 = 5 5 0 + 30 = 5 4 0 0 + = + ή 5 + = 3 5 ( > 5 3) ( 0 + ) = 0 + + 0 ή ( ) 5 9 5 30 0 0 0 0 0 5 + = 9 + 5 30 6 30 = 0 ή 6 + 30 = 0 0 Απορ. 0 0 0 0 0 5 5 = 0 ή 0 = ή 0 = 0 ή 0 = άρ 8 8 Απορ. Aπορ. γ. Η εφπτομένη (δ) της d στο σημείο του ( ) κι άρ έχει συντελεστή διεύθυνσης (ε) θ ισχύει: Το K(,) 5 85 5 N, 3 8. Κ, έχει εξίσωση 6 5 = 5 6 5 6 4 5 = = 5 3 5 d άρ 6 5 = 5 5 = 5 9 9 = 6 9 3 5 i. Αν = τότε = άρ 4 6 9 = = 3 6 =± 4 οπότε: κι επειδή είνι πράλληλη με την 3 5 5 = 5 4 3 = 4 η μι εφπτομένη 4 3 5 ii. Αν = τότε = άρ 4 + 3 = 4 η άλλη εφπτομένη. 4 6 3. Το σημείο Μ(,) πέχει πό το A(4,0) τ 4/3 της πόστσής του πό 9 την ευθεί =. 4
Βήμ 3 ο Κωνικές τομές 0. Λύση. Δείξτε ότι το Μ κινείτι σε υπερολή με εξίσωση: =. 9 7. Βρείτε τις εξισώσεις των εφπτομένων της υπερολής που περνάνε πό το σημείο B(3,). 4 4 4 9 = + = 3 3 4. Ισχύει: ( ) ( ) ( ) MA d M,ε 4 ( ) ( ) ( ) ( ) 3 4 + = 4 9 9 4 + = 4 9 ( ) 9 + 6 8+ = 6 + 8 7 9 + 44 7 + 9 = 6 + 8 7 63 = 7 9 = () 9 7 Άρ το Μ ρίσκετι σε υπερολή C με την εξίσωση ().. Η εφπτομένη της C στο σημείο N(, ) έχει εξίσωση: 9 7 l = 7 9l = 63 κι θ περνάει πό το σημείο ( ) + 6 μόνο ν 8 = 63 =. 7 Το σημείο N(,) νήκει στην C: = 7 9 = 63 ( + 6 ) 7 9 = 63 9 7 49 B3, ν κι ( ) + 6 63 = 44 44+ 36 + 5 63 = 44 8 7 + 5 = 0 ( 7+ 5) = 0 = 0 ή =. 3 Οπότε ν = 0 τότε = 3 άρ = 3 η μί εφπτομένη. 8 Αν = τότε = άρ 77 84 = 63 η άλλη εφπτομένη. 3 4. Η έλλειψη C έχει εστί Ε (, 0) κι η υπερολή C έχει εστί K( 5,0) ενώ έχουν την ίδι κορυφή Α (, 0).. Βρείτε τις εξισώσεις των C, C ν γνωρίζετε ότι το ορθογώνιο άσης της υπερολής έχει εμδόν 8 τ.μ.
