ΘΕΜΑ Α Α. Σχολικό βιβλίο, σελίδα 5 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 07 Α. α. Ψ β. Δίνεται αντιαράδειγμα στο σχολικό βιβλίο σελίδα 99, αράγραφος: «Παράγωγος και συνέχεια». Α. Σχολικό βιβλίο, σελίδα 7 Α. α. Λάθος β. Σωστό γ. Λάθος δ. Σωστό ε. Σωστό ΘΕΜΑ Β Β. Η συνάρτηση g ορίζεται για Άρα για κάθε ( 0, ) D g g D 0 0, g = ( g ) = ln. είναι > 0 ( ) > Β. Έστω, Dh με h ( ) = h ( ) ln = ln = ( ) = ( ) = = Άρα η h είναι, δηλαδή αντιστρέφεται. Για να βρούμε την αντίστροφη h θέτουμε y y y = h y = ln = ( ) = y + 0 y y y y y y y y = + = ( + ) = = h y ( y) = y + + Οότε είναι h = με R. + Κτίριο : Γραμβούσης 5 & Καγιαμή, Κέντρο Ηρακλείου, τηλ./a: 80 85 76 Κτίριο : Λεωφόρος Κνωσού 87, Άγιος Ιωάννης, τηλ: 80, www.na.gr
Ενδεικτικές ααντήσεις Πανελληνίων 07 =. + Η φ είναι συνεχής στο R ως ράξεις συνεχών συναρτήσεων και αραγωγίσιμη με Β. Για κάθε R είναι φ ( + ) + + + + φ = = = = > 0 + + + R. Εομένως η φ είναι γνησίως αύξουσα στο R και δεν αρουσιάζει ακρότατα. για κάθε Ακόμη η φ είναι αραγωγίσιμη ως ράξεις αραγωγίσιμων συναρτήσεων με + (( ) + + φ = = = ( ( ( Είναι ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( ) ( + ) = = = = = φ 0 0 0 0 > > > < < φ 0 0 0 0 < < > > φ 0 0 0 Άρα η φ είναι κυρτή στο (, 0] και κοίλη στο [ 0, + ). Με σημείο καμής το ( ) το Α 0,. Β. Είναι 0 0 lim φ = lim = = 0. + + Οότε η C έχει οριζόντια ασύμτωτη στο την y= 0. φ Είσης είναι Οότε η D.L.H. lim φ = lim ==== lim =. + + + + + + C φ έχει οριζόντια ασύμτωτη στο + την y=. Α 0, φ 0 δηλαδή Κτίριο : Γραμβούσης 5 & Καγιαμή, Κέντρο Ηρακλείου, τηλ./a: 80 85 76 Κτίριο : Λεωφόρος Κνωσού 87, Άγιος Ιωάννης, τηλ: 80, www.na.gr
Ενδεικτικές ααντήσεις Πανελληνίων 07 Η γραφική αράσταση της φ είναι η ακόλουθη. ΘΕΜΑ Γ Γ. Για κάθε [ 0, ] είναι = συν. Έστω Μ ( 0, ( 0) ) σημείο της C. Η εφατομένη (ε) της ( ε ): y ( ) : ( )( ) y+ ημ : συν ( ) C στο Μ έχει εξίσωση 0 0 0 0 0 0 Εειδή το σημείο Α, ανήκει στην (ε) τότε + ημ0 = συν0 0 συν0 0 + ημ0 = 0 Θεωρούμε τη συνάρτηση g = συν + ημ με [ 0, ] Η g είναι συνεχής στο [ 0, ] ως ράξεις συνεχών συναρτήσεων και αραγωγίσιμη με g = ημ συν + συν = ημ ημ = 0 = 0 ή = Θέτω g = 0 ημ = 0 ή ή = 0 = Το ρόσημο της αραγώγου και η μονοτονία της g φαίνονται στον ακόλουθο ίνακα: Οότε η g αρουσιάζει: ολικό ελάχιστο στο = το g = < 0, Κτίριο : Γραμβούσης 5 & Καγιαμή, Κέντρο Ηρακλείου, τηλ./a: 80 85 76 Κτίριο : Λεωφόρος Κνωσού 87, Άγιος Ιωάννης, τηλ: 80, www.na.gr