0. Κωνικές τομές Βήμ 3 ο Λύση. Αν = η εξίσωση της C οπότε ισχύ- k ουν:. Βρείτε τις εφπτομένες της C που άγοντι πό το Ε (, 0). γ. Αν η εφπτομένη της C στο σημείο της M(, 3/) εφάπτετι κι του κύκλου C: ( + ) + ( ) = ρ με ρ > 0 ρείτε την κτίν του. + = η εξίσωση της C τότε = γ + = + γ κ 5 κ = + = + (γ, η εστική πόστση της C ) κι 4κ = 8 κ = οπότε 4 4 5 = + κ 5= + 5= + 5 + 4= 0 ( ) 5 ± 9 5± 3 = = = ή 4 = = ή = όμως > γ άρ = οπότε κ = κι = 3 άρ: + = η εξίσωση της C κι 4 3 4 = η εξίσωση της C. Η εφπτομένη της C στο σημείο της ( ) N, έχει εξίσωση : = 4 = 4 κι θ περνάει πό το σημείο Ε (, 0) ν κι μόνο 4 ν = 4 Το N(, ) νήκει στην C άρ: οπότε ν: 4 4 = = = 3 =± 3 i. = 4 κι = 3, τότε 4 4 3 = 4 3 =, η μι εφπτομένη ii. = 4 κι = 3,τότε 4 + 4 3 = 4 + 3 =, η άλλη εφπτόμενη γ. Η εφπτομένη (δ) της C στο 3 M, έχει εξίσωση 3 + = + 4= 0 4 3
Βήμ 3 ο Κωνικές τομές 03. Ο C έχει κέντρο Σ(,) κι επειδή η (δ) εφάπτετι του C θ ισχύει: d( Σ,δ) = ρ + 4 4 = ρ + 4 5 ρ ρ 5 = = 5 5.. Βρείτε την εξίσωση της υπερολής που έχει κορυφή το σημείο Α(4,0) κι i. Έχει εκκεντρότητ ε=. ii. Έχει σύμπτωτη την ευθεί =. iii. Περνάει πό το σημείο M(8,3).. Βρείτε την εξίσωση της υπερολής που έχει εστί E(4,0) κι i. Έχει εκκεντρότητ ε=5/4. ii. Έχει σύμπτωτη = /. Λύση iii. Περνάει πό το σημείο M0,3 ( 5 ). γ. Βρείτε την εξίσωση της υπερολής που έχει εστίες στον κι i. Έχει σύμπτωτη την =3/4 κι περνάει πό το σημείο M(4,).. Έστω κι ii. Έχει εκκεντρότητ ε=5/3 κι περνάει πό το σημείο i. Ισχύει 4 7 Μ 4, 3. = η εξίσωση της υπερολής (φού έχει κορυφή στον ) = 4 γ ε = = γ = 8. Όμως γ = + 64 = 6 + = 48 οπό- τε ii. Η = η ζητούμενη εξίσωση. 6 48 = είνι σύμπτωτη της υπερολής όμως εμάς μς δίνετι ότι είνι η = άρ 8 = = οπότε = η ζητούμενη εξίσωση. 6 64 iii. Το Μ( 8,3 ) νήκει στην υπερολή άρ: 64 9 9 9 = 4 = 3= = 3
04. Κωνικές τομές Βήμ 3 ο Άρ 6 3 = η ζητούμενη εξίσωση.. Έστω γ= 4 κι = η εξίσωση της υπερολής (φού έχει εστί στον ) τότε i. 5 γ 5 6 ε = = 4γ = 5 = κόμ 4 4 5 56 44 γ = + = γ = 6 = άρ 5 5 εξίσωση. ii. Η 5 5 = η ζητούμενη 56 44 = είνι σύμπτωτη της υπερολής όμως εμάς μς δίνετι ότι είνι η = άρ: = = = 4 6 64 5 5 = άρ = η ζητούμενη εξίσωση. 5 64 6 iii. Το σημείο M0,3 ( 5 ) νήκει στην υπερολή άρ: 00 35 00 35 γ = 4 6= 5 = οπότε 5 = = 00 35( γ ) ( γ ) ( ) 4 4 00 35 5 = 5 + 0 3375 = 0 0 ± 57600 = 0 ± 40 = = 5 Άρ = 0 οπότε = η ζητούμενη εξίσωση. 0 5 = γ. Έστω = η εξίσωση της υπερολής (φού έχει εστίες στον ) κι i. Έχει σύμπτωτη την = όμως μς δίνετι ότι είνι η 3 = άρ: 4
Βήμ 3 ο Κωνικές τομές 05. 3 4 6 = 3 = 4 = = 4 3 9 Το M( 4, ) νήκει στην υπερολή άρ: 6 6 9 8 = = = = 8 6 8 Άρ = άρ 9 9 8 8 = η εξίσωση της υπερολής. iii. Έχει εκκεντρότητ: 5 γ 5 ε = = 3γ = 5 9γ = 5 3 3 6 ( ) 9 + = 5 9 = 6 =. 9 Το 4 7 Μ 4, 3 νήκει στην υπερολή άρ: 6 6 7 6 7 = = = 9 οπότε 6 9 9 = 6 Άρ = η εξίσωση της υπερολής. 9 6 6. Δίνετι η προλή Λύση = (, ρ ) = = κι έν σημείο της Κ. Ν υπολογιστούν: i. Οι συντετγμένες του Λ, όπου Λ το σημείο τομής της εφπτομένης της προλής στο Κ με τον. ii. Το εμδόν του ΟΛΚ τριγώνου. iii. Ν δειχτεί ότι το ύψος του τριγώνου ΟΛΚ πό την κορυφή Λ περνά πό στθερό σημείο. i. Αν κ η τετμημένη του Κ τότε υτό έχει τετγμένη κ άρ κ K κ, Η εφπτομένη στο Κ της προλής έχει εξίσωση = +, δηλδή:
06. Κωνικές τομές Βήμ 3 ο κ κ κ = + κ = 0 () κ Γι = 0 η () δίνει κ = άρ η () τέμνει τον ':Λ,0. Σχόλιο: Το γεγονός ότι η τετμημένη του Λ είνι ίση με το μισό της τετμημένης του Κ ποτελεί χρκτηριστική ιδιότητ κάθε προλής = ρ. κκ ΟΛ ΚΜ κ ii. ( OΛΚ) = = = 8 κ iii. λοκ =, οπότε λ ΛΛ' =, κ 0 οπότε: κ κ ΛΛ': = ( κ ) + = 0 κ διέρχετι πό το σημείο B0,φού: ( ) που είνι η οικογένει ευθειών που = 0 = 0. = 0 = 7. Δίνοντι τ δινύσμτ = (,). Βρείτε το διάνυσμ: γ = προ ( + ) κι = ( 3,). Βρείτε την εξίσωση της ευθείς που είνι κάθετη στο γ κι περνάει πό το σημείο Α(003, 003). γ. Αν δ= ( 5,4) κι η ευθεί (ε): + + δ + 3 = λ σχημτίζει με τους άξονες τρίγωνο εμδού 3/0 τ.μ., ρείτε το λ > 0. δ. Βρείτε την εξίσωση της υπερολής που έχει εστί το σημείο που η (ε) Λύση τέμνει τον κι έχει σύμπτωτη την ευθεί =.. Ισχύουν: ( ) Ισχύει: = + = 8 = 3 + = 3 =, 3, = 5,0 άρ = 5 ( ) ( ) ( ) προ // + ( )( ) ( ) άρ προ ( ) ( ) () ( ) + = λ