Ενδεικτικές ααντήσεις Πανελληνίων 07 τοικό μέγιστο στο 0 g 0 = 0 = το και τοικό μέγιστο στο g = 0 = το g g g 0 < < < <. Άρα για 0< < g( 0) > g g < 0 και για Οότε g < 0 για κάθε ( 0, ), συνεώς η g = 0 έχει ακριβώς ρίζες τις = 0 και =. Εομένως η γραφική αράσταση της έχει ακριβώς δύο εφατομένες ου άγονται αό το Α, τις ε :y 0 : 0 0 y: ε :y : y:. και Γ. Η γραφική αράσταση της και οι ευθείες ( ε ) και ( ) ε φαίνονται στο σχήμα ου ακολουθεί: Σύμφωνα με το αραάνω σχήμα είναι: [ ] 0 0 0 0 Ε = d = ημ d = ημd = συν = + = Το εμβαδόν του τριγώνου ΟΚΑ είναι ( ΟΚΑ) Ε = ΟΚΑ Ε = Οότε είναι Εομένως Ε = =. Ε 8 ( ΟΚ) ( ΝΑ) = = =. Γ. Είναι = ημ > 0 για κάθε ( 0, ). Άρα η είναι κυρτή στο [ 0, ] οότε κάθε εφατομένη της C βρίσκεται κάτω αό τη εξαίρεση το σημείο εαφής. C με Κτίριο : Γραμβούσης 5 & Καγιαμή, Κέντρο Ηρακλείου, τηλ./a: 80 85 76 Κτίριο : Λεωφόρος Κνωσού 87, Άγιος Ιωάννης, τηλ: 80, www.na.gr
Αφού η ( ε ) εφατομένη της C στο = 0 τότε Είσης η ( ε ) εφατομένη της C στο = οότε =. + + Άρα διότι + > 0 κοντά στο και ( ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Ενδεικτικές ααντήσεις Πανελληνίων 07, με την ισότητα να ισχύει για = 0., με την ισότητα να ισχύει για lim = lim = lim ( + ) = ( + ) = +, + + + lim + = 0. Γ. Για κάθε [, ] ισχύει Άρα [ ] (με την ισότητα να ισχύει για = ). d > d d > ln d > ΘΕΜΑ Δ Δ. Για [, 0) και ( 0, ] στο 0 = 0. Είναι lim = 0 0 lim = 0 + 0 ( 0) = 0 Άρα η είναι συνεχής και στο 0 0 η είναι συνεχής ως ράξεις συνεχών. Ελέγχω ως ρος την συνέχεια =, δηλαδή η είναι συνεχής στο [, ]. Για 0 = η οοία είναι αραγωγίσιμη ως σύνθεση αραγωγίσιμων < είναι συναρτήσεων με κρίσιμο σημείο στο διάστημα αυτό. = < για κάθε (, 0 ) 0. Άρα η δεν αρουσιάζει Για > 0 η είναι αραγωγίσιμη ως ράξεις αραγωγίσιμων συναρτήσεων με = ημ + συν = ημ + συν Είναι = 0 ημ + συν = 0 εφ = = κ, κ Z. Όμως ( 0, ] άρα =. Οότε η αρουσιάζει κρίσιμο σημείο στο = Ελέγχω αν η είναι αραγωγίσιμη στο 0. Κτίριο : Γραμβούσης 5 & Καγιαμή, Κέντρο Ηρακλείου, τηλ./a: 80 85 76 Κτίριο : Λεωφόρος Κνωσού 87, Άγιος Ιωάννης, τηλ: 80, www.na.gr