Βήμ 3 ο Κωνικές τομές 07. ( )( + ) = ( ) προ ( ) ( ) + ( ) ( ) κι πό () = λ = λ 8 3 = λ5 5= 5λ προ + = = 5, 0 =, 0 = γ 5 5 λ = /5, οπότε πό (): ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). To γ έχει συντελεστή διεύθυνσης λ = 0, άρ η κάθετη ευθεί στον φορέ του θ έχει εξίσωση της μορφής = 0 κι επειδή περνάει πό το Α θ είνι η = 003. + + δ =, + 3, + 5,4 = 6,8 άρ + + δ = 6 + 8 = 0 οπότε γ. Ισχύει ( ) ( ) ( ) ( ) λ (ε): 0 + 3 = λ που τέμνει τον στο B,0 0 κι τον στο λ Γ 0, 3 Ισχύει: 3 3 λ λ 3 ( ΟΒΓ) = ( ΟΒ) ( ΟΓ) = = λ = 9 λ =± 3 0 0 0 3 0 Άρ: λ = 3> 0 δ. Αφού η υπερολή C έχει εστί στον θ έχει εξίσωση: Ε (0, γ) με γ= κι σύμπτωτη: =, εστί =, άρ = = γ = γ = 3 = 3 = 3 Άρ = οπότε 3 3 3 = η ζητούμενη εξίσωση 8. Δίνετι η ευθεί ε: A+B+γ=0 με ΑΒ>0 κι ΑΓ<0. i. Ν ποδειχθεί ότι η ευθεί ε τέμνει τους άξονες κι σε σημεί Κ, Λ που νήκουν στους θετικούς ημιάξονες O κι O. ii. Υποθέτουμε ότι η ευθεί ε μετάλλετι ώστε ν ισχύει πάντ ( OK) + ( OΛ) = λ, όπου λ>0 στθερός. Ν ποδειχθεί ότι: Λύση:. + + λ = 0 Α Β Γ. Η μεσοκάθετος στο ΚΛ περνάει πό στθερό σημείο. γ. Οι κύκλοι με διάμετρο ΚΛ διέρχοντι πό δύο στθερά σημεί. Γι ποι τιμή του λ ο κύκλος περνάει πάντ πό το σημείο (004,004); i.γι = 0 πό την εξίσωση της ευθείς έχουμε: A + Γ= 0 Γ = Α
08. Κωνικές τομές Βήμ 3 ο Γ Άρ η ε τέμνει τον άξον στο σημείο K,0. Όμοι γι 0 Α = ρίσκουμε Β + Γ = 0 =. Άρ η ε τέμνει τον άξον στο σημείο Λ 0, Γ Γ Β Β. Γ Γ Επειδή ΑΓ<0 είνι < 0 > 0 K > 0. Α Α Άρ το σημείο Κ νήκει στον θετικό ημιάξον Ο. Επειδή AB>0 κι AΓ<0 συνεπάγετι ΑΒ ΑΓ < 0 δηλδή ΑΒΓ< 0, επομένως Γ Γ ΒΓ < 0 < 0 > 0 K > 0 Β Β Άρ το σημείο Λ νήκει στον θετικό ημιάξον Ο. Γ Γ ΟΚ + ΟΛ = λ λ Α + Β = κι επειδή ii.. ( ) ( ) Γ > 0, Α Γ > 0 η σχέση γί- Β Γ Γ λ νετι: = λ + + = 0. Α Β Α Β Γ. Αν K(,0), Λ(0,) τ σημεί τομής τότε το μέσο του ΚΛ είνι το σημείο + + Μ, Κ Λ K Λ, δηλδή M,. Από τη σχέση ( ΟΚ) + ( ΟΛ) = λ προκύπτει + = λ = λ. Ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείς ΚΛ είνι Αν ε η μεσοκάθετη ευθεί στο ΚΛ τότε: ε ε λε λε = λε = λε = κι επειδή η ε περνάει πό το Μ θ έχει εξίσωση: ε : = = λ ε 0 = =. 0 ( λ ) + ( + )( ) = 0 λ + λ( λ) = 0 ( ) ( ) + = + + =. λ λ λ 0 λ λ λ 0 Γι ν περνάει η ευθεί πό έν στθερό σημείο ρκεί ν υπάρχει ζεύγος λ (,) που επληθεύει τις σχέσεις: + λ= 0 κι λ= 0 = κι
Βήμ 3 ο Κωνικές τομές 09. λ =. λ λ Άρ η ευθεί ε περνάει πάντ πό το σημείο,. γ. Ο κύκλος με διάμετρο ΚΛ έχει κέντρο το μέσο M, του ΚΛ κι κτίν: ( ) + ρ ΟΜ + = = + = = 4 Επομένως ο κύκλος έχει εξίσωση: + C : + = + + + + = + = 0 4 4 4 + ( ) = ( ) λ 0 + λ + = 0. Γι ν περνάει ο κύκλος πό στθερό σημείο ρκεί ν υπάρχει ζεύγος (,) τέτοιο ώστε ν επληθεύει την εξίσωση γι κάθε τιμή του. Αυτό συμίνει μόνον ότν ισχύουν συγχρόνως οι σχέσεις: = 0 κι ( λ) = 0 = κι Άρ (,) = ( 0,0) ή ( ) + λ = 0 = κι λ = 0 = κι λ = 0 ή =. λ λ, =,, δηλδή ο κύκλος C περνάει πάντ πό λ λ τ στθερά σημεί O(0,0) κι A,. Γι ν περνάει ο κύκλος πάντ πό το σημείο (004,004) πρέπει το σημείο λ υτό ν τυτίζετι με το Α. Επομένως 004 λ 4008 = =. Πρτήρηση Επειδή το τρίγωνο ΟΚΛ είνι ορθογώνιο ο κύκλος με διάμετρο ΚΛ θ περνάει πάντ πό το Ο. Δηλδή το O(0,0) είνι, προφνώς, έν πό τ ζητούμεν σημεί κι ρκεί ν προσδιοριστεί το δεύτερο σημείο..
0. Κωνικές τομές Βήμ 4 ο. Δίνετι ο κύκλος c: + + = 8. Βρείτε τις εξισώσεις των εφπτομένων του κύκλου που είνι κάθετες στην ευθεί ε:+ = 5. Βρείτε τις εξισώσεις των ευθειών που διέρχοντι πό το κέντρο του c κι σχημτίζουν με τους άξονες συντετγμένων τρίγωνο εμδού 3 τ.μ. γ. Βρείτε την εξίσωση της ευθείς που ορίζει στον c χορδή με μέσο το Α(,-). δ. Βρείτε το γεωμετρικό τόπο των μέσων των χορδών που διέρχοντι πό το σημείο Β(-, ).. Δίνοντι οι ευθείες: ε : = 0 κι ζ :+ =.. Δείξτε ότι γι τις διάφορες τιμές του οι ευθείες ε διέρχοντι πό στθερό σημείο Α κι οι ευθείες ζ διέρχοντι πό στθερό σημείο Β κι οι ευθείες θ διέρχοντι πό στθερό σημείο Β τ οποί κι ν προσδιορίσετε.
Βήμ 4 ο Κωνικές τομές.. Αν Μ(,) το σημείο τομής των ε, ζ δείξτε ότι γι τις διάφορες τιμές του το Μ κινείτι σε κύκλο του οποίου ν ρείτε την εξίσωση. 3.. Βρείτε την εξίσωση του κύκλου c που περνάει πό το σημείο Α(,3) κι εφάπτετι της ευθείς () ε :4 3 + = 0 στο σημείο της 3 B, 5 5.. Δίνετι τώρ ο κύκλος c : + = 0 δείξτε ότι οι c, c εφάπτοντι κι ρείτε το κοινό τους σημείο κθώς κι την κοινή εφπτομένη τους. 4. Δίνετι η προλή c: = 4 κι η ευθεί f := λ λ με λ R.. Βρείτε γι ποιες τιμές του λ η ευθεί f τέμνει την c σε δύο διφορετικά σημεί.. Αν A(, ) κι ( ) B, τ κοινά σημεί των c κι (f) δείξτε ότι: i. = ii. = 4 iii. Οι εφπτομένες της c στ Α, Β τέμνοντι κάθετ πάνω στην διευθετούσ (δ) της c.