Για < 0 είναι Για > 0 είναι ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Ενδεικτικές ααντήσεις Πανελληνίων 07 ( 0 ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 lim = lim = lim = lim = lim = 0. 0 ( 0) ημ lim = lim =. 0 + 0 0 + Άρα η δεν αραγωγίζεται στο = 0, δηλαδή αρουσιάζει κρίσιμο σημείο στο = 0. < 0 Δ. Για (, 0 ) είναι Αφού 0 για κάθε 0, και η συνεχής, τότε η διατηρεί σταθερό ρόσημο στο 0,. Όμως = > 0 οότε > 0 για κάθε 0, 5 Ομοίως η 5 διατηρεί σταθερό ρόσημο στο, 6 και αφού 0 = < 6 τότε < 0 για κάθε,. Η αρουσιάζει: τοικό μέγιστο στο τοικό ελάχιστο στο 0 = το = το =, 0 = 0, τοικό μέγιστο στο = το = ημ = τοικό ελάχιστο στο = 0 = το, Έστω ln + ln 0 ln + 0 ln ln + 0 ln + 0 ln + 0, το οοίο είναι άτοο, άρα >. Οότε η μέγιστη τιμή της είναι = Άρα Δ =, 0 η είναι γνησίως φθίνουσα και συνεχής οότε στο [ ] και ελάχιστη τιμή ( 0) = = 0 = ( ) = [ ] Δ 0, 0, Κτίριο : Γραμβούσης 5 & Καγιαμή, Κέντρο Ηρακλείου, τηλ./a: 80 85 76 Κτίριο : Λεωφόρος Κνωσού 87, Άγιος Ιωάννης, τηλ: 80, www.na.gr
Ενδεικτικές ααντήσεις Πανελληνίων 07 στο Δ = 0, στο Δ =, η είναι γνησίως αύξουσα και συνεχής οότε ( Δ ) = ( 0 ), = 0,, η είναι γνησίως φθίνουσα και συνεχής οότε ( Δ ) = ( ), = 0,, = Δ Δ Δ = 0,. Οότε το σύνολο τιμών της είναι το ([ ]) ( ) ( ) Δ. Είναι 5 Ε = g d = ημ d 0 0 5 Θεωρούμε τη συνάρτηση h ημ ( ημ ) Για κάθε [ 0, ] ισχύει ότι 0 ημ, () 0 0, () = = με [ 0, ] Προσθέτοντας κατά μέλη τις () και () ροκύτει ότι 5 5 ημ 0.. 5 5 Άρα Ε = ( ημ) d = d ημd = ημd, (). 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 = συν ημd = + Ι 0 0 Ι = ημd = ημd = ημ συνd = 0 συνd = Θέτω + Άρα Ι= + Ι I= + I= 5 + Οότε αό την () είναι Ε = τ.μ. 5 5 :6 Δ. Είναι 6 : 8 6 : 8 = = 0 Κτίριο : Γραμβούσης 5 & Καγιαμή, Κέντρο Ηρακλείου, τηλ./a: 80 85 76 Κτίριο : Λεωφόρος Κνωσού 87, Άγιος Ιωάννης, τηλ: 80, www.na.gr
Ενδεικτικές ααντήσεις Πανελληνίων 07 + = 0 () Όμως αό το σύνολο τιμών της είναι 0 για κάθε [, ] με την ισότητα να ισχύει μόνο για =. Είσης 0 για κάθε R. = 0 = Οότε για να ισχύει η () θα ρέει και και = = Εομένως η εξίσωση έχει μοναδική ρίζα την =. Κτίριο : Γραμβούσης 5 & Καγιαμή, Κέντρο Ηρακλείου, τηλ./a: 80 85 76 Κτίριο : Λεωφόρος Κνωσού 87, Άγιος Ιωάννης, τηλ: 80, www.na.gr