. Κωνικές τομές Βήμ 4 ο 5. Δίνετι η προλή με εξίσωση = ρ που περνάει πό το σημείο A(,4. ). Δείξτε ότι η εστί της προλής είνι η Ε (, 0).. Αν Ε το συμμετρικό του Ε ως προς τον άξον. Βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ γι τ οποί ισχύει ΜE = ΜE E E. γ. Βρείτε τις εξισώσεις των εφπτομένων ευθειών που άγοντι πό το Α προς τον πρπάνω γεωμετρικό τόπο. δ. Δείξτε ότι το συνημίτονο της οξείς γωνίς των εφπτομένων ευθειών ισούτι με 3 5. 6. Δίνοντι τ σημεί Α(,0) κι Β(,0). Aποδείξτε ότι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ του επιπέδου γι τ οποί το τρίγωνο ΑΒΜ έχει στθερή περίμετρο 0 είνι έλλειψη.. Βρείτε την εξίσωση της χορδής της έλλειψης που έχει μέσο το σημείο P(,). γ. Βρείτε την εξίσωση της υπερολής που έχει
Βήμ 4 ο Κωνικές τομές 3. κορυφή την εστί της C κι σύμπτωτη την ΟΡ. 7. Δίνετι η προλή C: = ρ κι η ευθεί (ε) 3 = + ρ. Βρείτε τ κοινά σημεί των (ε) κι C έστω Α, Β.. Βρείτε τις εφπτόμενες της C στ Α, Β έστω ε, ε ντίστοιχ. γ. Δείξτε ότι το σημείο τομής Γ των ( ' ) ' ε κι ( ) ε, ε στ Α, Β ντίστοιχ, ρίσκετι στην C. δ. Βρείτε το εμδόν του ΑΒΓ τριγώνου. ε που τέμνουν κάθετ τις
4. Κωνικές τομές Βήμ 4 ο 8. Δίνετι η έλλειψη: C: + = 4 3. Βρείτε την εξίσωση της υπερολής C που έχει εστίες τις κορυφές της C κι κορυφές τις εστίες της C.. Αν M( 0, 0) κοινό σημείο των C, C δείξτε ότι 90 = 8. 0 γ. Δείξτε ότι οι εφπτομένες των C, C στο Μ. Έχουν συντελεστές διευθύνσεως με γινόμενο -. δ. Βρείτε τις εφπτομένες της C που είνι πράλληλες προς την σύμπτωτη της C που ρίσκετι στο ο κι 3ο τετρτημόριο. 9. Δίνετι ο κύκλος C : + = 5κι η έλλειψη C που έχει μεγάλο άξον την διάμετρο του C που ορίζει σ υτόν ο άξονς κι η οποί τέμνει τον στο B( 0, ).. Βρείτε την εξίσωση της έλλειψης.. Βρείτε την εξίσωση της προλής που έχει εστί, την εστί της έλλειψης που ρίσκετι στον O ημιάξον. γ. Δείξτε ότι οι εφπτομένες της προλής στ σημεί που υτή τέμνει τον C τέμνοντι κάθετ στην άλλη εστί της έλλειψης.
Βήμ 4 ο Κωνικές τομές 5. 0. Δίνετι η υπερολή = κι η C : προλή C που έχει εστί, την εστί της υπερολής που ρίσκετι στον ημιάξον O. Αν η εφπτομένη της C στο σημείο που την τέμνει η σύμπτωτη της C που έχει θετικό συντελεστή διευθύνσεως, τέμνει κάθετ το διάνυσμ u = (, ), ρεί- τε τις εξισώσεις των C, C.. Δίνοντι η υπερολή C : = κι η ευθεί (ε) = 3 που τέμνει την C στ Κ, Λ.. Βρείτε τ Κ, Λ.
6. Κωνικές τομές Βήμ 4 ο. Αν Μ τυχίο σημείο του, δείξτε ότι το τρίγωνο ΚΛΜ έχει στθερό εμδόν. 3. Αν Δ, Ζ οι προολές των Κ, Λ ντίστοιχ στον ρείτε τον γεωμετρικό τόπο C των σημείων Ν του επιπέδου γι τ οποί ισχύει ( NΔ) + ( ΝΖ) = 6 κι γράψτε την εξίσωσή του. 4. Βρείτε τις εκκεντρότητες των C, C.. Δίνετι η έλλειψη C : + = κι η υπερολή Δείξτε ότι:. Η έλλειψη κι η υπερολή έχουν τις ίδιες εστίες.. Αν ε,ε οι εκκεντρότητες των C : =. C,C δείξτε ότι ε ε ( ε ) =. γ. Αν Μ( 0, 0) κοινό σημείο των C,C δείξτε ότι οι εφπτόμενες των C,C στο Μ τέμνοντι κάθετ.
Βήμ 4 ο Κωνικές τομές 7. 3. Δίνετι υπερολή με εστίες στον άξον η οποί περνάει πό το σημείο Μ(4,) κι έχει σύμπτωτη την ευθεί =. 3. Βρείτε την εξίσωση της υπερολής κι την εφπτομένη της στο Μ έστω (ε).. Δείξτε ότι η εξίσωση + + 6 + 3= 0 γι κάθε R πριστάνει κύκλο κι εάν ο κύκλος υτός εφάπτετι της (ε) ρείτε το κέντρο Κ κι την κτίν του εφόσον >0. γ. Βρείτε το εμδόν του τριγώνου ΟΚΜ.
8. Κωνικές τομές Βήμ 5 ο Θέμ ο Αποδείξτε ότι η εφπτομένη του κύκλου ρ έχει εξίσωση + = ρ. + = στο σημείο του Α(,) (Μονάδες 5) Θέμ ο. Δείξτε ότι οι εφπτόμενες του κύκλου c: + = 5 οι οποίες άγοντι πό το σημείο M( 4,3 ) είνι κάθετες.. Βρείτε την εξίσωση της προλής που έχει ευθεί το σημείο Ε στο οποίο τέμνει τον ημιάξον O ο κύκλος. γ. Βρείτε τις κοινές εφπτόμενες του κύκλου κι της προλής.
Βήμ 5 ο Κωνικές τομές 9. (Μονάδες 5). Δίνετι η εξίσωση: ( ) Θέμ 3 ο λ 3λ 6λ 3λ 4 0 + + + + = (Ι) i. Βρείτε γι ποι τιμή του λ R πριστάνει κύκλο. μ. Δίνετι η εξίσωση: + + ( μ ) + μ = + (ΙΙ) 4 Δείξτε ότι: i. Γι κάθε τιμή του μ R η (ΙΙ) πριστάνει κύκλο κι ν ρείτε το κέντρο κι την κτίν του. ii. Οι κύκλοι με εξίσωση την (ΙΙ) περνάνε πό δύο στθερά σημεί πό τ οποί το έν είνι το κέντρο του κύκλου το. ερωτήμτος. γ. Βρείτε την εξίσωση της υπερολής που έχει εστί το άλλο στθερό σημείο των κύκλων με εξίσωση την (ΙΙ) κι εκκεντρότητ ε =
0. Κωνικές τομές Βήμ 5 ο (Μονάδες 5) Θέμ 4 ο Δίνοντι οι εξισώσεις d : + + 6+ = 0κι d : = 4.. Δείξτε ότι η d πριστάνει κύκλο κι ρείτε το κέντρο κι την κτίν του. Βρείτε επίσης την εστί κι την διυθετούσ της προλής d.. Βρείτε τ κοινά σημεί Α κι Β των d, d. γ. Βρείτε τις εφπτομένες ε κι ε της d στ Α, Β κι δείξτε ότι εφάπτοντι κι στον κύκλο d. (Μονάδες 5) ΚΥΠΡΙΑΝΟΣ ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